teorema di Pitagora
Allo stesso modo, il triangolo CBH è simile a ABC. Introduzione alla notazione 
1. Disporre quattro triangoli rettangoli uguali come mostrato nella figura. 
L'idea della dimostrazione di Euclide è la seguente: proviamo a dimostrare che metà dell'area del quadrato costruita sull'ipotenusa è uguale alla somma delle mezze aree dei quadrati costruite sulle gambe, e quindi le aree di il quadrato grande e due piccoli sono uguali. Considera il disegno a sinistra. Abbiamo costruito quadrati ai lati di un triangolo rettangolo su di esso e disegnato un raggio s dal vertice dell'angolo retto C perpendicolare all'ipotenusa AB, taglia il quadrato ABIK, costruito sull'ipotenusa, in due rettangoli - BHJI e HAKJ , rispettivamente. Si scopre che le aree di questi rettangoli sono esattamente uguali alle aree dei quadrati costruiti sulle gambe corrispondenti. Proviamo a dimostrare che l'area del quadrato DECA è uguale all'area del rettangolo AHJK Per fare ciò, utilizziamo un'osservazione ausiliaria: l'area di un triangolo con la stessa altezza e base del dato rettangolo è uguale alla metà dell'area del rettangolo dato. Questa è una conseguenza della definizione dell'area di un triangolo come metà del prodotto della base e dell'altezza. Da questa osservazione ne consegue che l'area del triangolo ACK è uguale all'area del triangolo AHK (non mostrato), che, a sua volta, è uguale alla metà dell'area del rettangolo AHJK. Dimostriamo ora che l'area del triangolo ACK è pari anche alla metà dell'area del quadrato DECA. L'unica cosa che deve essere fatta per questo è dimostrare l'uguaglianza dei triangoli ACK e BDA (poiché l'area del triangolo BDA è uguale alla metà dell'area del quadrato dalla proprietà sopra). Questa uguaglianza è ovvia, i triangoli sono uguali in due lati e l'angolo tra di loro. Vale a dire - AB=AK,AD=AC - l'uguaglianza degli angoli CAK e BAD è facile da provare con il metodo del moto: ruotiamo il triangolo CAK di 90° in senso antiorario, quindi è ovvio che i lati corrispondenti dei due triangoli considerati saranno coincidono (per il fatto che l'angolo al vertice del quadrato è 90°). L'argomento sull'uguaglianza delle aree del quadrato BCFG e del rettangolo BHJI è del tutto analogo. Abbiamo quindi dimostrato che l'area del quadrato costruita sull'ipotenusa è la somma delle aree dei quadrati costruiti sulle gambe. 
Si consideri il disegno, come si può vedere dalla simmetria, il segmento CI taglia il quadrato ABHJ in due parti identiche (poiché i triangoli ABC e JHI sono uguali nella costruzione). Usando una rotazione di 90 gradi in senso antiorario, vediamo l'uguaglianza delle figure ombreggiate CAJI e GDAB. Ora è chiaro che l'area della figura da noi ombreggiata è uguale alla somma della metà delle aree dei quadrati costruiti sulle gambe e dell'area del triangolo originario. È invece uguale alla metà dell'area del quadrato costruito sull'ipotenusa, più l'area del triangolo originario. L'ultimo passaggio della dimostrazione è lasciato al lettore.(secondo Papyrus 6619 del Museo di Berlino). Secondo Cantor, gli harpedonapts, o "stringers", costruivano angoli retti usando triangoli rettangoli con i lati 3, 4 e 5.
È molto facile riprodurre il loro metodo di costruzione. Prendi una corda lunga 12 m e legala ad essa lungo una striscia colorata a una distanza di 3 m da un'estremità e 4 metri dall'altra. Un angolo retto sarà racchiuso tra i lati lunghi 3 e 4 metri. Si potrebbe obiettare agli Harpedonapt che il loro metodo di costruzione diventa ridondante se, ad esempio, viene utilizzata la squadra di legno usata da tutti i falegnami. In effetti, sono noti disegni egizi in cui si trova un tale strumento, ad esempio disegni raffiguranti un'officina di falegnameria.
Si sa qualcosa di più sul teorema di Pitagora tra i babilonesi. In un testo risalente al tempo di Hammurabi, cioè al 2000 a.C. e. , viene fornito un calcolo approssimativo dell'ipotenusa di un triangolo rettangolo. Da ciò possiamo concludere che in Mesopotamia erano in grado di eseguire calcoli con triangoli rettangoli, almeno in alcuni casi. Basandosi, da un lato, sull'attuale livello di conoscenza della matematica egiziana e babilonese, e, dall'altro, su uno studio critico delle fonti greche, Van der Waerden (un matematico olandese) ha concluso che c'era un'alta probabilità che il teorema del quadrato dell'ipotenusa era noto in India già intorno al XVIII secolo aC. e.
Intorno al 400 a.C. e., secondo Proclo, Platone ha fornito un metodo per trovare le triple pitagoriche, combinando algebra e geometria. Intorno al 300 a.C. e. negli "Elementi" di Euclide apparve la più antica dimostrazione assiomatica del teorema di Pitagora.
Formulazione
Formulazione geometrica:
Il teorema era originariamente formulato come segue:
Formulazione algebrica:
Cioè, denotando la lunghezza dell'ipotenusa del triangolo attraverso e le lunghezze delle gambe attraverso e:
Entrambe le formulazioni del teorema sono equivalenti, ma la seconda formulazione è più elementare, non richiede il concetto di area. Cioè, la seconda affermazione può essere verificata senza sapere nulla dell'area e misurando solo le lunghezze dei lati di un triangolo rettangolo.
Teorema di Pitagora inverso:
Prova di
Al momento, nella letteratura scientifica sono state registrate 367 dimostrazioni di questo teorema. Probabilmente, il teorema di Pitagora è l'unico teorema con un numero così impressionante di dimostrazioni. Una tale varietà può essere spiegata solo dal significato fondamentale del teorema per la geometria.
Naturalmente, concettualmente, tutti possono essere suddivisi in un piccolo numero di classi. I più famosi: dimostrazioni con il metodo dell'area, dimostrazioni assiomatiche ed esotiche (ad esempio, utilizzando equazioni differenziali).
Attraverso triangoli simili
La seguente dimostrazione della formulazione algebrica è la più semplice delle dimostrazioni costruite direttamente dagli assiomi. In particolare, non utilizza il concetto di area della figura.
Permettere ABC c'è un triangolo rettangolo C. Disegniamo l'altezza da C e denota la sua base con H. Triangolo ACH come un triangolo ABC ai due angoli. Allo stesso modo, il triangolo CBH simile ABC. Introduzione alla notazione
noi abbiamo
Che cosa è equivalente
Aggiungendo, otteniamo
, che doveva essere dimostratoProve di zona
Le seguenti dimostrazioni, nonostante la loro apparente semplicità, non sono affatto così semplici. Tutti usano le proprietà dell'area, la cui dimostrazione è più complicata della dimostrazione del teorema di Pitagora stesso.
Dimostrazione per equivalenza
- Disporre quattro triangoli rettangoli uguali come mostrato nella Figura 1.
- Quadrilatero con lati cè un quadrato perché la somma di due angoli acuti è 90° e l'angolo retto è 180°.
