Jei šiame puslapyje ieškojote tik Simpsono metodo, primygtinai rekomenduoju pirmiausia perskaityti pamokos pradžią ir pažvelgti bent į pirmąjį pavyzdį. Dėl to, kad daugelis idėjų ir metodų bus panašūs į trapecijos metodą.
Ir vėl pradėkime nuo bendroji formulė
Panagrinėkime apibrėžtąjį integralą , kur yra intervalo ištisinė funkcija. Padalinkime segmentą į net kiekis lygus segmentai. Lyginis segmentų skaičius žymimas .
Praktiškai segmentai gali būti:
du:
keturi:
aštuoni:
dešimt:
dvidešimt:
Kitų variantų nepamenu.
Dėmesio! Skaičius suprantamas kaip VIENAS SKAIČIUS. Tai yra, TAI UŽDRAUSTA sumažinti, pavyzdžiui, dviem, gauti . Įrašas tik reiškia, kad segmentų skaičius net. O apie jokius sumažinimus nėra kalbos
Taigi mūsų skaidinys turi kitas vaizdas:
Terminai yra panašūs į trapecijos metodo terminus:
Taškai vadinami mazgai.
Simpsono formulė apytikriam skaičiavimui apibrėžtasis integralas turi tokią formą:
Kur:
– kiekvieno mažo segmento ilgis arba žingsnis;
– integrando reikšmės taškuose .
Detalizuodamas šią krūvą, išsamiau išanalizuosiu formulę:
– pirmosios ir paskutinės integrando reikšmių suma;
– terminų suma su net indeksai dauginami iš 2;
– terminų suma su nelyginis indeksai dauginami iš 4.
4 pavyzdys
Apskaičiuokite apytikslį apibrėžtąjį integralą naudodami Simpsono formulę 0,001 tikslumu. Pradėkite dalyti dviem segmentais 
Integralas, beje, vėl netirpus.
Sprendimas: Iš karto atkreipiu jūsų dėmesį į užduoties tipą – būtina apskaičiuoti apibrėžtąjį integralą su tam tikru tikslumu. Ką tai reiškia, jau buvo komentuota straipsnio pradžioje, taip pat ir toliau konkrečių pavyzdžių ankstesnė pastraipa. Kaip ir naudojant trapecijos metodą, yra formulė, kuri iš karto leis nustatyti reikiamą segmentų skaičių („en“ reikšmę), kad būtų užtikrintas reikiamas tikslumas. Tiesa, teks rasti ketvirtą išvestinę ir išspręsti ekstremalią problemą. Tie, kurie suprato, ką turiu omenyje ir įvertino darbo kiekį, šypsojosi. Tačiau tai ne juokas; rasti ketvirtą tokios integrando funkcijos darinį bus nebe mega-vėpla, o klinikinis psichopatas. Todėl praktikoje beveik visada naudojamas supaprastintas klaidų įvertinimo metodas.
Pradėkime spręsti. Jei turime du skaidinio segmentus, tada bus mazgų dar vieną: . Ir Simpsono formulė yra labai kompaktiška: 
Apskaičiuokime skaidinio žingsnį: 
Užpildykime skaičiavimo lentelę:
Leiskite dar kartą pakomentuoti, kaip pildoma lentelė:
Viršutinėje eilutėje rašome indeksų „skaitiklį“.
Antroje eilutėje pirmiausia rašome apatinė riba integraciją, tada iš eilės pridėkite veiksmą.
Trečioje eilutėje įvedame integrando reikšmes. Pavyzdžiui, jei , tada . Kiek skaičių po kablelio turėčiau palikti? Iš tiesų, sąlyga vėl nieko apie tai nesako. Principas toks pat kaip ir trapecijos metodu, žiūrime į reikiamą tikslumą: 0,001. Ir pridėkite papildomus 2–3 skaitmenis. Tai yra, reikia suapvalinti iki 5–6 skaitmenų po kablelio.
Kaip rezultatas:
Gautas pirminis rezultatas. Dabar dvigubai segmentų skaičius iki keturių: . Simpsono formulė šiam skaidiniui yra tokia:
Apskaičiuokime skaidinio žingsnį: 
Užpildykime skaičiavimo lentelę: 
Taigi:
Mes įvertiname klaidą:
Klaida yra didesnė už reikalaujamą tikslumą: 
, todėl vėl reikia padvigubinti segmentų skaičių: .
Simpsono formulė auga šuoliais:
Apskaičiuokime žingsnį: 
Ir dar kartą užpildykite skaičiavimo lentelę:
Taigi: 
Atkreipkite dėmesį, kad čia patartina išsamiau apibūdinti skaičiavimus, nes Simpsono formulė yra gana sudėtinga, o jei tuoj pat trenksite:
, tada šis gėrimas atrodys kaip įsilaužimo darbas. O su detalesniu užrašu, mokytojas susidarys gerą įspūdį, kad gerą valandą sąžiningai ištrynėte mikroskaičiuoklės klavišus. Išsamūs „sunkių“ atvejų skaičiavimai pateikiami mano skaičiuoklėje.
Mes įvertiname klaidą:
Klaida yra mažesnė už reikalaujamą tikslumą: 
. Belieka paimti tiksliausią aproksimaciją, suapvalinti iki trijų skaičių po kablelio ir parašyti:
Atsakymas: 
tikslumu 0,001
5 pavyzdys
Apskaičiuokite apytikslį apibrėžtąjį integralą naudodami Simpsono formulę 0,0001 tikslumu. Pradėkite dalyti dviem segmentais 
Tai yra pavyzdys savarankiškas sprendimas. Apytikslis švaraus „trumpojo“ sprendimo pavyzdys ir atsakymas pamokos pabaigoje.
Paskutinėje pamokos dalyje apžvelgsime dar kelis įprastus pavyzdžius.
