La trigonometria, come scienza, ebbe origine nell'Antico Oriente. I primi rapporti trigonometrici furono sviluppati dagli astronomi per creare un calendario accurato e orientarsi in base alle stelle. Questi calcoli riguardavano la trigonometria sferica, mentre nel corso scolastico studiano il rapporto tra i lati e l'angolo di un triangolo piatto.

La trigonometria è una branca della matematica che si occupa delle proprietà delle funzioni trigonometriche e della relazione tra i lati e gli angoli dei triangoli.

Durante il periodo di massimo splendore della cultura e della scienza nel I millennio d.C., la conoscenza si diffuse dall'Antico Oriente alla Grecia. Ma le principali scoperte della trigonometria sono merito degli uomini del Califfato arabo. In particolare, lo scienziato turkmeno al-Marazvi ha introdotto funzioni come tangente e cotangente, ha compilato le prime tabelle di valori per seni, tangenti e cotangenti. Il concetto di seno e coseno è stato introdotto da scienziati indiani. Molta attenzione è dedicata alla trigonometria nelle opere di grandi figure dell'antichità come Euclide, Archimede ed Eratostene.

Grandezze di base della trigonometria

Le funzioni trigonometriche di base di un argomento numerico sono seno, coseno, tangente e cotangente. Ognuno di essi ha il proprio grafico: seno, coseno, tangente e cotangente.

Le formule per calcolare i valori di queste quantità si basano sul teorema di Pitagora. È meglio noto agli scolari nella formulazione: "pantaloni pitagorici, uguali in tutte le direzioni", poiché la dimostrazione è data sull'esempio di un triangolo rettangolo isoscele.

Seno, coseno e altre dipendenze stabiliscono una relazione tra angoli acuti e lati di qualsiasi triangolo rettangolo. Diamo formule per calcolare queste quantità per l'angolo A e tracciamo la relazione delle funzioni trigonometriche:

Come puoi vedere, tg e ctg sono funzioni inverse. Se rappresentiamo la gamba a come prodotto del peccato A e dell'ipotenusa c, e la gamba b come cos A * c, otteniamo le seguenti formule per la tangente e la cotangente:

cerchio trigonometrico

Graficamente, il rapporto tra le quantità citate può essere rappresentato come segue:

Il cerchio, in questo caso, rappresenta tutti i possibili valori dell'angolo α - da 0° a 360°. Come si può vedere dalla figura, ogni funzione assume un valore negativo o positivo a seconda dell'angolo. Ad esempio, sin α sarà con un segno "+" se α appartiene ai quarti I e II del cerchio, cioè è nell'intervallo da 0 ° a 180 °. Con α da 180° a 360° (III e IV quarto), sin α può essere solo un valore negativo.

Proviamo a costruire tabelle trigonometriche per angoli specifici e scopriamo il significato delle quantità.

I valori di α pari a 30°, 45°, 60°, 90°, 180° e così via sono detti casi speciali. I valori delle funzioni trigonometriche per loro sono calcolati e presentati sotto forma di tabelle speciali.

Questi angoli non sono stati scelti a caso. La designazione π nelle tabelle è per i radianti. Rad è l'angolo al quale la lunghezza di un arco circolare corrisponde al suo raggio. Questo valore è stato introdotto per stabilire una relazione universale; quando si calcola in radianti, la lunghezza effettiva del raggio in cm non ha importanza.

Gli angoli nelle tabelle per le funzioni trigonometriche corrispondono ai valori radianti:

Quindi, non è difficile indovinare che 2π è un cerchio completo o 360°.

Proprietà delle funzioni trigonometriche: seno e coseno

Per considerare e confrontare le proprietà di base di seno e coseno, tangente e cotangente, è necessario tracciarne le funzioni. Questo può essere fatto sotto forma di una curva situata in un sistema di coordinate bidimensionale.

Considera una tabella comparativa delle proprietà per un'onda sinusoidale e un'onda coseno:

sinusoide	onda coseno
y = peccato x	y = cos x
ODZ [-1; uno]	ODZ [-1; uno]
sin x = 0, per x = πk, dove k ϵ Z	cos x = 0, per x = π/2 + πk, dove k ϵ Z
sin x = 1, per x = π/2 + 2πk, dove k ϵ Z	cos x = 1, per x = 2πk, dove k ϵ Z
sin x = - 1, a x = 3π/2 + 2πk, dove k ϵ Z	cos x = - 1, per x = π + 2πk, dove k ϵ Z
sin (-x) = - sin x, cioè funzione dispari	cos (-x) = cos x, cioè la funzione è pari
	la funzione è periodica, il periodo più piccolo è 2π
sin x › 0, con x appartenente ai quarti I e II o da 0° a 180° (2πk, π + 2πk)	cos x › 0, con x appartenente ai quarti I e IV o da 270° a 90° (- π/2 + 2πk, π/2 + 2πk)
sin x ‹ 0, con x appartenente ai quarti III e IV o da 180° a 360° (π + 2πk, 2π + 2πk)	cos x ‹ 0, con x appartenente ai quarti II e III o da 90° a 270° (π/2 + 2πk, 3π/2 + 2πk)
aumenta sull'intervallo [- π/2 + 2πk, π/2 + 2πk]	aumenta sull'intervallo [-π + 2πk, 2πk]
decresce sugli intervalli [ π/2 + 2πk, 3π/2 + 2πk]	diminuisce a intervalli
derivata (peccato x)' = cos x	derivata (cos x)' = - sin x

Determinare se una funzione è pari o meno è molto semplice. Basta immaginare un cerchio trigonometrico con segni di quantità trigonometriche e “piegare” mentalmente il grafico rispetto all'asse OX. Se i segni sono uguali la funzione è pari, altrimenti dispari.

L'introduzione dei radianti e l'enumerazione delle principali proprietà dell'onda sinusoidale e del coseno ci consentono di portare il seguente schema:

È molto facile verificare la correttezza della formula. Ad esempio, per x = π/2, il seno è uguale a 1, così come il coseno di x = 0. Il controllo può essere effettuato guardando le tabelle o tracciando curve di funzione per determinati valori.

Proprietà di tangenteide e cotangenteide

I grafici delle funzioni tangente e cotangente differiscono significativamente dall'onda sinusoidale e coseno. I valori tg e ctg sono inversi tra loro.

1. Y = tgx.
2. La tangente tende ai valori di y in x = π/2 + πk, ma non li raggiunge mai.
3. Il periodo positivo più piccolo della tangente è π.
4. Tg (- x) \u003d - tg x, ovvero la funzione è dispari.
5. Tg x = 0, per x = πk.
6. La funzione è in aumento.
7. Tg x › 0, per x ϵ (πk, π/2 + πk).
8. Tg x ‹ 0, per x ϵ (— π/2 + πk, πk).
9. Derivata (tg x)' = 1/cos 2 ⁡x .

Considera la rappresentazione grafica del cotangenteide di seguito nel testo.

Le principali proprietà del cotangenteide:

1. Y = ctgx.
2. A differenza delle funzioni seno e coseno, nella tangente Y può assumere i valori dell'insieme di tutti i numeri reali.
3. Il cotangenteide tende ai valori di y in x = πk, ma non li raggiunge mai.
4. Il periodo positivo più piccolo del cotangenteide è π.
5. Ctg (- x) \u003d - ctg x, ovvero la funzione è dispari.
6. Ctg x = 0, per x = π/2 + πk.
7. La funzione è decrescente.
8. Ctg x › 0, per x ϵ (πk, π/2 + πk).
9. Ctg x ‹ 0, per x ϵ (π/2 + πk, πk).
10. Derivata (ctg x)' = - 1/sin 2 ⁡x Fix

Laddove sono stati considerati i compiti per risolvere un triangolo rettangolo, ho promesso di presentare una tecnica per memorizzare le definizioni di seno e coseno. Usandolo, ricorderai sempre rapidamente quale gamba appartiene all'ipotenusa (adiacente o opposta). Ho deciso di non rimandare all'infinito, il materiale necessario è qui sotto, vi prego di leggerlo 😉

Il fatto è che ho ripetutamente osservato come gli studenti delle classi 10-11 abbiano difficoltà a ricordare queste definizioni. Ricordano benissimo che la gamba si riferisce all'ipotenusa, ma quale- dimenticare e confuso. Il prezzo di un errore, come sai all'esame, è un punteggio perso.

Le informazioni che presenterò direttamente alla matematica non hanno nulla a che fare. È associato al pensiero figurativo e ai metodi di connessione verbale-logica. Esatto, io stesso, una volta per tutte, l'ho ricordatodati di definizione. Se li dimentichi ancora, con l'aiuto delle tecniche presentate è sempre facile da ricordare.

Lascia che ti ricordi le definizioni di seno e coseno in un triangolo rettangolo:

Coseno angolo acuto in un triangolo rettangolo è il rapporto tra la gamba adiacente e l'ipotenusa:

Seno angolo acuto in un triangolo rettangolo è il rapporto tra la gamba opposta e l'ipotenusa:

Allora, quali associazioni evoca in te la parola coseno?

