L'aspettativa matematica è la definizione
Mat è in attesa uno dei concetti più importanti nella statistica matematica e nella teoria della probabilità, che caratterizza la distribuzione dei valori o probabilità variabile casuale. Solitamente espresso come media ponderata di tutti i possibili parametri di una variabile casuale. È ampiamente utilizzato nell'analisi tecnica, nello studio delle serie numeriche, nello studio dei processi continui ea lungo termine. È importante per valutare i rischi, prevedere gli indicatori di prezzo quando si fa trading sui mercati finanziari e viene utilizzato nello sviluppo di strategie e metodi di tattiche di gioco in teoria del gioco d'azzardo.
Scacco matto in attesa- questo è valore medio di una variabile casuale, distribuzione probabilità variabile casuale è considerata nella teoria della probabilità.
Mat è in attesa misura del valore medio di una variabile casuale nella teoria della probabilità. Aspettativa matematica di una variabile casuale X indicato M(x).
L'aspettativa matematica (media della popolazione) è
Mat è in attesa
Mat è in attesa in teoria della probabilità, la media ponderata di tutti i possibili valori che questa variabile casuale può assumere.
Mat è in attesa la somma dei prodotti di tutti i possibili valori di una variabile casuale per le probabilità di questi valori.
L'aspettativa matematica (media della popolazione) è
Mat è in attesa la media beneficia di una decisione particolare, a condizione che tale decisione possa essere considerata nel quadro della teoria dei grandi numeri e della lunga distanza.
Mat è in attesa nella teoria del gioco d'azzardo, l'importo delle vincite che uno speculatore può guadagnare o perdere, in media, per ogni scommessa. Nella lingua del gioco d'azzardo speculatori questo è talvolta chiamato il "vantaggio speculatore” (se è positivo per lo speculatore) o “house edge” (se è negativo per lo speculatore).
L'aspettativa matematica (media della popolazione) è
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Valore atteso
Dispersione la variabile casuale continua X, i cui possibili valori appartengono all'intero asse Ox, è determinata dall'uguaglianza: 
Incarico di servizio. Il calcolatore online è progettato per risolvere i problemi in cui entrambi densità di distribuzione f(x) o funzione di distribuzione F(x) (vedi esempio). Di solito in tali compiti è necessario trovare aspettativa matematica, deviazione standard, traccia le funzioni f(x) e F(x).
Istruzione. Selezionare il tipo di dati di input: densità di distribuzione f(x) o funzione di distribuzione F(x) .
La densità di distribuzione f(x) è data: 
La funzione di distribuzione F(x) è data: 
Una variabile casuale continua è definita da una densità di probabilità 
(Legge sulla distribuzione di Rayleigh - utilizzata nell'ingegneria radio). Trova M(x) , D(x) .
Viene chiamata la variabile casuale X continuo
, se la sua funzione di distribuzione F(X)=P(X< x) непрерывна и имеет производную.
La funzione di distribuzione di una variabile casuale continua viene utilizzata per calcolare le probabilità che una variabile casuale rientri in un determinato intervallo:
P(α< X < β)=F(β) - F(α)
inoltre, per una variabile aleatoria continua, non importa se i suoi confini siano compresi o meno in questo intervallo:
P(α< X < β) = P(α ≤ X < β) = P(α ≤ X ≤ β)
Densità di distribuzione
la variabile casuale continua è chiamata funzione
f(x)=F'(x) , derivata della funzione di distribuzione.
Proprietà della densità di distribuzione
1. La densità di distribuzione di una variabile casuale non è negativa (f(x) ≥ 0) per tutti i valori di x.2. Condizione di normalizzazione:
Il significato geometrico della condizione di normalizzazione: l'area sotto la curva di densità di distribuzione è uguale a uno.
3. La probabilità di colpire una variabile casuale X nell'intervallo da α a β può essere calcolata con la formula
Geometricamente, la probabilità che una variabile casuale continua X cada nell'intervallo (α, β) è uguale all'area del trapezio curvilineo sotto la curva di densità di distribuzione basata su questo intervallo.
4. La funzione di distribuzione è espressa in termini di densità come segue:
Il valore della densità di distribuzione nel punto x non è uguale alla probabilità di assumere questo valore; per una variabile aleatoria continua si può parlare solo della probabilità di cadere in un dato intervallo. Sia =∑x i p i se la serie converge assolutamente.
Incarico di servizio. Con un servizio online vengono calcolate l'aspettativa matematica, la varianza e la deviazione standard(vedi esempio). Inoltre, viene tracciato un grafico della funzione di distribuzione F(X).
Proprietà dell'aspettativa matematica di una variabile casuale
- L'aspettativa matematica di un valore costante è uguale a se stessa: M[C]=C , C è una costante;
- M=C M[X]
- L'aspettativa matematica della somma delle variabili casuali è uguale alla somma delle loro aspettative matematiche: M=M[X]+M[Y]
- L'aspettativa matematica del prodotto di variabili casuali indipendenti è uguale al prodotto delle loro aspettative matematiche: M=M[X] M[Y] se X e Y sono indipendenti.
Proprietà di dispersione
- La dispersione di un valore costante è uguale a zero: D(c)=0.
- Il fattore costante può essere dedotto da sotto il segno di dispersione al quadrato: D(k*X)= k 2 D(X).
- Se le variabili casuali X e Y sono indipendenti, la varianza della somma è uguale alla somma delle varianze: D(X+Y)=D(X)+D(Y).
- Se le variabili casuali X e Y sono dipendenti: D(X+Y)=DX+DY+2(X-M[X])(Y-M[Y])
- Per la varianza vale la formula di calcolo:
D(X)=M(X 2)-(M(X)) 2
Esempio. Sono note le aspettative matematiche e le varianze di due variabili casuali indipendenti X e Y: M(x)=8 , M(Y)=7 , D(X)=9 , D(Y)=6 . Trova l'aspettativa matematica e la varianza della variabile casuale Z=9X-8Y+7 .
Soluzione. Basato sulle proprietà dell'aspettativa matematica: M(Z) = M(9X-8Y+7) = 9*M(X) - 8*M(Y) + M(7) = 9*8 - 8*7 + 7 = 23.
In base alle proprietà di dispersione: D(Z) = D(9X-8Y+7) = D(9X) - D(8Y) + D(7) = 9^2D(X) - 8^2D(Y) + 0 = 81*9 - 64*6 = 345
Algoritmo per il calcolo dell'aspettativa matematica
Proprietà delle variabili casuali discrete: tutti i loro valori possono essere rinumerati con numeri naturali; Assegna a ogni valore una probabilità diversa da zero.- Moltiplica le coppie una per una: x i per p i .
- Aggiungiamo il prodotto di ciascuna coppia x i p i .
Ad esempio, per n = 4: m = ∑x i p i = x 1 p 1 + x 2 p 2 + x 3 p 3 + x 4 p 4
Esempio 1.
| x io | 1 | 3 | 4 | 7 | 9 |
| pi | 0.1 | 0.2 | 0.1 | 0.3 | 0.3 |
L'aspettativa matematica è trovata dalla formula m = ∑x i p i .
Aspettativa matematica M[X].
M[x] = 1*0,1 + 3*0,2 + 4*0,1 + 7*0,3 + 9*0,3 = 5,9
La dispersione si trova con la formula d = ∑x 2 i p i - M[x] 2 .
Dispersione D[X].
D[X] = 1 2 *0.1 + 3 2 *0.2 + 4 2 *0.1 + 7 2 *0.3 + 9 2 *0.3 - 5.9 2 = 7.69
Deviazione standard σ(x).
σ = sqrt(D[X]) = sqrt(7,69) = 2,78
Esempio #2. Una variabile casuale discreta ha la seguente serie di distribuzione:
| X | -10 | -5 | 0 | 5 | 10 |
| R | un | 0,32 | 2un | 0,41 | 0,03 |
Soluzione. Il valore a è ricavato dalla relazione: Σp i = 1
Σp i = a + 0,32 + 2 a + 0,41 + 0,03 = 0,76 + 3 a = 1
0,76 + 3 a = 1 o 0,24=3 a , da cui a = 0,08
Esempio #3. Determina la legge di distribuzione di una variabile casuale discreta se la sua varianza è nota e x 1
p 1 = 0,3; p2=0,3; p 3 = 0,1; p 4 \u003d 0,3
d(x)=12,96
Soluzione.
Qui è necessario creare una formula per trovare la varianza d (x):
d(x) = x 1 2 p 1 +x 2 2 p 2 +x 3 2 p 3 +x 4 2 p 4 -m(x) 2
dove aspettativa m(x)=x 1 p 1 +x 2 p 2 +x 3 p 3 +x 4 p 4
Per i nostri dati
m(x)=6*0,3+9*0,3+x 3 *0,1+15*0,3=9+0,1x 3
12,96 = 6 2 0,3+9 2 0,3+x 3 2 0,1+15 2 0,3-(9+0,1x 3) 2
o -9/100 (x 2 -20x+96)=0
Di conseguenza, è necessario trovare le radici dell'equazione e ce ne saranno due.
x 3 \u003d 8, x 3 \u003d 12
Scegliamo quello che soddisfa la condizione x 1
Legge di distribuzione di una variabile casuale discreta
x 1 =6; x2=9; x 3 \u003d 12; x4=15
p 1 = 0,3; p2=0,3; p 3 = 0,1; p 4 \u003d 0,3
La teoria della probabilità è una branca speciale della matematica che viene studiata solo dagli studenti degli istituti di istruzione superiore. Ami i calcoli e le formule? Non hai paura delle prospettive di conoscenza della distribuzione normale, dell'entropia dell'insieme, dell'aspettativa matematica e della varianza di una variabile casuale discreta? Allora questo argomento sarà di grande interesse per te. Facciamo conoscenza con alcuni dei concetti base più importanti di questa sezione della scienza.
Ricordiamo le basi
Anche se ricordi i concetti più semplici della teoria della probabilità, non trascurare i primi paragrafi dell'articolo. Il fatto è che senza una chiara comprensione delle basi, non sarai in grado di lavorare con le formule discusse di seguito.
Quindi, c'è qualche evento casuale, qualche esperimento. Come risultato delle azioni eseguite, possiamo ottenere diversi risultati: alcuni sono più comuni, altri meno comuni. La probabilità di un evento è il rapporto tra il numero di risultati effettivamente ottenuti di un tipo e il numero totale di quelli possibili. Solo conoscendo la definizione classica di questo concetto, si può iniziare a studiare l'aspettativa matematica e la dispersione di variabili aleatorie continue.
Media
A scuola, alle lezioni di matematica, hai iniziato a lavorare con la media aritmetica. Questo concetto è ampiamente utilizzato nella teoria della probabilità e quindi non può essere ignorato. La cosa principale per noi al momento è che lo incontreremo nelle formule per l'aspettativa matematica e la varianza di una variabile casuale.
Abbiamo una sequenza di numeri e vogliamo trovare la media aritmetica. Tutto ciò che ci viene richiesto è sommare tutto ciò che è disponibile e dividerlo per il numero di elementi nella sequenza. Abbiamo numeri da 1 a 9. La somma degli elementi sarà 45 e divideremo questo valore per 9. Risposta: - 5.
Dispersione
In termini scientifici, la varianza è il quadrato medio delle deviazioni dei valori delle caratteristiche ottenuti dalla media aritmetica. Uno è indicato da una lettera latina maiuscola D. Cosa è necessario per calcolarlo? Per ogni elemento della sequenza calcoliamo la differenza tra il numero disponibile e la media aritmetica e la quadramo. Ci saranno esattamente tanti valori quanti possono essere i risultati per l'evento che stiamo considerando. Successivamente, riassumiamo tutto ciò che abbiamo ricevuto e dividiamo per il numero di elementi nella sequenza. Se abbiamo cinque possibili risultati, allora dividi per cinque.
La varianza ha anche proprietà che è necessario ricordare per applicarla durante la risoluzione dei problemi. Ad esempio, se la variabile casuale viene aumentata di X volte, la varianza aumenta di X volte il quadrato (cioè X*X). Non è mai inferiore a zero e non dipende dallo spostamento dei valori di un valore uguale verso l'alto o verso il basso. Inoltre, per le prove indipendenti, la varianza della somma è uguale alla somma delle varianze.
Ora dobbiamo assolutamente considerare esempi della varianza di una variabile casuale discreta e dell'aspettativa matematica.
Diciamo che eseguiamo 21 esperimenti e otteniamo 7 risultati diversi. Abbiamo osservato ciascuno di essi, rispettivamente, 1,2,2,3,4,4 e 5 volte. Quale sarà la varianza?
Per prima cosa calcoliamo la media aritmetica: la somma degli elementi, ovviamente, è 21. La dividiamo per 7, ottenendo 3. Ora sottraiamo 3 da ogni numero nella sequenza originale, al quadrato ogni valore e sommiamo i risultati insieme . Risulta 12. Ora ci resta da dividere il numero per il numero di elementi e, sembrerebbe, questo è tutto. Ma c'è un problema! Discutiamolo.
Dipendenza dal numero di esperimenti
Si scopre che quando si calcola la varianza, il denominatore può essere uno di due numeri: N o N-1. Qui N è il numero di esperimenti eseguiti o il numero di elementi nella sequenza (che, in effetti, è lo stesso). Da cosa dipende?
Se il numero di test è misurato in centinaia, allora dobbiamo mettere al denominatore N. Se in unità, allora N-1. Gli scienziati hanno deciso di disegnare il confine in modo abbastanza simbolico: oggi corre lungo il numero 30. Se abbiamo condotto meno di 30 esperimenti, divideremo l'importo per N-1 e, se di più, per N.
Un compito
Torniamo al nostro esempio di risoluzione del problema della varianza e dell'aspettativa. Abbiamo ottenuto un numero intermedio di 12, che doveva essere diviso per N o N-1. Poiché abbiamo condotto 21 esperimenti, che sono meno di 30, sceglieremo la seconda opzione. Quindi la risposta è: la varianza è 12 / 2 = 2.
Valore atteso
Passiamo al secondo concetto, che dobbiamo considerare in questo articolo. L'aspettativa matematica è il risultato della somma di tutti i possibili risultati moltiplicati per le probabilità corrispondenti. È importante capire che il valore ottenuto, così come il risultato del calcolo della varianza, viene ottenuto solo una volta per l'intera attività, indipendentemente dal numero di risultati considerati in essa.
La formula matematica dell'aspettativa è abbastanza semplice: prendiamo il risultato, lo moltiplichiamo per la sua probabilità, aggiungiamo lo stesso per il secondo, terzo risultato, ecc. Tutto ciò che riguarda questo concetto è facile da calcolare. Ad esempio, la somma delle aspettative matematiche è uguale all'aspettativa matematica della somma. Lo stesso vale per il lavoro. Non tutte le quantità nella teoria della probabilità consentono di eseguire operazioni così semplici. Prendiamo un compito e calcoliamo il valore di due concetti che abbiamo studiato contemporaneamente. Inoltre, siamo stati distratti dalla teoria: è ora di esercitarsi.
Un altro esempio
Abbiamo eseguito 50 prove e ottenuto 10 tipi di risultati - numeri da 0 a 9 - visualizzati in percentuali variabili. Questi sono rispettivamente: 2%, 10%, 4%, 14%, 2%, 18%, 6%, 16%, 10%, 18%. Ricordiamo che per ottenere le probabilità, è necessario dividere i valori percentuali per 100. Quindi, otteniamo 0,02; 0.1 ecc. Presentiamo un esempio di risoluzione del problema per la varianza di una variabile casuale e l'aspettativa matematica.
Calcoliamo la media aritmetica utilizzando la formula che ricordiamo dalle elementari: 50/10 = 5.
Ora traduciamo le probabilità nel numero di risultati "in pezzi" per rendere più comodo il conteggio. Otteniamo 1, 5, 2, 7, 1, 9, 3, 8, 5 e 9. Da ogni valore ottenuto sottrarre la media aritmetica, dopo di che quadrare ciascuno dei risultati ottenuti. Guarda come farlo con il primo elemento come esempio: 1 - 5 = (-4). Inoltre: (-4) * (-4) = 16. Per altri valori, eseguire queste operazioni da soli. Se hai fatto tutto bene, dopo aver aggiunto tutto ottieni 90.
Continuiamo a calcolare la varianza e la media dividendo 90 per N. Perché scegliamo N e non N-1? Esatto, perché il numero di esperimenti eseguiti supera 30. Quindi: 90/10 = 9. Abbiamo ottenuto la dispersione. Se ottieni un numero diverso, non disperare. Molto probabilmente, hai commesso un errore banale nei calcoli. Ricontrolla ciò che hai scritto e di sicuro tutto andrà a posto.
Infine, ricordiamo la formula di aspettativa matematica. Non daremo tutti i calcoli, scriveremo solo la risposta con la quale potrai verificare dopo aver completato tutte le procedure richieste. Il valore atteso sarà 5,48. Ricordiamo solo come eseguire le operazioni, utilizzando l'esempio dei primi elementi: 0 * 0.02 + 1 * 0.1 ... e così via. Come puoi vedere, moltiplichiamo semplicemente il valore del risultato per la sua probabilità.
Deviazione
Un altro concetto strettamente correlato alla dispersione e all'aspettativa matematica è la deviazione standard. È indicato o dalle lettere latine sd, o dal greco minuscolo "sigma". Questo concetto mostra come, in media, i valori si discostino dalla caratteristica centrale. Per trovarne il valore, devi calcolare la radice quadrata della varianza.
Se si traccia una distribuzione normale e si desidera visualizzare la deviazione al quadrato direttamente su di essa, è possibile farlo in diversi passaggi. Prendi metà dell'immagine a sinistra oa destra della modalità (valore centrale), disegna una perpendicolare all'asse orizzontale in modo che le aree delle figure risultanti siano uguali. Il valore del segmento tra il centro della distribuzione e la proiezione risultante sull'asse orizzontale sarà la deviazione standard.
Software
Come si può vedere dalle descrizioni delle formule e dagli esempi presentati, il calcolo della varianza e dell'aspettativa matematica non è la procedura più semplice da un punto di vista aritmetico. Per non perdere tempo, ha senso utilizzare il programma utilizzato nell'istruzione superiore: si chiama "R". Ha funzioni che ti consentono di calcolare i valori per molti concetti dalla statistica e dalla teoria della probabilità.
Ad esempio, si definisce un vettore di valori. Questo viene fatto come segue: vettore<-c(1,5,2…). Теперь, когда вам потребуется посчитать какие-либо значения для этого вектора, вы пишете функцию и задаете его в качестве аргумента. Для нахождения дисперсии вам нужно будет использовать функцию var. Пример её использования: var(vector). Далее вы просто нажимаете «ввод» и получаете результат.
Infine
Dispersione e aspettativa matematica sono senza le quali è difficile calcolare qualcosa in futuro. Nel corso principale delle lezioni nelle università, sono considerati già nei primi mesi di studio della materia. È proprio a causa della mancanza di comprensione di questi semplici concetti e dell'incapacità di calcolarli che molti studenti iniziano immediatamente a rimanere indietro nel programma e successivamente ricevono voti bassi alla fine della sessione, che li priva di borse di studio.
Esercitati almeno una settimana per mezz'ora al giorno, risolvendo compiti simili a quelli presentati in questo articolo. Quindi, in qualsiasi test di teoria della probabilità, affronterai esempi senza suggerimenti e trucchi estranei.
Compito 1. La probabilità di germinazione dei semi di grano è 0,9. Qual è la probabilità che su quattro semi seminati ne germoglino almeno tre?
Soluzione. Lascia che l'evento MA- su 4 semi germoglieranno almeno 3 semi; evento A- su 4 semi germoglieranno 3 semi; evento DA Da 4 semi germoglieranno 4 semi. Secondo il teorema dell'addizione di probabilità
Probabilità 
e 
determiniamo con la formula di Bernoulli usata nel caso seguente. Lascia correre la serie P prove indipendenti, in ciascuna delle quali la probabilità che si verifichi un evento è costante e uguale a R, e la probabilità che questo evento non si verifichi è uguale a 
. Poi la probabilità che l'evento MA in P i test appariranno esattamente 
volte, calcolato con la formula di Bernoulli
,
dove 
- il numero di combinazioni di P elementi di 
. Quindi
Probabilità desiderata
Compito 2. La probabilità di germinazione dei semi di grano è 0,9. Trova la probabilità che su 400 semi seminati, 350 semi germoglino.
Soluzione. Calcola la probabilità desiderata 
secondo la formula di Bernoulli è difficile per l'ingombro dei calcoli. Pertanto, applichiamo una formula approssimativa che esprime il teorema di Laplace locale:
,
dove 
e 
.
Dalla condizione del problema. Quindi
.
Dalla tabella 1 delle applicazioni troviamo . La probabilità desiderata è uguale a
Compito 3. Tra i semi di grano, lo 0,02% delle erbe infestanti. Qual è la probabilità che una selezione casuale di 10.000 semi riveli 6 semi di erba?
Soluzione. Applicazione del teorema locale di Laplace per bassa probabilità 
porta a una deviazione significativa della probabilità dal valore esatto 
. Pertanto, per piccoli valori R calcolare 
applicare la formula asintotica di Poisson
, dove .
Questa formula viene utilizzata quando 
, e meno R e altro ancora P, più accurato è il risultato.
Secondo il compito 
;
. Quindi
Compito 4. La percentuale di germinazione dei semi di grano è del 90%. Trova la probabilità che da 500 semi seminati germoglino da 400 a 440 semi.
Soluzione. Se la probabilità che si verifichi un evento MA in ciascuno di P test è costante e uguale a R, quindi la probabilità 
che l'evento MA in tali prove ci saranno almeno 
una volta e non più 
volte è determinato dal teorema integrale di Laplace dalla seguente formula:
, dove
, 
.
Funzione 
è chiamata funzione di Laplace. Le appendici (Tabella 2) danno i valori di questa funzione per 
. In 
funzione 
. Per valori negativi X per la stranezza della funzione di Laplace 
. Usando la funzione di Laplace abbiamo:
Secondo il compito. Usando le formule di cui sopra, troviamo 
e 
:
Compito 5. Viene data la legge di distribuzione di una variabile aleatoria discreta X:
Trova: 1) aspettativa matematica; 2) dispersione; 3) deviazione standard.
Soluzione. 1) Se la legge di distribuzione di una variabile aleatoria discreta è data dalla tabella
|
| ||||||
Dove i valori della variabile casuale x sono dati nella prima riga e le probabilità di questi valori sono fornite nella seconda riga, l'aspettativa matematica è calcolata dalla formula
2) Dispersione 
variabile casuale discreta Xè chiamata aspettativa matematica del quadrato della deviazione di una variabile casuale dalla sua aspettativa matematica, cioè
Questo valore caratterizza il valore medio atteso della deviazione al quadrato X da 
. Dall'ultima formula che abbiamo
dispersione 
può essere trovato in un altro modo, in base alla sua seguente proprietà: varianza 
è uguale alla differenza tra l'aspettativa matematica del quadrato della variabile casuale X e il quadrato della sua aspettativa matematica 
, questo è
Calcolare 
componiamo la seguente legge di distribuzione della quantità 
:
3) Per caratterizzare la dispersione dei possibili valori di una variabile aleatoria attorno al suo valore medio si introduce la deviazione standard 
variabile casuale X, uguale alla radice quadrata della varianza 
, questo è
.
Da questa formula abbiamo: 
Compito 6. Variabile casuale continua X data dalla funzione di distribuzione integrale
Trova: 1) funzione di distribuzione differenziale 
; 2) aspettativa matematica 
; 3) dispersione 
.
Soluzione. 1) Funzione di distribuzione differenziale 
variabile casuale continua Xè chiamata derivata della funzione di distribuzione integrale 
, questo è
.
La funzione differenziale desiderata ha la forma seguente:
2) Se una variabile casuale continua X data dalla funzione 
, quindi la sua aspettativa matematica è determinata dalla formula
Poiché la funzione 
a 
e a 
è uguale a zero, quindi dall'ultima formula che abbiamo
.
3) Dispersione 
definito dalla formula
Compito 7. La lunghezza del pezzo è una variabile casuale normalmente distribuita con un'aspettativa matematica di 40 mm e una deviazione standard di 3 mm. Trova: 1) la probabilità che la lunghezza di una parte arbitraria sia maggiore di 34 mm e minore di 43 mm; 2) la probabilità che la lunghezza della parte si discosti dalla sua aspettativa matematica di non più di 1,5 mm.
Soluzione. 1) Lascia X- la lunghezza del pezzo. Se la variabile casuale X data dalla funzione differenziale 
, quindi la probabilità che X prenderà i valori appartenenti al segmento 
, è determinato dalla formula
.
Probabilità di soddisfare le disuguaglianze rigorose 
determinato dalla stessa formula. Se la variabile casuale X distribuito secondo la legge normale, quindi
, (1)
dove 
è la funzione di Laplace, 
.
In compito. Quindi
2) Dalla condizione del problema, dove 
. Sostituendo in (1) , abbiamo
. (2)
Dalla formula (2) abbiamo.