- L'area dell'intera figura è uguale, da un lato, all'area di un quadrato con un lato (a + b), e dall'altro, alla somma delle aree di quattro triangoli e dell'area della piazza interna.
QED
La dimostrazione di Euclide
L'idea della dimostrazione di Euclide è la seguente: proviamo a dimostrare che metà dell'area del quadrato costruita sull'ipotenusa è uguale alla somma delle mezze aree dei quadrati costruite sulle gambe, e quindi le aree di il quadrato grande e due piccoli sono uguali.
Considera il disegno a sinistra. Abbiamo costruito quadrati ai lati di un triangolo rettangolo su di esso e disegnato un raggio s dal vertice dell'angolo retto C perpendicolare all'ipotenusa AB, taglia il quadrato ABIK, costruito sull'ipotenusa, in due rettangoli - BHJI e HAKJ , rispettivamente. Si scopre che le aree di questi rettangoli sono esattamente uguali alle aree dei quadrati costruiti sulle gambe corrispondenti.
Proviamo a dimostrare che l'area del quadrato DECA è uguale all'area del rettangolo AHJK Per fare ciò, utilizziamo un'osservazione ausiliaria: l'area di un triangolo con la stessa altezza e base del dato rettangolo è uguale alla metà dell'area del rettangolo dato. Questa è una conseguenza della definizione dell'area di un triangolo come metà del prodotto della base e dell'altezza. Da questa osservazione ne consegue che l'area del triangolo ACK è uguale all'area del triangolo AHK (non mostrato), che, a sua volta, è uguale alla metà dell'area del rettangolo AHJK.
Dimostriamo ora che l'area del triangolo ACK è pari anche alla metà dell'area del quadrato DECA. L'unica cosa che deve essere fatta per questo è dimostrare l'uguaglianza dei triangoli ACK e BDA (poiché l'area del triangolo BDA è uguale alla metà dell'area del quadrato dalla proprietà sopra). Questa uguaglianza è ovvia: i triangoli sono uguali in due lati e l'angolo tra di loro. Vale a dire - AB=AK, AD=AC - l'uguaglianza degli angoli CAK e BAD è facile da provare con il metodo del moto: ruotiamo il triangolo CAK di 90° in senso antiorario, quindi è ovvio che i lati corrispondenti dei due triangoli considerati saranno coincidono (per il fatto che l'angolo al vertice del quadrato è 90°).
L'argomento sull'uguaglianza delle aree del quadrato BCFG e del rettangolo BHJI è del tutto analogo.
Abbiamo quindi dimostrato che l'area del quadrato costruita sull'ipotenusa è la somma delle aree dei quadrati costruiti sulle gambe. L'idea alla base di questa dimostrazione è ulteriormente illustrata con l'animazione sopra.
Prova di Leonardo da Vinci
Gli elementi principali della dimostrazione sono la simmetria e il movimento.
Considera il disegno, come si può vedere dalla simmetria, il segmento taglia il quadrato in due parti identiche (poiché i triangoli e sono uguali nella costruzione).
Usando una rotazione in senso antiorario di 90 gradi attorno al punto, vediamo l'uguaglianza delle figure ombreggiate e .
Ora è chiaro che l'area della figura da noi ombreggiata è uguale alla somma della metà delle aree dei quadratini (costruiti sulle gambe) e dell'area del triangolo originale. È invece uguale alla metà dell'area del quadrato grande (costruito sull'ipotenusa) più l'area del triangolo originario. Quindi, la metà della somma delle aree dei quadratini è uguale alla metà dell'area del quadrato grande, e quindi la somma delle aree dei quadrati costruiti sulle gambe è uguale all'area del quadrato costruito sull'ipotenusa.
Dimostrazione con il metodo infinitesimale
La seguente dimostrazione mediante equazioni differenziali è spesso attribuita al famoso matematico inglese Hardy, vissuto nella prima metà del XX secolo.
Considerando il disegno mostrato in figura e osservando il cambio di lato un, possiamo scrivere la seguente relazione per incrementi laterali infinitesimi Insieme a e un(usando triangoli simili):
Usando il metodo di separazione delle variabili, troviamo
Un'espressione più generale per modificare l'ipotenusa nel caso di incrementi di entrambe le gambe
Integrando questa equazione e utilizzando le condizioni iniziali, otteniamo
Si arriva così alla risposta desiderata
È facile vedere che la dipendenza quadratica nella formula finale appare per la proporzionalità lineare tra i lati del triangolo e gli incrementi, mentre la somma è dovuta ai contributi indipendenti dell'incremento di gambe diverse.
Una dimostrazione più semplice può essere ottenuta se assumiamo che una delle gambe non subisce un incremento (in questo caso, la gamba). Quindi per la costante di integrazione otteniamo
Variazioni e generalizzazioni
Forme geometriche simili su tre lati
Generalizzazione per triangoli simili, area delle figure verdi A + B = area del blu C
Teorema di Pitagora che utilizza triangoli rettangoli simili
Una generalizzazione del teorema di Pitagora è stata fatta da Euclide nel suo lavoro Inizi, espandendo le aree dei quadrati sui lati alle aree di forme geometriche simili:
Se costruiamo figure geometriche simili (vedi geometria euclidea) ai lati di un triangolo rettangolo, la somma delle due figure più piccole sarà uguale all'area della figura più grande.
L'idea principale di questa generalizzazione è che l'area di una tale figura geometrica è proporzionale al quadrato di una qualsiasi delle sue dimensioni lineari e, in particolare, al quadrato della lunghezza di qualsiasi lato. Pertanto, per figure simili con aree UN, B e C costruito sui lati con lunghezza un, b e c, noi abbiamo:
Ma, secondo il teorema di Pitagora, un 2 + b 2 = c 2, quindi UN + B = C.
Viceversa, se possiamo dimostrarlo UN + B = C per tre figure geometriche simili senza utilizzare il teorema di Pitagora, allora possiamo provare il teorema stesso, muovendoci nella direzione opposta. Ad esempio, il triangolo centrale iniziale può essere riutilizzato come triangolo C sull'ipotenusa e due triangoli rettangoli simili ( UN e B) costruito sugli altri due lati, che si formano per effetto della divisione del triangolo centrale per la sua altezza. La somma delle due aree minori dei triangoli è poi ovviamente uguale all'area del terzo, quindi UN + B = C e, eseguendo le precedenti dimostrazioni in ordine inverso, otteniamo il teorema di Pitagora a 2 + b 2 = c 2 .
Teorema del coseno
Il teorema di Pitagora è un caso speciale del più generale teorema del coseno che mette in relazione le lunghezze dei lati in un triangolo arbitrario:
dove θ è l'angolo tra i lati un e b.
Se θ è 90 gradi allora cos θ = 0 e la formula è semplificata al solito teorema di Pitagora.
