Fibonachchi ketma-ketligi, "Da Vinchi kodi" filmidan hammaga ma'lum - 13-asrda Fibonachchi taxallusi bilan mashhur bo'lgan italiyalik matematik Leonardo Pizalik tomonidan topishmoq sifatida tasvirlangan bir qator raqamlar. Qisqacha, topishmoqning mohiyati:

Yil davomida necha juft quyon tug‘ilishini, agar quyonlarning tabiati shunday bo‘lsa, har oyda bir juft quyon boshqa juft hosil qiladigan bo‘lsa va qobiliyati borligini bilish uchun kimdir ma’lum bir yopiq joyga bir juft quyon joylashtirgan. nasl berish ikki oylik bo'lganda paydo bo'ladi.

Natijada bir qator raqamlar paydo bo'ladi: 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144 , bu erda o'n ikki oyning har biridagi quyon juftlarining soni vergul bilan ajratilgan holda ko'rsatilgan. Uni cheksiz davom ettirish mumkin. Uning mohiyati shundaki, har bir keyingi raqam oldingi ikkitasining yig'indisidir.

Ushbu turkumda bir nechta matematik xususiyatlar mavjud bo'lib, ular haqida gapirish kerak. U asimptotik tarzda (borgan sari sekinroq yaqinlashadi) qandaydir doimiy nisbatga intiladi. Biroq, bu nisbat irratsionaldir, ya'ni kasr qismida o'nlik raqamlarning cheksiz, oldindan aytib bo'lmaydigan ketma-ketligiga ega bo'lgan raqamdir. Buni aniq ifodalash mumkin emas.

Shunday qilib, qatorning istalgan a'zosining oldingisiga nisbati son atrofida o'zgarib turadi 1,618 , goh undan oshib, gohida yetib bormaydi. Quyidagiga nisbati ham xuddi shunday raqamga yaqinlashadi 0,618 , bu teskari proportsionaldir 1,618 . Agar elementlarni bittaga bo'lsak, raqamlarni olamiz 2,618 va 0,382 , ular ham teskari proportsionaldir. Bular Fibonachchi nisbati deb ataladi.

Nega bularning hammasi? Shunday qilib, biz tabiatning eng sirli hodisalaridan biriga yaqinlashamiz. Aqlli Leonardo, aslida, yangi hech narsa kashf etmadi, u shunchaki dunyoga bunday hodisani eslatdi. Oltin bo'lim, bu Pifagor teoremasidan muhimligidan kam emas.

Biz atrofimizdagi barcha narsalarni, shu jumladan shaklda ham farqlaymiz. Bizga ko'proq yoqadi, kimdir kamroq, ba'zilari esa ko'zni butunlay qaytaradi. Ba'zida qiziqish hayotiy vaziyatga, ba'zan esa kuzatilayotgan ob'ektning go'zalligiga bog'liq bo'lishi mumkin. Nosimmetrik va proportsional shakl eng yaxshi vizual idrok etishga hissa qo'shadi va go'zallik va uyg'unlik tuyg'usini uyg'otadi. Yaxlit tasvir har doim bir-biri bilan va butun bilan ma'lum munosabatda bo'lgan turli o'lchamdagi qismlardan iborat. oltin nisbat- fan, san’at va tabiatda yaxlitlik va uning qismlari kamolotining yuksak namoyon bo‘lishi.

Agar oddiy misol bo'lsa, unda "Oltin bo'lim" segmentni ikki qismga bo'linishi bo'lib, unda katta qismi kichikroqqa, ularning yig'indisi (butun segment) kattasiga tegishli bo'ladi.

Agar biz butun segmentni olsak c orqasida 1 , keyin segment a ga teng bo'ladi 0,618 , chiziq segmenti b - 0,382 , faqat shu tarzda Oltin bo'lim sharti bajariladi (0,618/0,382=1,618 ; 1/0,618=1,618 ) . Munosabat c uchun a teng 1,618 , a bilan uchun b 2,618 . Bularning barchasi bir xil, bizga allaqachon tanish bo'lgan Fibonachchi koeffitsientlari.

Albatta, oltin to'rtburchak, oltin uchburchak va hatto oltin kuboid ham mavjud. Inson tanasining nisbati ko'p jihatdan Oltin bo'limga yaqin.

Rasm: marcus-frings.de

Ammo eng qiziqarlisi olingan bilimlarni birlashtirganda boshlanadi. Rasmda Fibonachchi ketma-ketligi va Oltin nisbat o'rtasidagi munosabat aniq ko'rsatilgan. Biz birinchi o'lchamdagi ikkita kvadratdan boshlaymiz. Yuqoridan biz ikkinchi o'lchamdagi kvadratni qo'shamiz. Oldingi ikki tomonning yig'indisiga teng bo'lgan, uchinchi o'lchamdagi kvadratning yonida biz bo'yashamiz. Analogiya bo'yicha beshinchi o'lchamdagi kvadrat paydo bo'ladi. Va shunga o'xshash, siz zerikmaguningizcha, asosiysi, har bir keyingi kvadratning yon tomonining uzunligi oldingi ikkitasining tomonlari uzunligi yig'indisiga teng. Biz tomonlarining uzunligi Fibonachchi raqamlari bo'lgan to'rtburchaklar qatorini ko'ramiz va ular g'alati tarzda Fibonachchi to'rtburchaklar deb ataladi.

Agar biz kvadratchalarimizning burchaklari orqali silliq chiziq chizsak, biz Arximed spiralidan boshqa hech narsa olmaymiz, uning balandligi har doim bir xil bo'ladi.

Bu sizga hech narsani eslatmaydimi?

Surat: etanhein Flickr-da

Va nafaqat mollyuskaning qobig'ida siz Arximed spirallarini topishingiz mumkin, balki ko'plab gullar va o'simliklarda ular unchalik aniq emas.

Aloe ko'p bargli:

Surat: pivo daftarlari Flickr-da

Surat: beart.org.uk

Surat: esdrascalderan Flickr-da

Surat: manj98 Flickr-da

Va keyin Oltin qismni eslash vaqti keldi! Ushbu fotosuratlarda tabiatning eng go'zal va uyg'un ijodlaridan biri tasvirlanganmi? Va bu hammasi emas. Diqqat bilan qarasangiz, ko'p shakllarda o'xshash naqshlarni topishingiz mumkin.

Albatta, bu hodisalarning barchasi Fibonachchi ketma-ketligiga asoslanganligi haqidagi bayonot juda baland eshitiladi, ammo tendentsiya yuzda. Bundan tashqari, uning o'zi ham bu dunyodagi hamma narsa kabi mukammal emas.

Fibonachchi seriyasi tabiatan ko'proq fundamental va mukammal oltin qismli logarifmik ketma-ketlikka moslashishga urinishdir, degan taxminlar mavjud, u deyarli bir xil, faqat hech qanday joydan boshlanadi va hech qaerga ketmaydi. Tabiat esa, albatta, qandaydir bir butun boshlanishga muhtoj, undan surish mumkin, u yo'qdan nimadir yarata olmaydi. Fibonachchi ketma-ketligining birinchi a'zolarining nisbati Oltin qismdan uzoqdir. Ammo biz qanchalik uzoqqa borsak, bu og'ishlar shunchalik silliqlashadi. Har qanday seriyani aniqlash uchun uning birin-ketin o'tadigan uchta a'zosini bilish kifoya. Ammo oltin ketma-ketlik uchun emas, ikkitasi etarli, bu bir vaqtning o'zida geometrik va arifmetik progressiyadir. Siz buni boshqa barcha ketma-ketliklar uchun asos deb o'ylashingiz mumkin.

