Funktsiyaning eng katta (eng kichik) qiymati ordinataning ko'rib chiqilayotgan intervaldagi eng katta (eng kichik) qabul qilingan qiymatidir.

Funktsiyaning eng katta yoki eng kichik qiymatini topish uchun sizga kerak:

1. Berilgan segmentga qaysi statsionar nuqtalar kiritilganligini tekshiring.
2. 3-bosqichdan boshlab segment uchlari va statsionar nuqtalarda funksiya qiymatini hisoblang
3. Olingan natijalardan eng katta yoki eng kichik qiymatni tanlang.

Maksimal yoki minimal ballni topish uchun sizga kerak:

1. $f"(x)$ funksiyaning hosilasini toping
2. $f"(x)=0$ tenglamani yechish orqali statsionar nuqtalarni toping
3. Funktsiyaning hosilasini koeffitsientlarga ajrating.
4. Koordinata chizig'ini chizing, unga statsionar nuqtalarni qo'ying va 3-bandning yozuvidan foydalanib, olingan intervallarda hosila belgilarini aniqlang.
5. Qoidaga ko'ra maksimal yoki minimal nuqtalarni toping: agar biror nuqtada lotin belgisini ortiqcha dan minusga o'zgartirsa, bu maksimal nuqta bo'ladi (agar minusdan plyusgacha bo'lsa, bu minimal nuqta bo'ladi). Amalda strelkalar tasvirini intervallarda qo`llash qulay: hosila musbat bo`lgan oraliqda strelka yuqoriga va aksincha chiziladi.

Ayrim elementar funksiyalarning hosilalari jadvali:

Funktsiya	Hosil
$c$	$0$
$x$	$1$
$x^n, n∈N$	$nx^(n-1), n∈N$
$(1)/(x)$	$-(1)/(x^2)$
$(1)/x(^n), n∈N$	$-(n)/(x^(n+1)), n∈N$
$√^n(x), n∈N$	$(1)/(n√^n(x^(n-1)), n∈N$
$sinx$	$cosx$
$cosx$	$-sinx$
$tgx$	$(1)/(cos^2x)$
$ctgx$	$-(1)/(sin^2x)$
$cos^2x$	$-sin2x$
$sin^2x$	$sin2x$
$e^x$	$e^x$
$a^x$	$a^xlna$
$lnx$	$(1)/(x)$
$log_(a)x$	$(1)/(xlna)$

Differensiallashning asosiy qoidalari

1. Yig‘indi va ayirmaning hosilasi har bir hadning hosilasiga teng

$(f(x) ± g(x))'= f'(x)± g'(x)$

$f(x) = 3x^5 – cosx + (1)/(x)$ funksiyaning hosilasini toping.

Yig'indi va farqning hosilasi har bir atamaning hosilasiga teng

$f′(x)=(3x^5)′–(cosx)′+((1)/(x))"=15x^4+sinx-(1)/(x^2)$

2. Mahsulotning hosilasi.

$(f(x)∙g(x))′=f′(x)∙g(x)+f(x)∙g(x)′$

$f(x)=4x∙cosx$ hosilasini toping

$f′(x)=(4x)′∙cosx+4x∙(cosx)′=4∙cosx-4x∙sinx$

3. Bo‘lakning hosilasi

$((f(x))/(g(x))))"=(f^"(x)∙g(x)-f(x)∙g(x)")/(g^2(x) )$

$f(x)=(5x^5)/(e^x)$ hosilasini toping

$f"(x)=((5x^5)"∙e^x-5x^5∙(e^x)")/((e^x)^2)=(25x^4∙e^x- 5x^5∙e^x)/((e^x)^2)$

4. Murakkab funktsiyaning hosilasi tashqi funktsiyaning hosilasi bilan ichki funktsiya hosilasining hosilasiga teng.

$f(g(x))'=f'(g(x))∙g'(x)$

$f′(x)=cos′(5x)∙(5x)′= - sin(5x)∙5= -5sin(5x)$

$y=2x-ln⁡(x+11)+4$ funksiyaning minimal nuqtasini toping

1. Funksiyaning ODZ ni toping: $x+11>0; x>-11$

2. $y"=2-(1)/(x+11)=(2x+22-1)/(x+11)=(2x+21)/(x+11)$ funksiyaning hosilasini toping.

3. Hosilni nolga tenglashtirib statsionar nuqtalarni toping

$(2x+21)/(x+11)=0$

Agar hisob nolga teng bo'lsa va maxraj nolga teng bo'lmasa, kasr nolga teng

$2x+21=0; x≠-11$

4. Koordinata chizig'ini chizing, unga statsionar nuqtalarni qo'ying va olingan oraliqlarda hosilaning belgilarini aniqlang. Buning uchun biz haddan tashqari o'ng mintaqadan istalgan raqamni hosilaga almashtiramiz, masalan, nol.

$y"(0)=(2∙0+21)/(0+11)=(21)/(11)>0$

5. Minimal nuqtada hosila minusdan plyusga o'zgaradi, shuning uchun $-10,5$ nuqtasi minimal nuqta hisoblanadi.

Javob: $-10,5$

$[-5;1]$ segmentida $y=6x^5-90x^3-5$ funksiyasining maksimal qiymatini toping.

1. $y′=30x^4-270x^2$ funksiyaning hosilasini toping.

2. Hosilni nolga tenglashtiring va statsionar nuqtalarni toping

$30x^4-270x^2=0$

Qavslar ichidan $30x^2$ umumiy koeffitsientini olaylik

$30x^2(x^2-9)=0$

$30x^2(x-3)(x+3)=0$

Har bir omilni nolga tenglashtiring

$x^2=0; x-3=0; x+3=0$

$x=0;x=3;x=-3$

3. Berilgan $[-5;1]$ segmentiga tegishli statsionar nuqtalarni tanlang

Biz uchun $x=0$ va $x=-3$ statsionar nuqtalari mos keladi

4. 3-banddan segment uchlari va statsionar nuqtalardagi funksiya qiymatini hisoblang.

Amaliy nuqtai nazardan, eng qiziqarlisi, funktsiyaning eng katta va eng kichik qiymatini topish uchun hosiladan foydalanishdir. Bu nima bilan bog'liq? Foydani maksimal darajada oshirish, xarajatlarni minimallashtirish, uskunaning optimal yukini aniqlash ... Boshqacha qilib aytganda, hayotning ko'p sohalarida ba'zi parametrlarni optimallashtirish muammosini hal qilish kerak. Va bu funktsiyaning eng katta va eng kichik qiymatlarini topish muammosi.

Shuni ta'kidlash kerakki, funktsiyaning eng katta va eng kichik qiymati odatda funktsiyaning butun sohasi yoki sohaning bir qismi bo'lgan X oraliqda qidiriladi. X intervalining o'zi chiziq segmenti, ochiq intervalli bo'lishi mumkin , cheksiz interval.

Ushbu maqolada biz bitta o'zgaruvchining y=f(x) aniq berilgan funksiyasining eng katta va eng kichik qiymatlarini topish haqida gaplashamiz.

Sahifani navigatsiya qilish.

Funktsiyaning eng katta va eng kichik qiymati - ta'riflar, rasmlar.

Keling, asosiy ta'riflarga qisqacha to'xtalib o'tamiz.

Funktsiyaning eng katta qiymati , qaysi biri uchun tengsizlik haqiqatdir.

Funktsiyaning eng kichik qiymati X oraliqdagi y=f(x) bunday qiymat deyiladi , qaysi biri uchun tengsizlik haqiqatdir.

Ushbu ta'riflar intuitivdir: funktsiyaning eng katta (eng kichik) qiymati abscissa bilan ko'rib chiqilayotgan intervalda qabul qilingan eng katta (eng kichik) qiymatdir.

Statsionar nuqtalar funktsiyaning hosilasi yo'q bo'lgan argumentning qiymatlari.

Eng katta va eng kichik qiymatlarni topishda bizga statsionar nuqtalar nima uchun kerak? Bu savolga Ferma teoremasi javob beradi. Bu teoremadan kelib chiqadiki, agar differensiallanuvchi funksiya qaysidir nuqtada ekstremumga (lokal minimum yoki mahalliy maksimal) ega bo‘lsa, bu nuqta statsionar hisoblanadi. Shunday qilib, funktsiya ko'pincha X oralig'ida o'zining maksimal (eng kichik) qiymatini ushbu intervaldan statsionar nuqtalardan birida oladi.

Bundan tashqari, funktsiya ko'pincha ushbu funktsiyaning birinchi hosilasi mavjud bo'lmagan va funktsiyaning o'zi aniqlangan nuqtalarda eng katta va eng kichik qiymatlarni olishi mumkin.

Keling, darhol ushbu mavzu bo'yicha eng keng tarqalgan savollardan biriga javob beraylik: "Funktsiyaning eng katta (eng kichik) qiymatini aniqlash har doim mumkinmi?" Yo'q har doim emas. Baʼzan X oraliq chegaralari funksiya sohasi chegaralariga toʻgʻri keladi yoki X oraligʻi cheksizdir. Cheksizlikda va aniqlanish sohasi chegaralarida ba'zi funktsiyalar cheksiz katta va cheksiz kichik qiymatlarni qabul qilishi mumkin. Bunday hollarda funksiyaning eng katta va eng kichik qiymati haqida hech narsa deyish mumkin emas.

Aniqlik uchun biz grafik tasvirni beramiz. Rasmlarga qarang - va ko'p narsa aniq bo'ladi.

Segmentda

Birinchi rasmda funksiya segment ichidagi statsionar nuqtalarda eng katta (max y ) va eng kichik (min y ) qiymatlarni oladi [-6;6] .

Ikkinchi rasmda ko'rsatilgan ishni ko'rib chiqing. Segmentni ga o'zgartiring. Ushbu misolda funktsiyaning eng kichik qiymati statsionar nuqtada, eng kattasi esa intervalning o'ng chegarasiga to'g'ri keladigan abtsissali nuqtada erishiladi.

3-rasmda [-3;2] segmentning chegara nuqtalari funksiyaning eng katta va eng kichik qiymatiga mos keladigan nuqtalarning abstsissalaridir.

Ochiq diapazonda

To'rtinchi rasmda funktsiya ochiq intervalda (-6;6) statsionar nuqtalarda eng katta (max y) va eng kichik (min y) qiymatlarni oladi.

Intervalda eng katta qiymat haqida xulosa chiqarish mumkin emas.

Cheksizlikda

Ettinchi rasmda ko'rsatilgan misolda funksiya x=1 abscissa bo'lgan statsionar nuqtada eng katta qiymatni (max y ) oladi va eng kichik qiymatga (min y ) intervalning o'ng chegarasida erishiladi. Minus cheksizlikda funksiya qiymatlari asimptotik tarzda y=3 ga yaqinlashadi.

Intervalda funktsiya eng kichik yoki eng katta qiymatga etib bormaydi. X = 2 o'ngga moyil bo'lganligi sababli, funktsiya qiymatlari minus cheksizlikka moyil bo'ladi (x=2 to'g'ri chiziq vertikal asimptotadir) va abscissa plyus cheksizlikka moyil bo'lganligi sababli, funktsiya qiymatlari asimptotik tarzda y = 3 ga yaqinlashadi. . Ushbu misolning grafik tasviri 8-rasmda ko'rsatilgan.

Segmentda uzluksiz funksiyaning eng katta va eng kichik qiymatlarini topish algoritmi.

Biz segmentdagi funksiyaning eng katta va eng kichik qiymatini topish imkonini beruvchi algoritm yozamiz.

1. Funktsiyaning domenini topamiz va uning butun segmentni o'z ichiga olganligini tekshiramiz.
2. Biz birinchi hosila mavjud bo'lmagan va segmentda joylashgan barcha nuqtalarni topamiz (odatda bunday nuqtalar modul belgisi ostida argumentli funktsiyalarda va kasr-ratsional ko'rsatkichli quvvat funktsiyalarida uchraydi). Agar bunday nuqtalar bo'lmasa, keyingi nuqtaga o'ting.
3. Biz segmentga tushadigan barcha statsionar nuqtalarni aniqlaymiz. Buning uchun biz uni nolga tenglashtiramiz, hosil bo'lgan tenglamani yechib, tegishli ildizlarni tanlaymiz. Agar statsionar nuqtalar bo'lmasa yoki ularning hech biri segmentga tushmasa, keyingi bosqichga o'ting.
4. Funktsiyaning qiymatlarini tanlangan statsionar nuqtalarda (agar mavjud bo'lsa), birinchi hosila mavjud bo'lmagan nuqtalarda (agar mavjud bo'lsa) va x=a va x=b da hisoblaymiz.
5. Funktsiyaning olingan qiymatlaridan biz eng katta va eng kichikni tanlaymiz - ular mos ravishda funktsiyaning kerakli maksimal va eng kichik qiymatlari bo'ladi.

Segmentdagi funksiyaning eng katta va eng kichik qiymatlarini topish misolini yechishda algoritmni tahlil qilaylik.

Misol.

Funktsiyaning eng katta va eng kichik qiymatini toping

• segment bo'yicha;
• [-4;-1] oraliqda.

Yechim.

Funktsiya sohasi noldan tashqari haqiqiy sonlarning butun to'plamidir, ya'ni. Ikkala segment ham ta'rif sohasiga kiradi.

Funktsiyaning hosilasini topamiz:

Shubhasiz, funktsiyaning hosilasi segmentlarning barcha nuqtalarida va [-4;-1] mavjud.

Statsionar nuqtalar tenglamadan aniqlanadi. Yagona haqiqiy ildiz x = 2 dir. Bu statsionar nuqta birinchi segmentga tushadi.

Birinchi holda, biz segmentning uchlarida va statsionar nuqtada, ya'ni x=1, x=2 va x=4 uchun funksiya qiymatlarini hisoblaymiz:

Shuning uchun funksiyaning eng katta qiymati x=1 da va eng kichik qiymatga erishiladi – x=2 da.

Ikkinchi holda, biz funktsiyaning qiymatlarini faqat segmentning uchlarida hisoblaymiz [-4;-1] (chunki u bitta statsionar nuqtani o'z ichiga olmaydi):

Suzuvchi talaba uchun hayot chizig'i bo'lib xizmat qiladigan miniatyura va juda oddiy vazifa. Tabiatda, iyul oyining o'rtalarida uyqusiragan shohlik, shuning uchun plyajda noutbuk bilan joylashish vaqti keldi. Erta tongda nazariy quyosh nuri tez orada amaliyotga e'tibor qaratish uchun o'ynadi, u engilligi e'lon qilinganiga qaramay, qumda shisha parchalarini o'z ichiga oladi. Shu munosabat bilan men ushbu sahifaning bir nechta misollarini vijdonan ko'rib chiqishni tavsiya qilaman. Amaliy vazifalarni hal qilish uchun siz qobiliyatga ega bo'lishingiz kerak hosilalarni toping va maqolaning materialini tushuning Funksiyaning monotonlik va ekstremallik intervallari.

Birinchidan, asosiy narsa haqida qisqacha. haqida darsda funksiya uzluksizligi Men nuqtadagi uzluksizlik va intervaldagi uzluksizlik ta'rifini berdim. Segmentdagi funksiyaning namunali xatti-harakati xuddi shunday shakllantirilgan. Funktsiya segmentda uzluksiz bo'ladi, agar:

1) intervalda uzluksiz;
2) bir nuqtada uzluksiz o'ngda va nuqtada chap.

