Analizziamo come costruire una sezione di una piramide, usando esempi specifici. Poiché non ci sono piani paralleli nella piramide, la costruzione della linea di intersezione (traccia) del piano secante con il piano della faccia comporta il più delle volte il tracciamento di una linea retta attraverso due punti che giacciono nel piano di questa faccia.
Nei compiti più semplici, è necessario costruire una sezione della piramide da un piano passante per i punti dati già giacenti su una faccia.
Esempio.
Costruisci la sezione del piano (MNP)
Triangolo MNP - Sezione Piramide
I punti M e N giacciono sullo stesso piano ABS, quindi possiamo tracciare una linea attraverso di essi. La traccia di questa linea è il segmento MN. È visibile, quindi colleghiamo M e N con una linea continua.
I punti M e P giacciono sullo stesso piano ACS, quindi tracciamo una linea retta attraverso di essi. La traccia è il segmento MP. Non lo vediamo, quindi disegniamo il segmento MP con un tratto. Costruiamo la traccia PN in modo simile.
Il triangolo MNP è la sezione richiesta.
Se il punto attraverso il quale è necessario disegnare una sezione non si trova su un bordo, ma su una faccia, allora non sarà la fine del segmento di traccia.
Esempio. Costruire una sezione della piramide di un piano passante per i punti B, M e N, dove i punti M e N appartengono, rispettivamente, alle facce ABS e BCS.
Qui i punti B e M giacciono sulla stessa faccia dell'ABS, quindi possiamo tracciare una linea attraverso di essi.
Allo stesso modo tracciamo una retta passante per i punti B e P. Abbiamo ottenuto, rispettivamente, le tracce di BK e BL.
I punti K e L giacciono sulla stessa faccia di ACS, quindi possiamo tracciare una linea attraverso di essi. La sua traccia è il segmento KL.
Il triangolo BKL è la sezione richiesta.
Tuttavia, non è sempre possibile tracciare una linea retta attraverso i dati nella condizione puntuale. In questo caso è necessario trovare un punto che giace sulla linea di intersezione dei piani contenenti le facce.
Esempio. Costruisci una sezione della piramide secondo un piano passante per i punti M, N, P.
I punti M e N giacciono sullo stesso piano ABS, quindi è possibile tracciare una linea retta attraverso di essi. Otteniamo la traccia MN. Allo stesso modo - NP. Entrambe le tracce sono visibili, quindi le colleghiamo con una linea continua.
I punti M e P giacciono su piani diversi. Pertanto, non possiamo collegarli direttamente.
Continuiamo la linea NP.
Si trova nel piano della faccia BCS. NP interseca solo con linee che giacciono sullo stesso piano. Abbiamo tre di queste linee: BS, CS e BC. Ci sono già punti di intersezione con le linee BS e CS - questi sono solo N e P. Quindi, stiamo cercando l'intersezione di NP con la linea BC.
Il punto di intersezione (chiamiamolo H) si ottiene proseguendo le linee NP e BC fino all'intersezione.
Questo punto H appartiene sia al piano (BCS), poiché giace sulla retta NP, sia al piano (ABC), poiché giace sulla retta BC.
Pertanto, abbiamo ricevuto un punto in più del piano secante che giace nel piano (ABC).
Per H e un punto M giacente sullo stesso piano, possiamo tracciare una retta.
Otteniamo la traccia MT.
T è il punto di intersezione delle linee MH e AC.
Poiché T appartiene alla linea AC, possiamo tracciare una linea attraverso di essa e il punto P, poiché entrambi giacciono sullo stesso piano (ACS).
Il quad MNPT è la sezione richiesta della piramide dal piano passante per i punti dati M,N,P.
Abbiamo lavorato con la retta NP estendendola fino a trovare il punto di intersezione del piano di taglio con il piano (ABC). Se lavoriamo con la retta MN, arriviamo allo stesso risultato.
Sosteniamo come segue: la retta MN giace nel piano (ABS), quindi può intersecare solo con rette giacenti sullo stesso piano. Abbiamo tre di queste linee: AB, BS e AS. Ma con le linee AB e BS ci sono già punti di intersezione: M e N.
Quindi, estendendo MN, cerchiamo il punto della sua intersezione con la retta AS. Chiamiamo questo punto R.
Il punto R giace sulla retta AS, quindi giace anche nel piano (ACS) a cui appartiene la retta AS.