Triangolo arbitrario
A qualsiasi angolo scelto di un triangolo arbitrario con i lati a, b, c inscriviamo un triangolo isoscele in modo tale che angoli uguali alla sua base θ siano uguali all'angolo scelto. Assumiamo che l'angolo scelto θ si trovi di fronte al lato indicato c. Di conseguenza, abbiamo ottenuto un triangolo ABD con angolo θ, che si trova di fronte al lato un e feste r. Il secondo triangolo è formato dall'angolo θ, che è opposto al lato b e feste Insieme a lungo S, come mostrato nell'immagine. Thabit Ibn Qurra ha affermato che i lati di questi tre triangoli sono correlati come segue:
Quando l'angolo θ si avvicina a π/2, la base del triangolo isoscele diminuisce ei due lati r e s si sovrappongono sempre meno. Quando θ = π/2, ADB diventa un triangolo rettangolo, r + S = c e otteniamo il teorema di Pitagora iniziale.
Diamo un'occhiata a uno degli argomenti. Il triangolo ABC ha gli stessi angoli del triangolo ABD, ma in ordine inverso. (I due triangoli hanno un angolo comune al vertice B, entrambi hanno angolo θ e hanno anche lo stesso terzo angolo, per la somma degli angoli del triangolo) Di conseguenza, ABC è simile alla riflessione ABD del triangolo DBA, come mostrato nella figura in basso. Scriviamo la relazione tra i lati opposti e quelli adiacenti all'angolo θ,
Così è il riflesso di un altro triangolo,
Moltiplica le frazioni e aggiungi questi due rapporti:
QED
Generalizzazione per triangoli arbitrari tramite parallelogrammi
Generalizzazione per triangoli arbitrari,
area di verde trama = area blu
Prova della tesi che nella figura sopra
Facciamo un'ulteriore generalizzazione per i triangoli non rettangolari, usando parallelogrammi su tre lati anziché quadrati. (i quadrati sono un caso speciale.) La figura in alto mostra che per un triangolo acuto, l'area del parallelogramma sul lato lungo è uguale alla somma dei parallelogrammi sugli altri due lati, a condizione che il parallelogramma sul lato lungo il lato è costruito come mostrato in figura (le dimensioni contrassegnate dalle frecce sono le stesse e determinano il lato del parallelogramma inferiore). Questa sostituzione di quadrati con parallelogrammi ha una chiara somiglianza con il teorema di Pitagora iniziale e si ritiene che sia stata formulata da Pappo di Alessandria nel 4 d.C. e.
La figura in basso mostra l'andamento della dimostrazione. Diamo un'occhiata al lato sinistro del triangolo. Il parallelogramma verde sinistro ha la stessa area del lato sinistro del parallelogramma blu perché hanno la stessa base b e altezza h. Inoltre, il riquadro verde di sinistra ha la stessa area del riquadro verde di sinistra nell'immagine in alto perché hanno una base comune (lato superiore sinistro del triangolo) e un'altezza comune perpendicolare a quel lato del triangolo. Discutendo in modo simile per il lato destro del triangolo, dimostriamo che il parallelogramma inferiore ha la stessa area dei due parallelogrammi verdi.
Numeri complessi
Il teorema di Pitagora viene utilizzato per trovare la distanza tra due punti in un sistema di coordinate cartesiane, e questo teorema vale per tutte le coordinate vere: distanza S tra due punti ( a, b) e ( CD) è uguale a
Non ci sono problemi con la formula se i numeri complessi vengono trattati come vettori con componenti reali X + io y = (X, y). . Ad esempio, la distanza S tra 0 + 1 io e 1 + 0 io calcola come modulo del vettore (0, 1) − (1, 0) = (−1, 1), o
Tuttavia, per le operazioni con vettori con coordinate complesse, è necessario apportare un certo miglioramento alla formula pitagorica. Distanza tra punti con numeri complessi ( un, b) e ( c, d); un, b, c, e d tutto complesso, formuliamo utilizzando valori assoluti. Distanza S in base alla differenza di vettore (un − c, b − d) nella forma seguente: facciamo la differenza un − c = p+ io q, dove pè la vera parte della differenza, qè la parte immaginaria, e i = √(−1). Allo stesso modo, lascia b − d = r+ io S. Quindi:
dove è il complesso coniugato di . Ad esempio, la distanza tra i punti (un, b) = (0, 1) e (c, d) = (io, 0) , calcola la differenza (un − c, b − d) = (−io, 1) e il risultato sarebbe 0 se non fossero usati coniugati complessi. Pertanto, utilizzando la formula migliorata, otteniamo
Il modulo è così definito:
Stereometria
Una generalizzazione significativa del teorema di Pitagora per lo spazio tridimensionale è il teorema di de Gua, dal nome di J.-P. de Gua: se un tetraedro ha un angolo retto (come in un cubo), allora il quadrato dell'area della faccia opposta all'angolo retto è uguale alla somma dei quadrati delle aree delle altre tre facce. Questa conclusione può essere riassunta come " n teorema di Pitagora -dimensionale":
Il teorema di Pitagora in tre dimensioni mette in relazione la diagonale AD a tre lati.
Un'altra generalizzazione: il teorema di Pitagora può essere applicato alla stereometria nella forma seguente. Considera una scatola rettangolare, come mostrato in figura. Trova la lunghezza della diagonale BD usando il teorema di Pitagora:
dove tre lati formano un triangolo rettangolo. Usa la diagonale orizzontale BD e il bordo verticale AB per trovare la lunghezza della diagonale AD, sempre usando il teorema di Pitagora:
oppure, se tutto è scritto in un'unica equazione:
Questo risultato è un'espressione 3D per determinare la grandezza del vettore v(diagonale AD) espressa in termini delle sue componenti perpendicolari ( v k) (tre lati tra loro perpendicolari):
Questa equazione può essere vista come una generalizzazione del teorema di Pitagora per uno spazio multidimensionale. Tuttavia, il risultato in realtà non è altro che l'applicazione ripetuta del teorema di Pitagora a una sequenza di triangoli rettangoli in piani successivamente perpendicolari.
spazio vettoriale
Nel caso di un sistema di vettori ortogonale, si verifica un'uguaglianza, che è anche chiamata teorema di Pitagora:
Se - queste sono proiezioni del vettore sugli assi delle coordinate, allora questa formula coincide con la distanza euclidea - e significa che la lunghezza del vettore è uguale alla radice quadrata della somma dei quadrati delle sue componenti.
L'analogo di questa uguaglianza nel caso di un sistema infinito di vettori è chiamato uguaglianza di Parseval.
Geometria non euclidea
Il teorema di Pitagora è derivato dagli assiomi della geometria euclidea e, infatti, non è valido per la geometria non euclidea, nella forma in cui è scritto sopra. (Cioè, il teorema di Pitagora risulta essere una sorta di equivalente del postulato di Euclide del parallelismo) In altre parole, nella geometria non euclidea, il rapporto tra i lati del triangolo sarà necessariamente in una forma diversa dal teorema di Pitagora . Ad esempio, nella geometria sferica, tutti e tre i lati di un triangolo rettangolo (diciamo un, b e c) che lega l'ottante (un ottavo) della sfera unitaria hanno lunghezza π/2, il che contraddice il teorema di Pitagora perché un 2 + b 2 ≠ c 2 .
Consideriamo qui due casi di geometria non euclidea: la geometria sferica e quella iperbolica; in entrambi i casi, come per lo spazio euclideo dei triangoli rettangoli, dal teorema del coseno segue il risultato che sostituisce il teorema di Pitagora.
