Oh-oh-oh-oh-oh ... mayli, xuddi jumlani o'zingiz o'qiganingizdek, bu tinny =) Biroq, dam olish yordam beradi, ayniqsa bugun men mos aksessuarlar sotib olganim uchun. Shuning uchun, keling, birinchi bo'limga o'tamiz, umid qilamanki, maqolaning oxirigacha men quvnoq kayfiyatni saqlab qolaman.

Ikki to'g'ri chiziqning o'zaro joylashishi

Zal xorda qo'shiq kuylagan hol. Ikki qator mumkin:

1) mos kelish;

2) parallel bo'lsin: ;

3) yoki bitta nuqtada kesishadi: .

Dummies uchun yordam : Iltimos, kesishishning matematik belgisini eslang, bu juda tez-tez sodir bo'ladi. Kirish chiziqning nuqtadagi chiziq bilan kesishishini bildiradi.

Ikki chiziqning nisbiy holatini qanday aniqlash mumkin?

Birinchi holatdan boshlaylik:

Ikki chiziq mos keladi, agar ularning koeffitsientlari proportsional bo'lsa, ya'ni tengliklari "lambda" shunday raqam bor

To'g'ri chiziqlarni ko'rib chiqamiz va mos keladigan koeffitsientlardan uchta tenglama tuzamiz: . Har bir tenglamadan kelib chiqadiki, shuning uchun bu chiziqlar bir-biriga mos keladi.

Haqiqatan ham, agar tenglamaning barcha koeffitsientlari bo'lsa -1 ga (belgilarni o'zgartirish) va tenglamaning barcha koeffitsientlarini ko'paytiring 2 ga kamaytirsangiz, bir xil tenglamani olasiz: .

Chiziqlar parallel bo'lgan ikkinchi holat:

Ikki chiziq parallel bo'ladi, agar ularning o'zgaruvchilardagi koeffitsientlari proportsional bo'lsa: , lekin.

Misol tariqasida ikkita to'g'ri chiziqni ko'rib chiqing. O'zgaruvchilar uchun mos keladigan koeffitsientlarning mutanosibligini tekshiramiz:

Biroq, bu aniq.

Uchinchi holat, chiziqlar kesishganda:

Ikki chiziq kesishadi, agar ularning o'zgaruvchilar koeffitsientlari proportsional bo'lmasa, ya'ni tenglik bajariladigan "lambda" ning bunday qiymati YO'Q

Shunday qilib, to'g'ri chiziqlar uchun biz tizim tuzamiz:

Birinchi tenglamadan , ikkinchi tenglamadan kelib chiqadi: , demak, tizim mos kelmaydi(echimlar yo'q). Shunday qilib, o'zgaruvchilardagi koeffitsientlar proportsional emas.

Xulosa: chiziqlar kesishadi

Amaliy masalalarda hozirgina ko'rib chiqilgan yechim sxemasidan foydalanish mumkin. Aytgancha, bu biz darsda ko'rib chiqqan vektorlarni kollinearlik uchun tekshirish algoritmiga juda o'xshaydi. Vektorlarning chiziqli (no) bog'liqligi tushunchasi. Vektor asosi. Ammo yanada madaniyatli paket mavjud:

1-misol

Chiziqlarning nisbiy o'rnini toping:

Yechim to'g'ri chiziqlarning yo'naltiruvchi vektorlarini o'rganishga asoslangan:

a) Tenglamalardan biz chiziqlarning yo'nalish vektorlarini topamiz: .

, shuning uchun vektorlar kollinear emas va chiziqlar kesishadi.

Har holda, men chorrahaga ko'rsatgichli tosh qo'yaman:

Qolganlar toshdan sakrab, to'g'ridan-to'g'ri O'limsiz Kashcheyga ergashadilar =)

b) chiziqlarning yo'nalish vektorlarini toping:

Chiziqlar bir xil yo'nalish vektoriga ega, ya'ni ular parallel yoki bir xil. Bu erda determinant shart emas.

Shubhasiz, noma'lumlarning koeffitsientlari proportsional bo'lsa, .

Keling, tenglik to'g'ri yoki yo'qligini bilib olaylik:

Shunday qilib,

c) chiziqlarning yo'nalish vektorlarini toping:

Ushbu vektorlarning koordinatalaridan tashkil topgan determinantni hisoblaymiz:
, shuning uchun yo'nalish vektorlari kollineardir. Chiziqlar parallel yoki mos tushadi.

"Lambda" proportsionallik faktorini to'g'ridan-to'g'ri to'g'ridan-to'g'ri chiziqli yo'nalish vektorlari nisbatidan ko'rish oson. Biroq, uni tenglamalarning koeffitsientlari orqali ham topish mumkin: .