Poiché il punto P giace nel piano (ACS), possiamo tracciare una linea attraverso R e P. Otteniamo la traccia di PT.
Il punto T giace nel piano (ABC), quindi possiamo tracciare una linea attraverso di esso e il punto M.
Pertanto, abbiamo ottenuto la stessa sezione trasversale MNPT.
Consideriamo un altro esempio di questo tipo.
Costruisci una sezione della piramide secondo un piano passante per i punti M, N, P.
Traccia una retta passante per i punti M e N che giacciono sullo stesso piano (BCS). Otteniamo la traccia MN (visibile).
Disegna una retta passante per i punti N e P che giacciono sullo stesso piano (ACS). Otteniamo la traccia PN (invisibile).
Non possiamo tracciare una retta passante per i punti M e P.
1) La linea MN giace nel piano (BCS), dove ci sono altre tre linee: BC, SC e SB. Esistono già punti di intersezione con le linee SB e SC: M e N. Cerchiamo quindi il punto di intersezione di MN con BC. Continuando queste linee, otteniamo il punto L.
Il punto L appartiene alla retta BC, il che significa che giace nel piano (ABC). Pertanto, attraverso L e P, che giace anche nel piano (ABC), possiamo tracciare una retta. La sua impronta è PF.
F giace sulla retta AB, e quindi nel piano (ABS). Pertanto, attraverso F e il punto M, che giace anche nel piano (ABS), tracciamo una retta. La sua traccia è FM. Il quadrilatero MNPF è la sezione richiesta.
2) Un altro modo è continuare dritto PN. Giace nel piano (ACS) e interseca le linee AC e CS che giacciono su questo piano nei punti P e N.
Quindi, stiamo cercando il punto di intersezione di PN con la terza retta di questo piano - con AS. Proseguiamo AS e PN, all'intersezione otteniamo il punto E. Poiché il punto E giace sulla retta AS, che appartiene al piano (ABS), quindi attraverso E e il punto M, che giace anche in (ABS), si può tracciare una linea. La sua traccia è FM. I punti P e F giacciono sul piano dell'acqua (ABC), tracciamo una linea retta attraverso di essi e otteniamo la traccia PF (invisibile).
Definizione. Faccia laterale- questo è un triangolo in cui un angolo si trova in cima alla piramide e il lato opposto coincide con il lato della base (poligono).
Definizione. Costole laterali sono i lati comuni delle facce laterali. Una piramide ha tanti spigoli quanti sono gli angoli di un poligono.
Definizione. altezza della piramideè una perpendicolare caduta dalla sommità alla base della piramide.
Definizione. Apotema- questa è la perpendicolare della faccia laterale della piramide, abbassata dalla sommità della piramide al lato della base.
Definizione. Sezione diagonale- questa è una sezione della piramide di un piano passante per la sommità della piramide e la diagonale della base.
Definizione. Piramide corretta- Questa è una piramide in cui la base è un poligono regolare e l'altezza scende al centro della base.
Volume e superficie della piramide
Formula. volume piramidale attraverso l'area di base e l'altezza:
proprietà piramidali
Se tutti i bordi laterali sono uguali, allora un cerchio può essere circoscritto attorno alla base della piramide e il centro della base coincide con il centro del cerchio. Inoltre, la perpendicolare caduta dall'alto passa per il centro della base (cerchio).
Se tutte le nervature laterali sono uguali, sono inclinate rispetto al piano di base con gli stessi angoli.
Le nervature laterali sono uguali quando formano angoli uguali con il piano di base, o se è possibile descrivere un cerchio attorno alla base della piramide.
Se le facce laterali sono inclinate di un angolo rispetto al piano di base, è possibile inscrivere un cerchio alla base della piramide e la sommità della piramide viene proiettata nel suo centro.
Se le facce laterali sono inclinate di un angolo rispetto al piano di base, gli apotemi delle facce laterali sono uguali.
Proprietà di una piramide regolare
1. La sommità della piramide è equidistante da tutti gli angoli della base.
2. Tutti i bordi laterali sono uguali.
3. Tutte le nervature laterali sono inclinate con gli stessi angoli rispetto alla base.
4. Gli apotemi di tutte le facce laterali sono uguali.
5. Le aree di tutte le facce laterali sono uguali.
6. Tutte le facce hanno gli stessi angoli diedri (piatti).
7. Una sfera può essere descritta intorno alla piramide. Il centro della sfera descritta sarà il punto di intersezione delle perpendicolari che passano attraverso il centro dei bordi.
