Funktsiyaning ekstremumini echimlarga misollar toping. Funktsiyaning ekstremumi uchun zarur shart. Ekstremumni topish ketma -ketligi

Matematik tahlil muammolarining turlaridan biri: bitta o'zgaruvchining funktsiyasini minimal va (yoki) maksimal darajada tekshirish. Ba'zida funktsiyaning ekstremumini (minimal va maksimalning umumiy nomi) ma'lum bir vaqt oralig'ida topish kerak bo'ladi. Xuddi shunday rejaning vazifalari ham umumta'lim maktabida va Yagona davlat imtihonining vazifalarida uchraydi.
Muammo bayonoti 1:

Muayyan intervalda aniqlangan funksiya berilgan. Funktsiyaning maksimal (minimal) nuqtalarini topish talab qilinadi.
Nazariy asos.
Ta'rif: Funktsiya bir nuqtada maksimal bo'ladi, deyiladi. a) (yoki minimal, b -rasm)), agar funktsiyani aniqlaydigan oraliqda ba'zi qo'shnilar bo'lsa, bu mahallaning barcha nuqtalari uchun tengsizlik.
().
Sharh:
Ekstremum- (lotincha) ekstremal.
Maksimal - (lotincha) eng katta.
Minimal - (lotincha) eng kichik.

Kerakli ekstremal holat (Ferma teoremasi):

Funktsiya ma'lum bir intervalda aniqlansin va ichki nuqtada bu intervaldan eng katta (eng kichik) qiymat olinadi. Agar ikki tomonlama cheklangan lotin bo'lsa, u holda bu zarur.
Ta'rif: Agar tenglik bo'lsa, nuqta chaqiriladi harakatsiz nuqta.
Ta'rif: Ikki tomonlama cheklangan lotin bo'lmagan statsionar nuqtalar va nuqtalar chaqiriladi ekstremumga shubha bilan qaraydi.
Yuqoridagi ikkitadan boshqa holatlarning tasviri:

1) ekstremum yo'q, birinchi lotin nolga teng.
2) Maksimal nuqta, chap va o'ngdagi birinchi lotin cheksizdir.
3) ekstremum yo'q, chap va o'ngdagi birinchi lotin cheksizdir.
4) Minimal nuqta, chapdagi birinchi lotin o'ngdagi birinchi lotinga teng emas.
5) ekstremum yo'q, chapdagi birinchi lotin o'ngdagi birinchi lotin bilan teng emas.

Izoh (lotinning geometrik ma'nosi):

Funktsiyaning bir nuqtadagi hosilasi, nuqta chizilgan funktsiya grafigiga teginishning qiyaligiga tengdir.
Misol 1:

Keling, funktsiyani ko'rib chiqaylik.
Keling, bu funktsiyaning hosilasini hisoblaylik:

Shunday qilib, ekstremum haqida shubhali nuqtalar:
Keling, bu funksiyaning grafigini tuzamiz.

Grafiklar shuni ko'rsatadiki, funktsiya maksimalda, minimalda. Funktsiyada ekstremum yo'q bo'lganda.

Bu misol shuni ko'rsatadiki, bir nuqtada hosilaning nolga tengligi funktsiyaning ekstremum nuqtasi uchun zarur shartdir, lekin bu etarli shart emas.
Teorema (funksiyaning monotonlik sharti):

Funktsiya aniq va uzluksiz bo'lsin, va uning ichida cheklangan lotin mavjud. Bu intervalda keng ma'noda monotonik ravishda o'sishi (kamayishi) uchun shart

Etarli ekstremal holat:

Aytaylik, statsionar nuqtaning ba'zi bir mahallasida cheklangan lotin mavjud va chapda ham, o'ngda ham (alohida) ma'lum belgi saqlanib qolgan. Keyin quyidagi uchta holat mumkin:

1) da va da (nuqta orqali o'tishda lotin o'z belgisini plyusdan minusga o'zgartiradi). Bular. funktsiyada ortadi, va - kamayadi. Bu shuni anglatadiki, qiymat intervalda eng katta bo'ladi. Boshqacha aytganda, funktsiya bir nuqtada maksimalga ega.

Tushuntirish: Tegishli intervaldagi lotin belgisi raqam o'qining ustida, funktsiyaning tegishli intervaldagi harakati (kamayishi yoki ortishi) raqamli o'q ostida ko'rsatilgan.
2) da va da (nuqta orqali o'tishda lotin o'z belgisini minusdan plyusga o'zgartiradi). Bular. qachon funksiya kamayadi, qachon esa - ortadi. Bu shuni anglatadiki, qiymat intervalda eng kichik bo'ladi. Boshqacha aytganda, funktsiya bir nuqtada minimal darajaga ega.

3) da va da (da va da) (lotin nuqta orqali o'tishda o'z belgisini o'zgartirmaydi). Bular. funktsiya intervalda kamayadi (ortadi). Boshqacha qilib aytganda, funktsiyaning nuqtada ekstremumi yo'q.

2 -misol:

Funktsiyani qayta ko'rib chiqing.
Bu funksiyaning hosilasi:

Ekstremalda shubhali fikrlar :. Keling, mos keladigan intervallar bo'yicha lotin belgilarini bilib olaylik (biz tengsizlik oralig'i usulini echamiz va):

Rasm shuni ko'rsatadiki, bu vaqtda lotin o'z belgisini minusdan plyusga o'zgartiradi, ya'ni. da, funktsiya minimalga ega.

Nuqtada lotin o'z belgisini plyusdan minusga o'zgartiradi, ya'ni. funktsiya maksimal qiymatga ega bo'lganda.
Nuqtada lotin o'z belgisini minusdan plyusga o'zgartiradi, ya'ni. da, funktsiya minimalga ega.
Bir nuqtada, lotin o'z belgisini o'zgartirmaydi, ya'ni. ekstremallik yo'q.
Olingan ma'lumotlar funktsiyalar grafigi bilan to'liq tasdiqlangan.

Muammoni hal qilish algoritmi 1.

1) funksiyaning hosilasini toping.

2) Tenglamani yechish orqali turg'un nuqtalarni (ekstremumda shubhali nuqtalarni) toping Ikki tomonlama chekli lotin bo'lmagan nuqtalarga e'tibor bering.

3) lotin ekstremum shubhali nuqtalarda o'z belgisini o'zgartiradimi yoki yo'qligini aniqlang.Agar u belgini minusdan plyusga o'zgartirsa, u holda bu vaqtda funktsiya minimal bo'ladi. Agar plyusdan minusgacha bo'lsa, u holda maksimal, va agar lotin belgisi o'zgarmasa, demak bu nuqtada ekstremum yo'q.

4) Funksiyaning minimal (maksimal) nuqtalardagi qiymatini toping.

Qo'shish:

Funktsiyaning birinchi lotinining turg'un nuqtaning qarama -qarshi tomonidagi belgisini tekshirish (ekstremum uchun etarli shart) bu turg'un nuqtadagi ikkinchi hosilaning belgisini tekshirish bilan almashtirilishi mumkin (agar mavjud bo'lsa).
1) agar, demak, bu vaqtda funktsiya minimal bo'ladi.
2) agar, bu vaqtda funksiya maksimal nuqtaga ega.
3) agar, u holda bu nuqtada ekstremum borligi haqidagi savol ochiq qolsa. Tengsizlikni hal qiling

Funktsiyaning ekstremumi nima va ekstremum uchun zarur shart nima?

Funktsiyaning ekstremum funktsiyasi maksimal va minimal deb ataladi.

Funktsiyaning maksimal va minimal (ekstremum) uchun zarur sharti quyidagicha: agar f (x) funktsiya x = a nuqtada ekstremumga ega bo'lsa, u holda bu vaqtda hosila nol yoki cheksiz bo'ladi yoki qiladi mavjud emas.

Bu shart zarur, lekin etarli emas. X = a nuqtadagi lotin abadiy yo'q bo'lib ketishi mumkin, yoki bu vaqtda ekstremum funktsiyasiz mavjud bo'lmaydi.

Funktsiyaning ekstremumi uchun etarli shart (maksimal yoki minimal) nima?

Birinchi shart:

Agar x = a nuqtaga etarlicha yaqin bo'lsa, f? (X) lotin a -ning chap tomonida musbat va a -ning o'ng tomonida manfiy bo'lsa, u holda x = a nuqtada f (x) funktsiyasi mavjud. maksimal

Agar x = a nuqtaga etarlicha yaqin bo'lsa, f? (X) lotin a ning chap tomonida manfiy va a o'ngda musbat bo'lsa, u holda x = a nuqtada f (x) funktsiyasi mavjud. eng kam bu erda f (x) funktsiyasi uzluksiz bo'lishi sharti bilan.

Buning o'rniga, funktsiyaning ekstremumi uchun ikkinchi etarli shartni ishlatishingiz mumkin:

$ X = a $ nuqtasida birinchi f? (X) lotin yo'qolsin; agar bu holda f ?? (a) ikkinchi hosilasi manfiy bo'lsa, u holda f (x) funktsiya x = a nuqtada maksimalga ega, agar u ijobiy bo'lsa, u holda minimal.

Funktsiyaning burilish nuqtasi nima va uni qanday topish mumkin?

Bu funktsiya ekstremumga ega bo'lgan funktsiya argumentining qiymati (ya'ni maksimal yoki minimal). Uni topish uchun sizga kerak hosilasini toping f? (x) funktsiyasi va uni nolga tenglashtirish, tenglamani yeching f? (x) = 0. Bu tenglamaning ildizlari, shuningdek, bu funktsiyaning hosilasi mavjud bo'lmagan nuqtalar, muhim nuqtalar, ya'ni, bo'lishi mumkin bo'lgan argumentning qiymatlari. ekstremum. Ularni ko'rish orqali osongina aniqlash mumkin lotin syujeti: bizni funktsiya grafigi abscissa o'qini (Ox o'qi) kesib o'tadigan va grafik uzilgan argumentning qiymatlari bizni qiziqtiradi.

Masalan, topaylik ekstremal parabola.

Y (x) = 3x2 + 2x - 50 funktsiyasi.

Funktsiyaning hosilasi: y? (X) = 6x + 2

Tenglamani echish: y? (X) = 0

6x + 2 = 0.6x = -2, x = -2 / 6 = -1/3

Bunda kritik nuqta x0 = -1 / 3 ga teng. Bu funktsiya mavjud bo'lgan argumentning bu qiymati uchun ekstremum... Shunday qilib topmoq, topilgan sonni "x" o'rniga funktsiya ifodasiga almashtiring:

y0 = 3 * ( - 1/3) 2 + 2 * ( - 1/3) - 50 = 3 * 1/9 - 2/3 - 50 = 1/3 - 2/3 - 50 = -1/3 - 50 = -50.333.

Funktsiyaning maksimal va minimalini qanday aniqlash mumkin, ya'ni. uning eng katta va eng kichik qiymatlari?

Agar x0 kritik nuqtasidan o'tishda lotin belgisi "plyus" dan "minus" ga o'zgarsa, x0 bo'ladi. maksimal nuqta; agar hosilaning belgisi minusdan plyusga o'zgarsa, x0 bo'ladi minimal nuqta; agar belgi o'zgarmasa, x0 nuqtada maksimal yoki minimal bo'lmaydi.

Ko'rib chiqilgan misol uchun:

Biz tanqidiy nuqtaning chap tomonidagi argumentning ixtiyoriy qiymatini olamiz: x = -1

X = -1 bo'lganda, hosilaning qiymati y bo'ladi? ( -1) = 6 * ( -1) + 2 = -6 + 2 = -4 (ya'ni belgisi "minus").

Endi biz tanqidiy nuqtaning o'ng tomonidagi argumentning ixtiyoriy qiymatini olamiz: x = 1

X = 1 bo'lganda, hosilaning qiymati y (1) = 6 * 1 + 2 = 6 + 2 = 8 bo'ladi (ya'ni belgisi "plyus").

Ko'rib turganingizdek, lotin tanqidiy nuqtadan o'tishda o'z belgisini minusdan plyusga o'zgartirdi. Bu shuni anglatadiki, x0 kritik qiymatida bizda minimal nuqta bor.

Eng katta va eng kichik funktsiya qiymati intervalda(segmentda) xuddi shu protsedura yordamida topilgan, faqat hamma muhim nuqtalar belgilangan vaqt oralig'ida bo'lmasligini hisobga olgan holda. Vaqt oralig'idan tashqaridagi tanqidiy nuqtalar ko'rib chiqilmasligi kerak. Agar intervalda faqat bitta muhim nuqta bo'lsa, u maksimal yoki minimalni o'z ichiga oladi. Bu holda, funksiyaning eng katta va eng kichik qiymatlarini aniqlash uchun, biz funktsiyaning interval oxirlaridagi qiymatlarini ham hisobga olamiz.

Masalan, funksiyaning eng katta va eng kichik qiymatlarini topaylik

y (x) = 3sin (x) - 0,5x

vaqti -vaqti bilan:

Shunday qilib, funktsiyaning hosilasi

y? (x) = 3cos (x) - 0,5

3cos (x) - 0,5 = 0 tenglamani yechish

cos (x) = 0,5 / 3 = 0,16667

x = ± arkos (0,16667) + 2πk.

[-9 oralig'idagi kritik nuqtalarni toping. to'qqiz]:

x = arccos (0.16667) - 2π * 2 = -11.163 (intervalga kiritilmagan)

x = -arccos (0.16667) -2π * 1 = -7.687

x = arkos (0.16667) - 2π * 1 = -4.88

x = -arccos (0.16667) + 2π * 0 = -1.403

x = arkos (0.16667) + 2π * 0 = 1.403

x = -arccos (0.16667) + 2π * 1 = 4.88

x = arkos (0.16667) + 2π * 1 = 7.687

x = -arccos (0.16667) + 2π * 2 = 11.163 (intervalga kiritilmagan)

Biz argumentning kritik qiymatlarida funktsiya qiymatlarini topamiz:

y (-7.687) = 3cos (-7.687)-0.5 = 0.885

y (-4.88) = 3cos (-4.88)-0.5 = 5.398

y (-1.403) = 3cos (-1.403) -0.5 = -2.256

y (1.403) = 3cos (1.403) - 0.5 = 2.256

y (4.88) = 3cos (4.88) - 0.5 = -5.398

y (7.687) = 3cos (7.687) - 0.5 = -0.885

Ko'rinib turibdiki, [-9 oralig'ida; 9], funktsiya x = -4.88 da eng katta qiymatga ega:

x = -4.88, y = 5.398,

va eng kichigi - x = 4.88 da:

x = 4.88, y = -5.398.

[-6 oralig'ida; -3] bizda faqat bitta muhim nuqta bor: x = -4.88. Funktsiyaning x = -4.88 dagi qiymati y = 5.398 ga teng.

Interval oxiridagi funktsiyaning qiymatini toping:

y (-6) = 3cos (-6)-0,5 = 3,838

y (-3) = 3cos (-3)-0.5 = 1.077

[-6 oralig'ida; -3] bizda funksiyaning eng yuqori qiymati bor

y = 5.398 x = -4.88 da

eng kichik qiymat

x = -3 da y = 1.077

Funktsiya grafigining burilish nuqtalarini qanday topish va qavariq va qavariq tomonlarini aniqlash mumkin?

Y = f (x) chizig'ining barcha burilish nuqtalarini topish uchun siz ikkinchi lotinni topishingiz, uni nolga tenglashtirishingiz (tenglamani yeching) va ikkinchi hosilasi nol bo'lgan x ning barcha qiymatlarini sinab ko'rishingiz kerak. , cheksiz yoki mavjud emas. Agar bu qiymatlardan biridan o'tayotganda, ikkinchi lotin belgisi o'zgarsa, u holda funktsiya grafigi bu vaqtda burilishga ega bo'ladi. Agar u o'zgarmasa, burilish bo'lmaydi.

F tenglamaning ildizlari? (x) = 0, shuningdek, funktsiyaning mumkin bo'lgan uzilish nuqtalari va ikkinchi hosilasi, funktsiya sohasini bir qancha intervallarga bo'linadi. Ularning har bir intervalidagi qavariqlik ikkinchi hosilaning belgisi bilan aniqlanadi. Agar tekshirilayotgan intervaldagi ikkinchi hosila ijobiy bo'lsa, u holda y = f (x) chizig'i yuqoriga, agar manfiy bo'lsa, pastga qarab konkav bo'ladi.

Ikki o'zgaruvchili funktsiyani ekstremalini qanday topish mumkin?

F (x, y) funktsiyasining tayinlanish diapazonida farqlanishini topish uchun sizga kerak:

1) muhim nuqtalarni toping va buning uchun - tenglamalar tizimini eching

fx? (x, y) = 0, fu? (x, y) = 0

2) har bir muhim nuqta uchun R0 (a; b) farqning belgisi yoki yo'qligini tekshiring

barcha nuqtalar uchun (x; y) Po ga etarlicha yaqin. Agar farq ijobiy belgini saqlasa, P0 nuqtada bizda minimal, manfiy bo'lsa, maksimal bo'ladi. Agar farq belgini saqlamasa, P0 nuqtada ekstremum yo'q.

Ko'p sonli argumentlar uchun funktsiya ekstremalligi xuddi shunday aniqlanadi.

Funktsiyaning ekstremumi nima va ekstremum uchun zarur shart nima?

Funktsiyaning ekstremum funktsiyasi maksimal va minimal deb ataladi.

Bu shart zarur, lekin etarli emas. X = a nuqtadagi lotin abadiy yo'q bo'lib ketishi mumkin, yoki bu vaqtda ekstremum funktsiyasiz mavjud bo'lmaydi.

Funktsiyaning ekstremumi uchun etarli shart (maksimal yoki minimal) nima?

Birinchi shart:

Agar x = a nuqtaga etarlicha yaqin bo'lsa, f? (X) lotin a -ning chap tomonida musbat va a -ning o'ng tomonida manfiy bo'lsa, u holda x = a nuqtada f (x) funktsiyasi mavjud. maksimal

Buning o'rniga, funktsiyaning ekstremumi uchun ikkinchi etarli shartni ishlatishingiz mumkin:

Funktsiyaning burilish nuqtasi nima va uni qanday topish mumkin?

Masalan, topaylik ekstremal parabola.

Y (x) = 3x2 + 2x - 50 funktsiyasi.

Funktsiyaning hosilasi: y? (X) = 6x + 2

Tenglamani echish: y? (X) = 0

6x + 2 = 0.6x = -2, x = -2 / 6 = -1/3

y0 = 3 * ( - 1/3) 2 + 2 * ( - 1/3) - 50 = 3 * 1/9 - 2/3 - 50 = 1/3 - 2/3 - 50 = -1/3 - 50 = -50.333.

Funktsiyaning maksimal va minimalini qanday aniqlash mumkin, ya'ni. uning eng katta va eng kichik qiymatlari?

Ko'rib chiqilgan misol uchun:

Biz tanqidiy nuqtaning chap tomonidagi argumentning ixtiyoriy qiymatini olamiz: x = -1

X = -1 bo'lganda, hosilaning qiymati y bo'ladi? ( -1) = 6 * ( -1) + 2 = -6 + 2 = -4 (ya'ni belgisi "minus").

Endi biz tanqidiy nuqtaning o'ng tomonidagi argumentning ixtiyoriy qiymatini olamiz: x = 1

X = 1 bo'lganda, hosilaning qiymati y (1) = 6 * 1 + 2 = 6 + 2 = 8 bo'ladi (ya'ni belgisi "plyus").

Ko'rib turganingizdek, lotin tanqidiy nuqtadan o'tishda o'z belgisini minusdan plyusga o'zgartirdi. Bu shuni anglatadiki, x0 kritik qiymatida bizda minimal nuqta bor.

Masalan, funksiyaning eng katta va eng kichik qiymatlarini topaylik

y (x) = 3sin (x) - 0,5x

vaqti -vaqti bilan:

Shunday qilib, funktsiyaning hosilasi

y? (x) = 3cos (x) - 0,5

3cos (x) - 0,5 = 0 tenglamani yechish

cos (x) = 0,5 / 3 = 0,16667

x = ± arkos (0,16667) + 2πk.

[-9 oralig'idagi kritik nuqtalarni toping. to'qqiz]:

x = arccos (0.16667) - 2π * 2 = -11.163 (intervalga kiritilmagan)

x = -arccos (0.16667) -2π * 1 = -7.687

x = arkos (0.16667) - 2π * 1 = -4.88

x = -arccos (0.16667) + 2π * 0 = -1.403

x = arkos (0.16667) + 2π * 0 = 1.403

x = -arccos (0.16667) + 2π * 1 = 4.88

x = arkos (0.16667) + 2π * 1 = 7.687

x = -arccos (0.16667) + 2π * 2 = 11.163 (intervalga kiritilmagan)

Biz argumentning kritik qiymatlarida funktsiya qiymatlarini topamiz:

y (-7.687) = 3cos (-7.687)-0.5 = 0.885

y (-4.88) = 3cos (-4.88)-0.5 = 5.398

y (-1.403) = 3cos (-1.403) -0.5 = -2.256

y (1.403) = 3cos (1.403) - 0.5 = 2.256

y (4.88) = 3cos (4.88) - 0.5 = -5.398

y (7.687) = 3cos (7.687) - 0.5 = -0.885

Ko'rinib turibdiki, [-9 oralig'ida; 9], funktsiya x = -4.88 da eng katta qiymatga ega:

x = -4.88, y = 5.398,

va eng kichigi - x = 4.88 da:

x = 4.88, y = -5.398.

[-6 oralig'ida; -3] bizda faqat bitta muhim nuqta bor: x = -4.88. Funktsiyaning x = -4.88 dagi qiymati y = 5.398 ga teng.

Interval oxiridagi funktsiyaning qiymatini toping:

y (-6) = 3cos (-6)-0,5 = 3,838

y (-3) = 3cos (-3)-0.5 = 1.077

[-6 oralig'ida; -3] bizda funksiyaning eng yuqori qiymati bor

y = 5.398 x = -4.88 da

eng kichik qiymat

x = -3 da y = 1.077

Funktsiya grafigining burilish nuqtalarini qanday topish va qavariq va qavariq tomonlarini aniqlash mumkin?

Ikki o'zgaruvchili funktsiyani ekstremalini qanday topish mumkin?

F (x, y) funktsiyasining tayinlanish diapazonida farqlanishini topish uchun sizga kerak:

1) muhim nuqtalarni toping va buning uchun - tenglamalar tizimini eching

fx? (x, y) = 0, fu? (x, y) = 0

2) har bir muhim nuqta uchun R0 (a; b) farqning belgisi yoki yo'qligini tekshiring

Ko'p sonli argumentlar uchun funktsiya ekstremalligi xuddi shunday aniqlanadi.

Gerkules kim?
Qadimgi yunon mifologiyasidagi Gerkules - buyuk qahramon, xudo Zevs va Alkmenning o'g'li, Teban qiroli Amfitryonning xotini. Tug'ilganda unga Altsid deb ism qo'yishdi. Bu bir necha bor "Iliada" da (II 658 va boshqalar) Gerkules haqidagi ko'plab afsonalar orasida afsonalar tsikli haqida aytilgan.

Nigeriyaning pullari nima deb ataladi
Mamlakat nomi Ism - pul / savdo chipi Avstraliya Avstraliya dollari / sent Avstriya Avstriya shillingi / tiyin - evro Ozarbayjon Manat Albaniya Lek / Kindarka Jazoir Jazoir dinari / santimo Argentina Argentina Avstraliya evro Bolgariya Lev / stotinka

Sariq isitma nima
Barcha ma'lumotlar faqat ma'lumot olish uchun berilgan. Faqat shifokor to'g'ri tashxis qo'yishi va tegishli davolanishni buyurishi mumkin! Sariq isitma (amarilloz)-virusli etiologiyaning, gemorragik vektorli, Afrika va Janubiy Amerikadagi tropik zooantroponoz kasalligi. Chivin chaqishi bilan yuqadi. Inkubus belgilari

Smallville 6 mavsumining 12 -qismida qanday qo'shiqlar ijro etiladi
Smallville 6 mavsumida yigirma qism bor. Promo -musiqa: APM Music - Dark Bells (1:55); Blok partiyasi - ibodat (3:44). 3 -qism: quriydi: T.

FIFA Ferens Pushkash mukofoti nima
FIFA Puskas mukofoti - FIFA tomonidan 2009 yil 20 oktyabrda ta'sis etilgan mukofot. Mukofot yilning eng chiroyli golini urgan futbolchiga (jinsidan qat'i nazar) beriladi. Mukofot Vengriyaning 50 -yillardagi buyuk oltin jamoasi sardori Ferens Pushkash sharafiga berilgan. Birinchi marosim

Nima uchun tosh davri "tosh" deb nomlangan
Insoniyat tarixining dastlabki davrida tosh asboblar asosan ishlatilgan, shuning uchun uni tosh davri deb atashgan. Zamonaviy tasnifga ko'ra, tosh davri quyidagilarga bo'linadi: qadimgi tosh yoki paleolit, inson paydo bo'lgan paytdan (miloddan avvalgi 2,5 million yildan ortiq) va miloddan avvalgi 10 ming yillikka to'g'ri keladi. NS .; o'rta tosh, mezolit: 10-ming yillik

1. Uyali telefon raqami orqali egasining ma'lumotlarini (familiyasi, ismi, otasining ismi) bilish uchun siz razvedka xodimlari yoki davlat idoralariga murojaat qilishingiz mumkin. Razvedka xodimlari jinoyatchi qo'lga olinganda yoki terrorchilik harakati fosh bo'lgan taqdirda uyali aloqa operatori ma'lumotlaridan foydalanishlari mumkin. 2. Siz shaxsiy detektivni yollashingiz mumkin. Xususiy detektivlar odatda "

Qanday dorilar doping dorilar
Ismning o'zi - doping inglizcha dope so'zidan kelib chiqqan - bu dori berish degan ma'noni anglatadi. Xalqaro Olimpiya Qo'mitasi Tibbiy Komissiyasining ta'rifiga ko'ra, doping - sportchilarning tanasiga har qanday usulda (in'ektsiya, planshetlar, inhaliyalar va h.k.) farmakologik dori -darmonlarni sun'iy ravishda oshirib yuborish hisoblanadi. va sport ko'rsatkichlari. bundan mustasno

Dunyodagi eng katta g'or qachon va kim tomonidan topilgan?
Dunyodagi eng katta g'or Son Dong, Vyetnamning Fong Nya Kebang milliy bog'ida, mamlakat poytaxti Xanoydan 500 km janubda joylashgan. G'orning uzunligi taxminan 9 km. Shu bilan birga, uning balandligi 200 m, kengligi 150 m ga etadi.G'or hajmi 38,5 million m3 ga baholanadi. G'or birinchi marta a

Nima uchun koinot kengaymoqda deb ishoniladi
Birinchidan, shuni ta'kidlash kerakki, "koinot" atamasini ishlatish, shuningdek uning kuzatilgan xususiyatlarini muhokama qilish, faqat 100 megaparsekdan oshadigan kosmik shkaladan boshlanishi mantiqiy, chunki yuzlab megaparsek masofalarga qadar. koinot tuzilmalari galaktika klasterlari sifatida (1 parsek = 3.085 va middo

Rus tilining qaysi grammatik lug'ati Rossiya Federatsiyasida rasmiy hisoblanadi
Rossiya Federatsiyasining davlat tili sifatida ishlatilganda zamonaviy rus adabiy tili normalarini o'z ichiga olgan grammatikalar, lug'atlar va ma'lumotnomalar ro'yxati: 1. Rus tilining imlo lug'ati. Bukchina B.Z., Sazonova I.K., Cheltsova L.K. - M.: "AST -PRESS", 2008. - 128

Funktsiyaning ekstremumi nima va ekstremum uchun zarur shart nima?

Funktsiyaning ekstremum funktsiyasi maksimal va minimal deb ataladi.

Bu shart zarur, lekin etarli emas. X = a nuqtadagi lotin abadiy yo'q bo'lib ketishi mumkin, yoki bu vaqtda ekstremum funktsiyasiz mavjud bo'lmaydi.

Funktsiyaning ekstremumi uchun etarli shart (maksimal yoki minimal) nima?

Birinchi shart:

Agar x = a nuqtaga etarlicha yaqin bo'lsa, f? (X) lotin a -ning chap tomonida musbat va a -ning o'ng tomonida manfiy bo'lsa, u holda x = a nuqtada f (x) funktsiyasi mavjud. maksimal

Buning o'rniga, funktsiyaning ekstremumi uchun ikkinchi etarli shartni ishlatishingiz mumkin:

Funktsiyaning burilish nuqtasi nima va uni qanday topish mumkin?

Masalan, topaylik ekstremal parabola.

Y (x) = 3x2 + 2x - 50 funktsiyasi.

Funktsiyaning hosilasi: y? (X) = 6x + 2

Tenglamani echish: y? (X) = 0

6x + 2 = 0.6x = -2, x = -2 / 6 = -1/3

y0 = 3 * ( - 1/3) 2 + 2 * ( - 1/3) - 50 = 3 * 1/9 - 2/3 - 50 = 1/3 - 2/3 - 50 = -1/3 - 50 = -50.333.

Funktsiyaning maksimal va minimalini qanday aniqlash mumkin, ya'ni. uning eng katta va eng kichik qiymatlari?

Ko'rib chiqilgan misol uchun:

Biz tanqidiy nuqtaning chap tomonidagi argumentning ixtiyoriy qiymatini olamiz: x = -1

X = -1 bo'lganda, hosilaning qiymati y bo'ladi? ( -1) = 6 * ( -1) + 2 = -6 + 2 = -4 (ya'ni belgisi "minus").

Endi biz tanqidiy nuqtaning o'ng tomonidagi argumentning ixtiyoriy qiymatini olamiz: x = 1

X = 1 bo'lganda, hosilaning qiymati y (1) = 6 * 1 + 2 = 6 + 2 = 8 bo'ladi (ya'ni belgisi "plyus").

Ko'rib turganingizdek, lotin tanqidiy nuqtadan o'tishda o'z belgisini minusdan plyusga o'zgartirdi. Bu shuni anglatadiki, x0 kritik qiymatida bizda minimal nuqta bor.

Masalan, funksiyaning eng katta va eng kichik qiymatlarini topaylik

y (x) = 3sin (x) - 0,5x

vaqti -vaqti bilan:

Shunday qilib, funktsiyaning hosilasi

y? (x) = 3cos (x) - 0,5

3cos (x) - 0,5 = 0 tenglamani yechish

cos (x) = 0,5 / 3 = 0,16667

x = ± arkos (0,16667) + 2πk.

[-9 oralig'idagi kritik nuqtalarni toping. to'qqiz]:

x = arccos (0.16667) - 2π * 2 = -11.163 (intervalga kiritilmagan)

x = -arccos (0.16667) -2π * 1 = -7.687

x = arkos (0.16667) - 2π * 1 = -4.88

x = -arccos (0.16667) + 2π * 0 = -1.403

x = arkos (0.16667) + 2π * 0 = 1.403

x = -arccos (0.16667) + 2π * 1 = 4.88

x = arkos (0.16667) + 2π * 1 = 7.687

x = -arccos (0.16667) + 2π * 2 = 11.163 (intervalga kiritilmagan)

Biz argumentning kritik qiymatlarida funktsiya qiymatlarini topamiz:

y (-7.687) = 3cos (-7.687)-0.5 = 0.885

y (-4.88) = 3cos (-4.88)-0.5 = 5.398

y (-1.403) = 3cos (-1.403) -0.5 = -2.256

y (1.403) = 3cos (1.403) - 0.5 = 2.256

y (4.88) = 3cos (4.88) - 0.5 = -5.398

y (7.687) = 3cos (7.687) - 0.5 = -0.885

Ko'rinib turibdiki, [-9 oralig'ida; 9], funktsiya x = -4.88 da eng katta qiymatga ega:

x = -4.88, y = 5.398,

va eng kichigi - x = 4.88 da:

x = 4.88, y = -5.398.

[-6 oralig'ida; -3] bizda faqat bitta muhim nuqta bor: x = -4.88. Funktsiyaning x = -4.88 dagi qiymati y = 5.398 ga teng.

Interval oxiridagi funktsiyaning qiymatini toping:

y (-6) = 3cos (-6)-0,5 = 3,838

y (-3) = 3cos (-3)-0.5 = 1.077

[-6 oralig'ida; -3] bizda funksiyaning eng yuqori qiymati bor

y = 5.398 x = -4.88 da

eng kichik qiymat

x = -3 da y = 1.077

Funktsiya grafigining burilish nuqtalarini qanday topish va qavariq va qavariq tomonlarini aniqlash mumkin?

Ikki o'zgaruvchili funktsiyani ekstremalini qanday topish mumkin?

F (x, y) funktsiyasining tayinlanish diapazonida farqlanishini topish uchun sizga kerak:

1) muhim nuqtalarni toping va buning uchun - tenglamalar tizimini eching

fx? (x, y) = 0, fu? (x, y) = 0

2) har bir muhim nuqta uchun R0 (a; b) farqning belgisi yoki yo'qligini tekshiring

Ko'p sonli argumentlar uchun funktsiya ekstremalligi xuddi shunday aniqlanadi.

Xonanda Mikki Nyuton va uning guruhining rasmiy sayti
Yangi Ukraina mo''jizasi - Mika Nyuton! Bu 5 qismli pop-rokda o'ynaydigan, hayotdan zavq oladigan, g'ayratli va bu hayotga ijobiy nuqtai nazar bilan qaraydigan guruh. Yigitlar hozir yashayotgan Kievda yig'ilishdi. Yigitlar hech qachon musiqa va hayotning standart asoslariga qo'shilmaydilar, ularning yangi ovozini kashf etdilar va har xil standartlarni buzdilar. Guruh sardori -

Mililitrni kubometrga qanday o'zgartirish mumkin
SI uzunligining asosiy birligi - bu metr. Bunga asoslanib, asosiy hajm birligi kubometr yoki u deyilganidek, kubometr yoki kub deb hisoblanishi kerak. Bu qirralari bir metrga teng bo'lgan kubning hajmi. Biroq, amalda, hajmni kubometr bilan ifodalash har doim ham qulay emas. Masalan, xonaning hajmini kubometrda ifodalash qulay: ko uzunligini ko'paytiring

Irmikning kaloriya tarkibi qanday?
Ovqatning kaloriya tarkibi, kaloriya jadvali. Odamning energiyaga bo'lgan ehtiyoji kilokalori (kkal) bilan o'lchanadi. "Kaloriya" so'zi lotin tilidan kelib chiqqan va "iliqlik" degan ma'noni anglatadi. Fizikada energiya kaloriya bilan o'lchanadi. Bir kilokaloriya shunchalik ko'p energiya

Adabiyotda realizmning rivojlanish bosqichlari qanday
Realizm (lot. Material, real) - adabiyot va san'atning tendentsiyasi bo'lib, u o'ziga xos xususiyatlarida haqiqatni haqiqatdan takrorlashga qaratilgan. Umumiy belgilar: hayot hodisalarining mohiyatiga mos keladigan, hayotni tasvirlarda badiiy tasvirlash. Haqiqat - bu insonning o'zi va atrofidagi dunyoni bilish vositasi. Yozish

Berkelium va davriy jadvalning 117 -elementi o'rtasidagi munosabatlar qanday?
Berkelium, Berkelium, Bk - davriy jadvalning 97 -elementi. 1949 yil dekabrda Berkli Kaliforniya universitetida Tompson, Gyorso va Seaborg tomonidan kashf etilgan. Alfa zarrachalari bilan 241Am nurlanishida ular 243Bk berkelium izotopini olishdi. Bk terbiyaga tizimli o'xshashligi borligi sababli, uning ismini janob Ytterbi olgan

Donishmand Yaroslavni nima mashhur qildi
Donishmand Yaroslav (980-1054), Kiev Buyuk Gertsogi (1019). Vladimir I Svyatoslavovichning o'g'li. U Svyatopolk la'natini quvib chiqardi, ukasi Mstislav bilan jang qildi, davlatni u bilan bo'lindi (1025), 1035 yilda u yana birlashdi. Bir qator g'alabalar Rossiyaning janubiy va g'arbiy chegaralarini mustahkamladi. Evropaning ko'plab mamlakatlari bilan sulolaviy aloqalar o'rnatildi

"Achchiq!" Baqirish odati qanday paydo bo'ldi?
Uzoq vaqt oldin to'y paytida: "Achchiq!" Deb baqirish odat tusiga kirgan, yangi turmush qurganlarni o'rnidan turib o'pishga majbur qilgan. Bugungi kunda ko'pchilik bu marosimning ma'nosi nima ekanligini ham bilishmaydi, qadimda to'ylarda "Achchiq!" A

Laringitning belgilari qanday?
Laringit (qadimgi yunon tilidan λ? Ρυγξ - gırtlak) - bu tomoqning yallig'lanishi bo'lib, odatda shamollash yoki qizamiq, qizil olov, ko'k yo'tal kabi yuqumli kasalliklar bilan bog'liq. Kasallikning rivojlanishi gipotermiya, og'iz orqali nafas olish, chang bilan targ'ib qilinadi

Faqat ko'plik shakliga ega bo'lgan otlar uchun jins va pasayish aniqlanganmi?
Raqam - bu ob'ektning miqdoriy xususiyatlarini ifodalovchi grammatik kategoriya. 1. Ismlarning ko'pchiligi raqamlarda o'zgaradi, ya'ni. ikki shaklga ega - birlik va ko'plik. Yakka shaklda ot bitta ob'ektni, ko'plik shaklida bir nechta narsalarni bildiradi:

Nima uchun rus pyuresi foydali?
Karabuğday pyuresi Karabuğday - maxsus don. Undan, ehtimol, eng foydali donlardan biri chiqadi. Biz buni birinchi deb atashimiz ajablanarli emas. Karabuğday tarkibida tolalar, vitaminlar to'plami - E, PP, B1, B2, foliy va organik kislotalar, shuningdek kraxmalning ko'p foizi mavjud bo'lib, bu kerakli miqdordagi neolarni yutilishiga yordam beradi.

Arxangelsk shahrining interaktiv xaritasini quyidagi saytlarda ko'rish mumkin: Map1 - sun'iy yo'ldosh va standart xarita; Map2 - standart xarita (1: 350,000); Map3 - ko'cha nomlari, uy raqamlari bor, siz ko'cha bo'ylab qidirishingiz mumkin; Map4 - ko'cha nomlari ko'rsatilgan xaritaMap5 - shaharning interaktiv xaritasi; Map6 - shaharning interaktiv xaritasi.

Funktsiyaning ekstremum nuqtasi - bu funktsiya sohasidagi nuqta, unda funktsiya qiymati minimal yoki maksimal qiymatga ega bo'ladi. Funktsiyaning bu nuqtalardagi qiymatlari funksiyaning ekstremal (minimal va maksimal) deyiladi.

Ta'rif... Nuqta x1 funktsiya maydoni f(x) deyiladi funktsiyaning maksimal nuqtasi , agar bu vaqtda funktsiyaning qiymati uning etarlicha yaqin nuqtalaridagi funktsiyadan kattaroq bo'lsa, uning o'ng va chap tomonida joylashgan (ya'ni tengsizlik) f(x0 ) > f(x 0 + Δ x) x1 maksimal

Ta'rif... Nuqta x2 funktsiya maydoni f(x) deyiladi funktsiyaning minimal nuqtasi, agar bu vaqtda funktsiyaning qiymati uning etarlicha yaqin nuqtalaridagi funktsiyaning qiymatlaridan past bo'lsa, uning o'ng va chap tomonida joylashgan (ya'ni tengsizlik) f(x0 ) < f(x 0 + Δ x) ). Bunday holda, funktsiya nuqtada bo'lishi aytiladi x2 eng kam.

Aytaylik, nuqta x1 bu funksiyaning maksimal nuqtasi f(x). Keyingacha bo'lgan intervalda x1 funktsiyasi oshadi, shuning uchun funktsiyaning hosilasi noldan katta ( f "(x)> 0), va keyin intervalda x1 funktsiya kamayadi, shuning uchun va funksiyaning hosilasi noldan kam ( f "(x) < 0 ). Тогда в точке x1

Keling, nuqta ham shunday deb taxmin qilaylik x2 funktsiyaning minimal nuqtasi hisoblanadi f(x). Keyingacha bo'lgan intervalda x2 funktsiya kamayadi va funksiyaning hosilasi noldan kichik ( f "(x) < 0 ), а в интервале после x2 funktsiya ortadi va funksiyaning hosilasi noldan katta ( f "(x)> 0). Bu holatda, shuningdek, nuqtada x2 funktsiyaning hosilasi nolga teng yoki mavjud emas.

Ferma teoremasi (funktsiyaning ekstremum mavjudligi uchun zarur mezon)... Agar nuqta bo'lsa x0 funksiyaning ekstremum nuqtasi hisoblanadi f(x), keyin bu vaqtda funktsiyaning hosilasi nolga teng bo'ladi ( f "(x) = 0) yoki mavjud emas.

Ta'rif... Funktsiyaning hosilasi nolga teng bo'lgan yoki mavjud bo'lmagan nuqtalar deyiladi tanqidiy fikrlar .

Misol 1. Keling, funktsiyani ko'rib chiqaylik.

Nuqtada x= 0, funktsiyaning hosilasi nolga teng, shuning uchun nuqta x= 0 - muhim nuqta. Ammo, funktsiya grafigidan ko'rinib turibdiki, u butun ta'rif sohasida oshadi, shuning uchun nuqta x= 0 bu funksiyaning ekstremum nuqtasi emas.

Shunday qilib, funktsiya nuqtasida nolga teng bo'lgan yoki mavjud bo'lmagan shartlar ekstremum uchun zarur shartlardir, ammo bu etarli emas, chunki bu shartlar bajarilgan boshqa funktsiyalar misollari mavjud, lekin funktsiya mavjud emas. tegishli nuqtada ekstremum berilishi mumkin. Shunung uchun sizda etarli belgilar bo'lishi kerak ma'lum bir tanqidiy nuqtada ekstremum bor yoki yo'qligini va qaysi biri maksimal yoki minimal ekanligini aniqlashga imkon beradi.

Teorema (funksiyaning ekstremum borligi uchun birinchi yetarli mezon). Muhim nuqta x0 f(x), agar bu nuqtadan o'tishda funktsiyaning hosilasi belgini o'zgartirsa va agar belgi "plyus" dan "minus" ga o'zgarsa, u holda maksimal nuqta, agar "minus" dan "plyus" gacha bo'lsa, u holda minimal nuqta .

Agar nuqta yaqinida bo'lsa x0 , uning chap va o'ng tomonida, lotin belgisi saqlanib qoladi, bu shuni anglatadiki, funktsiya nuqtaning ba'zi bir chekkasida faqat kamayadi yoki faqat ortadi. x0 ... Bu holatda, nuqtada x0 ekstremallik yo'q.

Shunday qilib, funksiyaning ekstremum nuqtalarini aniqlash uchun quyidagilarni bajarish kerak :

Funktsiyaning hosilasini toping.
Derivativni nolga qo'ying va muhim nuqtalarni aniqlang.
Aqliy yoki qog'ozda, son o'qida tanqidiy nuqtalarni belgilang va olingan intervallarda funktsiya hosilasining belgilarini aniqlang. Agar lotin belgisi "plyus" dan "minus" ga o'zgarsa, kritik nuqta - bu maksimal nuqta, agar "minus" dan "plyus" gacha bo'lsa, u holda minimal nuqta.
Ekstremal nuqtalarda funktsiyaning qiymatini hisoblang.

2 -misol. Funktsiyaning ekstremalini toping .

Yechim. Funktsiyaning hosilasini topamiz:

Kritik nuqtalarni topish uchun lotinni nolga qo'yaylik:

"X" ning har qanday qiymatlari uchun maxraj nolga teng bo'lmaganligi uchun, biz hisoblagichni nolga tenglashtiramiz:

Bir burilish nuqtasi bor x= 3. Keling, shu nuqta bilan ajratilgan vaqt oralig'ida lotin belgisini aniqlaylik:

minus cheksizlikdan 3gacha - minus belgisi, ya'ni funktsiya pasayadi,

3 dan ortiqcha cheksizlik oralig'ida - plyus belgisi, ya'ni funksiya ortadi.

Ya'ni, nuqta x= 3 - bu minimal nuqta.

Funktsiyaning qiymatini minimal nuqtada topamiz:

Shunday qilib, funktsiyaning ekstremum nuqtasi topiladi: (3; 0) va u minimal nuqta.

Teorema (funktsiya ekstremumining mavjudligining ikkinchi etarli mezoni). Muhim nuqta x0 funksiyaning ekstremum nuqtasi hisoblanadi f(x) agar bu vaqtda funktsiyaning ikkinchi hosilasi nolga teng bo'lmasa ( f ""(x) ≠ 0), va agar ikkinchi lotin noldan katta bo'lsa ( f ""(x)> 0), keyin maksimal nuqta va agar ikkinchi lotin noldan kichik bo'lsa ( f ""(x) < 0 ), то точкой минимума.

Izoh 1. Agar nuqtada bo'lsa x0 ham birinchi, ham ikkinchi lotinlar yo'q bo'lib ketadi, keyin bu nuqtada ekstremum borligini ikkinchi etarli mezon asosida baholash mumkin emas. Bunday holda, funktsiya ekstremumining birinchi etarli ko'rsatkichidan foydalanish kerak.

Izoh 2. Funktsiyaning ekstremumi uchun ikkinchi etarli mezon, agar birinchi lotin turg'un nuqtada bo'lmasa (keyin ikkinchi lotin ham mavjud bo'lmasa), amal qilmaydi. Bunday holda, funktsiya ekstremumining birinchi etarlicha ko'rsatkichidan foydalanish ham zarur.

Funktsiya ekstremalining mahalliy xarakteri

Yuqoridagi ta'riflardan kelib chiqadiki, funktsiyaning ekstremumi mahalliy xarakterga ega - bu funksiyaning eng yaqin qiymatlari bilan solishtirganda eng katta va eng kichik qiymati.

Aytaylik, siz bir yil davomida daromadingizni ko'rib turibsiz. Agar siz may oyida 45000 rubl, aprelda 42000 rubl va iyun oyida 39000 rubl ishlab topgan bo'lsangiz, may oyidagi daromad - bu eng yaqin qiymatlarga nisbatan daromad funktsiyasining maksimal qiymati. Ammo oktyabr oyida siz 71000 rubl, sentyabrda 75000 rubl va noyabrda 74000 rubl ishlab topdingiz, shuning uchun oktyabr oyidagi daromadingiz yaqin atrofdagi ko'rsatkichlarga nisbatan daromad funktsiyasining minimalidir. Siz osongina ko'rishingiz mumkinki, aprel-may-iyun oylari orasidagi maksimal qiymat sentyabr-oktyabr-noyabr minimal darajasidan past.

Umuman aytganda, funktsiya oralig'ida bir nechta qo'shimcha bo'lishi mumkin va ma'lum bo'lishicha, funksiyaning minimal har qanday maksimalidan kattaroqdir. Shunday qilib, yuqoridagi rasmda ko'rsatilgan funktsiya uchun.

Ya'ni, funktsiyaning maksimal va minimal qiymati mos ravishda uning ko'rib chiqilgan vaqt oralig'idagi eng katta va eng kichik qiymatlari deb o'ylamaslik kerak. Maksimal nuqtada, funktsiya maksimal nuqtaga etarlicha yaqin bo'lgan barcha nuqtalarga nisbatan eng katta qiymatga ega, va minimal nuqtada - bu qiymatlar bilan solishtirganda eng kichik qiymat. u hamma nuqtalarda minimal nuqtaga etarlicha yaqin.

Demak, funksiyaning ekstremum nuqtalari haqidagi yuqoridagi kontseptsiyani takomillashtirish va minimal nuqtalarni mahalliy minimal nuqtalar, maksimal nuqtalarni esa mahalliy maksimal nuqtalar deb atash mumkin.

Birgalikda funktsiya ekstremalini qidirmoqdamiz

Misol 3.

Yechish: funktsiya butun sonli chiziqda aniqlangan va uzluksiz. Uning hosilasi butun sonli qatorda ham mavjud. Shuning uchun, bu holda, muhim nuqtalar faqat shu nuqtalarda, ya'ni. , qaerdan va. Tanqidiy nuqtalar va funktsiyaning butun maydonini uchta monotonlik oralig'iga bo'ling: Keling, ularning har birida bitta nazorat nuqtasini tanlaymiz va shu nuqtada lotin belgisini topamiz.

Interval uchun nazorat nuqtasi quyidagicha bo'lishi mumkin: toping. Intervalda nuqta olsak, biz olamiz va intervalda nuqta olsak, bizda bor. Shunday qilib, intervallarda va, va intervalda. Ekstremum uchun etarlicha birinchi mezonga ko'ra, nuqtada hech qanday ekstremum yo'q (chunki lotin intervalda o'z belgisini saqlab qoladi) va nuqtada funktsiya minimal bo'ladi (chunki lotin o'tish paytida minusdan plyusgacha o'zgaradi. bu nuqta orqali). Funktsiyaning mos keladigan qiymatlarini topaylik :, a. Intervalda funksiya shu intervalda bo'lgani kabi kamayadi va bu intervalda bo'lgani kabi intervalda ham oshadi.

Grafikning tuzilishiga aniqlik kiritish uchun uning koordinata o'qlari bilan kesishgan nuqtalarini topamiz. Chunki, biz tenglamani olamiz, uning ildizlari va ya'ni funktsiya grafigining ikkita nuqtasi (0; 0) va (4; 0) topilgan. Olingan barcha ma'lumotlardan foydalanib, biz grafik tuzamiz (misol boshiga qarang).

Misol 4. Funktsiyaning ortiqcha qismini toping va uning grafigini tuzing.

Funktsiyaning sohasi butun sonli chiziq bo'lib, nuqta bundan mustasno, ya'ni. ...

Tadqiqotni qisqartirish uchun siz bu funktsiyani bir tekisda ishlatishingiz mumkin, chunki ... Shuning uchun uning grafigi o'qi atrofida nosimmetrikdir Oy va qidirish faqat ma'lum vaqt oralig'ida amalga oshirilishi mumkin.

Derivativni toping va funktsiyaning muhim nuqtalari:

1) ;

2) ,

lekin bu vaqtda funktsiya uziladi, shuning uchun u ekstremum nuqta bo'la olmaydi.

Shunday qilib, berilgan funktsiya ikkita muhim nuqtaga ega: va. Funktsiyaning tengligini inobatga olgan holda, faqat nuqtani ekstremumning ikkinchi etarli mezoni bo'yicha tekshirib ko'raylik. Buning uchun biz ikkinchi lotinni topamiz va uning belgisini aniqlang: biz olamiz. Beri va, keyin funktsiyaning minimal nuqtasi, while .

Funktsiya grafigi haqida to'liq tasavvurga ega bo'lish uchun uning ta'rif doirasi chegarasidagi xatti -harakatlarini bilib olaylik:

(bu erda belgi xohishni bildiradi x o'ngda nolga va x ijobiy bo'lib qoladi; xuddi shunday intilish degan ma'noni anglatadi x chapda nolga va x salbiy bo'lib qoladi). Shunday qilib, agar, keyin. Bundan tashqari, biz topamiz