Probabilmente ognuno ha il suoRicorda il link:

Così, avrai immediatamente un'espressione nella tua memoria -

«… rapporto tra gamba ADIACENTE e ipotenusa».

Il problema con la definizione di coseno è risolto.

Se devi ricordare la definizione del seno in un triangolo rettangolo, quindi ricordando la definizione del coseno, puoi facilmente stabilire che il seno di un angolo acuto in un triangolo rettangolo è il rapporto tra la gamba opposta e l'ipotenusa. Dopotutto, ci sono solo due gambe, se la gamba adiacente è "occupata" dal coseno, per il seno rimane solo il lato opposto.

E la tangente e la cotangente? Stessa confusione. Gli studenti sanno che questo è il rapporto tra le gambe, ma il problema è ricordare quale si riferisce a quale - opposto o adiacente o viceversa.

Definizioni:

Tangente un angolo acuto in un triangolo rettangolo è il rapporto tra la gamba opposta e quella adiacente:

Cotangente l'angolo acuto in un triangolo rettangolo è il rapporto tra la gamba adiacente e l'opposto:

Come ricordare? Ci sono due modi. Uno usa anche una connessione verbale-logica, l'altro - matematica.

METODO MATEMATICO

Esiste una tale definizione: la tangente di un angolo acuto è il rapporto tra il seno di un angolo e il suo coseno:

* Ricordando la formula, puoi sempre determinare che la tangente di un angolo acuto in un triangolo rettangolo è il rapporto tra la gamba opposta e quella adiacente.

Allo stesso modo.La cotangente di un angolo acuto è il rapporto tra il coseno di un angolo e il suo seno:

Così! Ricordando queste formule, puoi sempre determinare che:

- la tangente di un angolo acuto in un triangolo rettangolo è il rapporto tra la gamba opposta e quella adiacente

- la cotangente di un angolo acuto in un triangolo rettangolo è il rapporto tra la gamba adiacente e quella opposta.

METODO VERBALE-LOGICO

A proposito di tangente. Ricorda il link:

Cioè, se hai bisogno di ricordare la definizione della tangente, usando questa connessione logica, puoi facilmente ricordare di cosa si tratta

"... il rapporto tra la gamba opposta e l'adiacente"

Se si tratta di cotangente, ricordando la definizione di tangente, puoi facilmente dare voce alla definizione di cotangente -

"... il rapporto tra la gamba adiacente e l'opposto"

C'è una tecnica interessante per memorizzare tangente e cotangente sul sito " Tandem matematico " , Guarda.

METODO UNIVERSALE

Puoi semplicemente macinare.Ma come mostra la pratica, grazie alle connessioni verbali-logiche, una persona ricorda le informazioni per molto tempo, e non solo matematiche.

Spero che il materiale ti sia stato utile.

Cordiali saluti, Alexander Krutitskikh

P.S: Ti sarei grato se parlassi del sito nei social network.

Livello medio

Triangolo rettangolo. Guida illustrata completa (2019)

TRIANGOLO RETTANGOLO. PRIMO LIVELLO.

Nei problemi, un angolo retto non è affatto necessario: quello in basso a sinistra, quindi devi imparare a riconoscere un triangolo rettangolo in questa forma,

e in tale

e in tale

Cosa c'è di buono in un triangolo rettangolo? Beh... prima di tutto ci sono dei bei nomi speciali per le sue feste.

Attenzione al disegno!

Ricorda e non confondere: gambe - due e l'ipotenusa - solo una(l'unico, unico e più lungo)!

Bene, abbiamo discusso dei nomi, ora la cosa più importante: il teorema di Pitagora.

Teorema di Pitagora.

Questo teorema è la chiave per risolvere molti problemi che coinvolgono un triangolo rettangolo. Fu provato da Pitagora in tempi del tutto immemorabili, e da allora ha portato molti benefici a chi lo conosce. E la cosa migliore di lei è che è semplice.

Così, Teorema di Pitagora:

Ricordi la battuta: "I pantaloni pitagorici sono uguali su tutti i lati!"?

Disegniamo questi pantaloni molto pitagorici e guardiamoli.

Sembrano davvero dei pantaloncini? Ebbene, da che parte e dove sono uguali? Perché e da dove viene lo scherzo? E questo scherzo è connesso proprio con il teorema di Pitagora, più precisamente con il modo in cui lo stesso Pitagora formulò il suo teorema. E lo ha formulato così:

"Somma area dei quadrati, costruito sulle gambe, è uguale a area quadrata costruito sull'ipotenusa.