Oltin logarifmik ketma-ketlikning har bir a'zosi Oltin nisbatning kuchidir ( z). Qatorning bir qismi quyidagicha ko'rinadi: ... z -5; z-4; z-3; z-2; z -1; z0; z1; z2; z3; z4; z 5 ... Agar biz Oltin nisbatning qiymatini uchta kasrga yaxlitlashtirsak, biz olamiz z=1,618, keyin qator quyidagicha ko'rinadi: ... 0,090 0,146; 0,236; 0,382; 0,618; 1; 1,618; 2,618; 4,236; 6,854; 11,090 ... Har bir keyingi atama nafaqat oldingisini ko'paytirish orqali olinishi mumkin 1,618 , balki oldingi ikkitasini qo'shish orqali. Shunday qilib, eksponentsial o'sishga ikkita qo'shni elementni qo'shish orqali erishiladi. Bu boshlanishi va oxiri bo'lmagan seriyadir va Fibonachchi ketma-ketligi aynan shunday bo'lishga harakat qiladi. Yaxshi belgilangan boshlanishga ega bo'lib, u idealga intiladi, hech qachon unga erishmaydi. Bu hayot.

Va shunga qaramay, ko'rgan va o'qilgan hamma narsa bilan bog'liq holda, tabiiy savollar tug'iladi:
Bu raqamlar qayerdan kelgan? Koinotni mukammal qilishga harakat qilgan bu me'mor kim? Hech qachon u xohlagandek bo'lganmi? Va agar shunday bo'lsa, nega muvaffaqiyatsiz bo'ldi? Mutatsiyalar? Erkin tanlovmi? Keyingi nima bo'ladi? G‘altak burayaptimi yoki buramayaptimi?

Bir savolga javob topib, keyingisini olasiz. Agar siz uni hal qilsangiz, ikkita yangisini olasiz. Ular bilan shug'ullaning, yana uchtasi paydo bo'ladi. Ularni hal qilib, siz hal qilinmagan beshtasini olasiz. Keyin sakkiz, keyin o'n uch, 21, 34, 55 ...

Manbalar: ; ; ;

"Da Vinchi kodi" filmi va kitobi orqali mashhur bo'lgan Fibonachchi ketma-ketligi XIII asrda o'zining Fibonachchi taxallusi bilan mashhur bo'lgan italyan matematigi Pizalik Leonardo tomonidan chiqarilgan raqamlar qatoridir. Olimning izdoshlari ushbu raqamlar qatori tobe bo‘lgan formula atrofimizdagi dunyoda o‘z aksini topib, boshqa matematik kashfiyotlar bilan hamohang bo‘lib, shu orqali biz uchun olam sirlariga eshik ochayotganini payqashdi. Ushbu maqolada biz Fibonachchi ketma-ketligi nima ekanligini tushuntiramiz, ushbu naqsh tabiatda qanday namoyon bo'lishiga misollarni ko'rib chiqamiz, shuningdek uni boshqa matematik nazariyalar bilan solishtiramiz.

Kontseptsiyaning shakllanishi va ta'rifi

Fibonachchi seriyasi matematik ketma-ketlik bo'lib, uning har bir elementi oldingi ikkitasining yig'indisiga teng. Ketma-ketlikning ma'lum bir a'zosini x n deb belgilaymiz. Shunday qilib, biz butun seriya uchun amal qiladigan formulani olamiz: x n + 2 \u003d x n + x n + 1. Bunday holda, ketma-ketlik tartibi quyidagicha bo'ladi: 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34. Keyingi raqam 55 bo'ladi, chunki 21 va 34 ning yig'indisi 55 ga teng. Va hokazo. xuddi shu printsipga muvofiq.

Atrof-muhitdagi misollar

Agar biz o'simlikka, xususan, barglarning tojiga qarasak, ular spiral shaklida gullashini sezamiz. Burchaklar qo'shni barglar orasida hosil bo'ladi, bu esa o'z navbatida to'g'ri matematik Fibonachchi ketma-ketligini hosil qiladi. Ushbu xususiyat tufayli daraxtda o'sadigan har bir barg oladi maksimal miqdor quyosh nuri va issiqlik.

Fibonachchi matematik jumboq

Mashhur matematik o'z nazariyasini topishmoq shaklida taqdim etdi. Bu shunday eshitiladi. Bir yilda necha juft quyon tug'ilishini bilish uchun siz bir juft quyonni yopiq joyga qo'yishingiz mumkin. Bu hayvonlarning tabiatini hisobga olsak, har oyda bir juftlik yangi juft hosil qila olishi va ular ikki oyga etganida ko'payish uchun tayyor bo'lishlari sababli, u o'zining mashhur raqamlar seriyasini oldi: 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144 - bu har oyda yangi quyon juftlari sonini ko'rsatadi.

Fibonachchi ketma-ketligi va proportsional nisbati

Ushbu seriyada e'tiborga olinishi kerak bo'lgan bir nechta matematik nuanslar mavjud. U sekinroq va sekinroq (asimptotik) yaqinlashib, ma'lum bir proportsional munosabatlarga intiladi. Lekin bu mantiqsiz. Boshqacha qilib aytganda, bu kasr qismida o'nlik sonlarning oldindan aytib bo'lmaydigan va cheksiz ketma-ketligiga ega bo'lgan raqam. Masalan, qatorning har qanday elementining nisbati 1,618 raqam atrofida o'zgarib turadi, ba'zan undan oshib ketadi, ba'zan esa unga etadi. Keyingi analogiya 0,618 ga yaqinlashadi. Bu 1,618 raqamiga teskari proportsionaldir. Agar elementlarni bittaga bo'lsak, biz 2,618 va 0,382 ni olamiz. Siz allaqachon tushunganingizdek, ular ham teskari proportsionaldir. Olingan raqamlar Fibonachchi nisbati deb ataladi. Endi bu hisob-kitoblarni nima uchun qilganimizni tushuntiramiz.

oltin nisbat

Biz atrofimizdagi barcha ob'ektlarni ma'lum mezonlarga ko'ra ajratamiz. Ulardan biri shakl. Kimdir bizni ko'proq o'ziga tortadi, kimdir kamroq, kimdir esa umuman yoqtirmaydi. Nosimmetrik va proportsional ob'ektni inson uchun uyg'unlik va go'zallik tuyg'usini idrok etishi va uyg'otishi ancha oson ekanligi qayd etilgan. Butun tasvir har doim bir-biri bilan ma'lum nisbatda bo'lgan turli o'lchamdagi qismlarni o'z ichiga oladi. Bundan "Oltin nisbat" deb ataladigan savolga javob kelib chiqadi. Bu tushuncha tabiatda, fanda, san’atda va hokazolarda yaxlit va qismlar nisbatining mukammalligini bildiradi.Matematik nuqtai nazardan quyidagi misolni ko‘rib chiqing. Har qanday uzunlikdagi segmentni oling va uni ikki qismga bo'ling, shunda kichikroq qismi kattaroq qismiga yig'indisi (butun segmentning uzunligi) kattaroq bilan bog'liq bo'ladi. Shunday qilib, keling, bir kesma olaylik bilan bir o'lcham uchun. uning bir qismi a 0,618 ga teng bo'ladi, ikkinchi qism b, ma'lum bo'lishicha, 0,382 ga teng. Shunday qilib, biz Oltin nisbatning holatini kuzatamiz. Segment nisbati c uchun a 1,618 ga teng. Va qismlarning munosabati c va b- 2.618. Biz allaqachon bizga ma'lum bo'lgan Fibonachchi koeffitsientlarini olamiz. Oltin uchburchak, oltin to'rtburchak va oltin kuboid xuddi shu printsip bo'yicha qurilgan. Shuni ham ta'kidlash kerakki, inson tanasi qismlarining mutanosib nisbati Oltin nisbatga yaqin.

Fibonachchi ketma-ketligi hamma narsaning asosimi?

Keling, Oltin bo'lim nazariyasini va italiyalik matematikning taniqli seriyasini birlashtirishga harakat qilaylik. Birinchi o'lchamdagi ikkita kvadratdan boshlaylik. Keyin tepaga ikkinchi o'lchamdagi yana bir kvadrat qo'shing. Oldingi ikki tomonning yig'indisiga teng yon uzunligi bo'lgan bir xil figuraning yoniga chizamiz. Xuddi shunday, biz beshinchi o'lchamdagi kvadratni chizamiz. Va shuning uchun siz zerikmaguningizcha, cheksiz davom etishingiz mumkin. Asosiysi, har bir keyingi kvadratning yon tomonining o'lchami oldingi ikkitasining tomonlari yig'indisiga teng. Yon uzunliklari Fibonachchi raqamlari bo'lgan bir qator ko'pburchaklarni olamiz. Bu raqamlar Fibonachchi to'rtburchaklar deb ataladi. Keling, ko'pburchaklarimizning burchaklari orqali silliq chiziq chizamiz va ... Arximed spiralini olamiz! Ushbu ko'rsatkichning o'sishi, siz bilganingizdek, har doim bir xil bo'ladi. Agar siz fantaziyani yoqsangiz, unda paydo bo'lgan naqsh mollyuska qobig'i bilan bog'lanishi mumkin. Bu erdan xulosa qilishimiz mumkinki, Fibonachchi ketma-ketligi atrofdagi olamdagi elementlarning mutanosib, garmonik nisbatlarining asosi hisoblanadi.