Tuttavia, il teorema di Pitagora rimane valido per la geometria iperbolica ed ellittica se il requisito che il triangolo sia rettangolo è sostituito dalla condizione che la somma di due angoli del triangolo deve essere uguale al terzo, diciamo UN+B = C. Quindi il rapporto tra i lati appare così: la somma delle aree dei cerchi con diametri un e b uguale all'area di un cerchio con un diametro c.
geometria sferica
Per qualsiasi triangolo rettangolo su una sfera con raggio R(ad esempio, se l'angolo γ nel triangolo è retto) con i lati un, b, c il rapporto tra le parti sarà simile a questo:
Questa uguaglianza può essere derivata come un caso speciale del teorema del coseno sferico, che è valido per tutti i triangoli sferici:
dove cosh è il coseno iperbolico. Questa formula è un caso speciale del teorema del coseno iperbolico, che è valido per tutti i triangoli:
dove γ è l'angolo il cui vertice è opposto al lato c.
dove g ijè chiamato tensore metrico. Può essere una funzione di posizione. Tali spazi curvilinei includono la geometria riemanniana come esempio comune. Questa formulazione è adatta anche per lo spazio euclideo quando si utilizzano coordinate curvilinee. Ad esempio, per le coordinate polari:
prodotto vettoriale
Il teorema di Pitagora collega due espressioni per la grandezza di un prodotto vettoriale. Un approccio alla definizione di un prodotto incrociato richiede che soddisfi l'equazione:
questa formula utilizza il prodotto punto. Il lato destro dell'equazione è chiamato determinante di Gram un e b, che è uguale all'area del parallelogramma formato da questi due vettori. Sulla base di questo requisito, nonché del requisito che il prodotto vettoriale sia perpendicolare ai suoi componenti un e b ne consegue che, fatta eccezione per i banali casi di spazio 0- e 1-dimensionale, il prodotto vettoriale è definito solo in tre e sette dimensioni. Usiamo la definizione dell'angolo in n-spazio dimensionale:
questa proprietà del prodotto vettoriale dà il suo valore nella forma seguente:
Attraverso l'identità trigonometrica fondamentale di Pitagora, otteniamo un'altra forma di scrittura del suo valore:
Un approccio alternativo alla definizione di un prodotto incrociato utilizza un'espressione per la sua grandezza. Quindi, ragionando in senso inverso, otteniamo una connessione con il prodotto scalare:
Guarda anche
Appunti
- Argomento storico: il teorema di Pitagora nella matematica babilonese
- ( , pag. 351) pag. 351
- ( , Vol I, p. 144)
- Una discussione di fatti storici è data in (, p. 351) p. 351
- Kurt Von Fritz (aprile 1945). "La scoperta dell'incommensurabilità di Ippaso di Metaponto". Gli annali della matematica, seconda serie(Annali della matematica) 46 (2): 242–264.
- Lewis Carroll, "La storia con i nodi", M., Mir, 1985, p. 7
- Asger Aaboe Episodi della prima storia della matematica. - Associazione Matematica d'America, 1997. - P. 51. - ISBN 0883856131
- Proposta pitagorica di Elisha Scott Loomis
- di Euclide Elementi: Libro VI, Proposizione VI 31: "Nei triangoli rettangoli la figura sul lato che sottende l'angolo retto è uguale alle figure simili e similmente descritte sui lati contenenti l'angolo retto".
- Lawrence S. Leff opera citata. - Serie educativa di Barron - P. 326. - ISBN 0764128922
- Howard Whitley Eves§4.8:...generalizzazione del teorema di Pitagora // Grandi momenti in matematica (ante 1650) . - Associazione Matematica d'America, 1983. - P. 41. - ISBN 0883853108
- Tâbit ibn Qorra (nome completo Thābit ibn Qurra ibn Marwan Al-Ṣābiʾ al-Ḥarrānī) (826-901 d.C.) era un medico residente a Baghdad che scrisse ampiamente sugli Elementi di Euclide e su altri argomenti matematici.
- Aydin Sayili (marzo 1960). "Generalizzazione del teorema di Pitagora di Thâbit ibn Qurra". Iside 51 (1): 35–37. DOI:10.1086/348837.
- Judith D. Sally, Paul Sally Esercizio 2.10(ii) // Opera citata . - P. 62. - ISBN 0821844032
- Per i dettagli di tale costruzione, cfr Giorgio Jennings Figura 1.32: Il teorema di Pitagora generalizzato // La geometria moderna con applicazioni: con 150 figure . - 3°. - Springer, 1997. - P. 23. - ISBN 038794222X
- Arlen Brown, Carl M. Pearcy elemento C: Norma per un arbitrario n-tuple... // Introduzione all'analisi. - Springer, 1995. - P. 124. - ISBN 0387943692 Vedere anche le pagine 47-50.
- Alfred Gray, Elsa Abbena, Simon Salamon Moderna geometria differenziale di curve e superfici con Mathematica. - 3°. - CRC Press, 2006. - P. 194. - ISBN 1584884487
- Rajendra Bhatia analisi matriciale. - Springer, 1997. - P. 21. - ISBN 0387948465
- Stephen W. Hawking opera citata. - 2005. - P. 4. - ISBN 0762419229
- Eric W. Weisstein Enciclopedia sintetica della matematica CRC. - 2°. - 2003. - P. 2147. - ISBN 1584883472
- Alexander R. Pruss
Il potenziale per la creatività è solitamente attribuito alle discipline umanistiche, lasciando la naturale analisi scientifica, l'approccio pratico e il linguaggio asciutto di formule e numeri. La matematica non può essere classificata come materia umanistica. Ma senza la creatività nella "regina di tutte le scienze" non andrai lontano: le persone lo sanno da molto tempo. Dai tempi di Pitagora, per esempio.
I libri di testo scolastici, purtroppo, di solito non spiegano che in matematica è importante non solo stipare teoremi, assiomi e formule. È importante comprenderne e sentirne i principi fondamentali. E allo stesso tempo, cerca di liberare la tua mente dai cliché e dalle verità elementari: solo in tali condizioni nascono tutte le grandi scoperte.
Tali scoperte includono quella che oggi conosciamo come il teorema di Pitagora. Con il suo aiuto, cercheremo di dimostrare che la matematica non solo può, ma dovrebbe essere divertente. E che questa avventura è adatta non solo ai nerd con gli occhiali spessi, ma a tutti coloro che sono forti di mente e forti di spirito.
Dalla storia della questione
A rigor di termini, sebbene il teorema sia chiamato "teorema di Pitagora", lo stesso Pitagora non lo scoprì. Il triangolo rettangolo e le sue proprietà speciali sono state studiate molto prima di esso. Ci sono due punti di vista polari su questo tema. Secondo una versione, Pitagora fu il primo a trovare una dimostrazione completa del teorema. Secondo un altro, la prova non appartiene alla paternità di Pitagora.
Oggi non puoi più controllare chi ha ragione e chi ha torto. Si sa solo che la prova di Pitagora, se mai è esistita, non è sopravvissuta. Tuttavia, ci sono suggerimenti che la famosa dimostrazione degli Elementi di Euclide possa appartenere a Pitagora, ed Euclide l'ha solo registrata.