6 pavyzdys
Apskaičiuokite apytikslę apibrėžtojo integralo reikšmę 
naudojant Simpsono formulę, padalijant integravimo segmentą į 10 dalių. Skaičiavimo tikslumas 0,001.
Šis integralas yra paimtas, tačiau pradedančiajam jį nulaužti nėra taip paprasta, atitinkamas sprendimo būdas aptariamas 5 pamokos pavyzdyje Sudėtingi integralai. Atliekant uždavinius, susijusius su apytiksliais skaičiavimais, integralas nebūtinai turi būti netirpus! Smalsūs studentai gali tiksliai jį apskaičiuoti ir įvertinti paklaidą, palyginti su apytiksle verte.
Sprendimas: Atkreipkite dėmesį į užduoties formuluotę: „Skaičiavimų tikslumas yra 0,001“. Šios formuluotės semantinis niuansas rodo, kad rezultatus reikia suapvalinti iki trečios dešimtosios dalies, o ne pasiekti tokio tikslumo. Taigi, kai jūsų prašoma išspręsti problemą naudojant trapecijos metodą, Simpsono metodą, visada atidžiai stebėkite sąlygas! Skubėti, kaip žinia, reikia medžiojant blusas.
Mes naudojame Simpsono formulę:
Dešimčiai skaidinio segmentų žingsnis yra toks 
Užpildykime skaičiavimo lentelę: 
Racionaliau stalą padaryti dviaukštę, kad nereikėtų jos „sutraukti“ ir viskas įskaitomai tilptų ant sąsiuvinio lapo.
Skaičiavimai, nepatingėkite, apibūdinkime juos išsamiau: 
Atsakymas: 
Ir dar kartą noriu pabrėžti, kad čia nekalbame apie tikslumą. Tiesą sakant, atsakymas gali būti ne , bet, santykinai kalbant, . Šiuo atžvilgiu nereikia automatiškai priskirti atsakymo pabaigos „pareiga“: „0,001 tikslumu“
7 pavyzdys
Apskaičiuokite apytikslę apibrėžtojo integralo reikšmę naudodami Simpsono formulę, padalydami integravimo atkarpą į 10 dalių. Visi skaičiavimai turi būti atliekami trečiosios dešimtosios dalies tikslumu.
Apytikslis galutinio dizaino variantas ir atsakymas baigiamos pamokos pabaigoje.
Apytiksliai apibrėžtojo integralo apskaičiavimui naudojami ir kiti metodai. Visų pirma, teorija galios serija su standartinė užduotis Apytikslis apibrėžtojo integralo apskaičiavimas išplečiant integrandą į eilę. Bet tai jau antrų metų medžiaga.
O dabar laikas atskleisti baisi paslaptis integralinis skaičiavimas. Jau sukūriau ne vieną dešimtį integralų pamokų ir tai, galima sakyti, yra teorija ir temos klasika. Praktikoje, ypač atliekant inžinerinius skaičiavimus - priartinti objektus realus pasaulis naudoti standartines matematines funkcijas beveik neįmanoma. Neįmanomas tobulai tikslus apskaičiuoti, pavyzdžiui, asfalto dangos plotą, tūrį, tankį. Klaida, net nuo dešimtos, net iš šimto skaitmens po kablelio – bet ji vistiek bus. Štai kodėl šimtai svarių plytų buvo parašyti naudojant apytikslius skaičiavimo metodus ir rimtus programinė įranga apytiksliems skaičiavimams. Klasikinė integralinio skaičiavimo teorija iš tikrųjų naudojama daug rečiau. Bet, beje, jūs taip pat niekur negalite eiti be jos!
Šios pamokos trukmė nėra rekordinė, tačiau ją sukurti prireikė neįprastai daug laiko. Kelis kartus taisiau medžiagą ir perdariau straipsnio struktūrą, nes vis atsirasdavo naujų niuansų ir subtilybių. Tikiuosi, kad darbas nebuvo veltui, o jis pasirodė gana logiškas ir prieinamas.
Viskas kas geriausia!
Sprendimai ir atsakymai:
3 pavyzdys:Sprendimas:
Integravimo segmentą padaliname į 4 dalis:
Tada trapecijos formos formulė yra tokia:
Apskaičiuokime žingsnį: 
Užpildykime skaičiavimo lentelę:
Integralų skaičiavimas naudojant stačiakampių, trapecijos ir Simpsono formules. Klaidos įvertinimas.
Gairės 4.1 tema:
Integralų skaičiavimas naudojant stačiakampių formules. Klaidos įvertinimas:
Daugelio sprendimas techninių problemų Apskaičiuojant tam tikrus integralus, kurių tiksli išraiška yra sudėtinga, reikalauja daug laiko reikalaujančių skaičiavimų ir ne visada pagrįsta praktikoje. Čia jų apytikslė vertė yra gana pakankama. Pavyzdžiui, reikia apskaičiuoti plotą, kurį riboja tiesė, kurios lygtis nežinoma, ašis X ir dvi ordinatės. Tokiu atveju šią eilutę galite pakeisti paprastesne, kurios lygtis yra žinoma. Tokiu būdu gautas plotas lenkta trapecija imama kaip apytikslė ieškomo integralo reikšmė. Geometriškai apibrėžtojo integralo apskaičiavimo metodo, naudojant stačiakampio formulę, idėja yra ta, kad kreivinės trapecijos plotas A 1 ABC 1 pakeičiamas vienodo stačiakampio plotu A 1 A 2 B 1 B 2, kuri pagal vidutinės reikšmės teoremą yra lygi
Kur f(c) --- aukštis stačiakampis A 1 A 2 B 1 B 2, atstovaujanti integrando reikšmę kokiame nors tarpiniame taške c (a< c
Tokią vertę rasti beveik sunku Su, kuriame (b-a) f (c) būtų lygiai lygus . Norint gauti tikslesnę vertę, kreivinės trapecijos plotas yra padalintas į n stačiakampiai, kurių aukščiai lygūs y 0, y 1, y 2, …, y n -1 ir pagrindai.
