Apskritimo atkarpos plotas lygus skirtumui tarp atitinkamo apskritimo sektoriaus ploto ir trikampio ploto, kurį sudaro atkarpą atitinkančio sektoriaus spinduliai ir atkarpą ribojanti styga.

1 pavyzdys

Apskritimo stygos ilgis lygus reikšmei a. Lanko, atitinkančio stygą, laipsnio matas yra 60°. Raskite apskritimo segmento plotą.

Sprendimas

Trikampis, sudarytas iš dviejų spindulių ir stygos, yra lygiašonis, todėl aukštis, nubrėžtas nuo centrinio kampo viršūnės iki stygos suformuoto trikampio kraštinės, taip pat bus centrinio kampo pusiausvyra, dalijanti jį pusiau, o mediana, dalijant akordą pusiau. Žinodami, kad kampo sinusas yra lygus priešingos kojos ir hipotenuzės santykiui, galime apskaičiuoti spindulį:

Sin 30°= a/2:R = 1/2;

Sc = πR²/360°*60° = πa²/6

S▲=1/2*ah, kur h yra aukštis, nubrėžtas nuo centrinio kampo viršūnės iki stygos. Pagal Pitagoro teoremą h=√(R²-a²/4)= √3*a/2.

Atitinkamai S▲=√3/4*a².

Atkarpos plotas, apskaičiuotas kaip Sreg = Sc - S▲, yra lygus:

Sreg = πa²/6 – √3/4*a²

Pakeitę a reikšmę skaitine verte, galite lengvai apskaičiuoti segmento srities skaitinę reikšmę.

2 pavyzdys

Apskritimo spindulys lygus a. Atkarpą atitinkančio lanko laipsnio matas yra 60°. Raskite apskritimo segmento plotą.

Sprendimas:

Tam tikrą kampą atitinkančio sektoriaus plotą galima apskaičiuoti pagal šią formulę:

Sc = πа²/360°*60° = πa²/6,

Sektorių atitinkančio trikampio plotas apskaičiuojamas taip:

S▲=1/2*ah, kur h yra aukštis, nubrėžtas nuo centrinio kampo viršūnės iki stygos. Pagal Pitagoro teoremą h=√(a²-a²/4)= √3*a/2.

Atitinkamai S▲=√3/4*a².

Ir galiausiai segmento plotas, apskaičiuotas kaip Sreg = Sc - S▲, yra lygus:

Sreg = πa²/6 – √3/4*a².

Abiejų atvejų sprendimai yra beveik identiški. Taigi galime daryti išvadą, kad norint apskaičiuoti atkarpos plotą paprasčiausiu atveju pakanka žinoti atkarpos lanką atitinkančio kampo reikšmę ir vieną iš dviejų parametrų – arba apskritimo spindulį, arba atkarpą sudarančio apskritimo lanką aplenkiančios stygos ilgis.

Apskritimas, jo dalys, jų dydžiai ir santykiai – tai dalykai, su kuriais juvelyras nuolat susiduria. Žiedai, apyrankės, kastos, vamzdeliai, rutuliukai, spiralės – daug apvalių dalykų tenka pagaminti. Kaip visa tai apskaičiuoti, ypač jei pasisekė praleisti geometrijos pamokas mokykloje?..

Pirmiausia pažiūrėkime, kokias dalis sudaro apskritimas ir kaip jos vadinamos.

• Apskritimas yra linija, kuri gaubia apskritimą.
• Lankas yra apskritimo dalis.
• Spindulys yra atkarpa, jungianti apskritimo centrą su bet kuriuo apskritimo tašku.
• Akordas yra atkarpa, jungianti du apskritimo taškus.
• Atkarpa yra apskritimo dalis, kurią riboja styga ir lankas.
• Sektorius yra apskritimo dalis, kurią riboja du spinduliai ir lankas.

Mus dominantys kiekiai ir jų pavadinimai:

Dabar pažiūrėkime, kokias problemas, susijusias su apskritimo dalimis, reikia išspręsti.