Non suona un po' diverso, vero? E così, quando Pitagora tracciò l'affermazione del suo teorema, si rivelò proprio un'immagine del genere.

In questa immagine, la somma delle aree dei quadratini è uguale all'area del quadrato grande. E affinché i bambini ricordino meglio che la somma dei quadrati delle gambe è uguale al quadrato dell'ipotenusa, qualcuno spiritoso ha inventato questa battuta sui pantaloni pitagorici.

Perché ora stiamo formulando il teorema di Pitagora

Pitagora soffriva e parlava di quadrati?

Vedete, nell'antichità non esisteva... l'algebra! Non c'erano segni e così via. Non c'erano iscrizioni. Riuscite a immaginare quanto fosse terribile per i poveri studenti antichi memorizzare tutto con le parole??! E possiamo essere contenti di avere una semplice formulazione del teorema di Pitagora. Ripetiamolo ancora per ricordare meglio:

Ora dovrebbe essere facile:

Il quadrato dell'ipotenusa è uguale alla somma dei quadrati delle gambe.

Bene, è stato discusso il teorema più importante su un triangolo rettangolo. Se sei interessato a come viene dimostrato, leggi i prossimi livelli di teoria, e ora andiamo avanti... nella foresta oscura... della trigonometria! Alle terribili parole seno, coseno, tangente e cotangente.

Seno, coseno, tangente, cotangente in un triangolo rettangolo.

In realtà, tutto non è affatto così spaventoso. Naturalmente, la definizione "reale" di seno, coseno, tangente e cotangente dovrebbe essere esaminata nell'articolo. Ma proprio non vuoi, vero? Possiamo rallegrarci: per risolvere problemi su un triangolo rettangolo, puoi semplicemente compilare le seguenti semplici cose:

Perché è tutto dietro l'angolo? Dov'è l'angolo? Per capirlo, devi sapere come si scrivono le affermazioni 1 - 4 a parole. Guarda, capisci e ricorda!

1.
In realtà suona così:

E l'angolo? C'è una gamba che è opposta all'angolo, cioè la gamba opposta (per l'angolo)? Certo! Questo è un catetere!

Ma per quanto riguarda l'angolo? Guarda da vicino. Quale gamba è adiacente all'angolo? Ovviamente il gatto. Quindi, per l'angolo, la gamba è adiacente e

E ora, attenzione! Guarda cosa abbiamo:

Guarda quanto è fantastico:

Passiamo ora a tangente e cotangente.

Come dirlo a parole adesso? Qual è la gamba rispetto all'angolo? Di fronte, ovviamente, "giace" di fronte all'angolo. E il catetere? Adiacente all'angolo. Allora cosa abbiamo ottenuto?

Vedi come si invertono numeratore e denominatore?

E ora di nuovo gli angoli e fatto lo scambio:

Riepilogo

Scriviamo brevemente ciò che abbiamo imparato.

Teorema di Pitagora:

Il principale teorema del triangolo rettangolo è il teorema di Pitagora.

teorema di Pitagora

A proposito, ti ricordi bene cosa sono le gambe e l'ipotenusa? In caso contrario, guarda l'immagine: aggiorna le tue conoscenze

È possibile che tu abbia già usato il teorema di Pitagora molte volte, ma ti sei mai chiesto perché un tale teorema sia vero. Come lo proveresti? Facciamo come gli antichi greci. Disegniamo un quadrato con un lato.

Vedi come abbiamo abilmente diviso i suoi lati in segmenti di lunghezza e!

Ora colleghiamo i punti contrassegnati

Qui, tuttavia, abbiamo notato qualcos'altro, ma tu stesso guardi l'immagine e pensi al perché è così.

Qual è l'area del quadrato più grande? Correttamente, . E l'area più piccola? Certo, . Rimane l'area totale dei quattro angoli. Immagina di prenderli a due a due e di appoggiarci l'uno contro l'altro con le ipotenuse. Quello che è successo? Due rettangoli. Quindi, l'area dei "tagli" è uguale.

Mettiamo tutto insieme ora.

Trasformiamo:

Così abbiamo visitato Pitagora - abbiamo dimostrato il suo teorema in modo antico.

Triangolo rettangolo e trigonometria

Per un triangolo rettangolo valgono le seguenti relazioni:

Il seno di un angolo acuto è uguale al rapporto tra la gamba opposta e l'ipotenusa

Il coseno di un angolo acuto è uguale al rapporto tra la gamba adiacente e l'ipotenusa.

La tangente di un angolo acuto è uguale al rapporto tra la gamba opposta e la gamba adiacente.

La cotangente di un angolo acuto è uguale al rapporto tra la gamba adiacente e la gamba opposta.