Endi tenglik to'g'ri yoki yo'qligini bilib olaylik. Ikkala bepul shart ham nolga teng, shuning uchun:

Olingan qiymat bu tenglamani qanoatlantiradi (har qanday raqam odatda uni qanoatlantiradi).

Shunday qilib, chiziqlar bir-biriga mos keladi.

Javob:

Tez orada siz ko'rib chiqilayotgan muammoni bir necha soniya ichida og'zaki hal qilishni o'rganasiz (hatto allaqachon o'rgangansiz). Shu munosabat bilan, men mustaqil yechim uchun biror narsa taklif qilish uchun hech qanday sabab ko'rmayapman, geometrik poydevorga yana bir muhim g'isht qo'yish yaxshiroqdir:

Berilgan chiziqqa parallel chiziqni qanday chizish mumkin?

Bu eng oddiy vazifani bilmaslik uchun Qaroqchi Bulbul qattiq jazolaydi.

2-misol

To'g'ri chiziq tenglama bilan berilgan. Nuqtadan o‘tuvchi parallel chiziq tenglamasini yozing.

Yechim: Noma'lum qatorni harf bilan belgilang. Shart bu haqda nima deydi? Chiziq nuqtadan o'tadi. Va agar chiziqlar parallel bo'lsa, unda "ce" chizig'ining yo'naltiruvchi vektori "de" chizig'ini qurish uchun ham mos kelishi aniq.

Tenglamadan yo'nalish vektorini chiqaramiz:

Javob:

Misolning geometriyasi oddiy ko'rinadi:

Analitik tekshirish quyidagi bosqichlardan iborat:

1) Biz chiziqlar bir xil yo'nalish vektoriga ega ekanligini tekshiramiz (agar chiziq tenglamasi to'g'ri soddalashtirilmagan bo'lsa, u holda vektorlar kollinear bo'ladi).

2) Nuqta olingan tenglamani qanoatlantirishini tekshiring.

Aksariyat hollarda analitik tekshirishni og'zaki bajarish oson. Ikki tenglamaga qarang va ko'pchiligingiz hech qanday chizmasiz chiziqlar qanday parallel ekanligini tezda aniqlaydi.

Bugungi kunda o'z-o'zini hal qilish uchun misollar ijodiy bo'ladi. Chunki siz hali ham Baba Yaga bilan raqobatlashishingiz kerak va u, bilasizmi, har xil topishmoqlarni yaxshi ko'radi.

3-misol

Agar chiziqqa parallel nuqtadan o'tuvchi chiziq tenglamasini yozing

Yechishning oqilona va unchalik oqilona bo'lmagan usuli mavjud. Eng qisqa yo'l - dars oxirida.

Biz parallel chiziqlar bilan bir oz ish qildik va ularga keyinroq qaytamiz. Tegishli chiziqlar ishi unchalik qiziq emas, shuning uchun maktab o'quv dasturidan sizga yaxshi ma'lum bo'lgan muammoni ko'rib chiqaylik:

Ikki chiziqning kesishish nuqtasini qanday topish mumkin?

To'g'ri bo'lsa nuqtada kesishsa, u holda uning koordinatalari yechim hisoblanadi chiziqli tenglamalar tizimlari

Chiziqlarning kesishish nuqtasini qanday topish mumkin? Tizimni hal qiling.

Mana sizga ikkita noma'lumli ikkita chiziqli tenglamalar tizimining geometrik ma'nosi tekislikdagi ikkita kesishuvchi (ko'pincha) to'g'ri chiziqdir.

4-misol

Chiziqlarning kesishish nuqtasini toping

Yechim: Yechishning ikkita usuli bor - grafik va analitik.

Grafik usul oddiygina berilgan chiziqlarni chizish va kesishish nuqtasini to'g'ridan-to'g'ri chizmadan topishdir:

Mana bizning fikrimiz: . Tekshirish uchun siz uning koordinatalarini to'g'ri chiziqning har bir tenglamasiga almashtirishingiz kerak, ular u erda ham, u erda ham mos kelishi kerak. Boshqacha qilib aytganda, nuqtaning koordinatalari tizimning yechimidir. Aslida, biz hal qilishning grafik usulini ko'rib chiqdik chiziqli tenglamalar tizimlari ikkita tenglama, ikkita noma'lum.

