Dekarto koordinatėse kiekviena tiesė nustatoma pagal pirmojo laipsnio lygtį ir, atvirkščiai, kiekviena pirmojo laipsnio lygtis nustato tiesę.

Formos lygtis

vadinama bendrąja tiesės lygtimi.

Kampas, nustatytas kaip parodyta paveikslėlyje, vadinamas tiesės polinkio į Ox ašį kampu. Tiesės polinkio kampo į Ox ašį liestinė vadinama tiesės kampiniu koeficientu; paprastai žymimas raide k:

Lygtis vadinama tiesės su nuolydžiu lygtimi; k – kampo koeficientas, b – atkarpos, kurią Oy ašyje nukerta tiesi linija, vertė, skaičiuojant nuo pradžios.

Jei bendroji lygtis duota tiesi

,

tada jo kampinis koeficientas nustatomas pagal formulę

Lygtis yra tiesės, einančios per tašką (, ) ir turinčios kampinį koeficientą k, lygtis.

Jei tiesė eina per taškus (, ), (, ), tai jos nuolydis nustatomas pagal formulę

Lygtis

yra tiesės, einančios per du taškus (, ) ir (, ), lygtis.

Jei žinomi dviejų tiesių kampiniai koeficientai, tai vienas iš kampų tarp šių tiesių nustatomas pagal formulę

.

Dviejų tiesių lygiagretumo ženklas yra jų kampinių koeficientų lygybė:.

Dviejų tiesių statmenumo ženklas yra santykis arba.

Kitaip tariant, statmenų linijų kampiniai koeficientai yra atvirkštiniai absoliučia verte ir priešingi pagal ženklą.

4. Bendroji tiesės lygtis

Lygtis

Ah+Bu+C=0

(Kur A, B, C gali turėti bet kokias reikšmes, jei tik koeficientai A, B nebuvo abu nuliai iš karto) reiškia tiesi linija. Bet kuri tiesi linija gali būti pavaizduota tokio tipo lygtimi. Štai kodėl jie jį vadina bendroji tiesės lygtis.

Jeigu AX, tai reiškia tiesią liniją, lygiagrečiai OX ašiai.

Jeigu IN=0, tai yra, lygtyje nėra adresu, tai reiškia tiesią liniją, lygiagrečiai OY ašiai.

Kogla IN nėra lygus nuliui, tada bendroji tiesės lygtis gali būti ryžtas ordinas atžvilgiuadresu , tada jis konvertuojamas į formą

(Kur a=-A/B; b=-C/B).

Panašiai, kai A ne nulis, bendrąją tiesės lygtį galima išspręsti atsižvelgiant į X.

Jeigu SU=0, tai yra, bendrojoje linijos lygtyje nėra laisvo termino, tada ji žymi tiesę, einanti per pradžią

5. Tiesės, einančios per tam tikrą tašką tam tikru nuolydžiu, lygtis

Tiesės, einančios per nurodytą tašką, lygtis A(x 1 , y 1) tam tikra kryptimi, nulemta nuolydžio k,

y - y 1 = k(x - x 1). (1)

Ši lygtis apibrėžia linijų, einančių per tašką, pieštuką A(x 1 , y 1), kuris vadinamas spindulio centru.

6. tiesės, einančios per du duotus taškus, lygtis.

. Tiesės, einančios per du taškus, lygtis: A(x 1 , y 1) ir B(x 2 , y 2), parašyta taip:

Tiesės, einančios per du duotus taškus, kampinis koeficientas nustatomas pagal formulę

7. Atkarpų tiesės lygtis

Jei bendrojoje linijos lygtyje , tada (1) padalijus iš , gauname linijos lygtį atkarpomis

Kur,. Tiesi linija kerta ašį taške , ašį taške .

8. Formulė: kampas tarp tiesių plokštumoje

U Įvartis α tarp dviejų tiesių, pateiktų pagal lygtis: y=k 1 x+b 1 (pirma eilutė) ir y=k 2 x+b 2 (antra tiesė), galima apskaičiuoti pagal formulę (kampas matuojamas nuo 1-osios tiesės iki 2-osios prieš laikrodžio rodyklę ):

9. Santykinė dviejų tiesių padėtis plokštumoje.

Leisk abu dabar lygtys tiesios linijos rašomos bendra forma.

Teorema. Leisti

- yra dažni lygtys dvi tiesios linijos koordinuoti Oxy lėktuvas. Tada

1) jei , tada tiesiai ir sutampa;

2) jei , tada tiesus ir

lygiagretus;

3) jei , tada tiesiai susikerta.

Įrodymas. Sąlyga prilygsta normalios kolineariškumui vektoriai tiesioginiai duomenys:

Todėl, jei , tada tiesiai susikerta.

Jeigu , tada , , ir lygtis tiesiaiįgauna formą:

Arba , t.y. tiesiai susilyginti. Atkreipkite dėmesį, kad proporcingumo koeficientas, kitu atveju visi bendrojo koeficientai lygtys būtų lygus nuliui, o tai neįmanoma.

Jeigu tiesiai nesutampa ir nesikerta, tada lieka byla, t.y. tiesiai lygiagrečiai.

Teorema įrodyta.

Skaitmeniškai lygus kampo (sudaro mažiausią sukimąsi nuo Ox ašies iki Oy ašies) tarp teigiamos abscisių ašies krypties ir nurodytos tiesės tangentei.

Kampo liestinė gali būti apskaičiuojama kaip priešingos pusės ir gretimos kraštinės santykis. k visada yra lygus , Tai yra tiesės lygties išvestinė atžvilgiu x.

Dėl teigiamų nuolydžio verčių k ir nulinis poslinkio koeficientas b tiesi linija bus pirmame ir trečiame kvadrantuose (kuriame x Ir y tiek teigiamas, tiek neigiamas). Tuo pačiu metu didelės kampinio koeficiento vertės k atitiks statesnė tiesi linija, o plokštesnė – mažesnes.

Tiesios ir statmenos, jei Ir lygiagrečios, jei .

Pastabos

Wikimedia fondas. 2010 m.

• Iphit (Elio karalius)
• Rusijos Federacijos prezidento dekretų „Dėl valstybės apdovanojimų suteikimo“ sąrašas 2001 m.

Pažiūrėkite, kas yra „tiesės kampinis koeficientas“ kituose žodynuose:

nuolydis (tiesioginis)- - Temos naftos ir dujų pramonė LT šlaitas... Techninis vertėjo vadovas

Nuolydžio faktorius- (matematinis) skaičius k tiesės lygtyje plokštumoje y = kx+b (žr. Analitinė geometrija), apibūdinantis tiesės nuolydį x ašies atžvilgiu. JK stačiakampėje koordinačių sistemoje k = tan φ, kur φ yra kampas tarp ... Didžioji sovietinė enciklopedija

Tiesės lygtys

ANALITINĖ GEOMETRIJA- geometrijos atkarpa, nagrinėjanti paprasčiausius geometrinius objektus naudojant elementariąją algebrą, paremtą koordinačių metodu. Analitinės geometrijos kūrimas dažniausiai priskiriamas R. Dekartui, kuris jos pagrindus išdėstė paskutiniame savo... ... Collier enciklopedija

Reakcijos laikas- Reakcijos laiko (RT) matavimas yra bene labiausiai gerbiamas dalykas empirinėje psichologijoje. Jis atsirado astronomijos srityje 1823 m., matuojant individualius žvaigždės, kertančios teleskopo liniją, suvokimo greičio skirtumus. Šie … Psichologinė enciklopedija

MATEMATINĖ ANALIZĖ- matematikos šaka, teikianti įvairių kitimo procesų kiekybinio tyrimo metodus; nagrinėja kitimo greičio tyrimą (diferencialinį skaičiavimą) ir kreivių ilgių, figūrų plotų ir tūrių, ribojamų lenktais kontūrais ir ... Collier enciklopedija

Tiesiai- Šis terminas turi kitas reikšmes, žr. Tiesioginė (reikšmės). Tiesi linija yra viena iš pagrindinių geometrijos sąvokų, tai yra, ji neturi tikslaus universalaus apibrėžimo. Sistemingai pateikiant geometriją, tiesi linija paprastai laikoma viena... ... Vikipedija

Tiesi linija- Tiesių linijų vaizdas stačiakampėje koordinačių sistemoje Tiesi linija yra viena iš pagrindinių geometrijos sąvokų. Sistemingai pateikiant geometriją, tiesi linija dažniausiai imama kaip viena iš pradinių sąvokų, kuri tik netiesiogiai apibrėžiama... ... Vikipedija

Tiesioginis- Tiesių linijų vaizdas stačiakampėje koordinačių sistemoje Tiesi linija yra viena iš pagrindinių geometrijos sąvokų. Sistemingai pateikiant geometriją, tiesi linija dažniausiai imama kaip viena iš pradinių sąvokų, kuri tik netiesiogiai apibrėžiama... ... Vikipedija

Nedidelis velenas– Negalima painioti su terminu „elipsis“. Elipsė ir jos židiniai Elipsė (senovės graikų ἔλλειψις trūkumas, ekscentriškumo trūkumo prasme iki 1) Euklido plokštumos taškų M lokusas, kuriam atstumų nuo dviejų nurodytų taškų suma yra F1... ... Vikipedija

Leiskite plokštumoje, kurioje yra stačiakampė Dekarto koordinačių sistema, tiesė l eina per tašką M 0 lygiagrečiai krypties vektoriui A (96 pav.).

Jei tiesiai l kerta O ašį X(taške N), tada tiesės kampu l su O ašimi X suprasime kampą α, kuriuo reikia pasukti O ašį X aplink tašką N priešinga sukimosi pagal laikrodžio rodyklę kryptimi, kad O ašis X sutapo su tiesia linija l. (Tai reiškia kampą, mažesnį nei 180°.)

Šis kampas vadinamas pasvirimo kampas tiesiai. Jei tiesiai l lygiagrečiai O ašiai X, tada daroma prielaida, kad pasvirimo kampas lygus nuliui (97 pav.).

Tiesės polinkio kampo liestinė vadinama tiesios linijos nuolydis ir dažniausiai žymimas raide k:

tan α = k. (1)

Jei α = 0, tada k= 0; tai reiškia, kad linija lygiagreti O ašiai X o jo nuolydis lygus nuliui.

Jei α = 90°, tai k= tan α neturi prasmės: tai reiškia, kad tiesi linija, statmena O ašiai X(t. y. lygiagrečiai O ašiai adresu), neturi nuolydžio.

Tiesės nuolydį galima apskaičiuoti, jei žinomos bet kurių dviejų šios linijos taškų koordinatės. Duoti du taškai tiesėje: M 1 ( x 1 ; adresu 1) ir M 2 ( x 2 ; adresu 2) ir tegul, pavyzdžiui, 0< α < 90°, а x 2 > x 1 , adresu 2 > adresu 1 (98 pav.).

Tada iš stačiojo trikampio M 1 PM 2 randame

$$ k=tga = \frac(|M_2 P|)(|M_1 P|) = \frac(y_2 - y_1)(x_2 - x_1) $$

$$ k=\frac(y_2 - y_1)(x_2 - x_1) \;\; (2) $$

Panašiai įrodyta, kad (2) formulė tinka ir 90° kampu< α < 180°.

Formulė (2) netenka prasmės, jei x 2 - x 1 = 0, t.y. jei tiesus l lygiagrečiai O ašiai adresu. Tokioms tiesioms nuolydžio koeficiento nėra.

1 užduotis. Nustatykite pirminio, einančio per taškus, kampinį koeficientą

M1 (3; -5) ir M2 (5; -7).

Pakeitę taškų M 1 ir M 2 koordinates į (2) formulę, gauname

\(k=\frac(-7-(-5))(5-3)\) arba k = -1

2 užduotis. Nustatykite tiesės, einančios per taškus M 1 (3; 5) ir M 2 (3; -2), nuolydį.

Nes x 2 - x 1 = 0, tada lygybė (2) praranda prasmę. Šios tiesios linijos nuolydžio nėra. Tiesi linija M 1 M 2 lygiagreti O ašiai adresu.

3 užduotis. Nustatykite linijos, einančios per pradžią ir tašką M 1, nuolydį (3; -5)

Šiuo atveju taškas M 2 sutampa su pradžia. Taikydami formulę (2), gauname

$$ k=\frac(y_2 - y_1)(x_2 - x_1)=\frac(0-(-5))(0-3)= -\frac(5)(3); \;\; k= -\frac(5)(3) $$

Sukurkime tiesės lygtį su kampo koeficientu k, einantis per tašką

M 1 ( x 1 ; adresu 1). Pagal (2) formulę tiesės kampinis koeficientas randamas iš dviejų jos taškų koordinačių. Mūsų atveju duotas taškas M 1, o kaip antrasis taškas galime paimti bet kurį tašką M( X; adresu) norima tiesi linija.

Jei taškas M yra tiesėje, kuri eina per tašką M 1 ir turi kampinį koeficientą k, tada pagal (2) formulę turime

$$ \frac(y-y_1)(x-x_1)=k \;\; (3) $ $

Jei taškas M nėra tiesėje, tai lygybė (3) negalioja. Vadinasi, lygybė (3) yra tiesės, einančios per tašką M 1 ( x 1 ; adresu 1) su nuolydžiu k; ši lygtis paprastai rašoma kaip

y- y 1 = k(x - x 1). (4)

Jei tiesė kerta O ašį adresu tam tikru momentu (0; b), tada (4) lygtis įgauna formą

adresu - b = k (X- 0),

y = kx + b. (5)

Ši lygtis vadinama tiesės su nuolydžiu k ir pradine ordinate b lygtis.

4 užduotis. Raskite tiesės pasvirimo kampą √3 x + 3adresu - 7 = 0.

Sumažinkime šią lygtį iki formos

$$ y= =\frac(1)(\sqrt3)x + \frac(7)(3) $$

Vadinasi, k= tan α = - 1 / √ 3, iš kur α = 150°

5 užduotis. Parašykite tiesės, einančios per tašką P(3; -4), su kampo koeficientu lygtį k = 2 / 5

Pakeitimas k = 2 / 5 , x 1 = 3, y 1 = - 4 į (4) lygtį, gauname

adresu - (- 4) = 2 / 5 (X– 3) arba 2 X - 5adresu - 26 = 0.

6 užduotis. Parašykite tiesės, einančios per tašką Q (-3; 4), ir dedamosios su teigiama O ašies kryptimi lygtį. X kampas 30°.

Jei α = 30°, tai k= įdegis 30° = √ 3/3 . Vertes pakeičiant į (4) lygtį x 1 , y 1 ir k, mes gauname

adresu -4 = √ 3 / 3 (x+ 3) arba √3 x-3y + 12 + 3√3 = 0.

Matematikoje vienas iš parametrų, nusakančių tiesės padėtį Dekarto koordinačių plokštumoje, yra šios tiesės kampinis koeficientas. Šis parametras apibūdina tiesios linijos nuolydį iki abscisių ašies. Norėdami suprasti, kaip rasti nuolydį, pirmiausia prisiminkite bendrą tiesės lygties formą XY koordinačių sistemoje.

Paprastai bet kurią eilutę galima pavaizduoti išraiška ax+by=c, kur a, b ir c yra savavališki realieji skaičiai, bet a 2 + b 2 ≠ 0.

Naudojant paprastas transformacijas, tokią lygtį galima pateikti į formą y=kx+d, kurioje k ir d yra realieji skaičiai. Skaičius k yra nuolydis, o tokio tipo linijos lygtis vadinama lygtimi su nuolydžiu. Pasirodo, norint rasti nuolydį, tiesiog reikia sumažinti pradinę lygtį iki aukščiau nurodytos formos. Norėdami geriau suprasti, apsvarstykite konkretų pavyzdį:

Užduotis: Raskite tiesės, gautos pagal lygtį 36x - 18y = 108, nuolydį

Sprendimas: Transformuokime pradinę lygtį.

Atsakymas: Reikalingas šios linijos nuolydis yra 2.

Jei lygties transformacijos metu gavome tokią išraišką kaip x = const ir dėl to negalime pavaizduoti y kaip x funkcijos, tai turime tiesę, lygiagrečią X ašiai. Tokio kampo koeficientas tiesi linija lygi begalybei.

Tiesų, išreikštų lygtimi, pvz., y = const, nuolydis yra lygus nuliui. Tai būdinga tiesioms linijoms, lygiagrečioms abscisių ašiai. Pavyzdžiui:

Užduotis: Raskite tiesės nuolydį, gautą pagal lygtį 24x + 12y - 4(3y + 7) = 4

Sprendimas: Pateikime pradinę lygtį į bendrą formą

24x + 12m - 12m + 28 = 4

Iš gautos išraiškos y išreikšti neįmanoma, todėl šios tiesės kampinis koeficientas lygus begalybei, o pati tiesė bus lygiagreti Y ašiai.

Geometrinė reikšmė

Kad geriau suprastume, pažiūrėkime į paveikslėlį:

Paveiksle matome tokios funkcijos kaip y = kx grafiką. Kad būtų paprasčiau, imkime koeficientą c = 0. Trikampyje OAB kraštinės BA ir AO santykis bus lygus kampiniam koeficientui k. Tuo pat metu santykis BA/AO yra stačiojo trikampio OAB smailiojo kampo α liestinė. Pasirodo, kad tiesės kampinis koeficientas yra lygus kampo, kurį ši tiesė sudaro su koordinačių tinklelio abscisių ašimi, tangentei.

Išspręsdami uždavinį, kaip rasti tiesės kampinį koeficientą, randame kampo tarp jos ir koordinačių tinklelio X ašies liestinę. Ribiniai atvejai, kai nagrinėjama linija yra lygiagreti koordinačių ašims, patvirtina tai, kas išdėstyta aukščiau. Iš tiesų, tiesei linijai, aprašytai lygtimi y=const, kampas tarp jos ir abscisių ašies yra lygus nuliui. Nulinio kampo liestinė taip pat lygi nuliui, o nuolydis taip pat lygus nuliui.

Tiesių, statmenų x ašiai ir apibūdinamų lygtimi x=const, kampas tarp jų ir X ašies yra 90 laipsnių. Stačiojo kampo liestinė lygi begalybei, o panašių tiesių kampinis koeficientas taip pat lygus begalybei, kas patvirtina tai, kas buvo parašyta aukščiau.

Tangentinis nuolydis

Įprasta užduotis, su kuria dažnai susiduriama praktikoje, taip pat yra surasti funkcijos grafiko liestinės nuolydį tam tikrame taške. Liestinė yra tiesi linija, todėl jai taikytina ir nuolydžio sąvoka.

Norėdami išsiaiškinti, kaip rasti liestinės nuolydį, turėsime prisiminti išvestinės sąvoką. Bet kurios funkcijos išvestinė tam tikrame taške yra konstanta, skaitiniu požiūriu lygi kampo, susidariusio tarp liestinės nurodytame šios funkcijos grafiko taške ir abscisių ašies, liestei. Pasirodo, norint nustatyti liestinės kampinį koeficientą taške x 0, reikia apskaičiuoti pradinės funkcijos išvestinės reikšmę šiame taške k = f"(x 0). Pažvelkime į pavyzdį:

Uždavinys: Raskite funkcijos y = 12x 2 + 2xe x liestinės nuolydį, kai x = 0,1.

Sprendimas: Raskite pradinės funkcijos išvestinę bendrąja forma

y"(0,1) = 24. 0.1 + 2. 0.1. e 0.1 + 2. e 0.1

Atsakymas: Reikalingas nuolydis taške x = 0,1 yra 4,831

Skaitmeniškai lygus kampo (sudaro mažiausią sukimąsi nuo Ox ašies iki Oy ašies) tarp teigiamos abscisių ašies krypties ir nurodytos tiesės tangentei.

Kampo liestinė gali būti apskaičiuojama kaip priešingos pusės ir gretimos kraštinės santykis. k visada yra lygus , Tai yra tiesės lygties išvestinė atžvilgiu x.

Dėl teigiamų nuolydžio verčių k ir nulinis poslinkio koeficientas b tiesi linija bus pirmame ir trečiame kvadrantuose (kuriame x Ir y tiek teigiamas, tiek neigiamas). Tuo pačiu metu didelės kampinio koeficiento vertės k atitiks statesnė tiesi linija, o plokštesnė – mažesnes.

Tiesios ir statmenos, jei Ir lygiagrečios, jei .

Pastabos

Wikimedia fondas. 2010 m.

Pažiūrėkite, kas yra „tiesės kampinis koeficientas“ kituose žodynuose:

nuolydis (tiesioginis)- - Temos naftos ir dujų pramonė LT šlaitas... Techninis vertėjo vadovas

- (matematinis) skaičius k tiesės lygtyje plokštumoje y = kx+b (žr. Analitinė geometrija), apibūdinantis tiesės nuolydį x ašies atžvilgiu. JK stačiakampėje koordinačių sistemoje k = tan φ, kur φ yra kampas tarp ... Didžioji sovietinė enciklopedija

Geometrijos šaka, tirianti paprasčiausius geometrinius objektus naudojant elementariąją algebrą, paremtą koordinačių metodu. Analitinės geometrijos kūrimas dažniausiai priskiriamas R. Dekartui, kuris jos pagrindus išdėstė paskutiniame savo... ... Collier enciklopedija

Reakcijos laiko (RT) matavimas tikriausiai yra pats garbingiausias empirinės psichologijos dalykas. Jis atsirado astronomijos srityje 1823 m., matuojant individualius žvaigždės, kertančios teleskopo liniją, suvokimo greičio skirtumus. Šie … Psichologinė enciklopedija

Matematikos šaka, teikianti įvairių kitimo procesų kiekybinio tyrimo metodus; nagrinėja kitimo greičio tyrimą (diferencialinį skaičiavimą) ir kreivių ilgių, figūrų plotų ir tūrių, ribojamų lenktais kontūrais ir ... Collier enciklopedija

Šis terminas turi kitų reikšmių, žr. Tiesioginė (reikšmės). Tiesi linija yra viena iš pagrindinių geometrijos sąvokų, tai yra, ji neturi tikslaus universalaus apibrėžimo. Sistemingai pateikiant geometriją, tiesi linija paprastai laikoma viena... ... Vikipedija

Tiesių linijų vaizdas stačiakampėje koordinačių sistemoje Tiesi linija yra viena iš pagrindinių geometrijos sąvokų. Sistemingai pateikiant geometriją, tiesi linija dažniausiai imama kaip viena iš pradinių sąvokų, kuri tik netiesiogiai apibrėžiama... ... Vikipedija

Tiesių linijų vaizdas stačiakampėje koordinačių sistemoje Tiesi linija yra viena iš pagrindinių geometrijos sąvokų. Sistemingai pateikiant geometriją, tiesi linija dažniausiai imama kaip viena iš pradinių sąvokų, kuri tik netiesiogiai apibrėžiama... ... Vikipedija

Negalima painioti su terminu "elipsis". Elipsė ir jos židiniai Elipsė (senovės graikų ἔλλειψις trūksta, ekscentriškumo trūkumo prasme iki 1) Euklido plokštumos taškų M lokusas, kuriam atstumų nuo dviejų nurodytų taškų suma yra F1 ... . Vikipedija