Jei sumuojame kreivinės trapecijos plotą dengiančių stačiakampių plotus su trūkumu, funkcija nemažėjanti, tada vietoj formulės naudojame formulę
Jei perteklius, tada
Vertybės randamos iš lygybių. Šios formulės vadinamos stačiakampio formulės ir pateikti apytikslį rezultatą. Su padidėjimu n rezultatas tampa tikslesnis.
1 pavyzdys . Apskaičiuokite naudodami stačiakampio formulę
Integravimo intervalą padalinkime į 5 dalis. Tada . Naudodami skaičiuotuvą ar lentelę, rasime integrando reikšmes (4 skaitmenų po kablelio tikslumu):
Pagal stačiakampių formulę (su trūkumais)
Kita vertus, pagal Niutono-Leibnizo formulę
Raskime santykinę skaičiavimo paklaidą naudodami stačiakampio formulę:
Integralų skaičiavimas naudojant trapecijos formules. Klaidos įvertinimas:
Šio apytikslio integralų skaičiavimo metodo geometrinė prasmė yra rasti maždaug vienodo dydžio „tiesiosios“ trapecijos plotą.
Tegul reikia skaičiuoti plotą A 1 AmBB 1 kreivinė trapecija, išreikšta formule.
Pakeiskime lanką AmB akordas AB ir vietoj kreivinės trapecijos ploto A 1 AmBB 1 apskaičiuokite trapecijos plotą A 1 ABB 1: 
, Kur AA 1 Ir BB 1 - trapecijos pagrindai ir A 1 B 1 – jo aukštis.
Pažymėkime f(a) = A 1 A, f (b) = B 1 B. trapecijos aukščio A 1 B 1 = b-a, kvadratas 
. Vadinasi, 
arba
Tai yra vadinamasis maža trapecijos formos formulė.
Darbo tekstas skelbiamas be vaizdų ir formulių.
Pilną darbo versiją rasite skirtuke „Darbo failai“ PDF formatu
Įvadas
Jau 10 klasėje pradėjau galvoti, ar nereikės laikyti matematikos specializuoto valstybinio vieningo egzamino. Sprendžiant USE užduotis, susidūriau su daugiakampių ir revoliucijos kūnų tūrio paieškos užduotimis, nors tai buvo 11 klasės programos užduotys. Pradėjęs domėtis šiuo klausimu, sužinojau, kad dėl kūnų geometrinių formų įvairovės yra daugybė formulių, leidžiančių rasti plotus ir tūrius (kiekviena figūra ir kiekvienas kūnas turi savo formulę). Žvelgdamas į geometrijos formules, įsitikinau, kad daugybė formulių yra susijusios su figūrų plotais ir tūriais. Tokių plokščių figūrų plotų formulių yra daugiau nei dvylika, o erdvinių kūnų tūriams – daugiau nei dešimt.
Ir aš susimąsčiau klausimas: Ar yra tokia universali geometrinių formų ir kūnų ploto ir tūrio nustatymo formulė?
Manau, šio projekto tema Aktualus ne tik tarp studentų, bet ir tarp suaugusiųjų, nes Mokyklos programa laikui bėgant pamirštama, ir tik nedaugelis žino, kad yra tokia formulė, kurioje apjungiamos visos kitos daugybės ir sunkiai įsimenamos apimties nustatymo formulės.
Problema
Į geometrijos mokymą būtina įdiegti universalią formulę, leidžiančią pakeisti daugybę plokštumos figūrų plotų ir erdvinių kūnų tūrių formulių.
Hipotezė
XVIII amžiuje anglų matematikas Thomas Simpsonas išvedė formulę, kaip rasti tam tikras erdvinių kūnų plokštumos figūrų sritis ir tūrius, apskaičiuodamas apatinio, viršutinio ir vidurinio pagrindo plotus.
Manau, kad ši universali formulė pakeis visas įvardytas formules ir leis jas lengvai įsiminti.
Darbo tikslas:įrodyti, kad Simpsono universali formulė gali pakeisti visas mokykliniame geometrijos kurse studijuotas ploto ir tūrio formules ir gali būti naudojama ne tik praktikoje, bet ir egzaminuose, įskaitant vieningą valstybinį egzaminą.
Darbo tikslai:
Ištirti pagrindines geometrinių kietųjų kūnų charakteristikas: prizmė, piramidė, kūgis, cilindras, rutulys;
Išstudijuokite turimą literatūrą šia tema.
Naudodami universalią formulę išveskite visų figūrų ir kūnų plotų ir tūrių formules.
Palyginkite gautas formules su vadovėlyje pasiūlytomis formulėmis.
Su šia formule supažindinkite gimnazistus ir per anketą išsiaiškinkite, ar patogu ją naudoti ruošiantis egzaminams.
Praktinė mano darbo reikšmė:Šio darbo rezultatai gali būti panaudoti mokyklos praktikoje, būtent geometrijos ir algebros pamokose , ruošiantis vieningam valstybiniam egzaminui ir jį išlaikant.
1 skyrius Trumpos geometrinių kūnų savybių charakteristikos
Mokyklos geometrijos kursas skirstomas į planimetriją ir stereometriją. Nuo 7 iki 9 klasių studijavau figūrų savybes plokštumoje, įskaitant formules jų plotams rasti (1-2 priedas).
10 klasės kurse pradėjau studijuoti geometrijos-stereometrijos pjūvį, tiriančią figūrų savybes erdvėje. Rašydamas darbą galvojau apie geometrinius kūnus ir jų paviršius. Tūriniai geometriniai kūnai skirstomi į daugiakampius ir sukimosi kūnus.
Daugiakampis- paviršius, sudarytas iš daugiakampių ir ribojantis tam tikrą geometrinį kūną.
Revoliucijos kūnai- geometriniai kūnai, gauti sukant aplink savo ašį. Revoliucijos kūnai: cilindras, kūgis, rutulys.
Daugiakampiai gali būti išgaubti arba neišgaubti. Išgaubtas daugiakampis - yra vienoje kiekvieno veido plokštumos pusėje. Neišgaubtas daugiakampis – esantis abiejose bent vieno veido plokštumos pusėse.
Piramidė
Lygiagretaus vamzdžio
2 skyrius. Simpsono formulė
Tomas Simpsonas(1710 m. rugpjūčio 20 d. – 1761 m. gegužės 14 d.) – anglų matematikas. 1746 metais Simpsonas buvo išrinktas Karališkosios Londono draugijos, o anksčiau – Matematikos draugijos, įkurtos 1717 metais Londone, nariu. 1758 m. buvo išrinktas Švedijos karališkosios mokslų akademijos užsienio nariu. Paskirtas profesoriumi Vulvičo karališkojoje karo akademijoje, Simpsonas parengė pradinės matematikos vadovėlius. Specialiuose geometrijos skyriuose nagrinėjami didžiausio ir mažiausio dydžių uždaviniai, sprendžiami naudojant elementariąją geometriją, taisyklinguosius daugiakampius, paviršių, kūnų tūrių matavimus ir galiausiai mišrius uždavinius.
Egzistuoja nuostabi formulė; Be to: tinka ne tik cilindro, pilno kūgio ir nupjauto kūgio tūriui skaičiuoti, bet ir visų rūšių prizmėms, pilnoms ir nupjautoms piramidėms ir net rutuliui, taip pat skaičiuojant sferos plotus. plokštumos figūros. Štai ši formulė, matematikoje žinoma kaip Simpsono formulė:
čia b 1 yra apatinio pagrindo plotas (ilgis).
b 2 - vidurinio pagrindo plotas (ilgis).
b 3 - viršutinio pagrindo plotas (ilgis).
2.1 Simpsono formulės taikymas plokštumos figūrų plotų formulėms išvesti.
Mūsų universali formulė yra b 1 = b 2 = b 3, tada gauname:
Atsakymas: S = hb 1
Išvada. Iš tiesų lygiagretainio plotas yra lygus pagrindo ir aukščio sandaugai.
Universali formulė.
Kadangi ABCD yra trapecija, tai b 2 yra jos vidurio linija, o tai reiškia
Tada gauname:
Išvada. Iš tiesų, trapecijos plotas yra lygus pusei dviejų bazių ir aukščio sandaugos.
Atlikęs panašius trikampio, stačiakampio, kvadrato ir rombo plotų formulių įrodymus (3-4 priedas), padariau išvadą, kad Simpsono universalioji formulė tinka skaičiuojant tokių plokščių figūrų plotus kaip: lygiagretainis, trapecija, trikampis, kvadratas, rombas, stačiakampis.
2.2. Simpsono formulės taikymas erdvinių kūnų tūrių formulėms išvesti.
Kadangi b 1 = b 2 = b 3, tada gauname:
Atsakymas: V=b 1 val
Geometrijos vadovėlyje autoriaus pasiūlytas įrodymas. L.S. Atanasyanas 6 priede.
Išvada. Iš tiesų prizmės tūris yra lygus pagrindo ploto ir aukščio sandaugai. Cilindro tūrio formulės išvedimo įrodymas atliekamas panašiai (5 priedas)
Sprendimas: Kadangi b 1 =0, a, tai gauname:
Geometrijos vadovėlyje autoriaus pasiūlytas įrodymas. L.S. Atanasyanas 9 priede.
Išvada. Iš tiesų kūgio tūris lygus trečdaliui pagrindo ploto ir aukščio sandaugos. Panašiai atliktas ir piramidės tūrio formulės išvedimo įrodymas (5 priedas) )
Tada gauname:
Išvada. Išvestinė formulė visiškai sutampa su vadovėlyje pasiūlyta formule
6 uždavinys. Kamuolio tūris.
Duota: kamuolys
b 3 - viršutinio pagrindo plotas
Rasti: Vball.
(11 pav. Kamuolys)
Kadangi 1 =b 3 =0, h = 2R
Tada gauname:
Geometrijos vadovėlyje autoriaus pasiūlytas įrodymas. L.S.Atanasyanas 10 priede
Išvada: Visų erdvinių kūnų, tirtų 11 klasėje, tūrių formulės taip pat nesunkiai išvedamos naudojant Simpsono universalią formulę.
2.3 Praktinis formulės taikymas
Kitas mano tyrimo etapas yra praktinis pritaikymas (žr. 11-12 priedus)
Išvada. Kiekvieno geometrinių kūnų modelio tūriai, rasti dviem būdais, buvo lygūs. Simpsono formulė yra universali tokiems kūnams kaip piramidė, cilindras, rutulys, kubas ir kūgis.
Turiu formulę, pagal kurią galite apytiksliai apskaičiuoti medžio kamieno tūrį, neklausdami savęs, koks geometrinis kūnas atrodo: cilindras, pilnas kūgis ar nupjautas kūgis. Žinodami skirtingų medienos rūšių tankį, galite apskaičiuoti stovinčio medžio svorį. Šią problemą išsprendžiau apskaičiavęs kamieno tūrį kaip cilindro, kurio pagrindo skersmuo lygus kamieno skersmeniui jo ilgio viduryje, tūrį: tačiau šiuo atveju rezultatas yra neįvertinta, kartais net 12 proc. Be didelės klaidos, stovinčio medžio tūrį galite laikyti puse tokio paties aukščio cilindro, kurio skersmuo lygus medžio skersmeniui krūtinės aukštyje, tūrio.
Atlikęs skaičiavimus pagal anksčiau žinomas formules, apskaičiavau stovinčio medžio kamieno tūrį (žr. 13 priedą)
Išvada. Iš viso tyrimo galime daryti išvadą, kad turiu formulę, pagal kurią galima apytiksliai apskaičiuoti medžio kamieno tūrį ir, žinant įvairių medienos rūšių tankį, nustatyti medžio stovintį svorį.
3 skyrius. Studentų apklausa
3.1 Tyrimas ir apklausa
Atlikau tyrimą tarp 11 klasės mokinių (žr. 13 priedą).
Tyrimo tikslas: nustatyti formulių, kurias mokiniai gali atgaminti nekartodami per 10 minučių, skaičių, t.y. „likutinių“ formulių tūris.
Rezultatai buvo tokie (žr. 14 priedą):
Didžiausias atkurtas formulių skaičius – 41, mažiausias – 5. Atsižvelgiant į tai, kad formulių skaičius gali siekti 500 per neribotą laiką, padariau išvadą, kad mokiniai neprisimena didžiulio skaičiaus mokykloje mokytų formulių. Atkurtos formulės sudaro tik 8,2 % visų tirtų formulių. Dažniausiai studentai algebroje atgamindavo formules (trigonometrijos formules, logaritmines formules, sutrumpintas daugybos formules, kvadratinės lygties šaknų formules, išvestines); geometrijoje (plokščių figūrų plotų formulės, kai kurie erdvinių kūnų tūriai); kelios fizikos formulės (kinetinės energijos, gravitacijos, trinties jėgos ir MKT formulė); informatikos srityje () Tai buvo natūralu, nes Matematikoje yra daugiau formulių nei bet kuriame kitame moksle.
Pamatęs gautus rezultatus nusprendžiau išsiaiškinti tokio žemo rezultato priežastis. Atlikau 11 klasės mokinių apklausą (žr. 14-15 priedą), kurios metu paprašiau atsakyti į šiuos klausimus:
Apklausos klausimai.
Kaip manote, kiek formulių turėtų žinoti mokyklą baigęs asmuo?
A) įsiminimas
B) supratimas
B) asociacijos metodas
D) kita
Rezultatai buvo tokie (žr. 15 priedą).
Klausimas 1. Nuo 60 iki 250 formulių
2 klausimas. Iš gautų atsakymų galime daryti išvadą, kad 11 klasės mokiniai, įsimindami formules, stengiasi jas suprasti arba pasitelkia mokymąsi atsimenant.
3 klausimas. Mokinių nuomonės šiuo klausimu išsiskyrė, nors diagramoje matyti, kad jie dažniausiai atsakė „taip“, t.y. mokinių mano, kad įsimintinų formulių skaičius atitinka vidutinio mokinio atminties lygį.
4 klausimas.Beveik visi 11 klasės mokiniai vietoj daugybės formulių norėtų naudoti tik vieną – universalią.
3.2 Testavimas
Dabar žinau, kad Simpsono formulė yra tikrai universali ir ją galima pritaikyti gyvenime. Bet ar tai tikrai būtina? Norėdami atsakyti į šį klausimą, 11 klasei pateikiau formulę klasėje, po kurios atlikau testą (žr. 16-17 priedą) ir gavau tokius rezultatus:
Testas Nr.1
23% pripažino, kad jiems sunku atsiminti visas formules.
17% teigė, kad jiems nebuvo sunku išmokti visas formules, įskaitant Simpsono formulę.
60% studentų Simpsono formulę pritaikė kai kuriems geometriniams kūnams, ir tai padėjo jiems spręsti problemas.
Testas Nr.2
100% teigia, kad Simpsono formulę jiems lengva prisiminti.
0% pripažino, kad jiems sunku tai prisiminti.
Testas Nr.3
Ateityje šią formulę naudos 76 proc.
24% pripažino, kad vargu ar jiems to prireiks.
Testas Nr.4
82% mano, kad Simpsono formulė turėtų būti įtraukta į mokyklos programą.
0% mano, kad formulė neturėtų būti įtraukta į mokyklos mokymo programą.
18% teigia, kad formulė turėtų būti įtraukta į mokyklos programą, tačiau tik specializuotose klasėse.
Testas Nr.5
35% mano, kad daug lengviau atsiminti vieną formulę, skirtą kelių geometrinių kūnų tūriui nustatyti vienu metu.
59% mano, kad turėtumėte atsiminti visas formules, įskaitant ir Simpsono formulę, nes niekada nežinote, kokios sąlygos bus pateiktos.
6% mano, kad pakanka prisiminti tik į mokyklos programą įtrauktas formules.
Ši formulė taip pat gali būti naudojama sprendžiant problemas, įskaitant vieningą valstybinį egzaminą. . Pateiksiu 11 klasėje pateiktų problemų, kurias mokiniai nesunkiai išsprendė, pavyzdžius:
1 problema Taisyklinga šešiakampė prizmė, kurios aukštis 18 cm, įrašyta į cilindrą, kurio pagrindo spindulys yra 4 cm. Raskite prizmės tūrį.
2 problema Taisyklinga keturkampė piramidė, kurios aukštis 24 cm, o pagrindo kraštinė – 5 cm, įrėžta į cilindrą. Raskite cilindro tūrį.
Išvada:
Išvada
Mokykloje mokiniai turi žinoti daugybę skirtingų dalykų formulių. Mano atlikta apklausa parodė, kad ne visi mokiniai gali atsiminti visas šias formules. Susidūriau su problema: į geometrijos mokymą būtina įdiegti universalią formulę, leidžiančią pakeisti daugybę plokščių figūrų plotų ir erdvinių kūnų tūrių formulių, tai yra formulę, tinkančią daugeliui. tikslams ir atlieka įvairias funkcijas.
Pasiūliau anglų matematiko Thomaso Simpsono formulę
leis figūrų plotų ir kūnų tūrių formules pakeisti viena formule.
Išsikėliau sau tikslą: įrodyti, kad Simpsono universali formulė gali pakeisti visas mokykliniame geometrijos kurse ištirtas plotų ir tūrių formules. Šį tikslą atskleidžiau keliose užduotyse.
Dėl savo darbo įsitikinau, kad Simpsono formulė man leidžia lengvai ir greitai įrodyti teoremas apie kūnų tūrius nenaudojant apibrėžtojo integralo.
Kad būtų lengviau įsiminti ir išvesti formules, siūlau prieš studijuojant temą „Skaičių plotas“ dėstytojas supažindinti mokinius su Simpsono formule ir pakviesti savarankiškai išvesti tiriamas formules. Vadovėlyje siūlomą įrodymą mokytojas gali panaudoti kaip papildomą medžiagą pamokai arba kaip namų darbus.
Dabar, vaikščiojant per mišką, tikriausiai bus įdomu nustatyti bet kurio medžio tūrį. Paskaičiuokite, kiek jame yra kubinių metrų medienos, o kartu ir pasverkite – išsiaiškinkite, ar būtų galima, pavyzdžiui, tokį kamieną pervežti vienu vežimu.
Turiu formulę, pagal kurią galite apytiksliai apskaičiuoti medžio kamieno tūrį, neklausdami savęs, koks geometrinis kūnas atrodo: cilindras, pilnas kūgis ar nupjautas kūgis.
Manau, kad mano darbas yra naudingas, nes... Išvedžiau visas mokykloje mokytų sričių ir apimčių formules.
Iš apklausos rezultatų įsitikinau, kad Simpsono formulė yra gana paprasta įsiminti ir turėtų būti įtraukta į mokyklos programą.
Ši formulė taip pat gali būti naudojama atliekant egzaminus, įskaitant vieningą valstybinį egzaminą.
Naudotos literatūros sąrašas:
Taip.I.Perelmanas. Linksma algebra. Įdomi geometrija. - M., „AST“, 1999 m.
CD-ROM. Didžioji Kirilo ir Metodijaus enciklopedija, 2002 m.
L.S. Atanasyan ir kt., Geometrija 10-11. Vadovėlis bendrojo ugdymo įstaigoms, - M., „Švietimas“, 2002 m.
https://ru.wikipedia.org/wiki
https://studfiles.net/preview/5433881/page:10/
https://studopedia.ru/6_126004_formula-simpsona.html
https://vuzlit.ru/940376/vyvod_formuly_simpsona
1 priedas
Trumpos geometrinių kūnų savybių charakteristikos
Trikampis
2 priedas
Stačiakampis
3 priedas
b 3 =0, nes viršutinė bazė yra taškas.
Kadangi b 2 yra vidurinė trikampio linija, gauname:
Išvada. Iš tiesų, trikampio plotas yra lygus pusei pagrindo ir aukščio sandaugos.
Sprendimas: - universali formulė.
Kadangi ABCD yra kvadratas, tai b 1 =b 2 =b 3 =h, tada gauname
4 priedas
Išvada. Iš tiesų kvadrato plotas lygus jo kraštinės kvadratui.
Sprendimas: - universali formulė.
Kadangi ABCD yra stačiakampis, tada b 1 =b 2 =b 3, tada gauname:
Atsakymas: S=hb 1.
Išvada. Iš tiesų, stačiakampio plotas yra lygus dviem gretimoms kraštinėms.
Sprendimas: - universali formulė.
b 1 = b 2 = b 3, tada gauname:
5 priedas
2 uždavinys. Cilindro tūris.
Duota: cilindras
b 1 - apatinio pagrindo plotas:
b 2 - vidurinės dalies plotas:
b 3 - viršutinio pagrindo plotas.
Rasti: Vcylinder
(22 pav. Cilindras)
Nes b 1 = b 2 = b 3, tada gauname:
Atsakymas: V=b 1 val
Geometrijos vadovėlyje autoriaus pasiūlytas įrodymas. L.S. Atanasyanas 7 priede.
Išvada. Iš tiesų, cilindro tūris yra lygus pagrindo ploto ir aukščio sandaugai.
Sprendimas: Kadangi b 3 =0, a, tai gauname:
Atsakymas: Geometrijos vadovėlyje autoriaus pasiūlytas įrodymas. L.S. Atanasyanas 8 priede.
6 priedas
7 priedas.
8 priedas
9 priedas.
10 priedas
11 priedas
Užduotis Nr.1. Kubo modelio tūrį apskaičiuojame pagal įprastą formulę. Norėdami tai padaryti, išmatuojame kubo modelio kraštą: a = 10,5 cm. V = a 3 = 1157,625 cm 3
2 užduotis. Taisyklingos šešiakampės piramidės modelio tūrį apskaičiuojame pagal įprastą formulę. Norėdami tai padaryti, išmatuojame modelio aukštį h = 17,2 cm, o pagrindo šoną a = 6,5 cm.
Užduotis Nr.3. Cilindro modelio tūrį apskaičiuojame pagal įprastą formulę. Norėdami tai padaryti, išmatuojame modelio aukštį h = 20,4 cm, o pagrindo spindulį R = 14 cm.
12 priedas
|
Apskaičiuojame S = π *R 2 = 3,14* 14 2 cm 2, V = S * h = 3,14 * 196 * 20,4 = 12554,976 cm 3 Modelio tūrį apskaičiuojame pagal Simpsono formulę V = h/6 (S apatinė bazė + S viršutinė bazė + 4S vidurinė dalis): |
||
|
Viršutinės, apatinės pagrindo ir vidurinės dalies plotai lygūs vienas kitam S = π *R 2 = 3,14 * 14 2 = 615,44 cm 2, h = 20,4 cm. V = 20,4/6*(20,4+20,4) = 12554,976 cm 3 |
||
|
4 užduotis. Kūgio modelio tūrį apskaičiuojame pagal įprastą formulę. Norėdami tai padaryti, išmatuojame modelio aukštį h = 21 cm, o pagrindo spindulį R = 6 cm. |
||
|
Užduotis Nr.5. Rutulio modelio tūrį apskaičiuojame pagal įprastą formulę. Norėdami tai padaryti, išmatuojame rutulio spindulį R = 7 cm. |
||
13 priedas
Skaičiavimas beržui:
Skaičiavimas drebulei.
Skaičiavimas pušims.
14 priedas
Tyrimo „Likutinių“ formulių tūrio nustatymas“ rezultatai
1 diagrama. „Likutinių“ formulių skaičiaus nustatymas.
2 diagrama. Dalykai, kuriems nurodytos formulės.
15 priedas
Kokį metodą naudojate formulėms įsiminti?
A) įsiminimas
B) supratimas
B) asociacijos metodas
D) kita
3 diagrama. Formulių įsiminimo būdai
Ar manote, kad įsimintinų formulių skaičius atitinka vidutinio mokinio atminties lygį?
4 diagrama. Formulių skaičiaus atitikimas vidutinio mokinio atminties lygiui
Ar manote, kad norint geriau įsiminti daugybę formulių, reikia naudoti vieną universalią formulę?
5 diagrama. Būtinybė naudoti universalią formulę
16 priedas
17 priedas
Iškyla skaitinio apibrėžtojo integralo apskaičiavimo problema, kurią galima išspręsti naudojant formules, vadinamas kvadratinėmis formulėmis.
Prisiminkime paprasčiausias skaitmeninės integracijos formules.
Apskaičiuokime apytikslę skaitinę reikšmę. Integravimo intervalą [a, b] padaliname į n lygių dalių dalijant taškus 
, vadinami kvadratūros formulės mazgais. Tegul reikšmės mazguose yra žinomos 
:
Didumas 
vadinamas integravimo intervalu arba žingsniu. Atkreipkite dėmesį, kad praktikoje – skaičiavimuose, skaičius i pasirenkamas mažas, dažniausiai jis yra ne didesnis kaip 10-20. Daliniu intervalu 
integrandas pakeičiamas interpoliacijos daugianario
kuri apytiksliai reiškia funkciją f (x) nagrinėjamame intervale.
a) Interpoliacijos daugianario palikime tik vieną pirmąjį narį, tada
Gauta kvadratinė formulė
vadinama stačiakampio formule.
b) Palikime pirmuosius du narius interpoliacijos polinome, tada
(2)
Formulė (2) vadinama trapecijos formule.
c) Integravimo intervalas 
padalinsime į lyginį skaičių 2n lygių dalių, ir integravimo žingsnis h bus lygus 
. Ant intervalo 
ilgio 2h, integrandą pakeičiame antrojo laipsnio interpoliacijos polinomu, t. y. paliekame pirmuosius tris daugianario narius:
Gauta kvadratūros formulė vadinama Simpsono formule
(3)
Formulės (1), (2) ir (3) turi paprastą geometrinę reikšmę. Stačiakampių formulėje intervalo integrando funkcija f(x). 
pakeičiamas tiesės atkarpa y = yk, lygiagrečia abscisių ašiai, o trapecijos formulėje - tiesės atkarpa 
ir atitinkamai apskaičiuojamas stačiakampio ir tiesinės trapecijos plotas, kurie vėliau sumuojami. Simpsono formulėje funkcija f(x) intervale 
ilgis 2h pakeičiamas kvadratiniu trinamiu – parabole 
Apskaičiuojamas kreivinės parabolinės trapecijos plotas, tada plotai sumuojami.
IŠVADA
Darbo pabaigoje norėčiau atkreipti dėmesį į keletą aukščiau aptartų metodų taikymo ypatybių. Kiekvienas apytikslis apibrėžtojo integralo sprendimo būdas turi savų privalumų ir trūkumų, atsižvelgiant į užduotį, turėtų būti naudojami specifiniai metodai.
Kintamojo pakeitimo metodas yra vienas iš pagrindinių neapibrėžtųjų integralų skaičiavimo metodų. Net tais atvejais, kai integruojame kokiu nors kitu metodu, tarpiniuose skaičiavimuose dažnai tenka griebtis kintamųjų kintamųjų. Integracijos sėkmė didele dalimi priklauso nuo to, ar sugebame parinkti tokį sėkmingą kintamųjų pakeitimą, kuris supaprastintų duotą integralą.
Iš esmės integravimo metodų studija išsiaiškinta, kokį kintamąjį reikia pakeisti tam ar kitam integrando tipui.
Taigi, bet kurios racionalios trupmenos integravimas redukuoja iki daugianario ir kelių paprastųjų trupmenų integravimo.
Bet kurios racionalios funkcijos integralas gali būti išreikštas elementariomis funkcijomis galutine forma, būtent:
per logaritmus – 1 tipo paprastųjų trupmenų atvejais;
per racionalias funkcijas – 2 tipo paprastųjų trupmenų atveju
per logaritmus ir arctangentus – 3 tipo paprastųjų trupmenų atveju
per racionalias funkcijas ir arctangentus – 4 tipo paprastųjų trupmenų atveju. Visuotinis trigonometrinis pakaitalas visada racionalizuoja integrandą, bet dažnai sukelia labai sudėtingas racionalias trupmenas, kurių vardiklio šaknų rasti beveik neįmanoma. Todėl, kai tik įmanoma, naudojami daliniai pakaitalai, kurie taip pat racionalizuoja integrandą ir lemia ne tokias sudėtingas trupmenas.
Niutono – Leibnizo formulė yra bendras būdas rasti apibrėžtuosius integralus.
Kalbant apie apibrėžtųjų integralų skaičiavimo metodus, jie praktiškai nesiskiria nuo visų tų metodų ir metodų.
Taikyti lygiai taip pat pakeitimo metodai(kintamojo keitimas), integravimo dalimis metodas, tos pačios technikos ieškant antidarinių trigonometrinėms, iracionaliosioms ir transcendentinėms funkcijoms. Vienintelis ypatumas yra tas, kad naudojant šiuos metodus būtina išplėsti transformaciją ne tik į integrando funkciją, bet ir į integravimo ribas. Keisdami integravimo kintamąjį nepamirškite atitinkamai pakeisti integravimo ribų.
Tinkamai iš teoremos – funkcijos tęstinumo sąlyga yra pakankama funkcijos integralumo sąlyga. Bet tai nereiškia, kad apibrėžtasis integralas egzistuoja tik nuolatinėms funkcijoms. Integruojamų funkcijų klasė yra daug platesnė. Pavyzdžiui, yra apibrėžtas funkcijų integralas, turintis baigtinį skaičių pertrūkių taškų.
Apskaičiuojant apibrėžtąjį tolydžios funkcijos integralą naudojant Niutono-Leibnizo formulę, reikia rasti antidarinį, kuris visada egzistuoja, bet ne visada yra elementari funkcija arba funkcija, kuriai buvo sudarytos lentelės, leidžiančios gauti integralas. Daugelyje programų integruojama funkcija yra nurodyta lentelėje, o Niutono-Leibnizo formulė nėra tiesiogiai taikoma.
Jei reikia gauti tiksliausią rezultatą, tai idealu Simpsono metodas.
Iš to, kas buvo ištirta aukščiau, galime padaryti tokią išvadą, kad integralas naudojamas tokiuose moksluose kaip fizika, geometrija, matematika ir kituose moksluose. Naudojant integralą, apskaičiuojamas jėgos darbas, randamos masės centro koordinatės ir materialaus taško nueitas kelias. Geometrijoje jis naudojamas kūno tūriui apskaičiuoti, kreivės lanko ilgiui ir kt.
Norėdami sudaryti Simpsono formulę, pirmiausia apsvarstykite šią problemą: apskaičiuokite kreivinės trapecijos plotą S, kurį viršuje riboja parabolės y = Ax 2 + Bx + C grafikas, kairėje tiese x = - h, ant dešinėje tiese x = h ir žemiau atkarpa [-h; h]. Tegul parabolė eina per tris taškus (8 pav.): D(-h; y 0) E(0; y 1) ir F(h; y 2), o x 2 - x 1 = x 1 - x 0 = h . Vadinasi,
x 1 = x 0 + h = 0; x 2 = x 0 + 2 val.
Tada plotas S yra lygus integralui:
Išreikškime šią sritį h, y 0, y 1 ir y 2. Norėdami tai padaryti, apskaičiuojame parabolės A, B, C koeficientus. Iš sąlygos, kad parabolė eina per taškus D, E ir F, gauname:
Išspręsdami šią sistemą, gauname: C = y 1 ; A= 
Pakeitę šias A ir C reikšmes į (3), gauname reikiamą plotą
Dabar pereikime prie Simpsono formulės, skirtos integralui apskaičiuoti, išvedimo 
Norėdami tai padaryti, integravimo segmentą padalijame į 2n lygias ilgio dalis
Padalinimo taškuose (4 pav.). a = x 0, x 1, x 2, ..., x 2n-2, x 2n-1, x 2n = b,
Sudedame integrando funkcijos f reikšmes: y 0, y 1, y 2, ...,y 2n-2, y 2n-1, y 2n, kur y i = f(x i), x i = a + ih (i = 0, 1, 2,...,2n).
Atkarpoje integralą pakeičiame parabole, einančia per taškus (x 0 ; y 0), (x 1 ; y 1) ir (x 2 ; y 2), ir apytikslę integralo reikšmę apskaičiuojame iš x. Nuo 0 iki x 2 naudojame formulę (4 ). Tada (tamsesnė sritis 4 pav.):
Panašiai randame:
................................................
Sudėjus gautas lygybes, gauname:
Formulė (5) vadinama apibendrinta Simpsono formulė arba parabolės formulė, nes kai jis yra išvestas, 2h ilgio dalinio atkarpos integrando grafikas pakeičiamas parabolės lanku.
Darbo užduotis:
1. Pagal mokytojo nurodymą arba pagal pasirinkimą nuo Lentelės 4 užduotys (žr. priedą) paimamos sąlygos - integravimo funkcija, integravimo ribos.
2. Sukurkite programos blokinę schemą ir programą, kuri turėtų:
Reikalauti tam tikro integralo skaičiavimo tikslumo, integracijos apatinės ir viršutinės ribos;
Apskaičiuokite duotąjį integralą šiais metodais: 1,4,7, 10... variantams - dešinėn, variantams 2,5,8,... - vidurinis; 2,5,8,... variantams - kairieji stačiakampiai. Atspausdinkite integravimo diapazono skaidinių skaičių, kuriame pasiekiamas nurodytas skaičiavimo tikslumas;
Apskaičiuokite duotąjį integralą trapecijos metodu (lyginiams variantams) ir Simpsono metodu (nelyginiams variantams).
Atspausdinkite integravimo diapazono skaidinių skaičių, kuriame pasiekiamas nurodytas skaičiavimo tikslumas;
Išveskite nurodytos argumento vertės valdymo funkcijos reikšmes ir palyginkite su apskaičiuotomis integralo reikšmėmis. Daryti išvadas.
Kontroliniai klausimai
1. Kas yra apibrėžtasis integralas?
2. Kodėl kartu su analitiniais metodais naudojami ir skaitmeniniai apibrėžtųjų integralų skaičiavimo metodai.
3. Kokia yra pagrindinių skaitinių apibrėžtųjų integralų skaičiavimo metodų esmė.
4. Skylių skaičiaus įtaka tam tikro integralo skaičiavimo skaitiniais metodais tikslumui.
5. Kaip apskaičiuoti integralą bet kuriuo metodu tam tikru tikslumu?
