Succede che per comodità di calcolo è necessario convertire una frazione ordinaria in un decimale e viceversa. Parleremo di come farlo in questo articolo. Analizzeremo le regole per convertire le frazioni ordinarie in decimali e viceversa e forniremo anche esempi.

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Considereremo la conversione delle frazioni ordinarie in decimali, aderendo a una certa sequenza. Innanzitutto, considera come le frazioni ordinarie con un denominatore multiplo di 10 vengono convertite in decimali: 10, 100, 1000, ecc. Le frazioni con tali denominatori, infatti, sono una notazione più ingombrante delle frazioni decimali.

Successivamente, vedremo come convertire le frazioni ordinarie in frazioni decimali con qualsiasi, non solo un multiplo di 10, denominatore. Si noti che quando si convertono le frazioni ordinarie in frazioni decimali, si ottengono non solo le frazioni decimali finali, ma anche le frazioni decimali periodiche infinite.

Iniziamo!

Traduzione di frazioni ordinarie con denominatori 10, 100, 1000, ecc. ai decimali

Prima di tutto, diciamo che alcune frazioni necessitano di una preparazione prima di essere convertite in forma decimale. Che cos'è? Prima del numero al numeratore, è necessario sommare tanti zeri in modo che il numero di cifre al numeratore diventi uguale al numero di zeri al denominatore. Ad esempio, per la frazione 3100, il numero 0 deve essere aggiunto una volta a sinistra di 3 nel numeratore. La frazione 610, secondo la regola di cui sopra, non ha bisogno di essere migliorata.

Consideriamo un altro esempio, dopo di che formuliamo una regola che è particolarmente comoda da usare all'inizio, mentre non c'è molta esperienza nella gestione delle frazioni. Quindi, la frazione 1610000 dopo aver aggiunto gli zeri nel numeratore apparirà come 001510000.

Come tradurre una frazione ordinaria con denominatore 10, 100, 1000, ecc. al decimale?

La regola per convertire le frazioni proprie ordinarie in decimali

1. Scrivi 0 e metti una virgola dopo di esso.
2. Annotiamo il numero dal numeratore, che risulta dopo aver aggiunto zeri.

Passiamo ora agli esempi.

Esempio 1. Conversione di frazioni ordinarie in decimali

Converti la frazione comune 39100 in decimale.

Innanzitutto, osserviamo la frazione e vediamo che non sono necessarie azioni preparatorie: il numero di cifre nel numeratore corrisponde al numero di zeri nel denominatore.

Seguendo la regola, annota 0 , metti un punto decimale dopo di esso e annota il numero dal numeratore. Otteniamo la frazione decimale 0, 39.

Analizziamo la soluzione di un altro esempio su questo argomento.

Esempio 2. Conversione di frazioni ordinarie in decimali

Scriviamo la frazione 105 10000000 come frazione decimale.

Il numero di zeri al denominatore è 7 e il numeratore ha solo tre cifre. Aggiungiamo altri 4 zeri davanti al numero nel numeratore:

0000105 10000000

Ora scriviamo 0 , mettiamo un punto decimale dopo di esso e scriviamo il numero dal numeratore. Otteniamo la frazione decimale 0, 0000105.

Le frazioni considerate in tutti gli esempi sono frazioni proprie ordinarie. Ma come convertire una frazione comune impropria in un decimale? Diciamo subito che non c'è bisogno di preparazione con l'aggiunta di zeri per tali frazioni. Formuliamo una regola.

La regola per convertire le frazioni improprie ordinarie in decimali

1. Scriviamo il numero che è nel numeratore.
2. Con un punto decimale, separiamo tante cifre a destra quanti sono gli zeri nel denominatore della frazione ordinaria originale.

Di seguito è riportato un esempio di utilizzo di questa regola.

Esempio 3. Conversione di frazioni ordinarie in decimali

Convertiamo la frazione 56888038009 100000 da un normale irregolare a un decimale.

Per prima cosa, scrivi il numero dal numeratore:

Ora, a destra, separiamo cinque cifre con un punto decimale (il numero di zeri al denominatore è cinque). Noi abbiamo:

La prossima domanda che sorge spontanea è come convertire un numero misto in una frazione decimale se il denominatore della sua parte frazionaria è il numero 10, 100, 1000, ecc. Per convertire in una frazione decimale di tale numero, puoi utilizzare la seguente regola.

Regola per convertire numeri misti in decimali

1. Se necessario, prepariamo la parte frazionaria del numero.
2. Annotiamo la parte intera del numero originale e mettiamo una virgola dopo di essa.
3. Scriviamo il numero dal numeratore della parte frazionaria insieme agli zeri aggiunti.

Diamo un'occhiata a un esempio.

Esempio 4. Conversione di numeri misti in decimali

Converti il ​​numero misto 23 17 10000 in decimale.

Nella parte frazionaria abbiamo l'espressione 17 10000. Prepariamolo e aggiungiamo altri due zeri a sinistra del numeratore. Otteniamo: 0017 10000 .

Ora scriviamo la parte intera del numero e mettiamo una virgola dopo di essa: 23,. .

Dopo la virgola, scriviamo il numero dal numeratore insieme agli zeri. Otteniamo il risultato:

23 17 10000 = 23 , 0017

Conversione di frazioni ordinarie in frazioni periodiche finite e infinite

Ovviamente puoi convertire in frazioni decimali e frazioni ordinarie con denominatore diverso da 10, 100, 1000, ecc.

Spesso una frazione può essere facilmente ridotta a un nuovo denominatore, e quindi utilizzare la regola delineata nel primo paragrafo di questo articolo. Ad esempio, basta moltiplicare numeratore e denominatore della frazione 25 per 2 e si ottiene la frazione 410, che si riduce facilmente alla forma decimale 0,4.

Tuttavia, questo metodo di conversione di una frazione ordinaria in un decimale non può essere sempre utilizzato. Di seguito considereremo cosa fare se è impossibile applicare il metodo considerato.

Un modo fondamentalmente nuovo di convertire una frazione ordinaria in un decimale è dividere il numeratore per il denominatore per una colonna. Questa operazione è molto simile alla divisione dei numeri naturali per una colonna, ma ha le sue caratteristiche.

Durante la divisione, il numeratore viene rappresentato come una frazione decimale: una virgola viene posizionata a destra dell'ultima cifra del numeratore e vengono aggiunti degli zeri. Nel quoziente risultante, il punto decimale viene posizionato al termine della divisione della parte intera del numeratore. Come funziona esattamente questo metodo diventerà chiaro dopo aver considerato gli esempi.

Esempio 5. Conversione di frazioni ordinarie in decimali

Traduciamo la frazione ordinaria 621 4 in forma decimale.

Rappresentiamo il numero 621 dal numeratore come frazione decimale, aggiungendo alcuni zeri dopo il punto decimale. 621 = 621 00

Ora divideremo la colonna 621, 00 per 4. I primi tre passaggi di divisione saranno gli stessi della divisione dei numeri naturali e otteniamo.

Quando siamo arrivati ​​al punto decimale nel dividendo e il resto è diverso da zero, inseriamo il punto decimale nel quoziente e continuiamo a dividere, senza più prestare attenzione alla virgola nel dividendo.

Di conseguenza, otteniamo la frazione decimale 155 , 25 , che è il risultato dell'inversione della frazione ordinaria 621 4

621 4 = 155 , 25

Considera di risolvere un altro esempio per riparare il materiale.

Esempio 6. Conversione di frazioni ordinarie in decimali

Invertiamo la frazione ordinaria 21 800 .

Per fare ciò, dividi la frazione 21.000 per 800 in una colonna. La divisione della parte intera finirà al primo passaggio, quindi subito dopo mettiamo un punto decimale nel quoziente e continuiamo la divisione, ignorando la virgola nel dividendo fino ad ottenere il resto uguale a zero.

Di conseguenza, abbiamo ottenuto: 21 800 = 0 . 02625 .

Ma cosa succede se, durante la divisione, non otteniamo mai un resto di 0. In questi casi, la divisione può essere continuata indefinitamente. Tuttavia, a partire da un certo passaggio, i residui si ripeteranno periodicamente. Di conseguenza, verranno ripetuti anche i numeri nel quoziente. Ciò significa che una frazione ordinaria viene tradotta in una frazione periodica infinita decimale. Illustriamo quanto sopra con un esempio.

Esempio 7. Conversione di frazioni ordinarie in decimali

Trasformiamo la frazione ordinaria 1944 in un decimale. Per fare ciò, eseguiamo la divisione per una colonna.

Vediamo che quando si divide, i resti 8 e 36 si ripetono. Allo stesso tempo, i numeri 1 e 8 vengono ripetuti nel quoziente. Questo è il periodo in frazione decimale. Durante la scrittura, questi numeri vengono presi tra parentesi.

Pertanto, la frazione ordinaria originale viene tradotta in una frazione decimale periodica infinita.

19 44 = 0 , 43 (18) .

Prendiamo una frazione ordinaria irriducibile. Che forma assumerà? Quali frazioni ordinarie vengono convertite in decimali finiti e quali in infiniti periodici?

Per prima cosa, diciamo che se una frazione può essere ridotta a uno dei denominatori 10, 100, 1000 .., allora sembrerà una frazione decimale finale. Affinché una frazione possa essere ridotta a uno di questi denominatori, il suo denominatore deve essere un divisore di almeno uno dei numeri 10, 100, 1000, ecc. Dalle regole per la scomposizione dei numeri in fattori primi, segue che il divisore dei numeri 10, 100, 1000, ecc. dovrebbe, quando scomposto in fattori primi, contenere solo i numeri 2 e 5.

Riassumiamo quanto detto:

1. Una frazione ordinaria può essere ridotta alla forma di una frazione decimale finale se il suo denominatore può essere scomposto in fattori primi di 2 e 5.
2. Se, oltre ai numeri 2 e 5, ci sono altri numeri primi nell'espansione del denominatore, la frazione si riduce alla forma di una frazione decimale periodica infinita.

Facciamo un esempio.

Esempio 8. Conversione di frazioni ordinarie in decimali

Quale delle frazioni date 47 20, 7 12, 21 56, 31 17 viene convertita in una frazione decimale finale e quale - solo in una frazione periodica. Daremo una risposta a questa domanda senza convertire direttamente una frazione ordinaria in un decimale.

La frazione 47 20 , come si può facilmente vedere, moltiplicando numeratore e denominatore per 5 si riduce ad un nuovo denominatore 100 .

4720 = 235100. Da ciò concludiamo che questa frazione viene tradotta in una frazione decimale finale.

Scomponendo il denominatore della frazione 7 12 si ottiene 12 = 2 2 3 . Poiché il fattore semplice 3 è diverso da 2 e da 5, questa frazione non può essere rappresentata come frazione decimale finita, ma avrà la forma di una frazione periodica infinita.

Frazione 21 56, in primo luogo, è necessario ridurre. Dopo la riduzione di 7, otteniamo una frazione irriducibile 3 8 , la cui espansione del denominatore in fattori dà 8 = 2 · 2 · 2 . Pertanto, è un decimale finale.

Nel caso della frazione 31 17, la fattorizzazione del denominatore è il numero primo 17 stesso. Di conseguenza, questa frazione può essere convertita in una frazione decimale periodica infinita.

Una frazione ordinaria non può essere convertita in una frazione decimale infinita e non ripetuta

Sopra, abbiamo parlato solo di frazioni periodiche finite e infinite. Ma una qualsiasi frazione ordinaria può essere convertita in una frazione infinita non periodica?

Rispondiamo: no!

Importante!

Quando si converte una frazione infinita in decimale, si ottiene una frazione decimale finita o una frazione decimale periodica infinita.

Il resto di una divisione è sempre inferiore al divisore. In altre parole, secondo il teorema di divisibilità, se dividiamo un numero naturale per il numero q, allora il resto della divisione non può comunque essere maggiore di q-1. Dopo la fine della divisione, è possibile una delle seguenti situazioni:

1. Otteniamo un resto di 0, ed è qui che finisce la divisione.
2. Otteniamo un resto, che si ripete durante la divisione successiva, di conseguenza abbiamo una frazione periodica infinita.

Non ci possono essere altre opzioni quando si converte una frazione ordinaria in un decimale. Diciamo anche che la lunghezza del periodo (il numero di cifre) in una frazione periodica infinita è sempre minore del numero di cifre al denominatore della frazione ordinaria corrispondente.

Converti i decimali in frazioni comuni

Ora è il momento di considerare il processo inverso di convertire una frazione decimale in una normale. Formuliamo una regola di traduzione che comprenda tre fasi. Come convertire un decimale in una frazione comune?

Regola per convertire le frazioni decimali in frazioni comuni

1. Nel numeratore scriviamo il numero dalla frazione decimale originale, scartando la virgola e tutti gli zeri a sinistra, se presenti.
2. Al denominatore scriviamo uno e dopo di esso tanti zeri quante sono le cifre nella frazione decimale originale dopo il punto decimale.
3. Se necessario, ridurre la frazione ordinaria risultante.

Considera l'applicazione di questa regola con esempi.

Esempio 8. Conversione di decimali in ordinari

Rappresentiamo il numero 3, 025 come una frazione ordinaria.

1. Nel numeratore scriviamo la frazione decimale stessa, scartando la virgola: 3025.
2. Nel denominatore scriviamo uno e dopo di esso tre zeri, ovvero quante cifre sono contenute nella frazione originale dopo la virgola: 3025 1000.
3. La frazione risultante 3025 1000 può essere ridotta di 25 , di conseguenza otteniamo: 3025 1000 = 121 40 .

Esempio 9. Conversione di decimali in ordinari

Convertiamo la frazione 0, 0017 da decimale a ordinaria.

1. Nel numeratore scriviamo la frazione 0, 0017, scartando la virgola e gli zeri a sinistra. Ottieni 17.
2. Scriviamo uno al denominatore e dopo di esso scriviamo quattro zeri: 17 10000. Questa frazione è irriducibile.

Se c'è una parte intera in una frazione decimale, allora tale frazione può essere immediatamente convertita in un numero misto. Come farlo?

Formuliamo un'altra regola.

La regola per convertire le frazioni decimali in numeri misti.

1. Il numero fino alla virgola decimale viene scritto come parte intera del numero misto.
2. Nel numeratore scriviamo il numero che si trova nella frazione dopo il punto decimale, scartando gli zeri a sinistra, se presenti.
3. Al denominatore della parte frazionaria aggiungiamo uno e tanti zeri quante sono le cifre della parte frazionaria dopo il punto decimale.

Diamo un'occhiata a un esempio

Esempio 10: Conversione di un decimale in un numero misto

Rappresentiamo la frazione 155, 06005 come un numero misto.

1. Scriviamo il numero 155 come parte intera.
2. Nel numeratore scriviamo i numeri dopo la virgola, scartando lo zero.
3. Al denominatore scriviamo uno e cinque zeri

Insegnare un numero misto: 155 6005 100000

La parte frazionaria può essere ridotta di 5 . Riduciamo e otteniamo il risultato finale:

155 , 06005 = 155 1201 20000

Conversione di decimali ricorrenti infiniti in frazioni comuni

Diamo un'occhiata ad esempi su come tradurre le frazioni decimali periodiche in frazioni ordinarie. Prima di iniziare, chiariamo: qualsiasi frazione decimale periodica può essere convertita in una normale.

Il caso più semplice è che il periodo della frazione sia zero. Una frazione periodica con un periodo pari a zero viene sostituita da una frazione decimale finita e il processo di inversione di tale frazione viene ridotto all'inversione di una frazione decimale finale.

Esempio 11. Conversione di un decimale periodico in una frazione comune

Invertiamo la frazione periodica 3, 75 (0) .

Lasciando cadere gli zeri a destra, otteniamo la frazione decimale finale 3, 75.

Trasformando questa frazione in una frazione ordinaria secondo l'algoritmo discusso nei paragrafi precedenti, otteniamo:

3 , 75 (0) = 3 , 75 = 375 100 = 15 4 .

E se il periodo di una frazione è diverso da zero? La parte periodica va considerata come la somma delle membra di una progressione geometrica decrescente. Spieghiamolo con un esempio:

0 , (74) = 0 , 74 + 0 , 0074 + 0 , 000074 + 0 , 00000074 + . .

Esiste una formula per la somma dei termini di una progressione geometrica decrescente infinita. Se il primo termine della progressione è b e il denominatore di q è tale che 0< q < 1 , то сумма равна b 1 - q .

Diamo un'occhiata ad alcuni esempi utilizzando questa formula.

Esempio 12. Conversione di un decimale periodico in una frazione comune

Supponiamo di avere una frazione periodica 0, (8) e di aver bisogno di convertirla in una frazione ordinaria.

0 , (8) = 0 , 8 + 0 , 08 + 0 , 008 + . .

Qui abbiamo una progressione geometrica decrescente infinita con il primo termine 0, 8 e il denominatore 0, 1.

Applichiamo la formula:

0 , (8) = 0 , 8 + 0 , 08 + 0 , 008 + . . = 0 , 8 1 - 0 , 1 = 0 , 8 0 , 9 = 8 9

Questa è la frazione ordinaria desiderata.

Per consolidare il materiale, considera un altro esempio.

Esempio 13. Conversione di un decimale periodico in un ordinario

Invertire la frazione 0 , 43 (18) .

Innanzitutto, scriviamo la frazione come somma infinita:

0 , 43 (18) = 0 , 43 + (0 , 0018 + 0 , 000018 + 0 , 00000018 . .)

Considera i termini tra parentesi. Questa progressione geometrica può essere rappresentata come segue:

0 , 0018 + 0 , 000018 + 0 , 00000018 . . = 0 , 0018 1 - 0 , 01 = 0 , 0018 0 , 99 = 18 9900 .

Aggiungiamo la frazione risultante alla frazione finale 0, 43 \u003d 43 100 e otteniamo il risultato:

0 , 43 (18) = 43 100 + 18 9900

Dopo aver aggiunto queste frazioni e riducendo, otteniamo la risposta finale:

0 , 43 (18) = 19 44

Alla fine di questo articolo, diremo che le frazioni decimali infinite non periodiche non possono essere convertite in frazioni ordinarie.

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In questo articolo analizzeremo come convertire le frazioni comuni in decimali e considera anche il processo inverso: la conversione delle frazioni decimali in frazioni ordinarie. Qui daremo voce alle regole per invertire le frazioni e forniremo soluzioni dettagliate a esempi tipici.

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Conversione di frazioni comuni in decimali

Indichiamo la sequenza in cui ci occuperemo convertire le frazioni comuni in decimali.

Per prima cosa, vedremo come rappresentare le frazioni ordinarie con denominatori 10, 100, 1.000, ... come decimali. Questo perché le frazioni decimali sono essenzialmente una forma compatta di frazioni ordinarie con denominatori 10, 100, ....

Successivamente, andremo oltre e mostreremo come scrivere qualsiasi frazione ordinaria (non solo con denominatori 10, 100, ...) come frazione decimale. Con questa conversione di frazioni ordinarie si ottengono sia le frazioni decimali finite che le frazioni decimali periodiche infinite.

Ora tutto in ordine.

Conversione di frazioni ordinarie con denominatori 10, 100, ... in frazioni decimali

Alcune frazioni regolari necessitano di una "preparazione preliminare" prima della conversione in decimali. Questo vale per le frazioni ordinarie, il cui numero di cifre al numeratore è inferiore al numero di zeri al denominatore. Ad esempio, la frazione comune 2/100 deve essere prima preparata per la conversione in una frazione decimale, ma non è necessario preparare la frazione 9/10.

La "preparazione preliminare" delle frazioni ordinarie corrette per la conversione in frazioni decimali consiste nell'aggiungere tanti zeri a sinistra del numeratore in modo che il numero totale di cifre lì diventi uguale al numero di zeri al denominatore. Ad esempio, una frazione dopo l'aggiunta di zeri sarà simile a .

Dopo aver preparato la frazione ordinaria corretta, puoi iniziare a convertirla in una frazione decimale.

Diamo regola per convertire una frazione comune propria con denominatore 10, o 100, o 1.000, ... in una frazione decimale. Si compone di tre passaggi:

• annotare 0 ;
• metti un punto decimale dopo di esso;
• annotare il numero dal numeratore (insieme agli zeri aggiunti, se li abbiamo aggiunti).

Considera l'applicazione di questa regola nella risoluzione di esempi.

Esempio.

Converti la frazione corretta 37/100 in decimale.

Soluzione.

Il denominatore contiene il numero 100, che ha due zeri nella sua voce. Il numeratore contiene il numero 37, ci sono due cifre nel suo record, quindi non è necessario preparare questa frazione per la conversione in una frazione decimale.

Ora scriviamo 0, mettiamo un punto decimale e scriviamo il numero 37 dal numeratore, mentre otteniamo la frazione decimale 0,37.

Risposta:

0,37 .

Per consolidare le capacità di tradurre le frazioni ordinarie regolari con i numeratori 10, 100, ... in frazioni decimali, analizzeremo la soluzione di un altro esempio.

Esempio.

Scrivi la frazione corretta 107/10.000.000 come decimale.

Soluzione.

Il numero di cifre nel numeratore è 3 e il numero di zeri nel denominatore è 7, quindi questa frazione ordinaria deve essere preparata per la conversione in decimale. Dobbiamo aggiungere 7-3=4 zeri a sinistra nel numeratore in modo che il numero totale di cifre lì diventi uguale al numero di zeri nel denominatore. Noi abbiamo .

Resta da formare la frazione decimale desiderata. Per fare ciò, in primo luogo, scriviamo 0, in secondo luogo, mettiamo una virgola, in terzo luogo, scriviamo il numero dal numeratore insieme a zeri 0000107 , di conseguenza abbiamo una frazione decimale 0.0000107 .

Risposta:

0,0000107 .

Le frazioni comuni improprie non richiedono preparazione durante la conversione in frazioni decimali. È necessario attenersi a quanto segue regole per convertire frazioni comuni improprie con denominatori 10, 100, ... in frazioni decimali:

• annotare il numero dal numeratore;
• separiamo con un punto decimale tante cifre a destra quanti sono gli zeri nel denominatore della frazione originale.

Analizziamo l'applicazione di questa regola quando risolviamo un esempio.

Esempio.

Converti la frazione comune impropria 56 888 038 009/100 000 in decimale.

Soluzione.

In primo luogo, annotiamo il numero dal numeratore 56888038009 e, in secondo luogo, separiamo 5 cifre a destra con un punto decimale, poiché ci sono 5 zeri nel denominatore della frazione originale. Di conseguenza, abbiamo una frazione decimale 568 880.38009.

Risposta:

568 880,38009 .

Per convertire un numero misto in una frazione decimale, il cui denominatore della parte frazionaria è il numero 10, o 100, o 1.000, ..., puoi convertire il numero misto in una frazione ordinaria impropria, dopodiché la frazione risultante può essere convertito in una frazione decimale. Ma puoi anche usare quanto segue la regola per convertire i numeri misti con denominatore della parte frazionaria 10, o 100, o 1.000, ... in frazioni decimali:

• se necessario, eseguiamo la “preparazione preliminare” della parte frazionaria del numero misto originario sommando al numeratore il numero di zeri richiesto;
• annotare la parte intera del numero misto originale;
• metti un punto decimale;
• scriviamo il numero dal numeratore insieme agli zeri aggiunti.

Diamo un'occhiata a un esempio in cui completeremo tutti i passaggi necessari per rappresentare un numero misto come decimale.

Esempio.

Converti il ​​numero misto in decimale.

Soluzione.

Ci sono 4 zeri al denominatore della parte frazionaria e il numero 17 al numeratore, composto da 2 cifre, quindi, dobbiamo aggiungere due zeri a sinistra del numeratore in modo che il numero di caratteri lì diventi uguale al numero di zeri al denominatore. In questo modo il numeratore sarà 0017 .

Ora scriviamo la parte intera del numero originale, cioè il numero 23, mettiamo un punto decimale, dopo di che scriviamo il numero dal numeratore insieme agli zeri aggiunti, cioè 0017, mentre otteniamo il decimale desiderato frazione 23.0017.

Scriviamo brevemente l'intera soluzione: .

Indubbiamente, era possibile prima rappresentare il numero misto come una frazione impropria, quindi convertirlo in una frazione decimale. Con questo approccio, la soluzione si presenta così:

Risposta:

23,0017 .

Conversione di frazioni ordinarie in frazioni decimali periodiche finite e infinite

Nella frazione decimale, puoi convertire non solo le frazioni ordinarie con denominatori 10, 100, ..., ma anche le frazioni ordinarie con altri denominatori. Ora scopriremo come questo è fatto.

In alcuni casi, la frazione ordinaria originaria si riduce facilmente a uno dei denominatori 10, o 100, o 1.000, ... (vedi la riduzione di una frazione ordinaria a un nuovo denominatore), dopo di che non è difficile presentare la frazione risultante come frazione decimale. Ad esempio, è ovvio che la frazione 2/5 può essere ridotta ad una frazione con denominatore 10, per questo è necessario moltiplicare numeratore e denominatore per 2, che darà una frazione 4/10, che secondo il regole discusse nel paragrafo precedente, possono essere facilmente convertite in una frazione decimale 0, quattro .

In altri casi, devi usare un modo diverso di convertire una frazione ordinaria in un decimale, che ora considereremo.

Per convertire una frazione ordinaria in una frazione decimale, il numeratore della frazione viene diviso per il denominatore, il numeratore viene precedentemente sostituito da una frazione decimale uguale ad esso con un numero qualsiasi di zeri dopo il punto decimale (ne abbiamo parlato nella sezione frazioni decimali uguali e disuguali). In questo caso, la divisione viene eseguita allo stesso modo della divisione per una colonna di numeri naturali e un punto decimale viene inserito nel quoziente quando termina la divisione della parte intera del dividendo. Tutto ciò risulterà chiaro dalle soluzioni degli esempi riportati di seguito.

Esempio.

Converti la frazione comune 621/4 in decimale.

Soluzione.

Rappresentiamo il numero nel numeratore 621 come frazione decimale aggiungendo un punto decimale e alcuni zeri dopo di esso. Per cominciare, aggiungeremo 2 cifre 0, in seguito, se necessario, possiamo sempre aggiungere più zeri. Quindi, abbiamo 621.00 .

Ora dividiamo il numero 621.000 per 4 per una colonna. I primi tre passaggi non sono diversi dalla divisione per una colonna di numeri naturali, dopodiché arriviamo alla seguente immagine:

Quindi siamo arrivati ​​alla virgola decimale del dividendo e il resto è diverso da zero. In questo caso, mettiamo un punto decimale nel quoziente e continuiamo la divisione per una colonna, ignorando le virgole:

Questa divisione è completata e di conseguenza abbiamo ottenuto la frazione decimale 155,25, che corrisponde alla frazione ordinaria originale.

Risposta:

155,25 .

Per consolidare il materiale, considera la soluzione di un altro esempio.

Esempio.

Converti la frazione comune 21/800 in decimale.

Soluzione.

Per convertire questa frazione comune in un decimale, dividiamo la frazione decimale 21.000 ... per 800 per una colonna. Dopo il primo passaggio, dovremo inserire un punto decimale nel quoziente, quindi continuare la divisione:

Infine si ottiene il resto 0 , su questo si completa la conversione della frazione ordinaria 21/400 nella frazione decimale, e si arriva alla frazione decimale 0,02625.

Risposta:

0,02625 .

Può succedere che quando si divide il numeratore per il denominatore di una frazione ordinaria, non si ottiene mai il resto di 0. In questi casi, la divisione può essere continuata per tutto il tempo desiderato. Tuttavia, a partire da un certo passaggio, i resti iniziano a ripetersi periodicamente, mentre si ripetono anche le cifre del quoziente. Ciò significa che la frazione comune originale si traduce in un decimale periodico infinito. Mostriamolo con un esempio.

Esempio.

Scrivi la frazione comune 19/44 come decimale.

Soluzione.

Per convertire una frazione ordinaria in un decimale, eseguiamo la divisione per una colonna:

È già chiaro che nel dividere i resti 8 e 36 cominciano a ripetersi, mentre nel quoziente si ripetono i numeri 1 e 8. Pertanto, la frazione ordinaria originaria 19/44 viene tradotta in una frazione decimale periodica 0,43181818…=0,43(18) .

Risposta:

0,43(18) .

In conclusione di questo paragrafo, scopriremo quali frazioni ordinarie possono essere convertite in frazioni decimali finali e quali possono essere convertite solo in frazioni periodiche.

Mettiamo di fronte a noi una frazione ordinaria irriducibile (se la frazione è riducibile, eseguiamo prima la riduzione della frazione) e dobbiamo scoprire in quale frazione decimale può essere convertita: finita o periodica.

È chiaro che se una frazione ordinaria può essere ridotta ad uno dei denominatori 10, 100, 1000, ..., allora la frazione risultante può essere facilmente convertita in una frazione decimale finale secondo le regole discusse nel paragrafo precedente. Ma ai denominatori 10, 100, 1.000, ecc. non tutte le frazioni ordinarie sono date. Solo le frazioni possono essere ridotte a tali denominatori, i cui denominatori sono almeno uno dei numeri 10, 100, ... E quali numeri possono essere divisori di 10, 100, ...? I numeri 10, 100, … ci permetteranno di rispondere a questa domanda, e sono i seguenti: 10=2 5 , 100=2 2 5 5 , 1 000=2 2 2 5 5 5, … . Ne consegue che i divisori di 10, 100, 1.000, ecc. possono esserci solo numeri le cui scomposizioni in fattori primi contengono solo i numeri 2 e (o) 5 .

Ora possiamo trarre una conclusione generale sulla conversione delle frazioni ordinarie in frazioni decimali:

• se nella scomposizione del denominatore in fattori primi sono presenti solo i numeri 2 e (o) 5, allora questa frazione può essere convertita in una frazione decimale finale;
• se, oltre a due e cinque, ci sono altri numeri primi nell'espansione del denominatore, allora questa frazione viene tradotta in una frazione periodica decimale infinita.

Esempio.

Senza convertire le frazioni ordinarie in decimali, dimmi quale delle frazioni 47/20, 7/12, 21/56, 31/17 può essere convertita in una frazione decimale finale e quale può essere convertita solo in una frazione periodica.

Soluzione.

La fattorizzazione primo del denominatore della frazione 47/20 ha la forma 20=2 2 5 . Ci sono solo due e cinque in questa espansione, quindi questa frazione può essere ridotta a uno dei denominatori 10, 100, 1000, ... (in questo esempio, al denominatore 100), quindi può essere convertita in una finale frazione decimale.

La fattorizzazione primo del denominatore della frazione 7/12 ha la forma 12=2 2 3 . Poiché contiene un semplice fattore 3 diverso da 2 e 5, questa frazione non può essere rappresentata come frazione decimale finita, ma può essere convertita in una frazione decimale periodica.

Frazione 21/56 - contrattabile, dopo la riduzione assume la forma 3/8. La scomposizione del denominatore in fattori primi contiene tre fattori uguali a 2, quindi la frazione ordinaria 3/8, e quindi la frazione uguale ad essa 21/56, può essere tradotta in una frazione decimale finale.

Infine, l'espansione del denominatore della frazione 31/17 è essa stessa 17, quindi questa frazione non può essere convertita in una frazione decimale finita, ma può essere convertita in una frazione periodica infinita.

Risposta:

47/20 e 21/56 possono essere convertiti in un decimale finale, mentre 7/12 e 31/17 possono essere convertiti solo in periodici.

Le frazioni comuni non vengono convertite in infiniti decimali non ripetuti

L'informazione del paragrafo precedente solleva la domanda: “Si può ottenere una frazione infinita non periodica dividendo il numeratore di una frazione per il denominatore”?

Risposta: no. Quando si traduce una frazione ordinaria, è possibile ottenere una frazione decimale finita o una frazione decimale periodica infinita. Spieghiamo perché è così.

È chiaro dal teorema di divisibilità con resto che il resto è sempre minore del divisore, cioè se dividiamo un intero per un intero q, allora solo uno dei numeri 0, 1, 2, ..., q −1 può essere il resto. Ne consegue che dopo aver completato la divisione della parte intera del numeratore di una frazione ordinaria per il denominatore q, dopo non più di q passi, si verificherà una delle due seguenti situazioni:

• o otteniamo il resto 0 , questo terminerà la divisione e otterremo la frazione decimale finale;
• oppure otterremo un resto che è già apparso prima, dopodiché i resti cominceranno a ripetersi come nell'esempio precedente (poiché dividendo numeri uguali per q si ottengono resti uguali, che deriva dal già citato teorema di divisibilità), quindi si otterrà una frazione decimale periodica infinita.

Non possono esserci altre opzioni, quindi, quando si converte una frazione ordinaria in una frazione decimale, non è possibile ottenere una frazione decimale non periodica infinita.

Risulta anche dal ragionamento esposto in questo paragrafo che la lunghezza del periodo di una frazione decimale è sempre minore del valore del denominatore della corrispondente frazione ordinaria.

Converti i decimali in frazioni comuni

Ora scopriamo come convertire una frazione decimale in una normale. Iniziamo convertendo i decimali finali in frazioni comuni. Dopodiché, considera il metodo per invertire infinite frazioni decimali periodiche. In conclusione, diciamo dell'impossibilità di convertire infinite frazioni decimali non periodiche in frazioni ordinarie.

Conversione dei decimali finali in frazioni comuni

Ottenere una frazione ordinaria, che viene scritta come frazione decimale finale, è abbastanza semplice. La regola per convertire una frazione decimale finale in una frazione ordinaria si compone di tre passaggi:

• in primo luogo, scrivi la frazione decimale data nel numeratore, dopo aver precedentemente scartato il punto decimale e tutti gli zeri a sinistra, se presenti;
• in secondo luogo, scrivi uno al denominatore e aggiungi tanti zeri quante sono le cifre dopo il punto decimale nella frazione decimale originale;
• in terzo luogo, se necessario, ridurre la frazione risultante.

Consideriamo le soluzioni degli esempi.

Esempio.

Converti il ​​decimale 3.025 in una frazione comune.

Soluzione.

Se rimuoviamo il punto decimale nella frazione decimale originale, otteniamo il numero 3025. Non ha zeri a sinistra che scarteremmo. Quindi, al numeratore della frazione richiesta scriviamo 3025.

Scriviamo il numero 1 al denominatore e aggiungiamo 3 zeri a destra di esso, poiché ci sono 3 cifre nella frazione decimale originale dopo il punto decimale.

Quindi abbiamo una frazione ordinaria 3 025/1 000. Questa frazione può essere ridotta di 25, otteniamo .

Risposta:

.

Esempio.

Converti decimale 0,0017 in frazione comune.

Soluzione.

Senza punto decimale, la frazione decimale originale assomiglia a 00017, scartando gli zeri a sinistra, otteniamo il numero 17, che è il numeratore della frazione ordinaria desiderata.

Al denominatore scriviamo un'unità con quattro zeri, poiché nella frazione decimale originale ci sono 4 cifre dopo il punto decimale.

Di conseguenza, abbiamo una frazione ordinaria 17/10.000. Questa frazione è irriducibile e la conversione di una frazione decimale in una ordinaria è completata.

Risposta:

.

Quando la parte intera della frazione decimale finale originale è diversa da zero, può essere immediatamente convertita in un numero misto, bypassando la frazione ordinaria. Diamo regola per convertire un decimale finale in un numero misto:

• il numero prima della virgola deve essere scritto come parte intera del numero misto desiderato;
• nel numeratore della parte frazionaria è necessario scrivere il numero ottenuto dalla parte frazionaria della frazione decimale originale dopo aver scartato tutti gli zeri a sinistra in essa;
• al denominatore della parte frazionaria occorre scrivere il numero 1, al quale, a destra, aggiungere tanti zeri quante sono le cifre nell'immissione della frazione decimale originaria dopo la virgola;
• se necessario, ridurre la parte frazionaria del numero misto risultante.

Considera un esempio di conversione di una frazione decimale in un numero misto.

Esempio.

Esprimi il decimale 152.06005 come numero misto

Ricordi come nella prima lezione sulle frazioni decimali, ho detto che ci sono frazioni numeriche che non possono essere rappresentate come decimali (vedi la lezione “Frazioni decimali”)? Abbiamo anche imparato a fattorizzare i denominatori delle frazioni per verificare se ci sono numeri diversi da 2 e 5.

Allora: ho mentito. E oggi impareremo come tradurre assolutamente qualsiasi frazione numerica in decimale. Allo stesso tempo, conosceremo un'intera classe di frazioni con una parte significativa infinita.

Un decimale ricorrente è qualsiasi decimale che ha:

1. La parte significativa è costituita da un numero infinito di cifre;
2. A determinati intervalli, i numeri nella parte significativa si ripetono.

L'insieme di cifre ripetute che compongono la parte significativa è chiamato parte periodica della frazione e il numero di cifre in questo insieme è il periodo della frazione. Il restante segmento della parte significativa, che non si ripete, è detto parte non periodica.

Poiché ci sono molte definizioni, vale la pena considerare in dettaglio alcune di queste frazioni:

Questa frazione si verifica più spesso nelle attività. Parte non periodica: 0; parte periodica: 3; durata del periodo: 1.

Parte non periodica: 0,58; parte periodica: 3; durata del periodo: ancora 1.

Parte non periodica: 1; parte periodica: 54; durata del periodo: 2.

Parte non periodica: 0; parte periodica: 641025; durata del periodo: 6. Per comodità, le parti ripetute sono separate l'una dall'altra da uno spazio - in questa soluzione non è necessario farlo.

Parte non periodica: 3066; parte periodica: 6; durata del periodo: 1.

Come puoi vedere, la definizione di frazione periodica si basa sul concetto parte significativa di un numero. Pertanto, se hai dimenticato di cosa si tratta, ti consiglio di ripeterlo - vedi la lezione "".

Passaggio al decimale periodico

Si consideri una frazione ordinaria della forma a/b. Scomponiamo il suo denominatore in fattori semplici. Ci sono due opzioni:

1. Nell'espansione sono presenti solo i fattori 2 e 5. Queste frazioni sono facilmente riducibili ai decimali - vedere la lezione "Frazioni decimali". Non siamo interessati a questo;
2. C'è qualcos'altro nell'espansione oltre a 2 e 5. In questo caso, la frazione non può essere rappresentata come decimale, ma può essere trasformata in un decimale periodico.

Per impostare una frazione decimale periodica, devi trovare la sua parte periodica e non periodica. Come? Converti la frazione in una impropria, quindi dividi il numeratore per il denominatore con un "angolo".

In tal modo, accadrà quanto segue:

1. Prima dividi intera parte se esiste;
2. Potrebbero esserci diversi numeri dopo la virgola;
3. Dopo un po' cominceranno i numeri ripetere.

È tutto! Le cifre ripetute dopo il punto decimale sono indicate dalla parte periodica e ciò che è davanti - non periodico.

Un compito. Converti le frazioni ordinarie in decimali periodici:

Tutte le frazioni senza una parte intera, quindi dividiamo semplicemente il numeratore per il denominatore con un "angolo":

Come puoi vedere, i resti si ripetono. Scriviamo la frazione nella forma "corretta": 1.733 ... = 1.7(3).

Il risultato è una frazione: 0,5833 ... = 0,58(3).

Scriviamo in forma normale: 4.0909 ... = 4, (09).

Otteniamo una frazione: 0,4141 ... = 0, (41).

Passaggio da decimale periodico a ordinario

Considera un decimale periodico X = abc (a 1 b 1 c 1). È necessario trasferirlo nel classico "due piani". Per fare ciò, segui quattro semplici passaggi:

1. Trova il periodo della frazione, ad es. conta quante cifre ci sono nella parte periodica. Sia il numero k;
2. Trova il valore dell'espressione X · 10 k . Ciò equivale a spostare la virgola decimale di un intero periodo a destra - vedi la lezione " Moltiplicazione e divisione delle frazioni decimali»;
3. Sottrarre l'espressione originale dal numero risultante. In questo caso, la parte periodica è "bruciata" e rimane frazione comune;
4. Trova X nell'equazione risultante. Tutte le frazioni decimali vengono convertite in ordinarie.

Un compito. Converti in una frazione impropria ordinaria di un numero:

• 9,(6);
• 32,(39);
• 0,30(5);
• 0,(2475).

Lavorando con la prima frazione: X = 9,(6) = 9.666 ...

Le parentesi contengono solo una cifra, quindi il periodo k = 1. Successivamente, moltiplichiamo questa frazione per 10 k = 10 1 = 10. Abbiamo:

10X = 10 9,6666... ​​​​= 96,666...

Sottrarre la frazione originale e risolvere l'equazione:

10X - X = 96.666 ... - 9.666 ... = 96 - 9 = 87;
9X = 87;
X = 87/9 = 29/3.

Ora affrontiamo la seconda frazione. Quindi X = 32,(39) = 32.393939 ...

Periodo k = 2, quindi moltiplichiamo tutto per 10 k = 10 2 = 100:

100X = 100 32.393939 ... = 3239.3939 ...

Sottrarre nuovamente la frazione originale e risolvere l'equazione:

100X - X = 3239,3939 ... - 32,3939 ... = 3239 - 32 = 3207;
99X = 3207;
X = 3207/99 = 1069/33.

Arriviamo alla terza frazione: X = 0.30(5) = 0.30555 ... Lo schema è lo stesso, quindi darò solo i calcoli:

Periodo k = 1 ⇒ moltiplica tutto per 10 k = 10 1 = 10;

10X = 10 0,30555... = 3,05555...
10X - X = 3,0555 ... - 0,305555 ... = 2,75 = 11/4;
9X = 11/4;
X = (4/11): 9 = 36/11.

Infine, l'ultima frazione: X = 0,(2475) = 0.2475 2475 ... Anche in questo caso, per comodità, le parti periodiche sono separate tra loro da spazi. Abbiamo:

k = 4 ⇒ 10 k = 10 4 = 10.000;
10.000X = 10.000 0,2475 2475 = 2475,2475 ...
10.000X - X = 2475,2475 ... - 0,2475 2475 ... = 2475;
9999X = 2475;
X = 2475: 9999 = 25/101.

Questo articolo riguarda decimali. Qui ci occuperemo della notazione decimale dei numeri frazionari, introdurremo il concetto di frazione decimale e forniremo esempi di frazioni decimali. Quindi, parliamo delle cifre delle frazioni decimali, diamo i nomi delle cifre. Dopodiché, ci concentreremo sulle frazioni decimali infinite, diciamo sulle frazioni periodiche e non periodiche. Successivamente, elenchiamo le azioni principali con le frazioni decimali. In conclusione, stabiliamo la posizione delle frazioni decimali sul raggio delle coordinate.

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Notazione decimale di un numero frazionario

Lettura dei decimali

Diciamo qualche parola sulle regole per leggere le frazioni decimali.

Le frazioni decimali, che corrispondono alle frazioni ordinarie corrette, vengono lette allo stesso modo di queste frazioni ordinarie, viene aggiunto in anticipo solo "zero intero". Ad esempio, la frazione decimale 0,12 corrisponde alla frazione ordinaria 12/100 (si legge “dodici centesimi”), quindi 0,12 viene letto come “zero virgola dodici centesimi”.

Le frazioni decimali, che corrispondono a numeri misti, vengono lette esattamente allo stesso modo di questi numeri misti. Ad esempio, la frazione decimale 56.002 corrisponde a un numero misto, pertanto la frazione decimale 56.002 viene letta come "cinquantasei virgola due millesimi".

Posizioni decimali

Nella notazione delle frazioni decimali, così come nella notazione dei numeri naturali, il valore di ogni cifra dipende dalla sua posizione. In effetti, il numero 3 in decimale 0,3 significa tre decimi, in decimale 0,0003 - tre decimillesimi e in decimale 30.000,152 - tre decine di migliaia. Quindi, possiamo parlare cifre decimali, nonché sulle cifre in numeri naturali.

I nomi delle cifre nella frazione decimale al punto decimale coincidono completamente con i nomi delle cifre in numeri naturali. E i nomi delle cifre nella frazione decimale dopo il punto decimale sono visibili dalla tabella seguente.

Ad esempio, nella frazione decimale 37.051, il numero 3 è al posto delle decine, 7 è al posto delle unità, 0 è al decimo posto, 5 è al centesimo posto, 1 è al millesimo posto.

Le cifre nella frazione decimale differiscono anche per l'anzianità. Se ci spostiamo da una cifra all'altra da sinistra a destra nella notazione decimale, allora ci sposteremo da anziano a ranghi giovanili. Ad esempio, la cifra delle centinaia è più vecchia della cifra delle decime e la cifra della milionesima è più giovane della cifra dei centesimi. In questa frazione decimale finale, possiamo parlare delle cifre più significative e meno significative. Ad esempio, in decimale 604.9387 anziano (più alto) la cifra è la cifra delle centinaia, e junior (il più basso)- decimillesimo posto.

Per le frazioni decimali, avviene l'espansione in cifre. È simile all'espansione in cifre dei numeri naturali. Ad esempio, l'espansione decimale di 45.6072 è: 45.6072=40+5+0.6+0.007+0.0002 . E le proprietà di addizione dall'espansione di una frazione decimale in cifre consentono di passare ad altre rappresentazioni di questa frazione decimale, ad esempio 45.6072=45+0.6072 o 45.6072=40.6+5.007+0.0002 o 45.6072= 45.0072+0.6 .

Decimali finali

Finora abbiamo parlato solo di frazioni decimali, nel cui record c'è un numero finito di cifre dopo la virgola. Tali frazioni sono chiamate frazioni decimali finali.

Definizione.

Decimali finali- Si tratta di frazioni decimali, i cui record contengono un numero finito di caratteri (cifre).

Ecco alcuni esempi di decimali finali: 0.317 , 3.5 , 51.1020304958 , 230 032.45 .

Tuttavia, non tutte le frazioni comuni possono essere rappresentate come una frazione decimale finita. Ad esempio, la frazione 5/13 non può essere sostituita da una frazione uguale con uno dei denominatori 10, 100, ..., quindi non può essere convertita in una frazione decimale finale. Ne parleremo di più nella sezione teorica sulla conversione delle frazioni ordinarie in frazioni decimali.

Decimali infiniti: frazioni periodiche e frazioni non periodiche

Scrivendo una frazione decimale dopo un punto decimale, puoi dare la possibilità di un numero infinito di cifre. In questo caso si passerà alla considerazione delle cosiddette frazioni decimali infinite.

Definizione.

Decimali infiniti- Si tratta di frazioni decimali, nel cui record c'è un numero infinito di cifre.

È chiaro che non possiamo scrivere le infinite frazioni decimali per intero, quindi, nella loro registrazione sono limitate solo a un certo numero finito di cifre dopo la virgola e mettono un'ellissi che indica una sequenza di cifre infinitamente continua. Ecco alcuni esempi di infinite frazioni decimali: 0.143940932…, 3.1415935432…, 153.02003004005…, 2.111111111…, 69.74152152152….

Se guardi da vicino le ultime due infinite frazioni decimali, allora nella frazione 2.111111111 ... è chiaramente visibile il numero 1 ripetuto all'infinito e nella frazione 69.74152152152 ..., a partire dalla terza cifra decimale, il gruppo ripetuto di numeri 1, 5 e 2 sono chiaramente visibili. Tali infinite frazioni decimali sono dette periodiche.

Definizione.

Decimali periodici(o semplicemente frazioni periodiche) sono infinite frazioni decimali, nel cui record, a partire da una determinata cifra decimale, una cifra o un gruppo di cifre, che prende il nome di periodo di frazione.

Ad esempio, il periodo della frazione periodica 2.111111111… è il numero 1 e il periodo della frazione 69.74152152152… è un gruppo di numeri come 152.

Per infinite frazioni decimali periodiche è stata adottata una notazione speciale. Per brevità, abbiamo convenuto di scrivere il punto una volta, racchiudendolo tra parentesi. Ad esempio, la frazione periodica 2.111111111… è scritta come 2,(1) e la frazione periodica 69.74152152152… è scritta come 69.74(152) .

Vale la pena notare che per la stessa frazione decimale periodica è possibile specificare periodi diversi. Ad esempio, il decimale periodico 0,73333… può essere considerato come una frazione 0,7(3) con periodo 3, così come una frazione 0,7(33) con periodo 33, e così via 0,7(333), 0,7 (3333 ), ... Puoi anche guardare la frazione periodica 0,73333 ... in questo modo: 0,733(3), o in questo modo 0,73(333), ecc. Qui, al fine di evitare ambiguità e incoerenze, accettiamo di considerare come periodo di una frazione decimale la più breve di tutte le possibili sequenze di cifre ripetute, a partire dalla posizione più vicina al punto decimale. Cioè, il periodo della frazione decimale 0,73333… sarà considerato una sequenza di una cifra 3, e la periodicità inizia dalla seconda posizione dopo il punto decimale, cioè 0,73333…=0,7(3) . Altro esempio: la frazione periodica 4.7412121212… ha periodo 12, la periodicità parte dalla terza cifra dopo la virgola, cioè 4.7412121212…=4.74(12) .

Le frazioni periodiche decimali infinite si ottengono convertendo in frazioni decimali di frazioni ordinarie, i cui denominatori contengono fattori primi diversi da 2 e 5.

Qui vale la pena menzionare le frazioni periodiche con periodo 9. Ecco alcuni esempi di tali frazioni: 6.43(9) , 27,(9) . Queste frazioni sono un'altra notazione per frazioni periodiche con periodo 0 ed è consuetudine sostituirle con frazioni periodiche con periodo 0. Per fare ciò, il periodo 9 viene sostituito dal periodo 0 e il valore della cifra successiva più alta viene aumentato di uno. Ad esempio, una frazione con periodo 9 della forma 7.24(9) è sostituita da una frazione periodica con periodo 0 della forma 7.25(0) o una frazione decimale finale uguale di 7.25. Un altro esempio: 4,(9)=5,(0)=5 . L'uguaglianza di una frazione con periodo 9 e la sua frazione corrispondente con periodo 0 è facilmente stabilita dopo aver sostituito queste frazioni decimali con le loro frazioni ordinarie uguali.

Infine, diamo un'occhiata più da vicino ai decimali infiniti, che non hanno una sequenza di cifre ripetuta all'infinito. Sono detti non periodici.

Definizione.

Decimali non ricorrenti(o semplicemente frazioni non periodiche) sono decimali infiniti senza punto.

A volte le frazioni non periodiche hanno una forma simile a quella delle frazioni periodiche, ad esempio 8.02002000200002 ... è una frazione non periodica. In questi casi, dovresti prestare particolare attenzione a notare la differenza.

Si noti che le frazioni non periodiche non vengono convertite in frazioni ordinarie, le frazioni decimali non periodiche infinite rappresentano numeri irrazionali.

Operazioni con decimali

Una delle azioni con i decimali è il confronto e vengono definite anche quattro aritmetiche di base operazioni con decimali: addizione, sottrazione, moltiplicazione e divisione. Considera separatamente ciascuna delle azioni con frazioni decimali.

Confronto decimale essenzialmente basato sul confronto di frazioni ordinarie corrispondenti alle frazioni decimali confrontate. Tuttavia, convertire le frazioni decimali in quelle ordinarie è un'operazione piuttosto laboriosa e le frazioni infinite non ripetute non possono essere rappresentate come una frazione ordinaria, quindi è conveniente utilizzare un confronto bit per bit delle frazioni decimali. Il confronto bit a bit dei decimali è simile al confronto dei numeri naturali. Per informazioni più dettagliate, ti consigliamo di studiare il confronto del materiale dell'articolo di frazioni decimali, regole, esempi, soluzioni.

Passiamo al passaggio successivo - moltiplicando i decimali. La moltiplicazione delle frazioni decimali finali viene eseguita in modo simile alla sottrazione di frazioni decimali, regole, esempi, soluzioni alla moltiplicazione per una colonna di numeri naturali. Nel caso delle frazioni periodiche, la moltiplicazione può essere ridotta alla moltiplicazione delle frazioni ordinarie. A sua volta, la moltiplicazione di infinite frazioni decimali non periodiche dopo il loro arrotondamento si riduce alla moltiplicazione di frazioni decimali finite. Raccomandiamo un ulteriore studio del materiale dell'articolo moltiplicazione di frazioni decimali, regole, esempi, soluzioni.

Decimali sulla trave di coordinate

C'è una corrispondenza uno a uno tra punti e decimali.

Scopriamo come vengono costruiti i punti sul raggio di coordinate corrispondente a una determinata frazione decimale.

Possiamo sostituire le frazioni decimali finite e le frazioni decimali periodiche infinite con frazioni ordinarie uguali a loro, e quindi costruire le frazioni ordinarie corrispondenti sul raggio delle coordinate. Ad esempio una frazione decimale 1.4 corrisponde ad una frazione ordinaria 14/10, pertanto il punto con coordinata 1.4 viene allontanato dall'origine in direzione positiva di 14 segmenti pari ad un decimo di un singolo segmento.

Le frazioni decimali possono essere contrassegnate sul raggio di coordinate, a partire dall'espansione di questa frazione decimale in cifre. Ad esempio, supponiamo di dover costruire un punto con una coordinata di 16.3007 , poiché 16.3007=16+0.3+0.0007 , quindi possiamo arrivare a questo punto posando in sequenza 16 segmenti unitari dall'origine delle coordinate, 3 segmenti, la lunghezza di cui pari a un decimo di unità, e 7 segmenti la cui lunghezza è pari a un decimillesimo di segmento di unità.

Questo metodo di costruzione di numeri decimali sul raggio di coordinate consente di avvicinarsi quanto si vuole al punto corrispondente a una frazione decimale infinita.

A volte è possibile tracciare con precisione un punto corrispondente a un decimale infinito. Per esempio, , allora questa frazione decimale infinita 1.41421... corrisponde al punto del raggio delle coordinate, distante dall'origine per la lunghezza della diagonale di un quadrato con lato di 1 segmento unitario.

Il processo inverso per ottenere una frazione decimale corrispondente a un dato punto sul raggio di coordinate è il cosiddetto misura decimale di un segmento. Vediamo come si fa.

Lascia che il nostro compito sia quello di andare dall'origine a un dato punto sulla linea delle coordinate (o avvicinarsi all'infinito se è impossibile raggiungerlo). Con una misura decimale di un segmento, possiamo posticipare sequenzialmente un numero qualsiasi di segmenti unitari dall'origine, quindi segmenti la cui lunghezza è uguale a un decimo di un singolo segmento, quindi segmenti la cui lunghezza è uguale al centesimo di un singolo segmento, ecc. . Annotando il numero di segmenti tracciati di ciascuna lunghezza, otteniamo la frazione decimale corrispondente a un dato punto sul raggio delle coordinate.

Ad esempio, per arrivare al punto M nella figura sopra, è necessario mettere da parte 1 segmento di unità e 4 segmenti, la cui lunghezza è uguale al decimo dell'unità. Pertanto, il punto M corrisponde alla frazione decimale 1,4.

È chiaro che i punti del raggio di coordinate, che non possono essere raggiunti durante la misurazione decimale, corrispondono a infinite frazioni decimali.

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L'operazione di scissione prevede la partecipazione di più componenti principali. Il primo di questi è il cosiddetto dividendo, ovvero il numero che subisce la procedura di divisione. Il secondo è il divisore, cioè il numero per il quale viene fatta la divisione. Il terzo è il quoziente, cioè il risultato dell'operazione di divisione del dividendo per il divisore.

risultato della divisione

Il risultato più semplice che si può ottenere usando due interi positivi come dividendo e divisore è un altro intero positivo. Ad esempio, dividendo 6 per 2, il quoziente sarà uguale a 3. Questa situazione è possibile se il dividendo è un divisore, cioè è divisibile per esso senza resto.

Tuttavia, ci sono altre opzioni quando è impossibile eseguire l'operazione di divisione senza un resto. In questo caso, un numero non intero diventa privato, che può essere scritto come combinazione di un intero e una parte frazionaria. Ad esempio, dividendo 5 per 2, il quoziente è 2,5.

Numero in un periodo

Una delle opzioni che possono verificarsi se il dividendo non è un multiplo del divisore è il cosiddetto numero nel periodo. Può sorgere come risultato della divisione nel caso in cui il quoziente risulti essere un insieme di numeri che si ripetono all'infinito. Ad esempio, un numero in un punto può apparire quando il numero 2 è diviso per 3. In questa situazione, il risultato, sotto forma di frazione decimale, sarà espresso come combinazione di un numero infinito di 6 cifre dopo il decimale punto.

Per indicare il risultato di tale divisione, è stato inventato un modo speciale di scrivere i numeri in un periodo: tale numero viene indicato mettendo una cifra ripetuta tra parentesi. Ad esempio, il risultato della divisione 2 per 3 verrebbe scritto utilizzando questo metodo come 0,(6). La notazione specificata è applicabile anche se viene ripetuta solo una parte del numero risultante dalla divisione.

Ad esempio, dividendo 5 per 6, il risultato sarà un numero periodico che assomiglia a 0,8(3). L'uso di questo metodo, in primo luogo, è il più efficace rispetto a un tentativo di annotare tutte o parte delle cifre di un numero in un punto e, in secondo luogo, ha una maggiore precisione rispetto a un altro metodo di trasmissione di tali numeri - arrotondamento e, inoltre, consente di distinguere i numeri in periodo da una frazione decimale esatta con il valore corrispondente quando si confronta la grandezza di questi numeri. Quindi, ad esempio, è ovvio che 0,(6) è significativamente maggiore di 0,6.