E ancora una volta, tutto questo sotto forma di piatto:

È molto comodo!

Segni di uguaglianza dei triangoli rettangoli

I. Su due gambe

II. Per gamba e ipotenusa

III. Per ipotenusa e angolo acuto

IV. Lungo la gamba e angolo acuto

un)

b)

Attenzione! Qui è molto importante che le gambe siano "corrispondenti". Ad esempio, se va così:

ALLORA I TRIANGOLI NON SONO UGUALI, nonostante abbiano un angolo acuto identico.

Bisogno di in entrambi i triangoli la gamba era adiacente, o in entrambi - opposta.

Hai notato come i segni di uguaglianza dei triangoli rettangoli differiscano dai soliti segni di uguaglianza dei triangoli? Guarda l'argomento "e presta attenzione al fatto che per l'uguaglianza dei triangoli "ordinari" è necessaria l'uguaglianza dei loro tre elementi: due lati e un angolo tra loro, due angoli e un lato tra loro, o tre lati. Ma per l'uguaglianza dei triangoli rettangoli bastano solo due elementi corrispondenti. È fantastico, vero?

Approssimativamente la stessa situazione con segni di somiglianza di triangoli rettangoli.

Segni di somiglianza di triangoli rettangoli

I. Angolo acuto

II. Su due gambe

III. Per gamba e ipotenusa

Mediana in un triangolo rettangolo

Perché è così?

Considera un intero rettangolo invece di un triangolo rettangolo.

Disegniamo una diagonale e consideriamo un punto: il punto di intersezione delle diagonali. Cosa sai delle diagonali di un rettangolo?

E cosa ne consegue?

Così è successo

1. - mediana:

Ricorda questo fatto! Aiuta molto!

Ciò che è ancora più sorprendente è che è vero anche il contrario.

Che bene si può ricavare dal fatto che la mediana attratta dall'ipotenusa è uguale alla metà dell'ipotenusa? Diamo un'occhiata alla foto

Guarda da vicino. Abbiamo: , cioè le distanze dal punto a tutti e tre i vertici del triangolo sono risultate uguali. Ma in un triangolo c'è un solo punto, le distanze da cui circa tutti e tre i vertici del triangolo sono uguali, e questo è il CENTRO DEL CIRCO DEscritto. Allora, cos'è successo?

Allora cominciamo con questo "inoltre...".

Diamo un'occhiata a i.

Ma in triangoli simili tutti gli angoli sono uguali!

Lo stesso si può dire di e

Ora disegniamolo insieme:

Che utilità si può trarre da questa "tripla" somiglianza.

Bene, per esempio - due formule per l'altezza di un triangolo rettangolo.

Scriviamo i rapporti delle parti corrispondenti:

Per trovare l'altezza, risolviamo la proporzione e otteniamo prima formula "Altezza in un triangolo rettangolo":

Quindi, applichiamo la somiglianza: .

Cosa accadrà ora?

Di nuovo risolviamo la proporzione e otteniamo la seconda formula:

Entrambe queste formule vanno ricordate molto bene e quella più comoda da applicare. Scriviamoli di nuovo.

Teorema di Pitagora:

In un triangolo rettangolo, il quadrato dell'ipotenusa è uguale alla somma dei quadrati delle gambe:.

Segni di uguaglianza dei triangoli rettangoli:

• su due gambe:
• lungo la gamba e l'ipotenusa: o
• lungo la gamba e l'angolo acuto adiacente: o
• lungo la gamba e l'angolo acuto opposto: o
• per ipotenusa e angolo acuto: o.

Segni di somiglianza dei triangoli rettangoli:

• uno spigolo acuto: o
• dalla proporzionalità delle due gambe:
• dalla proporzionalità della gamba e dell'ipotenusa: o.

Seno, coseno, tangente, cotangente in un triangolo rettangolo

• Il seno di un angolo acuto di un triangolo rettangolo è il rapporto tra la gamba opposta e l'ipotenusa:
• Il coseno di un angolo acuto di un triangolo rettangolo è il rapporto tra la gamba adiacente e l'ipotenusa:
• La tangente di un angolo acuto di un triangolo rettangolo è il rapporto tra la gamba opposta e quella adiacente:
• La cotangente di un angolo acuto di un triangolo rettangolo è il rapporto tra la gamba adiacente e l'opposto:.

Altezza di un triangolo rettangolo: o.

In un triangolo rettangolo, la mediana ricavata dal vertice dell'angolo retto è uguale a metà dell'ipotenusa: .

Area di un triangolo rettangolo:

• attraverso i cateteri:

Il seno è una delle funzioni trigonometriche di base, la cui applicazione non si limita alla sola geometria. Le tabelle per il calcolo delle funzioni trigonometriche, come le calcolatrici ingegneristiche, non sono sempre a portata di mano e il calcolo del seno è talvolta necessario per risolvere vari problemi. In generale, il calcolo del seno aiuterà a consolidare le capacità di disegno e la conoscenza delle identità trigonometriche.

Giochi di righello e matita

Un compito semplice: come trovare il seno di un angolo disegnato su carta? Per risolvere, hai bisogno di un normale righello, un triangolo (o un compasso) e una matita. Il modo più semplice per calcolare il seno di un angolo è dividere la gamba più lontana di un triangolo con un angolo retto per il lato lungo: l'ipotenusa. Pertanto, per prima cosa devi completare l'angolo acuto alla forma di un triangolo rettangolo tracciando una linea perpendicolare a uno dei raggi a una distanza arbitraria dal vertice dell'angolo. Sarà necessario osservare un angolo di 90° esatti, per il quale abbiamo bisogno di un triangolo clericale.

L'uso di una bussola è un po' più preciso, ma richiederà più tempo. Su uno dei raggi, devi segnare 2 punti a una certa distanza, impostare un raggio sulla bussola approssimativamente uguale alla distanza tra i punti e disegnare semicerchi con i centri in questi punti fino a quando queste linee si intersecano. Collegando tra loro i punti di intersezione dei nostri cerchi, otterremo una stretta perpendicolare al raggio del nostro angolo, resta solo da estendere la linea fino a quando non si interseca con un altro raggio.

Nel triangolo risultante, devi misurare il lato opposto all'angolo e il lato lungo su uno dei raggi con un righello. Il rapporto tra la prima misurazione e la seconda sarà il valore desiderato del seno dell'angolo acuto.

Trova il seno per un angolo maggiore di 90°

Per un angolo ottuso, il compito non è molto più difficile. È necessario disegnare un raggio dal vertice nella direzione opposta usando un righello per formare una linea retta con uno dei raggi dell'angolo che ci interessa. L'angolo acuto risultante deve essere trattato come descritto sopra, i seni degli angoli adiacenti che insieme formano un angolo sviluppato di 180 ° sono uguali.

Calcolo del seno da altre funzioni trigonometriche

Inoltre, il calcolo del seno è possibile se si conoscono i valori di altre funzioni trigonometriche dell'angolo o almeno la lunghezza dei lati del triangolo. Le identità trigonometriche ci aiuteranno in questo. Diamo un'occhiata agli esempi comuni.

Come trovare il seno con un coseno noto di un angolo? La prima identità trigonometrica, derivante dal teorema di Pitagora, dice che la somma dei quadrati del seno e del coseno dello stesso angolo è uguale a uno.

Come trovare il seno con una tangente nota di un angolo? La tangente si ottiene dividendo la gamba lontana per quella vicina o dividendo il seno per il coseno. Pertanto, il seno sarà il prodotto del coseno e della tangente e il quadrato del seno sarà il quadrato di questo prodotto. Sostituiamo il coseno quadrato con la differenza tra unità e seno quadrato secondo la prima identità trigonometrica e, tramite semplici manipolazioni, portiamo l'equazione per calcolare il seno quadrato attraverso la tangente, rispettivamente, per calcolare il seno, dovrai estrarre la radice dal risultato ottenuto.

Come trovare il seno con una cotangente nota di un angolo? Il valore della cotangente può essere calcolato dividendo la lunghezza della gamba vicina dall'angolo della gamba per la lunghezza di quella lontana, nonché dividendo il coseno per il seno, ovvero la cotangente è la funzione inversa della tangente rispetto al numero 1. Per calcolare il seno, puoi calcolare la tangente usando la formula tg α \u003d 1 / ctg α e usare la formula nella seconda opzione. Puoi anche derivare una formula diretta per analogia con la tangente, che sarà simile a questa.

Come trovare il seno dei tre lati di un triangolo

Esiste una formula per trovare la lunghezza del lato sconosciuto di qualsiasi triangolo, non solo un triangolo rettangolo, dati due lati noti utilizzando la funzione trigonometrica del coseno dell'angolo opposto. Sembra così.

Bene, il seno può essere ulteriormente calcolato dal coseno secondo le formule sopra.

La trigonometria è una branca della matematica che studia le funzioni trigonometriche e il loro uso in geometria. Lo sviluppo della trigonometria iniziò ai tempi dell'antica Grecia. Durante il Medioevo, scienziati del Medio Oriente e dell'India hanno dato un importante contributo allo sviluppo di questa scienza.

