Ertami-kechmi, hamma eng katta raqam nima degan savol bilan qiynaladi. Bolaning savoliga millionlab javob berish mumkin. Keyingisi nima? Trillion. Va undan ham uzoqmi? Aslida, eng katta raqamlar nima degan savolga javob oddiy. Siz faqat bittani eng katta raqamga qo'shishingiz kerak, chunki u endi eng katta bo'lmaydi. Ushbu protsedura cheksiz davom ettirilishi mumkin. Bular. bu dunyodagi eng katta raqam emasmi? Bu cheksizlikmi?

Va agar siz savol bersangiz: mavjud bo'lgan eng katta raqam nima va uning nomi nima? Endi hammamiz bilib olamiz ...

Raqamlarni nomlashning ikkita tizimi mavjud - Amerika va ingliz.

Amerika tizimi juda oddiy. Katta sonlarning barcha nomlari quyidagicha tuzilgan: boshida lotincha tartib raqami, oxirida esa million qo‘shimchasi qo‘shiladi. Istisno - bu ming raqamining nomi bo'lgan "million" nomi (lat. mil) va ortib borayotgan qo'shimcha - million (jadvalga qarang). Raqamlar shu tarzda olinadi - trillion, kvadrilion, kvintillion, sextillion, septillion, oktillion, nonillion va decillion. Amerika tizimi AQSh, Kanada, Frantsiya va Rossiyada qo'llaniladi. Siz 3 x + 3 oddiy formuladan foydalanib, Amerika tizimida yozilgan sondagi nol sonini bilib olishingiz mumkin (bu erda x lotin raqamidir).

Inglizcha nomlash tizimi dunyodagi eng keng tarqalgan. U, masalan, Buyuk Britaniya va Ispaniyada, shuningdek, sobiq ingliz va ispan koloniyalarining ko'pchiligida qo'llaniladi. Ushbu tizimdagi raqamlar nomlari quyidagicha tuzilgan: shuning uchun: lotin raqamiga million qo'shimchasi qo'shiladi, keyingi raqam (1000 marta katta) tamoyilga muvofiq - bir xil lotin raqami, lekin qo'shimchasi ​-milliard. Ya'ni, ingliz tizimida trilliondan keyin trillion va shundan keyingina kvadrillion, undan keyin kvadrillion va hokazo. Shunday qilib, ingliz va amerika tizimlarida kvadrillion butunlay boshqa raqamlardir! Ingliz tizimida yozilgan va million qo'shimchasi bilan tugaydigan sondagi nollar sonini 6 x + 3 formulasi (bu erda x lotin raqami) va bilan tugaydigan raqamlar uchun 6 x + 6 formulasi bo'yicha bilib olishingiz mumkin. -milliard.

Ingliz tili tizimidan rus tiliga faqat milliard (10 9) raqami o'tdi, buni amerikaliklar shunday deb atash to'g'riroq bo'ladi - milliard, chunki bu bizning mamlakatimizda Amerika tizimi qabul qilingan. Ammo bizning mamlakatimizda kim qonun-qoidalarga muvofiq ish qiladi! 😉 Aytgancha, ba'zida trillion so'zi rus tilida ham qo'llaniladi (Google yoki Yandex'da qidirish orqali o'zingiz ko'rishingiz mumkin) va bu, aftidan, 1000 trillion, ya'ni. kvadrillion.

Amerika yoki ingliz tizimiga ko'ra lotin prefikslari yordamida yozilgan raqamlarga qo'shimcha ravishda, tizimdan tashqari raqamlar deb ataladigan raqamlar ham ma'lum, ya'ni. lotincha prefikssiz o'z nomlariga ega raqamlar. Bunday raqamlar bir nechta, ammo men ular haqida birozdan keyin batafsilroq gaplashaman.

Keling, lotin raqamlari yordamida yozishga qaytaylik. Ular raqamlarni cheksiz yozishlari mumkindek tuyuladi, ammo bu mutlaqo to'g'ri emas. Buning sababini tushuntiraman. Keling, avval 1 dan 10 33 gacha bo'lgan raqamlar qanday chaqirilishini ko'rib chiqaylik:

Shunday qilib, endi savol tug'iladi, keyin nima bo'ladi. Decillion ortida nima bor? Asosan, albatta, prefikslarni birlashtirib, bunday yirtqich hayvonlarni yaratish mumkin: andecillion, duodecillion, tredecillion, quattordecillion, quindecillion, sexdecillion, septemdecillion, octodecillion va novemdecillion, ammo bular biz allaqachon murakkab nomlar bo'lamiz. raqamlar bilan qiziqdilar. Shuning uchun, ushbu tizimga ko'ra, yuqoridagilarga qo'shimcha ravishda, siz hali ham faqat uchta tegishli nomni olishingiz mumkin - vigintillion (lat. viginti- yigirma), sentillion (lotdan. sentum- yuz) va million (lotdan. mil- bir ming). Rimliklarning raqamlar uchun mingdan ortiq o'z nomlari yo'q edi (mingdan ortiq barcha raqamlar kompozitsion edi). Masalan, rimliklar millionni (1 000 000) deb atashgan. decies centena milia, ya'ni "o'n yuz ming". Va endi, aslida, jadval:

Shunday qilib, bunday tizimga ko'ra, raqam 10 3003 dan katta bo'lib, uning o'ziga xos, qo'shma nomga ega bo'lishi mumkin emas! Ammo shunga qaramay, million milliondan ortiq raqamlar ma'lum - bu tizimdan tashqari raqamlar. Nihoyat, ular haqida sizga aytib beraylik.

Bunday eng kichik son son-sanoqsiz sondir (hatto Dahl lug‘atida ham bor), bu yuz yuz degan ma’noni anglatadi, ya’ni 10 000 umuman aniq sonni bildirmaydi, balki biror narsaning son-sanoqsiz, sanab bo‘lmaydigan to‘plamini bildiradi. Miriad so'zi Evropa tillariga qadimgi Misrdan kelgan deb ishoniladi.

Bu raqamning kelib chiqishi haqida turli xil fikrlar mavjud. Ba'zilar u Misrda paydo bo'lgan deb hisoblashadi, boshqalari esa faqat Qadimgi Yunonistonda tug'ilgan deb hisoblashadi. Haqiqatda ham shunday bo'lsin, lekin son-sanoqsiz odamlar yunonlar tufayli shuhrat qozondilar. Myriad 10 000 uchun nom edi, lekin o'n mingdan ortiq raqamlar uchun nomlar yo'q edi. Biroq, "Psammit" (ya'ni qum hisobi) eslatmasida Arximed qanday qilib tizimli ravishda o'zboshimchalik bilan katta raqamlarni qurish va nomlash mumkinligini ko'rsatdi. Jumladan, ko‘knori urug‘iga 10 000 (son-sanoqsiz) qum donalari qo‘yib, u Koinotda (diametri Yerning son-sanoqsiz diametrli shar) 1063 dan ortiq qum donalari sig‘masligini aniqlaydi (bizning yozuvimizda). Qizig'i shundaki, ko'rinadigan olamdagi atomlar sonining zamonaviy hisob-kitoblari 1067 raqamiga olib keladi (faqat son-sanoqsiz marta). Arximed raqamlar uchun quyidagi nomlarni taklif qildi:
1 ming = 104.
1 d-miriad = son-sanoqsiz = 108.
1 uch ming = di-miriad di-miriad = 1016.
1 tetra-miriad = uch-minglab uch-minglab = 1032.
va hokazo.

Googol (inglizcha googoldan) - o'ndan yuzinchi darajagacha, ya'ni birdan keyin yuz nol. Googol haqida birinchi marta 1938 yilda amerikalik matematik Edvard Kasner tomonidan Scripta Mathematica jurnalining yanvar sonidagi "Matematikada yangi nomlar" maqolasida yozilgan. Uning so‘zlariga ko‘ra, uning to‘qqiz yoshli jiyani Milton Sirotta katta raqamni “googol” deb atashni taklif qilgan. Bu raqam uning nomi bilan atalgan Google qidiruv tizimi tufayli mashhur bo'ldi. E'tibor bering, "Google" savdo belgisi, googol esa raqam.

Edvard Kasner.

Internetda siz ko'pincha Googol dunyodagi eng katta raqam ekanligini eslatib o'tishingiz mumkin - ammo bu unchalik emas ...

Miloddan avvalgi 100-yillarga oid Jayna Sutra haqidagi mashhur buddist risolasida asankheya soni (Ch. asenci- son-sanoqsiz), 10 140 ga teng. Bu raqam nirvanaga erishish uchun zarur bo'lgan kosmik tsikllar soniga teng ekanligiga ishoniladi.

Googolplex (ing. googolplex) - bu raqam Kasner va uning jiyani tomonidan ham ixtiro qilingan va googol nol bo'lgan bitta, ya'ni 10 10100 degan ma'noni anglatadi. Kasnerning o'zi bu "kashfiyot"ni shunday ta'riflaydi:

Hikmatli so'zlarni bolalar kamida olimlar kabi tez-tez aytadilar. "Googol" nomini bola (doktor Kasnerning to'qqiz yoshli jiyani) ixtiro qilgan bo'lib, undan juda katta raqamga nom o'ylab topishni so'rashgan, ya'ni undan keyin yuzta nol bo'lgan 1. Bu raqam cheksiz emasligiga ishonch hosil qilgan va shuning uchun ham uning nomi bo'lishi kerakligiga amin bo'lgan.U "googol" ni taklif qilar ekan, bir vaqtning o'zida yana kattaroq raqamga nom berdi: "Googolplex." Googolplex juda kattaroqdir. googol, lekin hali ham cheklangan, chunki ismning ixtirochisi tezda ta'kidlagan.

Matematika va tasavvur(1940) Kasner va Jeyms R. Nyuman tomonidan.

Googolplexdan ham kattaroq raqam, Skewes "soni, 1933 yilda Skewes tomonidan taklif qilingan (Skewes. J. London matematika. Soc. 8, 277-283, 1933.) tub sonlar haqidagi Riman gipotezasini isbotlashda. Bu shuni bildiradiki e darajada e darajada e 79-chi kuchga, ya'ni eee79. Keyinchalik Riele (te Riele, H. J. J. "Farq belgisi haqida P(x) -Li (x). Matematika. Hisoblash. 48, 323-328, 1987) Skewes sonini ee27 / 4 ga qisqartirdi, bu taxminan 8,18510370. Skuse raqamining qiymati raqamga bog'liqligi aniq e, u holda u butun son emas, shuning uchun biz uni hisobga olmaymiz, aks holda biz boshqa tabiiy bo'lmagan raqamlarni - pi, e va boshqalarni esga olishimiz kerak edi.

Ammo shuni ta'kidlash kerakki, ikkinchi Skuse raqami mavjud bo'lib, u matematikada Sk2 sifatida belgilanadi, bu birinchi Skuse raqamidan (Sk1) ham kattaroqdir. Ikkinchi Skuse raqami J. Skuse tomonidan xuddi shu maqolada Riemann gipotezasi haqiqiy bo'lmagan sonni ko'rsatish uchun kiritilgan. Sk2 101010103 ga teng, bu 1010101000.

Siz tushunganingizdek, darajalar soni qanchalik ko'p bo'lsa, raqamlarning qaysi biri kattaroq ekanligini tushunish shunchalik qiyin bo'ladi. Misol uchun, Skuse raqamlariga qarab, maxsus hisob-kitoblarsiz, bu ikki raqamdan qaysi biri kattaroq ekanligini tushunish deyarli mumkin emas. Shunday qilib, juda katta raqamlar uchun kuchlardan foydalanish noqulay bo'ladi. Bundan tashqari, daraja darajalari sahifaga to'g'ri kelmasa, bunday raqamlar haqida o'ylashingiz mumkin (va ular allaqachon ixtiro qilingan). Ha, qanday sahifa! Ular hatto butun olam hajmidagi kitobga ham sig'maydi! Bunday holda, ularni qanday yozish kerakligi haqida savol tug'iladi. Muammo, siz tushunganingizdek, echilishi mumkin va matematiklar bunday raqamlarni yozish uchun bir nechta tamoyillarni ishlab chiqdilar. To'g'ri, bu muammoni so'ragan har bir matematik o'ziga xos yozish usulini o'ylab topdi, bu esa raqamlarni yozishning bir-biriga bog'liq bo'lmagan bir nechta usullari mavjudligiga olib keldi - bular Knut, Konvey, Steynxaus va boshqalarning yozuvlari.

Gyugo Shtaynxausning yozuvini ko'rib chiqaylik (H. Steinhaus. Matematik suratlar, 3-nashr. 1983), bu juda oddiy. Stein House geometrik shakllar - uchburchak, kvadrat va doira ichiga katta raqamlarni yozishni taklif qildi:

Shtaynxaus ikkita yangi super-katta raqam bilan chiqdi. Raqamni Mega va raqamni Megiston deb nomladi.

Matematik Leo Mozer Stenxausning yozuvini takomillashtirdi, bu esa megistondan ancha katta raqamlarni yozish talab etilsa, qiyinchilik va noqulayliklar paydo bo'lishi bilan chegaralangan, chunki ko'plab doiralarni bir-birining ichiga chizish kerak edi. Mozer doiralarni emas, balki kvadratlardan keyin beshburchaklarni, keyin olti burchakli va hokazolarni chizishni taklif qildi. U, shuningdek, bu ko'pburchaklar uchun raqamlarni murakkab chizmalarsiz yozib olish uchun rasmiy belgilarni taklif qildi. Moserning yozuvi quyidagicha ko'rinadi:

• • n[k+1] = "n v n k-gons "= n[k]n.

Shunday qilib, Mozerning yozuviga ko'ra, Steinhouse mega 2, megiston esa 10 deb yoziladi. Bundan tashqari, Leo Mozer mega - megaagonga teng tomonlar soniga ega bo'lgan ko'pburchakni chaqirishni taklif qildi. Va u "Megagonda 2" raqamini taklif qildi, ya'ni 2. Bu raqam Moser raqami (Moser raqami) yoki oddiygina moser sifatida tanildi.

Ammo Mozer ham eng katta raqam emas. Matematik isbotlashda foydalanilgan eng katta son bu Graham soni deb nomlanuvchi cheklovchi miqdor boʻlib, birinchi marta 1977 yilda Ramsey nazariyasida bitta taxminni isbotlash uchun ishlatilgan. U bikromatik giperkublar bilan bogʻliq va uni ifodalab boʻlmaydi. 64 darajali maxsus tizimsiz 1976 yilda Knut tomonidan kiritilgan maxsus matematik belgilar.

Afsuski, Knut yozuvida yozilgan raqamni Mozer tizimiga o'tkazib bo'lmaydi. Shuning uchun biz ushbu tizimni ham tushuntirishimiz kerak. Aslida, bu erda ham murakkab narsa yo'q. Donald Knut (ha, ha, bu "Dasturlash san'ati" ni yozgan va TeX muharririni yaratgan o'sha Knut) yuqori daraja tushunchasini ixtiro qildi va u yuqoriga qaragan strelkalar bilan yozishni taklif qildi:

Umuman olganda, u quyidagicha ko'rinadi:

Menimcha, hamma narsa aniq, shuning uchun Gremning raqamiga qaytaylik. Graham G raqamlari deb ataladigan narsalarni taklif qildi:

G63 raqami Graham raqami sifatida ma'lum bo'ldi (ko'pincha u oddiygina G sifatida belgilanadi). Bu raqam dunyodagi ma'lum bo'lgan eng katta raqam va hatto Ginnesning rekordlar kitobiga kiritilgan.

Demak, Graham sonidan kattaroq raqamlar bormi? Albatta, Grahamning + 1 raqamidan boshlash kerak. Muhim raqamga kelsak ... matematikaning (xususan, kombinatorika deb nomlanuvchi soha) va informatikaning shaytoncha murakkab sohalari mavjud bo'lib, ularda raqamlar juft bo'ladi. Graham sonidan kattaroq bo'ladi. Ammo biz oqilona va tushunarli tushuntirish mumkin bo'lgan chegaraga deyarli etib keldik.

manbalar http://ctac.livejournal.com/23807.html
http://www.uznayvse.ru/interesting-facts/samoe-bolshoe-chislo.html
http://www.vokrugsveta.ru/quiz/310/

https://masterok.livejournal.com/4481720.html

Ba'zan matematikaga aloqasi bo'lmagan odamlar savol berishadi: eng katta raqam nima? Bir tomondan, javob aniq - cheksizlik. Bores hatto matematiklarning yozuvlarida "ortiqcha cheksizlik" yoki "+ ∞" ni ham aniqlab beradi. Ammo bu javob eng korroziyni ishontirmaydi, ayniqsa bu tabiiy raqam emas, balki matematik abstraktsiya. Ammo masalani yaxshi tushunib, ular o'zlari uchun qiziqarli muammoni ochishlari mumkin.

Darhaqiqat, bu holatda o'lchamning chegarasi yo'q, lekin inson tasavvurida chegara bor. Har bir raqamning nomi bor: o'n, yuz, milliard, sexmillion va boshqalar. Ammo odamlarning fantaziyasi qayerda tugaydi?

Google korporatsiyasining savdo belgilari bilan adashtirmaslik kerak, garchi ular umumiy kelib chiqishiga ega. Bu raqam 10100, ya'ni birdan keyin yuz nol sifatida yoziladi. Buni tasavvur qilish qiyin, lekin u matematikada faol ishlatilgan.

Uning farzandi matematik Edvard Kasnerning jiyani o'ylab topgani qiziq. 1938 yilda amakim o'zining kichik qarindoshlarini juda ko'p sonlar to'g'risida bahslar bilan xursand qildi. Bolaning g'azabiga ko'ra, bunday ajoyib raqamning nomi yo'qligi ma'lum bo'ldi va u o'z versiyasini berdi. Keyinroq amakim uni kitoblaridan biriga solib qo‘ygan, atama tiqilib qolgan.

Nazariy jihatdan googol natural sondir, chunki u hisoblash uchun ishlatilishi mumkin. Ammo oxirigacha hisoblash uchun hech kimning sabri topa olmaydi. Shuning uchun, faqat nazariy jihatdan.

Google nomiga kelsak, keng tarqalgan xatolik yuz berdi. Birinchi investor va hammuassislardan biri chekni yozayotganda shoshib qolgan va "O" harfini o'tkazib yuborgan, ammo uni naqd qilish uchun kompaniya aynan shu imlo variantidan foydalangan holda ro'yxatdan o'tishi kerak edi.

Googolplex

Bu raqam googoldan olingan, ammo undan sezilarli darajada kattaroqdir. "Plex" prefiksi asosiy raqamga teng kuchga o'nlab ko'tarishni anglatadi, shuning uchun gulopleks 10 dan 10 ning kuchiga 100 yoki 101000 ga teng.

Olingan raqam kuzatilishi mumkin bo'lgan koinotdagi zarralar sonidan oshib ketadi, bu 1080 daraja atrofida bo'ladi. Ammo bu olimlarga shunchaki "plex" prefiksini qo'shish orqali sonni ko'paytirishga to'sqinlik qilmadi: googolplexplex, googolplexplexplex va boshqalar. Va ayniqsa buzuq matematiklar uchun ular "pleks" prefiksini cheksiz takrorlanmasdan oshirish variantini ixtiro qildilar - ular oldiga oddiygina yunoncha raqamlarni qo'yishdi: tetra (to'rt), penta (besh) va hokazo, dekagacha ( o'n). Oxirgi variant googoldecaplexga o'xshaydi va 10 raqamini asosining kuchiga ko'tarish protsedurasining o'n baravar kümülatif takrorlanishini anglatadi. Asosiysi, natijani tasavvur qilmaslik. Buni amalga oshirish hali ham mumkin emas, lekin psixikaga shikast etkazish oson.

48-Mersen raqami

Bosh qahramonlar: Kuper, uning kompyuteri va yangi tub raqam

Nisbatan yaqinda, taxminan bir yil oldin, keyingi, 48-Mersen raqamini ochish mumkin edi. Hozirda u dunyodagi eng katta tub sondir. Eslatib o'tamiz, tub sonlar faqat bittaga va o'z-o'zidan qoldiqsiz bo'linadigan sonlardir. Eng oddiy misollar 3, 5, 7, 11, 13, 17 va hokazo. Muammo shundaki, o'rmonga qanchalik uzoq bo'lsa, bunday raqamlar kamroq topiladi. Ammo har birining keyingi kashfiyoti qanchalik qimmatlidir. Masalan, yangi tub son 17 425 170 ta raqamdan iborat bo'ladi, agar uni odatiy o'nlik sanoq sistemasi ko'rinishida ifodalasak. Avvalgisi taxminan 12 million belgidan iborat edi.

Uni amerikalik matematik Kertis Kuper kashf etgan va u uchinchi marta matematik jamoatchiligini bunday rekord bilan xursand qilgan. Natijasini sinab ko'rish va bu raqam haqiqatdan ham oddiy ekanligini isbotlash uchun uning shaxsiy kompyuteriga bor-yo'g'i 39 kun kerak bo'ldi.

Grem raqami Knutning o'q belgisida shunday yoziladi. Nazariy matematika bo'yicha tugallangan oliy ma'lumotsiz buni qanday tushunishni aytish qiyin. Uni odatiy o'nlik shaklida yozish ham mumkin emas: kuzatilishi mumkin bo'lgan koinot uni sig'dira olmaydi. Googolplexlarda bo'lgani kabi, darajaga qadar qilichbozlik ham variant emas.

Yaxshi formula, faqat tushunarsiz

Xo'sh, nima uchun sizga keraksiz ko'rinadigan bu raqam kerak? Birinchidan, qiziquvchilar uchun u Ginnesning rekordlar kitobiga kiritilgan va bu allaqachon juda ko'p. Ikkinchidan, u Ramsey muammosining bir qismi bo'lgan muammoni hal qilish uchun ishlatilgan, bu ham tushunarsiz, ammo jiddiy eshitiladi. Uchinchidan, bu raqam kulgili dalillar yoki intellektual o'yinlarda emas, balki juda aniq matematik muammoni hal qilish uchun matematikada ishlatilgan eng katta raqam sifatida tan olingan.

Diqqat! Quyidagi ma'lumotlar sizning ruhiy salomatligingiz uchun xavflidir! Uni o'qish orqali siz barcha oqibatlar uchun javobgarlikni o'z zimmangizga olasiz!

O'z aqlini sinab ko'rmoqchi bo'lganlar va Grahamning raqami haqida meditatsiya qilishni xohlaydiganlar uchun biz buni tushuntirishga harakat qilishimiz mumkin (lekin faqat harakat qilib ko'ring).

Tasavvur qiling 33. Bu juda oson - 3 * 3 * 3 = 27 bo'lib chiqadi. Endi uchtasini shu raqamga oshirsak nima bo'ladi? Bu 3 3 dan 3 darajaga yoki 3 27 ga aylanadi. O'nli yozuvda u 7 625 597 484 987 ga teng. Ko'p, lekin hozirgacha buni amalga oshirish mumkin.

Knutning o'q belgisida bu raqam biroz soddaroq tarzda ko'rsatilishi mumkin - 33. Ammo agar siz faqat bitta o'qni qo'shsangiz, u yanada murakkablashadi: 33, ya'ni 33 ning kuchiga 33 yoki eksponensial belgida. O'nli kasrgacha kengaytirsak, biz 7 625 597 484 987 7 625 597 484 987 ni olamiz. Hali ham fikrga amal qila olasizmi?

Keyingi qadam: 33 = 33 33. Ya'ni, bu yirtqich sonni oldingi harakatdan hisoblashingiz va uni bir xil kuchga ko'tarishingiz kerak.

Va 33 Graham sonining 64 a'zosining faqat birinchisidir. Ikkinchisini olish uchun siz ushbu g'azablangan formulaning natijasini hisoblashingiz kerak va 3-sxema (...) 3-dagi mos keladigan o'qlar sonini almashtiring. Va hokazo, yana 63 marta.

Qizig'i shundaki, undan boshqa birov va o'nlab boshqa supermatematiklar hech bo'lmaganda ketma-ketlikning o'rtasiga etib borishlari va bir vaqtning o'zida aqldan ozishlari mumkinmi?

Biror narsani tushunyapsizmi? Biz emas. Lekin qanday hayajon!

Nima uchun sizga eng katta raqamlar kerak? Oddiy odam uchun buni tushunish va tushunish qiyin. Ammo ularning yordami bilan faqat bir nechta mutaxassislar oddiy odamlarga yangi texnologik o'yinchoqlarni taqdim etishlari mumkin: telefonlar, kompyuterlar, planshetlar. Oddiy odamlar ham ularning qanday ishlashini tushunishga qodir emaslar, lekin ular o'zlarining o'yin-kulgilari uchun foydalanishdan xursandlar. Va hamma xursand: oddiy odamlar o'z o'yinchoqlarini olishadi, "super botaniklar" - aql o'yinlarini o'ynashni davom ettirish imkoniyati.

Ilm olami o'z bilimi bilan shunchaki hayratlanarli. Biroq, hatto dunyodagi eng zo'r odam ham ularning barchasini tushuna olmaydi. Ammo buning uchun siz harakat qilishingiz kerak. Shuning uchun ushbu maqolada men eng katta raqam nima ekanligini aniqlamoqchiman.

Tizimlar haqida

Avvalo shuni aytish kerakki, dunyoda ikkita raqam nomlash tizimi mavjud: amerikacha va inglizcha. Bunga qarab, bir xil ma'noga ega bo'lsa-da, bir xil raqamni boshqacha chaqirish mumkin. Va eng boshida, noaniqlik va chalkashliklarga yo'l qo'ymaslik uchun ushbu o'ziga xos nuanslar bilan shug'ullanishingiz kerak.

Amerika tizimi

Qizig'i shundaki, ushbu tizim nafaqat Amerika va Kanadada, balki Rossiyada ham qo'llaniladi. Bundan tashqari, u o'zining ilmiy nomiga ham ega: raqamlar uchun qisqa miqyosli nomlash tizimi. Bu sistemada katta sonlar qanday nomlanadi? Demak, buning siri juda oddiy. Eng boshida lotincha tartib raqami bo'ladi, undan keyin mashhur "-million" qo'shimchasi oddiygina qo'shiladi. Quyidagi fakt qiziqarli bo'ladi: lotin tilidan tarjimada "million" raqamini "ming" deb tarjima qilish mumkin. Quyidagi raqamlar Amerika tizimiga tegishli: trillion - 10 12, kvintilion - 10 18, oktilion - 10 27 va hokazo. Shuningdek, raqamda nechta nol yozilganligini aniqlash qiyin bo'lmaydi. Buning uchun siz oddiy formulani bilishingiz kerak: 3 * x + 3 (bu erda formuladagi "x" lotin raqamidir).

Ingliz tizimi

Biroq, Amerika tizimining soddaligiga qaramay, ingliz tizimi hali ham dunyoda keng tarqalgan bo'lib, bu uzoq masshtabli raqamlarni nomlash tizimidir. 1948 yildan boshlab u Frantsiya, Buyuk Britaniya, Ispaniya kabi mamlakatlarda, shuningdek, Angliya va Ispaniyaning sobiq mustamlakalari bo'lgan mamlakatlarda qo'llanilgan. Bu erda raqamlarning tuzilishi ham juda oddiy: lotincha belgiga "-million" qo'shimchasi qo'shilgan. Bundan tashqari, agar raqam 1000 marta katta bo'lsa, "-million" qo'shimchasi qo'shiladi. Raqamda yashiringan nol sonini qanday aniqlash mumkin?

1. Agar raqam "-million" bilan tugasa, sizga 6 * x + 3 ("x" lotin raqami) formulasi kerak bo'ladi.
2. Agar raqam "-million" bilan tugasa, sizga 6 * x + 6 formulasi kerak bo'ladi (bu erda "x", yana lotin raqamidir).

ga misollar

Ushbu bosqichda, misol sifatida, bir xil raqamlar qanday chaqirilishini ko'rib chiqishingiz mumkin, ammo boshqa miqyosda.

Turli xil tizimlarda bir xil nom turli raqamlarni anglatishini osongina ko'rishingiz mumkin. Masalan, trillion. Shuning uchun, raqamni hisobga olgan holda, siz hali ham birinchi navbatda qaysi tizimga ko'ra yozilganligini bilib olishingiz kerak.

Tizimdan tashqari raqamlar

Shuni ta'kidlash kerakki, tizim raqamlaridan tashqari, tizimli bo'lmagan raqamlar ham mavjud. Ehtimol, ular orasida eng katta raqam yo'qolgandir? Buni ko'rib chiqishga arziydi.

1. Googol. Bu raqam o'ndan yuzinchi darajagacha, ya'ni birdan keyin yuz nol (10 100) bo'ladi. Bu raqam birinchi marta 1938 yilda olim Edvard Kasner tomonidan tilga olingan. Juda qiziq fakt: "Google" jahon qidiruv tizimi o'sha paytda juda katta raqam - googol nomi bilan atalgan. Va bu nom Kasnerning yosh jiyani tomonidan o'ylab topilgan.
2. Asankheya. Bu sanskrit tilidan "son-sanoqsiz" deb tarjima qilingan juda qiziq ism. Uning raqamli qiymati 140 nolga teng - 10 140. Quyidagi fakt qiziqarli bo'ladi: u miloddan avvalgi 100-yillarda odamlarga ma'lum bo'lgan. e., mashhur buddist risolasi Jaina Sutraga kirish dalolat beradi. Bu raqam maxsus hisoblangan, chunki nirvanaga erishish uchun bir xil miqdordagi kosmik tsikllar kerak deb hisoblangan. Shuningdek, o'sha paytda bu raqam eng katta hisoblangan.
3. Googolplex. Bu raqam o'sha Edvard Kasner va uning yuqorida tilga olingan jiyani tomonidan ixtiro qilingan. Uning raqamli belgisi o'ndan o'ninchi darajaga teng bo'lib, u o'z navbatida yuzinchi darajadan iborat (ya'ni googolplex kuchiga o'ndan). Olim shuningdek, shu yo‘l bilan siz xohlagancha katta raqam olishingiz mumkinligini aytdi: googoltetraplex, googolhexaplex, googletaplex, googoldecaplex va boshqalar.
4. Grahamning raqami - G. Bu Ginnesning rekordlar kitobi tomonidan 1980-yilga yaqin vaqtlarda tan olingan eng katta raqam. Bu googolplex va uning hosilalaridan sezilarli darajada kattaroqdir. Olimlarning ta'kidlashicha, butun olam Grem sonining butun kasr belgisini o'z ichiga olmaydi.
5. Mozerning raqami, Skusening raqami. Bu raqamlar ham eng katta raqamlardan biri hisoblanadi va ular ko'pincha turli gipoteza va teoremalarni echishda qo'llaniladi. Va bu raqamlarni barcha umumiy qabul qilingan qonunlar bilan yozib bo'lmasligi sababli, har bir olim buni o'z yo'lida qiladi.

Eng so'nggi ishlanmalar

Biroq, baribir shuni aytish kerakki, mukammallikka cheklov yo'q. Va ko'plab olimlar eng katta raqam hali topilmaganiga ishonishgan va ishonishgan. Va, albatta, ular buni qilish sharafiga sazovor bo'lishadi. Missuri shtatidan amerikalik olim ushbu loyiha ustida uzoq vaqt ishladi, uning ishlari muvaffaqiyat qozondi. 2012-yil 25-yanvarda u dunyodagi yangi eng katta raqamni topdi, bu o'n etti million raqam (bu Mersenning 49-raqami). Eslatma: o'sha vaqtga qadar eng katta raqam 2008 yilda kompyuter tomonidan topilgan, u 12 ming raqamdan iborat bo'lib, quyidagicha ko'rinishga ega edi: 2 43112609 - 1.

Birinchi marta emas

Aytish joizki, buni ilmiy tadqiqotchilar ham tasdiqlagan. Bu raqam uchta olim tomonidan turli xil kompyuterlarda 39 kun davom etgan tekshiruvdan o'tdi. Biroq, bu amerikalik olimning bunday izlanishdagi birinchi yutuqlari emas. U avvalroq eng katta raqamlarni ochgan edi. Bu 2005 va 2006 yillarda sodir bo'lgan. 2008 yilda kompyuter Kertis Kuperning bir qator g'alabalarini to'xtatdi, ammo 2012 yilda u kafti va munosib kashfiyotchi unvonini qaytarib oldi.

Tizim haqida

Bularning barchasi qanday sodir bo'ladi, olimlar eng katta raqamlarni qanday topishadi? Shunday qilib, bugungi kunda kompyuter ular uchun ishning katta qismini bajaradi. Bu holatda Kuper taqsimlangan hisoblashlardan foydalangan. Bu nima degani? Ushbu hisob-kitoblar ixtiyoriy ravishda tadqiqotda ishtirok etishga qaror qilgan Internet foydalanuvchilarining kompyuterlarida o'rnatilgan dasturlar tomonidan amalga oshiriladi. Ushbu loyiha doirasida frantsuz matematigi nomi bilan atalgan 14 ta Mersenna soni aniqlandi (bular faqat o'ziga va bittaga bo'linadigan tub sonlar). Formula shaklida u quyidagicha ko'rinadi: M n = 2 n - 1 (bu formulada "n" natural son).

Bonuslar haqida

Mantiqiy savol tug'ilishi mumkin: olimlarni bu yo'nalishda ishlashga nima majbur qiladi? Demak, bu, albatta, kashshof bo'lish ishtiyoqi va istagi. Biroq, bu erda bonuslar ham bor: uning o'yini uchun Kertis Kuper 3000 dollar pul mukofoti oldi. Lekin bu hammasi emas. Elektron chegara maxsus jamg'armasi (qisqartmasi: EFF) bunday qidiruvlarni rag'batlantiradi va 100 million va milliard oddiy raqamlarni taqdim etganlarga zudlik bilan 150 000 va 250 000 dollar miqdoridagi pul mukofotlarini berishni va'da qiladi. Shubhasiz, bugungi kunda butun dunyo bo'ylab juda ko'p olimlar ushbu yo'nalishda ishlamoqda.

Oddiy xulosalar

Xo'sh, bugungi kunda eng katta raqam nima? Ayni paytda uni Missuri universitetidan amerikalik olim Kertis Kuper topdi, uni quyidagicha yozish mumkin: 2 57885161 - 1. Bundan tashqari, u frantsuz matematigi Mersenning 48-sonidir. Ammo shuni aytish kerakki, bu qidiruvning oxiri bo'lishi mumkin emas. Va agar ma'lum vaqtdan keyin olimlar dunyoda yangi topilgan navbatdagi eng katta raqamni ko'rib chiqish uchun bizga taqdim etishsa, ajablanarli emas. Bu imkon qadar tezroq amalga oshishiga shubha yo'q.

10 dan 3003 gacha quvvat

Dunyodagi eng katta raqam nima ekanligi haqidagi munozaralar davom etmoqda. Turli xil hisoblash tizimlari turli xil variantlarni taklif qiladi va odamlar nimaga ishonishni bilishmaydi va qaysi raqam eng katta hisoblanadi.

Olimlarni bu savol Rim imperiyasi davridan beri qiziqtirgan. Eng katta ushlash "raqam" nima va "raqam" nima ekanligini aniqlashda yotadi. Bir vaqtlar odamlar uzoq vaqt davomida decillionni eng katta raqam deb hisoblashgan, ya'ni 10 dan 33 darajagacha. Ammo olimlar Amerika va ingliz metrik tizimlarini faol o'rganishni boshlaganlaridan so'ng, dunyodagi eng katta raqam 10 dan 3003 gacha bo'lgan kuch - million million ekanligi aniqlandi. Kundalik hayotda odamlar eng katta raqam trillion ekanligiga ishonishadi. Bundan tashqari, bu juda rasmiy, chunki trilliondan keyin ismlar shunchaki berilmaydi, chunki hisoblash juda murakkab. Biroq, faqat nazariy jihatdan, nol soni cheksiz qo'shilishi mumkin. Shuning uchun, hatto sof vizual trillionni va undan keyin nima bo'lishini tasavvur qilish deyarli mumkin emas.

Rim raqamlarida

Boshqa tomondan, matematiklar tushunchasida "raqamlar" ta'rifi biroz boshqacha. Raqam hamma joyda qabul qilinadigan va raqamli ekvivalentda ifodalangan miqdorni ko'rsatish uchun ishlatiladigan belgini anglatadi. Ikkinchi “son” tushunchasi sonlar yordamida miqdoriy belgilarning qulay shaklda ifodalanishini bildiradi. Bundan kelib chiqadiki, raqamlar sonlardan iborat. Bu raqam ramziy xususiyatlarga ega bo'lishi ham muhimdir. Ular shartli, tanib olinadigan, o'zgarmasdir. Raqamlar ham belgi xususiyatlariga ega, ammo ular raqamlarning raqamlardan iboratligidan kelib chiqadi. Bundan xulosa qilishimiz mumkinki, trillion umuman raqam emas, balki raqam. Xo'sh, agar u trillion bo'lmasa, dunyodagi eng katta raqam nima?

Muhimi shundaki, raqamlar raqamlarning tarkibiy qismlari sifatida ishlatiladi, lekin bu nafaqat. Biroq, agar biz ba'zi narsalar haqida gapiradigan bo'lsak, ularni noldan to'qqizgacha hisoblasak, bu raqam bir xil bo'ladi. Bunday belgilar tizimi nafaqat tanish arab raqamlariga, balki I, V, X, L, C, D, M rim raqamlariga ham tegishli. Bular Rim raqamlari. Boshqa tomondan, V I I I Rim raqamidir. Arabcha so'zlar bilan aytganda, sakkizinchi raqamga to'g'ri keladi.

Arab raqamlarida

Shunday qilib, raqamlar noldan to'qqizgacha birlik hisoblanadi, qolganlari esa raqamlardir. Shunday qilib, dunyodagi eng katta raqam to'qqizta degan xulosaga keldi. 9 - belgi, son esa oddiy miqdoriy abstraktsiyadir. Trillion - bu raqam va hech qanday raqam emas, shuning uchun dunyodagi eng katta raqam bo'lishi mumkin emas. Dunyodagi eng katta raqamni trillion deb atash mumkin va bu faqat nominaldir, chunki raqamlarni cheksiz sanash mumkin. Raqamlar soni qat'iy cheklangan - 0 dan 9 gacha.

Shuni ham yodda tutish kerakki, turli xil hisoblash tizimlarining raqamlari va raqamlari bir-biriga mos kelmaydi, biz arab va rim raqamlari va raqamlari bilan misollardan ko'rganimizdek. Buning sababi shundaki, raqamlar va raqamlar insonning o'zi o'ylab topadigan oddiy tushunchalardir. Shuning uchun bir hisoblash tizimining soni osongina boshqasining soni bo'lishi mumkin va aksincha.

Shunday qilib, eng katta sonni sanab bo'lmaydi, chunki u raqamlardan cheksiz qo'shilishi mumkin. Raqamlarning o'ziga kelsak, umumiy qabul qilingan tizimda eng katta raqam 9 ga teng.

Ko'pchilikni katta raqamlar qanday chaqirilishi va qaysi raqam dunyodagi eng katta ekanligi haqidagi savollar qiziqtiradi. Biz ushbu qiziqarli savollarni ushbu maqolada ko'rib chiqamiz.

Hikoya

Janubiy va sharqiy slavyan xalqlari raqamlarni yozish uchun alifbo tartibida raqamlashdan va faqat yunon alifbosidagi harflardan foydalanganlar. Raqamni bildiruvchi harf ustiga maxsus "titlo" belgisi qo'yilgan. Harflarning raqamli qiymatlari yunon alifbosidagi harflar ketma-ketligi bilan ortdi (slavyan alifbosida harflar tartibi biroz boshqacha edi). Rossiyada slavyan raqamlari 17-asrning oxirigacha saqlanib qolgan va I Pyotr davrida ular biz hozirgacha ishlatadigan "arabcha raqamlash" ga o'tdilar.

Raqamlarning nomlari ham o'zgargan. Shunday qilib, 15-asrga qadar "yigirma" raqami "ikki o'n" (ikki o'nlab) deb belgilangan, keyin esa tezroq talaffuz qilish uchun qisqartirilgan. 15-asrga qadar 40 raqami "qirq" deb nomlangan, keyin u "qirq" so'zi bilan almashtirilgan, bu dastlab 40 ta sincap yoki sable terisini o'z ichiga olgan sumkani bildiradi. "Million" nomi Italiyada 1500 yilda paydo bo'lgan. U tariq (ming) soniga kattalashtiruvchi qoʻshimcha qoʻshilishi bilan tuzilgan. Keyinchalik bu nom rus tiliga keldi.

Qadimgi (XVIII asr) Magnitskiyning "Arifmetika" da "kvadrillion" ga keltiriladigan raqamlar nomlari jadvali berilgan (6 raqamdan keyin tizim bo'yicha 10 ^ 24). Perelman Ya.I. "Qiziqarli arifmetika" kitobida o'sha davrdagi katta sonlarning nomlari hozirgisidan biroz farq qiladi: septillion (10 ^ 42), oktalion (10 ^ 48), nonalion (10 ^ 54), dekalyon (10 ^) 60), endekalion (10 ^ 66), dodekalion (10 ^ 72) va "boshqa nomlar yo'q" deb yozilgan.

Katta sonlar nomlarini yasash usullari

Katta raqamlarni nomlashning ikkita asosiy usuli mavjud:

• Amerika tizimi AQSh, Rossiya, Frantsiya, Kanada, Italiya, Turkiya, Gretsiya, Braziliyada qo'llaniladi. Katta raqamlarning nomlari juda sodda tarzda tuzilgan: birinchi navbatda lotincha tartib raqami keladi va oxiriga "-million" qo'shimchasi qo'shiladi. Ming (million) raqamining nomi bo'lgan “million” soni va “-million” ko'paytirish qo'shimchasi bundan mustasno. Amerika tizimida yozilgan sondagi nollar sonini quyidagi formula bilan topish mumkin: 3x + 3, bu erda x lotincha tartib.
• Ingliz tizimi dunyoda eng keng tarqalgan bo'lib, u Germaniya, Ispaniya, Vengriya, Polsha, Chexiya, Daniya, Shvetsiya, Finlyandiya, Portugaliyada qo'llaniladi. Ushbu tizim bo'yicha raqamlarning nomlari quyidagicha tuzilgan: lotin raqamiga "-million" qo'shimchasi qo'shiladi, keyingi raqam (1000 marta katta) bir xil lotin raqami, lekin "-million" qo'shimchasi qo'shiladi. Ingliz tizimida yozilgan va "-million" qo'shimchasi bilan tugaydigan raqamdagi nollar sonini quyidagi formula bo'yicha topish mumkin: 6x + 3, bu erda x lotincha tartib raqamidir. “-million” qo‘shimchasi bilan tugaydigan raqamlardagi nollar sonini quyidagi formula bo‘yicha topish mumkin: 6x + 6, bu yerda x lotincha tartib raqamidir.

Ingliz tili tizimidan rus tiliga faqat milliard so'zi o'tdi, ammo uni amerikaliklar shunday deb atash to'g'riroq - milliard (chunki Amerika raqamlarini nomlash tizimi rus tilida qo'llaniladi).

Lotin prefikslari yordamida Amerika yoki ingliz tizimida yozilgan raqamlarga qo'shimcha ravishda, lotin prefikslarisiz o'z nomlariga ega bo'lgan tizimdan tashqari raqamlar ham ma'lum.

Katta sonlarning tegishli nomlari

• Vigintillion (lat.viginti dan - yigirma) - 10 63
• Sentillion (lat.centumdan - yuz) - 10 303
• Million (lotin tilidan mille - ming) - 10 3003

Mingdan ortiq raqamlar uchun rimliklarning o'z nomlari yo'q edi (raqamlarning barcha nomlari yanada murakkab edi).

Katta sonlar uchun qo‘shma nomlar

To'g'ri nomlardan tashqari, 10 33 dan katta raqamlar uchun qo'shma nomlar prefikslarni birlashtirish orqali olinishi mumkin.

Katta sonlar uchun qo‘shma nomlar

• 10 123 - kvadragintilion
• 10 153 - kvinvagintilion
• 10 183 - sexagintillion
• 10 213 - septuagintillion
• 10 243 - oktogintilion
• 10 273 - nonagintilion
• 10 303 - sentillion

Boshqa nomlarni lotin raqamlarining to'g'ridan-to'g'ri yoki teskari tartibida olish mumkin (chunki u to'g'ri ma'lum emas):

• 10 306 - antcentillion yoki sentunillion
• 10 309 - duotsentillion yoki sentduollion
• 10 312 - tretsentillion yoki senttrillion
• 10 315 - kvattortsentilion yoki sentquadrillion
• 10 402 - tretrigintatsentillion yoki senttretrigintilion

Ikkinchi imlo lotin tilidagi raqamlarning tuzilishiga ko'proq mos keladi va noaniqliklardan qochadi (masalan, birinchi imloga ko'ra 10 903 va 10 312 bo'lgan tretsentillion sonida).

• 10 603 - dutsentillion
• 10 903 - tretsentillion
• 10 1203 - kvadringentillion
• 10 1503 - kvingentillion
• 10 1803 yil - Sessentilyon
• 10 2103 - septingentillion
• 10 2403 - oktingentillion
• 10 2703 - nongentilion
• 10 3003 million
• 10 6003 - duomillion
• 10 9003 - tremillion
• 10 15003 - kvinquemillion
• 10 308760 -ion
• 10 3000003 - million
• 10 6000003 - duomiliamillion

Son-sanoqsiz- 10 000. Nomi eskirgan va amalda ishlatilmaydi. Biroq, "son-sanoqsiz" so'zi keng tarqalgan bo'lib, ma'lum bir sonni emas, balki bir narsaning son-sanoqsiz, son-sanoqsiz to'plamini bildiradi.

Googol ( Ingliz . googol) — 10 100. Bu raqam birinchi marta amerikalik matematik Edvard Kasner tomonidan 1938 yilda Scripta Mathematica jurnalida "Matematikada yangi nomlar" maqolasida yozilgan. Uning so'zlariga ko'ra, uning 9 yoshli jiyani Milton Sirotta shunday nom berishni taklif qilgan. Bu raqam uning nomi bilan atalgan Google qidiruv tizimi tufayli hammaga ma'lum bo'ldi.

Asankheya(xitoy tilidan asenci - sanoqsiz) - 10 1 4 0. Bu raqam mashhur buddist traktati Jaina Sutrada (miloddan avvalgi 100 yil) uchraydi. Bu raqam nirvanaga erishish uchun zarur bo'lgan kosmik tsikllar soniga teng deb ishoniladi.

Googolplex ( Ingliz . Googolplex) — 10 ^ 10 ^ 100. Bu raqam ham Edvard Kasner va uning jiyani tomonidan ixtiro qilingan, bu nol googolli raqamni bildiradi.

Skuse raqami (Skewes raqami, Sk 1) e dan e dan e dan 79 darajagacha, ya'ni e ^ e ^ e ^ 79 degan ma'noni anglatadi. Bu sonni Skewes 1933 yilda (Skewes. J. London Math. Soc. 8, 277-283, 1933.) tub sonlar haqidagi Riman gipotezasini isbotlashda taklif qilgan. Keyinchalik Riel (te Riele, HJJ "Farq belgisi bo'yicha P (x) -Li (x)." Math. Comput. 48, 323-328, 1987) Skuse raqamini e ^ e ^ 27/4 ga qisqartirdi. , bu taxminan 8,185 10 ^ 370 ni tashkil qiladi. Biroq, bu raqam butun son emas, shuning uchun u katta sonlar jadvaliga kiritilmagan.

Skewesning ikkinchi raqami (Sk2) 10 ^ 10 ^ 10 ^ 10 ^ 3 ga teng, ya'ni 10 ^ 10 ^ 10 ^ 1000 ga teng. Bu raqamni J. Skuse o'sha maqolada Rieman gipotezasi to'g'ri keladigan sonni belgilash uchun kiritgan.

Juda katta raqamlar uchun kuchlardan foydalanish noqulay, shuning uchun raqamlarni yozishning bir necha usullari mavjud - Knuth, Conway, Steinhouse va boshqalar tomonidan belgilanish.

Gyugo Shtaynxaus geometrik shakllar (uchburchak, kvadrat va doira) ichiga katta sonlarni yozishni taklif qildi.

Matematik Leo Mozer Shtaynxausning yozuvlarini aniqlab, kvadratlardan keyin doiralar o'rniga beshburchaklar, keyin olti burchaklar va hokazolarni chizishni taklif qildi. Mozer, shuningdek, ushbu ko'pburchaklar uchun raqamlarni murakkab chizmalarsiz yozib olish uchun rasmiy belgilarni taklif qildi.

Steinhouse ikkita yangi super-katta raqamlarni taklif qildi: Mega va Megiston. Mozerning yozuvida ular quyidagicha yozilgan: Mega – 2, Megiston- 10. Leo Mozer ham tomonlar soni megaga teng bo'lgan ko'pburchakni chaqirishni taklif qildi - megagon, va shuningdek, "Megagonda 2" raqamini taklif qildi - 2. Oxirgi raqam sifatida tanilgan Moser raqami yoki xuddi shunday Moser.

Moserdan kattaroq raqamlar mavjud. Matematik isbotlashda ishlatiladigan eng katta raqam raqam Graham(Gremning raqami). U birinchi marta 1977 yilda Ramsey nazariyasida bitta taxminni isbotlash uchun ishlatilgan. Bu raqam bikromatik giperkublar bilan bog'liq va uni 1976 yilda Knut tomonidan kiritilgan maxsus 64 darajali maxsus matematik belgilar tizimisiz ifodalab bo'lmaydi. Donald Knut ("Dasturlash san'ati" ni yozgan va TeX muharririni yaratgan) yuqori daraja tushunchasini o'ylab topdi va u yuqoriga qaragan strelkalar bilan yozishni taklif qildi:

Umuman

Graham G raqamlarini taklif qildi:

G 63 raqami Graham raqami deb ataladi, ko'pincha oddiygina G bilan belgilanadi. Bu raqam dunyodagi eng katta ma'lum raqam bo'lib, Ginnesning rekordlar kitobiga kiritilgan.