4.3.1 Definizione dello spazio lineare

Permettere ā , , - elementi di qualche insieme ā , , Terra λ , μ - numeri reali, λ , μ R..

Viene chiamato l'insieme Llineare ospazio vettoriale, se sono definite due operazioni:

1 0 . Aggiunta. Ogni coppia di elementi di questo insieme è associata a un elemento dello stesso insieme, chiamato loro somma

ā + =

2°.Moltiplicazione per un numero. Qualsiasi numero reale λ ed elemento ā l viene assegnato un elemento dello stesso insieme λ ā l e sono soddisfatte le seguenti proprietà:

1. a+= + ā;

2. ā+(+ )=(ā+ )+ ;

3. esiste elemento nullo
, tale che ā +=ā ;

4. esiste elemento opposto -
tale che ā +(-ā )=.

Se una λ , μ - numeri reali, quindi:

5. λ(μ , ā)= λ μ ā ;

6. 1ā= ā;

7. λ(ā +)= λ ā+λ ;

8. (λ+ μ ) ā=λ ā + μ ā

Elementi dello spazio lineare ā, , ... sono chiamati vettori.

Un esercizio. Mostra a te stesso che questi insiemi formano spazi lineari:

1) L'insieme dei vettori geometrici sul piano;

2) Un insieme di vettori geometrici nello spazio tridimensionale;

3) Un insieme di polinomi di un certo grado;

4) Un insieme di matrici della stessa dimensione.

4.3.2 Vettori linearmente dipendenti e indipendenti. Dimensione e base dello spazio

Combinazione lineare vettori ā 1 , ā 2 , …, ā n lsi dice vettore dello stesso spazio della forma:

,

dove λ i - numeri reali.

vettori ā 1 , .. , ā n chiamatolinearmente indipendente, se la loro combinazione lineare è un vettore zero se e solo se tutti λ io sono uguali a zero, questo è

λ io=0

Se la combinazione lineare è un vettore zero e almeno uno di λ ioè diverso da zero, allora questi vettori sono detti linearmente dipendenti. Quest'ultimo significa che almeno uno dei vettori può essere rappresentato come una combinazione lineare di altri vettori. Infatti, lasciamo e, per esempio,
. poi,
, dove

.

Viene chiamato il sistema ordinato di vettori massimamente linearmente indipendente base spazio l. Viene chiamato il numero di vettori di base dimensione spazio.

Supponiamo che ci sia n vettori linearmente indipendenti, allora viene chiamato lo spazio n-dimensionale. Altri vettori spaziali possono essere rappresentati come una combinazione lineare n vettori di base. per base n- può essere preso lo spazio dimensionale qualunque n vettori linearmente indipendenti di questo spazio.

Esempio 17. Trova la base e la dimensione di dati spazi lineari:

a) insiemi di vettori giacenti su una linea (collineare ad una linea)

b) l'insieme dei vettori appartenenti al piano

c) insieme di vettori dello spazio tridimensionale

d) l'insieme dei polinomi di grado al massimo due.

Soluzione.

un) Due vettori qualsiasi che giacciono su una linea saranno linearmente dipendenti, poiché i vettori sono collineari
, poi
, λ - scalare. Pertanto, la base di questo spazio è solo un (qualsiasi) vettore diverso da zero.

Di solito questo spazio lo è R, la sua dimensione è 1.

b) due vettori non lineari qualsiasi
sono linearmente indipendenti e tre vettori qualsiasi nel piano sono linearmente dipendenti. Per qualsiasi vettore , ci sono numeri  e  tale che
. Lo spazio è chiamato bidimensionale, denotato R 2 .

La base di uno spazio bidimensionale è formata da due vettori non collineari qualsiasi.

in) Qualsiasi tre vettori non complanari saranno linearmente indipendenti, formano la base di uno spazio tridimensionale R 3 .

G) Come base per lo spazio dei polinomi di grado al massimo due, si possono scegliere i seguenti tre vettori: ē 1 = X 2 ; ē 2 = X; ē 3 =1 .

(1 è un polinomio, identicamente uguale a uno). Questo spazio sarà tridimensionale.

Da Wikipedia, l'enciclopedia libera

vettore(o lineare) spazio- una struttura matematica, che è un insieme di elementi, detti vettori, per i quali si definiscono le operazioni di addizione tra loro e di moltiplicazione per un numero - uno scalare. Queste operazioni sono soggette a otto assiomi. Gli scalari possono essere elementi di un campo numerico reale, complesso o qualsiasi altro. Un caso speciale di tale spazio è il solito spazio euclideo tridimensionale, i cui vettori sono usati, ad esempio, per rappresentare le forze fisiche. Allo stesso tempo, va notato che un vettore come elemento di uno spazio vettoriale non deve essere specificato sotto forma di segmento orientato. La generalizzazione del concetto di "vettore" ad un elemento di uno spazio vettoriale di qualsiasi natura non solo non crea confusione di termini, ma permette anche di comprendere o addirittura anticipare una serie di risultati validi per spazi di natura arbitraria .

Gli spazi vettoriali sono oggetto di studio in algebra lineare. Una delle caratteristiche principali di uno spazio vettoriale è la sua dimensione. La dimensione è il numero massimo di elementi dello spazio linearmente indipendenti, cioè, ricorrendo a una descrizione geometrica approssimativa, il numero di direzioni che sono inesprimibili l'una rispetto all'altra attraverso le sole operazioni di addizione e moltiplicazione per uno scalare. Lo spazio vettoriale può essere dotato di strutture aggiuntive, come la norma o il prodotto scalare. Tali spazi appaiono naturalmente nel calcolo, prevalentemente come spazi di funzione a dimensione infinita ( inglese), dove i vettori sono le funzioni. Molti problemi di analisi richiedono di scoprire se una sequenza di vettori converge a un dato vettore. La considerazione di tali domande è possibile in spazi vettoriali con struttura aggiuntiva, nella maggior parte dei casi una topologia adeguata, che consente di definire i concetti di prossimità e continuità. Tali spazi vettoriali topologici, in particolare gli spazi di Banach e Hilbert, consentono uno studio più approfondito.

Oltre ai vettori, l'algebra lineare studia anche i tensori di rango più alto (uno scalare è considerato un tensore di rango 0, un vettore è considerato un tensore di rango 1).

I primi lavori che anticiparono l'introduzione del concetto di spazio vettoriale risalgono al XVII secolo. Fu allora che la geometria analitica, la dottrina delle matrici, i sistemi di equazioni lineari ei vettori euclidei ricevettero il loro sviluppo.

Definizione

Lineare, o spazio vettoriale $V\backslash sinistra(F\backslash destra)$ sul campo $F$è una quadrupla ordinata $(V,F,+,\backslash cpunto)$, dove

• $V$- un insieme non vuoto di elementi di natura arbitraria, che vengono chiamati vettori;
• $F$- (algebrico) campo i cui elementi sono chiamati scalari;
• Operazione definita aggiunte vettori $V\backslash volte\; V\backslash a\; V$, abbinando ogni coppia di elementi $\backslash mathbf(x),\; \backslash mathbf(y)$ imposta $V$ $V$ chiamandoli somma e indicato $\backslash mathbf(x)\; +\; \backslash mathbf(y)$;
• Operazione definita moltiplicazione di vettori per scalari $F\backslash volte\; V\backslash a\; V$, che corrisponde a ciascun elemento $\backslash lambda$ campi $F$ e ogni elemento $\backslash mathbf(x)$ imposta $V$ l'unico elemento dell'insieme $V$, indicato $\backslash lambda\backslash cdot\backslash mathbf(x)$ o $\backslash lambda\backslash mathbf(x)$;

Gli spazi vettoriali definiti sullo stesso insieme di elementi ma su campi diversi saranno spazi vettoriali diversi (ad esempio, l'insieme di coppie di numeri reali $\backslash mathbb(R)^2$ può essere uno spazio vettoriale bidimensionale sul campo dei numeri reali o unidimensionale - sul campo dei numeri complessi).

Le proprietà più semplici

1. Lo spazio vettoriale è un gruppo abeliano per addizione.
2. elemento neutro $\backslash mathbf(0)\; \backslash in\; V$
3. $0\backslash cdot\backslash mathbf(x)\; =\; \backslash mathbf(0)$ per chiunque $\backslash mathbf(x)\; \backslash in\; V$.
4. Per chiunque $\backslash mathbf(x)\; \backslash in\; V$ elemento opposto $-\backslash mathbf(x)\; \backslash in\; V$è l'unico che segue dalle proprietà del gruppo.
5. $1\backslash cdot\backslash mathbf(x)\; =\; \backslash mathbf(x)$ per chiunque $\backslash mathbf(x)\; \backslash in\; V$.
6. $(-\backslash alpha)\backslash cdot\backslash mathbf(x)\; =\; \backslash alpha\backslash cdot(-\backslash mathbf(x))\; =\; -(\backslash alpha\backslash mathbf(x))$ per ogni $\backslash alfa\; \backslash in\; F$ e $\backslash mathbf(x)\; \backslash in\; V$.
7. $\backslash alpha\backslash cdot\; \backslash mathbf(0)\; =\; \backslash mathbf(0)$ per chiunque $\backslash alfa\; \backslash in\; F$.

Definizioni e proprietà correlate

sottospazio

Definizione algebrica: Sottospazio lineare o sottospazio vettorialeè un sottoinsieme non vuoto $K$ spazio lineare $V$ tale che $K$è esso stesso uno spazio lineare rispetto a quelli definiti in $V$ le operazioni di addizione e moltiplicazione per uno scalare. L'insieme di tutti i sottospazi è generalmente indicato come $\backslash mathrm(Lat)(V)$. Perché un sottoinsieme sia un sottospazio, è necessario e sufficiente

1. per qualsiasi vettore $\backslash mathbf(x)\backslash in\; K$, vettore $\backslash alfa\backslash mathbf(x)$ apparteneva anche $K$, per ogni $\backslash alfa\backslash in\; F$;
2. per qualsiasi vettore $\backslash mathbf(x),\; \backslash mathbf(y)\; \backslash in\; K$, vettore $\backslash mathbf(x)+\backslash mathbf(y)$ apparteneva anche $K$.

Le ultime due affermazioni equivalgono alle seguenti:

Per qualsiasi vettore $\backslash mathbf(x),\; \backslash mathbf(y)\; \backslash in\; K$, vettore $\backslash alpha\backslash mathbf(x)+\backslash beta\backslash mathbf(y)$ apparteneva anche $K$ per ogni $\backslash alfa,\; \backslash beta\; \backslash in\; F$.

In particolare, uno spazio vettoriale costituito da un solo vettore zero è un sottospazio di qualsiasi spazio; ogni spazio è un sottospazio di se stesso. Si chiamano sottospazi che non coincidono con questi due possedere o non banale.

Proprietà del sottospazio

• L'intersezione di qualsiasi famiglia di sottospazi è di nuovo un sottospazio;
• Somma dei sottospazi $\backslash (K\_i\backslash quad|\backslash quad\; i\; \backslash in\; 1\backslash ldots\; N\backslash )$ definito come un insieme contenente tutte le possibili somme di elementi $K\_i$: $\backslash sum\_(i=1)^N\; (K\_i):=\; \backslash (\backslash mathbf(x)\_1\; +\; \backslash mathbf(x)\_2\; +\; \backslash ldots\; +\; \backslash mathbf(x)\_N\backslash quad|\backslash quad\; \backslash mathbf(x)\_i\; \backslash in\; K\_i\backslash quad\; (i\backslash in\; 1\backslash ldots\; N)\backslash )$.
  • La somma di una famiglia finita di sottospazi è di nuovo un sottospazio.

Combinazioni lineari

Somma finale della vista

$\backslash alpha\_1\backslash mathbf(x)\_1\; +\; \backslash alpha\_2\backslash mathbf(x)\_2\; +\; \backslash ldots\; +\; \backslash alpha\_n\backslash mathbf(x)\_n$

La combinazione lineare si chiama:

Base. Dimensione

vettori $\backslash mathbf(x)\_1,\; \backslash mathbf(x)\_2,\; \backslash ldots,\; \backslash mathbf(x)\_n$ chiamato linearmente dipendente, se esiste una loro combinazione lineare non banale uguale a zero:

$\backslash alpha\_1\backslash mathbf(x)\_1\; +\; \backslash alpha\_2\backslash mathbf(x)\_2\; +\; \backslash ldots\; +\; \backslash alpha\_n\backslash mathbf(x)\_n\; =\; \backslash mathbf(0),\; \backslash quad\; \backslash \; |\backslash alpha\_1|\; +\; |\backslash alfa\_2|\; +\; \backslash ldots\; +\; |\backslash alpha\_n|\; \backslash neq\; 0.$

Altrimenti, questi vettori sono chiamati linearmente indipendente.

Questa definizione consente la seguente generalizzazione: un insieme infinito di vettori da $V$ chiamato linearmente dipendente, se alcuni finale il suo sottoinsieme, e linearmente indipendente, se presente finale sottoinsieme è linearmente indipendente.

Proprietà di base:

• Qualunque $n$ elementi linearmente indipendenti $n$-forma spaziale dimensionale base questo spazio.
• Qualsiasi vettore $\backslash mathbf(x)\; \backslash in\; V$ può essere rappresentato (in modo univoco) come una combinazione lineare finita di elementi di base:

$\backslash mathbf(x)\; =\; \backslash alpha\_1\backslash mathbf(x)\_1\; +\; \backslash alpha\_2\backslash mathbf(x)\_2\; +\; \backslash ldots\; +\; \backslash alpha\_n\backslash mathbf(x)\_n$.

Conchiglia lineare

Conchiglia lineare $\backslash mathcal\; V(X)$ sottoinsiemi $X$ spazio lineare $V$- intersezione di tutti i sottospazi $V$ contenente $X$.

La shell lineare è un sottospazio $V$.

Viene anche chiamata shell lineare sottospazio generato $X$. Si dice anche che la campata lineare $\backslash mathcal\; V(X)$- spazio, allungato molti $X$.

Conchiglia lineare $\backslash mathcal\; V(X)$ consiste in tutte le possibili combinazioni lineari di vari sottosistemi finiti di elementi da $X$. In particolare, se $X$è un insieme finito, quindi $\backslash mathcal\; V(X)$è costituito da tutte le combinazioni lineari di elementi $X$. Pertanto, il vettore nullo appartiene sempre all'intervallo lineare.

Se una $X$è un insieme linearmente indipendente, allora è una base $\backslash mathcal\; V(X)$ e ne determina così la dimensione.

Esempi

• Uno spazio nullo il cui unico elemento è zero.
• Lo spazio di tutte le funzioni $X\backslash a\; F$ con supporto finito forma uno spazio vettoriale di dimensione uguale a $X$.
• Il campo dei numeri reali può essere visto come uno spazio vettoriale a dimensioni continue sul campo dei numeri razionali.
• Ogni campo è uno spazio unidimensionale sopra se stesso.

Strutture aggiuntive

Guarda anche

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Appunti

Letteratura

• Gelfand I. M. Lezioni di algebra lineare. - 5°. - M.: Dobrosvet, MTSNMO, 1998. - 319 pag. - ISBN 5-7913-0015-8.
• Gelfand I. M. Lezioni di algebra lineare. 5a ed. - M.: Dobrosvet, MTSNMO, 1998. - 320 pag. - ISBN 5-7913-0016-6.
• Kostrikin AI, Manin Yu.I. Algebra lineare e geometria. 2a ed. - M.: Nauka, 1986. - 304 pag.
• Kostrikin AI Introduzione all'algebra. Parte 2: Algebra lineare. - 3°. - M.: Nauka., 2004. - 368 pag. - (Libro di Ateneo).
• Maltsev AI Fondamenti di algebra lineare. - 3°. - M.: Nauka, 1970. - 400 pag.

• Postnikov M. M. Algebra lineare (Lezioni di Geometria. Semestre II). - 2°. - M.: Nauka, 1986. - 400 pag.
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Vettori e matrici vettori Concetti basilari Tipi di vettori Operazioni sui vettori Tipi di spazio matrici Concetti basilari Altro

Un estratto che caratterizza lo spazio vettoriale

Kutuzov ha camminato attraverso i ranghi, fermandosi di tanto in tanto e dicendo alcune parole gentili agli ufficiali, che conosceva dalla guerra turca, e talvolta ai soldati. Guardando le scarpe, scosse più volte la testa tristemente e le indicò il generale austriaco con un'espressione tale che sembrava non rimproverare nessuno per questo, ma non poteva fare a meno di vedere quanto fosse brutto. Il comandante del reggimento correva ogni volta, temendo di perdere la parola del comandante in capo riguardo al reggimento. Dietro Kutuzov, a una tale distanza da poter udire qualsiasi parola debolmente pronunciata, camminava un uomo di 20 seguiti. I signori del seguito parlavano tra loro e qualche volta ridevano. Il più vicino dietro al comandante in capo c'era un bell'aiutante. Era il principe Bolkonsky. Accanto a lui camminava il suo compagno Nesvitsky, un alto ufficiale di stato maggiore, estremamente robusto, con un bel viso gentile e sorridente e gli occhi umidi; Nesvitsky riuscì a malapena a trattenersi dal ridere, eccitato dall'ufficiale ussaro nerastro che camminava accanto a lui. L'ufficiale ussaro, senza sorridere, senza mutare l'espressione dei suoi occhi fissi, guardava con espressione seria la schiena del comandante di reggimento e ne imitava ogni suo movimento. Ogni volta che il comandante del reggimento rabbrividì e si sporse in avanti, esattamente allo stesso modo, esattamente allo stesso modo, l'ufficiale ussaro rabbrividì e si sporse in avanti. Nesvitsky rise e spinse gli altri a guardare l'uomo divertente.
Kutuzov passò lentamente e svogliatamente davanti a mille occhi che uscivano dalle orbite, seguendo il capo. Dopo aver raggiunto il livello della 3a compagnia, si fermò improvvisamente. Il seguito, non prevedendo questa sosta, involontariamente avanzò su di lui.
- Ah, Timokhin! - disse il comandante in capo, riconoscendo il capitano dal naso rosso, che soffriva per un soprabito azzurro.
Sembrava che fosse impossibile allungare più di quanto Timokhin si estendesse, mentre il comandante del reggimento lo rimproverava. Ma in quel momento il comandante in capo gli si rivolse, il capitano si raddrizzò in modo che sembrava che se il comandante in capo lo avesse guardato ancora un po', il capitano non avrebbe potuto sopportarlo ; e quindi Kutuzov, apparentemente comprendendo la sua posizione e augurando, al contrario, tutto il meglio per il capitano, si voltò frettolosamente. Un sorriso appena percettibile attraversò il viso grassoccio e ferito di Kutuzov.
«Un altro compagno Izmaylovsky», disse. "Ufficiale coraggioso!" Ne sei felice? chiese Kutuzov al comandante del reggimento.
E il comandante del reggimento, come riflesso in uno specchio, invisibile a se stesso, nell'ufficiale ussaro, rabbrividì, andò avanti e rispose:
«Molto contento, Eccellenza.
"Non siamo tutti privi di debolezze", ha detto Kutuzov, sorridendo e allontanandosi da lui. “Aveva un attaccamento a Bacco.
Il comandante del reggimento temeva di non essere da biasimare per questo e non rispose. L'ufficiale in quel momento notò la faccia del capitano con il naso rosso e lo stomaco piegato all'insù, e ne imitava il viso e la postura in modo così simile che Nesvitsky non poté fare a meno di ridere.
Kutuzov si voltò. Era evidente che l'ufficiale poteva controllarsi come voleva: nel momento in cui Kutuzov si è voltato, l'ufficiale è riuscito a fare una smorfia, per poi assumere l'espressione più seria, rispettosa e innocente.
La terza compagnia era l'ultima, e pensò Kutuzov, apparentemente ricordando qualcosa. Il principe Andrei uscì dal seguito e disse tranquillamente in francese:
- Hai ordinato di ricordarti del retrocesso Dolokhov in questo reggimento.
- Dov'è Dolochov? chiese Kutuzov.
Dolokhov, già vestito con un soprabito grigio da soldato, non ha aspettato di essere chiamato. La figura snella di un soldato biondo con gli occhi azzurri e limpidi si fece avanti. Si avvicinò al comandante in capo e fece una guardia.
- Reclamo? - Accigliandosi leggermente, chiese Kutuzov.
"Questo è Dolokhov", disse il principe Andrei.
- UN! ha detto Kutuzov. – Spero che questa lezione ti corregga, serva bene. L'imperatore è misericordioso. E non ti dimenticherò se te lo meriti.
Occhi azzurri guardavano il comandante in capo con la stessa franchezza con cui guardavano il comandante del reggimento, come se con la loro espressione stessero strappando il velo di convenzionalità che separava così lontano il comandante in capo dal soldato.
«Vi chiedo una cosa, Eccellenza», disse con la sua voce risonante, ferma, senza fretta. “Vi chiedo di darmi la possibilità di fare ammenda per la mia colpa e dimostrare la mia devozione all'imperatore e alla Russia.
Kutuzov si voltò. Lo stesso sorriso dei suoi occhi balenò sul suo volto come nel momento in cui si voltò dal capitano Timokhin. Si voltò e fece una smorfia, come se volesse esprimere con questo che tutto ciò che Dolokhov gli aveva detto, e tutto ciò che poteva dirgli, sapeva da molto, molto tempo che tutto questo lo aveva già annoiato e che tutto questo era non è affatto quello di cui aveva bisogno. . Si voltò e si avviò verso la carrozza.
Il reggimento si dispose in compagnie e si diresse verso gli appartamenti assegnati non lontano da Braunau, dove speravano di mettersi le scarpe, vestirsi e riposarsi dopo difficili transizioni.
- Non mi fai finta, Prokhor Ignatich? - disse il comandante del reggimento, girando intorno alla 3a compagnia dirigendosi verso il luogo e guidando fino al capitano Timokhin, che stava camminando davanti ad essa. Il volto del comandante del reggimento, dopo una rassegna felicemente tramontata, esprimeva una gioia irrefrenabile. - Il servizio reale ... non puoi ... un'altra volta ti taglierai davanti ... sarò il primo a scusarmi, mi conosci ... Grazie mille! E tese la mano al comandante.
"Mi scusi, generale, oso!" - rispose il capitano arrossendo col naso, sorridendo e rivelando con un sorriso la mancanza di due denti anteriori, storditi da un sedere vicino a Ismaele.
- Sì, dì al signor Dolokhov che non lo dimenticherò, in modo che sia calmo. Sì, per favore dimmi, continuavo a voler chiedere, cos'è, come si comporta? E ogni cosa...
«È molto utile nel suo servizio, Eccellenza... ma il carakhter...» disse Timokhin.
- E cosa, qual è il personaggio? chiese il comandante del reggimento.
«Lui trova, Eccellenza, da giorni», disse il capitano, «è intelligente, dotto e gentile. E questa è una bestia. In Polonia ha ucciso un ebreo, per favore, sa...
- Ebbene, sì, bene, sì, - disse il comandante del reggimento, - devi ancora dispiacerti per il giovane disgraziato. Dopotutto, ottime connessioni... Quindi tu...
"Sto ascoltando, Eccellenza", ha detto Timokhin, con un sorriso che ha fatto capire di aver compreso i desideri del capo.
- Si si.
Il comandante del reggimento trovò Dolokhov nei ranghi e tenne a freno il suo cavallo.
"Prima del primo caso, le spalline", gli disse.
Dolokhov si guardò intorno, non disse nulla e non cambiò l'espressione della sua bocca beffardamente sorridente.
"Bene, va bene", continuò il comandante del reggimento. "La gente mi prende un bicchiere di vodka", ha aggiunto, in modo che i soldati potessero sentire. - Grazie a tutti! Grazie Dio! - E lui, dopo aver superato una compagnia, si avvicinò a un'altra.
“Beh, è ​​davvero un brav'uomo; Puoi servire con lui,” disse il subalterno Timokhin all'ufficiale che camminava accanto a lui.
- Una parola, rosso!... (il comandante del reggimento era soprannominato il re rosso) - disse ridendo l'ufficiale subalterno.
Il buon umore delle autorità dopo la revisione è passato ai soldati. Rota si stava divertendo. Le voci dei soldati parlavano da tutte le parti.
- Come hanno detto, Kutuzov storto, su un occhio?
- Ma no! Totalmente storto.
- Non... fratello, con gli occhi più grandi di te. Stivali e colletti - guardato intorno a tutto ...
- Come fa lui, fratello mio, a guardarmi i piedi... beh! pensare…
- E l'altro è un austriaco, era con lui, come imbrattato di gesso. Come farina, bianca. Sono il tè, come puliscono le munizioni!
- Cosa, Fedeshow!... ha detto, forse, quando iniziano le guardie, ti sei avvicinato? Hanno detto tutto, Bunaparte in persona è in piedi in Brunov.
- Bunaparte sta in piedi! menti, sciocco! Cosa non sa! Ora il prussiano è in rivolta. L'austriaco, quindi, lo tranquillizza. Non appena si riconcilierà, la guerra si aprirà con Bounaparte. E poi, dice, in Brunov, Bunaparte è in piedi! È ovvio che è un idiota. Ascolti di più.
«Guarda, maledetti inquilini! La quinta compagnia, guarda, si sta già trasformando nel villaggio, cucineranno il porridge e non arriveremo ancora sul posto.
- Dammi un cracker, maledizione.
"Hai dato del tabacco ieri?" Questo è tutto, fratello. Bene, avanti, Dio è con te.
- Se solo si fermassero, altrimenti non mangerai altri cinque miglia di proprem.
- È stato bello come i tedeschi ci hanno regalato i passeggini. Vai, lo sai: è importante!
- E qui, fratello, la gente è diventata completamente frenetica. Là tutto sembrava essere un polacco, tutto era della corona russa; e ora, fratello, un solido tedesco se n'è andato.
- Cantautori avanti! - Ho sentito il grido del capitano.
E una ventina di persone corsero davanti alla compagnia di ranghi diversi. Il batterista canta si è voltato ad affrontare i libri di canzoni e, agitando la mano, ha iniziato una lunga canzone da soldato, che iniziava: "Non è l'alba, il sole stava sorgendo ..." e termina con le parole: "Quello , fratelli, ci sarà gloria con padre Kamensky ..." in Turchia e ora veniva cantato in Austria, solo con il cambio che al posto di "padre Kamensky" furono inserite le parole: "Padre di Kutuzov".
Strappando queste ultime parole come un soldato e agitando le braccia come se stesse gettando qualcosa per terra, il batterista, un soldato secco e bello sulla quarantina, si guardò severamente intorno ai soldati cantautori e chiuse gli occhi. Poi, assicurandosi che tutti gli occhi fossero fissi su di lui, sembrò sollevare con cautela con entrambe le mani un oggetto prezioso e invisibile sopra la sua testa, lo tenne così per diversi secondi, e all'improvviso lo lanciò disperatamente:
Oh, tu, mio ​​baldacchino, mio ​​baldacchino!
“Canopy my new…”, si alzarono venti voci, e il cucchiaio, nonostante la pesantezza delle munizioni, balzò svelto in avanti e indietreggiò davanti alla compagnia, muovendo le spalle e minacciando qualcuno con dei cucchiai. I soldati, oscillando le braccia al ritmo della canzone, camminavano con passo ampio, colpendo involontariamente la gamba. Dietro la compagnia arrivavano i rumori delle ruote, lo scricchiolio delle molle e il rumore dei cavalli.
Kutuzov con il suo seguito stava tornando in città. Il comandante in capo fece segno che il popolo continuasse a camminare liberamente, e il piacere si esprimeva sul suo volto e su tutti i volti del suo seguito al suono del canto, alla vista del soldato che ballava e del allegro e vivace soldati in marcia della compagnia. Nella seconda fila, dal fianco destro, da cui la carrozza ha sorpassato le compagnie, un soldato dagli occhi azzurri, Dolokhov, ha catturato involontariamente l'attenzione, che ha camminato particolarmente svelto e con grazia al ritmo della canzone e ha guardato i volti dei passanti con un'espressione tale come se provasse compassione per tutti coloro che non sono andati in questo momento con una compagnia. Una cornetta ussaro del seguito di Kutuzov, imitando il comandante del reggimento, rimase indietro rispetto alla carrozza e si diresse verso Dolokhov.
L'ussaro cornetto Zherkov un tempo a San Pietroburgo apparteneva a quella società violenta guidata da Dolokhov. Zherkov ha incontrato Dolokhov all'estero come soldato, ma non ha ritenuto necessario riconoscerlo. Ora, dopo la conversazione di Kutuzov con il retrocesso, si rivolse a lui con la gioia di un vecchio amico:
- Caro amico, come stai? - disse al suono della canzone, uguagliando il passo del suo cavallo con il passo della compagnia.
- Sono come? - rispose freddamente Dolokhov, - come puoi vedere.
La vivace canzone attribuiva particolare importanza al tono di sfacciata allegria con cui parlava Zherkov e alla deliberata freddezza delle risposte di Dolokhov.
- Allora, come va d'accordo con le autorità? chiese Zherkov.
Niente, brava gente. Come sei entrato in sede?
- Distaccato, sono in servizio.
Erano silenziosi.
"Ho fatto uscire il falco dalla manica destra", diceva la canzone, suscitando involontariamente una sensazione allegra e allegra. La loro conversazione sarebbe stata probabilmente diversa se non avessero parlato al suono di una canzone.
- Che è vero, gli austriaci sono stati battuti? chiese Dolochov.
«Il diavolo lo sa, dicono.
"Sono contento", ha risposto Dolokhov in modo breve e chiaro, come richiedeva la canzone.
- Bene, vieni da noi quando la sera il faraone si impegna, - disse Zherkov.
O hai molti soldi?
- Venga.
- È vietato. Ha fatto un voto. Non bevo né gioco finché non ho finito.
Beh, prima della prima cosa...
- Lo vedrai lì.
Di nuovo rimasero in silenzio.
"Entra, se hai bisogno di qualcosa, tutti al quartier generale ti aiuteranno..." disse Zherkov.
Dolokhov ridacchiò.
“Farai meglio a non preoccuparti. Quello di cui ho bisogno, non lo chiederò, lo prenderò io stesso.
"Sì, beh, sono così...
- Bene, lo sono anch'io.
- Arrivederci.
- Essere sano…
... e in alto e lontano,
In casa...
Zherkov toccò con gli speroni il suo cavallo, che tre volte, eccitandosi, scalciando, non sapendo da dove cominciare, se la cavava e galoppava, sorpassando la compagnia e raggiungendo la carrozza, sempre in tempo con la canzone.

Ritornato dalla rassegna, Kutuzov, accompagnato da un generale austriaco, si recò nel suo ufficio e, chiamato l'aiutante, ordinò di consegnarsi alcune carte relative allo stato delle truppe in arrivo, e lettere ricevute dall'arciduca Ferdinando, che comandava l'esercito avanzato . Il principe Andrei Bolkonsky con i documenti richiesti entrò nell'ufficio del comandante in capo. Davanti al piano steso sul tavolo sedevano Kutuzov e un membro austriaco dell'Hofkriegsrat.
«Ah...» disse Kutuzov, voltandosi a guardare Bolkonskij, come per invitare con questa parola l'aiutante ad aspettare, e continuò la conversazione iniziata in francese.
«Dico solo una cosa, generale», disse Kutuzov con una piacevole eleganza nell'espressione e nell'intonazione, costringendo ad ascoltare ogni parola detta con calma. Era evidente che Kutuzov si ascoltava con piacere. - Dico solo una cosa, Generale, che se la cosa fosse dipesa dal mio desiderio personale, allora la volontà di Sua Maestà l'Imperatore Francesco si sarebbe compiuta molto tempo fa. Sarei entrato nell'arciduca molto tempo fa. E credi mio onore, che per me personalmente trasferire il comando superiore dell'esercito più di me a un generale esperto e abile, come l'Austria è così abbondante, e dare tutta questa pesante responsabilità per me personalmente sarebbe una gioia . Ma le circostanze sono più forti di noi, generale.
E Kutuzov sorrise con un'espressione tale come se stesse dicendo: "Hai tutto il diritto di non credermi, e anche a me non importa se mi credi o no, ma non hai motivo di dirmelo. E questo è il punto".
Il generale austriaco sembrava insoddisfatto, ma non poteva rispondere a Kutuzov con lo stesso tono.
«Al contrario», disse con tono burbero e rabbioso, così contrario al significato lusinghiero delle parole dette, «al contrario, la partecipazione di Vostra Eccellenza alla causa comune è molto apprezzata da Sua Maestà; ma crediamo che un vero rallentamento privi le gloriose truppe russe e i loro comandanti di quegli allori che sono abituati a mietere in battaglia ”, ha concluso la frase apparentemente preparata.
Kutuzov si inchinò senza cambiare sorriso.
- E sono così convinto e, basandomi sull'ultima lettera che Sua Altezza l'Arciduca Ferdinando mi ha onorato, presumo che le truppe austriache, al comando di un abile assistente come il generale Mack, abbiano già ottenuto una vittoria decisiva e non più bisogno del nostro aiuto, - ha detto Kutuzov.
Il generale si accigliò. Nonostante non ci fossero notizie positive sulla sconfitta degli austriaci, troppe erano le circostanze che confermavano le voci sfavorevoli generali; e quindi l'ipotesi di Kutuzov sulla vittoria degli austriaci era molto simile a una presa in giro. Ma Kutuzov sorrise mite, sempre con la stessa espressione che diceva che aveva il diritto di presumerlo. In effetti, l'ultima lettera che ricevette dall'esercito di Mack lo informava della vittoria e della posizione strategica più vantaggiosa dell'esercito.
«Dammi qui questa lettera», disse Kutuzov, rivolgendosi al principe Andrej. - Ecco a te, se vuoi vederlo. - E Kutuzov, con un sorriso beffardo sulla punta delle labbra, lesse il seguente brano della lettera dell'arciduca Ferdinando del generale austro-tedesco: “Wir haben vollkommen zusammengehaltene Krafte, nahe an 70.000 Mann, um den Feind, wenn er den Lech passirte, angreifen und schlagen zu konnen. Wir konnen, da wir Meister von Ulm sind, den Vortheil, auch von beiden Uferien der Donau Meister zu bleiben, nicht verlieren; mithin auch jeden Augenblick, wenn der Feind den Lech nicht passirte, die Donau ubersetzen, uns auf seine Communikations Linie werfen, die Donau unterhalb repassiren und dem Feinde, wenn er sich gegen unsere treue Allirte mit ganzer Macht wenden wollte, seine Absicht alabald vereitelien. Wir werden auf solche Weise den Zeitpunkt, wo die Kaiserlich Ruseische Armee ausgerustet sein wird, muthig entgegenharren, und sodann leicht gemeinschaftlich die Moglichkeit finden, dem Feinde das Schicksal zuzubereiten, so er verdient. [Abbiamo una forza completamente concentrata, circa 70.000 persone, in modo da poter attaccare e sconfiggere il nemico se attraversa il Lech. Dal momento che possediamo già Ulm, possiamo mantenere il vantaggio di comandare entrambe le sponde del Danubio, quindi, ogni minuto, se il nemico non attraversa il Lech, attraversa il Danubio, corre verso la sua linea di comunicazione, attraversa il Danubio più in basso e il nemico , se decide di rivolgere tutte le sue forze ai nostri fedeli alleati, per impedire che la sua intenzione si realizzi. Pertanto, aspetteremo con gioia il momento in cui l'esercito imperiale russo sarà completamente pronto, e quindi insieme troveremo facilmente un'opportunità per preparare il nemico al destino che merita.

Lineare (vettoriale) uno spazio è un insieme V di elementi arbitrari, detti vettori, in cui sono definite le operazioni di addizione di vettori e moltiplicazione di un vettore per un numero, cioè a due vettori qualsiasi \mathbf(u) e (\mathbf(v)) viene assegnato un vettore \mathbf(u)+\mathbf(v), chiamato somma dei vettori \mathbf(u) e (\mathbf(v)) , a qualsiasi vettore (\mathbf(v)) e qualsiasi numero \lambda dal campo dei numeri reali \mathbb(R) viene assegnato un vettore \lambda \mathbf(v), chiamato il prodotto del vettore \mathbf(v) e del numero \lambda ; quindi sono soddisfatte le seguenti condizioni:

1. \mathbf(u)+ \mathbf(v)=\mathbf(v)+\mathbf(u)\,~\forall \mathbf(u),\mathbf(v)\in V(commutatività di addizione);
2. \mathbf(u)+(\mathbf(v)+\mathbf(w))=(\mathbf(u)+\mathbf(v))+\mathbf(w)\,~\forall \mathbf(u), \mathbf(v),\mathbf(w)\in V(associatività di addizione);
3. esiste un elemento \mathbf(o)\in V , chiamato vettore nullo, tale che \mathbf(v)+\mathbf(o)=\mathbf(v)\,~\forall \mathbf(v)\in V;
4. per ogni vettore (\mathbf(v)) esiste un vettore , chiamato l'opposto del vettore \mathbf(v) , tale che \mathbf(v)+(-\mathbf(v))=\mathbf(o);
5. \lambda(\mathbf(u)+\mathbf(v))=\lambda \mathbf(u)+\lambda \mathbf(v)\,~\forall \mathbf(u),\mathbf(v)\in V ,~\forall\lambda\in \mathbb(R);
6. (\lambda+\mu)\mathbf(v)=\lambda \mathbf(v)+\mu \mathbf(v)\,~ \forall \mathbf(v)\in V,~\forall \lambda,\mu\ in \mathbb(R);
7. \lambda(\mu \mathbf(v))=(\lambda\mu)\mathbf(v)\,~ \forall \mathbf(v)\in V,~\forall \lambda,\mu\in \mathbb( R);
8. 1\cdot \mathbf(v)=\mathbf(v)\,~\forall \mathbf(v)\in V.

Vengono chiamate le condizioni 1-8 assiomi dello spazio lineare. Il segno di uguale posto tra i vettori significa che lo stesso elemento dell'insieme V è presentato nelle parti sinistra e destra dell'uguaglianza, tali vettori sono chiamati uguali.

Nella definizione di uno spazio lineare viene introdotta per i numeri reali l'operazione di moltiplicare un vettore per un numero. Un tale spazio è chiamato spazio lineare sul campo dei numeri reali (reali)., o, in breve, spazio lineare reale. Se nella definizione, al posto del campo \mathbb(R) dei numeri reali, prendiamo il campo dei numeri complessi \mathbb(C) , allora otteniamo spazio lineare nel campo dei numeri complessi, o, in breve, spazio lineare complesso. Il campo \mathbb(Q) dei numeri razionali può essere scelto anche come campo numerico, e in questo caso otteniamo uno spazio lineare sul campo dei numeri razionali. In quanto segue, salvo diversa indicazione, verranno presi in considerazione gli spazi lineari reali. In alcuni casi, per brevità, si parlerà di spazio, omettendo la parola lineare, poiché tutti gli spazi di seguito considerati sono lineari.

Osservazioni 8.1

1. Gli assiomi 1-4 mostrano che uno spazio lineare è un gruppo commutativo rispetto all'operazione di addizione.

2. Gli assiomi 5 e 6 determinano la distributività dell'operazione di moltiplicazione di un vettore per un numero rispetto all'operazione di addizione di vettori (assioma 5) o all'operazione di addizione di numeri (assioma 6). L'assioma 7, talvolta chiamato legge di associatività della moltiplicazione per un numero, esprime la connessione tra due diverse operazioni: moltiplicazione di un vettore per un numero e moltiplicazione di numeri. La proprietà definita dall'assioma 8 è chiamata unità dell'operazione di moltiplicazione di un vettore per un numero.

3. Uno spazio lineare è un insieme non vuoto, poiché contiene necessariamente un vettore zero.

4. Le operazioni di somma di vettori e moltiplicazione di un vettore per un numero sono dette operazioni lineari sui vettori.

5. La differenza dei vettori \mathbf(u) e \mathbf(v) è la somma del vettore \mathbf(u) con il vettore opposto (-\mathbf(v)) ed è indicata da: \mathbf(u)-\mathbf(v)=\mathbf(u)+(-\mathbf(v)).

6. Due vettori diversi da zero \mathbf(u) e \mathbf(v) sono detti collineari (proporzionali) se esiste un numero \lambda tale che \mathbf(v)=\lambda \mathbf(u). Il concetto di collinearità si estende a qualsiasi numero finito di vettori. Il vettore nullo \mathbf(o) è considerato collineare con qualsiasi vettore.

Conseguenze degli assiomi dello spazio lineare

1. C'è un vettore zero univoco in uno spazio lineare.

2. In uno spazio lineare, per ogni vettore \mathbf(v)\in V, esiste un unico vettore opposto (-\mathbf(v))\in V.

3. Il prodotto di un vettore spaziale arbitrario e il numero zero è uguale al vettore zero, cioè 0\cdot \mathbf(v)=\mathbf(o)\,~\forall \mathbf(v)\in V.

4. Il prodotto di un vettore zero per qualsiasi numero è uguale a un vettore zero, cioè per qualsiasi numero \lambda .

5. Il vettore opposto a questo vettore è uguale al prodotto di questo vettore per il numero (-1), cioè (-\mathbf(v))=(-1)\mathbf(v)\,~\forall\mathbf(v)\in V.

6. In espressioni come \mathbf(a+b+\ldots+z)(la somma di un numero finito di vettori) o \alpha\cdot\beta\cdot\ldots\cdot\omega\cdot\mathbf(v)(il prodotto di un vettore per un numero finito di fattori) puoi inserire le parentesi in qualsiasi ordine o per niente.

Dimostriamo, ad esempio, le prime due proprietà. Unicità del vettore nullo. Se \mathbf(o) e \mathbf(o)" sono due vettori zero, allora per l'assioma 3 otteniamo due uguaglianze: \mathbf(o)"+\mathbf(o)=\mathbf(o)" o \mathbf(o)+\mathbf(o)"=\mathbf(o), le cui parti di sinistra sono uguali per l'assioma 1. Pertanto, anche le parti di destra sono uguali, cioè \mathbf(o)=\mathbf(o)". Unicità del vettore opposto. Se il vettore \mathbf(v)\in V ha due vettori opposti (-\mathbf(v)) e (-\mathbf(v))" , allora per gli assiomi 2, 3,4 otteniamo la loro uguaglianza:

(-\mathbf(v))"=(-\mathbf(v))"+\underbrace(\mathbf(v)+(-\mathbf(v)))_(\mathbf(o))= \underbrace( (-\mathbf(v))"+\mathbf(v))_(\mathbf(o))+(-\mathbf(v))=(-\mathbf(v)).

Il resto delle proprietà è dimostrato in modo simile.

Esempi di spazi lineari

1. Denota \(\mathbf(o)\) - un insieme contenente un vettore zero, con operazioni \mathbf(o)+ \mathbf(o)=\mathbf(o) e \lambda \mathbf(o)=\mathbf(o). Per queste operazioni sono soddisfatti gli assiomi 1-8. Pertanto, l'insieme \(\mathbf(o)\) è uno spazio lineare su qualsiasi campo numerico. Questo spazio lineare è chiamato nullo.

2. Denota V_1,\,V_2,\,V_3 - insiemi di vettori (segmenti diretti) su una linea retta, su un piano, nello spazio, rispettivamente, con le normali operazioni di somma di vettori e moltiplicazione di vettori per un numero. L'adempimento degli assiomi 1-8 dello spazio lineare segue dal corso della geometria elementare. Pertanto, gli insiemi V_1,\,V_2,\,V_3 sono spazi lineari reali. Invece di vettori liberi, possiamo considerare i corrispondenti insiemi di vettori raggio. Ad esempio, un insieme di vettori su un piano che hanno un'origine comune, ad es. staccato da un punto fisso del piano, è un vero e proprio spazio lineare. L'insieme dei vettori raggio di lunghezza unitaria non forma uno spazio lineare, poiché per ognuno di questi vettori la somma \mathbf(v)+\mathbf(v) non appartiene all'insieme considerato.

3. Denota \mathbb(R)^n - l'insieme di colonne-matrici di dimensione n\volte1 con le operazioni di addizione e moltiplicazione di matrici per un numero. Gli assiomi 1-8 dello spazio lineare sono soddisfatti per questo insieme. Il vettore zero in questo insieme è la colonna zero o=\begin(pmatrix)0&\cdots&0\end(pmatrix)^T. Pertanto, l'insieme \mathbb(R)^n è uno spazio lineare reale. Allo stesso modo, l'insieme \mathbb(C)^n di colonne di dimensione n\volte1 con voci complesse è uno spazio lineare complesso. L'insieme delle matrici di colonne con elementi reali non negativi, al contrario, non è uno spazio lineare, poiché non contiene vettori opposti.

4. Denotare \(Ax=o\) - l'insieme delle soluzioni del sistema omogeneo Ax=o di equazioni algebriche lineari con e incognite (dove A è la matrice reale del sistema), considerato come un insieme di colonne di dimensione n \times1 con le operazioni di addizione e moltiplicazione di matrici per il numero . Si noti che queste operazioni sono effettivamente definite sul set \(Ax=o\) . La proprietà 1 delle soluzioni di un sistema omogeneo (vedi Sezione 5.5) implica che la somma di due soluzioni di un sistema omogeneo e il prodotto della sua soluzione per un numero sono anche soluzioni di un sistema omogeneo, cioè, appartengono all'insieme \(Ax=o\) . Gli assiomi dello spazio lineare per le colonne sono soddisfatti (vedi punto 3 negli esempi di spazi lineari). Pertanto, l'insieme delle soluzioni di un sistema omogeneo è uno spazio lineare reale.

L'insieme \(Ax=b\) di soluzioni del sistema disomogeneo Ax=b,~b\ne o , al contrario, non è uno spazio lineare, se non altro perché non contiene un elemento zero (x=o è non una soluzione al sistema disomogeneo).

5. Denota M_(m\volte n) - l'insieme di matrici di dimensione m\volte n con le operazioni di addizione di matrici e moltiplicazione di matrici per un numero. Gli assiomi 1-8 dello spazio lineare sono soddisfatti per questo insieme. Il vettore zero è la matrice zero O delle dimensioni corrispondenti. Pertanto, l'insieme M_(m\times n) è uno spazio lineare.

6. Denota P(\mathbb(C)) - l'insieme dei polinomi in una variabile con coefficienti complessi. Le operazioni di somma di molti termini e moltiplicazione di un polinomio per un numero considerato polinomio di grado zero sono definite e soddisfano gli assiomi 1-8 (in particolare, un vettore zero è un polinomio identicamente uguale a zero). Pertanto, l'insieme P(\mathbb(C)) è uno spazio lineare sul campo dei numeri complessi. Anche l'insieme P(\mathbb(R)) di polinomi con coefficienti reali è uno spazio lineare (ma, ovviamente, sul campo dei numeri reali). Anche l'insieme P_n(\mathbb(R)) di polinomi di grado al massimo n con coefficienti reali è uno spazio lineare reale. Si noti che l'operazione di addizione di molti termini è definita su questo insieme, poiché il grado della somma dei polinomi non supera le potenze degli addendi.

L'insieme dei polinomi di grado n non è uno spazio lineare, poiché la somma di tali polinomi può risultare essere un polinomio di grado inferiore che non appartiene all'insieme in esame. Anche l'insieme di tutti i polinomi di grado al massimo n con coefficienti positivi non è uno spazio lineare, poiché moltiplicando un tale polinomio per un numero negativo, otteniamo un polinomio che non appartiene a questo insieme.

7. Denota C(\mathbb(R)) - l'insieme di funzioni reali definite e continue su \mathbb(R) . La somma (f+g) delle funzioni f,g e il prodotto \lambda f della funzione f e il numero reale \lambda sono definiti dalle uguaglianze:

(f+g)(x)=f(x)+g(x),\quad (\lambda f)(x)=\lambda\cdot f(x) per tutti x\in \mathbb(R)

Queste operazioni sono infatti definite su C(\mathbb(R)) , poiché la somma di funzioni continue e il prodotto di una funzione continua per un numero sono entrambe funzioni continue, cioè elementi di C(\mathbb(R)) . Verifichiamo il soddisfacimento degli assiomi dello spazio lineare. La commutatività dell'addizione di numeri reali implica la validità dell'uguaglianza f(x)+g(x)=g(x)+f(x) per ogni x\in \mathbb(R) . Pertanto, f+g=g+f , cioè l'assioma 1 è soddisfatto. L'assioma 2 segue similmente dall'associatività dell'addizione. Il vettore zero è la funzione o(x) , identicamente uguale a zero, che, ovviamente, è continua. Per ogni funzione f, l'uguaglianza f(x)+o(x)=f(x) è vera, cioè È valido l'assioma 3. Il vettore opposto per il vettore f sarà la funzione (-f)(x)=-f(x) . Allora f+(-f)=o (vale l'assioma 4). Gli assiomi 5, 6 derivano dalla distributività delle operazioni di addizione e moltiplicazione dei numeri reali, e l'assioma 7 dall'associatività della moltiplicazione dei numeri. Vale l'ultimo assioma, poiché la moltiplicazione per uno non cambia la funzione: 1\cdot f(x)=f(x) for any x\in \mathbb(R) , cioè 1\cpunto f=f . Pertanto, l'insieme C(\mathbb(R)) considerato con le operazioni introdotte è uno spazio lineare reale. Allo stesso modo, è dimostrato che C^1(\mathbb(R)),C^2(\mathbb(R)), \ldots, C^m(\mathbb(R))- insiemi di funzioni che hanno derivate continue della prima, della seconda, ecc. gli ordini, rispettivamente, sono anche spazi lineari.

Indichiamo con - l'insieme dei binomi trigonometrici (spesso \omega\ne0 ) con coefficienti reali, cioè, insieme di funzioni del modulo f(t)=a\peccato\omega t+b\cos\omega t, dove a\in \mathbb(R),~b\in \mathbb(R). La somma di tali binomi e il prodotto di un binomio per un numero reale è un binomio trigonometrico. Gli assiomi dello spazio lineare valgono per l'insieme in esame (perché T_(\omega)(\mathbb(R))\sottoinsieme C(\mathbb(R))). Pertanto, l'insieme T_(\omega)(\mathbb(R)) con le operazioni di addizione e moltiplicazione tipiche delle funzioni, è un vero e proprio spazio lineare. L'elemento zero è il binomio o(t)=0\cdot\sin\omega t+0\cdot\cos\omega t, identicamente uguale a zero.

L'insieme delle funzioni reali definite e monotone su \mathbb(R) non è uno spazio lineare, poiché la differenza di due funzioni monotone può risultare essere una funzione non monotona.

8. Denota \mathbb(R)^X - l'insieme delle funzioni reali definite sull'insieme X , con le operazioni:

(f+g)(x)=f(x)+g(x),\quad (\lambda f)(x)=\lambda\cdot f(x)\quad \forall x\in X

È uno spazio lineare reale (la dimostrazione è la stessa dell'esempio precedente). In questo caso, l'insieme X può essere scelto arbitrariamente. In particolare, se X=\(1,2,\lpunti,n\), allora f(X) è un insieme ordinato di numeri f_1,f_2,\lpunti,f_n, dove f_i=f(i),~i=1,\lpunti,n Tale insieme può essere considerato una matrice di colonne di dimensioni n\times1 , cioè molti \mathbb(R)^(\(1,2,\ldots,n\)) coincide con l'insieme \mathbb(R)^n (vedi punto 3 per esempi di spazi lineari). Se X=\mathbb(N) (ricordiamo che \mathbb(N) è l'insieme dei numeri naturali), allora otteniamo uno spazio lineare \mathbb(R)^(\mathbb(N))- insieme di sequenze numeriche \(f(i)\)_(i=1)^(\infty). In particolare, l'insieme delle successioni convergenti di numeri forma anche uno spazio lineare, poiché la somma di due successioni convergenti converge, e moltiplicando tutti i termini di una successione convergente per un numero, otteniamo una successione convergente. Al contrario, l'insieme delle successioni divergenti non è uno spazio lineare, poiché, ad esempio, la somma delle successioni divergenti può avere un limite.

9. Denota \mathbb(R)^(+) - l'insieme dei numeri reali positivi in ​​cui la somma a\oplus b e il prodotto \lambda\ast a (la notazione in questo esempio differisce da quelle usuali) sono definiti da uguaglianze: a\oplus b=ab,~ \lambda\ast a=a^(\lambda), in altre parole, la somma degli elementi è intesa come prodotto di numeri e la moltiplicazione di un elemento per un numero è intesa come esponenziazione. Entrambe le operazioni sono infatti definite sull'insieme \mathbb(R)^(+) , poiché il prodotto di numeri positivi è un numero positivo e qualsiasi potenza reale di un numero positivo è un numero positivo. Verifichiamo la validità degli assiomi. Uguaglianza

a\oplus b=ab=ba=b\oplus a,\quad a\oplus(b\oplus c)=a(bc)=(ab)c=(a\oplus b)\oplus c

dimostrare che gli assiomi 1 e 2 sono soddisfatti. Il vettore zero di questo insieme è uno, poiché a\oplus1=a\cdot1=a, cioè. o=1. L'opposto di a è \frac(1)(a) , che è definito come a\ne o . Infatti, a\oplus\frac(1)(a)=a\cdot\frac(1)(a)=1=o. Verifichiamo il compimento degli assiomi 5, 6,7,8:

\begin(raccolti) \mathsf(5))\quad \lambda\ast(a\oplus b)=(a\cdot b)^(\lambda)= a^(\lambda)\cdot b^(\lambda) = \lambda\ast a\oplus \lambda\ast b\,;\hfill\\ \mathsf(6))\quad (\lambda+ \mu)\ast a=a^(\lambda+\mu)=a^( \lambda)\cdot a^(\mu)=\lambda\ast a\oplus\mu\ast a\,;\hfill\\ \mathsf(7)) \quad \lambda\ast(\mu\ast a) =(a^(\mu))^(\lambda)=a^(\lambda\mu)=(\lambda\cdot \mu)\ast a\,;\hfill\\ \mathsf(8))\quad 1\ast a=a^1=a\,.\hfill \end(raccolti)

Tutti gli assiomi sono soddisfatti. Pertanto, l'insieme in esame è un vero e proprio spazio lineare.

10. Sia V uno spazio lineare reale. Si consideri l'insieme delle funzioni scalari lineari definite su V, cioè funzioni f\colon V\to \mathbb(R), assumendo valori reali e soddisfacendo le condizioni:

f(\mathbf(u)+\mathbf(v))=f(u)+f(v)~~ \pertutti u,v\in V(additività);

f(\lambda v)=\lambda\cdot f(v)~~ \forall v\in V,~ \forall \lambda\in \mathbb(R)(omogeneità).

Le operazioni lineari sulle funzioni lineari sono definite allo stesso modo del paragrafo 8 degli esempi di spazi lineari. La somma f+g e il prodotto \lambda\cdot f sono definiti dalle uguaglianze:

(f+g)(v)=f(v)+g(v)\quad \forall v\in V;\qquad (\lambda f)(v)=\lambda f(v)\quad \forall v\ in V,~ \forall \lambda\in \mathbb(R).

Il soddisfacimento degli assiomi dello spazio lineare è confermato allo stesso modo del paragrafo 8. Pertanto, l'insieme delle funzioni lineari definite sullo spazio lineare V è uno spazio lineare. Questo spazio è chiamato duale allo spazio V ed è indicato con V^(\ast) . I suoi elementi sono chiamati covettori.

Ad esempio, l'insieme delle forme lineari di n variabili, considerato come l'insieme delle funzioni scalari di un argomento vettoriale, è lo spazio lineare duale allo spazio \mathbb(R)^n .

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Corrispondente a un tale spazio vettoriale. Alcuni autori identificano lo spazio euclideo e pre-ilberto. In questo articolo, la prima definizione sarà presa come quella iniziale.

N (\ displaystyle n) Lo spazio euclideo -dimensionale è solitamente indicato E n (\ displaystyle \ mathbb (E) ^ (n)); la notazione è spesso usata anche quando dal contesto risulta chiaro che lo spazio è dotato di una naturale struttura euclidea.

Definizione formale

Per definire uno spazio euclideo, è più facile prendere come concetto base del prodotto scalare. Uno spazio vettoriale euclideo è definito come uno spazio vettoriale a dimensione finita sul campo dei numeri reali, sulle coppie di vettori di cui è data una funzione a valori reali (⋅ , ⋅) , (\ displaystyle (\ cdot , \ cdot),) con le seguenti tre proprietà:

Esempio di spazio euclideo - spazio delle coordinate R n , (\ displaystyle \ mathbb (R) ^ (n),) costituito da tutti i possibili insiemi di numeri reali (x 1 , x 2 , ... , x n) , (\displaystyle (x_(1),x_(2),\ldots,x_(n)),) prodotto scalare in cui è determinato dalla formula (x , y) = ∑ io = 1 n x io y io = X 1 y 1 + x 2 y 2 + ⋯ + x n y n . (\displaystyle (x,y)=\sum _(i=1)^(n)x_(i)y_(i)=x_(1)y_(1)+x_(2)y_(2)+\cdots +x_(n)y_(n).)

Lunghezze e angoli

Il prodotto scalare dato sullo spazio euclideo è sufficiente per introdurre i concetti geometrici di lunghezza e angolo. Lunghezza del vettore u (\ displaystyle u) definito come (u , u) (\ displaystyle (\ sqrt ((u, u))))) e indicato | tu | . (\displaystyle |u|.) La determinatezza positiva del prodotto interno garantisce che la lunghezza di un vettore diverso da zero sia diversa da zero, e dalla bilinearità segue che | un tu | = | un | | tu | , (\displaystyle |au|=|a||u|,) cioè, le lunghezze dei vettori proporzionali sono proporzionali.

Angolo tra vettori u (\ displaystyle u) e v (\ displaystyle v)è determinato dalla formula φ = arccos ⁡ ((x, y) | x | | y |) . (\displaystyle \varphi =\arccos\left((\frac ((x,y))(|x||y|))\right).) Segue dal teorema del coseno che per uno spazio euclideo bidimensionale ( piano euclideo) questa definizione dell'angolo coincide con quella usuale. I vettori ortogonali, come nello spazio tridimensionale, possono essere definiti vettori il cui angolo è uguale a π 2 . (\ displaystyle (\ frac (\ pi ) (2)).)

Disuguaglianza di Cauchy-Bunyakovsky-Schwarz e disuguaglianza triangolare

C'è una lacuna rimasta nella definizione di angolo data sopra: per arccos ⁡ ((x , y) | x | | y |) (\ displaystyle \ arccos \ sinistra ((\ frac ((x, y)) (| x | | y |)) \ destra))è stata definita, è necessario che la disuguaglianza | (x, y) | x | | y | | ≤ 1. (\displaystyle \sinistra|(\frac ((x,y))(|x||y|))\destra|\leqslant 1.) Questa disuguaglianza vale davvero in uno spazio euclideo arbitrario, è chiamata disuguaglianza di Cauchy-Bunyakovsky-Schwarz. Questa disuguaglianza, a sua volta, implica la disuguaglianza triangolare: | u+v | ⩽ | tu | + | v | . (\displaystyle |u+v|\leqslant |u|+|v|.) La disuguaglianza triangolare, insieme alle proprietà di lunghezza sopra elencate, significa che la lunghezza di un vettore è una norma su uno spazio vettoriale euclideo e la funzione d(x, y) = | x - y | (\ displaystyle d(x,y)=|x-y|) definisce la struttura di uno spazio metrico sullo spazio euclideo (questa funzione è chiamata metrica euclidea). In particolare, la distanza tra gli elementi (punti) x (\ displaystyle x) e y (\ displaystyle y) spazio delle coordinate R n (\ displaystyle \ mathbb (R) ^ (n)) dato dalla formula d (x , y) = ‖ x - y ‖ = ∑ io = 1 n (x io - y io) 2 . (\ displaystyle d(\ mathbf (x) ,\ mathbf (y))=\|\ mathbf (x) -\ mathbf (y) \|=(\ sqrt (\ sum _(i=1)^ (n) (x_(i)-y_(i))^(2))).)

Proprietà algebriche

Basi ortonormali

Doppi spazi e operatori

Qualsiasi vettore x (\ displaystyle x) Lo spazio euclideo definisce un funzionale lineare x ∗ (\ displaystyle x ^ (*)) su questo spazio, definito come x ∗ (y) = (x , y) . (\ displaystyle x^(*)(y)=(x,y).) Questo confronto è un isomorfismo tra lo spazio euclideo e il suo spazio duale e consente di identificarli senza compromettere i calcoli. In particolare, gli operatori aggiunti possono essere considerati agenti sullo spazio originario, e non sul suo duale, e gli operatori autoaggiunti possono essere definiti come operatori coincidenti con i loro aggiunti. In una base ortonormale, la matrice dell'operatore aggiunto è trasposta alla matrice dell'operatore originale e la matrice dell'operatore autoaggiunto è simmetrica.

Moti spaziali euclidei

I moti spaziali euclidei sono trasformazioni di conservazione della metrica (chiamate anche isometrie). Esempio di movimento - Traduzione parallela a vettore v (\ displaystyle v), che traduce il punto p (\ displaystyle p) Esattamente p+v (\ displaystyle p+v). È facile vedere che ogni movimento è una composizione di traslazione e trasformazione parallela che mantiene un punto fisso. Scegliendo un punto fisso come origine, qualsiasi movimento di questo tipo può essere considerato come

Lezione 6. Spazio vettoriale.

Domande principali.

1. Spazio lineare vettoriale.

2. Base e dimensione dello spazio.

3. Orientamento dello spazio.

4. Decomposizione di un vettore in termini di base.

5. Coordinate vettoriali.

1. Spazio lineare vettoriale.

Un insieme costituito da elementi di qualsiasi natura, in cui si definiscono operazioni lineari: si chiamano l'addizione di due elementi e la moltiplicazione di un elemento per un numero spazi, e i loro elementi sono vettori questo spazio e sono indicati allo stesso modo delle grandezze vettoriali in geometria: . vettori tali spazi astratti, di regola, non hanno nulla in comune con i normali vettori geometrici. Gli elementi degli spazi astratti possono essere funzioni, un sistema di numeri, matrici, ecc. e, in un caso particolare, vettori ordinari. Pertanto, tali spazi sono chiamati spazi vettoriali .

Gli spazi vettoriali sono, Per esempio, l'insieme dei vettori collineari, indicato da V1 , l'insieme dei vettori complanari V2 , insieme di vettori ordinari (spazio reale). V3 .

Per questo caso particolare, possiamo dare la seguente definizione di spazio vettoriale.

Definizione 1. Viene chiamato l'insieme dei vettori spazio vettoriale, se anche la combinazione lineare di qualsiasi vettore dell'insieme è un vettore di questo insieme. I vettori stessi sono chiamati elementi spazio vettoriale.

Più importante sia dal punto di vista teorico che applicativo è il concetto generale (astratto) di spazio vettoriale.

Definizione 2. Molti R elementi , in cui per due elementi qualsiasi e la somma è definita e per qualsiasi elemento https://pandia.ru/text/80/142/images/image006_75.gif" width="68" height="20"> chiamato vettore(o lineare) spazio, e i suoi elementi sono vettori, se le operazioni di addizione di vettori e moltiplicazione di un vettore per un numero soddisfano le seguenti condizioni ( assiomi) :

1) l'addizione è commutativa, cioè..gif" width="184" height="25">;

3) esiste un tale elemento (vettore zero) che per qualsiasi https://pandia.ru/text/80/142/images/image003_99.gif" width="45" height="20">.gif" width= " 99"altezza="27">;

5) per qualsiasi vettore e e per qualsiasi numero λ, vale l'uguaglianza;

6) per qualsiasi vettore e qualsiasi numero λ e µ l'uguaglianza è valida https://pandia.ru/text/80/142/images/image003_99.gif" width="45 height=20" height="20"> e qualsiasi numero λ e µ giusto ;

8) https://pandia.ru/text/80/142/images/image003_99.gif" width="45" height="20"> .

Dagli assiomi che definiscono lo spazio vettoriale seguono il più semplice conseguenze :

1. In uno spazio vettoriale, c'è solo uno zero - un elemento - un vettore zero.

2. In uno spazio vettoriale, ogni vettore ha un unico vettore opposto.

3. Per ogni elemento, l'uguaglianza è soddisfatta.

4. Per qualsiasi numero reale λ e zero vettore https://pandia.ru/text/80/142/images/image017_45.gif" width="68" height="25">.

5..gif" width="145" height="28">

6..gif" width="15" height="19 src=">.gif" width="71" height="24 src="> è un vettore che soddisfa l'uguaglianza https://pandia.ru/text /80 /142/images/image026_26.gif" width="73" height="24">.

Quindi, in effetti, l'insieme di tutti i vettori geometrici è anche uno spazio lineare (vettoriale), poiché per gli elementi di questo insieme si definiscono le azioni di addizione e moltiplicazione per un numero che soddisfano gli assiomi formulati.

2. Base e dimensione dello spazio.

I concetti essenziali di uno spazio vettoriale sono i concetti di base e dimensione.

Definizione. Viene chiamato l'insieme dei vettori linearmente indipendenti, presi in un certo ordine, attraverso il quale qualsiasi vettore dello spazio è espresso linearmente base questo spazio. vettori. Si chiamano gli spazi che costituiscono la base di base .

La base dell'insieme di vettori situati su una linea arbitraria può essere considerata collineare a questo vettore di linea.

Base in aereo chiamiamo due vettori non collineari su questo piano, presi in un certo ordine https://pandia.ru/text/80/142/images/image029_29.gif" width="61" height="24"> .

Se i vettori di base sono perpendicolari a coppie (ortogonali), viene chiamata la base ortogonale, e se questi vettori hanno lunghezza uguale a uno, viene chiamata la base Ortonormale .

Viene chiamato il maggior numero di vettori linearmente indipendenti nello spazio dimensione questo spazio, cioè la dimensione dello spazio coincide con il numero di vettori base di questo spazio.

Quindi, secondo queste definizioni:

1. Spazio unidimensionale V1 è una retta e la base è costituita da uno collineare vettore https://pandia.ru/text/80/142/images/image028_22.gif" width="39" height="23 src="> .

3. Lo spazio ordinario è lo spazio tridimensionale V3 , la cui base è costituita da tre non complanari vettori.

Da qui vediamo che il numero di vettori base su una retta, su un piano, nello spazio reale coincide con quello che in geometria viene comunemente chiamato il numero di dimensioni (dimensione) di una retta, piano, spazio. Pertanto, è naturale introdurre una definizione più generale.

Definizione. spazio vettoriale R chiamato n- dimensionale se contiene al massimo n vettori linearmente indipendenti ed è indicato R n. Numero n chiamato dimensione spazio.

In base alla dimensione dello spazio sono divisi in a dimensione finita e infinito-dimensionale. La dimensione di uno spazio nullo è, per definizione, assunta pari a zero.

Nota 1. In ogni spazio puoi specificare quante basi vuoi, ma tutte le basi di questo spazio sono costituite dallo stesso numero di vettori.

Nota 2. A n- in uno spazio vettoriale dimensionale, una base è qualsiasi raccolta ordinata n vettori linearmente indipendenti.

3. Orientamento dello spazio.

Lascia che i vettori di base nello spazio V3 avere inizio comune e ordinato, cioè viene indicato quale vettore è considerato il primo, quale - il secondo e quale - il terzo. Ad esempio, in una base, i vettori sono ordinati in base all'indicizzazione.

Per per orientare lo spazio è necessario porre delle basi e dichiararlo positivo .

Si può dimostrare che l'insieme di tutte le basi di uno spazio ricade in due classi, cioè in due sottoinsiemi non intersecanti.

a) hanno tutte le basi appartenenti a un sottoinsieme (classe). lo stesso orientamento (basi omonime);

b) due basi qualsiasi appartenenti a vari sottoinsiemi (classi), hanno di fronte orientamento, ( nomi diversi basi).

Se una delle due classi di basi di uno spazio è dichiarata positiva e l'altra è negativa, allora diciamo che questo spazio orientati .

Spesso, quando si orienta lo spazio, vengono chiamate alcune basi Giusto, mentre altri lo sono di sinistra .

https://pandia.ru/text/80/142/images/image029_29.gif" width="61" height="24 src="> chiamato Giusto, se osservando dalla fine del terzo vettore, la rotazione più breve del primo vettore https://pandia.ru/text/80/142/images/image033_23.gif" width="16" height="23"> viene effettuata Antiorario(Fig. 1.8, a).

https://pandia.ru/text/80/142/images/image036_22.gif" width="16" height="24">

https://pandia.ru/text/80/142/images/image037_23.gif" width="15" height="23">

https://pandia.ru/text/80/142/images/image039_23.gif" width="13" height="19">

https://pandia.ru/text/80/142/images/image033_23.gif" width="16" height="23">

Riso. 1.8. Base destra (a) e base sinistra (b)

Di solito, la giusta base dello spazio è dichiarata positiva

La base dello spazio destra (sinistra) può anche essere determinata usando la regola della vite o del succhiello "destra" ("sinistra").

Per analogia con questo, il concetto di destra e di sinistra terzine vettori non complementari che devono essere ordinati (Fig. 1.8).

Quindi, nel caso generale, due triple ordinate di vettori non complanari hanno la stessa orientazione (hanno lo stesso nome) nello spazio V3 se sono entrambi a destra o entrambi a sinistra, e - orientamento opposto (opposto), se uno di essi è a destra e l'altro a sinistra.

Lo stesso vale per lo spazio V2 (aerei).

4. Decomposizione di un vettore in termini di base.

Per semplicità di ragionamento, considereremo questa domanda usando l'esempio di uno spazio vettoriale tridimensionale R3 .

Lascia che https://pandia.ru/text/80/142/images/image021_36.gif" width="15" height="19"> sia un vettore arbitrario di questo spazio.