Matematik ketma-ketlik va koinot

Agar siz diqqat bilan qarasangiz, Arximed spirali (bir joyda aniq, lekin biron bir joyda yashiringan) va shuning uchun Fibonachchi printsipi odamni o'rab turgan ko'plab tanish tabiiy elementlarda kuzatilishi mumkin. Misol uchun, mollyuskaning bir xil qobig'i, oddiy brokkoli inflorescences, kungaboqar gul, ignabargli o'simlikning konuslari va boshqalar. Agar uzoqroqqa qarasak, cheksiz galaktikalarda Fibonachchi ketma-ketligini ko'ramiz. Hatto inson tabiatdan ilhomlanib, uning shakllarini o'zlashtirib, yuqorida aytib o'tilgan qatorlarni kuzatish mumkin bo'lgan ob'ektlarni yaratadi. Oltin qismni eslash vaqti keldi. Fibonachchi namunasi bilan bir qatorda ushbu nazariyaning tamoyillari kuzatilgan. Fibonachchi ketma-ketligi deyarli bir xil, ammo boshi yo'q va cheksiz bo'lgan Oltin nisbatning yanada mukammal va fundamental logarifmik ketma-ketligiga moslashish uchun tabiatning o'ziga xos sinovi degan versiya mavjud. Tabiatning namunasi shundayki, u o'zining boshlang'ich nuqtasiga ega bo'lishi kerak, undan yangi narsalarni yaratish uchun qurish kerak. Fibonachchi seriyasining birinchi elementlarining nisbati Oltin nisbat tamoyillaridan uzoqdir. Biroq, biz buni qanchalik davom ettirsak, bu tafovut shunchalik tekislanadi. Ketma-ketlikni aniqlash uchun uning bir-biridan keyingi uchta elementini bilish kerak. Oltin ketma-ketlik uchun ikkitasi etarli. Chunki u ham arifmetik, ham geometrik progressiyadir.

Xulosa

Shunga qaramay, yuqorida aytilganlarga asoslanib, juda mantiqiy savollarni berish mumkin: "Bu raqamlar qaerdan paydo bo'ldi? Butun dunyo qurilmasining muallifi kim, uni ideal qilishga harakat qildi? Hamma narsa har doim u xohlagandek bo'lganmi? Agar shunday bo'lsa? , nima uchun muvaffaqiyatsizlik yuz berdi? Keyin nima bo'ladi?" Bir savolga javob topib, keyingisini olasiz. Uni hal qiling - yana ikkitasi paydo bo'ladi. Agar siz ularni hal qilsangiz, yana uchtasini olasiz. Ular bilan shug'ullanib, siz hal qilinmagan beshta olasiz. Keyin sakkiz, keyin o'n uch, yigirma bir, o'ttiz to'rt, ellik besh...

Yaqinda odamlar bilan individual va guruh jarayonlarida ishlagan holda, men barcha jarayonlarni (karmik, aqliy, fiziologik, ma'naviy, transformatsion va boshqalarni) birlashtirish g'oyasiga qaytdim.

Parda ortidagi do'stlar ko'p o'lchovli Inson qiyofasini va hamma narsada hamma narsaning o'zaro bog'liqligini tobora ko'proq ochib berishdi.

Ichki impuls meni raqamlar bilan eski tadqiqotlarga qaytishga va Drunvalo Melchisedekning "Hayot gulining qadimiy siri" kitobini yana bir bor ko'rib chiqishga undadi.

Bu vaqtda kinoteatrlarda “Da Vinchi kodi” filmi namoyish etildi. Men bu filmning sifati, qiymati va haqiqatini muhokama qilmoqchi emasman. Ammo kod bilan bo'lgan lahza, raqamlar tez aylana boshlagan payt men uchun ushbu filmdagi asosiy daqiqalardan biriga aylandi.

Sezgi menga Fibonachchi raqamlari ketma-ketligiga va Oltin qismga e'tibor qaratish kerakligini aytdi. Fibonachchi haqida biror narsa topish uchun Internetni qidirsangiz, sizni ma'lumotlar bombardimon qiladi. Bu ketma-ketlik har doim ma'lum bo'lganligini bilib olasiz. U tabiat va kosmosda, texnika va fanda, arxitektura va rangtasvirda, musiqada va inson tanasidagi nisbatlarda, DNK va RNKda ifodalangan. Ushbu ketma-ketlikni ko'plab tadqiqotchilar inson, davlat, sivilizatsiya hayotidagi asosiy voqealar ham oltin qism qonuniga bo'ysunadi degan xulosaga kelishdi.

Aftidan, Insonga asosiy tushuncha berilgan.

Keyin Shaxs sog'lig'ini tiklash va taqdirni to'g'rilash uchun Oltin bo'lim tamoyilini ongli ravishda qo'llashi mumkin degan fikr paydo bo'ladi, ya'ni. o'z olamida davom etayotgan jarayonlarni tartibga solish, ongni kengaytirish, farovonlikka qaytish.

Keling, Fibonachchi ketma-ketligini birgalikda eslaylik:

1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987, 1597, 2584, 4181, 6765, 10946, 17711, 28657, 46368, 75025…

Har bir keyingi raqam oldingi ikkitasini qo'shish orqali hosil bo'ladi:

1+1=2, 1+2=3, 2+3=5 va hokazo.

Endi men seriyaning har bir raqamini bitta raqamga keltirishni taklif qilaman: 1, 1, 2, 3, 5, 8,

13=1+3(4), 21=2+1(3), 34=3+4(7), 55=5+5(1), 89= 8+9(8), 144=1+4+4(9)…

Mana bizda nima bor:

1, 1, 2, 3, 5, 8, 4, 3, 7, 1, 8, 9, 8, 8, 7, 6, 4, 1, 5, 6, 2, 8, 1, 9…1, 1, 2…

25-dan boshlab yana takrorlanadigan 24 ta raqamdan iborat ketma-ketlik:

75025=7+5+0+2+5=19=1+0=1, 121393=1+2+1+3+9+3=19=1+0=1…

Bu sizga g'alati yoki tabiiy ko'rinmaydimi?

bir kunda - 24 soat,
kosmik uylar - 24,
DNK zanjirlari - 24,
Xudo yulduzi Siriusdan 24 oqsoqol,
Fibonachchi seriyasidagi takroriy ketma-ketlik - 24 ta raqam.

Agar natija ketma-ketligi quyidagicha yozilsa,

1, 1, 2, 3, 5, 8, 4, 3, 7, 1, 8, 9

8, 8, 7, 6, 4, 1, 5, 6, 2, 8, 1, 9

9, 9, 9, 9, 9, 9, 9, 9, 9, 9, 9, 9,

keyin ketma-ketlikning 1 va 13-sonlari, 2- va 14-, 3- va 15-, 4- va 16-chi ... 12- va 24-chi raqamlar qo'shilib 9 ga teng ekanligini ko'ramiz.

3 3 6 9 6 6 3 9

Ushbu raqamli seriyalarni sinab ko'rishda biz quyidagilarga ega bo'ldik:

Bolalar printsipi;
Ota printsipi;
Onalik printsipi;
birlik printsipi.

Oltin qism matritsasi

1 1 2 3 5 8 4 3 7 1 8 9 8 8 7 6 4 1 5 6 2 8 1 9

2 2 4 6 1 7 8 6 5 2 7 9 7 7 5 3 8 2 1 3 4 7 2 9

4 4 8 3 2 5 7 3 1 4 5 9 5 5 1 6 7 4 2 6 8 5 4 9

3 3 6 9 6 6 3 9 3 3 6 9 6 6 3 9 3 3 6 9 6 6 3 9

1 1 2 3 5 8 4 3 7 1 8 9 8 8 7 6 4 1 5 6 2 8 1 9

8 8 7 6 4 1 5 6 2 8 1 9 1 1 2 3 5 8 4 3 7 1 8 9

7 7 5 3 8 2 1 3 4 7 2 9 2 2 4 6 1 7 8 6 5 2 7 9

4 4 8 3 2 5 7 3 1 4 5 9 5 5 1 6 7 4 2 6 8 5 4 9

1 1 2 3 5 8 4 3 7 1 8 9 8 8 7 6 4 1 5 6 2 8 1 9

5 5 1 6 7 4 2 6 8 5 4 9 4 4 8 3 2 5 7 3 1 4 5 9

6 6 3 9 3 3 6 9 6 6 3 9 3 3 6 9 6 6 3 9 3 3 6 9

2 2 4 6 1 7 8 6 5 2 7 9 7 7 5 3 8 2 1 3 4 7 2 9

8 8 7 6 4 1 5 6 2 8 1 9 1 1 2 3 5 8 4 3 7 1 8 9

1 1 2 3 5 8 4 3 7 1 8 9 8 8 7 6 4 1 5 6 2 8 1 9

9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9

Fibonachchi seriyasining amaliy qo'llanilishi

Mening bir do'stim uning qobiliyatlari va qobiliyatlarini rivojlantirish bo'yicha u bilan individual ishlash niyatini bildirdi.

To'satdan, eng boshida, Sai Baba jarayonga kirib, meni unga ergashishga taklif qildi.

Biz do'stimizning ilohiy monadasida ko'tarila boshladik va uni Sababli tana orqali qoldirib, biz o'zimizni Kosmik uy darajasidagi boshqa haqiqatda topdik.

Mark va Elizabet Kler Peygamberovlarning asarlarini o'rganganlar Kosmik soat haqidagi ta'limotni bilishadi, bu ta'limot ularga Maryam ona tomonidan berilgan.

Kosmik uy darajasida Yuriy 12 o'qli ichki markazga ega bo'lgan doira ko'rdi.

Bizni shu darajada uchratgan oqsoqol aytdiki, oldimizda Ilohiy soat turibdi va 12 qo'l Ilohiy jihatlarning 12 (24) ko'rinishini ifodalaydi... (ehtimol Yaratuvchilardir).

Kosmik soatga kelsak, ular sakkizinchi energiya printsipiga ko'ra ilohiy soatlar ostida joylashgan.

- Ilohiy soatlar sizga qanday rejimda?

- Soatning qo'llari tik turibdi, harakat yo'q.Ko'p asrlar oldin men Ilohiy ongni tark etib, boshqa yo'lga, Sehrgarning yo'liga borganimdan keyin xayolimga keldim. Ko'p mujassamlanishlar davomida menda va menda to'plangan barcha sehrli artefaktlarim va tumorlarim bu darajada chaqaloqning shovqiniga o'xshaydi. Nozik tekislikda ular sehrli energiya kiyimlari tasvirini ifodalaydi.

- Bajarildi.Biroq, men sehrli tajribamga baraka beraman.Bu tajribani chin dildan yashash meni asl manbaga, yaxlitlikka qaytishga undadi.Menga sehrli artefaktlarimni olib, soatning markazida turishni taklif qilishdi.

— Ilohiy soatni faollashtirish uchun nima qilish kerak?

- Sai Baba yana paydo bo'ldi va Kumush simni soat bilan bog'lash niyatini bildirishni taklif qildi. U shuningdek, sizda qandaydir raqamlar seriyasi borligini aytadi. U faollashtirishning kalitidir. Leonard da Vinchining odami tasviri ichki ko'z oldida paydo bo'ladi.

- 12 marta.

"Men sizdan butun jarayonni Xudo markaziga qaratishingizni va raqamlar seriyasining energiyasini Ilohiy soatning faollashishiga yo'naltirishingizni so'rayman.

12 marta ovoz chiqarib o'qing

1 1 2 3 5 8 4 3 7 1 8 9 8 8 7 6 4 1 5 6 2 8 1 9…

O'qish jarayonida soatning qo'llari ketdi.

Yurina Monadning barcha darajalarini, shuningdek, er va samoviy energiyalarni bog'laydigan kumush ipdan energiya o'tdi ...

Bu jarayonda eng kutilmagan narsa soatda to'rt mohiyat paydo bo'ldi, ular Yura bilan bir butunning ba'zi qismlari.

Muloqot paytida ma'lum bo'ldiki, bir paytlar Markaziy ruhning bo'linishi mavjud bo'lib, har bir qism amalga oshirish uchun koinotdagi o'z hududini tanlagan.

Ilohiy soatning markazida sodir bo'lgan integratsiya haqida qaror qabul qilindi.

Ushbu jarayonning natijasi ushbu darajadagi Common Crystalning yaratilishi edi.

Shundan so'ng, men Sai Baba bir marta ma'lum bir Reja haqida gapirganini esladim, bu birinchi navbatda ikkita Essensiyani bittaga, keyin to'rttaga va shunga o'xshash ikkilik printsipga muvofiq birlashtirishni o'z ichiga oladi.

Albatta, bu raqamlar seriyasi panatseya emas. Bu shunchaki odam bilan kerakli ishni tezda bajarishga, uni turli xil mavjudlik darajalari bilan vertikal ravishda sozlashga imkon beradigan vositadir.

DAVLAT TA'LIM MASSASI

"KRIVLYANSKAYA O'RTA TA'LIM MAKTABI"

JABINKO TUMANI

FIBONACCHI SONLARI VA OLTIN NISBAT

Tadqiqot

Ish tugallandi:

10-sinf o'quvchisi

Bog'bon Valeriya Alekseevna

Nazoratchi:

Lavrenyuk Larisa Nikolaevna,

informatika o'qituvchisi va

matematika 1 saralash

Fibonachchi raqamlari va tabiati

O'simliklarning tuzilishi va rivojlanishining xarakterli xususiyati spiraldir. Hatto buyuk shoirgina emas, balki tabiatshunos ham bo‘lgan Gyote ham sarmallikni barcha organizmlarga xos xususiyatlardan biri, hayotning eng ichki mohiyatining namoyon bo‘lishi deb bilgan. O'simliklarning paychalari spiral shaklida buriladi, daraxt tanasida to'qimalar spiral shaklida o'sadi, kungaboqardagi urug'lar spiral shaklida joylashadi, ildiz va kurtaklar o'sishi davrida spiral harakatlar (nutatsiyalar) kuzatiladi.

Bir qarashda, barglar, gullar soni juda keng diapazonda o'zgarishi va har qanday qiymatlarni olishi mumkin bo'lib tuyulishi mumkin. Ammo bunday xulosa asossiz bo'lib chiqadi. Tadqiqotlar shuni ko'rsatdiki, o'simliklardagi bir xil nomdagi organlarning soni o'zboshimchalik bilan emas, ko'pincha topiladigan qiymatlar va juda kam uchraydigan qiymatlar mavjud.

Yovvoyi tabiatda beshburchak simmetriyaga asoslangan shakllar keng tarqalgan - dengiz yulduzlari, dengiz kirpilari, gullar.

13-rasm. Buttercup

Moychechakda 55 yoki 89 ta gulbarg bor.

14-rasm. Moychechak

Feverfew 34 gulbargdan iborat.

Surat. o'n besh. Piretrum

Keling, qarag'ay konusini ko'rib chiqaylik. Uning yuzasida tarozilar qat'iy muntazam ravishda - taxminan to'g'ri burchak ostida kesishgan ikkita spiral bo'ylab joylashtirilgan. Qarag'ay konuslarida bunday spirallarning soni 8 va 13 yoki 13 va 21 ni tashkil qiladi.

16-rasm. Konus

Kungaboqar savatlarida urug'lar ham ikkita spiralda joylashgan bo'lib, ularning soni odatda 34/55, 55/89 ni tashkil qiladi.

