DA n sconosciuto è un sistema della forma:

dove aij e b io (i=1,…,m; b=1,…,n) sono alcuni numeri noti, e x 1 ,…,x n- numeri sconosciuti. Nella notazione dei coefficienti aij indice io determina il numero dell'equazione e il secondo jè il numero dell'incognita in cui si trova questo coefficiente.

Sistema omogeneo - quando tutti i membri liberi del sistema sono uguali a zero ( b 1 = b 2 = ... = b m = 0), è la situazione opposta sistema eterogeneo.

Sistema quadrato - quando il numero m equazioni è uguale al numero n sconosciuto.

Soluzione di sistema- impostare n numeri c 1 , c 2 , …, c n , tale che la sostituzione di tutti c io invece di x io in un sistema trasforma tutte le sue equazioni in identità.

Sistema articolare - quando il sistema ha almeno una soluzione, e sistema incompatibile quando il sistema non ha soluzioni.

Un sistema congiunto di questo tipo (come dato sopra, sia (1)) può avere una o più soluzioni.

Soluzioni c 1 (1) , c 2 (1) , …, c n (1) e c 1 (2) , c 2 (2) , …, c n (2) sistema congiunto di tipo (1). vari, quando anche 1 delle uguaglianze non è soddisfatta:

c 1 (1) = c 1 (2) , c 2 (1) = c 2 (2) , …, c n (1) = c n (2) .

Un sistema congiunto di tipo (1). certo quando ha una sola soluzione; quando un sistema ha almeno 2 soluzioni diverse, diventa sottodeterminato. Quando ci sono più equazioni che incognite, il sistema lo è ridefinito.

I coefficienti per le incognite sono scritti come una matrice:

È chiamato matrice di sistema.

I numeri che sono sul lato destro delle equazioni, b 1 ,…,b m sono membri liberi.

Aggregato n numeri c 1 ,…,c nè una soluzione a questo sistema quando tutte le equazioni del sistema diventano uguaglianza dopo aver sostituito i numeri in esse c 1 ,…,c n invece delle corrispondenti incognite x 1 ,…,x n.

Quando si risolve un sistema di equazioni lineari, possono sorgere 3 opzioni:

1. Il sistema ha una sola soluzione.

2. Il sistema ha un numero infinito di soluzioni. Per esempio, . La soluzione di questo sistema saranno tutte le coppie di numeri che differiscono nel segno.

3. Il sistema non ha soluzioni. Per esempio, , se esiste una soluzione, allora x 1 + x 2è uguale a 0 e 1 contemporaneamente.

Metodi per la risoluzione di sistemi di equazioni lineari.

Metodi diretti fornire un algoritmo mediante il quale viene trovata la soluzione esatta SLAU(sistemi di equazioni algebriche lineari). E se l'accuratezza fosse assoluta, l'avrebbero trovata. Un vero computer elettrico, ovviamente, funziona con un errore, quindi la soluzione sarà approssimativa.

In generale, l'equazione lineare ha la forma:

L'equazione ha una soluzione: se almeno uno dei coefficienti nelle incognite è diverso da zero. In questo caso, qualsiasi vettore -dimensionale è chiamato soluzione dell'equazione se, sostituendo le sue coordinate, l'equazione diventa un'identità.

Caratteristiche generali del sistema di equazioni consentito

Esempio 20.1

Descrivi il sistema di equazioni.

Soluzione:

1. C'è un'equazione incoerente?(Se i coefficienti, in questo caso l'equazione ha la forma: e si chiama controverso.)

• Se un sistema ne contiene uno incoerente, allora tale sistema è incoerente e non ha soluzione.

2. Trova tutte le variabili consentite. (L'ignoto è chiamatopermesso per un sistema di equazioni, se entra in una delle equazioni del sistema con un coefficiente di +1, e non nel resto delle equazioni (cioè entra con un coefficiente uguale a zero).

3. È consentito il sistema di equazioni? (Il sistema di equazioni si dice risolto, se ogni equazione del sistema contiene un'incognita risolta, tra cui non ve ne sono coincidenti)

Le incognite ammesse, prese una alla volta da ciascuna equazione del sistema, si formano serie completa di incognite consentite sistemi. (nel nostro esempio lo è)

Vengono anche chiamate le incognite consentite incluse nel set completo di base(), e non inclusi nel set - gratuito ().

Nel caso generale, il sistema di equazioni risolto ha la forma:

In questa fase, è importante capire di cosa si tratta risolto sconosciuto(incluso nella base e gratuito).

Generale Soluzione di base parziale

Soluzione generale del sistema di equazioni consentito è l'insieme delle espressioni delle incognite consentite in termini di termini liberi e incognite libere:

Decisione privata si chiama soluzione ottenuta dal generale per valori specifici delle variabili libere e delle incognite.

Soluzione di baseè una soluzione particolare ottenuta da quella generale a valori zero delle variabili libere.

• Viene chiamata la soluzione di base (vettore). degenerare, se il numero delle sue coordinate diverse da zero è inferiore al numero di incognite consentite.
• Si chiama la soluzione di base non degenerato, se il numero delle sue coordinate diverse da zero è uguale al numero di incognite consentite del sistema compreso nell'insieme completo.

Teorema (1)

Il sistema di equazioni consentito è sempre compatibile(perché ha almeno una soluzione); Inoltre, se il sistema non ha incognite libere,(cioè, nel sistema di equazioni, tutte quelle consentite sono incluse nella base) poi è definito(ha una soluzione unica); se è presente almeno una variabile libera, il sistema non è definito(ha un numero infinito di soluzioni).

Esempio 1. Trova una soluzione generale, di base e qualsiasi particolare del sistema di equazioni:

Soluzione:

1. Verifica se il sistema è consentito?

• Il sistema è consentito (perché ciascuna delle equazioni contiene un'incognita consentita)

2. Includiamo le incognite consentite nell'insieme, una per ciascuna equazione.

3. Scriviamo la soluzione generale, a seconda di quali incognite consentite abbiamo incluso nel set.

4. Trovare una soluzione privata. Per fare ciò, uguagliamo le variabili libere che non abbiamo incluso nell'insieme per equipararle a numeri arbitrari.

Risposta: decisione privata(una delle opzioni)

5. Trovare la soluzione di base. Per fare ciò, uguagliamo a zero le variabili libere che non abbiamo incluso nell'insieme.

Trasformazioni elementari di equazioni lineari

I sistemi di equazioni lineari sono ridotti a sistemi consentiti equivalenti con l'aiuto di trasformazioni elementari.

Teorema (2)

Se c'è moltiplicare l'equazione del sistema per un numero diverso da zero, e lasciare invariate le altre equazioni, quindi . (ovvero, se moltiplichi i lati sinistro e destro dell'equazione per lo stesso numero, ottieni un'equazione equivalente a quella data)

Teorema (3)

Se una aggiungerne un altro a qualsiasi equazione del sistema, e quindi lasciare invariate tutte le altre equazioni ottenere un sistema equivalente a quello dato. (ovvero, se aggiungi due equazioni (aggiungendo le loro parti sinistra e destra), ottieni un'equazione equivalente ai dati)

Corollario dai teoremi (2 e 3)

Se una aggiungi a qualsiasi equazione un'altra, moltiplicata per un certo numero e lasciare invariate tutte le altre equazioni, allora otteniamo un sistema equivalente al dato.

Formule per il ricalcolo dei coefficienti di sistema

Se abbiamo un sistema di equazioni e vogliamo convertirlo in un sistema di equazioni consentito, il metodo di Jordan-Gauss ci aiuterà in questo.

Jordan trasforma con un elemento risolutivo permette di ottenere l'incognita risolta per il sistema di equazioni nell'equazione con il numero. (esempio 2).

La trasformata di Jordan consiste in trasformazioni elementari di due tipi:

Diciamo che vogliamo rendere l'incognita nell'equazione inferiore un'incognita risolta. Per fare ciò, dobbiamo dividere per in modo che la somma sia .

Esempio 2 Ricalcolare i coefficienti del sistema

Quando si divide un'equazione per un numero per , i suoi coefficienti vengono ricalcolati secondo le formule:

Per escludere dall'equazione con il numero , devi moltiplicare l'equazione con il numero per e aggiungere a questa equazione.

Teorema (4) Sulla riduzione del numero di equazioni di sistema.

Se il sistema di equazioni contiene un'equazione banale, allora può essere esclusa dal sistema e si otterrà un sistema equivalente a quello originale.

Teorema (5) Sulla incompatibilità del sistema di equazioni.

Se un sistema di equazioni contiene un'equazione incoerente, allora è incoerente.

Algoritmo del metodo Jordan-Gauss

L'algoritmo per la risoluzione di sistemi di equazioni con il metodo di Jordan-Gauss consiste in una serie di passaggi dello stesso tipo, ognuno dei quali esegue azioni nel seguente ordine:

1. Verifica se il sistema è incoerente. Se un sistema contiene un'equazione incoerente, allora è incoerente.
2. Viene verificata la possibilità di ridurre il numero di equazioni. Se il sistema contiene un'equazione banale, viene barrata.
3. Se il sistema di equazioni è consentito, annotare la soluzione generale del sistema e, se necessario, soluzioni particolari.
4. Se il sistema non è consentito, nell'equazione che non contiene un'incognita consentita, viene scelto un elemento risolutivo e viene eseguita una trasformata di Jordan con questo elemento.
5. Poi torna al punto 1.

Esempio 3 Risolvi il sistema di equazioni usando il metodo di Jordan-Gauss.

Trova: due soluzioni generali e due corrispondenti di base

Soluzione:

I calcoli sono riportati nella tabella seguente:

Le azioni sulle equazioni sono mostrate a destra della tabella. Le frecce indicano a quale equazione viene sommata l'equazione con l'elemento risolutivo moltiplicato per un fattore opportuno.

Le prime tre righe della tabella contengono i coefficienti delle incognite e le parti destre del sistema originario. I risultati della prima trasformazione di Jordan con risoluzione pari a uno sono riportati nelle righe 4, 5, 6. I risultati della seconda trasformazione di Jordan con risoluzione pari a (-1) sono riportati nelle righe 7, 8, 9. Poiché la terza equazione è banale, non se ne può tener conto.

La risoluzione di sistemi di equazioni algebriche lineari è uno dei principali problemi dell'algebra lineare. Questo compito è di grande importanza pratica nella risoluzione di problemi scientifici e tecnici, inoltre è ausiliario nell'implementazione di molti algoritmi di matematica computazionale, fisica matematica e nell'elaborazione dei risultati di studi sperimentali.

Sistema di equazioni algebriche lineariè detto sistema di equazioni della forma: (1)

dove – sconosciuto; - membri gratuiti.

Risolvere il sistema di equazioni(1) nominare qualsiasi insieme di numeri che, essendo inserito nel sistema (1) al posto di sconosciuto converte tutte le equazioni del sistema in vere uguaglianze numeriche.

Viene chiamato il sistema di equazioni giunto se ha almeno una soluzione, e incompatibile se non ha soluzioni.

Viene chiamato il sistema congiunto di equazioni certo se ha un'unica soluzione, e incerto se ha almeno due soluzioni distinte.

Si chiamano i due sistemi di equazioni equivalente o equivalente se hanno lo stesso insieme di soluzioni.

Viene chiamato il sistema (1). omogeneo se i termini liberi sono pari a zero:

Un sistema omogeneo è sempre coerente: ha una soluzione (forse non l'unica).

Se nel sistema (1) , allora abbiamo il sistema n equazioni lineari con n sconosciuto: dove – sconosciuto; sono i coefficienti per le incognite, - membri gratuiti.

Un sistema lineare può avere un'unica soluzione, infinite soluzioni o nessuna.

Consideriamo un sistema di due equazioni lineari con due incognite

Se poi il sistema ha una soluzione unica;

se allora il sistema non ha soluzioni;

se allora il sistema ha un numero infinito di soluzioni.

Esempio. Il sistema ha una soluzione unica per una coppia di numeri

Il sistema ha un numero infinito di soluzioni. Ad esempio, le soluzioni di questo sistema sono coppie di numeri e così via.

Il sistema non ha soluzioni, poiché la differenza di due numeri non può assumere due valori diversi.

Definizione. Determinante del secondo ordine chiamato un'espressione come:

Designare il determinante con il simbolo D.

Numeri un 11, …, un 22 sono detti elementi determinanti.

Diagonale formata da elementi un 11 ; un 22 chiamata principale, la diagonale formata dagli elementi un 12 ; un 21 − lato.

Pertanto, il determinante del secondo ordine è uguale alla differenza tra i prodotti degli elementi della diagonale principale e secondaria.

Nota che la risposta è un numero.

Esempio. Calcoliamo i determinanti:

Consideriamo un sistema di due equazioni lineari con due incognite: dove X 1, X 2 – sconosciuto; un 11 , …, un 22 - coefficienti per incognite, b 1 ,b 2 - membri gratuiti.

Se un sistema di due equazioni in due incognite ha una soluzione unica, allora può essere trovato usando determinanti del secondo ordine.

Definizione. Viene chiamato il determinante, composto dai coefficienti delle incognite qualificatore di sistema: D=.

Le colonne del determinante D sono rispettivamente i coefficienti per X 1 e a , X 2. Introduciamone due determinanti aggiuntivi, che si ottengono dal determinante del sistema sostituendo una delle colonne con una colonna di membri liberi: D 1 = D 2 = .

Teorema 14(Cramer, per il caso n=2). Se il determinante D del sistema è diverso da zero (D¹0), allora il sistema ha un'unica soluzione, che si trova dalle formule:

Queste formule sono chiamate Le formule di Cramer.

Esempio. Risolviamo il sistema secondo la regola di Cramer:

Soluzione. Troviamo i numeri

Risposta.

Definizione. Determinante di terzo ordine chiamato un'espressione come:

Elementi un 11; un 22 ; un 33 - forma la diagonale principale.

Numeri un 13; un 22 ; un 31 - formare una diagonale laterale.

La voce con un più comprende: il prodotto degli elementi sulla diagonale principale, i restanti due termini sono il prodotto degli elementi posti ai vertici di triangoli con basi parallele alla diagonale principale. I termini con un meno formano allo stesso modo rispetto alla diagonale secondaria.

Esempio. Calcoliamo i determinanti:

Consideriamo un sistema di tre equazioni lineari con tre incognite: dove – sconosciuto; sono i coefficienti per le incognite, - membri gratuiti.

Nel caso di una soluzione unica, un sistema di 3 equazioni lineari con tre incognite può essere risolto utilizzando determinanti del 3° ordine.

Il determinante del sistema D ha la forma:

Introduciamo tre ulteriori determinanti:

Teorema 15(Cramer, per il caso n=3). Se il determinante D del sistema è diverso da zero, allora il sistema ha una soluzione univoca, che si trova usando le formule di Cramer:

Esempio. Risolviamo il sistema usando la regola di Cramer.

Soluzione. Troviamo i numeri

Usiamo le formule di Cramer e troviamo una soluzione al sistema originale:

Risposta.

Si noti che il teorema di Cramer è applicabile quando il numero di equazioni è uguale al numero di incognite e quando il determinante del sistema D è diverso da zero.

Se il determinante del sistema è uguale a zero, allora in questo caso il sistema può non avere soluzioni o avere un numero infinito di soluzioni. Questi casi vengono studiati separatamente.

Notiamo solo un caso. Se il determinante del sistema è uguale a zero (D=0) e almeno uno dei determinanti aggiuntivi è diverso da zero, allora il sistema non ha soluzioni, cioè è incoerente.

Il teorema di Cramer può essere generalizzato al sistema n equazioni lineari con n sconosciuto: dove – sconosciuto; sono i coefficienti per le incognite, - membri gratuiti.

Se il determinante di un sistema di equazioni lineari con incognite, l'unica soluzione al sistema si trova usando le formule di Cramer:

Un determinante aggiuntivo si ottiene dal determinante D se contiene una colonna di coefficienti per l'incognita x io sostituire con una colonna di membri liberi.

Si noti che i determinanti D, D 1 , … , D n avere ordine n.

Metodo di Gauss per la risoluzione di sistemi di equazioni lineari

Uno dei metodi più comuni per risolvere sistemi di equazioni algebriche lineari è il metodo di eliminazione successiva delle incognite. −Metodo di Gauss. Questo metodo è una generalizzazione del metodo di sostituzione e consiste nella successiva eliminazione di incognite fino a quando rimane un'equazione con un'incognita.

Il metodo si basa su alcune trasformazioni del sistema di equazioni lineari, a seguito delle quali si ottiene un sistema equivalente al sistema originario. L'algoritmo del metodo si compone di due fasi.

Viene chiamata la prima fase in linea retta Metodo Gauss. Consiste nella successiva eliminazione di incognite dalle equazioni. Per fare ciò, al primo passaggio, la prima equazione del sistema viene divisa per (in caso contrario, le equazioni del sistema vengono permutate). I coefficienti dell'equazione ridotta risultante sono indicati, moltiplicati per il coefficiente e sottratti dalla seconda equazione del sistema, escludendo così dalla seconda equazione (azzeramento del coefficiente).

Il resto delle equazioni viene trattato in modo simile e si ottiene un nuovo sistema, in tutte le equazioni di cui, a partire dalla seconda, i coefficienti a contengono solo zeri. Ovviamente, il nuovo sistema risultante sarà equivalente al sistema originale.

Se i nuovi coefficienti, at , non sono tutti uguali a zero, possiamo eliminarli dalla terza e dalle successive equazioni allo stesso modo. Continuando questa operazione per le seguenti incognite, il sistema viene portato alla cosiddetta forma triangolare:

Qui i simboli e denotano i coefficienti numerici ei termini liberi che sono cambiati a seguito di trasformazioni.

Dall'ultima equazione del sistema si determinano, e quindi per sostituzione successiva, le restanti incognite.

Commento. A volte, a seguito di trasformazioni, in una qualsiasi delle equazioni, tutti i coefficienti e il lato destro diventano zero, ovvero l'equazione diventa l'identità 0=0. Escludendo tale equazione dal sistema, il numero di equazioni viene ridotto rispetto al numero di incognite. Un tale sistema non può avere una soluzione unica.

Se, nel processo di applicazione del metodo di Gauss, qualsiasi equazione si trasforma in un'uguaglianza della forma 0=1 (i coefficienti per le incognite passano a 0 e il lato destro assume un valore diverso da zero), allora il sistema originale non ha soluzione, poiché tale uguaglianza non è corretta per valori sconosciuti.

Consideriamo un sistema di tre equazioni lineari con tre incognite:

dove – sconosciuto; sono i coefficienti per le incognite, - membri gratuiti. , sostituendo il trovato

Soluzione. Applicando il metodo gaussiano a questo sistema, otteniamo

Da qui l'ultima uguaglianza è falsa per qualsiasi valore delle incognite, quindi il sistema non ha soluzione.

Risposta. Il sistema non ha soluzioni.

Si noti che il metodo di Cramer considerato in precedenza può essere utilizzato per risolvere solo quei sistemi in cui il numero di equazioni coincide con il numero di incognite e il determinante del sistema deve essere diverso da zero. Il metodo gaussiano è più universale ed è adatto a sistemi con un numero qualsiasi di equazioni.

Sistema di m equazioni lineari con n incognite chiamato sistema della forma

dove aij e b io (io=1,…,m; b=1,…,n) sono alcuni numeri noti, e x 1 ,…,x n- sconosciuto. Nella notazione dei coefficienti aij primo indice io denota il numero dell'equazione e il secondo jè il numero dell'incognita a cui sta questo coefficiente.

I coefficienti per le incognite saranno scritti sotto forma di una matrice , che chiameremo matrice di sistema.

I numeri a destra delle equazioni b 1 ,…,b m chiamato membri liberi.

Aggregato n numeri c 1 ,…,c n chiamato decisione di questo sistema, se ogni equazione del sistema diventa un'uguaglianza dopo aver sostituito i numeri in essa c 1 ,…,c n invece delle corrispondenti incognite x 1 ,…,x n.

Il nostro compito sarà trovare soluzioni al sistema. In questo caso si possono verificare tre situazioni:

Viene chiamato un sistema di equazioni lineari che ha almeno una soluzione giunto. Altrimenti, cioè se il sistema non ha soluzioni, viene chiamato incompatibile.

Considera i modi per trovare soluzioni al sistema.

METODO MATRICE PER LA RISOLVENZA DI SISTEMI DI EQUAZIONI LINEARI

Le matrici consentono di scrivere brevemente un sistema di equazioni lineari. Sia dato un sistema di 3 equazioni con tre incognite:

Considera la matrice del sistema e colonne di matrice di membri sconosciuti e liberi

Troviamo il prodotto

quelli. come risultato del prodotto, otteniamo i membri di sinistra delle equazioni di questo sistema. Quindi, usando la definizione di uguaglianza di matrici, questo sistema può essere scritto come

o più breve UN∙X=B.

Qui matrici UN e B sono noti e la matrice X sconosciuto. Ha bisogno di essere trovata, perché. i suoi elementi sono la soluzione di questo sistema. Questa equazione è chiamata equazione matriciale.

Sia il determinante della matrice diverso da zero | UN| ≠ 0. Quindi l'equazione della matrice viene risolta come segue. Moltiplica entrambi i membri dell'equazione a sinistra per la matrice A-1, l'inverso della matrice UN: . Perché il LA -1 LA = E e e∙X=X, quindi otteniamo la soluzione dell'equazione matriciale nella forma X = LA -1 B .

Si noti che poiché la matrice inversa può essere trovata solo per matrici quadrate, il metodo della matrice può risolvere solo quei sistemi in cui il numero di equazioni è uguale al numero di incognite. Tuttavia, la notazione matriciale del sistema è possibile anche nel caso in cui il numero di equazioni non sia uguale al numero di incognite, quindi la matrice UN non è quadrato e quindi è impossibile trovare una soluzione al sistema nella forma X = LA -1 B.

Esempi. Risolvere sistemi di equazioni.

REGOLA DI CRAMER

Consideriamo un sistema di 3 equazioni lineari con tre incognite:

Determinante del terzo ordine corrispondente alla matrice del sistema, cioè composto da coefficienti a incognite,

chiamato determinante del sistema.

Componiamo altri tre determinanti come segue: sostituiamo successivamente 1, 2 e 3 colonne nel determinante D con una colonna di termini liberi

Allora possiamo dimostrare il seguente risultato.

Teorema (regola di Cramer). Se il determinante del sistema è Δ ≠ 0, allora il sistema in esame ha una e una sola soluzione, e

Prova. Quindi, considera un sistema di 3 equazioni con tre incognite. Moltiplica la prima equazione del sistema per il complemento algebrico A 11 elemento un 11, 2a equazione - attiva A21 e 3a - su A 31:

Aggiungiamo queste equazioni:

Considera ciascuna delle parentesi e il lato destro di questa equazione. Per il teorema sull'espansione del determinante in termini di elementi della 1a colonna

Allo stesso modo, si può dimostrare che e .

Alla fine, è facile vederlo

Quindi, otteniamo l'uguaglianza: .

Di conseguenza, .

Le uguaglianze e sono derivate similmente, da cui segue l'asserzione del teorema.

Pertanto, notiamo che se il determinante del sistema è Δ ≠ 0, allora il sistema ha un'unica soluzione e viceversa. Se il determinante del sistema è uguale a zero, allora il sistema ha un insieme infinito di soluzioni o non ha soluzioni, cioè incompatibile.

Esempi. Risolvi un sistema di equazioni

METODO DI GAUSS

I metodi precedentemente considerati possono essere utilizzati per risolvere solo quei sistemi in cui il numero di equazioni coincide con il numero di incognite e il determinante del sistema deve essere diverso da zero. Il metodo gaussiano è più universale ed è adatto a sistemi con un numero qualsiasi di equazioni. Consiste nella successiva eliminazione di incognite dalle equazioni del sistema.

Consideriamo ancora un sistema di tre equazioni con tre incognite:

.

Lasciamo invariata la prima equazione e dalla 2a e 3a escludiamo i termini contenenti x 1. Per fare ciò, dividiamo la seconda equazione per un 21 e moltiplicare per - un 11 e poi aggiungi con la prima equazione. Allo stesso modo, dividiamo la terza equazione in un 31 e moltiplicare per - un 11 e poi aggiungerlo al primo. Di conseguenza, il sistema originario assumerà la forma:

Ora, dall'ultima equazione, eliminiamo il termine contenente x2. Per fare ciò, dividi la terza equazione per , moltiplica per e aggiungila alla seconda. Avremo quindi un sistema di equazioni:

Quindi dall'ultima equazione è facile da trovare x 3, quindi dalla 2a equazione x2 e infine dal 1° - x 1.

Quando si utilizza il metodo gaussiano, le equazioni possono essere scambiate se necessario.

Spesso, invece di scrivere un nuovo sistema di equazioni, si limitano a scrivere la matrice estesa del sistema:

e poi portalo a una forma triangolare o diagonale usando trasformazioni elementari.

Per trasformazioni elementari le matrici includono le seguenti trasformazioni:

1. permutazione di righe o colonne;
2. moltiplicare una stringa per un numero diverso da zero;
3. aggiungendo ad una riga altre righe.

Esempi: Risolvi sistemi di equazioni usando il metodo di Gauss.

Pertanto, il sistema ha un numero infinito di soluzioni.

Scrivi il sistema di equazioni algebriche lineari in forma generale

Che cos'è una soluzione SLAE?

La soluzione di un sistema di equazioni è un insieme di n numeri,

Quando ciò viene sostituito nel sistema, ogni equazione diventa un'identità.

Quale sistema è chiamato giunto (non articolato)?

Un sistema di equazioni si dice consistente se ha almeno una soluzione.

Un sistema si dice incoerente se non ha soluzioni.

Quale sistema è chiamato definito (indefinito)?

Un sistema articolare si dice definito se ha una soluzione unica.

Un sistema articolare si dice indeterminato se ha più di una soluzione.

Forma matriciale di scrittura di un sistema di equazioni

Rango del sistema vettoriale

Il rango di un sistema di vettori è il numero massimo di vettori linearmente indipendenti.

Classificazione della matrice e modi per trovarla

Grado di matrice- il più alto degli ordini dei minori di tale matrice, il cui determinante è diverso da zero.

Il primo metodo - il metodo del bordo - è il seguente:

Se tutti i minorenni sono del 1° ordine, cioè gli elementi della matrice sono uguali a zero, quindi r=0 .

Se almeno uno dei minori del 1° ordine è diverso da zero, e tutti i minori del 2° ordine sono uguali a zero, allora r=1.

Se il 2° ordine minore è diverso da zero, allora esaminiamo i 3° ordine minori. In questo modo si trova il k-esimo ordine minore e si controlla se i k+1-esimo ordine minori non sono uguali a zero.

Se tutti i minori di ordine k+1 sono uguali a zero, il rango della matrice è uguale al numero k. Tali minori di ordine k+1 si trovano solitamente "bordando" il k-esimo ordine minore.

Il secondo metodo per determinare il rango di una matrice consiste nell'applicare trasformazioni elementari della matrice quando viene elevata a una forma diagonale. Il rango di tale matrice è uguale al numero di elementi diagonali diversi da zero.

Soluzione generale di un sistema disomogeneo di equazioni lineari, sue proprietà.

Proprietà 1. La somma di qualsiasi soluzione di un sistema di equazioni lineari e di qualsiasi soluzione del corrispondente sistema omogeneo è una soluzione del sistema di equazioni lineari.

Proprietà 2. La differenza di due soluzioni qualsiasi di un sistema disomogeneo di equazioni lineari è una soluzione del corrispondente sistema omogeneo.

Metodo di Gauss per la risoluzione di SLAE

Sotto sequenza:

1) viene compilata una matrice espansa del sistema di equazioni

2) con l'aiuto di trasformazioni elementari, la matrice viene ridotta a una forma a gradini

3) si determina il rango della matrice estesa del sistema e il rango della matrice del sistema e si stabilisce il patto di compatibilità o incompatibilità del sistema

4) in caso di compatibilità si scrive il sistema di equazioni equivalente

5) si trova la soluzione del sistema. Le variabili principali sono espresse in termini di libero

Teorema di Kronecker-Capelli

Teorema di Kronecker - Capelli- criterio di compatibilità del sistema di equazioni algebriche lineari:

Un sistema di equazioni algebriche lineari è consistente se e solo se il rango della sua matrice principale è uguale al rango della sua matrice estesa, e il sistema ha una soluzione unica se il rango è uguale al numero di incognite, e un numero infinito di soluzioni se il rango è inferiore al numero di incognite.

Perché un sistema lineare sia coerente, è necessario e sufficiente che il rango della matrice estesa di questo sistema sia uguale al rango della sua matrice principale.

Quando il sistema non ha soluzioni, quando ha un'unica soluzione, ha molte soluzioni?

Se il numero di equazioni di sistema è uguale al numero di variabili incognite e il determinante della sua matrice principale non è uguale a zero, allora tali sistemi di equazioni hanno una soluzione unica e, nel caso di un sistema omogeneo, tutte sconosciute le variabili sono uguali a zero.

Un sistema di equazioni lineari che ha almeno una soluzione si dice compatibile. Altrimenti, cioè se il sistema non ha soluzioni, allora si dice incoerente.