8. Una sfera può essere inscritta in una piramide. Il centro della sfera inscritta sarà il punto di intersezione delle bisettrici emanate dall'angolo tra il bordo e la base.
9. Se il centro della sfera inscritta coincide con il centro della sfera circoscritta, allora la somma degli angoli piatti all'apice è uguale a π o viceversa, un angolo è uguale a π / n, dove n è il numero di angoli alla base della piramide.
Il collegamento della piramide con la sfera
Una sfera può essere descritta attorno alla piramide quando alla base della piramide giace un poliedro attorno al quale può essere descritto un cerchio (condizione necessaria e sufficiente). Il centro della sfera sarà il punto di intersezione dei piani che passano perpendicolarmente attraverso i punti medi dei bordi laterali della piramide.
Una sfera può sempre essere descritta attorno a qualsiasi piramide triangolare o regolare.
Una sfera può essere inscritta in una piramide se i piani della bisettrice degli angoli diedri interni della piramide si intersecano in un punto (condizione necessaria e sufficiente). Questo punto sarà il centro della sfera.
Il collegamento della piramide con il cono
Un cono si dice inscritto in una piramide se i suoi vertici coincidono e la base del cono è inscritta nella base della piramide.
Un cono può essere inscritto in una piramide se gli apotemi della piramide sono uguali.
Un cono si dice circoscritto attorno a una piramide se i suoi vertici coincidono e la base del cono è circoscritta attorno alla base della piramide.
Un cono può essere descritto attorno a una piramide se tutti i bordi laterali della piramide sono uguali tra loro.
Collegamento di una piramide con un cilindro
Si dice che una piramide sia inscritta in un cilindro se la sommità della piramide giace su una base del cilindro e la base della piramide è inscritta in un'altra base del cilindro.
Un cilindro può essere circoscritto intorno a una piramide se un cerchio può essere circoscritto intorno alla base della piramide.
Un tetraedro ha quattro facce e quattro vertici e sei spigoli, dove due spigoli qualsiasi non hanno vertici comuni ma non si toccano.
Ogni vertice è costituito da tre facce e bordi che si formano angolo del triangolo.
Si chiama il segmento che collega il vertice del tetraedro con il centro della faccia opposta mediana del tetraedro(GM).
Bimedianoè chiamato segmento che collega i punti medi degli spigoli opposti che non si toccano (KL).
Tutti i bimediani e le mediane di un tetraedro si intersecano in un punto (S). In questo caso le bimedie sono divise a metà e le mediane in un rapporto di 3:1 partendo dall'alto.
Definizione. Piramide ad angolo acutoè una piramide in cui l'apotema è più della metà della lunghezza del lato della base.
Definizione. piramide ottusaè una piramide in cui l'apotema è meno della metà della lunghezza del lato della base.
Definizione. tetraedro regolare Un tetraedro le cui quattro facce sono triangoli equilateri. È uno dei cinque poligoni regolari. In un tetraedro regolare, tutti gli angoli diedro (tra le facce) e gli angoli del triangolo (in corrispondenza di un vertice) sono uguali.
Definizione. tetraedro rettangolare viene chiamato un tetraedro che ha un angolo retto tra tre spigoli al vertice (i bordi sono perpendicolari). Si formano tre facce triangolo rettangolo rettangolare e le facce sono triangoli rettangoli e la base è un triangolo arbitrario. L'apotema di qualsiasi faccia è uguale alla metà del lato della base su cui cade l'apotema.
Definizione. tetraedro isoedrico Si chiama tetraedro in cui le facce laterali sono uguali tra loro e la base è un triangolo regolare. Le facce di un tale tetraedro sono triangoli isoscele.
Definizione. tetraedro ortocentrico si chiama tetraedro in cui tutte le altezze (perpendicolari) che si abbassano dall'alto alla faccia opposta si intersecano in un punto.
Definizione. piramide stellare Si chiama poliedro la cui base è una stella.