17-rasm. Kungaboqar

Keling, qobiqlarni ko'rib chiqaylik. Agar tasodifiy olingan birinchi qobiq uchun "qattiqlashtiruvchi qovurg'alar" sonini hisoblasak - 21 ta bo'lib chiqdi. Ikkinchi, uchinchi, beshinchi, o'ninchi qobiqni olaylik - barchasi yuzasida 21 ta qovurg'a bo'ladi. Ko'rinib turibdiki, mollyuskalar nafaqat yaxshi muhandislar, balki ular Fibonachchi raqamlarini "bilishgan".

18-rasm. Shell

Bu erda biz yana yonma-yon joylashgan Fibonachchi raqamlarining muntazam kombinatsiyasini ko'ramiz: 2/3, 3/5, 5/8, 8/13, 13/21, 21/34, 34/55, 55/89. Ularning chegaradagi nisbati 0,61803 ... raqami bilan ifodalangan oltin nisbatga intiladi.

Fibonachchi raqamlari va hayvonlar

Dengiz yulduzlaridagi nurlar soni Fibonachchi raqamlari seriyasiga to'g'ri keladi yoki ularga juda yaqin va 5,8, 13,21,34,55 ga teng.

19-rasm. Dengiz yulduzi

Zamonaviy artropodlar juda xilma-xildir. Tikanli omarning ham besh juft oyog'i, dumida beshta patlari bor, qorin besh bo'lakka bo'lingan va har bir oyog'i besh qismdan iborat.

Surat. 20. tikanli omar

Ba'zi hasharotlarda qorin sakkiz bo'lakdan iborat bo'lib, sakkiz qismdan iborat uch juft oyoq-qo'l bor va og'iz teshigidan sakkiz xil antennaga o'xshash organlar chiqadi. Bizning taniqli chivinning uch juft oyog'i bor, qorin sakkiz segmentga bo'linadi va boshida beshta antenna bor. Chivin lichinkasi 12 ta segmentga bo'lingan.

Surat. 21. Chivin

Hammayoqni chivinida qorin besh qismga, uch juft oyoq, lichinka esa sakkiz bo'lakka bo'linadi. Ikki qanotning har biri ingichka tomirlar bilan sakkiz qismga bo'lingan.

Ko'pgina hasharotlarning tırtılları 13 ta segmentga bo'linadi, masalan, teri yeyuvchi, un yeyuvchi, Mavritaniyalik booger. Ko'pgina zararkunanda qo'ng'izlarda tırtıl 13 ta segmentga bo'linadi. Qo'ng'izlarning oyoqlarining tuzilishi juda xarakterlidir. Har bir oyoq yuqori hayvonlarda bo'lgani kabi uch qismdan iborat - elkadan, bilakdan va panjadan. Qo'ng'izlarning ingichka, ochiq panjalari besh qismga bo'lingan.

Ochiq, shaffof, vaznsiz ninachi qanotlari tabiatning “muhandislik” mahoratining durdona asaridir. Bu mitti uchuvchi mushak mashinasi dizayni asosida qanday nisbatlar yotadi? Ko'pgina ninachilarda qanotlari uzunligining tana uzunligiga nisbati 4/3 ni tashkil qiladi. Ninachining tanasi ikkita asosiy qismga bo'linadi: massiv tanasi va uzun ingichka dumi. Tana uch qismga bo'linadi: bosh, ko'krak, qorin. Qorin besh qismga bo'lingan, dumi sakkiz qismdan iborat. Bu erda hali ham uch juft oyoqni uch qismga bo'linish bilan qo'shish kerak.

Surat. 22. Ninachi

Butunni qismlarga bo'lishning ushbu ketma-ketligida Fibonachchi raqamlari seriyasining kengayishini ko'rish oson. Ninachining dumi, tanasi va umumiy uzunligi oltin nisbat bilan bog'liq: dumi va tanasi uzunligining nisbati umumiy uzunlikning dum uzunligiga nisbatiga teng.

Ninachining juda mukammal ko'rinishi ajablanarli emas, chunki u oltin nisbat qonunlariga muvofiq yaratilgan.

Yorilgan takir fonida toshbaqaning ko'rinishi hayratlanarli hodisadir. Karapasning markazida katta birlashtirilgan shoxli plitalari bo'lgan katta oval maydon mavjud va qirralari bo'ylab kichikroq plitalarning chegarasi mavjud.

Surat. 23. Toshbaqa

Har qanday toshbaqani oling - bizga yaqin botqoq toshbaqasidan tortib, ulkan dengiz toshbaqasi, sho'rva toshbaqasi - va siz ularning qobig'idagi naqsh bir-biriga o'xshashligini ko'rasiz: oval maydonda 13 ta eritilgan shoxli plastinka bor - markazda 5 ta plastinka va Kenarlarida 8 va periferik chegarada taxminan 21 ta plastinka (Chili toshbaqasi qobig'ining periferiyasi bo'ylab aniq 21 ta plastinkaga ega). Toshbaqalarning panjalarida 5 ta barmoq bor, umurtqa pog‘onasi 34 ta umurtqadan iborat. Bu miqdorlarning barchasi Fibonachchi raqamlariga mos kelishini ko'rish oson. Binobarin, toshbaqaning rivojlanishi, tanasining shakllanishi, butunning qismlarga bo'linishi Fibonachchi raqamlari qatori qonuniga muvofiq amalga oshirildi.

Sutemizuvchilar sayyoradagi hayvonlarning eng yuqori turidir. Ko'pgina hayvonlar turlarida qovurg'alar soni o'n uchga teng yoki yaqin. Mutlaqo boshqa sutemizuvchilarda - kit, tuya, kiyik, tur - qovurg'alar soni 13 ± 1. Umurtqalarning soni, ayniqsa, bir xil hayvonda ham har xil uzunlikda bo'lishi mumkin bo'lgan dumlar tufayli juda katta farq qiladi. turlari. Ammo ularning ko'pchiligida umurtqalar soni 34 va 55 ga teng yoki unga yaqin. Demak, ulkan bug'uda 34 ta, kitda 55 ta umurtqa.

Uy hayvonlarining oyoq-qo'llarining skeleti uchta bir xil suyak bo'g'inlaridan iborat: son suyagi (tos) suyagi, bilak suyagi (pastki oyoq) va panja suyagi (oyoq). Oyoq, o'z navbatida, uchta suyak bo'g'inidan iborat.

Ko'pgina uy hayvonlaridagi tishlar soni Fibonachchi raqamlariga moyil: quyonda 14 juft, itda, cho'chqada, otda 21 ± 1 juft tish bor. Yovvoyi hayvonlarda tishlar soni kengroq oʻzgaradi: bir marsupial yirtqichda 54 ta, sirtlonda 34 ta, delfinlarning bir turida 233 taga yetadi. Uy hayvonlari skeletidagi suyaklarning umumiy soni (shu jumladan tishlar) bir guruhda 230 ga yaqin, ikkinchisi esa 300. Shuni ta'kidlash kerakki, kichik eshitish suyaklari va doimiy bo'lmagan suyakchalar skelet suyaklari soniga kirmaydi. Ularni hisobga olsak, ko'pgina hayvonlarda skelet suyaklarining umumiy soni 233 taga yaqinlashsa, boshqalarida 300 dan oshadi. Ko'rib turganingizdek, skeletning rivojlanishi bilan birga keladigan tananing bo'linishi xarakterlidir. hayvonlarning turli organlaridagi suyaklar sonining diskret o'zgarishi va bu raqamlar Fibonachchi raqamlariga mos keladi yoki ularga juda yaqin bo'lib, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233 qatorni tashkil qiladi. Ko'pgina tovuq tuxumlari uchun o'lcham nisbati 4:3 (ba'zilari uchun 3/2), qovoq urug'lari - 3:2, tarvuz urug'lari - 3/2. Qarag'ay konuslari uzunligining ularning diametriga nisbati 2: 1 ekanligi aniqlandi. Qayin barglarining o'lchami o'rtacha 5: 2 ga juda yaqin, shingil esa.

Agar gulli maysazorni ikki qismga (o't va gullar) bo'lish kerak bo'lsa, unda bu chiziqlar kengligi teng bo'lmasligi kerak, agar siz ularni 5: 8 nisbatda olsangiz, yanada chiroyli bo'ladi, deb ishoniladi. 8: 13, ya'ni. oltin nisbat deb ataladigan nisbatdan foydalaning.

Fibonachchi raqamlari va fotografiya

Fotografiya san'atida qo'llaniladigan oltin qism qoidasi ikkita gorizontal va ikkita vertikal chiziqli ramkani 9 ta teng bo'lmagan to'rtburchaklarga ajratadi. O'zlariga muvozanatli tasvirlarni olishni osonlashtirish uchun fotosuratchilar vazifani biroz soddalashtirdilar va Fibonachchi raqamlariga ko'ra ramkani 9 ta teng to'rtburchaklarga bo'lishdi. Shunday qilib, oltin qism qoidasi kompozitsiya tamoyillaridan biriga tegishli bo'lgan uchdan birlar qoidasiga aylantirildi.

Surat. 24. Ramka va oltin nisbat

Zamonaviy raqamli kameralarning vizörlarida fokus nuqtalari 2/8 pozitsiyalarida yoki oltin nisbat qoidasiga ko'ra ramkani ajratuvchi xayoliy chiziqlarda joylashgan.

25-rasm. Raqamli kamera va fokus nuqtalari

26-rasm.

27-rasm. Fotosurat va fokus nuqtalari

Uchdan birlik qoidasi barcha mavzuli kompozitsiyalar uchun amal qiladi: siz landshaft yoki portret, natyurmort yoki reportaj suratga olmoqdasiz. Sizning uyg'unlik tuyg'usi orttirilgan va ongsiz holga kelmagan ekan, oddiy uchdan bir qoidaga rioya qilish sizga ifodali, uyg'un, muvozanatli suratga olish imkonini beradi.

28-rasm. Fotosurat va osmon va yerning nisbati 1 dan 2 gacha.

Namoyish uchun eng muvaffaqiyatli misol - bu landshaft. Tarkibi printsipi shundaki, osmon va quruqlik (yoki suv yuzasi) 1: 2 nisbatda bo'lishi kerak. Ramkaning uchdan bir qismini osmon ostida, uchdan ikki qismini esa quruqlik ostida yoki aksincha olish kerak.

29-rasm. Spiralli gulning fotosurati

Fibonachchi va kosmik

Yer sayyorasida suv va quruqlikning nisbati 62% va 38% ni tashkil qiladi.

Yer va Oyning o'lchamlari oltin nisbatda.

30-rasm. Yer va Oyning o'lchamlari

Rasmda Yer va Oyning nisbiy o'lchamlari ko'rsatilgan.

Keling, Yerning radiusini chizamiz. Keling, Yerning markaziy nuqtasidan Oyning markaziy nuqtasigacha bo'lgan segmentni chizamiz, uning uzunligi teng bo'ladi). Keling, uchburchak hosil qilish uchun bu ikki chiziqni bog'lash uchun chiziq chizamiz. Biz oltin uchburchakni olamiz.

Saturn o'zining bir nechta o'lchamlarida oltin nisbatni ko'rsatadi

31-rasm. Saturn va uning halqalari

Saturnning diametri yashil chiziqlar bilan ko'rsatilganidek, halqalarning diametri bilan oltin nisbatga juda yaqin.Radius ichidahalqalarning ichki qismi ko'k chiziq bilan ko'rsatilganidek, halqalarning tashqi diametriga juda yaqin nisbatda.

Sayyoralarning Quyoshdan uzoqligi ham oltin nisbatga bo'ysunadi.

32-rasm. Sayyoralarning Quyoshdan uzoqligi

Kundalik hayotda oltin nisbat

Oltin nisbat kundalik iste'mol mahsulotlarining marketingi va dizayniga uslub va joziba qo'shish uchun ham qo'llaniladi. Ko'p misollar bor, lekin biz faqat bir nechtasini ko'rsatamiz.

33-rasm. GerbToyota

34-rasm. Oltin nisbat va kiyim

34-rasm. Oltin nisbat va avtomobil dizayni

35-rasm. Gerbolma

36-rasm. GerbGoogle

Amaliy tadqiqot

Endi biz olingan bilimlarni amalda qo'llaymiz. Keling, birinchi navbatda 8-sinf o'quvchilari o'rtasida o'lchovlarni olib boramiz.

Tajribada 8-sinfning 7 nafar o‘quvchisi, 5 nafar qiz va 2 nafar o‘g‘il ishtirok etdi. Balandlik va kindikdan polgacha bo'lgan masofa o'lchandi. Natijalar jadvallarda aks ettirilgan. Ideal fizika talabasi, uning uchun balandlikning kindikdan polgacha bo'lgan masofaga nisbati 1,6185 ni tashkil qiladi. Yana bir talaba oltin nisbatga juda yaqin, . O'lchovlar natijasida ishtirokchilarning 29 foizi ideal parametrlarga ega. Bu foizli natijalar ham 68% va 32% oltin nisbatga yaqin. Birinchi mavzu bo'yicha biz 5 tadan 3 ta nisbat oltin nisbatga yaqin ekanligini ko'ramiz, foizlarda u 60% dan 40% gacha. Va ikkinchisi uchun - 5 dan 4 tasi, ya'ni 80% dan 20% gacha.

Agar siz televizor rasmiga diqqat bilan qarasangiz, uning o'lchamlari 16 dan 9 gacha yoki 16 dan 10 gacha bo'ladi, bu ham oltin nisbatga yaqin.

O'lchov va konstruktsiyalarni amalga oshirish CorelDRAW X4 va "Rossiya 24" yangiliklar kanalidagi kadrdan foydalanib, siz quyidagilarni topishingiz mumkin:

a) uzunligining ramkaning kengligiga nisbati 1,7 ga teng.

b) kadrdagi odam aniq 3/8 masofada joylashgan fokus nuqtalarida joylashgan.

Keyin “Izvestiya” gazetasining rasmiy mikroblogiga, boshqacha aytganda, Twitter’dagi sahifasiga murojaat qilaylik. 4:3 tomonlari bo'lgan monitor ekrani uchun biz sahifaning "sarlavhasi" sahifaning butun balandligining 3/8 qismini tashkil etishini ko'ramiz.

Harbiylarning qalpoqlariga diqqat bilan qarasangiz, quyidagilarni topishingiz mumkin:

a) Rossiya Federatsiyasi Mudofaa vazirining kepkasi ko'rsatilgan qismlarning nisbati 21,73 dan 15,52 gacha, 1,4 ga teng.

b) Belarus Respublikasi chegara qo'shinining qalpoqchasi ko'rsatilgan qismlarning o'lchamlari 44,42 dan 21,33 gacha, bu 2,1 ga teng.

c) SSSR vaqtlarining qopqog'i ko'rsatilgan qismlarning o'lchamlari 49,67 dan 31,04 gacha, bu 1,6 ga teng.

Ushbu model uchun libosning uzunligi 113,13 mm.

Agar siz ko'ylakni "ideal" uzunlikka "tugatsangiz", biz bu rasmni olamiz.

Barcha o'lchovlarda xatolik bor, chunki ular fotosuratlardan olingan, bu tendentsiyani ko'rishga to'sqinlik qilmaydi - ideal bo'lgan hamma narsa u yoki bu darajada oltin nisbatni o'z ichiga oladi.

Xulosa

Yovvoyi tabiat dunyosi bizga butunlay boshqacha ko'rinadi - mobil, o'zgaruvchan va hayratlanarli darajada xilma-xil. Hayot bizga ijodiy kombinatsiyalarning xilma-xilligi va o'ziga xosligidan iborat ajoyib karnavalni ko'rsatadi! Jonsiz tabiat olami, eng avvalo, uning ijodiga barqarorlik va go‘zallik baxsh etadigan simmetriya olamidir. Tabiat olami, eng avvalo, uyg'unlik dunyosi bo'lib, unda "oltin qism qonuni" amal qiladi.

“"Oltin nisbat" haqiqat momenti bo'lib ko'rinadi, ularsiz, umuman olganda, mavjud bo'lgan hamma narsa mumkin emas. Tadqiqot elementi sifatida nimani olsak, "oltin bo'lim" hamma joyda bo'ladi; Agar unga ko'rinadigan rioya bo'lmasa ham, u energiya, molekulyar yoki hujayra darajasida sodir bo'lishi shart.

Darhaqiqat, tabiat o'zining asosiy qonunlarining namoyon bo'lishida monoton (va shuning uchun bir xil!) bo'lib chiqadi. U topilgan "eng muvaffaqiyatli" echimlar eng xilma-xil ob'ektlarga, tashkilotning eng xilma-xil shakllariga tegishli. Tashkilotning uzluksizligi va diskretligi materiyaning ikki tomonlamaligidan kelib chiqadi - uning korpuskulyar va to'lqinli tabiati, kimyoga kirib boradi, u erda butun stexiometriya qonunlarini, doimiy va o'zgaruvchan tarkibdagi kimyoviy birikmalarni beradi. Botanikada uzluksizlik va diskretlik filotaksisda, diskretlik kvantlarida, o'sish kvantlarida, diskretlik birligida va fazo-vaqt tashkilotining uzluksizligida o'zining o'ziga xos ifodasini topadi. Va endi, o'simlik organlarining raqamli nisbatlarida, A. Gurskiy tomonidan kiritilgan "ko'p nisbatlar printsipi" paydo bo'ladi - kimyoning asosiy qonunining to'liq takrorlanishi.

Albatta, bu hodisalarning barchasi Fibonachchi ketma-ketligiga asoslanganligi haqidagi bayonot juda baland eshitiladi, ammo tendentsiya aniq. Bundan tashqari, uning o'zi ham bu dunyodagi hamma narsa kabi mukammal emas.

Oltin logarifmik ketma-ketlikning har bir a'zosi Oltin nisbatning () darajasidir. Qatorning bir qismi quyidagicha ko'rinadi:... ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ... Agar biz Oltin nisbatning qiymatini uchta kasrga yaxlitlashtirsak, biz olamiz=1,618 , keyin qator quyidagicha ko'rinadi:... 0,090 0,146; 0,236; 0,382; 0,618; 1; 1,618; 2,618; 4,236; 6,854; 11,090 ... Har bir keyingi atama nafaqat oldingisini ko'paytirish orqali olinishi mumkin1,618 , balki oldingi ikkitasini qo'shish orqali. Shunday qilib, eksponentsial o'sishga ikkita qo'shni elementni qo'shish orqali erishiladi. Bu boshlanishi va oxiri bo'lmagan seriyadir va Fibonachchi ketma-ketligi aynan shunday bo'lishga harakat qiladi. Yaxshi belgilangan boshlanishga ega bo'lib, u idealga intiladi, hech qachon unga erishmaydi. Bu hayot.

Foydalanilgan manbalar ro'yxati

Vasyutinskiy, N. Oltin nisbat / Vasyutinskiy N, Moskva, Yosh gvardiya, 1990, - 238 p. - (Evrika).

Vorobyov, N.N. Fibonachchi raqamlari,

Kirish rejimi: . Kirish sanasi: 17.11.2015.

Kirish rejimi: . Kirish sanasi: 16/11/2015.

Kirish rejimi: . Kirish sanasi: 13. 11. 2015 yil.

Italiyalik matematik Leonardo Fibonachchi 13-asrda yashagan va Yevropada birinchilardan boʻlib arab (hind) raqamlarini ishlatgan. U fermada boqiladigan quyonlar haqida biroz sun'iy muammo o'ylab topdi, ularning barchasi urg'ochi hisoblanadi, erkaklar esa e'tiborga olinmaydi. Quyonlar ikki oylik bo‘lgandan keyin ko‘paya boshlaydi, keyin esa har oyda quyon tug‘adi. Quyonlar hech qachon o'lmaydi.

Fermada qancha quyon bo'lishini aniqlash kerak n oylar, agar vaqtning dastlabki daqiqasida faqat bitta yangi tug'ilgan quyon bo'lsa.

Shubhasiz, dehqon birinchi oyda bitta quyon, ikkinchi oyda bitta quyon bor. Uchinchi oyda ikkita quyon, to'rtinchi oyda uchta quyon bo'ladi va hokazo. Keling, quyonlarning sonini belgilaylik n oy kabi. Shunday qilib,
,
,
,
,
, …

Biz topish uchun algoritm yaratishimiz mumkin har qanday uchun n.

Muammoning shartiga ko'ra, quyonlarning umumiy soni
ichida n+1 oy uchta komponentga bo'linadi:

ko'payish qobiliyatiga ega bo'lmagan bir oylik quyonlar, miqdorda

;

Shunday qilib, biz olamiz

. (8.1)

Formula (8.1) bir qator raqamlarni hisoblash imkonini beradi: 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987, 1597, . ..

Ushbu ketma-ketlikdagi raqamlar chaqiriladi Fibonachchi raqamlari .

Qabul qilsa
va
, keyin (8.1) formula yordamida boshqa barcha Fibonachchi raqamlarini aniqlash mumkin. Formula (8.1) deyiladi takrorlanuvchi formula ( takrorlanish - lotin tilida "qaytish").

8.1-misol. Aytaylik, ichkarida zinapoya bor n qadamlar. Biz unga bir qadam yoki ikki qadam bilan ko'tarilishimiz mumkin. Har xil ko'tarish usullarining nechta kombinatsiyasi mavjud?

Agar a n= 1, muammoning faqat bitta yechimi bor. Uchun n= 2 ikkita variant mavjud: ikkita bitta qadam yoki bitta qo'sh qadam. Uchun n= 3 3 ta variant mavjud: uchta bitta qadam yoki bitta va bitta juftlik yoki bitta ikkita va bitta bitta.

Keyingi holatda n= 4, bizda 5 ta imkoniyat mavjud (1+1+1+1, 2+1+1, 1+2+1, 1+1+2, 2+2).

Berilgan savolga o'zboshimchalik bilan javob berish uchun n, kabi variantlar sonini belgilang , va aniqlashga harakat qiling
mashhurga ko'ra va
. Agar biz bir qadamdan boshlasak, unda biz bor qolganlari uchun kombinatsiyalar n qadamlar. Agar biz ikki qadam bilan boshlasak, unda biz bor
qolganlari uchun kombinatsiyalar n-1 qadam. uchun variantlarning umumiy soni n+1 qadam teng

. (8.2)

Olingan formula, xuddi egizak kabi, (8.1) formulaga o'xshaydi. Biroq, bu kombinatsiyalar sonini aniqlashga imkon bermaydi Fibonachchi raqamlari bilan . Biz, masalan, buni ko'ramiz
, lekin
. Biroq, quyidagi munosabatlar mavjud:

Bu uchun to'g'ri n= 1, 2 va har biri uchun ham amal qiladi n. Fibonachchi raqamlari va kombinatsiyalar soni Xuddi shu formula bo'yicha hisoblab chiqiladi, lekin dastlabki qiymatlar
,
va
,
ular farq qiladi.

8.2-misol. Ushbu misol xatolarni tuzatish kodlash muammolari uchun amaliy ahamiyatga ega. Uzunlikdagi barcha ikkilik so'zlar sonini toping n, qatorda bir nechta nollarni o'z ichiga olmaydi. Bu raqam bilan belgilaymiz . Shubhasiz,
, va bizning cheklovimizni qondiradigan 2 uzunlikdagi so'zlar: 10, 01, 11, ya'ni.
. Bo'lsin
- bir so'z n belgilar. Agar belgi
, keyin
o'zboshimchalik bilan bo'lishi mumkin (
)-ketma-ket bir nechta noldan iborat boʻlmagan soʻz. Shunday qilib, oxirida birlik bo'lgan so'zlar soni
.

Agar belgi
, keyin albatta
, va birinchi
ramzi
ko'rib chiqilgan cheklovlarni hisobga olgan holda o'zboshimchalik bilan bo'lishi mumkin. Shuning uchun, mavjud
so'z uzunligi n oxirida nol bilan. Shunday qilib, bizni qiziqtirgan so'zlarning umumiy soni

Shuni hisobga olgan holda
va
, natijada raqamlar ketma-ketligi Fibonachchi raqamlaridir.

8.3-misol. 7.6-misolda biz doimiy og'irlikdagi ikkilik so'zlar soni ekanligini aniqladik t(va uzunligi k) teng . Endi o'zgarmas og'irlikdagi ikkilik so'zlar sonini topamiz t, qatorda bir nechta nollarni o'z ichiga olmaydi.

