In questo articolo parleremo numeri misti. Per prima cosa, definiamo numeri misti e forniamo esempi. Quindi, soffermiamoci sulla relazione tra numeri misti e frazioni improprie. Successivamente, mostreremo come convertire un numero misto in una frazione impropria. Infine, studieremo il processo inverso, chiamato estrazione della parte intera da una frazione impropria.

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Numeri misti, definizione, esempi

I matematici hanno convenuto che la somma n + a / b, dove n è un numero naturale, a / b è una frazione regolare, può essere scritta senza un segno di addizione nella forma. Ad esempio, la somma 28+5/7 può essere scritta brevemente come . Tale voce è stata chiamata mista e il numero che corrisponde a questa voce mista è stato chiamato numero misto.

Veniamo quindi alla definizione di numero misto.

Definizione.

numero mistoè un numero uguale alla somma di un numero naturale n e di una frazione ordinaria propria a/b, e scritto come . In questo caso viene chiamato il numero n parte intera di un numero, e viene chiamato il numero a/b parte frazionaria di un numero.

Per definizione, un numero misto è uguale alla somma della sua parte intera e frazionaria, cioè l'uguaglianza è vera, che può anche essere scritta così:.

Portiamo esempi di numeri misti. Il numero è un numero misto, il numero naturale 5 è la parte intera del numero ed è la parte frazionaria del numero. Altri esempi di numeri misti sono .

A volte puoi trovare numeri in notazione mista, ma con una parte frazionaria di una frazione impropria, ad esempio, o. Questi numeri sono intesi come la somma delle loro parti intere e frazionarie, ad esempio, e . Ma tali numeri non rientrano nella definizione di un numero misto, poiché la parte frazionaria dei numeri misti deve essere una frazione propria.

Anche un numero non è un numero misto, poiché 0 non è un numero naturale.

Relazione tra numeri misti e frazioni improprie

traccia relazione tra numeri misti e frazioni improprie meglio con gli esempi.

Lascia che ci sia una torta sulla teglia e altri 3/4 della stessa torta. Cioè, secondo il significato di addizione, ci sono 1 + 3/4 di torte sul vassoio. Dopo aver scritto l'ultimo importo come numero misto, si afferma che c'è una torta sul vassoio. Ora taglieremo l'intera torta in 4 parti uguali. Di conseguenza, 7/4 della torta saranno sul vassoio. È chiaro che la "quantità" della torta non è cambiata, quindi.

Dall'esempio considerato è chiaramente visibile il seguente collegamento: qualsiasi numero misto può essere rappresentato come una frazione impropria.

Ora lascia che ci siano 7/4 della torta sulla teglia. Dopo aver aggiunto un'intera torta su quattro parti, ci sarà 1 + 3/4 sul vassoio, cioè una torta. Da qui è chiaro che .

Da questo esempio è chiaro che Una frazione impropria può essere rappresentata come un numero misto. (Nel caso speciale in cui il numeratore di una frazione impropria è diviso per il denominatore, la frazione impropria può essere rappresentata come un numero naturale, ad esempio, da 8:4=2).

Conversione di un numero misto in una frazione impropria

Per eseguire varie azioni con numeri misti, è utile l'abilità di rappresentare numeri misti come frazioni improprie. Nel paragrafo precedente, abbiamo scoperto che qualsiasi numero misto può essere convertito in una frazione impropria. È ora di capire come viene eseguita una tale traduzione.

Scriviamo un algoritmo che mostra come convertire un numero misto in una frazione impropria:

Considera un esempio di conversione di un numero misto in una frazione impropria.

Esempio.

Esprimi il numero misto come una frazione impropria.

Soluzione.

Eseguiamo tutti i passaggi necessari dell'algoritmo.

Un numero misto è uguale alla somma della sua parte intera e frazionaria: .

Scrivendo il numero 5 come 5/1, l'ultima somma diventa .

Per completare la traduzione del numero misto originale in una frazione impropria, resta da eseguire l'addizione di frazioni con denominatori diversi: .

Un riassunto dell'intera soluzione è il seguente: .

Risposta:

Quindi, per tradurre un numero misto in una frazione impropria, è necessario eseguire la seguente catena di azioni:. Di conseguenza ricevuto , che useremo nel seguito.

Esempio.

Scrivi il numero misto come frazione impropria.

Soluzione.

Usiamo la formula per convertire un numero misto in una frazione impropria. In questo esempio n=15 , a=2 , b=5 . In questo modo, .

