Qualsiasi forma quadratica che utilizza una trasformazione lineare non degenere può essere ridotta a forma canonica , definito dalla formula

dove forma F rango da N sconosciuto; i numeri, , sono considerati positivi, ma alcuni dei termini nella formula (VII.5) possono essere negativi.

In questa condizione, sostituendo , ; e , una trasformazione lineare non degenere riduce la forma quadratica a normale mente, cioè

Il numero totale di quadrati è uguale al rango della forma quadratica.

Molte sono le trasformazioni lineari che riducono la forma quadratica alla forma normale (VII.6), ma fino alla posizione dei segni tale riduzione è unica.

Per forme reali quadratiche, legge di inerzia . Il numero di quadrati positivi e negativi in ​​forma normale a cui una data forma quadratica a coefficienti reali è ridotta da una trasformazione lineare reale non dipende dalla scelta di questa trasformazione.

Numero di quadrati positivi (negativi) nella forma normale della forma F chiamato indice di inerzia positivo (negativo). (nella formula (VII.6) questo è K), viene chiamata la differenza tra indici di inerzia positivi e negativi firma forme F(nella formula (VII.6) è uguale a R-K).

Sia una matrice quadrata di dimensione N forma quadratica F. Minori situati lungo la diagonale principale di questa matrice, di ordine 1, 2, ..., N, l'ultimo di essi coincide con il determinante della matrice , , cioè

chiamato principale minori del modulo F.

Teorema VII.1. forma quadratica F da N delle incognite a coefficienti reali sarà costituito da termini positivi se e solo se tutti i minori principali sono positivi.

Esempio VII.3. forma quadratica

è definito positivo poiché tutti i minori principali della matrice sono positivi:

, , .

È possibile, come già notato, ridurre una forma quadratica a una forma canonica in molti modi, ma esiste solo una forma normale. Dimostriamolo con un esempio.

Esempio VII.4. Porta la forma quadratica alla forma canonica.

Soluzione. Definiamo una trasformazione lineare:

1) allora otteniamo .

Per un'altra trasformazione che abbiamo

2) allora otteniamo .

La forma normale di una forma quadratica, a cui corrispondono entrambe le forme canoniche, .

Esercizio. Verificare la validità delle formule ottenute sostituendo direttamente le trasformazioni 1) e 2) nella forma quadratica originale.

Del tutto naturale, sorge la domanda: "Come trovare la matrice di una trasformazione lineare (operatore)?"

Prima di passare all'esempio successivo, facciamo alcune precisazioni. Senza violare l'essenza dell'approccio generale, ci limitiamo all'equazione

dove il lato destro è una forma quadratica data nel sistema di coordinate cartesiane. D'altra parte, questa espressione definisce una linea di secondo ordine. È chiaro che se il lato destro dell'ultima uguaglianza è rappresentato dalla somma dei quadrati delle variabili

,

allora abbiamo la forma canonica della forma quadratica.

Entrambe le equazioni descriveranno la stessa linea di secondo ordine se nella forma H la scala originale è conservata. Per ottenere la forma canonica H di solito viene utilizzata un'equazione caratteristica. Lo svantaggio di questo approccio è che la relazione tra i sistemi di coordinate e è sconosciuta. In senso figurato, non conosciamo la posizione della linea l nel sistema di coordinate se è scritto in forma canonica H. Tale transizione può essere effettuata ruotando gli assi del sistema di coordinate di un angolo J(Fig. VII.1), cioè spostarsi dalle coordinate X, si A X 1 , si 1 per formule

Per la trasformazione inversa è necessario sostituire l'angolo J
SU - J.

Per scoprire la posizione della linea, dobbiamo trovare una trasformazione di coordinate che dia l'uguaglianza H alla mente H. Si noti che per preservare la scala, si dovrebbe passare a un sistema di coordinate ortonormali.

Esempio VII.5. Data una forma quadratica in un sistema di coordinate cartesiane

È necessario portarlo alla forma canonica, cioè annotare la sua forma nel sistema e trovare una trasformazione lineare. Ottieni la forma normale di una forma quadratica.

Soluzione. Componiamo una matrice simmetrica di trasformazione lineare (operatore) A

.

Costruiamo il polinomio caratteristico e troviamo gli autovalori e gli autovettori. Quindi eseguiremo in sequenza le attività dell'esempio. Abbiamo

L'equazione caratteristica è rappresentata dall'uguaglianza

.

Calcolato il determinante della matrice, otteniamo un polinomio le cui radici , sono autovalori. Scriviamo la forma canonica della forma (VII.7):

Troviamo una trasformazione lineare, cioè stabiliremo una connessione tra i sistemi e . Poiché le radici sono reali e distinte e non ci sono zeri, la trasformazione non è degenerata. Troviamo gli autovettori nella base (i vettori saranno rappresentati da colonne). Per fare ciò, risolviamo il sistema di equazioni

definito per ciascuno degli autovalori.

Per , da (VII.8) abbiamo l'equazione matriciale

.

Assumendo, con necessità, , otteniamo

a , abbiamo . Primo autovettore trovato , la sua lunghezza.

Quando abbiamo

O

Sommando la seconda equazione alla prima e notando che se l'equazione risultante viene risolta a sistema con la terza, allora si passerà necessariamente al primo autovettore. Resta da comporre un sistema di equazioni dalla somma delle prime due e della seconda equazione, quindi otteniamo

Assumendo , dopo semplificazioni otteniamo il sistema

Le matrici sono uno strumento utile per risolvere un'ampia varietà di problemi algebrici. Conoscere alcune semplici regole per operare con esse consente di portare le matrici in qualsiasi forma conveniente e necessaria al momento. Spesso è utile usare la forma canonica di una matrice.

Istruzione

Ricorda che la forma canonica di una matrice non richiede che l'intera diagonale principale sia 1. L'essenza della definizione è che gli unici elementi diversi da zero della matrice nella sua forma canonica sono uno. Se sono presenti, si trovano sulla diagonale principale. Allo stesso tempo, il loro numero può variare da zero al numero di righe nella matrice.

Non dimenticare che le trasformazioni elementari ne consentono qualsiasi matrice portare al canonico mente. La difficoltà maggiore è trovare intuitivamente la sequenza più semplice di catene di azioni e non commettere errori nei calcoli.

Impara le proprietà di base delle operazioni con righe e colonne in una matrice. Le trasformazioni elementari includono tre trasformazioni standard. Questa è la moltiplicazione della riga della matrice per qualsiasi numero diverso da zero, la somma delle righe (compresa l'addizione reciproca, moltiplicata per un numero) e la loro permutazione. Azioni come queste rendono possibile matrice equivalente a questo. Di conseguenza, è possibile eseguire tali operazioni sulle colonne senza perdita di equivalenza.

Cerca di non eseguire più trasformazioni elementari contemporaneamente: passa da un palcoscenico all'altro per non commettere un errore accidentale.

Trova il rango della matrice per determinare il numero di unità sulla diagonale principale: questo ti dirà quale sarà la forma finale della forma canonica desiderata e ti eviterà di dover eseguire trasformazioni se vuoi solo usarla per risolvere.

Utilizzare il metodo minore marginale per implementare la raccomandazione precedente. Calcola il k-esimo ordine minore, così come tutti i minori di grado (k + 1) che lo confinano. Se sono uguali a zero, il rango della matrice è K. Non dimenticare che il minore Мij è il determinante della matrice ottenuta eliminando la riga i e la colonna j da quella originale.

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Come risultato dell'applicazione dell'operazione elementare giusta, la matrice A(λ) viene moltiplicata a destra per la corrispondente matrice T.

Si noti che la matrice T" coincide con la matrice S", e le matrici T", T"" coincidono con le matrici S", S"", se gli indici i e j sono scambiati in quest'ultima. Le matrici di tipo S", S", S"" (o, che è lo stesso, di tipo T", T", T"") sono dette elementari.

Due λ-matrici A(λ) e B(λ) della stessa dimensione m x n sono dette equivalenti, A(λ) ~ B(λ), se è possibile passare dalla matrice A(λ) a B(λ) utilizzando una catena di un numero finito di trasformazioni elementari. Una relazione di equivalenza ha tre proprietà principali:

1) riflessività: ogni matrice è equivalente a se stessa А(λ) ~ B(λ);

2) simmetria: se A(λ) ~ B(λ), allora B(λ) ~ A(λ);

3) transitività: se A(λ) ~ B(λ), e B(λ) ~ C(λ), allora A(λ) ~ C(λ).

§2. Forma canonica della matrice λ

È stato mostrato sopra che la relazione di equivalenza è transitiva, simmetrica e riflessiva. Ciò implica che l'insieme di tutte le λ-matrici di date dimensioni m x n è diviso in classi non intersecanti di matrici equivalenti, cioè a classi tali che due matrici qualsiasi della stessa classe sono equivalenti, ma di classi diverse non sono equivalenti tra loro. Sorge la questione della forma canonica della matrice λ che caratterizza la data classe di matrici λ equivalenti.

La matrice λ della diagonale canonica di dimensioni m x n è una matrice λ la cui diagonale principale contiene i polinomi E1(λ), ​​​​E2(λ), ..., Ep(λ), dove p è il minore dei numeri m e n, e non uguale a zero tra questi polinomi hanno coefficienti direttivi uguali a uno, e ogni polinomio successivo è divisibile per quello precedente, tuttavia gli elementi al di fuori della diagonale principale sono zero.

TEOREMA 1. Qualsiasi matrice λ può essere ridotta a una forma diagonale canonica mediante un numero finito di trasformazioni elementari.

Prova. Sia A(λ) una matrice polinomiale rettangolare. Applicando ad A(λ) sia le operazioni elementari destre che sinistre, riduciamo alla forma diagonale canonica.

Tra tutti gli elementi diversi da zero аіј(λ) della matrice А(λ), prendiamo l'elemento che ha grado minore rispetto a λ, e mediante opportuna permutazione di righe e colonne lo rendiamo un elemento а11(λ). Dopodiché, troviamo i quozienti e i resti dopo aver diviso i polinomi аі1(λ) e а1ј(λ) per а11(λ):

àі1(λ) = à11(λ) qі1(λ) + rі1 (λ), à1ј(λ) = à11(λ) q1ј(λ) + r1ј(λ)

(i = 2, 3, …, m; j = 2, 3, …, n).

Se almeno uno dei resti rі1(λ), ​​​​r1ј(λ) (i = 2, …, m; j = 2, …, n), per esempio, r1ј (λ), non è identicamente zero, allora sottraendo dalla j-esima colonna la prima colonna, precedentemente moltiplicata per q1ј(λ), sostituiamo l'elemento a1ј(λ) con il resto r1ј(λ), che ha grado inferiore a a11(λ). Poi abbiamo l'opportunità di ridurre nuovamente il grado dell'elemento nell'angolo in alto a sinistra della matrice, ponendo in questo posto l'elemento con il grado più piccolo rispetto a λ.

Se tutti i resti sono r21(λ), ​​​​… rm1(λ); r12(λ), …, r1n(λ) sono identicamente nulli, quindi sottraendo dalla i-esima riga la prima moltiplicata precedentemente per qі1(λ) (i = 2, …, m), e dalla j-esima colonna la prima, preliminarmente moltiplicata per q1ј(λ) (j = 2, …, n), riduciamo la nostra matrice alla forma

a11(λ) 0 … 0

0 à22(λ) … à2n(λ)

….…………………… .

0 am2(λ) … am(λ)

Se, inoltre, almeno uno degli elementi аіј(λ) (i = 2, …, m; j = 2, …, n) non è divisibile per а11(λ) senza resto, allora aggiungendo alla prima colonna la colonna che contiene questo elemento, arriviamo al caso precedente e, di conseguenza, possiamo nuovamente sostituire l'elemento a11(λ) con un polinomio di grado minore.

Poiché l'elemento iniziale a11(λ) aveva un certo grado e il processo di decremento di tale grado non può continuare all'infinito, dopo un numero finito di operazioni elementari dobbiamo ottenere una matrice della forma

(*) 0 b22(λ) … b2n(λ)

….…………………… ,

0 bm2 (λ) …bmn (λ)

in cui tutti gli elementi bіј(λ) sono divisibili senza resto per a1(λ). Se tra questi elementi bіј(λ) non ci sono identicamente zero, allora continuando lo stesso processo di riduzione per righe con numeri 2, …, m e colonne con numeri 2, …, n, riduciamo la matrice (*) alla forma

Pertanto, abbiamo dimostrato che una matrice polinomiale rettangolare arbitraria A(λ) è equivalente a una matrice diagonale canonica.

Sezione 3. Matrici

3.1 Concetti di base

Matrice chiamato una tabella rettangolare di numeri contenente T stringhe della stessa lunghezza (o P colonne della stessa lunghezza). La matrice si scrive come:

o, in breve,
, Dove
(quelli.
) – numero di riga,
(quelli.
) è il numero della colonna.

Matrice UN chiamata matrice misurare
e scrivi
. Numeri , i componenti della matrice sono detti suoi elementi. Gli elementi sulla diagonale dall'angolo in alto a sinistra formano la diagonale principale.

Esempio 1 Elemento
situato nella prima riga e nella seconda colonna e l'elemento è nella 3a riga e 1a colonna.

Esempio 2 Matrice
ha la taglia
, in quanto contiene 2 righe e 4 colonne. Matrice
ha la taglia
, in quanto contiene 3 righe e 2 colonne.

Le matrici sono uguali tra loro se sono uguali Tutto gli elementi corrispondenti di queste matrici, cioè
, Se
, Dove
,
.

Viene chiamata una matrice in cui il numero di righe è uguale al numero di colonne piazza. Matrice delle dimensioni quadrate
chiamata matrice ennesimo ordine.

Esempio 3 matrici E dall'esempio 2 sono chiamati rettangolari. Matrice
è una matrice quadrata del 3° ordine. Contiene 3 righe e 3 colonne.

Viene chiamata una matrice quadrata in cui tutti gli elementi, ad eccezione degli elementi della diagonale principale, sono uguali a zero diagonale. Viene chiamata una matrice diagonale in cui ogni elemento della diagonale principale è uguale a uno separare. Indicato per lettera E.

Esempio 4
è la matrice identità del 3° ordine.

La matrice quadrata è chiamata triangolare se tutti gli elementi sullo stesso lato della diagonale principale sono zero. Viene chiamata una matrice in cui tutti gli elementi sono uguali a zero nullo. Indicato per lettera DI.

Nel calcolo matriciale, matrici DI E E svolgere il ruolo di 0 e 1 in aritmetica.

,
.

Matrice delle dimensioni
, costituito da un numero, è identificato con questo numero, ad es.
avere 5.

Una matrice ottenuta da una data sostituendo ciascuna delle sue righe con una colonna con lo stesso numero si chiama matrice, trasposto a questo. Denotato
. Quindi se
, Quello
Se
, Quello
. La matrice trasposta gode della seguente proprietà:
.

3.2 Operazioni matriciali

Aggiunta

L'operazione di addizione di matrici viene introdotta solo per matrici della stessa dimensione.

La somma di due matrici
E
chiamata matrice
tale che
(
,
).

Esempio 5 .

La differenza di matrici è definita in modo simile.

Moltiplicazione per un numero

Prodotto di matrice
per numeroK chiamata matrice
tale che B ij = ka ij (io=
, J=).

Esempio 6
,
,
.

Matrice
chiamato l'opposto della matrice A.

Differenza di matrice
può essere definito così:
.

Le operazioni di addizione di matrici e moltiplicazione di una matrice per un numero hanno le seguenti proprietà:

Dove UN, IN, CON– matrici, α E β - numeri.

Trasformazioni elementari di matrici

Trasformazioni elementari di matrici Sono:

permutazione di due righe parallele della matrice;

moltiplicazione di tutti gli elementi di una riga di una matrice per un numero diverso da zero;

sommando a tutti gli elementi della serie matriciale i corrispondenti elementi della serie parallela, moltiplicati per lo stesso numero.

Due matrici UN E IN chiamato equivalente, se uno di essi è ottenuto dall'altro mediante trasformazioni elementari. Registrato UN~IN.

Usando trasformazioni elementari, qualsiasi matrice può essere ridotta a una matrice in cui diversi sono in fila all'inizio della diagonale principale e tutti gli altri elementi sono uguali a zero. Tale matrice è chiamata canonico, Per esempio
.

Esempio 7 Converti matrice in forma canonica
.

Soluzione: eseguendo trasformazioni elementari, otteniamo

(colonne I e III scambiate) ~
(La riga I è stata aggiunta con la riga II e il risultato è stato scritto nella seconda riga; successivamente, la riga I è stata aggiunta con la riga III e il risultato è stato scritto nella terza riga) ~
(I colonna è stata moltiplicata per (-3), aggiunta alla colonna II e il risultato è stato registrato nella colonna II; quindi la colonna I è stata moltiplicata per (-2), aggiunta alla colonna III e il risultato è stato registrato nella colonna III; successivamente , la colonna I è stata nuovamente moltiplicata per ( -2) e aggiunta alla colonna IV, e il risultato è stato scritto alla colonna IV) ~
(la colonna III è stata moltiplicata per (-2), aggiunta alla colonna II e il risultato è stato registrato nella colonna II; la colonna III è stata divisa per 2 e il risultato è stato registrato nella colonna III; la colonna III è stata moltiplicata per (-1), aggiunta alla colonna IV e il risultato è stato registrato nella colonna IV) ~
(La riga II è stata moltiplicata per 3, aggiunta alla riga III e il risultato è stato scritto alla riga III) ~
(La colonna II è stata moltiplicata per (-1), aggiunta in serie con le colonne III e IV, e il risultato è stato registrato rispettivamente nelle colonne III e IV) ~
. Abbiamo ottenuto una matrice canonica.

Prodotto di matrici

L'operazione di moltiplicazione di due matrici è introdotta solo per il caso in cui il numero di colonne della prima matrice è uguale al numero di righe della seconda matrice.

Il prodotto della matrice A t×n =(a ij ) alla matrice B n × r =(B jk ) chiamata matrice CON t × r =(con ik ) tale che

C ik = UN io 1 ∙ B 1 K + UN io 2 ∙ B 2 K + ∙∙∙+ UN In ∙ B nk , Dove io=
, K=
,

quelli. elemento io-esima riga e K esima colonna della matrice del prodotto CONè uguale alla somma dei prodotti degli elementi io esima riga della matrice UN sugli elementi rilevanti K esima colonna della matrice B.

Se matrici UN E IN quadrato della stessa dimensione, quindi i prodotti AB E VA esistono sempre. È facile dimostrarlo UN∙E = E∙UN= UN, Dove UNè una matrice quadrata, Eè la matrice identità della stessa dimensione.

Esempio 4

=.

matrici UN E IN chiamato permutazionale (pendolarismo), Se AB=VA.

La moltiplicazione di matrici ha le seguenti proprietà:

UN∙(IN∙CON) = (UN∙IN)∙CON;

UN∙(IN + CON) = AB + AC;

(UN + IN)∙CON = AC + sole;

α (AB) = (αA)IN,

se, ovviamente, le somme e i prodotti scritti delle matrici hanno un senso.

Le seguenti proprietà sono vere per l'operazione di trasposizione:

(UN + IN) T = UN T+ IN T;

(AB) T = IN T∙ UN T.

Se è dato un polinomio, allora polinomio di matriceF(UN) è chiamata un'espressione della forma , dove
per qualsiasi naturale P. Il valore del polinomio della matrice F(UN) per una data matrice UNè una matrice.

Chiamiamo l'elemento della stringa estremo, se è diverso da zero e tutti gli elementi di questa riga che si trovano alla sua sinistra sono uguali a zero. La matrice è chiamata calpestato se l'ultimo elemento di ogni riga è a destra dell'ultimo elemento della riga precedente.

Esempio 5 Nelle matrici UN E IN gli elementi estremi di ogni linea sono contrassegnati:

– non calpestato

– calpestato

Definizione. Una matrice polinomiale o -matrice è una matrice rettangolare i cui elementi sono polinomi in una variabile con coefficienti numerici.

Sopra -le matrici possono eseguire trasformazioni elementari. Questi includono:

Due -matrici
E
della stessa dimensione sono detti equivalenti:
, se dalla matrice
A
può essere passato utilizzando un numero finito di trasformazioni elementari.

Esempio. Dimostrare l'equivalenza delle matrici

Soluzione.

.

.

Moltiplica la seconda riga per (-1) e osservalo

.

.

Molti di tutti - matrici di dimensioni dei dati
è suddiviso in classi non intersecanti di matrici equivalenti. Le matrici che sono equivalenti tra loro formano una classe e quelle che non sono equivalenti ne formano un'altra.

Ogni classe di matrici equivalenti è caratterizzata da un canonico, o normale, -matrice dei dati dimensionali.

Definizione. Canonico o normale - matrice di dimensioni
chiamato -matrice con polinomi sulla diagonale principale, dove R- il numero più piccolo M E N (
), e i polinomi diversi da zero hanno coefficienti direttivi uguali a 1, e ogni polinomio successivo è divisibile per quello precedente. Tutti gli elementi al di fuori della diagonale principale sono 0.

Dalla definizione segue che se tra i polinomi ci sono polinomi di grado zero, allora sono all'inizio della diagonale principale. Se ci sono zeri, allora sono alla fine della diagonale principale.

Matrice
l'esempio precedente è canonico. Matrice

anche canonico.

Ogni classe -matrices contiene un unico canonico -matrice, cioè ogni -matrix è equivalente all'unica matrice canonica, che è chiamata forma canonica o forma normale della matrice data.

Polinomi sulla diagonale principale della forma canonica di un dato -le matrici sono chiamate fattori invarianti della matrice data.

Uno dei metodi per calcolare i fattori invarianti è ridurre il dato -matrici alla forma canonica.

Quindi, per la matrice
dell'esempio precedente, i fattori invarianti sono

,
,
,
.

Da quanto detto segue che la presenza dello stesso insieme di fattori invarianti è condizione necessaria e sufficiente per l'equivalenza -matrici.

Colata -matrici alla forma canonica si riduce alla definizione di fattori invarianti

,
;
,

Dove R- rango -matrici;
è il massimo comune divisore dei minori K esimo ordine, preso con il coefficiente più alto pari a 1.

Esempio. Lascia che sia dato -matrice

.

Soluzione. Ovviamente, il massimo comune divisore del primo ordine D 1 =1, cioè
.

Definiamo minori di secondo ordine:

Già questi dati sono sufficienti per trarre una conclusione: D 2 =1, quindi,
.

Definiamo D 3

,

Quindi,
.

Pertanto, la forma canonica di questa matrice è la seguente -matrice:

.

Un polinomio di matrice è un'espressione della forma

Dove - variabile;
sono matrici quadrate di ordine n con elementi numerici.

Se
, Quello Sè chiamato il grado del polinomio della matrice, Nè l'ordine del polinomio matrice.

Qualsiasi quadratico -matrix può essere rappresentato come una matrice polinomiale. Ovviamente vale anche l'affermazione inversa, cioè qualsiasi polinomio di matrice può essere rappresentato come un quadrato -matrici.

La validità di queste affermazioni deriva chiaramente dalle proprietà delle operazioni sulle matrici. Diamo un'occhiata ai seguenti esempi:

Esempio. Rappresenta una matrice polinomiale

sotto forma di un polinomio di matrice può essere il seguente

.

Esempio. Matrice polinomiale

può essere rappresentato come la seguente matrice polinomiale ( -matrici)

.

Questa intercambiabilità di matrici polinomiali e matrici polinomiali gioca un ruolo essenziale nell'apparato matematico dei metodi di analisi fattoriale e dei componenti.

I polinomi di matrice dello stesso ordine possono essere sommati, sottratti e moltiplicati allo stesso modo dei polinomi ordinari con coefficienti numerici. Tuttavia, va ricordato che la moltiplicazione di matrici polinomiali, in generale, non è commutativa, poiché la moltiplicazione di matrici non è commutativa.

Due polinomi di matrice sono detti uguali se i loro coefficienti sono uguali, cioè le corrispondenti matrici alle stesse potenze della variabile .

La somma (differenza) di due polinomi di matrice
E
è un polinomio di matrice tale che il coefficiente ad ogni potenza della variabile è uguale alla somma (differenza) dei coefficienti allo stesso grado nei polinomi
E
.

Moltiplicare un polinomio di matrice
al polinomio matrice
, abbiamo bisogno di ogni termine della matrice polinomiale
moltiplicare per ogni termine della matrice polinomiale
, aggiungi i prodotti risultanti e porta termini simili.

Grado di un polinomio matriciale - prodotti

minore o uguale alla somma delle potenze dei fattori.

Le operazioni sui polinomi di matrici possono essere eseguite utilizzando le operazioni sui corrispondenti -matrici.

Per sommare (sottrarre) polinomi di matrice è sufficiente sommare (sottrarre) il corrispondente -matrici. Lo stesso vale per la moltiplicazione. -la matrice del prodotto di matrici polinomiali è uguale al prodotto -matrici di fattori.

Esempio.

Dall'altro lato
E
può essere scritto nella forma

Poiché la moltiplicazione di matrici non è commutativa, per i polinomi di matrici vengono definite due divisioni con resto: destra e sinistra.

Siano due matrici polinomiali di ordine n

Dove IN 0 è una matrice non singolare.

Quando si divide
SU
esiste un quoziente retto univocamente definito
e resto a destra

dove grado R 1 meno grado
, O
(divisione senza resto), così come il quoziente sinistro
e resto sinistro

dove grado
meno grado
, O
=0 (nessuna divisione del resto).

Teorema di Bezout generalizzato. Quando si divide un polinomio di matrice
ad un polinomio
il giusto residuo è pari al giusto valore del dividendo
A
, cioè. matrice

e il resto sinistro al valore sinistro del dividendo
A
, cioè. matrice

Prova. La prova della validità di entrambe le formule (3.4.1) e (3.4.2) si effettua allo stesso modo, per sostituzione diretta. Proviamo uno di loro.

Quindi il divisibile
, divisore -
, come quoziente abbiamo un polinomio

Definiamo il prodotto
:

O

Q.E.D.

Conseguenza.
divide destra (sinistra) per un polinomio
se e solo se
uguale a 0.

Esempio. Dimostrare che la matrice polinomiale

è divisibile per il polinomio matrice
,

Dove
, a sinistra senza resto.

Soluzione. Anzi, l'uguaglianza

Dove

Calcola il valore del resto sinistro secondo il teorema di Bezout