In Figura 189 è mostrata una piramide esagonale regolare intersecata dal piano aggettante frontale a ". Come negli esempi precedenti, la proiezione frontale della sezione coincide con la traccia frontale del piano. Le proiezioni orizzontali e di profilo della figura in sezione sono costruito in punti che sono i punti di intersezione del piano a" con gli spigoli della piramide. La vista effettiva della figura di sezione in questo esempio si trova modificando i piani di proiezione. Figura 189 Uno sviluppo della superficie laterale di una piramide tronca con una figura in sezione e una figura di base è mostrato in Figura 190. In primo luogo, viene costruito uno sviluppo di una piramide non tronca, le cui facce, aventi tutte la forma di un triangolo, sono lo stesso. Sul piano è segnato un punto S0 (la sommità della piramide) e da esso, come da un pengra, si traccia un arco di cerchio di raggio R uguale alla lunghezza effettiva del bordo laterale della piramide. La lunghezza effettiva della nervatura può essere determinata dalla proiezione del profilo della piramide, ad esempio dai segmenti 6 L o S B, poiché queste nervature sono parallele al piano del profilo e sono rappresentate su di essa con una lunghezza reale. Successivamente, lungo un arco di cerchio da qualsiasi punto, ad esempio Afr, vengono posati sei segmenti identici, uguali alla lunghezza effettiva del lato dell'esagono, la base della piramide. La lunghezza effettiva del lato della base della piramide si ottiene su una proiezione orizzontale (segmento A "B"). I punti A^-E0 sono collegati da rette al vertice SQ. Quindi, dal vertice S0 su queste rette, vengono tracciate le lunghezze effettive dei segmenti delle nervature rispetto al piano di taglio. Sulla proiezione del profilo di una piramide tronca, ci sono lunghezze effettive di soli due segmenti - S "" 5 "" e S "2". Le lunghezze effettive dei segmenti rimanenti sono determinate ruotandole attorno ad un asse perpendicolare all'orizzontale piano e passante per il vertice S. I punti risultanti / 0 , 30, ecc. sono collegati da linee rette e le figure della base e della sezione sono fissate usando il metodo della triangolazione. Le linee di piega sullo sviluppo sono disegnate con un trattino- linea tratteggiata con due punti.La costruzione di una proiezione isometrica di un tronco piramidale inizia con la costruzione di una proiezione isometrica della base della piramide secondo le dimensioni ricavate dalla proiezione orizzontale del disegno complesso.Quindi, sul piano della base, ma alle coordinate dei punti 1-6", si costruisce una proiezione orizzontale della sezione (linee sottili sulla base della piramide, Figura 191). Le linee verticali vengono tracciate dal vertice dell'esagono risultante, su cui vengono tracciate le coordinate prese dalla proiezione frontale o del profilo del prisma, ad esempio i segmenti A, K2, Ku, ecc. Colleghiamo i punti ottenuti 1-6, otteniamo una figura in sezione. Collegando i punti 1-6 con i vertici dell'esagono, la base della piramide, otteniamo una proiezione isometrica di una piramide tronca. I bordi invisibili sono mostrati con linee tratteggiate.
Una piramide è un poliedro, che consiste in un poligono piatto - la base della piramide, un punto che non giace sul piano della base - la sommità della piramide e tutti i segmenti che collegano la sommità della piramide con i punti di la base (Fig. 18).
I segmenti che collegano la sommità della piramide con le sommità della base sono detti bordi laterali.
La superficie della piramide è costituita da una base e da facce laterali. Ogni faccia laterale è un triangolo. Uno dei suoi vertici è la sommità della piramide e il lato opposto è il lato della base della piramide.
L'altezza della piramide è chiamata perpendicolare, abbassata dalla sommità della piramide al piano della base.
Una piramide si dice n-gonale se la sua base è un n-gon. Una piramide triangolare è anche chiamata tetraedro.
La piramide mostrata nella Figura 18 ha una base - un poligono A1A2 ... An, una sommità della piramide - S, bordi laterali - SA1, S A2, ..., S An, facce laterali - SA1A2, SA2A3, .. ..
In quanto segue, considereremo solo piramidi con un poligono convesso alla base. Tali piramidi sono poliedri convessi.
Costruzione di una piramide e sue sezioni piane
Secondo le regole della proiezione parallela, l'immagine della piramide è costruita come segue. In primo luogo, si costruiscono le fondamenta. Sarà un poligono piatto. Quindi viene segnata la sommità della piramide, che è collegata da nervature laterali alle sommità della base. La figura 18 mostra l'immagine di una piramide pentagonale.