Risposta:

Estrarre la parte intera da una frazione impropria

Non è consuetudine scrivere una frazione impropria nella risposta. Una frazione impropria viene preliminarmente sostituita con un numero naturale uguale ad essa (quando il numeratore è diviso interamente per il denominatore), oppure si effettua la cosiddetta selezione della parte intera da una frazione impropria (quando il numeratore non è diviso interamente dal denominatore).

Definizione.

Estrarre la parte intera da una frazione impropriaè la sostituzione di una frazione con il suo numero misto uguale.

Resta da scoprire come selezionare l'intera parte da una frazione impropria.

È molto semplice: una frazione impropria a/b è uguale a un numero misto della forma , dove q è un quoziente incompleto e r è il resto della divisione a per b. Cioè, la parte intera è uguale al quoziente incompleto della divisione di a per b, e il resto è uguale al numeratore della parte frazionaria.

Proviamo questa affermazione.

Per fare ciò, è sufficiente dimostrare che . Traduciamo il misto in una frazione impropria come abbiamo fatto nel paragrafo precedente:. Poiché q è un quoziente incompleto e r è il resto della divisione di a per b , allora l'uguaglianza a=b q+r è vera (se necessario, vedere

Come estrarre la parte intera da una frazione impropria? Per selezionare una parte intera da una frazione impropria, devi: Dividere il numeratore per il denominatore con il resto; Il quoziente incompleto sarà la parte intera; Il resto (se presente) dà il numeratore e il divisore dà il denominatore della parte frazionaria. Fare n. 1057, 1058, 1059, 1060. 1062, 1063. 1064. 7.

Immagine 22 dalla presentazione "Numeri Misti Grado 5" alle lezioni di matematica sul tema "Numeri misti"

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numeri misti

"Riassunto di una lezione di matematica" - Segui il modello. a) 4/7+2/7= (4+2)/7= 6/7 b, c, d (alla scacchiera) e) 7/9-2/9= (7-2)/9= 5 / 9 f, f, h (alla lavagna). Nell'orto sono stati raccolti 12 kg di cetrioli. 2/3 di tutti i cetrioli erano in salamoia. 6/7-3/7=(6-3)/7=3/7 2/11+5/11=(2+5)/22=7/22 9/10-8/10=(9-8 )/10=2/10. Mostra la frazione 2/8+3/8. Formula una regola di sottrazione. Imparare nuovo materiale:

"Confronto di frazioni decimali" - Lo scopo della lezione. Confronta i numeri: Conto mentale. 9.85 e 6.97; 75.7 e 75.700; 0,427 e 0,809; 5.3 e 5.03; 81.21 e 81.201; 76.005 e 76.05; 3.25 e 3.502; Leggi le frazioni: 41.1; 77.81; 21.005; 0.0203. 41.1; 77.81; 21.005; 0.0203. Equalizza il numero di cifre decimali. Piano di lezione. Luoghi delle frazioni decimali. Lezione di consolidamento in 5a elementare.

"Regole per l'arrotondamento dei numeri" - 1.8. 48. Ben fatto! 3. 3. Impara ad applicare la regola di arrotondamento con esempi. Prova a confrontare. Arrotonda i numeri interi alle decine. 1. Ricorda la regola per arrotondare i numeri. È conveniente lavorare con un numero del genere? Centomillesimi. 3. Annota il risultato. 5312. >. 2. Ricavare una regola per arrotondare le frazioni decimali a una determinata cifra.

"Somma di numeri misti" - 25. Esempio 4. Trova il valore della differenza 3 4\9-1 5\6. 3 4 \ 9 \u003d 3 818; 15\6=115\18. 3 4\9=3 8\18=3+8\18=2+1+8\18=2+8\18+18\18=2+ +26\18=2 26\18. Estratto della lezione nel grado 6

Numeri misti. Selezione dell'intera parte

Esistono due diversi tipi di frazioni comuni.
Frazioni proprie e improprie
Considera le frazioni.

Si noti che nelle prime due frazioni (3/7 e 5/7) i numeratori sono minori dei denominatori. Tali frazioni sono dette proprie.

• Una frazione propria ha un numeratore minore di un denominatore. Pertanto, una frazione propria è sempre minore di uno.

Considera le restanti due frazioni.
La frazione 7/7 ha un numeratore uguale al denominatore (tali frazioni sono uguali a uno), e la frazione 11/7 ha un numeratore maggiore del denominatore. Tali frazioni sono dette improprie.

• Una frazione impropria ha un numeratore uguale o maggiore del denominatore. Pertanto, una frazione impropria è uguale a uno o maggiore di uno.

Ogni frazione impropria è sempre maggiore di quella propria.

Come selezionare la parte intera
Una frazione impropria può avere una parte intera. Vediamo come questo può essere fatto.

Per estrarre la parte intera da una frazione impropria è necessario:
1. dividere il numeratore per il denominatore con il resto;
2. scriviamo il quoziente incompleto risultante nella parte intera della frazione;
3. il resto si scrive al numeratore della frazione;
4. Scriviamo il divisore nel denominatore della frazione.

Esempio. Selezioniamo la parte intera dalla frazione impropria 11/2.
. Dividi il numeratore per il denominatore in una colonna.

. Ora scriviamo la risposta.

• Il numero risultante sopra, contenente un intero e una parte frazionaria, è chiamato numero misto.

Abbiamo ottenuto un numero misto da una frazione impropria, ma puoi anche fare il contrario, cioè rappresentare il numero misto come una frazione impropria.
Per rappresentare un numero misto come una frazione impropria:
1. moltiplicare la sua parte intera per il denominatore della parte frazionaria;
2. sommare al prodotto risultante il numeratore della parte frazionaria;
3. Annotare l'importo ricevuto dal paragrafo 2 al numeratore della frazione e lasciare lo stesso il denominatore della parte frazionaria.
Esempio. Rappresentiamo il numero misto come una frazione impropria.
. Moltiplica la parte intera per il denominatore.

3 . 5 = 15
. Aggiungiamo un numeratore.

15 + 2 = 17
. Scriviamo la quantità risultante nel numeratore della nuova frazione e lasciamo lo stesso denominatore.

Qualsiasi numero misto può essere rappresentato come la somma di un intero e di una parte frazionaria.

• Qualsiasi numero naturale può essere scritto come una frazione con qualsiasi denominatore naturale.

Il quoziente della divisione del numeratore per il denominatore di tale frazione sarà uguale al numero naturale dato.
Esempi.

Vuoi sentirti un genio? Allora questa lezione è per te! Perché ora studieremo le frazioni: questi sono oggetti matematici così semplici e innocui che superano il resto del corso di algebra nella loro capacità di "estrarre il cervello".

Il pericolo principale delle frazioni è che si verificano nella vita reale. In questo differiscono, ad esempio, dai polinomi e dai logaritmi, che possono essere superati e facilmente dimenticati dopo l'esame. Pertanto, il materiale presentato in questa lezione, senza esagerare, può essere definito esplosivo.

Una frazione numerica (o semplicemente una frazione) è una coppia di numeri interi scritti tramite una barra o una barra orizzontale.

Frazioni scritte attraverso una barra orizzontale:

Le stesse frazioni scritte con una barra:
5/7; 9/(−30); 64/11; (−1)/4; 12/1.

Di solito le frazioni vengono scritte attraverso una linea orizzontale: è più facile lavorarci e hanno un aspetto migliore. Il numero scritto in alto è chiamato numeratore della frazione e il numero scritto in basso è chiamato denominatore.

Qualsiasi numero intero può essere rappresentato come una frazione con denominatore 1. Ad esempio, 12 = 12/1 è la frazione dell'esempio precedente.

In generale, puoi inserire qualsiasi numero intero al numeratore e al denominatore di una frazione. L'unico vincolo è che il denominatore deve essere diverso da zero. Ricorda la buona vecchia regola: "Non puoi dividere per zero!"

Se il denominatore è ancora zero, la frazione si dice indefinita. Tale record non ha senso e non può partecipare ai calcoli.

Proprietà di base di una frazione

Le frazioni a /b e c /d sono dette uguali se ad = bc.

Da questa definizione ne consegue che la stessa frazione può essere scritta in modi diversi. Ad esempio, 1/2 = 2/4 perché 1 4 = 2 2. Naturalmente, ci sono molte frazioni che non sono uguali tra loro. Ad esempio, 1/3 ≠ 5/4 perché 1 4 ≠ 3 5.

Sorge una domanda ragionevole: come trovare tutte le frazioni uguali a una data? Diamo la risposta sotto forma di definizione:

La proprietà principale di una frazione è che numeratore e denominatore possono essere moltiplicati per uno stesso numero diverso da zero. Ciò risulterà in una frazione uguale a quella data.

Questa è una proprietà molto importante - ricordatela. Con l'aiuto della proprietà di base di una frazione, molte espressioni possono essere semplificate e abbreviate. In futuro, "emergerà" costantemente sotto forma di varie proprietà e teoremi.

Frazioni errate. Selezione dell'intera parte

Se il numeratore è minore del denominatore, tale frazione si dice propria. Altrimenti (cioè quando il numeratore è maggiore o almeno uguale al denominatore), la frazione è chiamata frazione impropria e in essa si può distinguere una parte intera.

La parte intera è scritta come un numero grande davanti alla frazione e si presenta così (contrassegnata in rosso):

Per isolare l'intera parte in una frazione impropria, è necessario seguire tre semplici passaggi:

1. Trova quante volte il denominatore rientra nel numeratore. In altre parole, trova l'intero massimo che, moltiplicato per il denominatore, sarà ancora minore del numeratore (in caso estremo uguale). Questo numero sarà la parte intera, quindi lo scriviamo davanti;
2. Moltiplica il denominatore per la parte intera trovata nel passaggio precedente e sottrai il risultato dal numeratore. Lo "stub" risultante è chiamato il resto della divisione, sarà sempre positivo (in casi estremi, zero). Lo scriviamo al numeratore della nuova frazione;
3. Riscriviamo il denominatore invariato.

Bene, è difficile? A prima vista, potrebbe essere difficile. Ma ci vuole un po' di pratica - e lo farai quasi verbalmente. Per ora, dai un'occhiata agli esempi:

Un compito. Seleziona l'intera parte nelle frazioni date:

In tutti gli esempi, la parte intera è evidenziata in rosso e il resto della divisione è in verde.

Presta attenzione all'ultima frazione, dove il resto della divisione si è rivelato zero. Si scopre che il numeratore è completamente diviso per il denominatore. Questo è abbastanza logico, perché 24: 6 \u003d 4 è un fatto duro dalla tabellina.

Se tutto è fatto correttamente, il numeratore della nuova frazione sarà necessariamente minore del denominatore, cioè frazione diventa corretta. Noto anche che è meglio evidenziare l'intera parte proprio alla fine del compito, prima di scrivere la risposta. Altrimenti, puoi complicare notevolmente i calcoli.

Passaggio alla frazione impropria

C'è anche un'operazione inversa, quando ci liberiamo dell'intera parte. Questa è chiamata la transizione della frazione impropria ed è molto più comune perché è molto più facile lavorare con le frazioni improprie.

Anche il passaggio a una frazione impropria avviene in tre passaggi:

1. Moltiplica la parte intera per il denominatore. Il risultato può essere numeri abbastanza grandi, ma non dobbiamo vergognarci;
2. Somma il numero risultante al numeratore della frazione originale. Scrivi il risultato al numeratore di una frazione impropria;
3. Riscrivi il denominatore - ancora una volta, nessun cambiamento.

Ecco degli esempi specifici:

Un compito. Converti in una frazione impropria:

Per chiarezza, la parte intera è nuovamente evidenziata in rosso e il numeratore della frazione originale è in verde.

Considera il caso in cui il numeratore o denominatore di una frazione è un numero negativo. Per esempio:

In linea di principio, non c'è nulla di criminale in questo. Tuttavia, lavorare con tali frazioni può essere scomodo. Pertanto, in matematica è consuetudine eliminare i meno come segno di frazione.

Questo è molto facile da fare se ricordi le regole:

1. Più per meno è uguale a meno. Pertanto, se c'è un numero negativo al numeratore e un numero positivo al denominatore (o viceversa), sentiti libero di cancellare il meno e metterlo davanti all'intera frazione;
2. "Due negativi fanno un affermativo". Quando il meno è sia nel numeratore che nel denominatore, li cancelliamo semplicemente: non è richiesta alcuna azione aggiuntiva.

Naturalmente, queste regole possono essere applicate anche nella direzione opposta, cioè puoi aggiungere un meno sotto il segno della frazione (il più delle volte - al numeratore).

Non consideriamo deliberatamente il caso di "più su più" - con lui, penso, tutto è comunque chiaro. Diamo un'occhiata a come funzionano in pratica queste regole:

Un compito. Elimina gli aspetti negativi delle quattro frazioni scritte sopra.

Presta attenzione all'ultima frazione: ha già un segno meno davanti. Tuttavia, viene "bruciato" secondo la regola "meno volte meno dà più".

Inoltre, non spostare i meno nelle frazioni con una parte intera evidenziata. Queste frazioni vengono prima convertite in quelle improprie e solo allora iniziano a calcolare.