Qo'shish teoremasi

Mos kelmaydigan tasodifiy hodisalarni ko'rib chiqing.

Ma'lumki, bir sinovdagi mos kelmaydigan tasodifiy hodisalar $A$ va $B$ mos ravishda $P\left(A\right)$ va $P\left(B\right)$ ehtimolliklariga ega. Bu hodisalarning $A+B$ yig‘indisining ehtimoli, ya’ni ulardan kamida bittasining ro‘y berish ehtimoli topilsin.

Faraz qilaylik, bu testda barcha teng mumkin bo'lgan elementar hodisalar soni $n$ bo'lsin. Ulardan $A$ va $B$ hodisalari mos ravishda $m_(A)$ va $m_(B)$ elementar hodisalar tomonidan afzal koʻriladi. $A$ va $B$ hodisalari mos kelmasligi sababli, $A+B$ hodisasi $m_(A) +m_(B)$ elementar hodisalar tomonidan maʼqullanadi. Bizda $P\left(A+B\right)=\frac(m_(A) +m_(B) )(n) =\frac(m_(A) )(n) +\frac(m_(B)) ) (n) =P\chap(A\o'ng)+P\chap(B\o'ng)$.

Teorema 1

Ikki mos kelmaydigan hodisa yig'indisining ehtimoli ularning ehtimolliklari yig'indisiga teng.

Eslatma 1

Natija 1. Bir-biriga mos kelmaydigan hodisalarning har qanday soni yig'indisining ehtimoli bu hodisalarning ehtimolliklari yig'indisiga teng.

Natija 2. Mos kelmaydigan hodisalarning to'liq guruhining ehtimollik yig'indisi (barcha elementar hodisalarning ehtimollik yig'indisi) birga teng.

Natija 3. Qarama-qarshi hodisalarning ehtimoli yig'indisi birga teng, chunki ular mos kelmaydigan hodisalarning to'liq guruhini tashkil qiladi.

1-misol

Shaharda bir muncha vaqt yomg'ir yog'masligi ehtimoli $p=0,7$. Shu vaqt ichida shaharda kamida bir marta yomg'ir yog'ishi $q$ ehtimolini toping.

“Shaharda bir muncha vaqt yomg'ir yog'madi” va “shaharda hech bo'lmaganda bir marta yomg'ir yog'di” voqealari buning aksidir. Shuning uchun $p+q=1$, bundan $q=1-p=1-0,7=0,3$.

Birgalikda tasodifiy hodisalarni ko'rib chiqing.

Ma'lumki, bir sinovdagi qo'shma tasodifiy hodisalar $A$ va $B$ mos ravishda $P\left(A\right)$ va $P\left(B\right)$ ehtimolliklariga ega. Bu hodisalarning $A+B$ yig‘indisining ehtimolini, ya’ni ulardan kamida bittasining sodir bo‘lish ehtimolini topamiz.

Faraz qilaylik, bu testda barcha teng mumkin bo'lgan elementar hodisalar soni $n$ bo'lsin. Ulardan $A$ va $B$ hodisalari mos ravishda $m_(A)$ va $m_(B)$ elementar hodisalar tomonidan afzal koʻriladi. $A$ va $B$ hodisalari qoʻshma boʻlgani uchun $m_(A) +m_(B) $ elementar hodisalarning umumiy sonidan $m_(AB) $ maʼlum bir soni $A$ hodisasini maʼqullaydi. va $B$ hodisasi, ya’ni ularning birgalikda yuzaga kelishi ($A\cdot B$ hodisalari hosilasi). Bu $m_(AB)$ miqdori ham $m_(A)$, ham $m_(B)$ kiritildi. Shunday qilib, $A+B$ hodisasi $m_(A) +m_(B) -m_(AB) $ tomonidan maʼqullanadi. elementar hodisalar. Bizda: $P\left(A+B\o'ng)=\frac(m_(A) +m_(B) -m_(AB) )(n) =\frac(m_(A) )(n) +\ frac (m_(B) )(n) -\frac(m_(AB))(n) =P\left(A\o'ng)+P\left(B\o'ng)-P\chap(A\cdot B\ o'ng) $.

Teorema 2

Ikki qo'shma hodisa yig'indisining ehtimoli bu hodisalarning ehtimolliklari yig'indisidan ularning hosilasi ehtimolini ayiqqa teng.

Izoh. Agar $A$ va $B$ hodisalari mos kelmasa, ularning mahsuloti $A\cdot B$ imkonsiz hodisa boʻlib, ehtimolligi $P\left(A\cdot B\right)=0$ boʻladi. Shuning uchun mos kelmaydigan hodisalarning ehtimollarini qo'shish formulasi qo'shma hodisalarning ehtimollarini qo'shish formulasining maxsus holatidir.

2-misol

Ikkita zar bir vaqtning o'zida tashlanganda, kamida bir marta 5 raqami paydo bo'lish ehtimolini toping.

Bir vaqtning o'zida ikkita zarni uloqtirganda, barcha teng mumkin bo'lgan elementar hodisalar soni $n=36$ ga teng, chunki ikkinchi zarning oltita raqami birinchi zarning har bir raqamiga tushishi mumkin. Shulardan $A$ hodisasi - birinchi matritsaga o'ralgan 5-raqam - 6 marta, ikkinchi matritsaga o'ralgan $B$ - 5-raqam hodisasi ham 6 marta sodir bo'ladi. Barcha o'n ikki marta 5 soni ikkala zarda bir marta paydo bo'ladi. Shunday qilib, $ P \ chap (A + B \ o'ng) = \ frac (6) (36) + \ frac (6) (36) - \ frac (1) (36) = \ frac (11) (36) $.

Ehtimollarni ko'paytirish teoremasi

Mustaqil hodisalarni ko'rib chiqing.

Ikkita ketma-ket sinovda yuz beradigan $A$ va $B$ hodisalari, agar $B$ hodisasining yuzaga kelish ehtimoli $A$ hodisasining sodir boʻlgan yoki sodir boʻlmaganligiga bogʻliq boʻlmasa, mustaqil deyiladi.

Masalan, urnada 2 ta oq va 2 ta qora shar bor deylik. Sinov to'pni chiqarib olishdir. $A$ hodisasi "birinchi sinovda oq to'p chiziladi". Ehtimollik $P\left(A\o'ng)=\frac(1)(2) $. Birinchi sinovdan so'ng, to'p orqaga qaytarildi va ikkinchi sinov o'tkazildi. $B$ hodisasi -- ``ikkinchi sinovda chizilgan oq to`p''. Ehtimollik $P\left(B\o'ng)=\frac(1)(2) $. $P\left(B\right)$ ehtimoli $A$ hodisasi sodir boʻlgan yoki boʻlmaganiga bogʻliq emas, shuning uchun $A$ va $B$ hodisalari mustaqildir.