Questo articolo è dedicato ai concetti di base e alle definizioni della trigonometria. Vengono discusse le definizioni delle principali funzioni trigonometriche: seno, coseno, tangente e cotangente. Il loro significato nel contesto della geometria viene spiegato e illustrato.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Inizialmente, le definizioni delle funzioni trigonometriche, il cui argomento è un angolo, erano espresse attraverso il rapporto tra i lati di un triangolo rettangolo.

Definizioni di funzioni trigonometriche

Il seno di un angolo (sin α) è il rapporto tra la gamba opposta a questo angolo e l'ipotenusa.

Il coseno dell'angolo (cos α) è il rapporto tra la gamba adiacente e l'ipotenusa.

La tangente dell'angolo (t g α) è il rapporto tra la gamba opposta e quella adiacente.

La cotangente dell'angolo (c t g α) è il rapporto tra la gamba adiacente e quella opposta.

Queste definizioni sono date per un angolo acuto di un triangolo rettangolo!

Diamo un'illustrazione.

Nel triangolo ABC con angolo retto C, il seno dell'angolo A è uguale al rapporto tra la gamba BC e l'ipotenusa AB.

Le definizioni di seno, coseno, tangente e cotangente consentono di calcolare i valori di queste funzioni dalle lunghezze note dei lati di un triangolo.

Importante da ricordare!

L'intervallo dei valori di seno e coseno: da -1 a 1. In altre parole, seno e coseno assumono valori da -1 a 1. L'intervallo di valori tangenti e cotangenti è l'intera linea numerica, ovvero questi le funzioni possono assumere qualsiasi valore.

Le definizioni date sopra si riferiscono ad angoli acuti. In trigonometria viene introdotto il concetto di angolo di rotazione, il cui valore, a differenza di un angolo acuto, non è limitato da fotogrammi da 0 a 90 gradi L'angolo di rotazione in gradi o radianti è espresso da qualsiasi numero reale da - ∞ a + ∞.

In questo contesto si possono definire seno, coseno, tangente e cotangente di un angolo di grandezza arbitraria. Immagina un cerchio unitario centrato all'origine del sistema di coordinate cartesiane.

Il punto iniziale A con coordinate (1 , 0) ruota attorno al centro della circonferenza unitaria di un angolo α e va al punto A 1 . La definizione è data attraverso le coordinate del punto A 1 (x, y).

Seno (peccato) dell'angolo di rotazione

Il seno dell'angolo di rotazione α è l'ordinata del punto A 1 (x, y). sinα = y

Coseno (cos) dell'angolo di rotazione

Il coseno dell'angolo di rotazione α è l'ascissa del punto A 1 (x, y). cos α = x

Tangente (tg) dell'angolo di rotazione

La tangente dell'angolo di rotazione α è il rapporto tra l'ordinata del punto A 1 (x, y) e la sua ascissa. t g α = y x

Cotangente (ctg) dell'angolo di rotazione

La cotangente dell'angolo di rotazione α è il rapporto tra l'ascissa del punto A 1 (x, y) e la sua ordinata. c t g α = x y

Seno e coseno sono definiti per qualsiasi angolo di rotazione. Questo è logico, perché l'ascissa e l'ordinata del punto dopo la rotazione possono essere determinate con qualsiasi angolo. La situazione è diversa con tangente e cotangente. La tangente non è definita quando il punto dopo la rotazione va al punto con ascisse zero (0 , 1) e (0 , - 1). In questi casi, l'espressione per la tangente t g α = y x semplicemente non ha senso, poiché contiene la divisione per zero. La situazione è simile con la cotangente. La differenza è che la cotangente non è definita nei casi in cui l'ordinata del punto svanisce.

Importante da ricordare!

Seno e coseno sono definiti per qualsiasi angolo α.

La tangente è definita per tutti gli angoli tranne α = 90° + 180° k , k ∈ Z (α = π 2 + π k , k ∈ Z)

La cotangente è definita per tutti gli angoli tranne α = 180° k, k ∈ Z (α = π k, k ∈ Z)

Quando si risolvono esempi pratici, non dire "seno dell'angolo di rotazione α". Le parole "angolo di rotazione" sono semplicemente omesse, il che implica che dal contesto è già chiaro la posta in gioco.

Numeri

Che dire della definizione di seno, coseno, tangente e cotangente di un numero e non dell'angolo di rotazione?

Seno, coseno, tangente, cotangente di un numero

Seno, coseno, tangente e cotangente di un numero t viene chiamato un numero, che è rispettivamente uguale al seno, coseno, tangente e cotangente in t radiante.

Ad esempio, il seno di 10 π è uguale al seno dell'angolo di rotazione di 10 π rad.

C'è un altro approccio alla definizione di seno, coseno, tangente e cotangente di un numero. Consideriamolo più in dettaglio.

Qualsiasi numero reale t un punto della circonferenza unitaria viene posto in corrispondenza del centro all'origine del sistema di coordinate cartesiane rettangolari. Seno, coseno, tangente e cotangente sono definiti in base alle coordinate di questo punto.

Il punto iniziale sulla circonferenza è il punto A con coordinate (1 , 0).

numero positivo t

Numero negativo t corrisponde al punto in cui si sposterà il punto iniziale se si muove in senso antiorario attorno al cerchio e supera il percorso t .

Stabilito il collegamento tra il numero e il punto della circonferenza, si procede alla definizione di seno, coseno, tangente e cotangente.

Seno (peccato) del numero t

Seno di un numero t- ordinata del punto della circonferenza unitaria corrispondente al numero t. peccato t = y

Coseno (cos) di t

Coseno di un numero t- ascissa del punto della circonferenza unitaria corrispondente al numero t. cos t = x

Tangente (tg) di t

Tangente di un numero t- il rapporto tra l'ordinata e l'ascissa del punto della circonferenza unitaria corrispondente al numero t. t g t = y x = sin t cos t

Queste ultime definizioni sono coerenti e non contraddicono la definizione data all'inizio di questa sezione. Punta su un cerchio corrispondente a un numero t, coincide con il punto in cui passa il punto iniziale dopo aver girato per l'angolo t radiante.

Funzioni trigonometriche di argomento angolare e numerico

Ogni valore dell'angolo α corrisponde a un certo valore del seno e del coseno di questo angolo. Come tutti gli angoli α diversi da α = 90 ° + 180 ° · k , k ∈ Z (α = π 2 + π · k , k ∈ Z) corrisponde a un certo valore della tangente. La cotangente, come detto sopra, è definita per tutti gli α, eccetto per α = 180 °k , k ∈ Z (α = π k , k ∈ Z).

Possiamo dire che sin α , cos α , t g α , c t g α sono funzioni dell'angolo alfa, o funzioni dell'argomento angolare.

Allo stesso modo, si può parlare di seno, coseno, tangente e cotangente come funzioni di un argomento numerico. Ogni numero reale t corrisponde a un valore specifico del seno o coseno di un numero t. Tutti i numeri diversi da π 2 + π · k , k ∈ Z, corrispondono al valore della tangente. La cotangente è definita in modo simile per tutti i numeri tranne π · k , k ∈ Z.

Funzioni di base della trigonometria

Seno, coseno, tangente e cotangente sono le funzioni trigonometriche di base.

Di solito è chiaro dal contesto con quale argomento della funzione trigonometrica (argomento angolare o argomento numerico) abbiamo a che fare.

Torniamo ai dati all'inizio delle definizioni e all'angolo alfa, che si trova nell'intervallo da 0 a 90 gradi. Le definizioni trigonometriche di seno, coseno, tangente e cotangente sono in pieno accordo con le definizioni geometriche date dai rapporti dei lati di un triangolo rettangolo. Mostriamolo.

Prendi una circonferenza unitaria centrata su un sistema di coordinate cartesiane rettangolari. Ruotiamo il punto iniziale A (1, 0) di un angolo fino a 90 gradi e disegniamo dal punto risultante A 1 (x, y) perpendicolare all'asse x. Nel triangolo rettangolo risultante, l'angolo A 1 O H è uguale all'angolo di rotazione α, la lunghezza della gamba O H è uguale all'ascissa del punto A 1 (x, y) . La lunghezza della gamba opposta all'angolo è uguale all'ordinata del punto A 1 (x, y), e la lunghezza dell'ipotenusa è uguale a uno, poiché è il raggio del cerchio unitario.

Secondo la definizione della geometria, il seno dell'angolo α è uguale al rapporto tra la gamba opposta e l'ipotenusa.

sin α \u003d A 1 H O A 1 \u003d y 1 \u003d y

Ciò significa che la definizione del seno di un angolo acuto in un triangolo rettangolo attraverso le proporzioni è equivalente alla definizione del seno dell'angolo di rotazione α, con alfa che si trova nell'intervallo da 0 a 90 gradi.

Allo stesso modo, la corrispondenza delle definizioni può essere mostrata per coseno, tangente e cotangente.

Se noti un errore nel testo, evidenzialo e premi Ctrl+Invio