Le sezioni della piramide secondo i piani che passano attraverso la sua sommità sono triangoli (Fig. 19). In particolare, le sezioni diagonali sono triangoli. Si tratta di sezioni di piani che passano attraverso due bordi laterali non adiacenti della piramide (Fig. 20).
La sezione di una piramide di un piano con una data traccia g sul piano della base è costruita allo stesso modo della sezione di un prisma.
Per costruire una sezione di una piramide da un piano, è sufficiente costruire le intersezioni delle sue facce laterali con il piano di taglio.
Se su una faccia non parallela alla traccia g è noto un punto A appartenente alla sezione, allora viene prima costruita l'intersezione della traccia g del piano di taglio con il piano di questa faccia - punto D nella Figura 21. Punto D è collegato al punto A da una retta. Quindi il segmento di questa linea appartenente alla faccia è l'intersezione di questa faccia con il piano di taglio. Se il punto A giace su una faccia parallela alla traccia g, allora il piano secante interseca questa faccia lungo un segmento parallelo alla retta g. Andando sulla faccia laterale adiacente, ne costruiscono l'intersezione con il piano di taglio, ecc. Di conseguenza, si ottiene la sezione richiesta della piramide.
Introduzione. . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1. Il concetto di poliedro. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
2. Piramide. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . quattro
proprietà piramidali. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
2.2. Tronco di piramide. . . . . . . . . .. . . . . . . . . . .. . . . . otto
2.3. Costruzione di una piramide e sue sezioni piane. . . .9
3. Prisma. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . undici
3.1. Immagine di un prisma e della sua costruzione
sezioni. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
4. Parallelepipedo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . quindici
4.1 Alcune proprietà di un parallelepipedo. . . . . . . 16
5. Il teorema dei poliedri di Eulero. . . . . . . . . . . . . . . diciotto
6. Somiglianza dei poliedri. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
7. Poliedri regolari. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
7.1. Tabella riassuntiva dei poliedri. . . . . . . . . . . 22
Conclusione. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
Bibliografia. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
introduzione
Blaise Pascal una volta disse: "L'argomento della matematica è così serio che è bene non perdere l'occasione per renderlo un po' più divertente". Da questa posizione, proviamo a considerare la stereometria, che è una delle sezioni della geometria. La stereometria studia le proprietà delle figure nello spazio. Ad esempio, le gocce di liquido in assenza di gravità assumono la forma di un corpo geometrico chiamato palla. La stessa forma ha una piccola pallina da tennis e oggetti più grandi: il nostro pianeta e molti altri oggetti spaziali. Un barattolo di latta è un cilindro.
Stereometria intorno a noi: nella vita di tutti i giorni e nelle attività professionali. Noi, ovviamente, non possiamo “vedere” la scienza, ma possiamo vedere quotidianamente i corpi tridimensionali nello spazio che essa studia. Non è interessante guardarsi allo specchio da tutti i lati? Ma la figura umana è anche un oggetto tridimensionale.
Per risolvere molti problemi geometrici associati a un tetraedro e un parallelepipedo, è necessario poter costruire le loro sezioni nella figura su piani diversi. Chiamiamo un piano di taglio qualsiasi piano, su entrambi i lati del quale ci sono punti di questa figura. Il piano di taglio interseca le facce della figura lungo segmenti. Un poligono i cui lati sono questi segmenti è chiamato sezione della figura. Poiché un tetraedro ha quattro facce, solo triangoli e quadrilateri possono essere le sue sezioni. Il parallelepipedo ha sei facce. Le sue sezioni possono essere triangoli, quadrangoli, pentagoni ed esagoni.
1. Il concetto di poliedro
Poliedro- un corpo spaziale geometrico delimitato su tutti i lati da un numero finito di poligoni piatti. Sfaccettature i poliedri sono chiamati poligoni che delimitano il poliedro (facce - ABCD, MEFN, ABEM, BEFC, CDNF, ADMN). costole i poliedri sono chiamati i lati comuni delle facce adiacenti (bordi - AB, BC, CD, AD, BE, CF, AM, DN, ME, EF, FN, MN). picchi i poliedri sono chiamati vertici di angoli poliedrici formati dalle sue facce convergenti in un punto . Diagonale Un poliedro è un segmento di linea che collega due vertici che non giacciono sulla stessa faccia (BN). piano diagonale il poliedro è chiamato piano passante per tre vertici del poliedro che non giacciono sulla stessa faccia (piano BEN).
Si chiama il poliedro convesso , se si trova su un lato del piano di ciascun poligono della sua superficie. Le facce di un poliedro convesso possono essere solo poligoni convessi (un esempio di poliedro convesso è un cubo, Fig. 1).
Se le facce di un poligono si intersecano, viene chiamato un tale poliedro non convesso (Fig. 2).
Una sezione di un poliedro da un piano è la parte di questo piano delimitata dalla linea di intersezione della superficie del poliedro con questo piano.
.
2. Piramide
Piramide viene chiamato un poliedro, una faccia del quale è un poligono arbitrario, e le facce rimanenti sono triangoli aventi un vertice comune.
La base della piramide è chiamata poliedro ottenuto in un piano di taglio (ABCDE). Le facce laterali della piramide sono chiamate triangoli ASB, BSC, ... con un vertice comune S, che è chiamato la sommità della piramide. Gli spigoli laterali di una piramide sono gli spigoli lungo i quali si intersecano le facce laterali. L'altezza di una piramide è la perpendicolare tracciata dai vertici della piramide al piano della sua base. L'apotema di una piramide è l'altezza della faccia laterale abbassata dalla sommità della piramide.
La piramide si chiama corretta , se la sua base è un poligono regolare e la sommità della piramide è proiettata al centro di questo poligono.
Dimostriamolo tutti i bordi laterali di una piramide regolare sono uguali e le facce laterali sono triangoli isoscele uguali
Si consideri una piramide regolare PA 1 A 2 …A n . Per prima cosa dimostriamo che tutti gli spigoli laterali di questa piramide sono uguali. Ogni spigolo laterale è l'ipotenusa di un triangolo rettangolo, una gamba del quale è l'altezza PO della piramide, e l'altro è il raggio del cerchio circoscritto vicino alla base (ad esempio, lo spigolo laterale PA 1 è l'ipotenusa del triangolo OPA 1, in cui OP=h, OA 1 =R). Per il teorema di Pitagora, ogni lato è uguale a √(h 2 +R 2), quindi PA 1 =PA 2 =…= PA n .
Abbiamo dimostrato che gli spigoli laterali di una piramide regolare PA 1 A 2 …A n sono uguali tra loro, quindi le facce laterali sono triangoli isoscele. Anche le basi di questi triangoli sono uguali tra loro, poiché A 1 A 2 …A n è un poligono regolare. Pertanto, le facce laterali sono uguali secondo il terzo criterio di uguaglianza dei triangoli, che doveva essere dimostrato.
Si chiama la sezione della piramide con un piano parallelo al piano della base sezione piramidale .
proprietà piramidali
Proprietà delle sezioni trasversali della piramide.
1. Se attraversi la piramide con un piano parallelo alla base, allora:
· 
i bordi laterali e l'altezza della piramide saranno divisi da questo piano in segmenti proporzionali;
nella sezione si ottiene un poligono simile al poligono che giace alla base;
Le aree della sezione trasversale e della base saranno correlate tra loro come i quadrati delle loro distanze dalla sommità della piramide:
S 1:S 2 =X 1 2:X 2 2
2. Se due piramidi di uguale altezza sono intersecate da piani paralleli alle basi, alla stessa distanza dalla sommità, le aree delle sezioni saranno proporzionali alle aree delle basi.
L'area della superficie laterale (o semplicemente la superficie laterale) di una piramide è la somma delle aree delle sue facce laterali.
Superficie totale(o semplicemente la superficie totale) di una piramide è la somma dell'area della sua superficie laterale e dell'area della sua base.
Proprietà dell'altezza della piramide
1. Se la faccia laterale della piramide è perpendicolare al piano della base, l'altezza della piramide passa nel piano di questa faccia.
2. Se due bordi laterali adiacenti della piramide sono uguali, allora la base dell'altezza della piramide è su una perpendicolare tracciata attraverso il centro di quel lato della base, dalle cui estremità emanano questi bordi laterali.
3. Se due facce laterali adiacenti della piramide sono ugualmente inclinate rispetto al piano della base, allora la base dell'altezza della piramide giace sulla bisettrice dell'angolo formato da quei lati della base attraverso i quali passano queste facce laterali.
4. Se il bordo laterale della piramide forma angoli uguali con due lati della base adiacenti ad esso, la base dell'altezza della piramide giace sulla bisettrice dell'angolo formato da questi lati della base.