• Raskite bet kurios žiedo dalies (apyrankės) išsivystymo ilgį. Atsižvelgdami į skersmenį ir stygą (parinktis: skersmuo ir centrinis kampas), raskite lanko ilgį.
• Yra brėžinys plokštumoje, jo dydį reikia sužinoti projekcijoje sulenkus į lanką. Atsižvelgdami į lanko ilgį ir skersmenį, raskite stygos ilgį.
• Išsiaiškinkite detalės aukštį, gautą sulenkus plokščią ruošinį į lanką. Duomenų šaltinio parinktys: lanko ilgis ir skersmuo, lanko ilgis ir styga; raskite segmento aukštį.

Gyvenimas pateiks kitų pavyzdžių, bet aš juos pateikiau tik norėdamas parodyti, kad reikia nustatyti du parametrus, kad būtų galima rasti visus kitus. Tai mes darysime. Būtent, paimsime penkis atkarpos parametrus: D, L, X, φ ir H. Tada iš jų pasirinkę visas įmanomas poras, laikysime juos pradiniais duomenimis, o visus likusius rasime minčių šturmu.

Kad be reikalo neapsunkinčiau skaitytojo, detalių sprendimų nepateiksiu, o pateiksiu tik rezultatus formulių pavidalu (tuos atvejus, kai nėra formalaus sprendimo, aptarsiu pakeliui).

Ir dar viena pastaba: apie matavimo vienetus. Visi dydžiai, išskyrus centrinį kampą, matuojami tais pačiais abstrakčiais vienetais. Tai reiškia, kad jei, pavyzdžiui, nurodysite vieną reikšmę milimetrais, tada kitos nereikia nurodyti centimetrais, o gautos vertės bus matuojamos tais pačiais milimetrais (o plotai kvadratiniais milimetrais). Tą patį galima pasakyti apie colius, pėdas ir jūrmyles.

Ir tik centrinis kampas visais atvejais matuojamas laipsniais ir niekuo kitu. Kadangi, kaip taisyklė, žmonės, kuriantys kažką apvalaus, nėra linkę matuoti kampų radianais. Frazė „kampas pi keturiais“ daugelį suklaidina, o „keturiasdešimt penkių laipsnių kampas“ yra suprantamas visiems, nes jis yra tik penkiais laipsniais didesnis nei įprasta. Tačiau visose formulėse bus dar vienas kampas – α – kaip tarpinė reikšmė. Pagal prasmę tai yra pusė centrinio kampo, išmatuoto radianais, tačiau galite drąsiai nesigilinti į šią reikšmę.

1. Duotas skersmuo D ir lanko ilgis L

; akordo ilgis ;
segmento aukštis ; centrinis kampas .

2. Duotas skersmuo D ir stygos ilgis X

; arkos ilgis ;
segmento aukštis ; centrinis kampas .

Kadangi styga padalija apskritimą į dvi atkarpas, ši problema turi ne vieną, o du sprendimus. Norėdami gauti antrąjį, aukščiau pateiktose formulėse kampą α turite pakeisti kampu .

3. Duotas skersmuo D ir centrinis kampas φ

; arkos ilgis ;
akordo ilgis ; segmento aukštis .

4. Duotas skersmuo D ir atkarpos H aukštis

; arkos ilgis ;
akordo ilgis ; centrinis kampas .

6. Duotas lanko ilgis L ir centrinis kampas φ

; skersmuo;
akordo ilgis ; segmento aukštis .

8. Duotas stygos ilgis X ir centrinis kampas φ

; arkos ilgis ;
skersmuo; segmento aukštis .

9. Duotas stygos ilgis X ir atkarpos H aukštis

; arkos ilgis ;
skersmuo; centrinis kampas .

10. Duotas centrinis kampas φ ir atkarpos H aukštis

; skersmuo ;
arkos ilgis ; akordo ilgis .