Ma'lumki, ikkita ketma-ket sinovning $A$ va $B$ mustaqil tasodifiy hodisalari mos ravishda $P\left(A\right)$ va $P\left(B\right)$ ehtimolliklariga ega. Ushbu hodisalarning $A\cdot B$ mahsulotining ehtimolligini, ya'ni ularning birgalikda sodir bo'lish ehtimolini topamiz.

Faraz qilaylik, birinchi sinovda barcha teng mumkin bo'lgan elementar hodisalar soni $n_(1) $ bo'lsin. Ulardan $A$ $m_(1)$ elementar hodisalar tomonidan ma'qullanadi. Faraz qilaylik, ikkinchi testda barcha teng mumkin bo'lgan elementar hodisalar soni $n_(2) $. Ulardan $B$ hodisasi $m_(2)$ elementar hodisalar tomonidan ma'qullanadi. Endi birinchi va ikkinchi sinovlardagi voqealarning ketma-ket sodir bo'lishidan iborat yangi elementar hodisani ko'rib chiqing. Bunday teng ehtimolli elementar hodisalarning umumiy soni $n_(1) \cdot n_(2) $ ga teng. $A$ va $B$ hodisalari mustaqil boʻlganligi sababli, bu sondan $A$ hodisasi va $B$ hodisasining ($A\cdot B$ hodisalarining mahsuloti) birgalikda yuzaga kelishi $m_( 1) \cdot m_(2) $ hodisalari . Bizda: $P\left(A\cdot B\right)=\frac(m_(1) \cdot m_(2) )(n_(1) \cdot n_(2) ) =\frac(m_(1)) ) (n_(1) ) \cdot \frac(m_(2) )(n_(2) ) =P\left(A\o'ng)\cdot P\left(B\o'ng)$.

Teorema 3

Ikki mustaqil hodisaning ko'paytmasi ehtimolligi ushbu hodisalarning ehtimolliklari ko'paytmasiga teng.

Bog'liq hodisalarni ko'rib chiqing.

Ketma-ket ikkita sinovda $A$ va $B$ hodisalari yuz beradi. Agar $B$ hodisasining yuzaga kelish ehtimoli $A$ hodisasi sodir boʻlgan yoki sodir boʻlmaganiga bogʻliq boʻlsa, $B$ hodisasi $A$ hodisasiga bogʻliq deyiladi. Keyin $A$ hodisasi sodir boʻlgan shartda hisoblangan $B$ hodisasining ehtimoli $A$ sharti ostida $B$ hodisasining shartli ehtimolligi deyiladi va $P\left bilan belgilanadi. (B/A\o'ng)$.

Masalan, urnada 2 ta oq va 2 ta qora shar bor deylik. Sinov - to'pni chiqarib olish. $A$ hodisasi "birinchi sinovda oq to'p chiziladi". Ehtimollik $P\left(A\o'ng)=\frac(1)(2) $. Birinchi sinovdan so'ng, to'p orqaga qaytarilmaydi va ikkinchi sinov o'tkaziladi. $B$ hodisasi -- ``ikkinchi sinovda chizilgan oq to`p''. Agar birinchi sinovda oq to'p chizilgan bo'lsa, unda ehtimollik $P\left(B/A\right)=\frac(1)(3) $. Agar birinchi sinovda qora shar chizilgan bo'lsa, unda ehtimollik $P\left(B/\overline(A)\right)=\frac(2)(3) $. Shunday qilib, $B$ hodisasining ehtimoli $A$ hodisasi sodir bo'lgan yoki bo'lmaganiga bog'liq, shuning uchun $B$ hodisasi $A$ hodisasiga bog'liq.

$A$ va $B$ hodisalari ketma-ket ikkita sinovda sodir bo'ladi deb faraz qiling. Ma'lumki, $A$ hodisasi $P\left(A\right)$ sodir bo'lish ehtimoliga ega. Bundan tashqari, ma'lumki, $B$ hodisasi $A$ hodisasiga bog'liq va uning $A$ shartidagi shartli ehtimoli $P\left(B/A\right)$ ga teng.

Teorema 4

$A$ hodisasi va unga bogʻliq boʻlgan $B$ hodisasining koʻpaytma ehtimolini, yaʼni ularning birgalikda yuzaga kelish ehtimolini $P\left(A\cdot B\right)= formulasi orqali topish mumkin. P\left(A\o'ng)\cdot P\left(B/A\o'ng)$.

$P\left(A\cdot B\right)=P\left(B\right)\cdot P\left(A/B\right)$ nosimmetrik formulasi ham amal qiladi, bunda $A$ hodisasi taxmin qilinadi. $ B$ hodisasiga bog'liq bo'lishi.

Oxirgi misolning shartlari uchun ikkala sinovda oq to'pning tortilishi ehtimolini topamiz. Bunday hodisa $A$ va $B$ hodisalarining mahsulidir. Uning ehtimoli $P\left(A\cdot B\right)=P\left(A\o'ng)\cdot P\left(B/A\o'ng)=\frac(1)(2) \cdot \frac( 1)(3) =\frac(1)(6) $.

Ehtimollarni qo'shish va ko'paytirish teoremalari.
Bog'liq va mustaqil hodisalar

Sarlavha qo'rqinchli ko'rinadi, lekin aslida bu juda oddiy. Ushbu darsda biz hodisa ehtimollarini qo'shish va ko'paytirish teoremalari bilan tanishamiz, shuningdek, odatiy vazifalarni tahlil qilamiz. ehtimollikning klassik ta'rifi uchun vazifa albatta uchrashadi yoki, ehtimol, yo'lda uchrashgan. Ushbu maqolaning materiallarini samarali o'rganish uchun siz asosiy atamalarni bilishingiz va tushunishingiz kerak ehtimollik nazariyasi va oddiy arifmetik amallarni bajara olish. Ko'rib turganingizdek, juda oz narsa talab qilinadi va shuning uchun aktivdagi yog 'plyus deyarli kafolatlanadi. Ammo boshqa tomondan, amaliy misollarga yuzaki munosabatda bo'lishdan yana ogohlantiraman - bu erda nozikliklar ham etarli. Omad:

Mos kelmaydigan hodisalarning ehtimolliklarini qo'shish teoremasi: ikkitadan birining paydo bo'lish ehtimoli mos kelmaydigan voqealar yoki (nima bo'lganda ham), ushbu hodisalarning ehtimolliklari yig'indisiga teng:

Shunga o'xshash fakt ko'proq mos kelmaydigan hodisalar uchun ham amal qiladi, masalan, uchta mos kelmaydigan hodisalar va:

Tush teoremasi =) Biroq, bunday tush isbotlanishi mumkin, masalan, V.E. Gmurman.

Keling, yangi, shu paytgacha ko'rilmagan tushunchalar bilan tanishamiz:

Bog'liq va mustaqil hodisalar

Keling, mustaqil tadbirlardan boshlaylik. Voqealar mustaqil yuzaga kelish ehtimoli bo'lsa ularning har biri bog'liq emas ko'rib chiqilayotgan to'plamning boshqa hodisalarining paydo bo'lishidan / ko'rinmasligidan (barcha mumkin bo'lgan kombinatsiyalarda). ... Ammo umumiy iboralarni maydalash uchun nima bor:

Mustaqil hodisalar ehtimolini ko'paytirish teoremasi: mustaqil hodisalarning birgalikda sodir bo'lish ehtimoli va bu hodisalarning ehtimolliklari ko'paytmasiga teng:

Keling, 1-darsning eng oddiy misoliga qaytaylik, unda ikkita tanga tashlangan va quyidagi voqealar:

- boshlar 1-tanga tushadi;
- 2-tangada boshlar.

Keling, hodisaning ehtimolini topamiz (1-tangada boshlar paydo bo'ladi). va 2-tangada burgut paydo bo'ladi - qanday o'qishni eslang voqealar mahsulidir!) . Bitta tangada boshni olish ehtimoli boshqa tanga tashlash natijasiga bog'liq emas, shuning uchun voqealar va mustaqildir.

Xuddi shunday:
1-tanganing boshlarini tushirish ehtimoli va 2-dumida;
1-tangada boshlarning paydo bo'lish ehtimoli va 2-dumida;
1-tanganing dumlarga tushishi ehtimoli va 2-burgutda.

E'tibor bering, voqealar shakllanadi to'liq guruh va ularning ehtimolliklari yig'indisi birga teng: .

Ko'paytirish teoremasi aniqki, ko'proq mustaqil hodisalarga taalluqlidir, shuning uchun, masalan, agar hodisalar mustaqil bo'lsa, ularning birgalikda yuzaga kelish ehtimoli: . Keling, aniq misollar bilan mashq qilaylik:

Vazifa 3

Uchta qutining har biri 10 qismdan iborat. Birinchi qutida 8 ta standart qism, ikkinchisida - 7, uchinchisida - 9. Har bir qutidan bir qism tasodifiy chiqariladi. Barcha qismlarning standart bo'lish ehtimolini toping.

Qaror: har qanday qutidan standart yoki nostandart qismni olish ehtimoli boshqa qutilardan qaysi qismlar chiqarilishiga bog'liq emas, shuning uchun muammo mustaqil hodisalar haqida. Quyidagi mustaqil hodisalarni ko'rib chiqing:

– standart qism 1-qutidan chiqariladi;
– standart qism 2-qutidan chiqariladi;
– Standart qism uchinchi tortmasidan olib tashlandi.

Klassik ta'rifga ko'ra:
mos keladigan ehtimollardir.

Bizni qiziqtirgan voqea (Standart qism 1-chi tortmadan olinadi va 2-standartdan va 3-standartdan) mahsulot bilan ifodalanadi.

Mustaqil hodisalarning ehtimollarini ko'paytirish teoremasiga ko'ra:

uchta qutidan bitta standart qismni olish ehtimoli.

Javob: 0,504

Qutilar bilan tetiklantiruvchi mashqlardan so'ng bizni bundan kam qiziqarli urnalar kutmoqda:

Vazifa 4

Uchta urnada 6 ta oq va 4 ta qora shar bor. Har bir urnadan tasodifiy bitta to'p olinadi. Quyidagi ehtimollikni toping: a) uchta shar ham oq bo'lishi; b) uchta to'p ham bir xil rangda bo'ladi.

Qabul qilingan ma'lumotlarga asoslanib, "bo'lish" elementi bilan qanday munosabatda bo'lishni taxmin qiling ;-) Taxminiy namunaviy yechim barcha hodisalarning batafsil tavsifi bilan akademik uslubda ishlab chiqilgan.

Bog'liq hodisalar. Tadbir deyiladi qaram agar uning ehtimoli bog'liq allaqachon sodir bo'lgan bir yoki bir nechta voqealardan. Misollar uchun uzoqqa borish shart emas - eng yaqin do'konga boring:

- Ertaga soat 19.00 da yangi non sotiladi.

Ushbu hodisaning ehtimoli boshqa ko'plab voqealarga bog'liq: ertaga yangi non yetkazib beriladimi, soat 19:00 dan oldin sotiladimi yoki yo'qmi va hokazo. Turli holatlarga qarab, bu hodisa ishonchli va imkonsiz bo'lishi mumkin. Shunday qilib, voqea qaram.

Non ... va rimliklar talab qilganidek, sirklar:

- imtihonda talaba oddiy chipta oladi.

Agar siz birinchi bo'lib bormasangiz, unda voqea bog'liq bo'ladi, chunki uning ehtimoli sinfdoshlar qaysi chiptalarni olganiga bog'liq bo'ladi.

Voqealarning bog'liqligi/mustaqilligini qanday aniqlash mumkin?

Ba'zan bu muammoning holatida to'g'ridan-to'g'ri aytiladi, lekin ko'pincha siz mustaqil tahlil qilishingiz kerak. Bu erda hech qanday aniq havola yo'q va hodisalarning bog'liqligi yoki mustaqilligi tabiiy mantiqiy fikrlashdan kelib chiqadi.

Hamma narsani bitta uyumga tashlamaslik uchun, bog'liq hodisalar uchun vazifalar Men keyingi darsni ta'kidlayman, ammo hozircha biz amaliyotda eng keng tarqalgan teoremalar to'plamini ko'rib chiqamiz:

Mos kelmaydigan ehtimollar uchun qo'shish teoremalariga oid masalalar
va mustaqil hodisalar ehtimolini ko'paytirish

Ushbu tandem, mening subyektiv baholashimga ko'ra, ko'rib chiqilayotgan mavzu bo'yicha vazifalarning taxminan 80 foizida ishlaydi. Xitlar va ehtimollik nazariyasining haqiqiy klassikasi:

Vazifa 5

Ikki otuvchi nishonga bittadan o‘q uzdi. Birinchi otishma uchun urish ehtimoli 0,8, ikkinchisi uchun - 0,6. Buning ehtimolini toping:

a) faqat bitta otuvchi nishonga tegadi;
b) otishmalardan kamida bittasi nishonga tegadi.

Qaror: Bir otishmachining urish/o'tkazib yuborish ehtimoli, shubhasiz, boshqa otishmaning ishlashiga bog'liq emas.

Voqealarni ko'rib chiqing:
– 1-o‘qchi nishonga tegadi;
- 2-o'qchi nishonga tegadi.

Shartiga ko'ra: .

Keling, qarama-qarshi hodisalarning ehtimolini topamiz - mos keladigan o'qlar o'tkazib yuboradi:

a) Hodisani ko'rib chiqing: - faqat bitta otishma nishonga tegadi. Ushbu hodisa ikkita mos kelmaydigan natijadan iborat:

1-to'pchi uradi va 2-o'tkazib yuborish
yoki
1-chi o'tkazib yuboradi va 2-chi uradi.

Tilda hodisalar algebralari bu faktni quyidagicha yozish mumkin:

Birinchidan, mos kelmaydigan hodisalarning ehtimollarini qo'shish teoremasidan foydalanamiz, keyin esa - mustaqil hodisalarning ehtimolliklarini ko'paytirish teoremasi:

faqat bitta zarba bo'lish ehtimoli.

b) Hodisani ko'rib chiqing: - otishmalardan kamida bittasi nishonga tegadi.

Avvalo, O'YLANAYLIK - "KAMDA BIR" sharti nimani anglatadi? Bu holda, bu birinchi otishmani urishini anglatadi (2-chi o'tkazib yuboradi) yoki 2-chi (1-o'tkazib yuborilgan) yoki bir vaqtning o'zida ikkala o'q - jami 3 ta mos kelmaydigan natija.

Birinchi usul: oldingi bandning tayyorlangan ehtimolini hisobga olgan holda, hodisani quyidagi ajratilgan hodisalarning yig'indisi sifatida ko'rsatish qulay:

biri oladi (2 ta mos kelmaydigan natijadan iborat hodisa) yoki
Agar ikkala o'q ham tegsa, biz bu hodisani harf bilan belgilaymiz.

Shunday qilib:

Mustaqil hodisalarning ehtimollarini ko'paytirish teoremasiga ko'ra:
1-o‘qchining urish ehtimoli va 2-o'qchi uradi.

Mos kelmaydigan hodisalar ehtimolini qo'shish teoremasiga ko'ra:
nishonga kamida bitta zarba berish ehtimoli.

Ikkinchi usul: qarama-qarshi hodisani ko'rib chiqing: - ikkala otuvchi ham o'tkazib yuboradi.

Mustaqil hodisalarning ehtimollarini ko'paytirish teoremasiga ko'ra:

Natijada:

Ikkinchi usulga alohida e'tibor bering - umuman olganda, bu yanada oqilona.

Bundan tashqari, yuqorida jim bo'lgan qo'shma hodisalarni yig'ish teoremasiga asoslangan muqobil, uchinchi hal qilish usuli mavjud.

! Agar siz materialni birinchi marta o'qiyotgan bo'lsangiz, chalkashmaslik uchun keyingi xatboshini o'tkazib yuborgan ma'qul.

Uchinchi usul : hodisalar qo'shma, ya'ni ularning yig'indisi "hech bo'lmaganda bitta otishma nishonga tegadi" hodisasini bildiradi (2-rasmga qarang). hodisalar algebrasi). tomonidan qo'shma hodisalar ehtimolini qo'shish teoremasi va mustaqil hodisalar ehtimolini ko'paytirish teoremasi:

Keling, tekshiramiz: voqealar va (mos ravishda 0, 1 va 2 ta urish) to'liq guruhni tashkil qiladi, shuning uchun ularning ehtimolliklari yig'indisi bittaga teng bo'lishi kerak:
, bu tekshirilishi kerak edi.

Javob:

Ehtimollar nazariyasini chuqur o'rganish bilan siz militaristik mazmundagi o'nlab vazifalarga duch kelasiz va bu odatiy hol, shundan keyin siz hech kimni otishni xohlamaysiz - vazifalar deyarli sovg'adir. Nima uchun shablonni yanada soddalashtirmaysiz? Keling, yozuvni qisqartiraylik:

Qaror: shartga ko'ra: , mos keladigan otuvchilarni urish ehtimoli. Keyin ularning o'tkazib yuborish ehtimoli:

a) Mos kelmaydigan ehtimolliklarni qo'shish va mustaqil hodisalar ehtimolini ko'paytirish teoremalariga ko'ra:
faqat bitta otuvchining nishonga tegishi ehtimoli.

b) Mustaqil hodisalar ehtimolini ko'paytirish teoremasiga ko'ra:
ikkala otuvchining ham o'tkazib yuborish ehtimoli.

Keyin: otishmachilardan kamida bittasi nishonga tegish ehtimoli.

Javob:

Amalda siz har qanday dizayn variantidan foydalanishingiz mumkin. Albatta, ular ko'pincha qisqa yo'ldan borishadi, lekin birinchi usulni unutmaslik kerak - u uzoqroq bo'lsa-da, u yanada mazmunli - unda aniqroq, nima, nima uchun va nima uchun qo'shadi va ko'paytiradi. Ba'zi hollarda, faqat ba'zi hodisalarni katta harflar bilan ko'rsatish qulay bo'lsa, gibrid uslub mos keladi.

Mustaqil hal qilish uchun o'xshash vazifalar:

Vazifa 6

Yong'in signalizatsiyasi uchun ikkita mustaqil ishlaydigan sensorlar o'rnatilgan. Yong'in paytida sensorning ishlash ehtimoli birinchi va ikkinchi sensorlar uchun mos ravishda 0,5 va 0,7 ni tashkil qiladi. Yong'in sodir bo'lish ehtimolini toping:

a) ikkala sensor ham ishlamay qoladi;
b) ikkala sensor ham ishlaydi.
c) foydalanish to'liq guruhni tashkil etuvchi hodisalarning ehtimolliklari uchun qo'shish teoremasi, yong'in paytida faqat bitta datchikning ishlash ehtimolini toping. Ushbu ehtimollikni to'g'ridan-to'g'ri hisoblash orqali natijani tekshiring (qo‘shish va ko‘paytirish teoremalaridan foydalanish).

Bu erda qurilmalarning ishlashining mustaqilligi to'g'ridan-to'g'ri vaziyatda ifodalanadi, bu, aytmoqchi, muhim tushuntirishdir. Namunaviy yechim akademik uslubda yaratilgan.

Agar shunga o'xshash masalada bir xil ehtimollar, masalan, 0,9 va 0,9 berilgan bo'lsa-chi? Siz aynan shunday qaror qabul qilishingiz kerak! (aslida bu misolda ikkita tanga bilan ko'rsatilgan)

Vazifa 7

Birinchi otuvchining nishonga bir marta zarba berish ehtimoli 0,8 ga teng. Birinchi va ikkinchi otishmachilar bir marta otishgandan keyin nishonga tegmaslik ehtimoli 0,08 ga teng. Ikkinchi otuvchining bir o‘q bilan nishonga tegish ehtimoli qanday?

Va bu qisqacha ramkaga solingan kichik jumboq. Shartni yanada ixchamroq tarzda qayta ishlab chiqish mumkin, lekin men asl nusxasini qayta tiklamayman - amalda men ko'proq bezakli uydirmalarni o'rganishim kerak.

U bilan tanishing - u siz uchun o'lchovsiz miqdordagi tafsilotlarni kesib tashlagan kishi =):

Vazifa 8

Bir ishchi uchta mashinani boshqaradi. O'zgartirish paytida birinchi mashina sozlashni talab qilish ehtimoli 0,3, ikkinchisi - 0,75, uchinchisi - 0,4. Shishish paytida yuzaga keladigan ehtimollikni toping:

a) barcha mashinalar sozlashni talab qiladi;
b) faqat bitta mashina sozlashni talab qiladi;
c) kamida bitta mashina sozlashni talab qiladi.

