Istruzione

Scrivi l'espressione logaritmica data. Se l'espressione usa il logaritmo di 10, la sua notazione viene abbreviata e si presenta così: lg b è il logaritmo decimale. Se il logaritmo ha come base il numero e, allora si scrive l'espressione: ln b è il logaritmo naturale. Resta inteso che il risultato di qualsiasi è la potenza a cui deve essere elevato il numero base per ottenere il numero b.

Quando trovi la somma di due funzioni, devi solo differenziarle una per una e aggiungere i risultati: (u+v)" = u"+v";

Quando si trova la derivata del prodotto di due funzioni, è necessario moltiplicare la derivata della prima funzione per la seconda e sommare la derivata della seconda funzione, moltiplicata per la prima funzione: (u*v)" = u"* v+v"*u;

Per trovare la derivata del quoziente di due funzioni è necessario, dal prodotto della derivata del dividendo moltiplicato per la funzione divisore, sottrarre il prodotto della derivata del divisore moltiplicato per la funzione divisore, e dividere tutto questo dalla funzione divisore al quadrato. (u/v)" = (u"*v-v"*u)/v^2;

Se viene data una funzione complessa, è necessario moltiplicare la derivata della funzione interna e la derivata di quella esterna. Sia y=u(v(x)), quindi y"(x)=y"(u)*v"(x).

Usando quanto ottenuto sopra, puoi differenziare quasi tutte le funzioni. Allora diamo un'occhiata ad alcuni esempi:

y=x^4, y"=4*x^(4-1)=4*x^3;

y=2*x^3*(e^x-x^2+6), y"=2*(3*x^2*(e^x-x^2+6)+x^3*(e^x-2 *X));
Ci sono anche compiti per calcolare la derivata in un punto. Sia data la funzione y=e^(x^2+6x+5), devi trovare il valore della funzione nel punto x=1.
1) Trova la derivata della funzione: y"=e^(x^2-6x+5)*(2*x +6).

2) Calcola il valore della funzione nel punto dato y"(1)=8*e^0=8

Video collegati

Consigli utili

Impara la tavola delle derivate elementari. Ciò farà risparmiare un sacco di tempo.

Fonti:

• derivata costante

Allora qual è la differenza tra un'equazione irrazionale e una razionale? Se la variabile sconosciuta è sotto il segno della radice quadrata, l'equazione è considerata irrazionale.

Istruzione

Il metodo principale per risolvere tali equazioni è il metodo per sollevare entrambi i lati equazioni in un quadrato. Tuttavia. questo è naturale, il primo passo è sbarazzarsi del segno. Tecnicamente, questo metodo non è difficile, ma a volte può causare problemi. Ad esempio, l'equazione v(2x-5)=v(4x-7). Quadrando entrambi i lati, ottieni 2x-5=4x-7. Una tale equazione non è difficile da risolvere; x=1. Ma il numero 1 non sarà dato equazioni. Come mai? Sostituisci l'unità nell'equazione invece del valore x. E i lati destro e sinistro conterranno espressioni che non hanno senso, cioè. Tale valore non è valido per una radice quadrata. Pertanto, 1 è una radice estranea e quindi questa equazione non ha radici.

Quindi, l'equazione irrazionale viene risolta usando il metodo della quadratura di entrambe le sue parti. E dopo aver risolto l'equazione, è necessario tagliare le radici estranee. Per fare ciò, sostituisci le radici trovate nell'equazione originale.

Considerane un altro.
2x+vx-3=0
Naturalmente, questa equazione può essere risolta usando la stessa equazione della precedente. Composti di trasferimento equazioni, che non hanno radice quadrata, sul lato destro e quindi utilizzare il metodo della squadratura. risolvere l'equazione razionale e le radici risultanti. Ma un altro, più elegante. Immettere una nuova variabile; vx=y. Di conseguenza, otterrai un'equazione come 2y2+y-3=0. Questa è la solita equazione quadratica. Trova le sue radici; y1=1 e y2=-3/2. Quindi, risolvi due equazioni vx=1; vx \u003d -3/2. La seconda equazione non ha radici, dalla prima troviamo che x=1. Non dimenticare la necessità di controllare le radici.

Risolvere le identità è abbastanza facile. Ciò richiede l'esecuzione di trasformazioni identiche fino al raggiungimento dell'obiettivo. Pertanto, con l'aiuto delle più semplici operazioni aritmetiche, il compito sarà risolto.

Avrai bisogno

• - carta;
• - una penna.

Istruzione

Le trasformazioni più semplici sono le moltiplicazioni abbreviate algebriche (come il quadrato della somma (differenza), la differenza di quadrati, la somma (differenza), il cubo della somma (differenza)). Inoltre, ci sono molte formule trigonometriche che sono essenzialmente le stesse identità.

Infatti il ​​quadrato della somma di due termini è uguale al quadrato del primo più il doppio del prodotto del primo e del secondo più il quadrato del secondo, cioè (a+b)^2= (a+b )(a+b)=a^2+ab +ba+b ^2=a^2+2ab+b^2.

Semplifica entrambi

Principi generali di soluzione

Ripetere da un libro di testo di analisi matematica o matematica superiore, che è un integrale definito. Come sapete, la soluzione di un integrale definito è una funzione la cui derivata darà un integrando. Questa funzione è chiamata antiderivata. Secondo questo principio si costruiscono gli integrali di base.
Determinare con la forma dell'integrando quale degli integrali di tabella è adatto in questo caso. Non è sempre possibile determinarlo immediatamente. Spesso, la forma tabulare diventa evidente solo dopo diverse trasformazioni per semplificare l'integrando.

Metodo di sostituzione delle variabili

Se l'integrando è una funzione trigonometrica il cui argomento è un polinomio, prova a usare il metodo del cambio di variabili. Per fare ciò, sostituisci il polinomio nell'argomento dell'integrando con una nuova variabile. In base al rapporto tra la nuova e la vecchia variabile, determinare i nuovi limiti di integrazione. Differenziando questa espressione, trova un nuovo differenziale in . Pertanto, otterrai una nuova forma del vecchio integrale, vicina o addirittura corrispondente a qualsiasi tabella.

Soluzione di integrali del secondo tipo

Se l'integrale è un integrale del secondo tipo, la forma vettoriale dell'integrando, allora dovrai usare le regole per passare da questi integrali a quelli scalari. Una di queste regole è il rapporto Ostrogradsky-Gauss. Questa legge permette di passare dal flusso rotorico di una qualche funzione vettoriale a un integrale triplo sulla divergenza di un dato campo vettoriale.

Sostituzione dei limiti di integrazione

Dopo aver trovato l'antiderivata, è necessario sostituire i limiti di integrazione. Innanzitutto, sostituisci il valore del limite superiore nell'espressione per l'antiderivata. Riceverai un numero. Quindi, sottrai dal numero risultante un altro numero, il limite inferiore risultante dell'antiderivata. Se uno dei limiti di integrazione è l'infinito, allora quando lo si sostituisce nella funzione antiderivativa, è necessario andare al limite e trovare ciò a cui tende l'espressione.
Se l'integrale è bidimensionale o tridimensionale, dovrai rappresentare i limiti geometrici dell'integrazione per capire come calcolare l'integrale. Infatti, nel caso, diciamo, di un integrale tridimensionale, i limiti dell'integrazione possono essere interi piani che limitano il volume da integrare.

Che cos'è un logaritmo?

Attenzione!
Ci sono ulteriori
materiale nella Parte Speciale 555.
Per chi fortemente "non molto..."
E per chi "molto...")

Che cos'è un logaritmo? Come risolvere i logaritmi? Queste domande confondono molti laureati. Tradizionalmente, il tema dei logaritmi è considerato complesso, incomprensibile e spaventoso. Soprattutto - equazioni con logaritmi.

Questo non è assolutamente vero. Assolutamente! Non credi? Bene. Ora, per circa 10 - 20 minuti:

1. Comprendi cos'è un logaritmo.

2. Impara a risolvere un'intera classe di equazioni esponenziali. Anche se non ne hai sentito parlare.

3. Impara a calcolare semplici logaritmi.

Inoltre, per questo dovrai solo conoscere la tabellina e come un numero viene elevato a potenza ...

Sento che dubiti... Bene, tieni il tempo! Andare!

Per prima cosa, risolvi la seguente equazione nella tua mente:

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puoi familiarizzare con funzioni e derivate.

In relazione con

il compito di trovare uno qualsiasi dei tre numeri degli altri due, dati, può essere impostato. Dato a e quindi N si trova per esponenziazione. Se vengono dati N e quindi a si trova estraendo la radice della potenza x (o esponenziazione). Consideriamo ora il caso in cui, dati a e N, è necessario trovare x.

Sia il numero N positivo: il numero a è positivo e diverso da uno: .

Definizione. Il logaritmo del numero N in base a è l'esponente a cui bisogna elevare a per ottenere il numero N; il logaritmo è indicato da

Quindi, nell'uguaglianza (26.1), l'esponente si trova come logaritmo di N in base a. Inserimenti

hanno lo stesso significato. L'uguaglianza (26.1) è talvolta chiamata l'identità fondamentale della teoria dei logaritmi; esprime infatti la definizione del concetto di logaritmo. Per questa definizione, la base del logaritmo a è sempre positiva e diversa dall'unità; il numero logaritmico N è positivo. I numeri negativi e lo zero non hanno logaritmi. Si può dimostrare che qualsiasi numero con una data base ha un logaritmo ben definito. Quindi l'uguaglianza implica. Si noti che qui la condizione è essenziale, altrimenti la conclusione non sarebbe giustificata, poiché l'uguaglianza è vera per qualsiasi valore di xey.

Esempio 1. Trova

Soluzione. Per ottenere il numero, è necessario elevare la base 2 alla potenza Pertanto.

Puoi registrare quando risolvi tali esempi nel seguente modulo:

Esempio 2. Trova.

Soluzione. abbiamo

Negli esempi 1 e 2, abbiamo facilmente trovato il logaritmo desiderato rappresentando il numero logaritmico come un grado di base con un esponente razionale. Nel caso generale, ad esempio, per ecc., ciò non può essere fatto, poiché il logaritmo ha un valore irrazionale. Prestiamo attenzione a una domanda relativa a questa affermazione. Nel § 12 abbiamo dato il concetto della possibilità di determinare una qualsiasi potenza reale di un dato numero positivo. Ciò era necessario per l'introduzione dei logaritmi, che, in generale, possono essere numeri irrazionali.

Considera alcune proprietà dei logaritmi.

Proprietà 1. Se il numero e la base sono uguali, il logaritmo è uguale a uno e, al contrario, se il logaritmo è uguale a uno, il numero e la base sono uguali.

Prova. Sia Per la definizione del logaritmo, abbiamo e donde

Al contrario, sia Allora per definizione

Proprietà 2. Il logaritmo dell'unità a qualsiasi base è uguale a zero.

Prova. Per la definizione del logaritmo (la potenza zero di ogni base positiva è uguale a uno, vedere (10.1)). Da qui

QED

Vale anche l'affermazione inversa: se , allora N = 1. Infatti, abbiamo .

Prima di enunciare la seguente proprietà dei logaritmi, concordiamo nel dire che due numeri aeb giacciono dalla stessa parte di un terzo numero c se sono entrambi maggiori di c o minori di c. Se uno di questi numeri è maggiore di c e l'altro è minore di c, allora diciamo che giacciono sui lati opposti di c.

Proprietà 3. Se il numero e la base giacciono dallo stesso lato dell'unità, il logaritmo è positivo; se il numero e la base giacciono ai lati opposti dell'unità, allora il logaritmo è negativo.

La dimostrazione della proprietà 3 si basa sul fatto che il grado di a è maggiore di uno se la base è maggiore di uno e l'esponente è positivo, oppure la base è minore di uno e l'esponente è negativo. Il grado è minore di uno se la base è maggiore di uno e l'esponente è negativo, oppure la base è minore di uno e l'esponente è positivo.

I casi da considerare sono quattro:

Ci limitiamo all'analisi del primo di essi, il lettore considererà il resto da solo.

Sia quindi l'esponente di uguaglianza né negativo né uguale a zero, quindi è positivo, cioè che doveva essere dimostrato.

Esempio 3. Scopri quali dei seguenti logaritmi sono positivi e quali negativi:

Soluzione, a) poiché il numero 15 e la base 12 si trovano dallo stesso lato dell'unità;

b) , poiché 1000 e 2 si trovano dallo stesso lato dell'unità; allo stesso tempo, non è essenziale che la base sia maggiore del numero logaritmico;

c), poiché 3.1 e 0.8 giacciono su lati opposti dell'unità;

G) ; perché?

e) ; perché?

Le seguenti proprietà 4-6 sono spesso chiamate regole del logaritmo: consentono, conoscendo i logaritmi di alcuni numeri, di trovare i logaritmi del loro prodotto, quoziente, grado di ciascuno di essi.

Proprietà 4 (la regola per il logaritmo del prodotto). Il logaritmo del prodotto di più numeri positivi in ​​una data base è uguale alla somma dei logaritmi di questi numeri nella stessa base.

Prova. Si danno numeri positivi.

Per il logaritmo del loro prodotto, scriviamo l'uguaglianza (26.1) che definisce il logaritmo:

Da qui troviamo

Confrontando gli esponenti della prima e dell'ultima espressione, otteniamo l'uguaglianza richiesta:

Si noti che la condizione è essenziale; il logaritmo del prodotto di due numeri negativi ha senso, ma in questo caso otteniamo

In generale, se il prodotto di più fattori è positivo, il suo logaritmo è uguale alla somma dei logaritmi dei moduli di questi fattori.

Proprietà 5 (regola del logaritmo del quoziente). Il logaritmo di un quoziente di numeri positivi è uguale alla differenza tra i logaritmi del dividendo e del divisore, presi nella stessa base. Prova. Trova costantemente

QED

Proprietà 6 (regola del logaritmo del grado). Il logaritmo della potenza di qualsiasi numero positivo è uguale al logaritmo di quel numero moltiplicato per l'esponente.

Prova. Riscriviamo l'identità principale (26.1) per il numero:

QED

Conseguenza. Il logaritmo della radice di un numero positivo è uguale al logaritmo della radice diviso per l'esponente della radice:

Possiamo provare la validità di questo corollario presentando come e utilizzando la proprietà 6.

Esempio 4. Logaritmo in base a:

a) (si presume che tutti i valori b, c, d, e siano positivi);

b) (si presume che ).

Soluzione, a) Conviene passare in questa espressione alle potenze frazionarie:

Sulla base delle uguaglianze (26,5)-(26,7) possiamo ora scrivere:

Notiamo che operazioni più semplici vengono eseguite sui logaritmi dei numeri che sui numeri stessi: quando si moltiplicano i numeri si sommano i loro logaritmi, quando si dividono si sottraggono, ecc.

Ecco perché i logaritmi sono stati usati nella pratica computazionale (vedi Sez. 29).

L'azione inversa al logaritmo si chiama potenziamento, ovvero: il potenziamento è l'azione per cui questo numero stesso viene trovato dal logaritmo dato di un numero. In sostanza, il potenziamento non è un'azione speciale: si tratta di elevare la base a una potenza (uguale al logaritmo del numero). Il termine "potenziamento" può essere considerato sinonimo del termine "esponenziale".

Quando si potenzia, è necessario utilizzare le regole inverse alle regole del logaritmo: sostituire la somma dei logaritmi con il logaritmo del prodotto, la differenza dei logaritmi con il logaritmo del quoziente, ecc. In particolare, se c'è qualsiasi fattore davanti al segno del logaritmo, quindi durante il potenziamento deve essere trasferito ai gradi indicatori sotto il segno del logaritmo.

Esempio 5. Trova N se è noto

Soluzione. In connessione con la regola di potenziamento appena enunciata, i fattori 2/3 e 1/3, che stanno davanti ai segni dei logaritmi sul lato destro di questa uguaglianza, saranno trasferiti agli esponenti sotto i segni di questi logaritmi; noi abbiamo

Ora sostituiamo la differenza dei logaritmi con il logaritmo del quoziente:

per ottenere l'ultima frazione di questa catena di uguaglianze, abbiamo liberato la frazione precedente dall'irrazionalità al denominatore (sezione 25).

Proprietà 7. Se la base è maggiore di uno, il numero maggiore ha un logaritmo maggiore (e quello minore ne ha uno minore), se la base è minore di uno, il numero maggiore ha un logaritmo minore (e il minore uno ne ha uno più grande).

Questa proprietà è anche formulata come regola per il logaritmo delle disuguaglianze, le cui parti sono entrambe positive:

Quando si porta il logaritmo delle disuguaglianze su una base maggiore di uno, il segno di disuguaglianza viene mantenuto e quando si porta un logaritmo su una base inferiore a uno, il segno della disuguaglianza viene invertito (vedi anche punto 80).

La dimostrazione si basa sulle proprietà 5 e 3. Si consideri il caso in cui If , allora e, prendendo il logaritmo, otteniamo

(a e N/M giacciono sullo stesso lato dell'unità). Da qui

Segue il caso a, il lettore lo capirà da solo.

proprietà di base.

1. logax + logay = log(x y);
2. logax − logay = log(x: y).

stessi motivi

log6 4 + log6 9.

Ora complichiamo un po' il compito.

Esempi di risoluzione dei logaritmi

E se c'è un grado nella base o nell'argomento del logaritmo? Quindi l'esponente di questo grado può essere estratto dal segno del logaritmo secondo le seguenti regole:

Naturalmente, tutte queste regole hanno senso se si osserva il logaritmo ODZ: a > 0, a ≠ 1, x >

Un compito. Trova il valore dell'espressione:

Passaggio a una nuova fondazione

Sia dato il logaritmo logax. Allora per ogni numero c tale che c > 0 e c ≠ 1, l'uguaglianza è vera:

Un compito. Trova il valore dell'espressione:

Guarda anche:

Proprietà di base del logaritmo

1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.

L'esponente è 2.718281828…. Per ricordare l'esponente, puoi studiare la regola: l'esponente è 2,7 e il doppio dell'anno di nascita di Leone Tolstoj.

Proprietà di base dei logaritmi

Conoscendo questa regola, conoscerai sia il valore esatto dell'esponente che la data di nascita di Leone Tolstoj.

Esempi di logaritmi

Prendi il logaritmo delle espressioni

Esempio 1
un). x=10ac^2 (a>0, c>0).

Con le proprietà 3,5 calcoliamo

2.

3.

4. dove .

Esempio 2 Trova x se

Esempio 3. Sia dato il valore dei logaritmi

Calcola log(x) se

Proprietà di base dei logaritmi

I logaritmi, come qualsiasi numero, possono essere aggiunti, sottratti e convertiti in ogni modo possibile. Ma poiché i logaritmi non sono numeri ordinari, qui ci sono regole che vengono chiamate proprietà di base.

Queste regole devono essere conosciute - nessun serio problema logaritmico può essere risolto senza di esse. Inoltre, ce ne sono pochissimi: tutto può essere appreso in un giorno. Quindi iniziamo.

Addizioni e sottrazioni di logaritmi

Considera due logaritmi con la stessa base: logax e logay. Quindi possono essere aggiunti e sottratti e:

1. logax + logay = log(x y);
2. logax − logay = log(x: y).

Quindi, la somma dei logaritmi è uguale al logaritmo del prodotto e la differenza è il logaritmo del quoziente. Nota: il punto chiave qui è - stessi motivi. Se le basi sono diverse, queste regole non funzionano!

Queste formule aiuteranno a calcolare l'espressione logaritmica anche quando le sue singole parti non vengono considerate (vedi la lezione "Cos'è un logaritmo"). Dai un'occhiata agli esempi e guarda:

Poiché le basi dei logaritmi sono le stesse, utilizziamo la formula della somma:
log6 4 + log6 9 = log6 (4 9) = log6 36 = 2.

Un compito. Trova il valore dell'espressione: log2 48 − log2 3.

Le basi sono le stesse, usiamo la formula della differenza:
log2 48 − log2 3 = log2 (48: 3) = log2 16 = 4.

Un compito. Trova il valore dell'espressione: log3 135 − log3 5.

Anche in questo caso, le basi sono le stesse, quindi abbiamo:
log3 135 − log3 5 = log3 (135: 5) = log3 27 = 3.

Come puoi vedere, le espressioni originali sono costituite da logaritmi "cattivi", che non vengono considerati separatamente. Ma dopo le trasformazioni risultano numeri abbastanza normali. Molti test si basano su questo fatto. Sì, controllo - espressioni simili in tutta serietà (a volte - praticamente senza modifiche) vengono offerte all'esame.

Eliminando l'esponente dal logaritmo

È facile vedere che l'ultima regola segue le prime due. Ma è meglio ricordarlo comunque: in alcuni casi ridurrà notevolmente la quantità di calcoli.

Naturalmente, tutte queste regole hanno senso se si osserva il logaritmo ODZ: a > 0, a ≠ 1, x > 0. E ancora una cosa: impara ad applicare tutte le formule non solo da sinistra a destra, ma anche viceversa, cioè puoi inserire i numeri prima del segno del logaritmo nel logaritmo stesso. Questo è ciò che è più spesso richiesto.

Un compito. Trova il valore dell'espressione: log7 496.

Eliminiamo il grado nell'argomento secondo la prima formula:
log7 496 = 6 log7 49 = 6 2 = 12

Un compito. Trova il valore dell'espressione:

Si noti che il denominatore è un logaritmo la cui base e argomento sono potenze esatte: 16 = 24; 49 = 72. Abbiamo:

Penso che l'ultimo esempio abbia bisogno di chiarimenti. Dove sono finiti i logaritmi? Fino all'ultimo momento, lavoriamo solo con il denominatore.

Formule dei logaritmi. I logaritmi sono esempi di soluzioni.

Hanno presentato la base e l'argomento del logaritmo in piedi sotto forma di gradi e hanno estratto gli indicatori: hanno ottenuto una frazione di "tre piani".

Ora diamo un'occhiata alla frazione principale. Il numeratore e il denominatore hanno lo stesso numero: log2 7. Poiché log2 7 ≠ 0, possiamo ridurre la frazione - 2/4 rimarranno al denominatore. Secondo le regole dell'aritmetica, il quattro può essere trasferito al numeratore, cosa che è stata fatta. Il risultato è la risposta: 2.

Passaggio a una nuova fondazione

Parlando delle regole per aggiungere e sottrarre logaritmi, ho sottolineato in modo specifico che funzionano solo con le stesse basi. E se le basi sono diverse? E se non fossero potenze esatte dello stesso numero?

Le formule per il passaggio a una nuova base vengono in soccorso. Le formuliamo sotto forma di teorema:

Sia dato il logaritmo logax. Allora per ogni numero c tale che c > 0 e c ≠ 1, l'uguaglianza è vera:

In particolare, se mettiamo c = x, otteniamo:

Dalla seconda formula deriva che è possibile scambiare la base e l'argomento del logaritmo, ma in questo caso l'intera espressione è “rivoltata”, cioè il logaritmo è al denominatore.

Queste formule si trovano raramente nelle normali espressioni numeriche. È possibile valutare quanto siano convenienti solo quando si risolvono equazioni e disequazioni logaritmiche.

Tuttavia, ci sono compiti che non possono essere risolti affatto se non passando a una nuova fondazione. Consideriamo un paio di questi:

Un compito. Trova il valore dell'espressione: log5 16 log2 25.

Si noti che gli argomenti di entrambi i logaritmi sono esponenti esatti. Estraiamo gli indicatori: log5 16 = log5 24 = 4log5 2; log2 25 = log2 52 = 2log2 5;

Ora capovolgiamo il secondo logaritmo:

Poiché il prodotto non cambia dalla permutazione dei fattori, abbiamo tranquillamente moltiplicato quattro e due, quindi abbiamo calcolato i logaritmi.

Un compito. Trova il valore dell'espressione: log9 100 lg 3.

La base e l'argomento del primo logaritmo sono potenze esatte. Scriviamolo e sbarazziamoci degli indicatori:

Ora sbarazziamoci del logaritmo decimale spostandoci su una nuova base:

Identità logaritmica di base

Spesso nel processo di risoluzione è necessario rappresentare un numero come un logaritmo su una data base. In questo caso, le formule ci aiuteranno:

Nel primo caso, il numero n diventa l'esponente nell'argomento. Il numero n può essere assolutamente qualsiasi cosa, perché è solo il valore del logaritmo.

La seconda formula è in realtà una definizione parafrasata. Si chiama così:

In effetti, cosa accadrà se il numero b è elevato a un livello tale che il numero b in questo grado dia il numero a? Esatto: questo è lo stesso numero a. Leggi di nuovo attentamente questo paragrafo: molte persone "si appendono" ad esso.

Come le nuove formule di conversione di base, l'identità logaritmica di base è talvolta l'unica soluzione possibile.

Un compito. Trova il valore dell'espressione:

Si noti che log25 64 = log5 8 - ha appena tolto il quadrato dalla base e l'argomento del logaritmo. Date le regole per moltiplicare potenze con la stessa base, otteniamo:

Se qualcuno non è a conoscenza, questo è stato un vero compito dall'Esame di Stato unificato 🙂

Unità logaritmica e zero logaritmico

In conclusione, darò due identità che è difficile chiamare proprietà - piuttosto, queste sono conseguenze dalla definizione del logaritmo. Si trovano costantemente nei problemi e, sorprendentemente, creano problemi anche agli studenti "avanzati".

1. logaa = 1 è. Ricorda una volta per tutte: il logaritmo su qualsiasi base a da quella base stessa è uguale a uno.
2. loga 1 = 0 è. La base a può essere qualsiasi cosa, ma se l'argomento è uno, il logaritmo è zero! Perché a0 = 1 è una diretta conseguenza della definizione.

Queste sono tutte le proprietà. Assicurati di esercitarti a metterli in pratica! Scarica il cheat sheet all'inizio della lezione, stampalo e risolvi i problemi.

Guarda anche:

Il logaritmo del numero b alla base a denota l'espressione. Calcolare il logaritmo significa trovare una tale potenza x() alla quale l'uguaglianza è vera

Proprietà di base del logaritmo

Le proprietà di cui sopra devono essere note, poiché, sulla loro base, quasi tutti i problemi e gli esempi sono risolti in base ai logaritmi. Le restanti proprietà esotiche possono essere derivate da manipolazioni matematiche con queste formule

1.
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15.

Quando si calcolano le formule per la somma e la differenza dei logaritmi (3.4) si incontrano abbastanza spesso. Il resto è alquanto complesso, ma in una serie di attività sono indispensabili per semplificare le espressioni complesse e calcolarne i valori.

Casi comuni di logaritmi

Alcuni dei logaritmi comuni sono quelli in cui la base è pari a dieci, esponenziale o due.
Il logaritmo in base dieci è solitamente chiamato logaritmo in base dieci ed è semplicemente indicato con lg(x).

Si può vedere dal record che le basi non sono scritte nel record. Per esempio

Il logaritmo naturale è il logaritmo la cui base è l'esponente (indicato con ln(x)).

L'esponente è 2.718281828…. Per ricordare l'esponente, puoi studiare la regola: l'esponente è 2,7 e il doppio dell'anno di nascita di Leone Tolstoj. Conoscendo questa regola, conoscerai sia il valore esatto dell'esponente che la data di nascita di Leone Tolstoj.

E un altro importante logaritmo in base due è

La derivata del logaritmo della funzione è uguale a uno diviso per la variabile

Il logaritmo integrale o antiderivato è determinato dalla dipendenza

Il materiale di cui sopra è sufficiente per risolvere un'ampia classe di problemi relativi a logaritmi e logaritmi. Per assimilare il materiale, fornirò solo alcuni esempi comuni tratti dal curriculum scolastico e dalle università.

Esempi di logaritmi

Prendi il logaritmo delle espressioni

Esempio 1
un). x=10ac^2 (a>0, c>0).

Con le proprietà 3,5 calcoliamo

2.
Per la proprietà differenza dei logaritmi abbiamo

3.
Usando le proprietà 3.5 troviamo

4. dove .

Un'espressione apparentemente complessa che utilizza una serie di regole viene semplificata nella forma

Trovare valori logaritmici

Esempio 2 Trova x se

Soluzione. Per il calcolo applichiamo le proprietà 5 e 13 fino all'ultimo termine

Sostituisci nel verbale e piangi

Poiché le basi sono uguali, uguagliamo le espressioni

Logaritmi. Primo livello.

Sia dato il valore dei logaritmi

Calcola log(x) se

Soluzione: prendi il logaritmo della variabile per scrivere il logaritmo attraverso la somma dei termini

Questo è solo l'inizio della conoscenza dei logaritmi e delle loro proprietà. Esercitati con i calcoli, arricchisci le tue abilità pratiche: presto avrai bisogno delle conoscenze acquisite per risolvere le equazioni logaritmiche. Dopo aver studiato i metodi di base per risolvere tali equazioni, amplieremo le tue conoscenze per un altro argomento altrettanto importante: le disuguaglianze logaritmiche ...

Proprietà di base dei logaritmi

I logaritmi, come qualsiasi numero, possono essere aggiunti, sottratti e convertiti in ogni modo possibile. Ma poiché i logaritmi non sono numeri ordinari, qui ci sono regole che vengono chiamate proprietà di base.

Queste regole devono essere conosciute - nessun serio problema logaritmico può essere risolto senza di esse. Inoltre, ce ne sono pochissimi: tutto può essere appreso in un giorno. Quindi iniziamo.

Addizioni e sottrazioni di logaritmi

Considera due logaritmi con la stessa base: logax e logay. Quindi possono essere aggiunti e sottratti e:

1. logax + logay = log(x y);
2. logax − logay = log(x: y).

Quindi, la somma dei logaritmi è uguale al logaritmo del prodotto e la differenza è il logaritmo del quoziente. Nota: il punto chiave qui è - stessi motivi. Se le basi sono diverse, queste regole non funzionano!

Queste formule aiuteranno a calcolare l'espressione logaritmica anche quando le sue singole parti non vengono considerate (vedi la lezione "Cos'è un logaritmo"). Dai un'occhiata agli esempi e guarda:

Un compito. Trova il valore dell'espressione: log6 4 + log6 9.

Poiché le basi dei logaritmi sono le stesse, utilizziamo la formula della somma:
log6 4 + log6 9 = log6 (4 9) = log6 36 = 2.

Un compito. Trova il valore dell'espressione: log2 48 − log2 3.

Le basi sono le stesse, usiamo la formula della differenza:
log2 48 − log2 3 = log2 (48: 3) = log2 16 = 4.

Un compito. Trova il valore dell'espressione: log3 135 − log3 5.

Anche in questo caso, le basi sono le stesse, quindi abbiamo:
log3 135 − log3 5 = log3 (135: 5) = log3 27 = 3.

Come puoi vedere, le espressioni originali sono costituite da logaritmi "cattivi", che non vengono considerati separatamente. Ma dopo le trasformazioni risultano numeri abbastanza normali. Molti test si basano su questo fatto. Sì, controllo - espressioni simili in tutta serietà (a volte - praticamente senza modifiche) vengono offerte all'esame.

Eliminando l'esponente dal logaritmo

Ora complichiamo un po' il compito. E se c'è un grado nella base o nell'argomento del logaritmo? Quindi l'esponente di questo grado può essere estratto dal segno del logaritmo secondo le seguenti regole:

È facile vedere che l'ultima regola segue le prime due. Ma è meglio ricordarlo comunque: in alcuni casi ridurrà notevolmente la quantità di calcoli.

Naturalmente, tutte queste regole hanno senso se si osserva il logaritmo ODZ: a > 0, a ≠ 1, x > 0. E ancora una cosa: impara ad applicare tutte le formule non solo da sinistra a destra, ma anche viceversa, cioè puoi inserire i numeri prima del segno del logaritmo nel logaritmo stesso.

Come risolvere i logaritmi

Questo è ciò che è più spesso richiesto.

Un compito. Trova il valore dell'espressione: log7 496.

Eliminiamo il grado nell'argomento secondo la prima formula:
log7 496 = 6 log7 49 = 6 2 = 12

Un compito. Trova il valore dell'espressione:

Si noti che il denominatore è un logaritmo la cui base e argomento sono potenze esatte: 16 = 24; 49 = 72. Abbiamo:

Penso che l'ultimo esempio abbia bisogno di chiarimenti. Dove sono finiti i logaritmi? Fino all'ultimo momento, lavoriamo solo con il denominatore. Hanno presentato la base e l'argomento del logaritmo in piedi sotto forma di gradi e hanno estratto gli indicatori: hanno ottenuto una frazione di "tre piani".

Ora diamo un'occhiata alla frazione principale. Il numeratore e il denominatore hanno lo stesso numero: log2 7. Poiché log2 7 ≠ 0, possiamo ridurre la frazione - 2/4 rimarranno al denominatore. Secondo le regole dell'aritmetica, il quattro può essere trasferito al numeratore, cosa che è stata fatta. Il risultato è la risposta: 2.

Passaggio a una nuova fondazione

Parlando delle regole per aggiungere e sottrarre logaritmi, ho sottolineato in modo specifico che funzionano solo con le stesse basi. E se le basi sono diverse? E se non fossero potenze esatte dello stesso numero?

Le formule per il passaggio a una nuova base vengono in soccorso. Le formuliamo sotto forma di teorema:

Sia dato il logaritmo logax. Allora per ogni numero c tale che c > 0 e c ≠ 1, l'uguaglianza è vera:

In particolare, se mettiamo c = x, otteniamo:

Dalla seconda formula deriva che è possibile scambiare la base e l'argomento del logaritmo, ma in questo caso l'intera espressione è “rivoltata”, cioè il logaritmo è al denominatore.

Queste formule si trovano raramente nelle normali espressioni numeriche. È possibile valutare quanto siano convenienti solo quando si risolvono equazioni e disequazioni logaritmiche.

Tuttavia, ci sono compiti che non possono essere risolti affatto se non passando a una nuova fondazione. Consideriamo un paio di questi:

Un compito. Trova il valore dell'espressione: log5 16 log2 25.

Si noti che gli argomenti di entrambi i logaritmi sono esponenti esatti. Estraiamo gli indicatori: log5 16 = log5 24 = 4log5 2; log2 25 = log2 52 = 2log2 5;

Ora capovolgiamo il secondo logaritmo:

Poiché il prodotto non cambia dalla permutazione dei fattori, abbiamo tranquillamente moltiplicato quattro e due, quindi abbiamo calcolato i logaritmi.

Un compito. Trova il valore dell'espressione: log9 100 lg 3.

La base e l'argomento del primo logaritmo sono potenze esatte. Scriviamolo e sbarazziamoci degli indicatori:

Ora sbarazziamoci del logaritmo decimale spostandoci su una nuova base:

Identità logaritmica di base

Spesso nel processo di risoluzione è necessario rappresentare un numero come un logaritmo su una data base. In questo caso, le formule ci aiuteranno:

Nel primo caso, il numero n diventa l'esponente nell'argomento. Il numero n può essere assolutamente qualsiasi cosa, perché è solo il valore del logaritmo.

La seconda formula è in realtà una definizione parafrasata. Si chiama così:

In effetti, cosa accadrà se il numero b è elevato a un livello tale che il numero b in questo grado dia il numero a? Esatto: questo è lo stesso numero a. Leggi di nuovo attentamente questo paragrafo: molte persone "si appendono" ad esso.

Come le nuove formule di conversione di base, l'identità logaritmica di base è talvolta l'unica soluzione possibile.

Un compito. Trova il valore dell'espressione:

Si noti che log25 64 = log5 8 - ha appena tolto il quadrato dalla base e l'argomento del logaritmo. Date le regole per moltiplicare potenze con la stessa base, otteniamo:

Se qualcuno non è a conoscenza, questo è stato un vero compito dall'Esame di Stato unificato 🙂

Unità logaritmica e zero logaritmico

In conclusione, darò due identità che è difficile chiamare proprietà - piuttosto, queste sono conseguenze dalla definizione del logaritmo. Si trovano costantemente nei problemi e, sorprendentemente, creano problemi anche agli studenti "avanzati".

1. logaa = 1 è. Ricorda una volta per tutte: il logaritmo su qualsiasi base a da quella base stessa è uguale a uno.
2. loga 1 = 0 è. La base a può essere qualsiasi cosa, ma se l'argomento è uno, il logaritmo è zero! Perché a0 = 1 è una diretta conseguenza della definizione.

Queste sono tutte le proprietà. Assicurati di esercitarti a metterli in pratica! Scarica il cheat sheet all'inizio della lezione, stampalo e risolvi i problemi.

derivato dalla sua definizione. E quindi il logaritmo del numero b per ragione un definito come l'esponente a cui un numero deve essere elevato un per ottenere il numero b(il logaritmo esiste solo per i numeri positivi).

Da questa formulazione ne consegue che il calcolo x=log a b, equivale a risolvere l'equazione ascia = b. Per esempio, registro 2 8 = 3 perché 8 = 2 3 . La formulazione del logaritmo permette di giustificare che se b=a c, quindi il logaritmo del numero b per ragione unè uguale a Insieme a. È anche chiaro che il tema del logaritmo è strettamente correlato al tema della potenza di un numero.

Con i logaritmi, come con qualsiasi numero, puoi eseguire operazioni di addizione, sottrazione e trasforma in ogni modo possibile. Ma in considerazione del fatto che i logaritmi non sono numeri ordinari, qui si applicano le loro regole speciali, che vengono chiamate proprietà di base.

Addizioni e sottrazioni di logaritmi.

Prendi due logaritmi con la stessa base: registro x e log a y. Quindi rimuovere è possibile eseguire operazioni di addizione e sottrazione:

log a x+ log a y= log a (x y);

log a x - log a y = log a (x:y).

registro a(X 1 . X 2 . X 3 ... xk) = registro x 1 + registro x 2 + registro x 3 + ... + log a x k.

Da teoremi del logaritmo quoziente si può ottenere un'altra proprietà del logaritmo. È noto quel registro un 1= 0, quindi

tronco d'albero un 1 /b= registro un 1 - registro a b= -log a b.

Quindi c'è un'uguaglianza:

log a 1 / b = - log a b.

Logaritmi di due numeri reciprocamente reciproci sulla stessa base differiranno tra loro solo nel segno. Così:

Registro 3 9= - registro 3 1 / 9 ; log 5 1 / 125 = -log 5 125.