Dėmesingas skaitytojas negalėjo nepastebėti, kad praleidau du variantus:

5. Duotas lanko ilgis L ir stygos ilgis X

7. Duotas lanko ilgis L ir atkarpos H aukštis

Tai tik tie du nemalonūs atvejai, kai problema neturi sprendimo, kurį būtų galima parašyti formulės forma. Ir užduotis nėra tokia reta. Pavyzdžiui, turite plokščią L ilgio gabalą ir norite jį sulenkti taip, kad jo ilgis būtų X (arba aukštis būtų H). Kokio skersmens turėčiau paimti šerdį (skersinį)?

Ši problema kyla sprendžiant lygtis:
; - 5 variante
; - 7 variante
ir nors jie negali būti išspręsti analitiškai, juos galima nesunkiai išspręsti programiškai. Ir net žinau, kur gauti tokią programą: šioje svetainėje pavadinimu . Ji daro viską, ką aš tau čia ilgai sakau, mikrosekundėmis.

Norėdami užbaigti paveikslėlį, prie mūsų skaičiavimų rezultatų pridėkite apskritimą ir tris ploto reikšmes - apskritimą, sektorių ir segmentą. (Plotai mums labai padės skaičiuojant visų apvalių ir pusapvalių dalių masę, bet daugiau apie tai atskirame straipsnyje.) Visi šie dydžiai apskaičiuojami naudojant tas pačias formules:

perimetras;
apskritimo plotas ;
sektoriaus srityje ;
segmento plotas ;

Baigdamas leiskite man dar kartą priminti apie visiškai nemokamos programos, kuri atlieka visus aukščiau išvardintus skaičiavimus, egzistavimą, išlaisvindama jus nuo būtinybės prisiminti, kas yra arctangentas ir kur jo ieškoti.

Matematinė ploto vertė buvo žinoma nuo senovės Graikijos. Dar tais tolimais laikais graikai išsiaiškino, kad plotas yra ištisinė paviršiaus dalis, kurią iš visų pusių riboja uždaras kontūras. Tai skaitinė vertė, matuojama kvadratiniais vienetais. Plotas – skaitinė ir plokščių geometrinių figūrų (planimetrinė), ir erdvėje esančių kūnų paviršių (tūrinė) charakteristika.

Šiuo metu jis randamas ne tik mokyklos programoje geometrijos ir matematikos pamokose, bet ir astronomijos, buities, statybos, dizaino kūrimo, gamybos ir daugelyje kitų žmogiškųjų dalykų. Labai dažnai mes imamės skaičiuoti segmentų plotus asmeniniame sklype projektuodami kraštovaizdžio zoną arba atliekant itin modernaus kambario dizaino atnaujinimo darbus. Todėl žinios apie įvairių sričių skaičiavimo metodus bus naudingos visada ir visur.

Norėdami apskaičiuoti apskritimo ir rutulio segmento plotą, turite suprasti geometrinius terminus, kurių reikės skaičiavimo procese.

Visų pirma, apskritimo atkarpa – tai plokščios apskritimo figūros, esančios tarp apskritimo lanko ir jį nukertančios stygos, fragmentas. Šios sąvokos nereikėtų painioti su sektoriaus skaičiumi. Tai visiškai skirtingi dalykai.

Akordas yra atkarpa, jungianti du taškus, esančius ant apskritimo.

Centrinis kampas susidaro tarp dviejų segmentų – spindulių. Jis matuojamas laipsniais pagal lanką, ant kurio jis remiasi.

Rutulio atkarpa susidaro, kai dalis nupjaunama kokia nors plokštuma. Šiuo atveju sferinės atkarpos pagrindas yra apskritimas, o aukštis – statmenas, išeinantis iš apskritimo centro į sankirtą su paviršiumi. sferos. Šis susikirtimo taškas vadinamas rutulio atkarpos viršūne.

Norint nustatyti rutulio segmento plotą, reikia žinoti ribinį apskritimą ir rutulio segmento aukštį. Šių dviejų komponentų sandauga bus rutulio atkarpos plotas: S=2πRh, kur h – atkarpos aukštis, 2πR – apskritimas, o R – didžiojo apskritimo spindulys.