Ikkinchi xatboshi deb atalmish bilan bog'liq bir tomonlama davomiylik bir nuqtada ishlaydi. Uning ta'rifiga bir nechta yondashuvlar mavjud, ammo men ilgari boshlangan chiziqqa sodiq qolaman:

Funktsiya bir nuqtada uzluksizdir o'ngda, agar u berilgan nuqtada aniqlangan boʻlsa va uning oʻng chegarasi berilgan nuqtadagi funksiya qiymatiga toʻgʻri kelsa: . U nuqtada uzluksizdir chap, agar ma'lum bir nuqtada aniqlangan bo'lsa va uning chap chegarasi ushbu nuqtadagi qiymatga teng bo'lsa:

Tasavvur qiling-a, yashil nuqtalar sehrli kauchuk bog'langan mixlardir:

Qo'lingizda qizil chiziqni aqliy ravishda oling. Shubhasiz, biz grafikni qanchalik yuqoriga va pastga (o'q bo'ylab) cho'zmasak ham, funktsiya saqlanib qoladi. cheklangan- tepada to'siq, pastda to'siq va mahsulotimiz maydonchada o'tlanadi. Shunday qilib, segmentda uzluksiz funksiya unga chegaralangan. Matematik tahlil jarayonida oddiy ko'rinadigan bu haqiqat aytiladi va qat'iy isbotlanadi Veyershtrasning birinchi teoremasi.... Ko'pchilik matematikada elementar gaplar zerikarli asoslanayotganidan g'azablanadi, ammo bu muhim ma'noga ega. Aytaylik, terri o'rta asrlarining ma'lum bir aholisi grafikni osmonga ko'rish chegarasidan tashqariga tortdi, bu kiritilgan. Teleskop ixtiro qilinishidan oldin, kosmosdagi cheklangan funktsiya umuman aniq emas edi! Darhaqiqat, bizni ufqdan tashqarida nima kutayotganini qayerdan bilasiz? Axir, bir paytlar Yer tekis hisoblangan, shuning uchun bugungi kunda oddiy teleportatsiya ham isbot talab qiladi =)

Ga ko'ra ikkinchi Veyershtras teoremasi, segmentda uzluksizfunktsiya o'z darajasiga etadi aniq yuqori chekka va uning aniq pastki chet .

Raqam ham chaqiriladi segmentdagi funksiyaning maksimal qiymati va bilan belgilanadi, va raqam - intervaldagi funksiyaning minimal qiymati ogohlantirish bilan.

Bizning holatda:

Eslatma : nazariy jihatdan, yozuvlar keng tarqalgan .

Taxminan aytganda, eng katta qiymat grafikning eng yuqori nuqtasida, eng kichiki esa eng past nuqtada joylashgan.

Muhim! Maqolada allaqachon ta'kidlanganidek funktsiyaning ekstremal qismi, funktsiyaning eng katta qiymati va eng kichik funktsiya qiymati – BIR XIL EMAS, nima maksimal funktsiya va funktsiya minimal. Shunday qilib, bu misolda raqam funktsiyaning minimal qiymatidir, lekin minimal qiymat emas.

Aytgancha, segmentdan tashqarida nima sodir bo'ladi? Ha, hatto toshqin ham, ko'rib chiqilayotgan muammo kontekstida bu bizni umuman qiziqtirmaydi. Vazifa faqat ikkita raqamni topishni o'z ichiga oladi va tamom!

Bundan tashqari, yechim faqat analitikdir, shuning uchun chizish kerak emas!

Algoritm sirtda yotadi va yuqoridagi rasmdan o'zini ko'rsatadi:

1) Funktsiya qiymatlarini toping tanqidiy nuqtalar, bu segmentga tegishli.

Yana bir yaxshilikni qo'lga kiriting: ekstremum uchun etarli holatni tekshirishning hojati yo'q, chunki hozirgina ko'rsatilganidek, minimal yoki maksimal mavjudligi hali kafolatlanmagan minimal yoki maksimal qiymat nima. Namoyish funktsiyasi maksimal darajaga etadi va taqdirning irodasiga ko'ra, bir xil raqam intervaldagi funktsiyaning eng katta qiymati hisoblanadi. Lekin, albatta, bunday tasodif har doim ham sodir bo'lavermaydi.

Shunday qilib, birinchi bosqichda segmentga tegishli kritik nuqtalarda funktsiya qiymatlarini ekstremal yoki yo'qligini bezovta qilmasdan hisoblash tezroq va osonroq bo'ladi.

2) Biz segmentning oxiridagi funktsiya qiymatlarini hisoblaymiz.

3) 1 va 2-bandlarda joylashgan funktsiya qiymatlari orasidan eng kichik va eng katta raqamni tanlang, javobni yozing.

Biz ko'k dengiz qirg'og'ida o'tirib, sayoz suvda tovonlarga uramiz:

1-misol

Segmentdagi funksiyaning eng katta va eng kichik qiymatlarini toping

Yechim:
1) Ushbu segmentga tegishli kritik nuqtalarda funktsiyaning qiymatlarini hisoblang:

Ikkinchi kritik nuqtada funksiyaning qiymatini hisoblaymiz:

2) Segment oxiridagi funksiya qiymatlarini hisoblang:

3) ko'rsatkichlar va logarifmlar bilan "qalin" natijalar olingan, bu ularni solishtirishni sezilarli darajada murakkablashtiradi. Shuning uchun biz kalkulyator yoki Excel bilan qurollanamiz va taxminiy qiymatlarni hisoblab chiqamiz, buni unutmasdan:

Endi hamma narsa aniq.

Javob:

Mustaqil yechim uchun kasr-ratsional misol:

6-misol

Segmentdagi funksiyaning maksimal va minimal qiymatlarini toping

Ko'pincha fizika va matematikada funktsiyaning eng kichik qiymatini topish talab qilinadi. Buni qanday qilish kerak, biz hozir aytamiz.

Funktsiyaning eng kichik qiymatini qanday topish mumkin: ko'rsatma

1. Berilgan oraliqda uzluksiz funktsiyaning eng kichik qiymatini hisoblash uchun siz quyidagi algoritmga amal qilishingiz kerak:
2. Funktsiyaning hosilasini toping.
3. Berilgan segmentda hosila nolga teng bo'lgan nuqtalarni, shuningdek, barcha kritik nuqtalarni toping. Keyin ushbu nuqtalarda funktsiyaning qiymatlarini toping, ya'ni x nolga teng bo'lgan tenglamani yeching. Qiymatlarning qaysi biri eng kichik ekanligini aniqlang.
4. Funktsiyaning oxirgi nuqtalarda qanday qiymati borligini aniqlang. Ushbu nuqtalarda funksiyaning eng kichik qiymatini aniqlang.
5. Qabul qilingan ma'lumotlarni eng kichik qiymat bilan solishtiring. Qabul qilingan raqamlarning kichigi funksiyaning eng kichik qiymati bo'ladi.

E'tibor bering, agar segmentdagi funktsiya eng kichik nuqtalarga ega bo'lmasa, bu uning ushbu segmentda ko'payishi yoki kamayishini anglatadi. Shuning uchun funktsiyaning chekli segmentlarida eng kichik qiymatni hisoblash kerak.

Qolgan barcha hollarda funksiya qiymati berilgan algoritmga muvofiq hisoblanadi. Algoritmning har bir bosqichida siz bitta ildizga ega oddiy chiziqli tenglamani echishingiz kerak bo'ladi. Xatolarga yo'l qo'ymaslik uchun tenglamani chizma yordamida yeching.

Yarim ochiq segmentdagi funksiyaning eng kichik qiymatini qanday topish mumkin? Funktsiyaning yarim ochiq yoki ochiq davrida eng kichik qiymat quyidagicha topilishi kerak. Funktsiya qiymatining so'nggi nuqtalarida funktsiyaning bir tomonlama chegarasini hisoblang. Boshqacha qilib aytganda, tendentsiya nuqtalari a+0 va b+0 qiymatlari bilan berilgan tenglamani yeching, bunda a va b kritik nuqtalarning nomlari.

Endi siz funktsiyaning eng kichik qiymatini qanday topishni bilasiz. Asosiysi, barcha hisob-kitoblarni to'g'ri, aniq va xatosiz bajarish.