Grafik usul, albatta, yomon emas, lekin sezilarli kamchiliklar mavjud. Yo‘q, gap yettinchi sinf o‘quvchilari shunday qaror qabul qilishlarida emas, gap shundaki, to‘g‘ri va ANIQ rasm chizish uchun vaqt kerak bo‘ladi. Bundan tashqari, ba'zi chiziqlarni qurish unchalik oson emas va kesishish nuqtasining o'zi daftar varag'idan tashqarida o'ttizinchi shohlikning bir joyida bo'lishi mumkin.

Shuning uchun kesishish nuqtasini analitik usul bilan izlash maqsadga muvofiqdir. Keling, tizimni hal qilaylik:

Tizimni yechish uchun tenglamalarni termin bo'yicha qo'shish usuli qo'llanildi. Tegishli ko'nikmalarni rivojlantirish uchun darsga tashrif buyuring Tenglamalar tizimini qanday yechish mumkin?

Javob:

Tekshiruv ahamiyatsiz - kesishish nuqtasining koordinatalari tizimning har bir tenglamasini qondirishi kerak.

5-misol

Chiziqlar kesishsa, ularning kesishish nuqtasini toping.

Bu o'z-o'zidan bajariladigan misol. Vazifani qulay tarzda bir necha bosqichlarga bo'lish mumkin. Vaziyatni tahlil qilish zarurligini ko'rsatadi:
1) To‘g‘ri chiziq tenglamasini yozing.
2) To‘g‘ri chiziq tenglamasini yozing.
3) Chiziqlarning nisbiy holatini aniqlang.
4) Agar chiziqlar kesishsa, u holda kesishish nuqtasini toping.

Harakatlar algoritmini ishlab chiqish ko'pgina geometrik masalalar uchun xosdir va men bunga qayta-qayta e'tibor qarataman.

Qo'llanma oxirida to'liq yechim va javob:

Bir juft poyabzal hali eskirgani yo'q, chunki biz darsning ikkinchi qismiga keldik:

Perpendikulyar chiziqlar. Nuqtadan chiziqgacha bo'lgan masofa.
Chiziqlar orasidagi burchak

Oddiy va juda muhim vazifadan boshlaylik. Birinchi qismda biz berilgan chiziqqa parallel ravishda qanday qilib to'g'ri chiziq qurishni bilib oldik va endi tovuq oyoqlaridagi kulba 90 gradusga aylanadi:

Berilgan chiziqqa perpendikulyar qanday chiziladi?

6-misol

To'g'ri chiziq tenglama bilan berilgan. Nuqtadan o`tuvchi perpendikulyar chiziq tenglamasini yozing.

Yechim: Bu faraz bilan ma'lum. To'g'ri chiziqning yo'nalishi vektorini topish yaxshi bo'lar edi. Chiziqlar perpendikulyar bo'lgani uchun hiyla oddiy:

Tenglamadan biz normal vektorni "olib tashlaymiz": , bu to'g'ri chiziqning yo'naltiruvchi vektori bo'ladi.

Biz nuqta va yo'naltiruvchi vektor bo'yicha to'g'ri chiziq tenglamasini tuzamiz:

Javob:

Keling, geometrik eskizni ochamiz:

Hm... To'q sariq osmon, to'q sariq dengiz, to'q sariq tuya.

Yechimni analitik tekshirish:

1) Tenglamalardan yo'nalish vektorlarini ajratib oling va yordami bilan vektorlarning nuqta mahsuloti chiziqlar chindan ham perpendikulyar degan xulosaga kelamiz:.

Aytgancha, siz oddiy vektorlardan foydalanishingiz mumkin, bu yanada osonroq.

2) Nuqta olingan tenglamani qanoatlantirishini tekshiring .

Tasdiqlash, yana, og'zaki amalga oshirish oson.

7-misol

Agar tenglama ma'lum bo'lsa, perpendikulyar chiziqlarning kesishish nuqtasini toping va nuqta.

Bu o'z-o'zidan bajariladigan misol. Vazifada bir nechta harakatlar mavjud, shuning uchun yechimni nuqta bilan tartibga solish qulay.

Bizning qiziqarli sayohatimiz davom etadi:

Nuqtadan chiziqgacha bo'lgan masofa

Bizning oldimizda daryoning tekis chizig'i bor va bizning vazifamiz unga eng qisqa yo'l bilan etib borishdir. Hech qanday to'siq yo'q va eng maqbul yo'nalish perpendikulyar bo'ylab harakatlanish bo'ladi. Ya'ni, nuqtadan chiziqgacha bo'lgan masofa perpendikulyar segmentning uzunligidir.

Geometriyada masofa an'anaviy ravishda yunoncha "ro" harfi bilan belgilanadi, masalan: - "em" nuqtasidan "de" to'g'ri chiziqqa bo'lgan masofa.

Nuqtadan chiziqgacha bo'lgan masofa formula bilan ifodalanadi

8-misol

Nuqtadan chiziqgacha bo'lgan masofani toping

Yechim: sizga kerak bo'lgan yagona narsa raqamlarni formulaga ehtiyotkorlik bilan kiritish va hisob-kitoblarni bajarishdir:

Javob:

Keling, chizmani bajaramiz:

Nuqtadan chiziqgacha bo'lgan masofa aniq qizil segmentning uzunligiga teng. Agar siz katak qog'ozga 1 birlik masshtabida chizilgan chizilgan bo'lsangiz. \u003d 1 sm (2 hujayra), keyin masofani oddiy o'lchagich bilan o'lchash mumkin.

Xuddi shu rasmga muvofiq boshqa vazifani ko'rib chiqing:

Vazifa chiziqqa nisbatan nuqtaga simmetrik bo'lgan nuqtaning koordinatalarini topishdir. . Men harakatlarni o'zingiz bajarishni taklif qilaman, ammo oraliq natijalar bilan hal qilish algoritmini tasvirlab beraman:

1) Chiziqga perpendikulyar bo'lgan chiziqni toping.

2) Chiziqlarning kesishish nuqtasini toping: .

Ushbu darsda ikkala harakat ham batafsil muhokama qilinadi.

3) nuqta segmentning o'rta nuqtasidir. Biz o'rta va uchlaridan birining koordinatalarini bilamiz. tomonidan segmentning o'rtasi koordinatalari uchun formulalar toping.

Masofa ham 2,2 birlikka teng ekanligini tekshirish ortiqcha bo'lmaydi.

Bu erda hisob-kitoblarda qiyinchiliklar paydo bo'lishi mumkin, ammo minorada oddiy kasrlarni hisoblash imkonini beruvchi mikrokalkulyator ko'p yordam beradi. Ko'p marta maslahat berdim va yana tavsiya qilaman.

Ikki parallel chiziq orasidagi masofani qanday topish mumkin?

9-misol

Ikki parallel chiziq orasidagi masofani toping

Bu mustaqil yechim uchun yana bir misol. Bir oz maslahat: hal qilishning cheksiz ko'p usullari mavjud. Dars oxirida brifing, lekin yaxshiroq o'zingiz taxmin qilishga harakat qiling, menimcha, siz o'z zukkoligingizni yaxshi tarqatishga muvaffaq bo'ldingiz.

Ikki chiziq orasidagi burchak

Qanday burchak bo'lishidan qat'iy nazar, keyin jamb:


Geometriyada ikkita to'g'ri chiziq orasidagi burchak KICHIK burchak sifatida qabul qilinadi, undan avtomatik ravishda u to'g'ri bo'lishi mumkin emas degan xulosaga keladi. Rasmda qizil yoy bilan ko'rsatilgan burchak kesishgan chiziqlar orasidagi burchak deb hisoblanmaydi. Va uning "yashil" qo'shnisi yoki qarama-qarshi yo'naltirilgan qip-qizil burchak.

Agar chiziqlar perpendikulyar bo'lsa, ular orasidagi burchak sifatida 4 ta burchakdan istalgan birini olish mumkin.

Burchaklar qanday farqlanadi? Orientatsiya. Birinchidan, burchakni "aylantirish" yo'nalishi printsipial jihatdan muhimdir. Ikkinchidan, salbiy yo'naltirilgan burchak minus belgisi bilan yoziladi, masalan, agar .

Nega men buni aytdim? Ko'rinib turibdiki, siz odatiy burchak tushunchasi bilan shug'ullanishingiz mumkin. Gap shundaki, biz burchaklarni topadigan formulalarda salbiy natijani osongina olish mumkin va bu sizni ajablantirmasligi kerak. Minus belgisi bo'lgan burchak bundan ham yomon emas va juda aniq geometrik ma'noga ega. Salbiy burchak uchun chizmada uning yo'nalishini (soat yo'nalishi bo'yicha) o'q bilan ko'rsatish kerak.

Ikki chiziq orasidagi burchakni qanday topish mumkin? Ikkita ishlaydigan formulalar mavjud:

10-misol

Chiziqlar orasidagi burchakni toping

Yechim Va Birinchi usul

Umumiy shaklda tenglamalar bilan berilgan ikkita to'g'ri chiziqni ko'rib chiqing:

To'g'ri bo'lsa perpendikulyar emas, keyin yo'naltirilgan Ularning orasidagi burchakni quyidagi formula yordamida hisoblash mumkin:

Keling, maxrajga diqqat bilan qaraymiz - bu aniq skalyar mahsulot to'g'ri chiziqlarning yo'nalish vektorlari:

Agar bo'lsa, formulaning maxraji yo'qoladi va vektorlar ortogonal, chiziqlar esa perpendikulyar bo'ladi. Shuning uchun formuladagi chiziqlarning perpendikulyar emasligi haqida rezervatsiya qilingan.

Yuqorida aytilganlarga asoslanib, yechim ikki bosqichda qulay tarzda rasmiylashtiriladi:

1) To'g'ri chiziqlarning yo'naltiruvchi vektorlarining skalyar ko'paytmasini hisoblang:
shuning uchun chiziqlar perpendikulyar emas.

2) Chiziqlar orasidagi burchakni quyidagi formula bo'yicha topamiz:

Teskari funktsiyadan foydalanib, burchakning o'zini topish oson. Bunday holda, biz yoy tangensining g'alatiligidan foydalanamiz (2-rasmga qarang). Elementar funksiyalarning grafiklari va xossalari):

Javob:

Javobda biz aniq qiymatni, shuningdek, kalkulyator yordamida hisoblangan taxminiy qiymatni (yaxshisi darajalarda ham, radianlarda ham) ko'rsatamiz.

Xo'sh, minus, shuning uchun minus, hammasi joyida. Mana geometrik rasm:

Burchakning salbiy yo'nalishga ega bo'lishi ajablanarli emas, chunki masala sharoitida birinchi raqam to'g'ri chiziq bo'lib, burchakning "burilishi" aynan undan boshlangan.

Agar siz haqiqatan ham ijobiy burchakka ega bo'lishni istasangiz, to'g'ri chiziqlarni almashtirishingiz kerak, ya'ni ikkinchi tenglamadan koeffitsientlarni olishingiz kerak. , va birinchi tenglamadan koeffitsientlarni oling. Muxtasar qilib aytganda, siz to'g'ridan-to'g'ri boshlashingiz kerak .

Matematikadan imtihonga tayyorlanayotgan har bir talaba uchun “Chiziqlar orasidagi burchakni topish” mavzusini takrorlash foydali bo‘ladi. Statistik ma'lumotlar shuni ko'rsatadiki, attestatsiya sinovidan o'tishda stereometriyaning ushbu bo'limidagi topshiriqlar ko'plab talabalar uchun qiyinchiliklarga olib keladi. Shu bilan birga, to'g'ri chiziqlar orasidagi burchakni topishni talab qiladigan vazifalar USEda ham asosiy, ham profil darajasida mavjud. Bu har bir kishi ularni hal qila olishi kerakligini anglatadi.

Asosiy daqiqalar

Kosmosda chiziqlarning o'zaro joylashishining 4 turi mavjud. Ular mos kelishi, kesishishi, parallel yoki kesishishi mumkin. Ularning orasidagi burchak o'tkir yoki tekis bo'lishi mumkin.

Yagona davlat imtihonida yoki masalan, yechimda chiziqlar orasidagi burchakni topish uchun Moskva va boshqa shaharlardagi maktab o'quvchilari stereometriyaning ushbu bo'limidagi muammolarni hal qilishning bir nechta usullaridan foydalanishlari mumkin. Vazifani klassik konstruktsiyalar bilan bajarishingiz mumkin. Buning uchun stereometriyaning asosiy aksiomalari va teoremalarini o'rganishga arziydi. O‘quvchi topshiriqni planimetrik masalaga keltirish uchun mantiqiy fikr yurita olishi va chizmalar tuza olishi kerak.

Siz oddiy formulalar, qoidalar va algoritmlardan foydalangan holda vektor-koordinata usulidan ham foydalanishingiz mumkin. Bu holatda asosiy narsa barcha hisob-kitoblarni to'g'ri bajarishdir. Shkolkovo o'quv loyihasi stereometriya va maktab kursining boshqa bo'limlaridagi muammolarni hal qilishda o'z mahoratingizni oshirishga yordam beradi.

Samolyotlar orasidagi burchak

Tenglamalar bilan berilgan ikkita a 1 va a 2 tekisliklarni ko'rib chiqamiz:

ostida burchak ikki tekislik orasidagi bu tekisliklar hosil qilgan ikki burchakli burchaklardan birini nazarda tutamiz. Ko'rinib turibdiki, normal vektorlar bilan a 1 va a 2 tekisliklar orasidagi burchak ko'rsatilgan qo'shni ikki burchakli burchaklardan biriga teng yoki . Shunung uchun . Chunki Va , keyin

.

Misol. Samolyotlar orasidagi burchakni aniqlang x+2y-3z+4=0 va 2 x+3y+z+8=0.

Ikki tekislikning parallellik sharti.

Ikki tekislik a 1 va a 2 parallel bo'ladi, agar ularning normal vektorlari parallel bo'lsa va shuning uchun. .

Shunday qilib, ikkita tekislik bir-biriga parallel, agar tegishli koordinatalardagi koeffitsientlar proportsional bo'lsa:

yoki

Tekisliklarning perpendikulyarligi sharti.

Ko'rinib turibdiki, ikkita tekislik perpendikulyar bo'ladi, agar ularning normal vektorlari perpendikulyar bo'lsa va shuning uchun, yoki .

Shunday qilib, .

Misollar.

To'g'ridan-to'g'ri kosmosda.

VEKTOR TENGLASHISHI TO'G'RI.

PARAMETRIK TENGLAMALAR TO'G'RI

To'g'ri chiziqning fazodagi o'rni uning har qanday qo'zg'almas nuqtasini ko'rsatish orqali to'liq aniqlanadi M 1 va bu chiziqqa parallel vektor.

To'g'ri chiziqqa parallel vektor deyiladi rahbarlik qilish bu chiziqning vektori.

Shunday qilib, to'g'ri bo'lsin l nuqtadan o'tadi M 1 (x 1 , y 1 , z 1) vektorga parallel to'g'ri chiziqda yotish.

Ixtiyoriy nuqtani ko'rib chiqing M(x,y,z) to'g'ri chiziqda. Buni rasmdan ko'rish mumkin .

Vektorlar va kollinear, shuning uchun bunday raqam mavjud t, nima , ko'paytuvchi qayerda t nuqtaning joylashishiga qarab har qanday raqamli qiymatni qabul qilishi mumkin M to'g'ri chiziqda. Faktor t parametr deyiladi. Nuqtalarning radius vektorlarini belgilash M 1 va M mos ravishda, va orqali, biz . Bu tenglama deyiladi vektor to'g'ri chiziq tenglamasi. Har bir parametr qiymatini ko'rsatadi t qaysidir nuqtaning radius vektoriga mos keladi M to'g'ri chiziqda yotish.

Bu tenglamani koordinata shaklida yozamiz. E'tibor bering, va bu yerdan

Olingan tenglamalar deyiladi parametrik to'g'ri chiziqli tenglamalar.

Parametrni o'zgartirganda t koordinatalari o'zgaradi x, y Va z va nuqta M to'g'ri chiziq bo'ylab harakatlanadi.

KANONIK TENGLAMALAR TO'g'ridan-to'g'ri

Bo'lsin M 1 (x 1 , y 1 , z 1) - to'g'ri chiziqda yotgan nuqta l, Va uning yo'nalishi vektoridir. Shunga qaramay, to'g'ri chiziqda ixtiyoriy nuqtani oling M(x,y,z) va vektorni ko'rib chiqing.

Ko'rinib turibdiki, va vektorlar kollineardir, shuning uchun ularning tegishli koordinatalari proportsional bo'lishi kerak, shuning uchun

– kanonik to'g'ri chiziqli tenglamalar.

Izoh 1. E'tibor bering, chiziqning kanonik tenglamalari parametrni yo'q qilish orqali parametrik tenglamalardan olinishi mumkin. t. Haqiqatan ham, biz parametrik tenglamalardan olamiz yoki .

Misol. To'g'ri chiziq tenglamasini yozing parametrik usulda.

Belgilamoq , shuning uchun x = 2 + 3t, y = –1 + 2t, z = 1 –t.

Izoh 2. Chiziq koordinata o'qlaridan biriga perpendikulyar bo'lsin, masalan, o'q ho'kiz. Keyin chiziqning yo'nalish vektori perpendikulyar bo'ladi ho'kiz, Binobarin, m=0. Binobarin, to'g'ri chiziqning parametrik tenglamalari shaklni oladi

Parametrni tenglamalardan chiqarib tashlash t, shakldagi to'g'ri chiziq tenglamalarini olamiz

Biroq, bu holatda ham biz to'g'ri chiziqning kanonik tenglamalarini shaklda yozishga rozi bo'lamiz . Shunday qilib, agar kasrlardan birining maxraji nolga teng bo'lsa, bu chiziq mos keladigan koordinata o'qiga perpendikulyar ekanligini anglatadi.

Xuddi shunday, kanonik tenglamalar o'qlarga perpendikulyar to'g'ri chiziq mos keladi ho'kiz Va Oy yoki parallel o'q Oz.

Misollar.

UMUMIY TENGLAMALAR TO'G'RISIYAT IKKI TASIZLIKNI KESIB KESISH CHIZIQ SIKIDA.

Kosmosdagi har bir to'g'ri chiziq orqali cheksiz sonli tekisliklar o'tadi. Ularning istalgan ikkitasi kesishib, uni kosmosda aniqlaydi. Demak, har qanday ikkita bunday tekislikning birgalikda ko'rib chiqiladigan tenglamalari bu chiziqning tenglamalari hisoblanadi.

Umuman olganda, umumiy tenglamalar bilan berilgan har qanday ikkita parallel bo'lmagan tekislik

ularning kesishish chizig'ini aniqlang. Bu tenglamalar deyiladi umumiy tenglamalar Streyt.

Misollar.

Tenglamalar bilan berilgan to‘g‘ri chiziqni tuzing

Chiziqni qurish uchun uning istalgan ikkita nuqtasini topish kifoya. Eng oson yo'li - chiziqning koordinata tekisliklari bilan kesishish nuqtalarini tanlash. Masalan, tekislik bilan kesishish nuqtasi xOy faraz qilib, to'g'ri chiziq tenglamalaridan olamiz z= 0:

Ushbu tizimni hal qilib, biz nuqta topamiz M 1 (1;2;0).

Xuddi shunday, taxmin qilish y= 0, biz chiziqning tekislik bilan kesishish nuqtasini olamiz xOz:

To'g'ri chiziqning umumiy tenglamalaridan uning kanonik yoki parametrik tenglamalariga o'tish mumkin. Buning uchun siz biron bir nuqtani topishingiz kerak M Chiziqda 1 va chiziqning yo'nalishi vektori.

Nuqta koordinatalari M 1 koordinatalardan biriga ixtiyoriy qiymat berib, ushbu tenglamalar tizimidan olamiz. Yo'nalish vektorini topish uchun bu vektor ikkala normal vektorga perpendikulyar bo'lishi kerakligini unutmang Va . Shuning uchun, to'g'ri chiziqning yo'nalish vektori uchun l oddiy vektorlarning o'zaro mahsulotini olishingiz mumkin:

.

Misol. To'g'ri chiziqning umumiy tenglamalarini keltiring kanonik shaklga.

To'g'ri chiziqdagi nuqtani toping. Buning uchun biz o'zboshimchalik bilan koordinatalardan birini tanlaymiz, masalan, y= 0 va tenglamalar tizimini yeching:

Chiziqni aniqlaydigan tekisliklarning normal vektorlari koordinatalarga ega Shuning uchun yo'nalish vektori to'g'ri bo'ladi

. Binobarin, l: .

HUQUQLAR ORASIDAGI BURCHAK

burchak fazodagi to'g'ri chiziqlar orasidagi ma'lumotlarga parallel ravishda ixtiyoriy nuqta orqali o'tkazilgan ikkita to'g'ri chiziqdan hosil bo'lgan qo'shni burchaklarning har qandayini chaqiramiz.

Fazoda ikkita to'g'ri chiziq berilgan bo'lsin:

Shubhasiz, chiziqlar orasidagi burchak ph ni ularning yo'nalish vektorlari va orasidagi burchak sifatida olish mumkin. dan beri , keyin vektorlar orasidagi burchakning kosinus formulasiga muvofiq olamiz

Men qisqacha gapiraman. Ikki chiziq orasidagi burchak ularning yo'nalish vektorlari orasidagi burchakka teng. Shunday qilib, agar siz a \u003d (x 1; y 1; z 1) va b \u003d (x 2; y 2; z 2) yo'nalish vektorlarining koordinatalarini topishga muvaffaq bo'lsangiz, burchakni topishingiz mumkin. Aniqrog'i, formula bo'yicha burchakning kosinusu:

Keling, ushbu formulaning aniq misollarda qanday ishlashini ko'rib chiqaylik:

Vazifa. ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 kubida E va F nuqtalari belgilangan - mos ravishda A 1 B 1 va B 1 C 1 qirralarning o'rta nuqtalari. AE va BF chiziqlar orasidagi burchakni toping.

Kubning qirrasi ko'rsatilmaganligi sababli, biz AB = 1 ni o'rnatamiz. Biz standart koordinatalar tizimini kiritamiz: koordinatalarning koordinatalari A nuqtada va x, y, z o'qlari mos ravishda AB, AD va AA 1 bo'ylab yo'naltirilgan. . Birlik segmenti AB = 1 ga teng. Endi chiziqlarimiz uchun yo'nalish vektorlarining koordinatalarini topamiz.

AE vektorining koordinatalarini toping. Buning uchun bizga A = (0; 0; 0) va E = (0,5; 0; 1) nuqtalari kerak. E nuqta A 1 B 1 segmentining o'rtasi bo'lgani uchun uning koordinatalari uchlari koordinatalarining o'rtacha arifmetik qiymatiga teng. E'tibor bering, AE vektorining kelib chiqishi koordinata bilan mos keladi, shuning uchun AE = (0,5; 0; 1).

Endi BF vektori bilan shug'ullanamiz. Xuddi shunday, biz B = (1; 0; 0) va F = (1; 0,5; 1) nuqtalarini tahlil qilamiz, chunki F - segmentning o'rtasi B 1 C 1 . Bizda ... bor:
BF = (1 - 1; 0,5 - 0; 1 - 0) = (0; 0,5; 1).

Shunday qilib, yo'nalish vektorlari tayyor. Chiziqlar orasidagi burchakning kosinusu yo'nalish vektorlari orasidagi burchakning kosinusidir, shuning uchun bizda:

Vazifa. Muntazam uchburchak prizmasida ABCA 1 B 1 C 1, barcha qirralari 1 ga teng, D va E nuqtalari belgilangan - mos ravishda A 1 B 1 va B 1 C 1 qirralarning o'rta nuqtalari. AD va BE chiziqlar orasidagi burchakni toping.

Biz standart koordinatalar tizimini joriy qilamiz: kelib chiqishi A nuqtasida, x o'qi AB bo'ylab, z - AA 1 bo'ylab yo'naltirilgan. Biz y o'qini OXY tekisligi ABC tekisligiga to'g'ri keladigan tarzda yo'naltiramiz. Birlik segmenti AB = 1 ga teng. Kerakli chiziqlar uchun yo'nalish vektorlarining koordinatalarini toping.

Birinchidan, AD vektorining koordinatalarini topamiz. Nuqtalarni ko'rib chiqing: A = (0; 0; 0) va D = (0,5; 0; 1), chunki D - A 1 B 1 segmentining o'rtasi. AD vektorining boshlanishi koordinataga toʻgʻri kelganligi uchun AD = (0,5; 0; 1) ni olamiz.

Endi BE vektorining koordinatalarini topamiz. B nuqtasi = (1; 0; 0) hisoblash oson. E nuqtasi bilan - C 1 B 1 segmentining o'rtasi - biroz qiyinroq. Bizda ... bor:

Burchakning kosinusini topish qoladi:

Vazifa. Muntazam olti burchakli ABCDEFA 1 B 1 C 1 D 1 E 1 F 1 prizmasida barcha qirralari 1 ga teng, K va L nuqtalari belgilangan - A 1 B 1 va B 1 C 1 qirralarning o‘rta nuqtalari, mos ravishda. AK va BL chiziqlar orasidagi burchakni toping.

Biz prizma uchun standart koordinatalar tizimini joriy qilamiz: biz koordinatalarning boshini pastki asosning markaziga joylashtiramiz, x o'qini FC bo'ylab, y o'qini AB va DE segmentlarining o'rta nuqtalari va z o'qi orqali yo'naltiramiz. vertikal yuqoriga. Birlik segmenti yana AB = 1 ga teng. Bizni qiziqtirgan nuqtalarning koordinatalarini yozamiz:

K va L nuqtalar mos ravishda A 1 B 1 va B 1 C 1 segmentlarining o'rta nuqtalari, shuning uchun ularning koordinatalari o'rtacha arifmetik orqali topiladi. Nuqtalarni bilib, biz AK va BL yo'nalish vektorlarining koordinatalarini topamiz:

Endi burchakning kosinusini topamiz:

Vazifa. Barcha qirralari 1 ga teng bo'lgan muntazam to'rtburchak piramida SABCDda E va F nuqtalari belgilangan - mos ravishda SB va SC tomonlarning o'rta nuqtalari. AE va BF chiziqlar orasidagi burchakni toping.

Biz standart koordinatalar tizimini joriy qilamiz: bosh nuqta A nuqtada, x va y o'qlari mos ravishda AB va AD bo'ylab yo'naltirilgan va z o'qi vertikal yuqoriga yo'naltirilgan. Birlik segmenti AB = 1 ga teng.

E va F nuqtalar mos ravishda SB va SC segmentlarining o'rta nuqtalari, shuning uchun ularning koordinatalari uchlarning o'rtacha arifmetik qiymati sifatida topiladi. Bizni qiziqtirgan nuqtalarning koordinatalarini yozamiz:
A = (0; 0; 0); B = (1; 0; 0)

Nuqtalarni bilib, biz AE va BF yo'nalish vektorlarining koordinatalarini topamiz:

AE vektorning koordinatalari E nuqtaning koordinatalari bilan mos keladi, chunki A nuqta koordinatasidir. Burchakning kosinusini topish qoladi: