Tipi di dipendenza

Considera la ricarica della batteria. Come primo valore, prendiamoci il tempo necessario per caricare. Il secondo valore è il tempo in cui funzionerà dopo la ricarica. Più a lungo la batteria è carica, più a lungo durerà. Il processo continuerà fino a quando la batteria non sarà completamente carica.

La dipendenza della durata della batteria dal tempo di carica

Nota 1

Questa dipendenza è chiamata dritto:

All'aumentare di un valore, aumenta anche l'altro. Quando un valore diminuisce, diminuisce anche l'altro valore.

Consideriamo un altro esempio.

Più libri leggerà lo studente, meno errori farà nel dettato. O più in alto si scalano le montagne, più bassa sarà la pressione atmosferica.

Nota 2

Questa dipendenza è chiamata inversione:

All'aumentare di un valore, l'altro diminuisce. Quando un valore diminuisce, l'altro valore aumenta.

Così, nel caso dipendenza diretta entrambe le quantità cambiano allo stesso modo (entrambe aumentano o diminuiscono) e nel caso relazione inversa- opposto (uno aumenta e l'altro diminuisce, o viceversa).

Determinazione delle dipendenze tra quantità

Esempio 1

Il tempo impiegato per visitare un amico è di $ 20 $ minuti. Con un aumento della velocità (del primo valore) di $2$ volte, scopriremo come cambierà il tempo (secondo valore) che verrà speso nel percorso verso un amico.

Ovviamente, il tempo diminuirà di $ 2 $ volte.

Osservazione 3

Questa dipendenza è chiamata proporzionale:

Quante volte cambia un valore, quante volte cambia il secondo.

Esempio 2

Per una pagnotta da $ 2 in un negozio, devi pagare 80 rubli. Se hai bisogno di acquistare pagnotte di $ 4 $ (la quantità di pane aumenta di $ 2 $ volte), quanto dovrai pagare in più?

Ovviamente, il costo aumenterà anche di $ 2 $ volte. Abbiamo un esempio di dipendenza proporzionale.

In entrambi gli esempi sono state considerate le dipendenze proporzionali. Ma nell'esempio con le pagnotte, i valori cambiano in una direzione, quindi la dipendenza è dritto. E nell'esempio con un viaggio da un amico, la relazione tra velocità e tempo è inversione. Quindi, c'è rapporto direttamente proporzionale e relazione inversamente proporzionale.

Proporzionalità diretta

Considera $ 2 $ quantità proporzionali: il numero di pagnotte e il loro costo. Lascia che $ 2 $ pagnotte di pane costino $ 80 $ rubli. Con un aumento del numero di rotoli di $ 4 $ volte ($ 8 $ rotoli), il loro costo totale sarà di $ 320 $ rubli.

Il rapporto tra il numero di rotoli: $\frac(8)(2)=4$.

Rapporto costo rotolo: $\frac(320)(80)=4$.

Come puoi vedere, questi rapporti sono uguali tra loro:

$\frac(8)(2)=\frac(320)(80)$.

Definizione 1

Si chiama l'uguaglianza di due relazioni proporzione.

Con una relazione direttamente proporzionale, si ottiene un rapporto quando la variazione del primo e del secondo valore è la stessa:

$\frac(A_2)(A_1)=\frac(B_2)(B_1)$.

Definizione 2

Le due quantità sono chiamate direttamente proporzionale se, modificando (aumentando o decrementando) uno di essi, l'altro valore cambia (aumenta o diminuisce di conseguenza) dello stesso importo.

Esempio 3

L'auto ha percorso $ 180 $ km in $ 2 $ ore. Trova il tempo necessario per coprire $2$ volte la distanza con la stessa velocità.

Soluzione.

Il tempo è direttamente proporzionale alla distanza:

$t=\frac(S)(v)$.

Quante volte aumenterà la distanza, a velocità costante, il tempo aumenterà della stessa quantità:

$\frac(2S)(v)=2t$;

$\frac(3S)(v)=3t$.

L'auto ha percorso $ 180 $ km - nel tempo di $ 2 $ ora

L'auto percorre $180 \cdot 2=360$ km - nel tempo di $x$ ore

Maggiore è la distanza percorsa dall'auto, più tempo impiegherà. Pertanto, la relazione tra le quantità è direttamente proporzionale.

Facciamo una proporzione:

$\frac(180)(360)=\frac(2)(x)$;

$x=\frac(360 \cpunto 2)(180)$;

Risposta: L'auto avrà bisogno di $ 4 $ ore.

Proporzionalità inversa

Definizione 3

Soluzione.

Il tempo è inversamente proporzionale alla velocità:

$t=\frac(S)(v)$.

Quante volte aumenta la velocità, a parità di percorso, il tempo diminuisce della stessa quantità:

$\frac(S)(2v)=\frac(t)(2)$;

$\frac(S)(3v)=\frac(t)(3)$.

Scriviamo la condizione del problema sotto forma di tabella:

L'auto ha percorso $ 60 $ km - nel tempo di $ 6 $ ore

Un'auto percorre $ 120 $ km - in un tempo di $ x $ ore

Più veloce è l'auto, meno tempo impiegherà. Pertanto, la relazione tra le quantità è inversamente proporzionale.

Facciamo una proporzione.

Perché la proporzionalità è inversa, giriamo in proporzione il secondo rapporto:

$\frac(60)(120)=\frac(x)(6)$;

$x=\frac(60 \cpunto 6)(120)$;

Risposta: L'auto avrà bisogno di $ 3 $ ore.

Proporzionalità diretta e inversa

Se t è il tempo di percorrenza (in ore), s è la distanza percorsa (in chilometri) e si muove uniformemente ad una velocità di 4 km/h, allora la relazione tra queste quantità può essere espressa dalla formula s = 4t. Poiché ogni valore di t corrisponde a un valore unico di s, possiamo dire che una funzione è data usando la formula s = 4t. Si chiama proporzionalità diretta ed è definita come segue.

Definizione. La proporzionalità diretta è una funzione che può essere specificata utilizzando la formula y \u003d kx, dove k è un numero reale diverso da zero.

Il nome della funzione y \u003d k x è dovuto al fatto che nella formula y \u003d kx ci sono variabili xey, che possono essere valori di quantità. E se il rapporto di due valori è uguale a un numero diverso da zero, vengono chiamati direttamente proporzionale . Nel nostro caso = k (k≠0). Questo numero è chiamato fattore di proporzionalità.

La funzione y \u003d k x è un modello matematico di molte situazioni reali considerate già nel corso iniziale di matematica. Uno di questi è descritto sopra. Un altro esempio: se ci sono 2 kg di farina in un pacchetto e x tali pacchetti vengono acquistati, l'intera massa della farina acquistata (la denotiamo con y) può essere rappresentata come una formula y \u003d 2x, ad es. il rapporto tra il numero dei colli e la massa totale di farina acquistata è direttamente proporzionale al coefficiente k=2.

Richiama alcune proprietà della proporzionalità diretta, che vengono studiate nel corso scolastico di matematica.

1. Il dominio della funzione y \u003d k x e il dominio dei suoi valori è l'insieme dei numeri reali.

2. Il grafico della proporzionalità diretta è una retta passante per l'origine. Pertanto, per costruire un grafico di proporzionalità diretta, è sufficiente trovare un solo punto che gli appartiene e non coincide con l'origine, quindi tracciare una retta passante per questo punto e l'origine.

Ad esempio, per tracciare la funzione y = 2x, è sufficiente avere un punto con coordinate (1, 2), quindi tracciare una retta attraverso di esso e l'origine (Fig. 7).

3. Per k > 0, la funzione y = kx aumenta sull'intero dominio di definizione; a k< 0 - убывает на всей области определения.

4. Se la funzione f è una proporzionalità diretta e (x 1, y 1), (x 2, y 2) - coppie di valori corrispondenti delle variabili xey, e x 2 ≠ 0 allora.

In effetti, se la funzione f è una proporzionalità diretta, può essere data dalla formula y \u003d kx, quindi y 1 \u003d kx 1, y 2 \u003d kx 2. Poiché in x 2 ≠0 e k≠0, allora y 2 ≠0. Ecco perchè e significa.

Se i valori delle variabili xey sono numeri reali positivi, la proprietà dimostrata della proporzionalità diretta può essere formulata come segue: con un aumento (diminuzione) del valore della variabile x più volte, il valore corrispondente della variabile y aumenta (diminuisce) dello stesso importo.

Questa proprietà è inerente solo alla proporzionalità diretta e può essere utilizzata per risolvere problemi di parole in cui vengono considerate quantità direttamente proporzionali.

Compito 1. In 8 ore, il tornitore ha realizzato 16 parti. Quante ore impiegherà un tornitore per realizzare 48 pezzi se lavora con la stessa produttività?

Soluzione. Il problema considera le quantità: il tempo di lavoro del tornitore, il numero di pezzi da lui prodotti e la produttività (cioè il numero di pezzi prodotti dal tornitore in 1 ora), quest'ultimo valore costante e gli altri due valori diversi. Inoltre, il numero di pezzi realizzati e il tempo di lavoro sono direttamente proporzionali, poiché il loro rapporto è uguale a un certo numero diverso da zero, ovvero il numero di pezzi realizzati da un tornitore in 1 ora. delle parti realizzate è indicato dalla lettera y, il tempo di lavoro è x e la produttività - k, quindi otteniamo che = k o y = kx, cioè il modello matematico della situazione presentata nel problema è la proporzionalità diretta.

Il problema può essere risolto in due modi aritmetici:

1 via: 2 vie:

1) 16:8 = 2 (bambini) 1) 48:16 = 3 (volte)

2) 48:2 = 24(h) 2) 8-3 = 24(h)

Risolvendo il problema nel primo modo, abbiamo prima trovato il coefficiente di proporzionalità k, è uguale a 2, quindi, sapendo che y \u003d 2x, abbiamo trovato il valore di x, a condizione che y \u003d 48.

Quando abbiamo risolto il problema nel secondo modo, abbiamo utilizzato la proprietà della proporzionalità diretta: quante volte aumenta il numero di parti realizzate da un tornitore, la quantità di tempo per la loro fabbricazione aumenta della stessa quantità.

Passiamo ora alla considerazione di una funzione chiamata proporzionalità inversa.

Se t è il tempo del movimento del pedone (in ore), v è la sua velocità (in km/h) e ha percorso 12 km, allora la relazione tra questi valori può essere espressa dalla formula v∙t = 20 oppure v = .

Poiché ogni valore di t (t ≠ 0) corrisponde ad un singolo valore della velocità v, possiamo dire che una funzione è data usando la formula v =. Si chiama proporzionalità inversa ed è definita come segue.

Definizione. La proporzionalità inversa è una funzione che può essere specificata utilizzando la formula y \u003d, dove k è un numero reale diverso da zero.

Il nome di questa funzione deriva dal fatto che y= ci sono variabili xey, che possono essere valori di quantità. E se il prodotto di due quantità è uguale a un numero diverso da zero, allora si dicono inversamente proporzionali. Nel nostro caso, xy = k(k ≠ 0). Questo numero k è chiamato coefficiente di proporzionalità.

Funzione y= è un modello matematico di molte situazioni reali considerate già nel corso iniziale di matematica. Uno di questi è descritto prima della definizione di proporzionalità inversa. Un altro esempio: se hai acquistato 12 kg di farina e li hai messi in l: vasetti da y kg ciascuno, la relazione tra queste quantità può essere rappresentata come x-y \u003d 12, ad es. è inversamente proporzionale al coefficiente k=12.

Ricordiamo alcune proprietà della proporzionalità inversa, note dal corso scolastico di matematica.

1. Ambito della funzione y= e il suo intervallo x è l'insieme dei numeri reali diversi da zero.

2. Il grafico della proporzionalità inversa è un'iperbole.

3. Per k > 0, i rami dell'iperbole si trovano nel 1° e 3° quadrante e la funzione y= decresce sull'intero dominio di x (Fig. 8).

Riso. 8 Fig.9

Quando k< 0 ветви гиперболы расположены во 2-й и 4-й четвертях и функция y= cresce sull'intero dominio di x (Fig. 9).

4. Se la funzione f è inversamente proporzionale e (x 1, y 1), (x 2, y 2) sono coppie di valori corrispondenti delle variabili x e y, allora.

Infatti, se la funzione f è inversamente proporzionale, allora può essere data dalla formula y= ,poi . Poiché x 1 ≠0, x 2 ≠0, x 3 ≠0, allora

Se i valori delle variabili xey sono numeri reali positivi, allora questa proprietà di proporzionalità inversa può essere formulata come segue: con un aumento (diminuzione) del valore della variabile x più volte, il valore corrispondente della variabile y diminuisce (aumenta) dello stesso importo.

Questa proprietà è inerente solo alla proporzionalità inversa e può essere utilizzata per risolvere problemi di parole in cui vengono considerate quantità inversamente proporzionali.

Compito 2. Un ciclista, muovendosi a una velocità di 10 km/h, ha percorso la distanza da A a B in 6 ore.

Soluzione. Il problema considera le seguenti grandezze: la velocità del ciclista, il tempo di percorrenza e la distanza da A a B, valore quest'ultimo costante, e le altre due a valori differenti. Inoltre la velocità ed il tempo di spostamento sono inversamente proporzionali, poiché il loro prodotto è uguale ad un certo numero, cioè la distanza percorsa. Se il tempo del movimento del ciclista è indicato dalla lettera y, la velocità è x e la distanza AB è k, allora otteniamo xy \u003d k o y \u003d, cioè il modello matematico della situazione presentata nel problema è la proporzionalità inversa.

Puoi risolvere il problema in due modi:

1 via: 2 vie:

1) 10-6 = 60 (km) 1) 20:10 = 2 (volte)

2) 60:20 = 3(4) 2) 6:2 = 3(h)

Risolvendo il problema nel primo modo, abbiamo prima trovato il coefficiente di proporzionalità k, è uguale a 60, quindi, sapendo che y \u003d, abbiamo trovato il valore di y, a condizione che x \u003d 20.

Quando abbiamo risolto il problema nel secondo modo, abbiamo utilizzato la proprietà della proporzionalità inversa: quante volte aumenta la velocità di movimento, il tempo per percorrere la stessa distanza diminuisce della stessa quantità.

Si noti che quando si risolvono problemi specifici con quantità inversamente proporzionali o direttamente proporzionali, vengono imposte alcune restrizioni su xey, in particolare possono essere considerate non sull'intero insieme di numeri reali, ma sui suoi sottoinsiemi.

Problema 3. Lena ha comprato x matite e Katya ne ha comprate 2 volte di più. Indica il numero di matite che Katya ha acquistato come y, esprimi y in termini di x e costruisci un grafico della corrispondenza stabilita, a condizione che x ≤ 5. Questa corrispondenza è una funzione? Qual è il suo dominio di definizione e gamma di valori?

Soluzione. Katya ti ha comprato = 2 matite. Quando si traccia la funzione y=2x, si deve tenere conto che la variabile x indica il numero di matite e x≤5, il che significa che può assumere solo i valori 0, 1, 2, 3, 4, 5. Questo sarà il dominio di questa funzione. Per ottenere l'intervallo di questa funzione, è necessario moltiplicare ogni valore x dal dominio di definizione per 2, cioè sarà un set (0, 2, 4, 6, 8, 10). Pertanto, il grafico della funzione y \u003d 2x con il dominio di definizione (0, 1, 2, 3, 4, 5) sarà l'insieme di punti mostrato nella Figura 10. Tutti questi punti appartengono alla linea y \u003d 2x.

Nelle classi 7 e 8 viene studiato un grafico proporzionale diretto.

Come tracciare un grafico proporzionale diretto?

Si consideri un esempio di grafico di proporzionalità diretta.

Formula del grafico proporzionale diretto

Un grafico proporzionale diretto rappresenta una funzione.

In generale, la proporzionalità diretta ha la formula

La pendenza del grafico di proporzionalità diretta rispetto all'asse x dipende dalla grandezza e dal segno del coefficiente di proporzionalità diretta.

Il grafico della proporzionalità diretta passa

Il grafico della proporzionalità diretta passa per l'origine.

Il grafico della proporzionalità diretta è una linea retta. La retta è data da due punti.

Pertanto, quando si costruisce un grafico di proporzionalità diretta, è sufficiente determinare la posizione di due punti.

Ma ne conosciamo sempre uno: questa è l'origine delle coordinate.

Resta da trovare il secondo. Diamo un'occhiata a un esempio di costruzione di un grafico di proporzionalità diretta.

Traccia il grafico della proporzionalità diretta y = 2x

Un compito .

Traccia il grafico della proporzionalità diretta dato dalla formula

Soluzione.

Ci sono tutti i numeri.

Prendiamo qualsiasi numero dall'area di definizione della proporzionalità diretta, lascia che sia 1.

Trova il valore della funzione quando x è uguale a 1

Y=2x=
2 * 1 = 2

cioè per x = 1 otteniamo y = 2. Il punto con queste coordinate appartiene al grafico della funzione y = 2x.

Sappiamo che un grafico proporzionale diretto è una retta e una retta è data da due punti.

>>Matematica: proporzionalità diretta e suo grafico

Proporzionalità diretta e suo grafico

Tra le funzioni lineari y = kx + m, si evidenzia il caso in cui m = 0; in questo caso assume la forma y = kx e si chiama proporzionalità diretta. Questo nome è spiegato dal fatto che due quantità y e x sono dette direttamente proporzionali se il loro rapporto è uguale a uno specifico
un numero diverso da zero. Qui , questo numero k è chiamato coefficiente di proporzionalità.

Molte situazioni reali sono modellate utilizzando la proporzionalità diretta.

Ad esempio, il percorso se il tempo t a velocità costante, 20 km/h, sono legati dalla dipendenza s = 20t; questa è una proporzionalità diretta, con k = 20.

Un altro esempio:

il costo y e il numero x di pani al prezzo di 5 rubli. per pagnotta sono legati dalla dipendenza y = 5x; questa è una proporzionalità diretta, dove k = 5.

Prova. Facciamolo in due fasi.
1. y \u003d kx è un caso speciale di una funzione lineare e il grafico di una funzione lineare è una linea retta; indichiamolo con I.
2. La coppia x \u003d 0, y \u003d 0 soddisfa l'equazione y - kx, e quindi il punto (0; 0) appartiene al grafico dell'equazione y \u003d kx, ovvero la linea I.

Pertanto, la linea I passa per l'origine. Il teorema è stato dimostrato.

Bisogna essere in grado di passare non solo dal modello analitico y \u003d kx a quello geometrico (grafico di proporzionalità diretta), ma anche dal modello geometrico Modelli ad analitico. Si consideri, ad esempio, una retta sul piano delle coordinate xOy mostrato in Figura 50. È un grafico di proporzionalità diretta, basta trovare il valore del coefficiente k. Poiché y, basta prendere un punto qualsiasi della retta e trovare il rapporto tra l'ordinata di questo punto e la sua ascissa. La retta passa per il punto P (3; 6), e per questo punto abbiamo: Quindi, k = 2, e quindi la retta data funge da grafico di proporzionalità diretta y \u003d 2x.

Di conseguenza, il coefficiente k nella notazione della funzione lineare y \u003d kx + m è anche chiamato pendenza. Se k>0, la linea y \u003d kx + m forma un angolo acuto con la direzione positiva dell'asse x (Fig. 49, a) e se k< О, - тупой угол (рис. 49, б).

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AV Pogorelov, Geometria per i gradi 7-11, Libro di testo per le istituzioni educative

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Trikhleb Daniil, studente di 7a elementare

conoscenza della proporzionalità diretta e del coefficiente di proporzionalità diretta (introduzione del concetto di coefficiente angolare ");

costruire un grafico di proporzionalità diretta;

considerazione della disposizione reciproca di grafici di proporzionalità diretta e di una funzione lineare con la stessa pendenza.

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Didascalie delle diapositive:

Proporzionalità diretta e suo grafico

Qual è l'argomento e il valore di una funzione? Quale variabile si dice indipendente, dipendente? Che cos'è una funzione? REVISIONE Qual è lo scopo di una funzione?

Modi per impostare una funzione. Analitico (usando una formula) Grafico (usando un grafico) Tabulare (usando una tabella)

Il grafico di una funzione è l'insieme di tutti i punti del piano delle coordinate, le cui ascisse sono uguali ai valori dell'argomento e le ordinate sono uguali ai valori corrispondenti della funzione. FUNZIONE PROGRAMMA

1) 2) 3) 4) 5) 6) 7) 8) 9)

COMPLETA L'ATTIVITÀ Traccia la funzione y = 2 x +1, dove 0 ≤ x ≤ 4 . Crea un tavolo. Sul grafico, trova il valore della funzione in x \u003d 2,5. A quale valore dell'argomento è il valore della funzione uguale a 8?

Definizione La proporzionalità diretta è una funzione che può essere specificata da una formula della forma y \u003d k x, dove x è una variabile indipendente, k è un numero diverso da zero. (k- coefficiente di proporzionalità diretta) Dipendenza proporzionale diretta

8 Grafico della proporzionalità diretta - una retta passante per l'origine (punto O(0,0)) I e III quarti di coordinate. Forchetta

Grafici delle funzioni di proporzionalità diretta y x k>0 k>0 k

Compito Determina quale dei grafici mostra la funzione di proporzionalità diretta.

Compito Determinare il grafico di quale funzione è mostrata nella figura. Scegli una formula tra le tre proposte.

lavoro orale. Può il grafico della funzione data dalla formula y \u003d k x, dove k

Determina quale dei punti A(6,-2), B(-2,-10),C(1,-1),E(0,0) appartiene al grafico di proporzionalità diretta dato dalla formula y = 5x 1) A( 6;-2) -2 = 5  6 - 2 = 30 - errato. Il punto A non appartiene al grafico della funzione y=5x. 2) B(-2;-10) -10 = 5  (-2) -10 = -10 è corretto. Il punto B appartiene al grafico della funzione y=5x. 3) C(1;-1) -1 = 5  1 -1 = 5 - errato Il punto C non appartiene al grafico della funzione y=5x. 4) E (0; 0) 0 = 5  0 0 = 0 - vero. Il punto E appartiene al grafico della funzione y=5x

TEST 1 opzione 2 opzione numero 1. Quali delle funzioni date dalla formula sono direttamente proporzionali? A. y = 5x B. y = x 2 /8 C. y = 7x(x-1) D . y = x+1 A. y = 3x 2 +5 B. y = 8/x C. y = 7(x + 9) D. y = 10x

n. 2. Annota i numeri delle righe y = kx , dove k > 0 1 opzione k

Numero 3. Determina quale dei punti appartiene a un grafico t di proporzionalità diretta dato dalla formula Y \u003d -1 / 3 X A (6 -2), B (-2 -10) 1 opzione C (1, -1), E (0,0 ) Opzione 2

y =5x y =10x III A VI e IV E 1 2 3 1 2 3 No. Risposta corretta Risposta corretta No.

Completa l'attività: mostra schematicamente come si trova il grafico della funzione data dalla formula: y \u003d 1,7 x y \u003d -3,1 x y \u003d 0,9 x y \u003d -2,3 x

ASSEGNAZIONE Dai grafici seguenti, selezionare solo grafici proporzionali diretti.

1) 2) 3) 4) 5) 6) 7) 8) 9)

Funzioni y \u003d 2x + 3 2. y \u003d 6 / x 3. y \u003d 2x 4. y \u003d - 1,5x 5. y \u003d - 5 / x 6. y \u003d 5x 7. y \u003d 2x - 5 8. y \u003d - 0,3x 9. y \u003d 3 / x 10. y \u003d - x / 3 + 1 Seleziona le funzioni del modulo y \u003d k x (proporzionalità diretta) e scrivile

Funzioni di proporzionalità diretta Y \u003d 2x Y \u003d -1,5x Y \u003d 5x Y \u003d -0,3x y x

y Funzioni lineari che non sono funzioni di proporzionalità diretta 1) y \u003d 2x + 3 2) y \u003d 2x - 5 x -6 -4 -2 0 2 4 6 6 3 -3 -6 y \u003d 2x + 3 y \ u003d 2x - 5

Compiti a casa: P. 15 P. 65-67, N. 307; n. 308.

Ripetiamolo ancora. Cosa hai imparato di nuovo? Cosa hai imparato? Cosa hai trovato particolarmente difficile?

La lezione mi è piaciuta e l'argomento è capito: mi è piaciuta la lezione, ma non è ancora chiaro: la lezione non mi è piaciuta e l'argomento non è chiaro.