Siz shunday fikr yuritishingiz mumkin. Bo'lsin
ko'rib chiqilayotgan so'zlardagi nollar soni. Har bir so'z bor
har birida bir yoki bir nechta bo'lgan eng yaqin nollar orasidagi bo'shliqlar. Bu shunday deb taxmin qilinadi
. Aks holda, qo'shni nollarsiz bitta so'z yo'q.

Agar biz har bir oraliqdan aniq bir birlikni olib tashlasak, unda biz uzunlikdagi so'zni olamiz
o'z ichiga olgan nollar. Har qanday bunday so'zni belgilangan usulda ba'zilaridan (va faqat bittadan) olish mumkin. k- so'zma-so'z o'z ichiga olgan nollar, ikkitasi qo'shni emas. Demak, kerakli raqam barcha uzunlikdagi so'zlar soniga to'g'ri keladi
aniq o'z ichiga oladi nollar, ya'ni. teng
.

8.4-misol. yig'indi ekanligini isbotlaylik
har qanday butun son uchun Fibonachchi raqamlariga teng . Belgi
uchun turadi dan katta yoki teng eng kichik butun son . Masalan, agar
, keyin
; Agar
, keyin
shift("ship"). Belgisi ham bor
, degan ma'noni anglatadi dan kichik yoki teng eng katta butun son . Ingliz tilida bu operatsiya deyiladi qavat ("qavat").

Agar a
, keyin
. Agar a
, keyin
. Agar a
, keyin
.

Shunday qilib, ko'rib chiqilgan holatlar uchun summa haqiqatan ham Fibonachchi raqamlariga teng. Endi umumiy holat uchun dalil keltiramiz. Fibonachchi raqamlarini (8.1) rekursiv tenglama yordamida olish mumkin bo'lganligi sababli, tenglik quyidagilarga ega bo'lishi kerak:

Va aslida shunday qiladi:

Bu erda biz ilgari olingan formuladan foydalandik (4.4):
.

Fibonachchi raqamlari yig'indisi

Birinchisining yig'indisini aniqlaylik n Fibonachchi raqamlari.

0+1+1+2+3+5 = 12,

0+1+1+2+3+5+8 = 20,

0+1+1+2+3+5+8+13 = 33.

Har bir tenglamaning o'ng tomoniga bitta qo'shish orqali biz yana Fibonachchi raqamini olishimizni ko'rish oson. Birinchisining yig'indisini aniqlashning umumiy formulasi n Fibonachchi raqamlari quyidagi shaklga ega:

Buni matematik induksiya usuli yordamida isbotlaymiz. Buning uchun biz yozamiz:

Bu miqdor teng bo'lishi kerak
.

Tenglamaning chap va o'ng tomonlarini –1 ga kamaytirsak, (6.1) tenglamani olamiz.

Fibonachchi raqamlari uchun formula

8.1 teorema. Fibonachchi raqamlarini formuladan foydalanib hisoblash mumkin

Isbot. Keling, ushbu formulaning to'g'riligini tekshiramiz n= 0, 1, va keyin biz ixtiyoriy uchun bu formulaning haqiqiyligini isbotlaymiz n induksiya orqali. Keling, ikkita eng yaqin Fibonachchi sonining nisbatini hisoblaylik:

Biz bu raqamlarning nisbati 1,618 qiymati atrofida o'zgarib turishini ko'ramiz (agar biz dastlabki bir nechta qiymatlarni e'tiborsiz qoldirsak). Fibonachchi raqamlarining bu xususiyati geometrik progressiyaning a'zolariga o'xshaydi. Qabul qiling
, (
). Keyin ifoda

ga aylantirildi

soddalashtirilgandan keyin shunday ko'rinadi

Biz ildizlari teng bo'lgan kvadrat tenglamani oldik:

Endi biz yozishimiz mumkin:

(qaerda c doimiy hisoblanadi). Ikkala a'zo va Misol uchun, Fibonachchi raqamlarini bermang
, esa
. Biroq, farq
rekursiv tenglamani qanoatlantiradi:

Uchun n=0 bu farq beradi , ya'ni:
. Biroq, qachon n=1 bizda bor
. Olish uchun
qabul qilinishi kerak:
.

Endi bizda ikkita ketma-ketlik bor: va
, ular bir xil ikkita raqam bilan boshlanadi va bir xil rekursiv formulani qondiradi. Ular teng bo'lishi kerak:
. Teorema isbotlangan.

O'sish bilan n a'zosi vaqt juda katta bo'ladi
, va a'zoning roli farq kamayadi. Shuning uchun, umuman olganda n taxminan yozishimiz mumkin

Biz 1/2 ni e'tiborsiz qoldirayapmiz (chunki Fibonachchi raqamlari cheksizgacha ko'tariladi n cheksizlikka).

Munosabat
chaqirdi oltin nisbat, u matematikadan tashqarida qoʻllaniladi (masalan, haykaltaroshlik va arxitekturada). Oltin nisbat - diagonal va yon tomon o'rtasidagi nisbat oddiy beshburchak(8.1-rasm).

Guruch. 8.1. Muntazam beshburchak va uning diagonallari

Oltin qismni belgilash uchun harfdan foydalanish odatiy holdir
mashhur afina haykaltaroshi Phidias sharafiga.

tub sonlar

Barcha natural sonlar, kattalar, ikki sinfga bo'linadi. Birinchisi ikkita tabiiy bo'luvchiga ega bo'lgan raqamlarni o'z ichiga oladi, biri va o'zi, ikkinchisi qolganlarning hammasini o'z ichiga oladi. Birinchi sinf raqamlari chaqiriladi oddiy, va ikkinchisi tarkibiy qismi. Birinchi uchta o'nlikdagi tub sonlar: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, ...

Tub sonlarning xossalari va ularning barcha natural sonlar bilan aloqasi Evklid (miloddan avvalgi 3-asr) tomonidan oʻrganilgan. Agar tub sonlarni ketma-ket yozsangiz, ularning nisbiy zichligi pasayganini ko'rishingiz mumkin. Ularning birinchi o'ntasi 4 tani, ya'ni 40% ni, yuztasini - 25 ni, ya'ni. 25%, mingga - 168, ya'ni. 17% dan kam, millionga - 78498, ya'ni. 8% dan kam va boshqalar Biroq, ularning umumiy soni cheksizdir.

Tut sonlar orasida shunday juftlar borki, ularning orasidagi farq ikkiga teng (deb ataladi). oddiy egizaklar), lekin bunday juftlarning chekli yoki cheksizligi isbotlanmagan.

Evklid shuni aniq ko'rsatdiki, faqat tub sonlarni ko'paytirish orqali barcha natural sonlarni olish mumkin va har bir natural son tub sonlarning ko'paytmasi sifatida o'ziga xos tarzda (omillar tartibigacha) ifodalanishi mumkin. Shunday qilib, tub sonlar natural qatorning multiplikativ asosini tashkil qiladi.

Tutqich sonlar taqsimotini o‘rganish tub sonlar jadvallarini olish imkonini beruvchi algoritmni yaratishga olib keldi. Bunday algoritm Eratosfen elaklari(miloddan avvalgi III asr). Bu usul ma'lum ketma-ketlikning butun sonlarini elakdan o'tkazishdan (masalan, kesib tashlash orqali) iborat.
dan kichik tub sonlardan kamida bittasiga bo'linadigan
.

Teorema 8 . 2 . (Evklid teoremasi). tub sonlar soni cheksizdir.

Isbot. Evklidning tub sonlar sonining cheksizligi haqidagi teoremasi Leonhard Eyler (1707-1783) tomonidan taklif qilingan usul bilan isbotlanadi. Eyler ko'paytmani barcha tub sonlar ustida ko'rib chiqdi p:

da
. Ushbu mahsulot yaqinlashadi va agar u kengaytirilsa, natural sonlarning tub omillarga parchalanishining o'ziga xosligi tufayli u qatorlar yig'indisiga teng ekanligi ayon bo'ladi. , shuning uchun Eyler identifikatori quyidagicha: