• La lunghezza del diametro - un segmento che passa per il centro del cerchio e collega due punti opposti del cerchio, o il raggio - un segmento, uno dei punti estremi del quale si trova al centro del cerchio, e il secondo - sull'arco di cerchio. Pertanto, il diametro è uguale alla lunghezza del raggio moltiplicata per due.
• Il valore del numero π. Questo valore è una costante, una frazione irrazionale che non ha fine. Tuttavia, non è periodico. Questo numero esprime il rapporto circonferenza al suo raggio. Per calcolare l'area di un cerchio nei compiti del corso scolastico, viene utilizzato il valore di π, dato al centesimo più vicino - 3,14.

Formule per trovare l'area di un cerchio, il suo segmento o settore

A seconda della specificità delle condizioni del problema geometrico, due formule per trovare l'area di un cerchio:

Per determinare come trovare l'area di un cerchio nel modo più semplice, è necessario analizzare attentamente le condizioni dell'attività.

Il corso di geometria scolastica prevede anche compiti per il calcolo dell'area di segmenti o settori per i quali vengono utilizzate formule speciali:

1. Un settore è una parte di un cerchio delimitato da un cerchio e da un angolo con il vertice situato al centro. L'area del settore è calcolata dalla formula: S = (π*r 2 /360)*А;
   • r è il raggio;
   • A è l'angolo in gradi.
   • r è il raggio;
   • p è la lunghezza dell'arco.

C'è anche una seconda opzione S = 0,5 * p * r;

2. Segmento - è una parte delimitata da una sezione di un cerchio (corda) e da un cerchio. La sua area può essere trovata dalla formula S \u003d (π * r 2 / 360) * A ± S ∆ ;

• r è il raggio;
• A è il valore dell'angolo in gradi;
• S ∆ è l'area di un triangolo, i cui lati sono i raggi e la corda del cerchio; inoltre, uno dei suoi vertici si trova al centro del cerchio, e gli altri due si trovano nei punti di contatto dell'arco di cerchio con la corda. Un punto importante è che il segno meno viene posizionato se il valore di A è inferiore a 180 gradi e il segno più se è superiore a 180 gradi.

Per semplificare la soluzione di un problema geometrico, si può calcolare area del cerchio in linea. Un programma speciale eseguirà il calcolo in modo rapido e preciso in un paio di secondi. Come calcolare l'area delle figure online? Per fare ciò, è necessario inserire i dati iniziali noti: raggio, diametro, angolo.

- Questa è una figura piatta, che è un insieme di punti equidistanti dal centro. Sono tutti alla stessa distanza e formano un cerchio.

Viene chiamato un segmento di linea che collega il centro di una circonferenza con punti sulla sua circonferenza raggio. In ogni cerchio, tutti i raggi sono uguali tra loro. Si chiama una retta che congiunge due punti di una circonferenza e passa per il centro diametro. La formula per l'area di un cerchio viene calcolata utilizzando una costante matematica: il numero π ..

È interessante : Il numero pi. è il rapporto tra la circonferenza di un cerchio e la lunghezza del suo diametro ed è un valore costante. Il valore π = 3,1415926 è stato utilizzato dopo il lavoro di L. Euler nel 1737.

L'area di un cerchio può essere calcolata usando la costante π. e il raggio del cerchio. La formula per l'area di un cerchio in termini di raggio si presenta così:

Considera un esempio di calcolo dell'area di un cerchio usando il raggio. Sia dato un cerchio di raggio R = 4 cm Troviamo l'area della figura.

L'area del nostro cerchio sarà pari a 50,24 mq. centimetro.

C'è una formula l'area di un cerchio attraverso il diametro. È anche ampiamente utilizzato per calcolare i parametri richiesti. Queste formule possono essere utilizzate per trovare .

Considera un esempio di calcolo dell'area di un cerchio attraverso il diametro, conoscendone il raggio. Sia data una circonferenza di raggio R = 4 cm Per prima cosa, troviamo il diametro che, come sai, è il doppio del raggio.


Ora utilizziamo i dati per l'esempio di calcolo dell'area di un cerchio usando la formula sopra:

Come puoi vedere, di conseguenza otteniamo la stessa risposta dei primi calcoli.

La conoscenza delle formule standard per il calcolo dell'area di un cerchio aiuterà in futuro a determinare facilmente area di settore ed è facile trovare le quantità mancanti.

Sappiamo già che la formula per l'area di un cerchio si calcola tramite il prodotto del valore costante π e il quadrato del raggio del cerchio. Il raggio può essere espresso in termini di circonferenza di un cerchio e sostituire l'espressione nella formula per l'area di un cerchio in termini di circonferenza:
Ora sostituiamo questa uguaglianza nella formula per calcolare l'area di un cerchio e otteniamo la formula per trovare l'area del cerchio, attraverso la circonferenza

Considera un esempio di calcolo dell'area di un cerchio attraverso la circonferenza. Sia data una circonferenza di lunghezza l = 8 cm Sostituiamo il valore nella formula derivata:

L'area totale del cerchio sarà di 5 metri quadrati. centimetro.

Area di un cerchio circoscritto attorno a un quadrato

È molto facile trovare l'area di un cerchio circoscritto attorno a un quadrato.

Ciò richiederà solo il lato del quadrato e la conoscenza di formule semplici. La diagonale del quadrato sarà uguale alla diagonale del cerchio circoscritto. Conoscendo il lato a, lo si può trovare usando il teorema di Pitagora: da qui.
Dopo aver trovato la diagonale, possiamo calcolare il raggio: .
E poi sostituiamo tutto nella formula base per l'area di un cerchio circoscritto attorno a un quadrato:

Come trovare l'area di un cerchio? Per prima cosa trova il raggio. Impara a risolvere problemi semplici e complessi.

Un cerchio è una curva chiusa. Qualsiasi punto sulla linea del cerchio sarà alla stessa distanza dal punto centrale. Un cerchio è una figura piatta, quindi risolvere i problemi con la ricerca dell'area è facile. In questo articolo, vedremo come trovare l'area di un cerchio inscritto in un triangolo, trapezio, quadrato e descritto attorno a queste figure.

Per trovare l'area di una determinata figura, devi sapere quali sono il raggio, il diametro e il numero π.

Raggio Rè la distanza delimitata dal centro del cerchio. Le lunghezze di tutti i raggi R di un cerchio saranno uguali.

Diametro Dè una linea tra due punti qualsiasi su una circonferenza che passa per il punto centrale. La lunghezza di questo segmento è uguale alla lunghezza del raggio R per 2.

Numero πè un valore costante, che è uguale a 3,1415926. In matematica, questo numero viene solitamente arrotondato a 3,14.

La formula per trovare l'area di un cerchio usando il raggio:

Esempi di risoluzione di compiti per trovare l'area S di un cerchio attraverso il raggio R:

Un compito: Trova l'area di un cerchio se il suo raggio è 7 cm.

Soluzione: S=πR², S=3,14*7², S=3,14*49=153,86 cm².

Risposta: L'area del cerchio è 153,86 cm².

La formula per trovare l'area S di un cerchio in termini di diametro D è:

Esempi di risoluzione di compiti per trovare S, se D è noto:

————————————————————————————————————————-

Un compito: Trova la S del cerchio se la sua D è 10 cm.

Soluzione: P=π*d²/4, P=3,14*10²/4=3,14*100/4=314/4=78,5 cm².

Risposta: L'area di una figura rotonda piatta è di 78,5 cm².

Trovare il cerchio S se la circonferenza è nota:

Per prima cosa, trova qual è il raggio. La circonferenza si calcola con la formula: L=2πR, rispettivamente, il raggio R sarà uguale a L/2π. Ora troviamo l'area del cerchio usando la formula attraverso R.

Considera la soluzione sull'esempio del problema:

———————————————————————————————————————-

Un compito: Trova l'area di un cerchio se la circonferenza L è nota - 12 cm.

Soluzione: Per prima cosa troviamo il raggio: R=L/2π=12/2*3.14=12/6.28=1.91.

Ora troviamo l'area attraverso il raggio: S=πR²=3.14*1.91²=3.14*3.65=11.46 cm².

Risposta: L'area di un cerchio è 11,46 cm².

Trovare l'area di un cerchio inscritto in un quadrato è facile. Il lato del quadrato è il diametro del cerchio. Per trovare il raggio, devi dividere il lato per 2.

La formula per trovare l'area di un cerchio inscritto in un quadrato è:

Esempi di risoluzione dei problemi sulla ricerca dell'area di un cerchio inscritto in un quadrato:

———————————————————————————————————————

Compito n. 1:È noto il lato di una figura quadrata, che è pari a 6 centimetri. Trova l'area S del cerchio inscritto.

Soluzione: S=π(a/2)²=3,14(6/2)²=3,14*9=28,26 cm².

Risposta: L'area di una figura rotonda piatta è di 28,26 cm².

————————————————————————————————————————

Compito #2: Trova S di un cerchio inscritto in una figura quadrata e il suo raggio se un lato è a=4 cm.

Decidi così: Per prima cosa trova R=a/2=4/2=2 cm.

Ora troviamo l'area del cerchio S=3,14*2²=3,14*4=12,56 cm².

Risposta: L'area di una figura rotonda piatta è di 12,56 cm².

È un po' più difficile trovare l'area di una figura rotonda circoscritta da un quadrato. Ma, conoscendo la formula, puoi calcolare rapidamente questo valore.

La formula per trovare S di una circonferenza circoscritta ad una figura quadrata:

Esempi di risoluzione di compiti per trovare l'area di un cerchio descritto vicino a una figura quadrata:

Un compito

Un cerchio che è inscritto in una figura triangolare è un cerchio che tocca tutti e tre i lati del triangolo. Un cerchio può essere inscritto in qualsiasi figura triangolare, ma solo in una. Il centro del cerchio sarà il punto di intersezione delle bisettrici degli angoli del triangolo.

La formula per trovare l'area di un cerchio inscritto in un triangolo isoscele è:

Conoscendo il raggio, l'area può essere calcolata utilizzando la formula: S=πR².

La formula per trovare l'area di un cerchio inscritto in un triangolo rettangolo è:

Esempi di risoluzione di compiti:

Compito #1

Se in questo problema devi trovare anche l'area di un cerchio con un raggio di 4 cm, puoi farlo usando la formula: S=πR²

Compito #2

Soluzione:

Ora che conosci il raggio, puoi trovare l'area del cerchio in termini di raggio. Vedi la formula sopra.

Compito #3

Area di un cerchio circoscritto ad un triangolo rettangolo e isoscele: formula, esempi di problem solving

Tutte le formule per trovare l'area di un cerchio si riducono al fatto che devi prima trovarne il raggio. Quando il raggio è noto, trovare l'area è semplice, come descritto sopra.

L'area di un cerchio circoscritto ad un triangolo rettangolo e isoscele si trova con la seguente formula:

Esempi di risoluzione dei problemi:

Ecco un altro esempio di risoluzione di un problema utilizzando la formula di Heron.

Risolvere tali problemi è difficile, ma possono essere padroneggiati se conosci tutte le formule. Gli studenti risolvono tali problemi in 9a elementare.

Area di un cerchio inscritto in un trapezio rettangolare e isoscele: formula, esempi di problem solving

Un trapezio isoscele ha due lati uguali. Un trapezio rettangolare ha un angolo pari a 90º. Considera come trovare l'area di un cerchio inscritto in un trapezio rettangolare e isoscele usando l'esempio della risoluzione dei problemi.

Ad esempio, un cerchio è inscritto in un trapezio isoscele, che nel punto di contatto divide un lato nei segmenti m e n.

Per risolvere questo problema, è necessario utilizzare le seguenti formule:

L'area di un cerchio inscritto in un trapezio rettangolare si trova usando la seguente formula:

Se il lato laterale è noto, puoi trovare il raggio attraverso questo valore. L'altezza del lato del trapezio è uguale al diametro del cerchio e il raggio è la metà del diametro. Di conseguenza, il raggio è R=d/2.

Esempi di risoluzione dei problemi:

Un trapezio può essere inscritto in una circonferenza quando la somma dei suoi angoli opposti è 180º. Pertanto, può essere inscritto solo un trapezio isoscele. Il raggio per calcolare l'area di un cerchio circoscritto attorno a un trapezio rettangolare o isoscele viene calcolato utilizzando le seguenti formule:

Esempi di risoluzione dei problemi:

Soluzione: La base grande in questo caso passa per il centro, poiché un trapezio isoscele è inscritto in un cerchio. Il centro divide questa base esattamente a metà. Se la base AB è 12, allora il raggio R può essere trovato come segue: R=12/2=6.

Risposta: Il raggio è 6.

In geometria, è importante conoscere le formule. Ma è impossibile ricordarli tutti, quindi anche in molti esami è consentito utilizzare un modulo speciale. Tuttavia, è importante essere in grado di trovare la formula giusta per risolvere un particolare problema. Esercitati a risolvere diversi problemi per trovare il raggio e l'area di un cerchio per poter sostituire correttamente le formule e ottenere risposte accurate.

Video: Matematica | Calcolo dell'area di un cerchio e delle sue parti

In geometria intorno a detto insieme di tutti i punti del piano che sono allontanati da un punto, detto suo centro, ad una distanza non maggiore di una data, detto suo raggio. In questo caso, il confine esterno del cerchio è cerchio, e se la lunghezza del raggio è uguale a zero, un cerchio degenera fino a un certo punto.

Determinazione dell'area di un cerchio

Se necessario area di un cerchio può essere calcolato utilizzando la formula:

S

pr 2

D2

r- raggio del cerchio

D- diametro del cerchio

S- area di un cerchio

π - 3.14

Questa figura geometrica è molto comune sia in ingegneria che in architettura. I progettisti di macchine e meccanismi sviluppano varie parti, le cui sezioni sono precise un cerchio. Ad esempio, si tratta di alberi, bielle, bielle, cilindri, assi, pistoni e così via. Nella fabbricazione di queste parti vengono utilizzati grezzi di vari materiali (metalli, legno, plastica), anche le loro sezioni rappresentano con precisione un cerchio. Inutile dire che spesso gli sviluppatori devono calcolare area di un cerchio attraverso il diametro o raggio, utilizzando a questo scopo semplici formule matematiche scoperte nell'antichità.

Esattamente allora elementi rotondi iniziò ad essere attivamente e ampiamente utilizzato in architettura. Uno degli esempi più eclatanti di questo è il circo, che è una sorta di edificio progettato per ospitare vari eventi di intrattenimento. Le loro arene sono modellate cerchio, e per la prima volta iniziarono a essere costruiti nell'antichità. La stessa parola" circo"in latino significa" un cerchio". Se nell'antichità i circhi ospitavano spettacoli teatrali e combattimenti di gladiatori, ora servono come luogo in cui si svolgono quasi esclusivamente spettacoli circensi con la partecipazione di addestratori di animali, acrobati, maghi, clown, ecc. Il diametro standard dell'arena del circo è di 13 metri , e questo non è del tutto casuale: il fatto è che è lui che fornisce i parametri geometrici minimi necessari dell'arena, lungo la quale i cavalli da circo possono correre in cerchio al galoppo. Se calcoliamo area di un cerchio attraverso il diametro risulta che per l'arena del circo questo valore è di 113,04 mq.

Gli elementi architettonici che possono assumere la forma di un cerchio sono le finestre. Certo, nella maggior parte dei casi sono rettangolari o quadrati (in gran parte per il fatto che è più facile sia per gli architetti che per i costruttori), ma in alcuni edifici si possono trovare anche finestre rotonde. Inoltre, in veicoli come navi aeree, marittime e fluviali, il più delle volte sono proprio così.

Non è affatto raro utilizzare elementi tondi per la produzione di mobili come tavoli e sedie. C'è anche un concetto tavola rotonda”, che implica una discussione costruttiva, durante la quale si svolge una discussione completa di vari problemi importanti e vengono sviluppati modi per risolverli. Per quanto riguarda la fabbricazione dei piani stessi, che hanno una forma rotonda, per la loro produzione vengono utilizzati strumenti e attrezzature specializzati, previa partecipazione di lavoratori con qualifiche abbastanza elevate.

I cerchi richiedono un approccio più attento e sono molto meno comuni nelle attività B5. Allo stesso tempo, lo schema di soluzione generale è ancora più semplice che nel caso dei poligoni (vedi la lezione “Aree di poligoni su una griglia di coordinate”).

Tutto ciò che è richiesto in tali compiti è trovare il raggio del cerchio R . Quindi puoi calcolare l'area del cerchio usando la formula S = πR 2 . Ne consegue anche da questa formula che basta trovare R 2 per la soluzione.

Per trovare questi valori è sufficiente indicare sul cerchio un punto che si trova all'intersezione delle linee della griglia. E poi usa il teorema di Pitagora. Considera esempi specifici di calcolo del raggio:

Un compito. Trova i raggi dei tre cerchi mostrati in figura:

Eseguiamo costruzioni aggiuntive in ogni cerchio:

In ogni caso il punto B viene scelto sulla circonferenza in modo da trovarsi all'intersezione delle linee della griglia. Il punto C nei cerchi 1 e 3 completa la figura in un triangolo rettangolo. Resta da trovare i raggi:

Considera il triangolo ABC nel primo cerchio. Secondo il teorema di Pitagora: R 2 \u003d AB 2 \u003d AC 2 + BC 2 \u003d 2 2 + 2 2 \u003d 8.

Per il secondo cerchio, tutto è ovvio: R = AB = 2.

Il terzo caso è simile al primo. Dal triangolo ABC secondo il teorema di Pitagora: R 2 \u003d AB 2 \u003d AC 2 + BC 2 \u003d 1 2 + 2 2 \u003d 5.

Ora sappiamo come trovare il raggio di un cerchio (o almeno il suo quadrato). Pertanto, possiamo trovare l'area. Ci sono compiti in cui è necessario trovare l'area di un settore e non l'intero cerchio. In questi casi, è facile scoprire quale parte del cerchio è questo settore, e quindi trovare l'area.

Un compito. Trova l'area S del settore ombreggiato. Indica S / π nella tua risposta.

Ovviamente, il settore è un quarto del cerchio. Pertanto, S = 0,25 S del cerchio.

Resta da trovare la S del cerchio: l'area del cerchio. Per fare ciò, eseguiremo una costruzione aggiuntiva:

Il triangolo ABC è un triangolo rettangolo. Secondo il teorema di Pitagora, abbiamo: R 2 \u003d AB 2 \u003d AC 2 + BC 2 \u003d 2 2 + 2 2 \u003d 8.

Ora troviamo l'area del cerchio e del settore: S del cerchio = πR 2 = 8π; S = 0,25 S cerchio = 2π.

Infine, il valore desiderato è uguale a S /π = 2.

Area del settore con raggio sconosciuto

Questo è un tipo di attività completamente nuovo, non c'era niente di simile nel 2010-2011. Per condizione, ci viene data una circonferenza di una certa area (vale a dire, l'area, non il raggio!). Quindi, all'interno di questo cerchio, viene assegnato un settore, la cui area deve essere trovata.

La buona notizia è che questi problemi sono i più facili di tutti i problemi in piazza, che sono all'esame di matematica. Inoltre, il cerchio e il settore sono sempre posizionati sulla griglia delle coordinate. Pertanto, per imparare a risolvere tali problemi, dai un'occhiata all'immagine:

Lascia che il cerchio originale abbia area S del cerchio = 80. Quindi può essere diviso in due settori di area S = 40 ciascuno (vedi passaggio 2). Allo stesso modo, ciascuno di questi "mezzi" settori può essere nuovamente diviso a metà: otteniamo quattro settori di area S = 20 ciascuno (vedi passaggio 3). Infine, puoi dividere ciascuno di questi settori in altri due - otteniamo 8 settori - "pezzi". L'area di ciascuno di questi "pezzi" sarà S = 10.

Nota: non esiste una divisione più piccola in nessun compito USE in matematica! Pertanto, l'algoritmo per risolvere il problema B-3 è il seguente:

1. Taglia il cerchio originale in 8 settori - "pezzi". L'area di ciascuno di essi è esattamente 1/8 dell'area dell'intero cerchio. Ad esempio, se secondo la condizione il cerchio ha l'area S del cerchio = 240, allora i “grumi” hanno l'area S = 240: 8 = 30;
2. Scopri quanti "grumi" stanno nel settore originale, la zona di cui vuoi trovare. Ad esempio, se il nostro settore contiene 3 "grumi" con un'area di 30, l'area del settore desiderato è S = 3 30 = 90. Questa sarà la risposta.

È tutto! Il problema si risolve praticamente per via orale. Se ancora non capisci qualcosa, compra una pizza e tagliala in 8 pezzi. Ciascuno di questi pezzi sarà lo stesso settore - "pezzo" che può essere combinato in pezzi più grandi.

E ora diamo un'occhiata agli esempi dell'esame di prova:

Un compito. Un cerchio con un'area di 40 viene disegnato su carta a scacchi Trova l'area della figura ombreggiata.

Quindi, l'area del cerchio è 40. Dividilo in 8 settori, ciascuno con un'area di S = 40: 5 = 8. Otteniamo:

Ovviamente il settore ombreggiato è formato esattamente da due settori "piccoli". Pertanto, la sua area è 2 5 = 10. Questa è l'intera soluzione!

Un compito. Un cerchio con un'area di 64 viene disegnato su carta a scacchi Trova l'area della figura ombreggiata.

Di nuovo, dividi l'intero cerchio in 8 settori uguali. Ovviamente, l'area di uno di loro deve solo essere trovata. Pertanto, la sua area è S = 64: 8 = 8.

Un compito. Un cerchio con un'area di 48 viene disegnato su carta a scacchi Trova l'area della figura ombreggiata.

Di nuovo, dividi il cerchio in 8 settori uguali. L'area di ciascuno di essi è uguale a S = 48: 8 = 6. Esattamente tre settori - "striscio" sono posizionati nel settore desiderato (vedi figura). Pertanto, l'area del settore desiderato è 3 6 = 18.