Norėdami apskaičiuoti apskritimo atkarpos plotą, galite naudoti šias formules:

1. Norint lengviausiu būdu rasti atkarpos plotą, reikia apskaičiuoti skirtumą tarp sektoriaus, kuriame atkarpa įrašyta ir kurio pagrindas yra atkarpos styga, ploto: S1 = S2 -S3, kur S1 yra atkarpos plotas, S2 yra sektoriaus plotas, o S3 yra trikampio plotas.

Apskrito atkarpos plotui apskaičiuoti galite naudoti apytikslę formulę: S=2/3*(a*h), kur a yra trikampio pagrindas arba h yra atkarpos aukštis, kuris yra rezultatas. skirtumo tarp apskritimo spindulio ir

2. Atkarpos, kuri skiriasi nuo puslankio, plotas apskaičiuojamas taip: S = (π R2:360)*α ± S3, kur π R2 yra apskritimo plotas, α yra centrinio kampo, kuriame yra apskritimo atkarpos lankas, laipsnio matas, S3 yra trikampio, susidariusio tarp dviejų apskritimo spindulių, plotas. apskritimas ir styga, kuri turi kampą centriniame apskritimo taške ir dvi viršūnes spindulių sąlyčio su apskritimu taškuose.

Jei kampas α< 180 градусов, используется знак минус, если α >180 laipsnių, pritaikytas pliuso ženklas.

3. Galite apskaičiuoti atkarpos plotą kitais metodais naudodami trigonometriją. Paprastai trikampis laikomas pagrindu. Jei centrinis kampas matuojamas laipsniais, priimtina tokia formulė: S= R2 * (π*(α/180) - sin α)/2, kur R2 yra apskritimo spindulio kvadratas, α yra centrinio kampo laipsnio matas.

4. Norėdami apskaičiuoti atkarpos plotą naudodami trigonometrines funkcijas, galite naudoti kitą formulę, su sąlyga, kad centrinis kampas matuojamas radianais: S= R2 * (α - sin α)/2, kur R2 yra kvadratas apskritimo spindulys, α yra laipsnio matavimo centrinis kampas.

• 01.10.2018

  Remiantis NodeMcu v3 wi-fi moduliu su ESP8266 (ESP-12e) lustu, galite pagaminti (pavyzdžiui) termometrą ant 18B20 skaitmeninio jutiklio temperatūros informacija bus siunčiama į MySQL duomenų bazę naudojant GET užklausą. Šis eskizas leidžia siųsti GET užklausas į nurodytą puslapį, mano atveju tai yra test.php. #įtraukti #įtraukti …

• 22.09.2014

  Automatinis stacionarus reguliatorius, valdomas fotorezistoriumi R7, skirtas veikti atšiauriomis šalto ir vidutiniškai šalto klimato sąlygomis, esant aplinkos temperatūrai nuo -25 iki +45 °C, santykinei oro drėgmei iki 85% esant +20 °C temperatūrai ir atmosferos slėgiui per 200…900 mm Hg. Pritemdymas naudojamas reguliuoti asmens apšvietimą...

• 25.09.2014

  Kad remonto darbų metu nepažeistumėte laidų, būtina naudoti prietaisą paslėptų laidų aptikimui. Prietaisas nustato ne tik paslėptų laidų vietą, bet ir paslėptų laidų pažeidimo vietą. Įrenginys yra garso stiprintuvas, pirmajame etape naudojamas lauko tranzistorius, skirtas padidinti įvesties varžą. Antrajame op-amp etape. Jutiklis -...

• 03.10.2014

  Siūlomas įrenginys stabilizuoja įtampą iki 24V ir srovę iki 2A su apsauga nuo trumpojo jungimo. Jei stabilizatorius paleidžiamas nestabiliai, reikia naudoti sinchronizavimą iš autonominio impulsų generatoriaus (Pav. 2. Stabilizatoriaus grandinė parodyta 1 pav. Ant VT1 VT2 sumontuotas Schmitt trigeris, kuris valdo galingą reguliavimo tranzistorių VT3. Išsami informacija: VT3 yra su šilumos šalintuvu...