Qaror: shart bitta texnologik jarayon haqida hech narsa aytmaganligi sababli, har bir mashinaning ishlashi boshqa mashinalarning ishlashidan mustaqil ravishda ko'rib chiqilishi kerak.

5-topshiriqga o'xshab, bu erda siz mos keladigan mashinalar smenada sozlashni talab qiladigan voqealarni hisobga olishingiz mumkin, ehtimolliklarni yozing, qarama-qarshi hodisalarning ehtimolini toping va hokazo. Ammo uchta ob'ekt bilan men bunday vazifani tuzishni xohlamayman - bu uzoq va zerikarli bo'lib chiqadi. Shuning uchun bu erda "tezkor" uslubdan foydalanish sezilarli darajada foydalidir:

Shart bo'yicha: - smenada mos keladigan mashinalar sozlashni talab qilish ehtimoli. Keyin ular e'tiborni talab qilmaydigan ehtimollar:

O'quvchilardan biri bu erda ajoyib xato topdi, men uni hatto tuzatmayman =)

a) Mustaqil hodisalar ehtimolini ko'paytirish teoremasiga ko'ra:
smenada barcha uchta mashinani sozlashni talab qilish ehtimoli.

b) "Smenada faqat bitta mashina sozlashni talab qiladi" hodisasi uchta mos kelmaydigan natijadan iborat:

1) 1-mashina talab qiladi diqqat va 2-mashina talab qilmaydi va 3-mashina talab qilmaydi
yoki:
2) 1-mashina talab qilmaydi diqqat va 2-mashina talab qiladi va 3-mashina talab qilmaydi
yoki:
3) 1-mashina talab qilmaydi diqqat va 2-mashina talab qilmaydi va 3-mashina talab qiladi.

Mos kelmaydigan ehtimolliklarni qo'shish va mustaqil hodisalar ehtimolini ko'paytirish teoremalariga ko'ra:

- smenada faqat bitta mashina sozlashni talab qilish ehtimoli.

O'ylaymanki, hozircha bu ibora qayerdan kelgani aniq bo'lishi kerak

c) Mashinalarning sozlashni talab qilmaslik ehtimolini, keyin esa teskari hodisaning ehtimolini hisoblang:
- kamida bitta mashina sozlashni talab qiladi.

Javob:

"Ve" bandini yig'indi orqali ham hal qilish mumkin, bu erda smenada faqat ikkita mashina sozlashni talab qilish ehtimoli. Bu hodisa, o'z navbatida, "bo'l" bandiga o'xshashlik bilan imzolangan 3 ta mos kelmaydigan natijani o'z ichiga oladi. Tenglik yordamida butun muammoni tekshirish ehtimolini o'zingiz topishga harakat qiling.

9-topshiriq

Nishonga uchta qurol o'q uzdi. Birinchi quroldan faqat bitta o'q bilan urish ehtimoli 0,7, ikkinchidan - 0,6, uchinchidan - 0,8. Quyidagi ehtimolini toping: 1) kamida bitta snaryad nishonga tegishi; 2) nishonga faqat ikkita snaryad tegadi; 3) nishonga kamida ikki marta zarba beriladi.

Dars oxirida yechim va javob.

Va yana tasodiflar haqida: agar shart bo'yicha dastlabki ehtimolliklarning ikkita yoki hatto barcha qiymatlari mos keladigan bo'lsa (masalan, 0,7; 0,7 va 0,7), u holda aynan bir xil yechim algoritmiga amal qilish kerak.

Maqolani yakunlashda biz yana bir keng tarqalgan jumboqni tahlil qilamiz:

10-topshiriq

Otuvchi har bir o'q bilan nishonga bir xil ehtimollik bilan tegadi. Agar uchta zarbada kamida bitta zarba berish ehtimoli 0,973 bo'lsa, bu ehtimollik qanday bo'ladi.

Qaror: bilan belgilang - har bir o'q bilan nishonga tegish ehtimoli.
va orqali - har bir zarba bilan o'tkazib yuborish ehtimoli.

Keling, voqealarni yozamiz:
- 3 ta o'q bilan otishchi nishonga kamida bir marta tegadi;
- otuvchi 3 marta o'tkazib yuboradi.

Shartga ko'ra, qarama-qarshi hodisaning ehtimoli:

Boshqa tomondan, mustaqil hodisalarning ehtimolliklarini ko'paytirish teoremasiga ko'ra:

Shunday qilib:

- har bir zarbada o'tkazib yuborish ehtimoli.

Natijada:
har bir zarbani urish ehtimoli.

Javob: 0,7

Oddiy va oqlangan.

Ko'rib chiqilayotgan masalada faqat bitta zarba, faqat ikkita zarba va nishonga uchta zarba berish ehtimoli haqida qo'shimcha savollar qo'yilishi mumkin. Yechim sxemasi avvalgi ikkita misoldagi kabi bo'ladi:

Biroq, asosiy mazmunli farq shundaki, ular mavjud takroriy mustaqil testlar, ular ketma-ket, bir-biridan mustaqil ravishda va bir xil natijalar ehtimoli bilan amalga oshiriladi.

Mavzu: 15. NAZARIYANING ASOSIY TEOREMALARI

EHTIMOLLAR VA ULARNING OQIBATLARI

1. Qo`shma hodisalarning ehtimollarini qo`shish teoremasi.

2. Mustaqil hodisalarning ehtimolliklarini ko`paytirish teoremasi.

3. Hodisaning shartli ehtimolligi. Bog'liq hodisalarning ehtimollarini ko'paytirish teoremasi.

4. Qo`shma hodisalar ehtimolini qo`shish teoremasi.

5. Umumiy ehtimollik formulasi, Bayes formulasi.

6. Testlarni takrorlash.

1. Qo`shma hodisalarning ehtimollarini qo`shish teoremasi.

so'm bir nechta hodisalarning kamida bittasining sodir bo'lishidan iborat hodisa deyiladi.

Agar A va V hodisalar qo'shma bo'lsa, ularning A + B yig'indisi A hodisasi yoki B hodisasi yoki ikkala hodisaning birgalikda sodir bo'lishini ko'rsatadi. Agar A va B bir-biriga mos kelmaydigan hodisalar bo'lsa, ularning A + B yig'indisi A yoki B hodisasining sodir bo'lishini anglatadi.

ish ikkita A va B hodisa AB hodisasi deb ataladi, bu hodisalarning birgalikda sodir bo'lishidan iborat.

Teorema: Ikki mos kelmaydigan hodisadan birining ro'y berish ehtimoli, qaysi biri bo'lishidan qat'i nazar, bu hodisalarning ehtimolliklari yig'indisiga teng.

P (A + B) \u003d P (A) + P (B).

Natija: To'liq guruhni tashkil etuvchi mos kelmaydigan A 1 ,...,A n hodisalar ehtimoli yig'indisi birga teng:

P (A 1) + P (A 2) + ... + P (A n) \u003d 1

2. Mustaqil uchun ehtimollarni ko'paytirish teoremasi

voqealar .

Ikki hodisa deyiladi mustaqil agar ulardan birining paydo bo'lish ehtimoli boshqa voqea sodir bo'lgan yoki sodir bo'lmaganiga bog'liq bo'lmasa.

Agar ularning har biri va hodisalarning qolgan qismidan (qismi yoki hammasidan) tashkil topgan har qanday birikma mustaqil hodisalar bo'lsa, bir nechta hodisalar o'zaro mustaqil (yoki o'zaro mustaqil) deb ataladi.

Agar A 1 ,A 2 ,...,A n hodisalari oʻzaro mustaqil boʻlsa, ularning qarama-qarshi hodisalari ham oʻzaro mustaqildir.

Teorema: Bir nechta o'zaro mustaqil hodisalarning paydo bo'lish ehtimoli ushbu hodisalarning ehtimolliklari ko'paytmasiga teng .

P(A 1 LEKIN 2 ,...BEKIN n ) = P(A 1 )  P(A 2 )  ...  P(A n )

Ikki hodisa uchun P(AB) = P(A)  P(B)

Vazifa. Ikki merchandiser bir-biridan mustaqil ishlaydi. Birinchi merchandayser tomonidan nuqsonli mahsulotni o'tkazib yuborish ehtimoli 0,1; ikkinchisi 0,2. Mahsulotni ko'rishda ikkala merchandiser ham nikohni o'tkazib yubormaslik ehtimoli qanday?

Qaror: voqea A - merchandiser Men nikohni sog'indim, B voqea - merchandiser II nikohni o'tkazib yubordi.

Qayerda voqea A - nikoh sog'inmaydi I merchandiser,

voqea B - nikoh II merchandiser o'tkazib yubormaydi.

Ikkalasi ham bir-biridan mustaqil ishlaganligi sababli, A va B mustaqil hodisalardir.

3. Hodisaning shartli ehtimolligi. Bog'liq hodisalarning ehtimollarini ko'paytirish teoremasi.

B hodisasi deyiladi qaram A hodisasidan, agar A hodisaning sodir bo'lishi B hodisasining yuzaga kelish ehtimolini o'zgartirsa.

A hodisasi sodir bo'lgan shartda topilgan B hodisaning ehtimolligi deyiladi shartli ehtimollik hodisa B va P A (B) bilan belgilanadi.

Teorema : A va B ikkita bog'liq hodisalarning birgalikda sodir bo'lish ehtimoli, birinchi hodisa allaqachon sodir bo'lgan deb taxmin qilingan holda topilgan ikkinchisining shartli ehtimoli bilan ulardan birining ehtimoli ko'paytmasiga teng, ya'ni.

P(AB) = P(A) R LEKIN (B) yoki P (AB) \u003d P (B) P DA (AMMO)

Ehtimollarni ko'paytirish teoremasi A 1 A 2 ...A m bog'liq hodisalarning istalgan m soniga kengaytirilishi mumkin.

P(A 1 LEKIN 2 ..BEKIN m )=P(A 1 ) 

va keyingi hodisaning ehtimoli oldingi barcha sodir bo'lgan degan faraz asosida hisoblanadi.

Vazifa. Qutida 2 ta oq va 3 ta ko‘k qalam bor. Ikkita qalam qutidan ketma-ket chiqariladi. Ikkala qalamning ham oq bo'lish ehtimolini toping.

Yechish: A hodisasi - ikkala qalam ham oq, B hodisasi - birinchi oq qalamning paydo bo'lishi, C hodisasi - ikkinchi oq qalamning paydo bo'lishi.

Keyin A=B BILAN.

Birinchi qalam qutiga qaytarilmagani uchun, ya'ni. qutining tarkibi o'zgargan, keyin B va C hodisalari bog'liq.

P (B) \u003d 2/5; Biz C hodisasining ehtimolini B allaqachon sodir bo'lgan degan faraz ostida topamiz, ya'ni. P B (C) \u003d ¼.

Istalgan ehtimollik

Ish turi: 4

Vaziyat

Batareyaning zaryadlanmaganligi ehtimoli 0,15 ga teng. Do'kondagi mijoz ushbu batareyalardan ikkitasini o'z ichiga olgan tasodifiy paketni sotib oladi. Ushbu paketdagi ikkala batareyaning ham zaryadlangan bo'lish ehtimolini toping.

Yechimni ko'rsatish

Qaror

Batareyaning zaryadlanganligi ehtimoli 1-0,15 = 0,85. Keling, "ikkala batareya zaryadlangan" hodisasining ehtimolini topamiz. "Birinchi akkumulyator zaryadlangan" va "ikkinchi akkumulyator zaryadlangan" hodisalarini A va B bilan belgilang. Biz P (A) = P (B) = 0,85 ni oldik. "Ikkala batareya zaryadlangan" hodisasi A \ cap B hodisalarining kesishishi bo'lib, uning ehtimoli teng. P(A\capB) = P(A)\cdot P(B) = 0,85\cdot 0,85 = 0,7225.

Javob

Ish turi: 4
Mavzu: Hodisa ehtimolini qo‘shish va ko‘paytirish

Vaziyat

Qalamning nuqsonli bo'lish ehtimoli 0,05 ga teng. Do'kondagi mijoz ikkita qalamni o'z ichiga olgan tasodifiy paketni sotib oladi. Ushbu paketdagi ikkala qalam ham yaxshi bo'lish ehtimolini toping.

Yechimni ko'rsatish

Qaror

Qalamning yaxshi holatda bo'lish ehtimoli 1-0,05 = 0,95. “Ikkala tutqich ham ishlayapti” hodisasining ehtimolini topamiz. “Birinchi tutqich ishlayapti” va “ikkinchi tutqich ishlayapti” hodisalarini A va B bilan belgilang. Biz P (A) = P (B) = 0,95 ni oldik. "Ikkala tutqich ham yaxshi" hodisasi A \ cap B hodisalarining kesishishi bo'lib, uning ehtimoli teng. P(A\shapka B) = P(A)\cdot P(B) = 0,95\cdot 0,95 = 0,9025.

Javob

Manba: “Matematika. Imtihonga tayyorgarlik-2017. profil darajasi. Ed. F. F. Lisenko, S. Yu. Kulabuxova.

Ish turi: 4
Mavzu: Hodisa ehtimolini qo‘shish va ko‘paytirish

Vaziyat

Rasmda labirint ko'rsatilgan. Qo'ng'iz "Kirish" nuqtasida labirintga sudraladi. Qo'ng'iz teskari yo'nalishda aylana olmaydi, shuning uchun har bir vilkada u hali bo'lmagan yo'llardan birini tanlaydi. Agar keyingi yo'l tasodifiy tanlansa, qo'ng'izning D dan chiqishga kelish ehtimoli qanday?

Yechimni ko'rsatish

Qaror

Keling, chorrahada qo'ng'iz harakatlanishi mumkin bo'lgan yo'nalishlarda o'qlarni joylashtiramiz (rasmga qarang).

Keling, chorrahalarning har birida ikkita mumkin bo'lgan yo'nalishdan bittasini tanlaymiz va biz chorrahaga urilganda qo'ng'iz biz tanlagan yo'nalishda harakat qiladi deb faraz qilamiz.

Qo'ng'izning D chiqish joyiga etib borishi uchun har bir kesishmada qattiq qizil chiziq bilan ko'rsatilgan yo'nalish tanlanishi kerak. Hammasi bo'lib, yo'nalishni tanlash har safar oldingi tanlovdan qat'i nazar, 4 marta amalga oshiriladi. Har safar qattiq qizil o'q tanlanish ehtimoli \ frac12 \ cdot \ frac12 \ cdot \ frac12 \ cdot \ frac12 = 0,5^4= 0,0625.

Javob

Manba: “Matematika. Imtihonga tayyorgarlik-2017. profil darajasi. Ed. F. F. Lisenko, S. Yu. Kulabuxova.

Ish turi: 4
Mavzu: Hodisa ehtimolini qo‘shish va ko‘paytirish

Vaziyat

Avtoturargoh ikkita chiroqli chiroq bilan yoritilgan. Bir yil ichida bitta chiroqning yonib ketish ehtimoli 0,4 ga teng. Yilda kamida bitta chiroq yonib ketmasligi ehtimolini toping.

Yechimni ko'rsatish

Qaror

Birinchidan, muammo bayonotidan hodisaga qarama-qarshi bo'lgan "yil davomida ikkala chiroq ham yonib ketgan" hodisasining ehtimolini topamiz. A va B “birinchi chiroq bir yil ichida yonib ketdi” va “ikkinchi chiroq bir yil ichida yonib ketdi” hodisalarini bildirsin. Shart bo'yicha P (A) = P (B) = 0,4. "Bir yil ichida ikkala chiroq ham yonib ketdi" hodisasi A\cap B, uning ehtimoli P(A\capB) = P(A) \cdot P(B) = 0,4 \cdot 0,4 = 0,16 (chunki A va B hodisalar mustaqildir).

Istalgan ehtimollik teng 1 - P (A\ qopqoq B) = 1 - 0,16 = 0,84.

Javob

Manba: “Matematika. Imtihonga tayyorgarlik-2017. profil darajasi. Ed. F. F. Lisenko, S. Yu. Kulabuxova.

Ish turi: 4
Mavzu: Hodisa ehtimolini qo‘shish va ko‘paytirish

Vaziyat

Mehmonxonada ikkita sovutgich mavjud. Ularning har biri boshqa sovutgichdan qat'i nazar, 0,2 ehtimollik bilan noto'g'ri bo'lishi mumkin. Ushbu sovutgichlardan kamida bittasi xizmat ko'rsatish ehtimolini aniqlang.

Yechimni ko'rsatish

Qaror

Birinchidan, muammo bayonidagi hodisaga qarama-qarshi bo'lgan "ikkala sovutgich ham noto'g'ri" hodisasining ehtimolini topamiz. "Birinchi sovutgich noto'g'ri" va "ikkinchi sovutgich noto'g'ri" hodisalarini A va B bilan belgilang. Shart bo'yicha P (A) = P (B) = 0,2. "Ikkala sovutgich ham noto'g'ri" hodisasi A \cap B , A va B hodisalarining kesishishi, uning ehtimoli P(A \cap B) = P(A)\cdot P(B) = 0,2\cdot 0,2 = 0,04(chunki A va B hodisalar mustaqildir). Kerakli ehtimollik 1-P(A \cap B)=1-0,04=0,96.

Javob

Manba: “Matematika. Imtihonga tayyorgarlik-2017. profil darajasi. Ed. F. F. Lisenko, S. Yu. Kulabuxova.

Ish turi: 4
Mavzu: Hodisa ehtimolini qo‘shish va ko‘paytirish

Vaziyat

Fizika imtihonida talaba imtihon savollari roʻyxatidan bitta savolga javob beradi. Bu savolning "Mexanika" haqida bo'lish ehtimoli 0,25 ga teng. Bu savolning "Elektr energiyasi" haqida bo'lish ehtimoli 0,3 ga teng. Bir vaqtning o'zida ikkita mavzuga tegishli savollar yo'q. Talaba shu ikki mavzudan biriga savol berish ehtimolini toping.

Hodisa tushunchasi va hodisa ehtimoli. Muayyan va imkonsiz hodisalar. Ehtimollarning klassik ta'rifi. Ehtimollarni qo'shish teoremasi. Ehtimollarni ko'paytirish teoremasi. Ehtimollarni qo'shish yordamida ehtimollikni aniqlash uchun eng oddiy masalalarni yechish.

3.1-mavzu bo'yicha ko'rsatmalar:

Hodisa tushunchasi va hodisa ehtimoli. Muayyan va imkonsiz hodisalar. Ehtimollarning klassik ta'rifi:

Har bir hodisani kuzatish yoki tajriba ishlab chiqarish tartibida o'rganish ma'lum shartlar (sinovlar) majmuasini amalga oshirish bilan bog'liq. Sinovning har bir natijasi yoki natijasi chaqiriladi voqea.

Agar berilgan sharoitda hodisa ro'y berishi yoki sodir bo'lmasligi mumkin bo'lsa, u chaqiriladi tasodifiy. Voqea albatta sodir bo'lishi kerak bo'lsa, u chaqiriladi ishonchli, va agar bu albatta sodir bo'lmasa, - imkonsiz.

Voqealar deyiladi mos kelmaydigan agar ulardan faqat bittasi har safar paydo bo'lishi mumkin bo'lsa. Voqealar deyiladi qo'shma, agar berilgan shartlar ostida ushbu hodisalardan birining sodir bo'lishi bir xil sinovda ikkinchisining sodir bo'lishiga to'sqinlik qilmasa.

Voqealar deyiladi qarama-qarshi, agar test shartlariga ko'ra, ular uning yagona natijalari bo'lib, bir-biriga mos kelmasa.

Hodisa ehtimoli tasodifiy hodisaning yuzaga kelishining ob'ektiv imkoniyatining o'lchovi sifatida qaraladi.

Ehtimollik hodisalar sonining nisbati deyiladi m, ushbu hodisaning yuzaga kelishini ma'qullash, barcha natijalarning n soniga (mos kelmaydigan, noyob va teng darajada mumkin), ya'ni.

Har qanday hodisaning ehtimoli noldan kichik va birdan katta bo'lishi mumkin emas, ya'ni. . Mumkin bo'lmagan hodisa ehtimolga, ishonchli hodisa esa ehtimolga mos keladi

1-misol. 1000 ta chiptadan iborat lotereyada 200 ta yutuq bor. Bitta chipta tasodifiy o'ynaladi. Ushbu chiptaning yutish ehtimoli qanday?

Turli xil natijalarning umumiy soni n= 1000. G'oliblikni qo'llab-quvvatlaydigan natijalar soni m= 200. Formulaga ko'ra, biz olamiz.

2-misol. 5 ta oq va 3 ta qora shar bo'lgan urnadan bitta shar chiqariladi. To'pning qora bo'lish ehtimolini toping.

Qora sharning paydo bo'lishidan iborat hodisani bilan belgilaymiz. Ishlarning umumiy soni. Ishlar soni m, hodisaning yuzaga kelishi uchun qulay , 3 ga teng. Formulaga ko'ra, ni olamiz.

3-misol. 12 ta oq va 8 ta qora shar bo'lgan urnadan tasodifiy ikkita shar olinadi. Ikkala sharning ham qora bo'lish ehtimoli qanday?

Ikkita qora sharning paydo bo'lishidan iborat hodisani deb belgilaymiz. Mumkin bo'lgan holatlarning umumiy soni n 20 ta elementning kombinatsiyalar soni (12 + 8) ikkitadan ikkiga teng:

Ishlar soni m hodisa uchun qulaydir

Formuladan foydalanib, biz ikkita qora sharning paydo bo'lish ehtimolini topamiz:

Ehtimollarni qo'shish teoremasi. Ehtimollarni qo'shish teoremasi yordamida ehtimollikni aniqlash uchun eng oddiy muammolarni hal qilish:

Mos kelmaydigan hodisalarning ehtimolliklarini qo'shish teoremasi. Qaysi biri boʻlishidan qatʼi nazar, bir nechta juftlik mos kelmaydigan hodisalardan birining roʻy berish ehtimoli ushbu hodisalarning ehtimollik yigʻindisiga teng:

Qo'shma hodisalar ehtimolini qo'shish teoremasi. Ikki qo'shma hodisadan kamida bittasining sodir bo'lish ehtimoli ushbu hodisalarning birgalikda sodir bo'lish ehtimolisiz sodir bo'lish ehtimoli yig'indisiga teng:

4-misol. 20 ta qism tasodifiy ravishda qutiga joylashtirilgan, ulardan beshtasi standartdir. Ishchi tasodifiy uchta qismni oladi. Olingan qismlardan kamida bittasi standart bo'lish ehtimolini toping.

Shubhasiz, agar uchta mos kelmaydigan hodisa ro'y bersa, olingan qismlardan kamida bittasi standart bo'ladi: B- bir qismi standart, ikkitasi nostandart; C- ikkita qism standart, biri nostandart va D- uchta qism standartdir.

Shunday qilib, voqea A ushbu uchta hodisaning yig'indisi sifatida ifodalanishi mumkin: A=B+C+D. Qo'shish teoremasi bo'yicha biz bor P (A) = P (B) + P (C) + P (D). Ushbu hodisalarning har birining ehtimolini toping:

Topilgan qiymatlarni qo'shib, biz olamiz

5-misol. Tasodifiy tanlangan ikki xonali sonning bir vaqtning o'zida 3 yoki 5 ga yoki ikkalasiga karrali bo'lish ehtimolini toping.

Bo'lsin A- tasodifiy olingan sonning 3 ga karrali bo'lishidan iborat hodisa va B- bunda u 5 ga karrali bo'ladi. Keling, beri ni topamiz A va B qo'shma hodisalar, keyin biz formuladan foydalanamiz:

Hammasi bo'lib 90 ta ikki xonali sonlar mavjud: 10, 11, 98, 99. Ulardan 30 tasi 3 ning ko'paytmalari (hodisaning boshlanishiga yordam bering) A); 18 - 5 ning ko'paytmalari (hodisaning boshlanishini yoqing B) va 6 - bir vaqtning o'zida 3 va 5 ning ko'paytmalari (hodisaning boshlanishiga yordam bering AB). Shunday qilib, ya'ni.

Ehtimollarni ko'paytirish teoremasi:

Mustaqil hodisalar ehtimolini ko'paytirish teoremasi. Ikki mustaqil hodisaning birgalikda sodir bo'lish ehtimoli ushbu hodisalarning ehtimolliklarining ko'paytmasiga teng:

Agregatda mustaqil bo'lgan bir nechta hodisalarning sodir bo'lish ehtimoli quyidagi formula bo'yicha hisoblanadi:

Bog'liq hodisalarning ehtimollarini ko'paytirish teoremasi. Ikki bog'liq hodisaning birgalikda sodir bo'lish ehtimoli ulardan birining ikkinchisining shartli ehtimolligiga ko'paytmasiga teng:

6-misol. Bir idishda 4 ta oq va 8 ta qora shar, boshqasida 3 ta oq va 9 ta qora shar bor. Har bir urnadan to'p olindi. Ikkala sharning ham oq bo'lish ehtimolini toping.

Birinchi urnadan oq sharning ko'rinishi bo'lsin va ikkinchi urnadan oq sharning ko'rinishi bo'lsin. Shubhasiz, voqealar va mustaqil. Keling, topamiz

Formulaga ko'ra biz quyidagilarni olamiz:

3.1-mavzu bo'yicha o'z-o'zini tekshirish uchun savollar:

1. Hodisa nima?

2. Qanday hodisalar ishonchli deb ataladi?

3. Qanday hodisalar mumkin emas deb ataladi?

4. Ehtimollikni aniqlang.

5. Ehtimollarni qo‘shish teoremasini tuzing.

6. Ehtimollarni ko‘paytirish teoremasini tuzing.

3.1-mavzu bo'yicha mustaqil hal qilish uchun vazifalar:

1. Bir qutiga tasodifiy joylashtirilgan 10 ta qism mavjud, ulardan 4 tasi standartdir. Nazoratchi tasodifiy 3 qismni oldi. Olingan qismlardan kamida bittasi standart bo'lish ehtimolini toping.

2. Bir urnada 10 ta oq, 15 ta qora, 20 ta ko‘k va 25 ta qizil shar bor. Chizilgan to'pning bo'lish ehtimolini toping: 1) oq; 2) qora yoki qizil.

3. Tasodifiy tanlangan ikki xonali sonning bir vaqtning o‘zida 4 yoki 5 ga yoki ikkalasiga karrali bo‘lish ehtimolini toping.

4. Ishchi bir-biridan mustaqil ishlaydigan ikkita mashinaga xizmat qiladi. Bir soat ichida birinchi avtomatning ishchi diqqatini talab qilmasligi ehtimoli 0,8 ga, ikkinchi avtomat uchun esa 0,7 ga teng. Avtomatlarning birortasi ham bir soat davomida ishchi diqqatini talab qilmasligi ehtimolini toping.

5. Urunda 6 ta shar bor, ulardan 3 tasi oq. Ikkita to'p birin-ketin tasodifiy chiziladi. Ikkala to'pning ham oq bo'lish ehtimolini hisoblang.

6. Urunda 10 ta oq va 6 ta qora shar bor. Tasodifiy chizilgan uchta sharning birin-ketin qora bo'lish ehtimolini toping.