È anche noto oggi che i problemi relativi a un triangolo rettangolo si trovano in fonti egiziane dal tempo del faraone Amenemhet I, su tavolette di argilla babilonesi del regno del re Hammurabi, nell'antico trattato indiano Sulva Sutra e nell'antica opera cinese Zhou -bi suan jin.
Come puoi vedere, il teorema di Pitagora ha occupato le menti dei matematici fin dall'antichità. Circa 367 diversi elementi di prova che esistono oggi servono come conferma. Nessun altro teorema può competere con esso in questo senso. Notevoli autori di prove includono Leonardo da Vinci e il 20° Presidente degli Stati Uniti, James Garfield. Tutto ciò parla dell'estrema importanza di questo teorema per la matematica: la maggior parte dei teoremi della geometria sono derivati da essa o, in un modo o nell'altro, ad essa collegati.
Dimostrazioni del teorema di Pitagora
I libri di testo scolastici forniscono principalmente dimostrazioni algebriche. Ma l'essenza del teorema è nella geometria, quindi consideriamo prima di tutto quelle dimostrazioni del famoso teorema che si basano su questa scienza.
Prova 1
Per la dimostrazione più semplice del teorema di Pitagora per un triangolo rettangolo, devi porre le condizioni ideali: lascia che il triangolo sia non solo rettangolo, ma anche isoscele. C'è motivo di credere che fosse un tale triangolo originariamente considerato dagli antichi matematici.
Dichiarazione "un quadrato costruito sull'ipotenusa di un triangolo rettangolo è uguale alla somma dei quadrati costruiti sulle sue gambe" può essere illustrato con il seguente disegno:
Osserva il triangolo rettangolo isoscele ABC: sull'ipotenusa AC puoi costruire un quadrato composto da quattro triangoli uguali all'originale ABC. E sulle gambe AB e BC costruite su un quadrato, ciascuna delle quali contiene due triangoli simili.
A proposito, questo disegno ha costituito la base di numerosi aneddoti e cartoni dedicati al teorema di Pitagora. Forse il più famoso lo è "I pantaloni pitagorici sono uguali in tutte le direzioni":
Prova 2
Questo metodo combina algebra e geometria e può essere visto come una variante dell'antica dimostrazione indiana del matematico Bhaskari.
Costruisci un triangolo rettangolo con i lati a, b e c(Fig. 1). Quindi costruisci due quadrati con i lati uguali alla somma delle lunghezze delle due gambe - (a+b). In ciascuno dei quadrati, fai delle costruzioni, come nelle figure 2 e 3.
Nel primo quadrato, costruisci quattro degli stessi triangoli della Figura 1. Di conseguenza, si ottengono due quadrati: uno di lato a, il secondo di lato b.
Nel secondo quadrato, quattro triangoli simili costruiti formano un quadrato con il lato uguale all'ipotenusa c.
La somma delle aree dei quadrati costruiti in Fig. 2 è uguale all'area del quadrato che abbiamo costruito con il lato c in Fig. 3. Questo può essere facilmente verificato calcolando le aree dei quadrati di Fig. 2 secondo la formula. E l'area del quadrato inscritto nella Figura 3. sottraendo le aree di quattro triangoli rettangoli uguali inscritti nel quadrato dall'area di un grande quadrato con un lato (a+b).
Mettendo giù tutto questo, abbiamo: a 2 + b 2 \u003d (a + b) 2 - 2ab. Espandi le parentesi, esegui tutti i calcoli algebrici necessari e ottienilo a 2 + b 2 = a 2 + b 2. Allo stesso tempo, l'area dell'inscritto in Fig.3. il quadrato può anche essere calcolato usando la formula tradizionale S=c2. Quelli. a2+b2=c2 Hai dimostrato il teorema di Pitagora.
Prova 3
La stessa antica dimostrazione indiana è descritta nel XII secolo nel trattato "The Crown of Knowledge" ("Siddhanta Shiromani"), e come argomento principale l'autore utilizza un appello rivolto ai talenti matematici e alle capacità di osservazione degli studenti e followers: “Guarda!”.
Ma analizzeremo questa dimostrazione in modo più dettagliato:
All'interno del quadrato, costruisci quattro triangoli rettangoli come indicato nel disegno. Viene indicato il lato del grande quadrato, che è anche l'ipotenusa Insieme a. Chiamiamo le gambe del triangolo un e b. Secondo il disegno, il lato del quadrato interno è (a-b).
Usa la formula dell'area quadrata S=c2 per calcolare l'area del quadrato esterno. E allo stesso tempo calcola lo stesso valore sommando l'area del quadrato interno e l'area di tutti e quattro i triangoli rettangoli: (a-b) 2 2+4*1\2*a*b.
Puoi utilizzare entrambe le opzioni per calcolare l'area di un quadrato per assicurarti che diano lo stesso risultato. E questo ti dà il diritto di scriverlo c 2 =(a-b) 2 +4*1\2*a*b. Come risultato della soluzione, otterrai la formula del teorema di Pitagora c2=a2+b2. Il teorema è stato dimostrato.
Prova 4
Questa curiosa prova dell'antica Cina è stata chiamata la "sedia della sposa" - a causa della figura simile a una sedia che risulta da tutte le costruzioni:
Utilizza il disegno che abbiamo già visto in Figura 3 nella seconda dimostrazione. E il quadrato interno di lato c è costruito allo stesso modo dell'antica dimostrazione indiana data sopra.
Se tagli mentalmente due triangoli rettangoli verdi dal disegno di Fig. 1, li sposti ai lati opposti del quadrato di lato c e attacchi le ipotenuse alle ipotenuse dei triangoli lilla, otterrai una figura chiamata “sedia della sposa ” (Fig. 2). Per chiarezza, puoi fare lo stesso con quadrati e triangoli di carta. Vedrai che la "sedia della sposa" è formata da due quadrati: quelli piccoli con un fianco b e grande con un lato un.
Queste costruzioni hanno permesso agli antichi matematici cinesi ea noi che li abbiamo seguiti di giungere alla conclusione che c2=a2+b2.
Prova 5
Questo è un altro modo per trovare una soluzione al teorema di Pitagora basato sulla geometria. Si chiama Metodo Garfield.
Costruisci un triangolo rettangolo ABC. Dobbiamo dimostrarlo BC 2 \u003d AC 2 + AB 2.
Per fare questo, continua la gamba AU e costruisci un segmento CD, che è uguale alla gamba AB. Perpendicolare inferiore ANNO DOMINI segmento ED. Segmenti ED e AU sono uguali. unisci i punti e e A, così come e e DA e ottieni un disegno come l'immagine qui sotto:
Per provare la torre, ricorriamo nuovamente al metodo che abbiamo già testato: troviamo l'area della figura risultante in due modi e uguagliamo le espressioni tra loro.
Trova l'area di un poligono UN LETTO può essere fatto sommando le aree dei tre triangoli che lo formano. E uno di loro ERU, non è solo rettangolare, ma anche isoscele. Non dimentichiamolo AB=CD, AC=DE e BC=CE- questo ci permetterà di semplificare la registrazione e di non sovraccaricarla. Così, S ABED \u003d 2 * 1/2 (AB * AC) + 1 / 2BC 2.
Allo stesso tempo, è ovvio che UN LETTOè un trapezio. Pertanto, calcoliamo la sua area usando la formula: SABED=(DE+AB)*1/2AD. Per i nostri calcoli, è più conveniente e più chiaro rappresentare il segmento ANNO DOMINI come somma dei segmenti AU e CD.
Scriviamo entrambi i modi per calcolare l'area di una figura mettendo un segno di uguale tra di loro: AB*AC+1/2BC 2 =(DE+AB)*1/2(AC+CD). Usiamo l'uguaglianza dei segmenti a noi già nota e sopra descritta per semplificare il lato destro della notazione: AB*AC+1/2BC 2 =1/2(AB+AC) 2. E ora apriamo le parentesi e trasformiamo l'uguaglianza: AB*AC+1/2BC 2 =1/2AC 2 +2*1/2(AB*AC)+1/2AB 2. Dopo aver terminato tutte le trasformazioni, otteniamo esattamente ciò di cui abbiamo bisogno: BC 2 \u003d AC 2 + AB 2. Abbiamo dimostrato il teorema.
Naturalmente, questo elenco di prove è tutt'altro che completo. Il teorema di Pitagora può anche essere dimostrato usando vettori, numeri complessi, equazioni differenziali, stereometria, ecc. E anche i fisici: se, ad esempio, si versa del liquido in volumi quadrati e triangolari simili a quelli mostrati nei disegni. Versando del liquido, è possibile dimostrare l'uguaglianza delle aree e il teorema stesso di conseguenza.
Qualche parola sulle terzine pitagoriche
Questo problema è poco o non studiato nel curriculum scolastico. Nel frattempo, è molto interessante ed è di grande importanza in geometria. Le triple pitagoriche sono usate per risolvere molti problemi matematici. L'idea di loro può esserti utile in un'ulteriore istruzione.
Allora cosa sono le triplette pitagoriche? I cosiddetti numeri naturali, raccolti in tre, la somma dei quadrati di due dei quali è uguale al terzo numero al quadrato.
Le triple pitagoriche possono essere:
- primitivo (tutti e tre i numeri sono primi);
- non primitivo (se ogni numero di una tripla viene moltiplicato per lo stesso numero, ottieni una nuova tripla che non è primitiva).
Già prima della nostra era, gli antichi egizi erano affascinati dalla mania per i numeri delle terzine pitagoriche: nei compiti consideravano un triangolo rettangolo con i lati di 3,4 e 5 unità. A proposito, qualsiasi triangolo i cui lati sono uguali ai numeri della terna pitagorica è di default rettangolare.
Esempi di triple pitagoriche: (3, 4, 5), (6, 8, 10), (5, 12, 13), (9, 12, 15), (8, 15, 17), (12, 16, 20) ), (15, 20, 25), (7, 24, 25), (10, 24, 26), (20, 21, 29), (18, 24, 30), (10, 30, 34 ), (21, 28, 35), (12, 35, 37), (15, 36, 39), (24, 32, 40), (9, 40, 41), (27, 36, 45), (14, 48, 50), (30, 40, 50) ecc.
Applicazione pratica del teorema
Il teorema di Pitagora trova applicazione non solo in matematica, ma anche in architettura e costruzioni, astronomia e persino letteratura.
In primo luogo, sulla costruzione: il teorema di Pitagora è ampiamente utilizzato in problemi di diversi livelli di complessità. Ad esempio, guarda la finestra romanica:
Indichiamo la larghezza della finestra come b, allora il raggio del grande semicerchio può essere indicato come R ed esprimere attraverso b: R=b/2. Il raggio di semicerchi più piccoli può anche essere espresso in termini di b: r=b/4. In questo problema, ci interessa il raggio del cerchio interno della finestra (chiamiamolo p).
Il teorema di Pitagora torna utile per il calcolo R. Per fare ciò, utilizziamo un triangolo rettangolo, che è indicato da una linea tratteggiata nella figura. L'ipotenusa di un triangolo è formata da due raggi: b/4+p. Una gamba è un raggio b/4, altro b/2-p. Usando il teorema di Pitagora scriviamo: (b/4+p) 2 =(b/4) 2 +(b/2-p) 2. Successivamente, espandiamo le parentesi e otteniamo b 2 /16+ bp / 2 + p 2 \u003d b 2 / 16 + b 2 / 4-bp + p 2. Trasformiamo questa espressione in bp/2=b 2 /4-bp. E poi dividiamo tutti i termini in b, ne diamo di simili da ottenere 3/2*p=b/4. E alla fine lo troviamo p=b/6- che è ciò di cui avevamo bisogno.
Usando il teorema, puoi calcolare la lunghezza delle travi per un tetto a due falde. Determina l'altezza necessaria per una torre mobile affinché il segnale raggiunga un determinato insediamento. E persino installare costantemente un albero di Natale nella piazza della città. Come puoi vedere, questo teorema non vive solo sulle pagine dei libri di testo, ma è spesso utile nella vita reale.
Per quanto riguarda la letteratura, il teorema di Pitagora ha ispirato gli scrittori fin dall'antichità e continua a farlo ancora oggi. Ad esempio, lo scrittore tedesco del diciannovesimo secolo Adelbert von Chamisso si ispirò a lei per scrivere un sonetto:
La luce della verità non si dissiperà presto,
Ma, dopo aver brillato, è improbabile che si dissipi
E, come migliaia di anni fa,
Non causerà dubbi e controversie.
Il più saggio quando tocca l'occhio
Luce di verità, ringrazia gli dèi;
E cento tori, pugnalati, mentono -
Il regalo di ritorno del fortunato Pitagora.
Da allora, i tori hanno ruggito disperatamente:
Ha eccitato per sempre la tribù dei tori
evento qui menzionato.
Pensano che sia giunto il momento
E ancora saranno sacrificati
Qualche grande teorema.
(tradotto da Viktor Toporov)
E nel ventesimo secolo, lo scrittore sovietico Yevgeny Veltistov nel suo libro "Le avventure dell'elettronica" ha dedicato un intero capitolo alle dimostrazioni del teorema di Pitagora. E mezzo capitolo di una storia su un mondo bidimensionale che potrebbe esistere se il teorema di Pitagora diventasse la legge fondamentale e persino la religione per un unico mondo. Sarebbe molto più facile viverci, ma anche molto più noioso: ad esempio, lì nessuno comprende il significato delle parole "tondo" e "soffice".
E nel libro "Le avventure dell'elettronica", l'autore, per bocca dell'insegnante di matematica Taratara, afferma: "La cosa principale in matematica è il movimento del pensiero, le nuove idee". È questo volo creativo del pensiero che genera il teorema di Pitagora: non per niente ha così tante prove diverse. Aiuta ad andare oltre il solito ea guardare le cose familiari in un modo nuovo.
Conclusione
Questo articolo è stato creato in modo che tu possa guardare oltre il curriculum scolastico in matematica e imparare non solo quelle dimostrazioni del teorema di Pitagora che sono fornite nei libri di testo "Geometria 7-9" (LS Atanasyan, V.N. Rudenko) e "Geometria 7 -11 ” (A.V. Pogorelov), ma anche altri modi curiosi per dimostrare il famoso teorema. E guarda anche esempi di come il teorema di Pitagora può essere applicato nella vita di tutti i giorni.
In primo luogo, queste informazioni ti permetteranno di ottenere punteggi più alti nelle lezioni di matematica: le informazioni sull'argomento da fonti aggiuntive sono sempre molto apprezzate.
In secondo luogo, volevamo aiutarti a farti un'idea di quanto sia interessante la matematica. Essere convinti con esempi concreti che in essa c'è sempre posto per la creatività. Ci auguriamo che il teorema di Pitagora e questo articolo ti ispirino a fare le tue ricerche e scoperte entusiasmanti in matematica e altre scienze.
Dicci nei commenti se hai trovato interessanti le prove presentate nell'articolo. Hai trovato queste informazioni utili nei tuoi studi? Facci sapere cosa ne pensi del teorema di Pitagora e di questo articolo: saremo felici di discuterne con te.
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teorema di Pitagora- uno dei teoremi fondamentali della geometria euclidea, che stabilisce la relazione
tra i lati di un triangolo rettangolo.
Si ritiene che sia stato dimostrato dal matematico greco Pitagora, da cui prende il nome.
Formulazione geometrica del teorema di Pitagora.
Il teorema era originariamente formulato come segue:
In un triangolo rettangolo, l'area del quadrato costruita sull'ipotenusa è uguale alla somma delle aree dei quadrati,
costruito su cateteri.
Formulazione algebrica del teorema di Pitagora.
In un triangolo rettangolo il quadrato della lunghezza dell'ipotenusa è uguale alla somma dei quadrati delle lunghezze delle gambe.
Cioè, denotando la lunghezza dell'ipotenusa del triangolo attraverso c, e le lunghezze delle gambe attraverso un e b:
Entrambe le formulazioni teoremi di pitagora sono equivalenti, ma la seconda formulazione è più elementare, non lo è
richiede il concetto di area. Cioè, la seconda affermazione può essere verificata senza sapere nulla della zona e
misurando solo le lunghezze dei lati di un triangolo rettangolo.
Il teorema di Pitagora inverso.
Se il quadrato di un lato di un triangolo è uguale alla somma dei quadrati degli altri due lati, allora
triangolo è rettangolare.
O, in altre parole:
Per ogni tripla di numeri positivi un, b e c, tale che
c'è un triangolo rettangolo con le gambe un e b e ipotenusa c.
Il teorema di Pitagora per un triangolo isoscele.
Teorema di Pitagora per un triangolo equilatero.
Dimostrazioni del teorema di Pitagora.
Al momento, nella letteratura scientifica sono state registrate 367 dimostrazioni di questo teorema. Probabilmente il teorema
Pitagora è l'unico teorema con un numero così impressionante di dimostrazioni. Tale diversità
può essere spiegato solo dal significato fondamentale del teorema per la geometria.
Naturalmente, concettualmente, tutti possono essere suddivisi in un piccolo numero di classi. Il più famoso di loro:
prova di metodo dell'area, assiomatico e prove esotiche(Per esempio,
usando equazioni differenziali).
1. Dimostrazione del teorema di Pitagora in termini di triangoli simili.
La seguente dimostrazione della formulazione algebrica è la più semplice delle dimostrazioni costruite
direttamente dagli assiomi. In particolare, non utilizza il concetto di area di una figura.
Permettere ABC c'è un triangolo rettangolo C. Disegniamo l'altezza da C e denotare
la sua fondazione attraverso H.
Triangolo ACH come un triangolo AB C su due angoli. Allo stesso modo, il triangolo CBH simile ABC.
Introducendo la notazione:
noi abbiamo:
,
che corrisponde -
Dopo aver piegato un 2 e b 2 otteniamo:
o , che doveva essere dimostrato.
2. Dimostrazione del teorema di Pitagora con il metodo dell'area.
Le seguenti dimostrazioni, nonostante la loro apparente semplicità, non sono affatto così semplici. Tutti loro
utilizzare le proprietà dell'area, la cui dimostrazione è più complicata della dimostrazione del teorema di Pitagora stesso.
- Dimostrazione per equicomplemento.
Disporre quattro rettangolari uguali
triangolo come mostrato nell'immagine
sulla destra.
Quadrilatero con lati c- quadrato,
poiché la somma di due angoli acuti è 90°, e
l'angolo sviluppato è di 180°.
L'area dell'intera figura è, da un lato,
area di un quadrato con lato ( a+b), e d'altra parte, la somma delle aree di quattro triangoli e
QED
3. Dimostrazione del teorema di Pitagora con il metodo infinitesimale.
Considerando il disegno mostrato in figura, e
guardando il cambio di latoun, noi possiamo
scrivi la seguente relazione per infinito
piccolo incrementi lateraliInsieme a e un(usando la somiglianza
triangoli):
Utilizzando il metodo della separazione delle variabili, troviamo:
Un'espressione più generale per modificare l'ipotenusa nel caso di incrementi di entrambe le gambe:
Integrando questa equazione e utilizzando le condizioni iniziali, otteniamo:
Si arriva così alla risposta desiderata:
Come è facile vedere, la dipendenza quadratica nella formula finale appare a causa del lineare
proporzionalità tra i lati del triangolo e gli incrementi, mentre la somma è relativa all'indipendente
contributi dall'incremento delle diverse gambe.
Una dimostrazione più semplice può essere ottenuta se assumiamo che una delle gambe non subisce un incremento
(in questo caso, la gamba b). Quindi per la costante di integrazione otteniamo:
Una dimostrazione animata del teorema di Pitagora è una delle fondamentale teoremi della geometria euclidea, che stabiliscono la relazione tra i lati di un triangolo rettangolo. Si ritiene che sia stato dimostrato dal matematico greco Pitagora, da cui prende il nome (ci sono altre versioni, in particolare, un'opinione alternativa che questo teorema fosse generalmente formulato dal matematico pitagorico Ippaso).
Il teorema dice:
In un triangolo rettangolo, l'area del quadrato costruita sull'ipotenusa è uguale alla somma delle aree dei quadrati costruiti sulle gambe.
Indica la lunghezza dell'ipotenusa del triangolo c, e le lunghezze delle gambe come un e b, otteniamo la seguente formula:
Pertanto, il teorema di Pitagora stabilisce una relazione che consente di determinare il lato di un triangolo rettangolo, conoscendo le lunghezze degli altri due. Il teorema di Pitagora è un caso speciale del teorema del coseno, che determina la relazione tra i lati di un triangolo arbitrario.
Si dimostra anche l'affermazione inversa (chiamata anche teorema di Pitagora inverso):
Per ogni tre numeri positivi a, b e c tali che a ? +b? = c ?, esiste un triangolo rettangolo con cateti aeb e ipotenusa c.
Prove visive per il triangolo (3, 4, 5) da Chu Pei 500-200 aC. La storia del teorema può essere divisa in quattro parti: conoscenza dei numeri di Pitagora, conoscenza del rapporto dei lati in un triangolo rettangolo, conoscenza del rapporto degli angoli adiacenti e dimostrazione del teorema.
Strutture megalitiche intorno al 2500 a.C in Egitto e Nord Europa, contengono triangoli rettangoli con lati interi. Barthel Leendert van der Waerden ipotizzò che a quei tempi i numeri pitagorici fossero trovati algebricamente.
Scritto tra il 2000 e il 1876 a.C papiro del Medio Regno d'Egitto Berlino 6619 contiene un problema la cui soluzione sono i numeri pitagorici.
Durante il regno di Hammurabi il Grande, una tavoletta vibilonica Plimpton 322, scritto tra il 1790 e il 1750 aC contiene molte voci strettamente legate ai numeri pitagorici.
Nei sutra Budhayana, che sono datati secondo diverse versioni all'VIII o al II secolo a.C. in India, contiene numeri di Pitagora derivati algebricamente, una formulazione del teorema di Pitagora e una dimostrazione geometrica per un triangolo rettangolo isoscele.
I Sutra di Apastamba (circa 600 aC) contengono una dimostrazione numerica del teorema di Pitagora utilizzando calcoli di area. Van der Waerden crede che fosse basato sulle tradizioni dei suoi predecessori. Secondo Albert Burko, questa è la dimostrazione originale del teorema e suggerisce che Pitagora abbia visitato Araconi e lo abbia copiato.
Pitagora, i cui anni di vita sono solitamente indicati dal 569 al 475 a.C. utilizza metodi algebrici per calcolare i numeri pitagorici, secondo i commenti di Proklov su Euclide. Proclo, invece, visse tra il 410 e il 485 d.C. Secondo Tommaso Giese, non vi è alcuna indicazione della paternità del teorema per cinque secoli dopo Pitagora. Tuttavia, quando autori come Plutarco o Cicerone attribuiscono il teorema a Pitagora, lo fanno come se la paternità fosse ampiamente nota e certa.
Intorno al 400 a.C Secondo Proclo, Platone fornì un metodo per calcolare i numeri pitagorici, combinando algebra e geometria. Intorno al 300 a.C., nel Inizi Euclide, abbiamo la più antica prova assiomatica sopravvissuta fino ad oggi.
Scritto tra il 500 a.C. e 200 aC, il libro di matematica cinese "Chu Pei" (? ? ? ?), fornisce una dimostrazione visiva del teorema di Pitagora, che in Cina è chiamato teorema di Gugu (????), per un triangolo con i lati (3 , 4, 5). Durante il regno della dinastia Han, dal 202 a.C. prima del 220 d.C I numeri pitagorici compaiono nel libro "Nove sezioni dell'arte matematica" insieme a una menzione di triangoli rettangoli.
L'uso del teorema è documentato per la prima volta in Cina, dove è noto come teorema di Gugu (?????), e in India, dove è noto come teorema di Baskar.
Molti stanno discutendo se il teorema di Pitagora sia stato scoperto una volta o più volte. Boyer (1991) ritiene che la conoscenza trovata nello Shulba Sutra possa essere di origine mesopotamica.
Dimostrazione algebrica 
I quadrati sono formati da quattro triangoli rettangoli. Sono note più di cento dimostrazioni del teorema di Pitagora. Qui l'evidenza si basa sul teorema di esistenza per l'area di una figura:
Posiziona quattro triangoli rettangoli identici come mostrato nella figura.
Quadrilatero con lati cè un quadrato, poiché la somma di due angoli acuti è , e l'angolo raddrizzato è .
L'area dell'intera figura è uguale, da un lato, all'area di un quadrato di lato "a + b", e dall'altro, alla somma delle aree di quattro triangoli e del quadrato interno .
Che è ciò che deve essere dimostrato.
Per la somiglianza dei triangoli 
Uso di triangoli simili. Permettere ABCè un triangolo rettangolo in cui l'angolo C dritto, come mostrato nell'immagine. Disegniamo un'altezza da un punto c, e chiama H punto di intersezione con un lato AB. Triangolo formato ACH simile a un triangolo abc, poiché entrambi sono rettangolari (per definizione di altezza) e condividono un angolo UN, ovviamente anche il terzo angolo sarà lo stesso in questi triangoli. Allo stesso modo mirkuyuyuchy, triangolo CBH simile anche al triangolo ABC. Dalla somiglianza dei triangoli: Se
Questo può essere scritto come
Se aggiungiamo queste due uguaglianze, otteniamo
HB + c volte AH = c volte (HB + AH) = c ^ 2, ! Src = "http://upload.wikimedia.org/math/7/0/9/70922f59b11b561621c245e11be0b61b.png" />
In altre parole, il teorema di Pitagora:
La dimostrazione di Euclide 
Dimostrazione di Euclide nei "Principi" euclidei, teorema di Pitagora dimostrato con il metodo dei parallelogrammi. Permettere A, B, C vertici di un triangolo rettangolo, con un angolo retto UN. Rilascia una perpendicolare da un punto UN al lato opposto all'ipotenusa in un quadrato costruito sull'ipotenusa. La linea divide il quadrato in due rettangoli, ognuno dei quali ha la stessa area dei quadrati costruiti sulle gambe. L'idea principale nella dimostrazione è che i quadrati superiori si trasformino in parallelogrammi della stessa area, per poi tornare e trasformarsi in rettangoli nel quadrato inferiore e di nuovo con la stessa area.
Disegniamo segmenti CF e ANNO DOMINI, otteniamo triangoli BCF e BDA.
angoli taxi e BORSA- dritto; punti CIRCA e G sono collineari. Stessa strada B, A e H.
angoli CBD e Logistica di Amazon- entrambi sono diritti, quindi l'angolo ABD uguale all'angolo fbc, poiché entrambi sono la somma di un angolo retto e di un angolo ABC.
Triangolo ABD e FBC livello su due lati e l'angolo tra di loro.
Perché i punti A, K e l– collineare, l'area del rettangolo BDLK è uguale a due aree del triangolo ABD (BDLK) = BAG = AB2)
Allo stesso modo, otteniamo CKLE = ACIH = AC 2
Da un lato la zona CBDE uguale alla somma delle aree dei rettangoli BDLK e cle, dall'altro, l'area della piazza BC2, o AB 2 + AC 2 = aC 2.
Utilizzo dei differenziali 
L'uso dei differenziali. Il teorema di Pitagora può essere ottenuto studiando come l'incremento di un lato influisca sulla lunghezza dell'ipotenusa come mostrato nella figura a destra e applicando un piccolo calcolo.
Come risultato della crescita del lato un, da triangoli simili per incrementi infinitesimi
Integrando otteniamo
Se una un= 0 allora c = b, quindi la "costante" è b 2. Quindi
Come si vede, i quadrati sono dovuti alla proporzione tra incrementi e lati, mentre la somma è il risultato del contributo indipendente degli incrementi dei lati, non evidente dall'evidenza geometrica. In queste equazioni da e dc sono, rispettivamente, incrementi infinitesimali dei lati un e c. Ma al posto di loro usiamo? un e? c, allora il limite del rapporto se tendono a zero è da / dc, derivata, ed è anche uguale a c / un, il rapporto tra le lunghezze dei lati dei triangoli, di conseguenza otteniamo un'equazione differenziale.
Nel caso di un sistema di vettori ortogonale, si verifica un'uguaglianza, che è anche chiamata teorema di Pitagora:
Se - Queste sono le proiezioni di un vettore sugli assi delle coordinate, allora questa formula coincide con la distanza euclidea e significa che la lunghezza del vettore è uguale alla radice quadrata della somma dei quadrati dei suoi componenti.
L'analogo di questa uguaglianza nel caso di un sistema infinito di vettori è chiamato uguaglianza di Parseval.
