Har qanday til yordamida siz bir xil ma'lumotni turli so'z va iboralar bilan ifodalashingiz mumkin. Matematik til ham bundan mustasno emas. Ammo bir xil iborani turli yo'llar bilan ekvivalent tarzda yozish mumkin. Va ba'zi hollarda, yozuvlardan biri oddiyroq. Bu darsda iboralarni soddalashtirish haqida gapiramiz.

Odamlar turli tillarda muloqot qilishadi. Biz uchun "Rus tili - matematik til" juftligi muhim taqqoslashdir. Xuddi shu ma'lumot turli tillarda berilishi mumkin. Ammo, bundan tashqari, uni bir tilda boshqacha talaffuz qilish mumkin.

Masalan: "Pyotr Vasya bilan do'st", "Vasya Petya bilan do'st", "Pyotr va Vasya do'stlar". Turli xil dedi, lekin bitta va bir xil. Ushbu iboralarning har biri orqali biz nima xavf ostida ekanligini tushunamiz.

Keling, ushbu iborani ko'rib chiqaylik: "Bola Petya va bola Vasya do'stdir." Biz nima xavf ostida ekanligini tushunamiz. Biroq, bu iboraning qanday eshitilishi bizga yoqmaydi. Buni soddalashtira olmaymizmi, xuddi shunday deylik, lekin soddaroq? "Bola va bola" - siz bir marta aytishingiz mumkin: "Petya va Vasya o'g'il bolalar do'stdirlar."

“Bolalar”... Ismlaridan ma’lum emasmi, qiz emasligi. Biz "o'g'il bolalar" ni olib tashlaymiz: "Petya va Vasya do'stlar". Va "do'stlar" so'zini "do'stlar" bilan almashtirish mumkin: "Petya va Vasya do'stlar". Natijada, birinchi, uzun, xunuk iboraning o'rniga aytish osonroq va tushunarli bo'lgan ekvivalent gap qo'shildi. Biz bu iborani soddalashtirdik. Soddalash oson aytmoq, lekin yo'qotmaslik, ma'noni buzmaslik degani.

Xuddi shu narsa matematik tilda sodir bo'ladi. Xuddi shu narsani boshqacha aytish mumkin. Ifodani soddalashtirish nimani anglatadi? Bu shuni anglatadiki, asl ibora uchun juda ko'p ekvivalent iboralar, ya'ni bir xil ma'noni anglatuvchi iboralar mavjud. Va bu ko'pchilik orasidan, bizning fikrimizcha, eng oddiyini yoki keyingi maqsadlarimiz uchun eng mosini tanlashimiz kerak.

Masalan, raqamli ifodani ko'rib chiqing. ga teng bo'ladi.

Shuningdek, u birinchi ikkitasiga teng bo'ladi: .

Ma’lum bo‘lishicha, biz ifodalarimizni soddalashtirib, eng qisqa ekvivalent ifodani topdik.

Raqamli ifodalar uchun siz doimo barcha ishni bajarishingiz va ekvivalent ifodani bitta raqam sifatida olishingiz kerak.

To'g'ridan-to'g'ri ifodaga misolni ko'rib chiqing . Shubhasiz, bu oddiyroq bo'ladi.

To'g'ridan-to'g'ri iboralarni soddalashtirishda siz barcha mumkin bo'lgan amallarni bajarishingiz kerak.

Har doim ifodani soddalashtirish kerakmi? Yo'q, ba'zida ekvivalent, lekin uzunroq belgi biz uchun qulayroq bo'ladi.

Misol: Raqamni raqamdan ayiring.

Hisoblash mumkin, lekin agar birinchi raqam uning ekvivalent belgisi bilan ifodalangan bo'lsa: , u holda hisob-kitoblar bir zumda bo'lar edi: .

Ya'ni, soddalashtirilgan ifoda biz uchun har doim ham keyingi hisob-kitoblar uchun foydali emas.

Shunga qaramay, biz ko'pincha "ifodani soddalashtirish" kabi ko'rinadigan vazifaga duch kelamiz.

Ifodani soddalashtiring: .

Qaror

1) Birinchi va ikkinchi qavsdagi amallarni bajaring: .

2) Mahsulotlarni hisoblang: .

Shubhasiz, oxirgi ibora boshlang'ichga qaraganda soddaroq shaklga ega. Biz buni soddalashtirdik.

Ifodani soddalashtirish uchun uni ekvivalent (teng) bilan almashtirish kerak.

Ekvivalent ifodani aniqlash uchun quyidagilar zarur:

1) barcha mumkin bo'lgan harakatlarni bajarish;

2) hisoblashlarni soddalashtirish uchun qo‘shish, ayirish, ko‘paytirish va bo‘lish xossalaridan foydalanish.

Qo'shish va ayirishning xossalari:

1. Qo‘shishning almashinish xususiyati: shartlarni qayta joylashtirishdan yig‘indi o‘zgarmaydi.

2. Qo‘shishning assotsiativ xossasi: ikki sonning yig‘indisiga uchinchi sonni qo‘shish uchun birinchi songa ikkinchi va uchinchi sonlar yig‘indisini qo‘shish mumkin.

3. Sondan yig‘indini ayirish xossasi: sondan yig‘indini ayirish uchun har bir hadni alohida ayirish mumkin.

Ko`paytirish va bo`lish xossalari

1. Ko'paytirishning almashinish xususiyati: ko'paytma omillarni almashtirishdan o'zgarmaydi.

2. Assotsiativ xususiyat: sonni ikki sonning ko‘paytmasiga ko‘paytirish uchun avval uni birinchi ko‘paytmaga, so‘ngra hosil bo‘lgan ko‘paytmani ikkinchi ko‘paytmaga ko‘paytirish mumkin.

3. Ko'paytirishning taqsimlanish xususiyati: sonni yig'indiga ko'paytirish uchun uni har bir hadga alohida ko'paytirish kerak.

Keling, aqliy hisob-kitoblarni qanday qilishimizni ko'rib chiqaylik.

Hisoblash:

Qaror

1) Qanday qilib tasavvur qiling

2) Birinchi omilni bit hadlar yig‘indisi sifatida ifodalaymiz va ko‘paytirishni bajaramiz:

3) ko'paytirishni qanday va qanday bajarishni tasavvur qilishingiz mumkin:

4) Birinchi koʻrsatkichni ekvivalent yigʻindi bilan almashtiring:

Tarqatish qonuni teskari yo'nalishda ham qo'llanilishi mumkin: .

Quyidagi amallarni bajaring:

1) 2)

Qaror

1) Qulaylik uchun siz tarqatish qonunidan foydalanishingiz mumkin, uni faqat teskari yo'nalishda qo'llang - umumiy omilni qavslardan chiqarib oling.

2) Qavslar ichidan umumiy ko‘rsatkichni chiqaramiz

Oshxonada va koridorda linoleum sotib olish kerak. Oshxona maydoni - koridor -. Linolyumlarning uch turi mavjud: uchun va rubl uchun. Uch turdagi linolyumning har biri qancha turadi? (1-rasm)

Guruch. 1. Masalaning sharti uchun rasm

Qaror

Usul 1. Oshxonada linoleum sotib olish uchun qancha pul kerakligini alohida topishingiz mumkin, keyin uni koridorga qo'shib, natijada olingan ishlarni qo'shishingiz mumkin.

Ifodalar, ifoda konvertatsiyasi

Quvvat ifodalari (kuchli ifodalar) va ularning transformatsiyasi

Ushbu maqolada biz iboralarni kuchlar bilan o'zgartirish haqida gapiramiz. Birinchidan, biz har qanday turdagi ifodalar, jumladan, qavslarni ochish, o'xshash atamalarni qisqartirish kabi kuch ifodalari bilan amalga oshiriladigan o'zgarishlarga e'tibor qaratamiz. Va keyin biz vakolatli iboralarga xos bo'lgan o'zgarishlarni tahlil qilamiz: asos va ko'rsatkich bilan ishlash, kuchlar xususiyatlaridan foydalanish va hk.

Sahifani navigatsiya qilish.

Quvvat ifodalari nima?

"Kuch ifodalari" atamasi maktab matematika darsliklarida deyarli uchramaydi, lekin u ko'pincha, masalan, Yagona davlat imtihoniga va OGEga tayyorgarlik ko'rish uchun mo'ljallangan vazifalar to'plamida uchraydi. Har qanday harakatlarni kuch ifodalari bilan bajarish talab qilinadigan vazifalarni tahlil qilgandan so'ng, kuch ifodalari ularning yozuvlarida darajalarni o'z ichiga olgan iboralar sifatida tushunilishi aniq bo'ladi. Shuning uchun, siz o'zingiz uchun quyidagi ta'rifni olishingiz mumkin:

Ta'rif.

Quvvat ifodalari vakolatlarni o'z ichiga olgan iboralardir.

olib kelamiz kuch ifodalariga misollar. Bundan tashqari, biz ularni qarashlarning tabiiy ko'rsatkichli darajadan real ko'rsatkichli darajaga qadar rivojlanishiga qarab taqdim etamiz.

Ma’lumki, dastlab natural ko‘rsatkichli sonning darajasi bilan tanishish bo‘lib, bu bosqichda 3 2 , 7 5 +1 , (2+1) 5 , (−0,) tipidagi birinchi eng oddiy daraja ifodalari. 1) 4 , 3 a 2 −a+a 2 , x 3−1 , (a 2) 3 va hokazo.

Biroz vaqt o'tgach, butun ko'rsatkichli sonning kuchi o'rganiladi, bu manfiy butun darajali daraja ifodalarining paydo bo'lishiga olib keladi, masalan: 3 -2, , a -2 +2 b -3 + c 2.

Yuqori sinflarda ular yana darajalarga qaytadilar. U erda ratsional ko'rsatkichli daraja kiritiladi, bu tegishli kuch ifodalarining paydo bo'lishiga olib keladi: , , va h.k. Nihoyat, irratsional darajali darajalar va ularni o'z ichiga olgan ifodalar ko'rib chiqiladi: , .

Gap faqat sanab o'tilgan kuch ifodalari bilan cheklanmaydi: keyinchalik o'zgaruvchi ko'rsatkichga kiradi va, masalan, 2 x 2 +1 yoki bunday ifodalar mavjud. . Va tanishgandan so'ng, darajalar va logarifmli iboralar paydo bo'la boshlaydi, masalan, x 2 lgx -5 x lgx.

Shunday qilib, biz kuch ifodalari nima degan savolni aniqladik. Keyinchalik, biz ularni qanday o'zgartirishni o'rganamiz.

Quvvat ifodalarini o'zgartirishning asosiy turlari

Quvvat ifodalari yordamida siz iboralarning har qanday asosiy identifikatorini o'zgartirishingiz mumkin. Masalan, qavslarni kengaytirish, raqamli ifodalarni ularning qiymatlari bilan almashtirish, o'xshash shartlarni qo'shish va hokazo. Tabiiyki, bu holda harakatlarni amalga oshirish uchun qabul qilingan tartibga rioya qilish kerak. Keling, misollar keltiraylik.

Misol.

Quvvat ifodasining qiymatini hisoblang 2 3 ·(4 2 −12) .

Qaror.

Harakatlar tartibiga ko'ra, biz birinchi navbatda qavs ichidagi amallarni bajaramiz. U erda, birinchidan, biz 4 2 kuchini uning qiymati 16 bilan almashtiramiz (kerak bo'lsa, qarang), ikkinchidan, farqni hisoblaymiz 16−12=4 . Bizda ... bor 2 3 (4 2 −12)=2 3 (16−12)=2 3 4.

Olingan ifodada 2 3 ning kuchini uning qiymati 8 ga almashtiramiz, shundan so'ng 8·4=32 ko'paytmani hisoblaymiz. Bu kerakli qiymat.

Shunday qilib, 2 3 (4 2 −12)=2 3 (16−12)=2 3 4=8 4=32.

Javob:

2 3 (4 2 −12)=32 .

Misol.

Quvvat ifodalarini soddalashtiring 3 a 4 b −7 −1+2 a 4 b −7.

Qaror.

Shubhasiz, bu ifoda 3 · a 4 · b - 7 va 2 · a 4 · b - 7 o'xshash atamalarni o'z ichiga oladi va biz ularni qisqartirishimiz mumkin: .

Javob:

3 a 4 b −7 −1+2 a 4 b −7 =5 a 4 b −7 −1.

Misol.

Mahsulot sifatida kuchlar bilan ifodani ifodalang.

Qaror.

Vazifani bajarish uchun 9 raqamini 3 2 ning kuchi sifatida ko'rsatish va kvadratlar farqini qisqartirilgan ko'paytirish uchun formuladan foydalanish mumkin:

Javob:

Quvvat ifodalariga xos bo'lgan bir qancha o'xshash o'zgarishlar ham mavjud. Keyinchalik, biz ularni tahlil qilamiz.

Baza va ko‘rsatkich bilan ishlash

Darajalar mavjud bo'lib, ularning asosi va/yoki ko'rsatkichlari nafaqat raqamlar yoki o'zgaruvchilar, balki ba'zi ifodalardir. Misol tariqasida (2+0,3 7) 5−3,7 va (a (a+1)−a 2) 2 (x+1) ni yozamiz.

Bunday iboralar bilan ishlashda daraja asosidagi ifodani ham, indikatordagi ifodani ham uning o'zgaruvchilari DPV bo'yicha bir xil teng ifoda bilan almashtirish mumkin. Boshqacha qilib aytadigan bo'lsak, bizga ma'lum bo'lgan qoidalarga ko'ra, biz daraja bazasini alohida-alohida va alohida - ko'rsatkichni aylantirishimiz mumkin. Ko'rinib turibdiki, bu o'zgartirish natijasida asli bilan bir xilda teng bo'lgan ifoda olinadi.

Bunday o'zgarishlar bizga vakolatlar bilan ifodalarni soddalashtirish yoki bizga kerak bo'lgan boshqa maqsadlarga erishish imkonini beradi. Masalan, yuqorida aytib o'tilgan (2+0,3 7) 5−3,7 kuch ifodasida asos va ko'rsatkichdagi raqamlar bilan amallarni bajarish mumkin, bu esa 4,1 1,3 darajasiga o'tish imkonini beradi. Qavslarni ochib, (a (a+1)−a 2) 2 (x+1) daraja asosiga oʻxshash atamalarni keltirganimizdan soʻng oddiyroq a 2 (x+1) koʻrinishidagi daraja ifodasini olamiz.

Quvvat xususiyatlaridan foydalanish

Kuchlar bilan ifodalarni o'zgartirishning asosiy vositalaridan biri aks ettiruvchi tenglikdir. Keling, asosiylarini eslaylik. Har qanday musbat a va b sonlar va ixtiyoriy r va s haqiqiy sonlar uchun quyidagi quvvat xossalari amal qiladi:

• a r a s =a r+s ;
• a r:a s =a r−s ;
• (a b) r = a r b r;
• (a:b) r =a r:b r ;
• (a r) s =a r s .

E'tibor bering, tabiiy, butun va musbat darajalar uchun a va b raqamlariga cheklovlar unchalik qattiq bo'lmasligi mumkin. Masalan, m va n natural sonlar uchun a m a n =a m+n tenglik faqat musbat a uchun emas, balki manfiy sonlar uchun ham, a=0 uchun ham to‘g‘ri bo‘ladi.

Maktabda kuch ifodalarini o'zgartirishda asosiy e'tibor aynan tegishli xususiyatni tanlash va uni to'g'ri qo'llash qobiliyatiga qaratilgan. Bunday holda, darajalarning asoslari odatda ijobiy bo'lib, bu darajalarning xususiyatlaridan cheklovlarsiz foydalanishga imkon beradi. Xuddi shu narsa darajalar asoslarida o'zgaruvchilarni o'z ichiga olgan iboralarni o'zgartirish uchun ham amal qiladi - o'zgaruvchilarning qabul qilinadigan qiymatlari diapazoni odatda shunday bo'ladiki, asoslar faqat ijobiy qiymatlarni oladi, bu sizga xususiyatlardan erkin foydalanish imkonini beradi. darajalar. Umuman olganda, siz doimo o'zingizdan bu holatda darajalarning har qanday xususiyatini qo'llash mumkinmi, deb so'rashingiz kerak, chunki xususiyatlardan noto'g'ri foydalanish ODZning torayishi va boshqa muammolarga olib kelishi mumkin. Ushbu fikrlar batafsil va misollar bilan maqolada darajalar xususiyatlaridan foydalangan holda ifodalarni o'zgartirishda muhokama qilinadi. Bu erda biz bir nechta oddiy misollar bilan cheklanamiz.

Misol.

a 2,5 ·(a 2) −3:a −5,5 ifodani a asosli daraja sifatida ifodalang.

Qaror.

Birinchidan, biz ikkinchi omilni (a 2) -3 ni quvvatni kuchga ko'tarish xususiyatiga aylantiramiz: (a 2) −3 =a 2 (−3) =a −6. Bunday holda, boshlang'ich kuch ifodasi a 2,5 ·a -6:a -5,5 ko'rinishini oladi. Shubhasiz, bir xil asosga ega bo'lgan kuchlarni ko'paytirish va bo'lish xususiyatlaridan foydalanish qoladi.
a 2,5 a -6:a -5,5 =
a 2,5−6:a−5,5 =a−3,5:a−5,5 =
a −3,5−(−5,5) =a 2 .

Javob:

a 2,5 (a 2) -3:a -5,5 \u003d a 2.

Quvvat xususiyatlari kuch ifodalarini chapdan o'ngga va o'ngdan chapga o'zgartirganda ishlatiladi.

Misol.

Quvvat ifodasining qiymatini toping.

Qaror.

Tenglik (a·b) r =a r ·b r , o'ngdan chapga qo'llaniladi, dastlabki ifodadan shaklning mahsulotiga va undan keyingisiga o'tish imkonini beradi. Va kuchlarni bir xil asosga ko'paytirishda ko'rsatkichlar qo'shiladi: .

Asl ifodani o'zgartirishni boshqa yo'l bilan amalga oshirish mumkin edi:

Javob:

.

Misol.

1,5 −a 0,5 −6 quvvat ifodasi berilgan bo‘lsa, t=a 0,5 yangi o‘zgaruvchini kiriting.

Qaror.

a 1,5 darajasi 0,5 3 sifatida ifodalanishi mumkin va undan keyin darajaning xossasi asosida (a r) s =a r s o'ngdan chapga qo'llaniladi, uni (a 0,5) 3 ko'rinishiga aylantiring. Shunday qilib, a 1,5 -a 0,5 -6=(a 0,5) 3 -a 0,5 -6. Endi t=a 0,5 yangi o'zgaruvchini kiritish oson, biz t 3 −t−6 ni olamiz.

Javob:

t 3 −t−6 .

Darajani o'z ichiga olgan kasrlarni aylantirish

Quvvat ifodalari darajali kasrlarni o'z ichiga olishi yoki bunday kasrlarni ifodalashi mumkin. Har qanday turdagi kasrlarga xos bo'lgan har qanday asosiy kasr o'zgarishlari bunday kasrlar uchun to'liq qo'llaniladi. Ya'ni, darajalari bo'lgan kasrlarni qisqartirish, yangi maxrajga keltirish, o'z hisoblagichi bilan alohida va maxraj bilan alohida ishlashi mumkin va hokazo. Yuqoridagi so'zlarni tasvirlash uchun bir nechta misollarning echimlarini ko'rib chiqing.

Misol.

Quvvat ifodasini soddalashtiring .

Qaror.

Bu kuch ifodasi kasrdir. Keling, uning soni va maxraji bilan ishlaymiz. Numeratorda biz qavslarni ochamiz va undan keyin olingan ifodani darajalar xususiyatlaridan foydalangan holda soddalashtiramiz va maxrajda biz shunga o'xshash atamalarni taqdim etamiz:

Va kasr oldiga minus qo'yib, maxraj belgisini ham o'zgartiramiz: .

Javob:

.

Darajasi bo'lgan kasrlarni yangi maxrajga kamaytirish ratsional kasrlarni yangi maxrajga qisqartirish kabi amalga oshiriladi. Shu bilan birga, qo'shimcha ko'rsatkich ham topiladi va kasrning soni va maxraji unga ko'paytiriladi. Ushbu harakatni amalga oshirayotganda, yangi denominatorga qisqartirish DPV ning torayishiga olib kelishi mumkinligini yodda tutish kerak. Buning oldini olish uchun qo'shimcha omil asl ifoda uchun ODZ o'zgaruvchilardan o'zgaruvchilarning hech qanday qiymatlari uchun yo'qolmasligi kerak.

Misol.

Kasrlarni yangi maxrajga keltiring: a) a, b) maxrajga. maxrajga.

Qaror.

a) Bunday holda, kerakli natijaga erishish uchun qanday qo'shimcha omil yordam berishini aniqlash juda oson. Bu a 0,3 omil, chunki a 0,7 a 0,3 = a 0,7+0,3 = a . E'tibor bering, a o'zgaruvchisining qabul qilinadigan qiymatlari oralig'ida (bu barcha ijobiy haqiqiy raqamlar to'plami), a darajasi 0,3 yo'qolmaydi, shuning uchun biz berilgan kasrning hisoblagichi va maxrajini ko'paytirish huquqiga egamiz. ushbu qo'shimcha omil bilan:

b) maxrajga diqqat bilan qarasak, buni topamiz

va bu ifodani ga ko'paytirsak kublar yig'indisi va , ya'ni . Va bu biz asl kasrni keltirishimiz kerak bo'lgan yangi maxrajdir.

Shunday qilib, biz qo'shimcha omil topdik. Ifoda x va y o'zgaruvchilarning qabul qilinadigan qiymatlari oralig'ida yo'qolmaydi, shuning uchun biz kasrning numeratori va maxrajini unga ko'paytirishimiz mumkin:

Javob:

a) , b) .

Darajani o'z ichiga olgan kasrlarni kamaytirishda ham yangilik yo'q: pay va maxraj ma'lum miqdordagi omillar sifatida ifodalanadi va pay va maxrajning bir xil omillari kamayadi.

Misol.

Kasrni kamaytiring: a) , b).

Qaror.

a) Birinchidan, pay va maxrajni 30 va 45 raqamlariga qisqartirish mumkin, bu 15 ga teng. Bundan tashqari, shubhasiz, siz x 0,5 +1 va tomonidan kamaytirishingiz mumkin . Bizda nima bor:

b) Bunda sanoq va maxrajdagi bir xil omillar darhol ko'rinmaydi. Ularni olish uchun siz dastlabki o'zgarishlarni amalga oshirishingiz kerak. Bunday holda, ular maxrajni kvadratlar farqi formulasiga muvofiq omillarga ajratishdan iborat:

Javob:

a)

b) .

Kasrlarni yangi maxrajga keltirish va kasrlarni kamaytirish asosan kasrlar ustida amallarni bajarish uchun ishlatiladi. Harakatlar ma'lum qoidalarga muvofiq amalga oshiriladi. Kasrlarni qo'shish (ayirish) paytida ular umumiy maxrajga keltiriladi, shundan so'ng hisoblagichlar qo'shiladi (ayiriladi) va maxraj bir xil bo'lib qoladi. Natijada ayiruvchisi ayirmalarning ko‘paytmasiga, maxraji esa maxrajlarning ko‘paytmasiga teng kasr hosil bo‘ladi. Kasrga bo'lish uning o'zaro ko'paytirishdir.

Misol.

Qadamlarni bajaring .

Qaror.

Birinchidan, qavs ichidagi kasrlarni ayiramiz. Buning uchun biz ularni umumiy maxrajga keltiramiz, ya'ni , keyin sonlarni ayirish:

Endi kasrlarni ko'paytiramiz:

Shubhasiz, quvvatni x 1/2 ga kamaytirish mumkin, shundan keyin biz bor .

Shuningdek, kvadratlar farqi formulasidan foydalanib, maxrajdagi kuch ifodasini soddalashtirishingiz mumkin: .

Javob:

Misol.

Quvvat ifodasini soddalashtiring .

Qaror.

Shubhasiz, bu kasrni (x 2,7 +1) 2 ga kamaytirish mumkin, bu kasrni beradi. . X ning kuchlari bilan yana bir narsa qilish kerakligi aniq. Buning uchun hosil bo'lgan kasrni mahsulotga aylantiramiz. Bu bizga bir xil asoslar bilan vakolatlarni taqsimlash xususiyatidan foydalanish imkoniyatini beradi: . Va jarayonning oxirida biz oxirgi mahsulotdan fraktsiyaga o'tamiz.

Javob:

.

Va shuni qo'shamizki, manfiy ko'rsatkichli omillarni ko'rsatkich belgisini o'zgartirib, sondan maxrajga yoki maxrajdan hisoblagichga o'tkazish mumkin va ko'p hollarda maqsadga muvofiqdir. Bunday o'zgarishlar ko'pincha keyingi harakatlarni soddalashtiradi. Masalan, kuch ifodasi bilan almashtirilishi mumkin.

Ildiz va kuch bilan ifodalarni aylantirish

Ko'pincha, ba'zi transformatsiyalar talab qilinadigan iboralarda kasr ko'rsatkichlari bilan darajalar bilan bir qatorda ildizlar ham mavjud. Bunday ifodani kerakli shaklga aylantirish uchun ko'p hollarda faqat ildizlarga yoki faqat kuchlarga o'tish kifoya. Ammo darajalar bilan ishlash qulayroq bo'lgani uchun ular odatda ildizlardan darajaga o'tadilar. Biroq, asl ifoda uchun o'zgaruvchilarning ODZ moduliga kirish yoki ODZni bir nechta intervallarga bo'lish kerak bo'lmasdan ildizlarni darajalar bilan almashtirishga imkon berganda bunday o'tishni amalga oshirish tavsiya etiladi (biz buni batafsil muhokama qildik. maqola, ildizlardan darajalarga o'tish va aksincha Ratsional ko'rsatkichli daraja bilan tanishgandan so'ng irratsional ko'rsatkichli daraja kiritiladi, bu ixtiyoriy real ko'rsatkichli daraja haqida gapirishga imkon beradi.Bu bosqichda, maktab o'qishni boshlaydi eksponensial funktsiya, analitik ravishda daraja bilan beriladi, uning asosida raqam mavjud va ko'rsatkichda - o'zgaruvchi. Shunday qilib, biz daraja bazasida raqamlarni o'z ichiga olgan ko'rsatkichli ifodalarga duch kelamiz va ko'rsatkichda - o'zgaruvchili ifodalar va tabiiy ravishda bunday ifodalarni o'zgartirish zarurati tug'iladi.

Aytish kerakki, ko'rsatilgan turdagi ifodalarni o'zgartirish odatda hal qilishda amalga oshirilishi kerak eksponensial tenglamalar va eksponensial tengsizliklar, va bu o'zgarishlar juda oddiy. Aksariyat hollarda ular darajaning xususiyatlariga asoslanadi va asosan kelajakda yangi o'zgaruvchini kiritishga qaratilgan. Tenglama bizga ularni ko'rsatishga imkon beradi 5 2 x+1 −3 5 x 7 x −14 7 2 x−1 =0.

Birinchidan, ko'rsatkichlarida qandaydir o'zgaruvchi (yoki o'zgaruvchili ifoda) va sonning yig'indisi topilgan ko'rsatkichlar ko'paytmalar bilan almashtiriladi. Bu chap tomondagi ifodaning birinchi va oxirgi shartlariga taalluqlidir:
5 2 x 5 1 −3 5 x 7 x −14 7 2 x 7 −1 =0,
5 5 2 x −3 5 x 7 x −2 7 2 x =0.

Keyinchalik, tenglikning ikkala qismi 7 2 x ifodasiga bo'linadi, bu asl tenglama uchun x o'zgaruvchisining ODZ-da faqat ijobiy qiymatlarni oladi (bu bunday tenglamalarni echishning standart usuli, biz bunday emasmiz. hozir bu haqda gapirganda, shuning uchun kuchlar bilan ifodalarning keyingi o'zgarishlariga e'tibor bering ):

Endi kuchga ega bo'lgan kasrlar bekor qilinadi, bu beradi .

Nihoyat, bir xil ko'rsatkichlarga ega bo'lgan kuchlar nisbati nisbatlarning vakolatlari bilan almashtiriladi, bu tenglamaga olib keladi. ga teng . Amalga oshirilgan o'zgartirishlar bizga yangi o'zgaruvchini kiritish imkonini beradi, bu esa dastlabki ko'rsatkichli tenglamaning yechimini kvadrat tenglamaning yechimiga qisqartiradi.

I. V. Boikov, L. D. Romanova Imtihonga tayyorgarlik ko'rish uchun topshiriqlar to'plami. 1-qism. Penza 2003 yil.

Keling, iboralarni kuchlar bilan o'zgartirish mavzusini ko'rib chiqaylik, lekin avval biz har qanday iboralar, shu jumladan kuch bilan ham amalga oshirilishi mumkin bo'lgan bir qator o'zgarishlarga to'xtalib o'tamiz. Qavslarni ochish, o‘xshash atamalar berish, asos va ko‘rsatkich bilan ishlash, darajalar xossalaridan foydalanishni o‘rganamiz.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Quvvat ifodalari nima?

Maktab kursida kam odam "kuch ifodalari" iborasini ishlatadi, ammo bu atama doimiy ravishda imtihonga tayyorgarlik ko'rish uchun to'plamlarda uchraydi. Ko'pgina hollarda, ibora o'z yozuvlarida darajalarni o'z ichiga olgan iboralarni bildiradi. Buni biz ta'rifimizda aks ettiramiz.

Ta'rif 1

Quvvat ifodasi darajalarni o'z ichiga olgan ifodadir.

Biz kuch ifodalariga bir nechta misollarni keltiramiz, ular tabiiy ko'rsatkichli darajadan boshlanib, haqiqiy darajali daraja bilan tugaydi.

Eng oddiy kuch ifodalarini natural darajali sonning darajalari deb hisoblash mumkin: 3 2 , 7 5 + 1 , (2 + 1) 5 , (− 0 , 1) 4 , 2 2 3 3 , 3 a 2 − a + a 2 , x 3 - 1 , (a 2) 3 . Shuningdek, nol darajali darajalar: 5 0 , (a + 1) 0 , 3 + 5 2 − 3 , 2 0 . Va manfiy butun darajali darajalar: (0 , 5) 2 + (0 , 5) - 2 2 .

Ratsional va irratsional ko'rsatkichlarga ega bo'lgan daraja bilan ishlash biroz qiyinroq: 264 1 4 - 3 3 3 1 2 , 2 3 , 5 2 - 2 2 - 1 , 5 , 1 a 1 4 a 1 2 - 2 a - 1 6 · b 1 2, x p · x 1 - p, 2 3 3 + 5.

Ko'rsatkich 3 x - 54 - 7 3 x - 58 o'zgaruvchisi yoki logarifm bo'lishi mumkin. x 2 l g x - 5 x l g x.

Biz kuch ifodalari nima degan savolni ko'rib chiqdik. Endi ularning o'zgarishini ko'rib chiqaylik.

Quvvat ifodalarini o'zgartirishning asosiy turlari

Avvalo, kuch ifodalari bilan bajarilishi mumkin bo'lgan ifodalarning asosiy o'ziga xos o'zgarishlarini ko'rib chiqamiz.

1-misol

Quvvat ifodasi qiymatini hisoblang 2 3 (4 2 - 12).

Qaror

Biz barcha o'zgarishlarni harakatlar tartibiga rioya qilgan holda amalga oshiramiz. Bunday holda, biz qavs ichidagi harakatlarni bajarishdan boshlaymiz: biz darajani raqamli qiymat bilan almashtiramiz va ikki raqam orasidagi farqni hisoblaymiz. Bizda ... bor 2 3 (4 2 - 12) = 2 3 (16 - 12) = 2 3 4.

Darajani almashtirish biz uchun qoladi 2 3 uning ma'nosi 8 va mahsulotni hisoblang 8 4 = 32. Mana bizning javobimiz.

Javob: 2 3 (4 2 - 12) = 32 .

2-misol

Kuchlar bilan ifodani soddalashtiring 3 a 4 b - 7 - 1 + 2 a 4 b - 7.

Qaror

Muammo shartida bizga berilgan ibora o'xshash atamalarni o'z ichiga oladi, biz ularni keltira olamiz: 3 a 4 b − 7 − 1 + 2 a 4 b − 7 = 5 a 4 b − 7 − 1.

Javob: 3 a 4 b - 7 - 1 + 2 a 4 b - 7 = 5 a 4 b - 7 - 1.

3-misol

9 - b 3 · p - 1 2 darajali ifodani hosila sifatida ifodalang.

Qaror

9 raqamini kuch sifatida ifodalaylik 3 2 va qisqartirilgan ko'paytirish formulasini qo'llang:

9 - b 3 p - 1 2 = 3 2 - b 3 p - 1 2 = = 3 - b 3 p - 1 3 + b 3 p - 1

Javob: 9 - b 3 p - 1 2 = 3 - b 3 p - 1 3 + b 3 p - 1.

Keling, kuch ifodalariga maxsus qo'llanilishi mumkin bo'lgan bir xil o'zgarishlar tahliliga o'tamiz.

Baza va ko‘rsatkich bilan ishlash

Baza yoki ko'rsatkichdagi daraja raqamlar, o'zgaruvchilar va ba'zi ifodalarga ega bo'lishi mumkin. Misol uchun, (2 + 0 , 3 7) 5 − 3 , 7 va . Bunday yozuvlar bilan ishlash qiyin. Darajaning asosidagi ifoda yoki ko'rsatkichdagi ifodani bir xil teng ifoda bilan almashtirish ancha oson.

Darajani va ko'rsatkichni o'zgartirish bizga ma'lum bo'lgan qoidalarga muvofiq bir-biridan alohida amalga oshiriladi. Eng muhimi, o'zgartirishlar natijasida asl nusxaga o'xshash ifoda olinadi.

Transformatsiyalarning maqsadi asl ifodani soddalashtirish yoki muammoning echimini olishdir. Masalan, biz yuqorida keltirgan misolda (2 + 0 , 3 7) 5 − 3 , 7 darajaga oʻtish amallarini bajarishingiz mumkin. 4 , 1 1 , 3 . Qavslarni ochib, biz daraja asosiga o'xshash atamalarni keltira olamiz (a (a + 1) − a 2) 2 (x + 1) va soddaroq shakldagi kuch ifodasini oling a 2 (x + 1).

Quvvat xususiyatlaridan foydalanish

Tenglik sifatida yozilgan darajalarning xossalari iboralarni darajalar bilan o'zgartirishning asosiy vositalaridan biridir. Biz buni hisobga olgan holda asosiylarini keltiramiz a va b har qanday musbat sonlar va r va s- ixtiyoriy haqiqiy sonlar:

Ta'rif 2

• a r a s = a r + s;
• a r: a s = a r - s ;
• (a b) r = a r b r;
• (a: b) r = a r: b r ;
• (a r) s = a r s .

Tabiiy, butun, musbat ko'rsatkichlar bilan bog'liq bo'lgan hollarda, a va b raqamlariga nisbatan cheklovlar kamroq bo'lishi mumkin. Shunday qilib, masalan, tenglikni hisobga olsak a m a n = a m + n, qayerda m va n natural sonlar bo'lsa, u a ning har qanday musbat va manfiy qiymatlari uchun ham, uchun ham to'g'ri bo'ladi a = 0.

Darajalar asoslari ijobiy bo'lgan yoki qabul qilinadigan qiymatlar diapazoni asoslar faqat ijobiy qiymatlarni qabul qiladigan o'zgaruvchilarni o'z ichiga olgan hollarda siz darajalarning xususiyatlarini cheklovlarsiz qo'llashingiz mumkin. Darhaqiqat, matematika bo'yicha maktab o'quv dasturi doirasida o'quvchining vazifasi tegishli xususiyatni tanlash va uni to'g'ri qo'llashdir.

Universitetlarga kirishga tayyorgarlik ko'rayotganda, xususiyatlarni noto'g'ri qo'llash ODZning torayishiga va hal qilishda boshqa qiyinchiliklarga olib keladigan vazifalar bo'lishi mumkin. Ushbu bo'limda biz faqat ikkita bunday holatni ko'rib chiqamiz. Mavzu bo'yicha batafsil ma'lumotni "Ko'rsatkich xususiyatlaridan foydalangan holda ifodalarni o'zgartirish" mavzusida topishingiz mumkin.

4-misol

Ifodani ifodalang a 2 , 5 (a 2) - 3: a - 5 , 5 bazaga ega daraja sifatida a.

Qaror

Boshlash uchun biz eksponentatsiya xususiyatidan foydalanamiz va uning yordamida ikkinchi omilni o'zgartiramiz (a 2) − 3. Keyin biz bir xil asosga ega bo'lgan kuchlarni ko'paytirish va bo'lish xususiyatlaridan foydalanamiz:

a 2 , 5 a - 6: a - 5 , 5 = a 2 , 5 - 6: a - 5 , 5 = a - 3 , 5: a - 5 , 5 = a - 3 , 5 - (- 5 , 5 ) = a 2.

Javob: a 2 , 5 (a 2) - 3: a - 5 , 5 = a 2 .

Darajalar xususiyatiga ko'ra kuch ifodalarini o'zgartirish chapdan o'ngga ham, teskari yo'nalishda ham amalga oshirilishi mumkin.

5-misol

3 1 3 · 7 1 3 · 21 2 3 kuch ifodasining qiymatini toping.

Qaror

Agar tenglikni qo'llasak (a b) r = a r b r, o'ngdan chapga, keyin biz 3 7 1 3 21 2 3 va keyin 21 1 3 21 2 3 ko'rinishdagi ko'paytmani olamiz. Bir xil asoslar bilan darajalarni ko'paytirishda ko'rsatkichlarni qo'shamiz: 21 1 3 21 2 3 \u003d 21 1 3 + 2 3 \u003d 21 1 \u003d 21.

Transformatsiya qilishning yana bir usuli bor:

3 1 3 7 1 3 21 2 3 = 3 1 3 7 1 3 (3 7) 2 3 = 3 1 3 7 1 3 3 2 3 7 2 3 = = 3 1 3 3 2 3 7 1 3 7 2 3 = 3 1 3 + 2 3 7 1 3 + 2 3 = 3 1 7 1 = 21

Javob: 3 1 3 7 1 3 21 2 3 = 3 1 7 1 = 21

6-misol

Quvvat ifodasi berilgan a 1 , 5 − a 0 , 5 − 6, yangi o'zgaruvchini kiriting t = a 0 , 5.

Qaror

Darajani tasavvur qiling a 1, 5 kabi a 0, 5 3. Darajada daraja xususiyatidan foydalanish (a r) s = a r s o'ngdan chapga va (a 0 , 5) 3 ni oling: a 1 , 5 - a 0 , 5 - 6 = (a 0 , 5) 3 - a 0 , 5 - 6 . Olingan ifodada siz osongina yangi o'zgaruvchini kiritishingiz mumkin t = a 0 , 5: olish t 3 - t - 6.

Javob: t 3 - t - 6.

Darajani o'z ichiga olgan kasrlarni aylantirish

Biz odatda kasrlar bilan kuch ifodalarining ikkita variantini ko'rib chiqamiz: ifoda darajali kasr yoki shunday kasrni o'z ichiga oladi. Barcha asosiy kasr konvertatsiyalari bunday iboralar uchun cheklovlarsiz qo'llaniladi. Ularni qisqartirish, yangi maxrajga keltirish, hisoblagich va maxraj bilan alohida ishlash mumkin. Buni misollar bilan tushuntirib beraylik.

7-misol

Quvvat ifodasini soddalashtiring 3 5 2 3 5 1 3 - 5 - 2 3 1 + 2 x 2 - 3 - 3 x 2.

Qaror

Biz kasr bilan ishlaymiz, shuning uchun biz hisoblagichda ham, maxrajda ham o'zgarishlarni amalga oshiramiz:

3 5 2 3 5 1 3 - 5 - 2 3 1 + 2 x 2 - 3 - 3 x 2 = 3 5 2 3 5 1 3 - 3 5 2 3 5 - 2 3 - 2 - x 2 = = 3 5 2 3 + 1 3 - 3 5 2 3 + - 2 3 - 2 - x 2 = 3 5 1 - 3 5 0 - 2 - x 2

Maxraj belgisini o'zgartirish uchun kasr oldiga minus qo'ying: 12 - 2 - x 2 = - 12 2 + x 2

Javob: 3 5 2 3 5 1 3 - 5 - 2 3 1 + 2 x 2 - 3 - 3 x 2 = - 12 2 + x 2

Darajani o'z ichiga olgan kasrlar ratsional kasrlar kabi yangi maxrajga keltiriladi. Buning uchun qo'shimcha ko'paytmani topib, kasrning sonini va maxrajini unga ko'paytirish kerak. Asl ifoda uchun ODZ o'zgaruvchilardan o'zgaruvchilarning hech qanday qiymatlari yo'qolib qolmasligi uchun qo'shimcha omilni tanlash kerak.

8-misol

Kasrlarni yangi maxrajga keltiring: a) a + 1 a 0, maxrajga 7 a, b) 1 x 2 3 - 2 x 1 3 y 1 6 + 4 y 1 3 maxrajga x + 8 y 1 2.

Qaror

a) Biz yangi maxrajga kamaytirish imkonini beradigan omilni tanlaymiz. a 0, 7 a 0, 3 = a 0, 7 + 0, 3 = a, shuning uchun qo'shimcha omil sifatida biz olamiz a 0, 3. a o'zgaruvchisining ruxsat etilgan qiymatlari diapazoni barcha ijobiy haqiqiy sonlar to'plamini o'z ichiga oladi. Bu sohada daraja a 0, 3 nolga tushmaydi.

Kasrning soni va maxrajini ga ko'paytiramiz a 0, 3:

a + 1 a 0, 7 = a + 1 a 0, 3 a 0, 7 a 0, 3 = a + 1 a 0, 3 a

b) maxrajga e'tibor bering:

x 2 3 - 2 x 1 3 y 1 6 + 4 y 1 3 = = x 1 3 2 - x 1 3 2 y 1 6 + 2 y 1 6 2

Ushbu ifodani x 1 3 + 2 · y 1 6 ga ko'paytiramiz, biz x 1 3 va 2 · y 1 6 kublar yig'indisini olamiz, ya'ni. x + 8 · y 1 2 . Bu bizning yangi maxrajimiz, unga asl kasrni keltirishimiz kerak.

Shunday qilib, biz qo'shimcha omil topdik x 1 3 + 2 · y 1 6 . O'zgaruvchilarning qabul qilinadigan qiymatlari oralig'ida x va y x 1 3 + 2 y 1 6 ifodasi yo'qolmaydi, shuning uchun kasrning soni va maxrajini unga ko'paytirishimiz mumkin:
1 x 2 3 - 2 x 1 3 y 1 6 + 4 y 1 3 = = x 1 3 + 2 y 1 6 x 1 3 + 2 y 1 6 x 2 3 - 2 x 1 3 y 1 6 + 4 y 1 3 = = x 1 3 + 2 y 1 6 x 1 3 3 + 2 y 1 6 3 = x 1 3 + 2 y 1 6 x + 8 y 1 2

Javob: a) a + 1 a 0, 7 = a + 1 a 0, 3 a, b) 1 x 2 3 - 2 x 1 3 y 1 6 + 4 y 1 3 = x 1 3 + 2 y 1 6 x + 8 y 1 2 .

9-misol

Kasrni kamaytiring: a) 30 x 3 (x 0, 5 + 1) x + 2 x 1 1 3 - 5 3 45 x 0, 5 + 1 2 x + 2 x 1 1 3 - 5 3, b) a 1 4 - b 1 4 a 1 2 - b 1 2.

Qaror

a) Numerator va maxrajni kamaytirish mumkin bo'lgan eng katta umumiy maxrajdan (GCD) foydalaning. 30 va 45 raqamlari uchun bu 15 ga teng. Biz ham kamaytirishimiz mumkin x 0 , 5 + 1 va x + 2 x 1 1 3 - 5 3 da.

Biz olamiz:

30 x 3 (x 0 , 5 + 1) x + 2 x 1 1 3 - 5 3 45 x 0 , 5 + 1 2 x + 2 x 1 1 3 - 5 3 = 2 x 3 3 (x 0 , 5 + 1)

b) Bu erda bir xil omillarning mavjudligi aniq emas. Numerator va denominatorda bir xil omillarni olish uchun siz ba'zi o'zgarishlarni amalga oshirishingiz kerak bo'ladi. Buning uchun kvadratlar farqi formulasidan foydalanib, maxrajni kengaytiramiz:

a 1 4 - b 1 4 a 1 2 - b 1 2 = a 1 4 - b 1 4 a 1 4 2 - b 1 2 2 = = a 1 4 - b 1 4 a 1 4 + b 1 4 a 1 4 - b 1 4 = 1 a 1 4 + b 1 4

Javob: a) 30 x 3 (x 0, 5 + 1) x + 2 x 1 1 3 - 5 3 45 x 0, 5 + 1 2 x + 2 x 1 1 3 - 5 3 = 2 · x 3 3 · (x) 0 , 5 + 1), b) a 1 4 - b 1 4 a 1 2 - b 1 2 = 1 a 1 4 + b 1 4.

Kasrlar bilan bajariladigan asosiy operatsiyalarga yangi maxrajga keltirish va kasrlarni qisqartirish kiradi. Har ikkala harakat ham bir qator qoidalarga muvofiq amalga oshiriladi. Kasrlarni qo'shish va ayirishda kasrlar birinchi navbatda umumiy maxrajga keltiriladi, shundan so'ng sanoqchilar bilan amallar (qo'shish yoki ayirish) bajariladi. Maxraj bir xil bo'lib qoladi. Bizning harakatlarimiz natijasi yangi kasr bo'lib, uning soni sanoqlarning ko'paytmasi, maxraji esa maxrajlarning mahsulotidir.

10-misol

X 1 2 + 1 x 1 2 - 1 - x 1 2 - 1 x 1 2 + 1 · 1 x 1 2 qadamlarini bajaring.

Qaror

Qavslar ichidagi kasrlarni ayirishdan boshlaylik. Keling, ularni umumiy maxrajga keltiramiz:

x 1 2 - 1 x 1 2 + 1

Numeratorlarni ayiraylik:

x 1 2 + 1 x 1 2 - 1 - x 1 2 - 1 x 1 2 + 1 1 x 1 2 = = x 1 2 + 1 x 1 2 + 1 x 1 2 - 1 x 1 2 + 1 - x 1 2 - 1 x 1 2 - 1 x 1 2 + 1 x 1 2 - 1 1 x 1 2 = = x 1 2 + 1 2 - x 1 2 - 1 2 x 1 2 - 1 x 1 2 + 1 1 x 1 2 = = x 1 2 2 + 2 x 1 2 + 1 - x 1 2 2 - 2 x 1 2 + 1 x 1 2 - 1 x 1 2 + 1 1 x 1 2 = = 4 x 1 2 x 1 2 - 1 x 1 2 + 1 1 x 1 2

Endi kasrlarni ko'paytiramiz:

4 x 1 2 x 1 2 - 1 x 1 2 + 1 1 x 1 2 = = 4 x 1 2 x 1 2 - 1 x 1 2 + 1 x 1 2

Keling, bir darajaga kamaytiraylik x 1 2, biz 4 x 1 2 - 1 x 1 2 + 1 ni olamiz.

Bundan tashqari, kvadratlar farqi formulasidan foydalanib, maxrajdagi kuch ifodasini soddalashtirishingiz mumkin: kvadratlar: 4 x 1 2 - 1 x 1 2 + 1 = 4 x 1 2 2 - 1 2 = 4 x - 1.

Javob: x 1 2 + 1 x 1 2 - 1 - x 1 2 - 1 x 1 2 + 1 1 x 1 2 = 4 x - 1

11-misol

X 3 4 x 2, 7 + 1 2 x - 5 8 x 2, 7 + 1 3 kuch ifodasini soddalashtiring.
Qaror

Biz kasrni kamaytirishimiz mumkin (x 2 , 7 + 1) 2. Biz x 3 4 x - 5 8 x 2, 7 + 1 kasrni olamiz.

X darajali x 3 4 x - 5 8 · 1 x 2, 7 + 1 ni o'zgartirishni davom ettiramiz. Endi siz quvvatni taqsimlash xususiyatidan bir xil asoslar bilan foydalanishingiz mumkin: x 3 4 x - 5 8 1 x 2, 7 + 1 = x 3 4 - - 5 8 1 x 2, 7 + 1 = x 1 1 8 1 x 2 , 7 + 1.

Biz oxirgi mahsulotdan x 1 3 8 x 2, 7 + 1 kasrga o'tamiz.

Javob: x 3 4 x 2, 7 + 1 2 x - 5 8 x 2, 7 + 1 3 = x 1 3 8 x 2, 7 + 1.

Aksariyat hollarda manfiy darajali ko‘paytiruvchilarni ko‘rsatkichdan maxrajga va aksincha ko‘rsatkich belgisini o‘zgartirish orqali o‘tkazish qulayroqdir. Ushbu harakat keyingi qarorni soddalashtiradi. Misol keltiramiz: kuch ifodasi (x + 1) - 0 , 2 3 · x - 1 ni x 3 · (x + 1) 0 , 2 bilan almashtirish mumkin.

Ildiz va kuch bilan ifodalarni aylantirish

Vazifalarda nafaqat kasr ko'rsatkichlari bo'lgan darajalarni, balki ildizlarni ham o'z ichiga olgan kuch ifodalari mavjud. Bunday iboralarni faqat ildizlarga yoki faqat kuchlarga qisqartirish maqsadga muvofiqdir. Darajaga o'tish afzalroqdir, chunki ular bilan ishlash osonroq. Bunday o'tish, ayniqsa, dastlabki ifoda uchun o'zgaruvchilarning DPV moduliga kirish yoki DPVni bir necha intervallarga bo'lish kerak bo'lmasdan, ildizlarni quvvatlar bilan almashtirishga imkon berganda foydalidir.

12-misol

x 1 9 x x 3 6 ifodani daraja sifatida ifodalang.

Qaror

Oʻzgaruvchining yaroqli diapazoni x ikki tengsizlik bilan aniqlanadi x ≥ 0 va x · x 3 ≥ 0, to'plamni belgilaydi [ 0 , + ∞) .

Ushbu to'plamda biz ildizlardan kuchlarga o'tish huquqiga egamiz:

x 1 9 x x 3 6 = x 1 9 x x 1 3 1 6

Darajalar xossalaridan foydalanib, hosil bo'lgan kuch ifodasini soddalashtiramiz.

x 1 9 x x 1 3 1 6 = x 1 9 x 1 6 x 1 3 1 6 = x 1 9 x 1 6 x 1 1 3 6 = = x 1 9 x 1 6 x 1 18 = x 1 9 + 1 6 + 1 18 = x 1 3

Javob: x 1 9 x x 3 6 = x 1 3.

Ko'rsatkichdagi o'zgaruvchilar bilan darajalarni aylantirish

Agar siz darajaning xususiyatlaridan to'g'ri foydalansangiz, bu o'zgarishlarni amalga oshirish juda oson. Misol uchun, 5 2 x + 1 - 3 5 x 7 x - 14 7 2 x - 1 = 0.

Biz daraja ko'paytmasini almashtirishimiz mumkin, bunda qandaydir o'zgaruvchi va sonning yig'indisi topiladi. Chap tomonda buni ifodaning chap tomonidagi birinchi va oxirgi shartlar bilan bajarish mumkin:

5 2 x 5 1 - 3 5 x 7 x - 14 7 2 x 7 - 1 = 0, 5 5 2 x - 3 5 x 7 x - 2 7 2 x = 0.

Endi tenglamaning ikkala tomonini ga ajratamiz 7 2 x. x o'zgaruvchisining ODZ-dagi bu ifoda faqat ijobiy qiymatlarni oladi:

5 5 - 3 5 x 7 x - 2 7 2 x 7 2 x = 0 7 2 x, 5 5 2 x 7 2 x - 3 5 x 7 x 7 2 x - 2 7 2 x 7 2 x = 0, 5 5 2 x 7 2 x - 3 5 x 7 x 7 x 7 x - 2 7 2 x 7 2 x = 0

Kasrlarni darajalar bilan kamaytiramiz, biz olamiz: 5 5 2 x 7 2 x - 3 5 x 7 x - 2 = 0 .

Nihoyat, bir xil darajali darajalar nisbati nisbatlarning darajalari bilan almashtiriladi, bu 5 5 7 2 x - 3 5 7 x - 2 = 0 tenglamasiga olib keladi, bu 5 5 7 x 2 - 3 5 7 ga teng. x - 2 = 0.

Biz 5 · t 2 - 3 · t - 2 = 0 kvadrat tenglamaning yechimiga dastlabki ko'rsatkichli tenglamaning yechimini kamaytiradigan yangi t = 5 7 x o'zgaruvchisini kiritamiz.

Darajalar va logarifmlar bilan ifodalarni aylantirish

Masalalarda darajalar va logarifmlarni o'z ichiga olgan ifodalar ham uchraydi. Bunday ifodalarga misollar: 1 4 1 - 5 log 2 3 yoki log 3 27 9 + 5 (1 - log 3 5) log 5 3 . Bunday ifodalarni o‘zgartirish logarifmlarning yuqoridagi yondashuvlari va xossalari yordamida amalga oshiriladi, biz buni “Logarifmik ifodalarni o‘zgartirish” mavzusida batafsil tahlil qildik.

Agar siz matnda xatolikni sezsangiz, uni belgilab, Ctrl+Enter tugmalarini bosing

Har qanday til yordamida siz bir xil ma'lumotni turli so'z va iboralar bilan ifodalashingiz mumkin. Matematik til ham bundan mustasno emas. Ammo bir xil iborani turli yo'llar bilan ekvivalent tarzda yozish mumkin. Va ba'zi hollarda, yozuvlardan biri oddiyroq. Bu darsda iboralarni soddalashtirish haqida gapiramiz.

Odamlar turli tillarda muloqot qilishadi. Biz uchun "Rus tili - matematik til" juftligi muhim taqqoslashdir. Xuddi shu ma'lumot turli tillarda berilishi mumkin. Ammo, bundan tashqari, uni bir tilda boshqacha talaffuz qilish mumkin.

Masalan: "Pyotr Vasya bilan do'st", "Vasya Petya bilan do'st", "Pyotr va Vasya do'stlar". Turli xil dedi, lekin bitta va bir xil. Ushbu iboralarning har biri orqali biz nima xavf ostida ekanligini tushunamiz.

Keling, ushbu iborani ko'rib chiqaylik: "Bola Petya va bola Vasya do'stdir." Biz nima xavf ostida ekanligini tushunamiz. Biroq, bu iboraning qanday eshitilishi bizga yoqmaydi. Buni soddalashtira olmaymizmi, xuddi shunday deylik, lekin soddaroq? "Bola va bola" - siz bir marta aytishingiz mumkin: "Petya va Vasya o'g'il bolalar do'stdirlar."

“Bolalar”... Ismlaridan ma’lum emasmi, qiz emasligi. Biz "o'g'il bolalar" ni olib tashlaymiz: "Petya va Vasya do'stlar". Va "do'stlar" so'zini "do'stlar" bilan almashtirish mumkin: "Petya va Vasya do'stlar". Natijada, birinchi, uzun, xunuk iboraning o'rniga aytish osonroq va tushunarli bo'lgan ekvivalent gap qo'shildi. Biz bu iborani soddalashtirdik. Soddalash oson aytmoq, lekin yo'qotmaslik, ma'noni buzmaslik degani.

Xuddi shu narsa matematik tilda sodir bo'ladi. Xuddi shu narsani boshqacha aytish mumkin. Ifodani soddalashtirish nimani anglatadi? Bu shuni anglatadiki, asl ibora uchun juda ko'p ekvivalent iboralar, ya'ni bir xil ma'noni anglatuvchi iboralar mavjud. Va bu ko'pchilik orasidan, bizning fikrimizcha, eng oddiyini yoki keyingi maqsadlarimiz uchun eng mosini tanlashimiz kerak.

Masalan, raqamli ifodani ko'rib chiqing. ga teng bo'ladi.

Shuningdek, u birinchi ikkitasiga teng bo'ladi: .

Ma’lum bo‘lishicha, biz ifodalarimizni soddalashtirib, eng qisqa ekvivalent ifodani topdik.

Raqamli ifodalar uchun siz doimo barcha ishni bajarishingiz va ekvivalent ifodani bitta raqam sifatida olishingiz kerak.

To'g'ridan-to'g'ri ifodaga misolni ko'rib chiqing . Shubhasiz, bu oddiyroq bo'ladi.

To'g'ridan-to'g'ri iboralarni soddalashtirishda siz barcha mumkin bo'lgan amallarni bajarishingiz kerak.

Har doim ifodani soddalashtirish kerakmi? Yo'q, ba'zida ekvivalent, lekin uzunroq belgi biz uchun qulayroq bo'ladi.

Misol: Raqamni raqamdan ayiring.

Hisoblash mumkin, lekin agar birinchi raqam uning ekvivalent belgisi bilan ifodalangan bo'lsa: , u holda hisob-kitoblar bir zumda bo'lar edi: .

Ya'ni, soddalashtirilgan ifoda biz uchun har doim ham keyingi hisob-kitoblar uchun foydali emas.

Shunga qaramay, biz ko'pincha "ifodani soddalashtirish" kabi ko'rinadigan vazifaga duch kelamiz.

Ifodani soddalashtiring: .

Qaror

1) Birinchi va ikkinchi qavsdagi amallarni bajaring: .

2) Mahsulotlarni hisoblang: .

Shubhasiz, oxirgi ibora boshlang'ichga qaraganda soddaroq shaklga ega. Biz buni soddalashtirdik.

Ifodani soddalashtirish uchun uni ekvivalent (teng) bilan almashtirish kerak.

Ekvivalent ifodani aniqlash uchun quyidagilar zarur:

1) barcha mumkin bo'lgan harakatlarni bajarish;

2) hisoblashlarni soddalashtirish uchun qo‘shish, ayirish, ko‘paytirish va bo‘lish xossalaridan foydalanish.

Qo'shish va ayirishning xossalari:

1. Qo‘shishning almashinish xususiyati: shartlarni qayta joylashtirishdan yig‘indi o‘zgarmaydi.

2. Qo‘shishning assotsiativ xossasi: ikki sonning yig‘indisiga uchinchi sonni qo‘shish uchun birinchi songa ikkinchi va uchinchi sonlar yig‘indisini qo‘shish mumkin.

3. Sondan yig‘indini ayirish xossasi: sondan yig‘indini ayirish uchun har bir hadni alohida ayirish mumkin.

Ko`paytirish va bo`lish xossalari

1. Ko'paytirishning almashinish xususiyati: ko'paytma omillarni almashtirishdan o'zgarmaydi.

2. Assotsiativ xususiyat: sonni ikki sonning ko‘paytmasiga ko‘paytirish uchun avval uni birinchi ko‘paytmaga, so‘ngra hosil bo‘lgan ko‘paytmani ikkinchi ko‘paytmaga ko‘paytirish mumkin.

3. Ko'paytirishning taqsimlanish xususiyati: sonni yig'indiga ko'paytirish uchun uni har bir hadga alohida ko'paytirish kerak.

Keling, aqliy hisob-kitoblarni qanday qilishimizni ko'rib chiqaylik.

Hisoblash:

Qaror

1) Qanday qilib tasavvur qiling

2) Birinchi omilni bit hadlar yig‘indisi sifatida ifodalaymiz va ko‘paytirishni bajaramiz:

3) ko'paytirishni qanday va qanday bajarishni tasavvur qilishingiz mumkin:

4) Birinchi koʻrsatkichni ekvivalent yigʻindi bilan almashtiring:

Tarqatish qonuni teskari yo'nalishda ham qo'llanilishi mumkin: .

Quyidagi amallarni bajaring:

1) 2)

Qaror

1) Qulaylik uchun siz tarqatish qonunidan foydalanishingiz mumkin, uni faqat teskari yo'nalishda qo'llang - umumiy omilni qavslardan chiqarib oling.

2) Qavslar ichidan umumiy ko‘rsatkichni chiqaramiz

Oshxonada va koridorda linoleum sotib olish kerak. Oshxona maydoni - koridor -. Linolyumlarning uch turi mavjud: uchun va rubl uchun. Uch turdagi linolyumning har biri qancha turadi? (1-rasm)

Guruch. 1. Masalaning sharti uchun rasm

Qaror

Usul 1. Oshxonada linoleum sotib olish uchun qancha pul kerakligini alohida topishingiz mumkin, keyin uni koridorga qo'shib, natijada olingan ishlarni qo'shishingiz mumkin.

Birinchi daraja

Ifodani konvertatsiya qilish. Batafsil nazariya (2019)

Ifodani konvertatsiya qilish

Ko'pincha biz ushbu noxush iborani eshitamiz: "ifodani soddalashtiring". Odatda, bu holatda bizda shunday yirtqich hayvon bor:

"Ha, ancha oson", deymiz, lekin bunday javob odatda ishlamaydi.

Endi men sizga bunday vazifalardan qo'rqmaslikni o'rgataman. Bundan tashqari, dars oxirida siz ushbu misolni (shunchaki!) oddiy raqamga soddalashtirasiz (ha, bu harflar bilan do'zaxga).

Ammo bu darsni boshlashdan oldin, siz kasrlar va ko'paytmali ko'phadlar bilan ishlashni bilishingiz kerak. Shuning uchun, birinchi navbatda, agar siz ilgari bunday qilmagan bo'lsangiz, "" va "" mavzularini o'zlashtirishingizga ishonch hosil qiling.

O'qingmi? Ha bo'lsa, siz tayyorsiz.

Asosiy soddalashtirish operatsiyalari

Endi biz iboralarni soddalashtirish uchun ishlatiladigan asosiy usullarni tahlil qilamiz.

Ulardan eng oddiyi

1. O'xshashni keltirish

Nima o'xshash? Siz buni 7-sinfda, matematikada birinchi marta raqamlar o'rniga harflar paydo bo'lganida boshdan kechirgansiz. Xuddi shu harf qismi bilan atamalar (monomiallar) o'xshash. Masalan, yig'indida, kabi shartlar are and.

Esingizdami?

O'xshash atamalarni keltirish bir-biriga o'xshash bir nechta atamalarni qo'shish va bitta atama olish demakdir.

Lekin qanday qilib harflarni birlashtira olamiz? - deb so'raysiz.

Agar siz harflar qandaydir ob'ektlar ekanligini tasavvur qilsangiz, buni tushunish juda oson. Misol uchun, xat stuldir. Keyin ifoda nima? Ikki stul va uchta stul, qancha bo'ladi? To'g'ri, stullar: .

Endi ushbu ifodani sinab ko'ring:

Adashib qolmaslik uchun turli harflar turli ob'ektlarni bildirsin. Misol uchun, - bu (odatdagidek) stul, va - bu stol. Keyin:

stullar stollar stul stollari stullar stullar stollar

Bunday atamalardagi harflar ko'paytiriladigan raqamlar deyiladi koeffitsientlar. Masalan, monomialda koeffitsient teng. Va u tengdir.

Shunday qilib, shunga o'xshash narsalarni olib kelish qoidasi:

Misollar:

Shunga o'xshash narsalarni keltiring:

Javoblar:

2. (va o'xshash, chunki, shuning uchun bu atamalar bir xil harf qismiga ega).

2. Faktorizatsiya

Bu odatda ifodalarni soddalashtirishning eng muhim qismidir. Shunga o'xshashlarni berganingizdan so'ng, ko'pincha natijada hosil bo'lgan ifoda faktorlarga ajratilishi kerak, ya'ni mahsulot sifatida taqdim etiladi. Bu kasrlarda ayniqsa muhimdir: axir, kasrni kamaytirish uchun hisoblagich va maxraj ko'paytma sifatida ifodalanishi kerak.

Siz "" mavzusida iboralarni faktoring qilishning batafsil usullarini ko'rib chiqdingiz, shuning uchun bu erda siz o'rgangan narsalarni eslab qolishingiz kerak. Buning uchun bir nechtasini hal qiling misollar(hisobga olinadi):

Yechimlar:

3. Fraksiyani qisqartirish.

Xo'sh, hisoblagich va maxrajning bir qismini kesib tashlab, ularni hayotingizdan chiqarib tashlashdan ko'ra yaxshiroq nima bo'lishi mumkin?

Bu qisqartmaning go'zalligi.

Hammasi oddiy:

Agar hisoblagich va maxraj bir xil omillarni o'z ichiga olsa, ularni qisqartirish, ya'ni kasrdan olib tashlash mumkin.

Bu qoida kasrning asosiy xususiyatidan kelib chiqadi:

Ya'ni, qisqartirish operatsiyasining mohiyati shundan iborat Kasrning son va maxrajini bir xil songa (yoki bir xil ifoda bilan) ajratamiz.

Kasrni kamaytirish uchun sizga kerak bo'ladi:

1) son va maxraj faktorizatsiya qilish

2) agar sanoq va maxraj tarkibida bo'lsa umumiy omillar, ular o'chirilishi mumkin.

Menimcha, printsip aniqmi?

Men sizning e'tiboringizni qisqartirishdagi odatiy xatoga qaratmoqchiman. Garchi bu mavzu oddiy bo'lsa-da, lekin ko'p odamlar buni tushunmay, hamma narsani noto'g'ri qilishadi kesish- bu degani bo'lmoq soni va maxraji bir xil son.

Agar hisob yoki maxraj yig'indi bo'lsa, qisqartmalar mavjud emas.

Masalan: siz soddalashtirishingiz kerak.

Ba'zilar buni qilishadi: bu mutlaqo noto'g'ri.

Yana bir misol: kamaytirish.

"Eng aqlli" buni qiladi:.

Ayting-chi, bu erda nima bo'ldi? Ko'rinishidan: - bu multiplikator, shuning uchun siz kamaytirishingiz mumkin.

Lekin yo'q: - bu sanoqdagi faqat bitta hadning koeffitsienti, lekin hisoblagichning o'zi umuman ko'rsatkichlarga ajralmagan.

Mana yana bir misol: .

Bu ifoda omillarga ajratiladi, ya'ni siz kamaytirishingiz, ya'ni pay va maxrajni quyidagicha ajratishingiz mumkin, keyin esa:

Siz darhol quyidagilarga bo'lishingiz mumkin:

Bunday xatolarga yo'l qo'ymaslik uchun ifoda faktorlangan yoki yo'qligini aniqlashning oson usulini eslang:

Ifodaning qiymatini hisoblashda oxirgi bajariladigan arifmetik amal "asosiy" hisoblanadi. Ya'ni, agar siz harflar o'rniga ba'zi (har qanday) raqamlarni almashtirsangiz va ifoda qiymatini hisoblashga harakat qilsangiz, u holda oxirgi amal ko'paytirish bo'lsa, unda biz mahsulotga ega bo'lamiz (ifoda omillarga bo'linadi). Agar oxirgi amal qo'shish yoki ayirish bo'lsa, bu ifoda faktorlarga ajratilmaganligini anglatadi (shuning uchun kamaytirilishi mumkin emas).

Buni tuzatish uchun, uni o'zingiz hal qiling misollar:

Javoblar:

1. Umid qilamanki, siz darhol kesishga shoshilmadingiz va? Bu kabi birliklarni "kamaytirish" hali ham etarli emas edi:

Birinchi qadam faktorizatsiya bo'lishi kerak:

4. Kasrlarni qo`shish va ayirish. Kasrlarni umumiy maxrajga keltirish.

Oddiy kasrlarni qo'shish va ayirish hammaga ma'lum bo'lgan amaldir: biz umumiy maxrajni qidiramiz, har bir kasrni etishmayotgan omilga ko'paytiramiz va sanoqlarni qo'shamiz / ayitamiz. Keling, eslaylik:

Javoblar:

1. va maxrajlari ko‘paytma, ya’ni umumiy omillarga ega emas. Shuning uchun bu raqamlarning LCM ko'paytmasiga teng. Bu umumiy maxraj bo'ladi:

2. Bu yerda umumiy maxraj:

3. Bu erda, birinchi navbatda, aralash kasrlarni noto'g'ri bo'lganlarga aylantiramiz, keyin esa - odatdagi sxema bo'yicha:

Agar kasrlarda harflar bo'lsa, bu boshqa masala, masalan:

Oddiydan boshlaylik:

a) maxrajlarda harflar bo‘lmaydi

Bu erda hamma narsa oddiy sonli kasrlar bilan bir xil: biz umumiy maxrajni topamiz, har bir kasrni etishmayotgan omilga ko'paytiramiz va hisoblagichlarni qo'shamiz / ayitamiz:

Endi numeratorda siz shunga o'xshashlarni, agar mavjud bo'lsa, olib kelishingiz va ularni koeffitsientga kiritishingiz mumkin:

O'zingiz sinab ko'ring:

b) maxrajlarda harflar mavjud

Keling, harflarsiz umumiy maxrajni topish tamoyilini eslaylik:

Avvalo, biz umumiy omillarni aniqlaymiz;

Keyin barcha umumiy omillarni bir marta yozamiz;

va ularni umumiy emas, balki boshqa barcha omillar bilan ko'paytiring.

Maxrajlarning umumiy omillarini aniqlash uchun avval ularni oddiy omillarga ajratamiz:

Biz umumiy omillarni ta'kidlaymiz:

Endi biz umumiy omillarni bir marta yozamiz va ularga umumiy bo'lmagan (tagi chizilmagan) omillarni qo'shamiz:

Bu umumiy maxrajdir.

Keling, harflarga qaytaylik. Maxrajlar aynan bir xil tarzda berilgan:

Biz maxrajlarni omillarga ajratamiz;

umumiy (bir xil) ko‘paytiruvchilarni aniqlash;

barcha umumiy omillarni bir marta yozing;

Biz ularni umumiy emas, balki boshqa barcha omillar bilan ko'paytiramiz.

Shunday qilib, tartibda:

1) maxrajlarni omillarga ajrating:

2) umumiy (bir xil) omillarni aniqlang:

3) barcha umumiy omillarni bir marta yozing va ularni boshqa barcha (tagi chizilmagan) omillarga ko'paytiring:

Demak, umumiy maxraj shu yerda. Birinchi kasrni ko'paytirish kerak, ikkinchisini - quyidagicha:

Aytgancha, bitta hiyla bor:

Misol uchun: .

Biz maxrajlarda bir xil omillarni ko'ramiz, faqat barchasi turli ko'rsatkichlarga ega. Umumiy maxraj quyidagicha bo'ladi:

darajada

darajada

darajada

darajada.

Keling, vazifani murakkablashtiramiz:

Qanday qilib kasrlar bir xil maxrajga ega bo'ladi?

Kasrning asosiy xususiyatini eslaylik:

Bir xil sonni kasrning pay va maxrajidan ayirish (yoki qo‘shish) mumkinligi hech qayerda aytilmagan. Chunki bu haqiqat emas!

O'zingiz ko'ring: masalan, har qanday kasrni oling va raqam va maxrajga bir nechta son qo'shing, masalan, . Nima o'rganildi?

Shunday qilib, yana bir o'zgarmas qoida:

Kasrlarni umumiy maxrajga keltirganingizda, faqat ko'paytirish amalidan foydalaning!

Lekin olish uchun nimani ko'paytirish kerak?

Bu erda va ko'paytiring. Va ko'paytiring:

Koeffitsientlarga ajratish mumkin bo'lmagan iboralar "elementar omillar" deb ataladi. Masalan, elementar omil. - ham. Ammo - yo'q: u omillarga bo'linadi.

Ifoda haqida nima deyish mumkin? Boshlang'ichmi?

Yo'q, chunki uni faktorlarga ajratish mumkin:

(siz "" mavzusida faktorizatsiya haqida o'qigansiz).

Shunday qilib, siz harflar bilan ifodani ajratadigan elementar omillar raqamlarni ajratadigan oddiy omillarning analogidir. Va biz ular bilan ham xuddi shunday qilamiz.

Har ikkala maxrajning ham omili borligini ko‘ramiz. U kuchdagi umumiy maxrajga boradi (nima uchun esingizdami?).

Ko'paytiruvchi elementardir va ularda umumiylik yo'q, ya'ni birinchi kasrni unga ko'paytirish kerak bo'ladi:

Yana bir misol:

Qaror:

Vahima ichida bu denominatorlarni ko'paytirishdan oldin, ularni qanday qilib faktorga kiritish haqida o'ylash kerakmi? Ularning ikkalasi ham quyidagilarni ifodalaydi:

Yaxshi! Keyin:

Yana bir misol:

Qaror:

Odatdagidek, biz maxrajlarni faktorlarga ajratamiz. Birinchi maxrajda biz uni oddiygina qavs ichidan chiqaramiz; ikkinchisida - kvadratlar farqi:

Ko'rinib turibdiki, umumiy omillar yo'q. Ammo diqqat bilan qarasangiz, ular allaqachon juda o'xshash ... Va haqiqat:

Shunday qilib, yozamiz:

Ya'ni, shunday bo'ldi: qavs ichida biz atamalarni almashtirdik va shu bilan birga, kasr oldidagi belgi teskari tomonga o'zgardi. E'tibor bering, buni tez-tez qilishingiz kerak bo'ladi.

Endi biz umumiy maxrajga kelamiz:

Tushundim? Endi tekshiramiz.

Mustaqil hal qilish uchun vazifalar:

Javoblar:

Bu erda yana bir narsani esga olishimiz kerak - kublar farqi:

E'tibor bering, ikkinchi kasrning maxrajida "yig'indi kvadrati" formulasi mavjud emas! Yig'indining kvadrati quyidagicha ko'rinadi:

A - yig'indining to'liq bo'lmagan kvadrati: undagi ikkinchi a'zo birinchi va oxirgining ko'paytmasi, ularning ikki barobar ko'paytmasi emas. Yig'indining to'liq bo'lmagan kvadrati kublar farqining kengayishi omillaridan biridir:

Agar allaqachon uchta kasr bo'lsa-chi?

Ha, xuddi shunday! Avvalo, biz maxrajdagi omillarning maksimal soni bir xil ekanligiga ishonch hosil qilamiz:

E'tibor bering: agar siz bitta qavs ichidagi belgilarni o'zgartirsangiz, kasr oldidagi belgi teskarisiga o'zgaradi. Ikkinchi qavsdagi belgilarni almashtirsak, kasr oldidagi belgi yana teskari bo'ladi. Natijada, u (kasr oldidagi belgi) o'zgarmadi.

Birinchi maxrajni umumiy maxrajda to‘liq yozamiz, so‘ngra unga hali yozilmagan barcha omillarni ikkinchidan, keyin uchinchidan (agar ko‘proq kasr bo‘lsa va hokazo) qo‘shamiz. Ya'ni, bu shunday bo'ladi:

Hmm ... Kasrlar bilan nima qilish kerakligi aniq. Ammo ikkalasi haqida nima deyish mumkin?

Hammasi oddiy: kasrlarni qanday qo'shishni bilasiz, to'g'rimi? Shunday qilib, siz deuce kasrga aylanishiga ishonch hosil qilishingiz kerak! Esingizda bo'lsin: kasr - bu bo'linish amalidir (agar siz to'satdan unutgan bo'lsangiz, hisoblagich maxrajga bo'linadi). Va raqamni bo'lishdan osonroq narsa yo'q. Bunday holda, raqamning o'zi o'zgarmaydi, lekin kasrga aylanadi:

Aynan nima kerak!

5. Kasrlarni ko‘paytirish va bo‘lish.

Xo'sh, eng qiyin qismi endi tugadi. Va oldimizda eng oddiy, lekin ayni paytda eng muhimi:

Jarayon

Raqamli ifodani hisoblash tartibi qanday? Esda tutingki, bunday iboraning qiymatini hisobga olgan holda:

Hisobladingizmi?

Bu ishlashi kerak.

Xullas, eslataman.

Birinchi qadam darajani hisoblashdir.

Ikkinchisi - ko'paytirish va bo'lish. Agar bir vaqtning o'zida bir nechta ko'paytirish va bo'linish mavjud bo'lsa, ularni istalgan tartibda bajarishingiz mumkin.

Va nihoyat, qo'shish va ayirish amallarini bajaramiz. Yana, har qanday tartibda.

Lekin: qavs ichidagi ifoda tartibsiz baholanadi!

Agar bir nechta qavslar bir-biriga ko'paytirilsa yoki bo'linsa, biz birinchi navbatda qavslarning har biridagi ifodani baholaymiz, so'ngra ularni ko'paytiramiz yoki bo'linadi.

Qavslar ichida boshqa qavslar bo'lsa-chi? Keling, o'ylab ko'raylik: qavs ichida qandaydir ifoda yozilgan. Ifodani baholashda birinchi navbatda nima qilish kerak? To'g'ri, qavslarni hisoblang. Xo'sh, biz buni aniqladik: birinchi navbatda biz ichki qavslarni hisoblaymiz, keyin hamma narsa.

Shunday qilib, yuqoridagi ifoda uchun harakatlar tartibi quyidagicha (joriy harakat qizil rang bilan ajratilgan, ya'ni men hozir bajarayotgan harakat):

OK, hammasi oddiy.

Lekin bu harflar bilan ifodalash bilan bir xil emas, shunday emasmi?

Yo'q, xuddi shunday! Faqat arifmetik amallar o'rniga algebraik amallarni, ya'ni oldingi bo'limda tasvirlangan amallarni bajarish kerak bo'ladi: o'xshash olib kelish, kasrlarni qo'shish, kasrlarni kamaytirish va hokazo. Yagona farq polinomlarni faktoring qilish harakati bo'ladi (biz uni kasrlar bilan ishlashda tez-tez ishlatamiz). Ko'pincha, faktorizatsiya qilish uchun siz i dan foydalanishingiz yoki oddiy koeffitsientni qavsdan olib tashlashingiz kerak.

Odatda bizning maqsadimiz ifodani mahsulot yoki qism sifatida ifodalashdir.

Misol uchun:

Keling, ifodani soddalashtiraylik.

1) Avval qavs ichidagi ifodani soddalashtiramiz. U erda biz kasrlar farqiga egamiz va bizning maqsadimiz uni mahsulot yoki qism sifatida ko'rsatishdir. Shunday qilib, biz kasrlarni umumiy maxrajga keltiramiz va qo'shamiz:

Bu iborani yanada soddalashtirishning iloji yo'q, bu erda barcha omillar elementardir (bu nimani anglatishini hali ham eslaysizmi?).

2) Biz olamiz:

Kasrlarni ko'paytirish: nima osonroq bo'lishi mumkin.

3) Endi siz qisqartirishingiz mumkin:

Bo'ldi shu. Hech qanday murakkab narsa yo'q, to'g'rimi?

Yana bir misol:

Ifodani soddalashtiring.

Birinchidan, uni o'zingiz hal qilishga harakat qiling va shundan keyingina yechimga qarang.

Avvalo, protsedurani aniqlaymiz. Birinchidan, qavs ichidagi kasrlarni qo'shamiz, ikkita kasr o'rniga bittasi chiqadi. Keyin kasrlarni bo'linishni qilamiz. Xo'sh, biz natijani oxirgi kasr bilan qo'shamiz. Men bosqichlarni sxematik tarzda raqamlayman:

Endi men butun jarayonni ko'rsataman, joriy harakatni qizil rangga bo'yaman:

Va nihoyat, men sizga ikkita foydali maslahat beraman:

1. Agar shunga o'xshashlar bo'lsa, ularni darhol olib kelish kerak. Qaysi vaqtda bizda shunga o'xshashlar bo'lsa, ularni darhol olib kelish tavsiya etiladi.

2. Kasrlarni kamaytirish uchun ham xuddi shunday: kamaytirish imkoniyati paydo bo'lishi bilanoq, uni ishlatish kerak. Istisno - siz qo'shadigan yoki ayiradigan kasrlar: agar ular hozir bir xil maxrajlarga ega bo'lsa, qisqartirishni keyinroq qoldirish kerak.

O'zingiz hal qilishingiz kerak bo'lgan ba'zi vazifalar:

Va boshida va'da berdi:

Yechimlar (qisqacha):

Agar siz hech bo'lmaganda dastlabki uchta misolni bajargan bo'lsangiz, unda siz mavzuni o'zlashtirgan deb hisoblang.

Endi o'rganishga!

FOTOLARNI AYLANTIRISH. XULOSA VA ASOSIY FORMULA

Asosiy soddalashtirish operatsiyalari:

• O'xshashlarni olib kelish: kabi atamalarni qo'shish (kamaytirish) uchun ularning koeffitsientlarini qo'shish va harf qismini belgilash kerak.
• Faktorizatsiya: umumiy omilni qavs ichidan olish, qo‘llash va h.k.
• Fraksiyani kamaytirish: kasrning ayiruvchisi va maxraji bir xil nolga teng bo'lmagan songa ko'paytirilishi yoki bo'linishi mumkin, undan kasrning qiymati o'zgarmaydi.
  1) son va maxraj faktorizatsiya qilish
  2) agar ayiruvchi va maxrajda umumiy ko‘rsatkichlar bo‘lsa, ularni kesib tashlash mumkin.

  MUHIM: faqat multiplikatorlarni kamaytirish mumkin!

• Kasrlarni qo'shish va ayirish:
  ;
• Kasrlarni ko'paytirish va bo'lish:
  ;