5. Se il bordo laterale della piramide è perpendicolare al lato della base che si interseca con esso, la base dell'altezza della piramide si trova sulla perpendicolare restaurata (nel piano della base della piramide) a questo lato da il punto della sua intersezione con questo bordo laterale.
NOTA: se la piramide ha due di queste caratteristiche, allora è possibile indicare in modo univoco il punto che è la base dell'altezza della piramide.
La figura mostra un frammento di una piramide regolare di n-carbone SABCD…, dove SH è l'altezza della piramide; SK è un apotema. Introduciamo la seguente notazione: angolo alfa ( ά
) è l'angolo tra il bordo laterale della piramide e il piano della base; beta (β) è l'angolo tra la faccia laterale e il piano di base; l'angolo y (γ) è l'angolo tra nervature laterali adiacenti; angolo phi (φ) - l'angolo tra facce laterali adiacenti.
Se uno di questi angoli è noto in una piramide regolare, si possono trovare gli altri tre. Nella tabella sono mostrate sei relazioni:
Volume della piramide si trova secondo la formula:
V=1/3S principale H,
dove Sbase è l'area di base, H è l'altezza.
Superficie laterale la piramide corretta è espressa come segue:
Lato S \u003d 1 / 2Ph,
dove P è il perimetro della base, h è l'altezza della faccia laterale
2.2. Tronco di piramide.
tronco di piramide si chiama la parte della piramide, racchiusa tra la sua base ed un piano di taglio parallelo alla base, ad esempio la piramide ABCDA 1 B 1 C 1 D 1.
Le basi di una piramide tronca sono chiamate facce parallele ABCD e A 1 B 1 C 1 D 1 (ABCD è la base inferiore e A 1 B 1 C 1 D 1 è la base superiore).
Altezza tronco di piramide - un segmento di linea retta perpendicolare alle basi e racchiuso tra i loro piani.
Tronco di piramide corretta , se le sue basi sono poligoni regolari e la linea che collega i centri delle basi è perpendicolare al piano delle basi.
L'apotema di una piramide tronca è l'altezza della sua faccia laterale.
Superficie laterale il tronco piramidale è la somma delle aree delle sue facce laterali. La superficie totale di un tronco piramidale è uguale alla somma della superficie laterale e delle aree delle basi.
Da una piramide si ricava un tronco di piramide tagliandone la parte superiore con un piano parallelo alla base. Le basi del tronco di piramide sono poligoni simili, le facce laterali sono trapezoidali.
Volume la piramide tronca si trova con la formula:
V=1/3 H(S+ √ SS1+S1),
dove S e S1 sono le aree delle basi e H è l'altezza.
Superficie laterale una piramide tronca regolare è espressa come segue:
Lato S \u003d 1/2 (P + P 1) h,
dove P e P1 sono i perimetri delle basi, h è l'altezza della faccia laterale (o l'apotema di un tronco di piramide regolare).
2.3. Costruzione di una piramide e sue sezioni piane
Secondo le regole della proiezione parallela, l'immagine della piramide è costruita come segue. In primo luogo, si costruiscono le fondamenta. Sarà un poligono piatto. Quindi viene segnata la sommità della piramide, che è collegata da nervature laterali alle sommità della base.
Le sezioni della piramide da piani che passano attraverso la sua sommità sono triangoli (Fig. a). In particolare, anche le sezioni diagonali sono triangoli. Si tratta di sezioni di piani che passano attraverso due bordi laterali non adiacenti della piramide (Fig. b).
La sezione di una piramide di un piano con una data traccia g sul piano della base è costruita allo stesso modo della sezione di un prisma.
Per costruire una sezione di una piramide da un piano, è sufficiente costruire le intersezioni delle sue facce laterali con il piano di taglio.
Se un punto A appartenente alla sezione è noto su una faccia non parallela alla traccia g, allora viene prima costruita l'intersezione della traccia g del piano secante con il piano di questa faccia - punto D nella figura ( in). Il punto D è collegato al punto A da una retta. Quindi il segmento di questa linea appartenente alla faccia è l'intersezione di questa faccia con il piano di taglio. Se il punto A giace su una faccia parallela alla traccia g, allora il piano secante interseca questa faccia lungo un segmento parallelo alla retta g. Andando sulla faccia laterale adiacente, ne costruiscono l'intersezione con il piano di taglio, ecc. Di conseguenza, si ottiene la sezione richiesta della piramide.
