Dispersiyatasodifiy o'zgaruvchi- berilganning tarqalishining o'lchovi tasodifiy o'zgaruvchi, ya'ni uning og'ishlar matematik kutishdan. Statistikada dispersiyani ko'rsatish uchun ko'pincha yozuv (sigma kvadrati) ishlatiladi. Dispersiyaning kvadrat ildizi deyiladi standart og'ish yoki standart tarqalish. Standart og'ish tasodifiy o'zgaruvchining o'zi bilan bir xil birliklarda o'lchanadi va dispersiya bu birlikning kvadratlarida o'lchanadi.

Butun namunani baholash uchun faqat bitta qiymatdan (masalan, o'rtacha yoki rejim va median) foydalanish juda qulay bo'lsa-da, bu yondashuv osongina noto'g'ri xulosalarga olib kelishi mumkin. Bu holatning sababi qiymatning o'zida emas, balki bitta qiymat hech qanday tarzda ma'lumotlar qiymatlarining tarqalishini aks ettirmasligidadir.

Masalan, namunada:

o'rtacha 5.

Biroq, namunaning o'zida qiymati 5 bo'lgan element yo'q. Namunaning har bir elementi uning o'rtacha qiymatiga qanchalik yaqinligini bilishingiz kerak bo'lishi mumkin. Yoki boshqacha qilib aytganda, siz qiymatlarning o'zgarishini bilishingiz kerak. Ma'lumotlar qanchalik o'zgarganligini bilib, siz yaxshiroq talqin qilishingiz mumkin o'rtacha qiymati, median va moda. Namuna qiymatlarining o'zgarish darajasi ularning dispersiyasi va standart og'ishini hisoblash yo'li bilan aniqlanadi.

Standart og'ish deb ataladigan dispersiya va dispersiyaning kvadrat ildizi o'rtacha tanlamadan o'rtacha chetlanishni tavsiflaydi. Ushbu ikki miqdor orasida eng muhimi standart og'ish. Ushbu qiymat elementlar namunaning o'rta elementidan bo'lgan o'rtacha masofa sifatida ifodalanishi mumkin.

Dispersiyani mazmunli talqin qilish qiyin. Biroq, bu qiymatning kvadrat ildizi standart og'ishdir va talqin qilish uchun yaxshi mos keladi.

Standart og‘ish avval dispersiyani aniqlash va keyin dispersiyaning kvadrat ildizini hisoblash yo‘li bilan hisoblanadi.

Masalan, rasmda ko'rsatilgan ma'lumotlar massivi uchun quyidagi qiymatlar olinadi:

1-rasm

Bu erda kvadratik farqlarning o'rtacha qiymati 717,43 ga teng. Standart og'ishni olish uchun bu raqamning kvadrat ildizini olish kifoya.

Natijada taxminan 26,78 bo'ladi.

Shuni esda tutish kerakki, standart og'ish elementlarning namunaviy o'rtacha qiymatidan o'rtacha masofa sifatida talqin qilinadi.

Standart og'ish o'rtacha butun namunani qanchalik yaxshi tasvirlashini ko'rsatadi.

Aytaylik, siz shaxsiy kompyuterni yig'ish bo'yicha ishlab chiqarish bo'limi boshlig'isiz. Har choraklik hisobotda aytilishicha, so'nggi chorakda 2500 ta kompyuter ishlab chiqarilgan. Bu yomonmi yoki yaxshimi? Siz hisobotda ushbu ma'lumotlarning standart og'ishini ko'rsatishni so'radingiz (yoki hisobotda bu ustun mavjud). Standart og'ish soni, masalan, 2000. Siz, bo'lim boshlig'i sifatida, ishlab chiqarish liniyasini yaxshiroq nazorat qilish kerakligi (yig'ilayotgan shaxsiy kompyuterlar sonida juda katta og'ishlar) aniq bo'ladi.

Eslatib o'tamiz, standart og'ish katta bo'lsa, ma'lumotlar o'rtacha atrofida keng tarqalgan va standart og'ish kichik bo'lsa, u o'rtachaga yaqin to'planadi.

VARP(), VARP(), STDEV() va STDEV() to‘rtta statistik funksiyalari bir qator katakchalardagi raqamlarning dispersiyasi va standart og‘ishini hisoblash uchun mo‘ljallangan. Ma'lumotlar to'plamining dispersiyasini va standart og'ishini hisoblashdan oldin, ma'lumotlar populyatsiyani yoki populyatsiyaning namunasini ko'rsatishini aniqlashingiz kerak. Umumiy populyatsiyadan namuna olishda VARP() va STDEV() funksiyalaridan foydalanish kerak, umumiy populyatsiyada esa VARP() va STDEV() funksiyalaridan foydalanish kerak:

Aholi	Funktsiya
	VARP()
	STDLONG()
Namuna
	VARI()
	STDEV()

Dispersiya (shuningdek, standart og'ish), biz ta'kidlaganimizdek, ma'lumotlar to'plamiga kiritilgan qiymatlarning o'rtacha arifmetik atrofida tarqalish darajasini ko'rsatadi.

Dispersiya yoki standart og'ishning kichik qiymati barcha ma'lumotlarning o'rtacha arifmetik atrofida joylashganligini va bu qiymatlarning katta qiymati ma'lumotlarning keng qiymatlar oralig'ida tarqalganligini ko'rsatadi.

Dispersiyani mazmunli talqin qilish juda qiyin (kichik qiymat, katta qiymat nimani anglatadi?). Ishlash Vazifalar 3 grafikda ma'lumotlar to'plami uchun dispersiyaning ma'nosini vizual ravishda ko'rsatishga imkon beradi.

Vazifalar

· 1-mashq.

· 2.1. Tushunchalarni bering: dispersiya va standart og'ish; statistik ma'lumotlarni qayta ishlashda ularning ramziy belgilanishi.

· 2.2. 1-rasmga muvofiq ishchi varaqni tuzing va kerakli hisob-kitoblarni bajaring.

· 2.3. Hisoblashda foydalaniladigan asosiy formulalarni keltiring

· 2.4. Barcha belgilarni ( , , ) tushuntiring

· 2.5. Dispersiya va standart og‘ish tushunchalarining amaliy ma’nosini tushuntiring.

Vazifa 2.

1.1. Tushunchalarni bering: umumiy populyatsiya va namuna; statistik ma'lumotlarni qayta ishlashda ularning ramziy belgilanishining matematik kutilishi va arifmetik o'rtachasi.

1.2. 2-rasmga muvofiq ish varag'ini tuzing va hisob-kitoblarni bajaring.

1.3. Hisoblashda qo'llaniladigan asosiy formulalarni keltiring (umumiy to'plam va namuna uchun).

2-rasm

1.4. 46.43 va 48.78 kabi namunalardagi arifmetik vositalarning bunday qiymatlarini nima uchun olish mumkinligini tushuntiring (Ilova fayliga qarang). Xulosa qilmoq.

Vazifa 3.

Turli xil ma'lumotlar to'plamiga ega ikkita namuna mavjud, ammo ular uchun o'rtacha bir xil bo'ladi:

3-rasm

3.1. 3-rasmga muvofiq ishchi varaqni tuzing va kerakli hisob-kitoblarni bajaring.

3.2. Asosiy hisoblash formulalarini keltiring.

3.3. Grafiklarni 4, 5-rasmlarga muvofiq tuzing.

3.4. Olingan bog'liqliklarni tushuntiring.

3.5. Ushbu ikkita namuna uchun shunga o'xshash hisob-kitoblarni bajaring.

Dastlabki namuna 11119999

Ikkinchi namunaning qiymatlarini ikkinchi namuna uchun arifmetik o'rtacha bir xil bo'lishi uchun tanlang, masalan:

Ikkinchi namuna uchun qiymatlarni o'zingiz tanlang. 3, 4, 5-rasmlarga o'xshab hisob-kitoblarni va chizmalarni tuzing. Hisoblashda foydalanilgan asosiy formulalarni ko'rsating.

Tegishli xulosalar chiqaring.

Barcha topshiriqlar barcha kerakli raqamlar, grafiklar, formulalar va qisqacha tushuntirishlar bilan hisobot shaklida taqdim etilishi kerak.

Eslatma: grafiklarni qurish raqamlar va qisqacha tushuntirishlar bilan tushuntirilishi kerak.

Ehtimollar nazariyasi matematikaning faqat oliy o'quv yurtlari talabalari tomonidan o'rganiladigan maxsus bo'limidir. Hisoblash va formulalarni yaxshi ko'rasizmi? Oddiy taqsimot, ansamblning entropiyasi, matematik kutish va diskret tasodifiy o'zgaruvchining dispersiyasi bilan tanishish istiqbollaridan qo'rqmaysizmi? Shunda bu mavzu sizni juda qiziqtiradi. Keling, ushbu fan bo'limining eng muhim asosiy tushunchalari bilan tanishamiz.

Keling, asosiy narsalarni eslaylik

Ehtimollar nazariyasining eng oddiy tushunchalarini eslab qolsangiz ham, maqolaning birinchi xatboshilarini e'tiborsiz qoldirmang. Gap shundaki, asoslarni aniq tushunmasdan, siz quyida muhokama qilingan formulalar bilan ishlay olmaysiz.

Shunday qilib, qandaydir tasodifiy hodisa, qandaydir tajriba bor. Amalga oshirilgan harakatlar natijasida biz bir nechta natijalarni olishimiz mumkin - ulardan ba'zilari tez-tez uchraydi, boshqalari kamroq. Hodisa ehtimoli - bu bir turdagi haqiqatda olingan natijalar sonining mumkin bo'lganlarning umumiy soniga nisbati. Faqatgina ushbu kontseptsiyaning klassik ta'rifini bilib, siz uzluksiz tasodifiy o'zgaruvchilarning matematik kutilishi va tarqalishini o'rganishni boshlashingiz mumkin.

O'rta arifmetik

Maktabda, matematika darslarida siz o'rtacha arifmetik bilan ishlay boshladingiz. Bu tushuncha ehtimollar nazariyasida keng qo'llaniladi va shuning uchun uni e'tiborsiz qoldirib bo'lmaydi. Hozir biz uchun asosiy narsa shundaki, biz buni tasodifiy o'zgaruvchining matematik kutilishi va dispersiyasi formulalarida uchratamiz.

Bizda raqamlar ketma-ketligi bor va o'rtacha arifmetikni topmoqchimiz. Bizdan talab qilinadigan narsa - mavjud bo'lgan barcha narsalarni jamlash va ketma-ketlikdagi elementlar soniga bo'lish. Bizda 1 dan 9 gacha raqamlar bo'lsin. Elementlar yig'indisi 45 ga teng bo'ladi va biz bu qiymatni 9 ga bo'lamiz. Javob: - 5.

Dispersiya

Ilmiy nuqtai nazardan, dispersiya - bu olingan xususiyat qiymatlarining o'rtacha arifmetik qiymatdan chetlanishining o'rtacha kvadrati. Biri bosh lotin harfi D bilan belgilanadi. Uni hisoblash uchun nima kerak? Ketma-ketlikning har bir elementi uchun mavjud son va arifmetik o'rtacha o'rtasidagi farqni hisoblab chiqamiz va uning kvadratiga aylantiramiz. Biz ko'rib chiqayotgan voqea uchun qancha natijalar bo'lishi mumkin bo'lsa, shuncha ko'p qiymatlar bo'ladi. Keyinchalik, biz olingan hamma narsani umumlashtiramiz va ketma-ketlikdagi elementlar soniga bo'linadi. Agar bizda beshta mumkin bo'lgan natija bo'lsa, unda beshga bo'ling.

Dispersiya shuningdek, muammolarni hal qilishda uni qo'llash uchun eslab qolishingiz kerak bo'lgan xususiyatlarga ega. Misol uchun, agar tasodifiy miqdor X marta ko'paytirilsa, dispersiya kvadratdan X marta ortadi (ya'ni, X*X). U hech qachon noldan kam emas va qiymatlarni teng qiymatga yuqoriga yoki pastga siljishiga bog'liq emas. Shuningdek, mustaqil sinovlar uchun yig'indining dispersiyasi dispersiyalarning yig'indisiga teng.

Endi biz, albatta, diskret tasodifiy o'zgaruvchining dispersiyasi va matematik kutish misollarini ko'rib chiqishimiz kerak.

Aytaylik, biz 21 ta tajriba o'tkazdik va 7 xil natijaga erishdik. Biz ularning har birini mos ravishda 1,2,2,3,4,4 va 5 marta kuzatdik. Farq qanday bo'ladi?

Birinchidan, biz o'rtacha arifmetikni hisoblaymiz: elementlarning yig'indisi, albatta, 21. Biz uni 7 ga bo'lamiz, 3 ni olamiz. Endi biz dastlabki ketma-ketlikdagi har bir raqamdan 3 ni ayirib, har bir qiymatni kvadratga aylantiramiz va natijalarni birgalikda qo'shamiz. . Bu 12 bo'lib chiqdi. Endi biz uchun raqamni elementlar soniga bo'lish qoladi va bu hammasi bo'lib tuyuladi. Ammo bir yutuq bor! Keling, muhokama qilaylik.

Tajribalar soniga bog'liqlik

Ma'lum bo'lishicha, dispersiyani hisoblashda maxraj ikkita raqamdan biri bo'lishi mumkin: N yoki N-1. Bu erda N - bajarilgan tajribalar soni yoki ketma-ketlikdagi elementlar soni (bu asosan bir xil). Bu nimaga bog'liq?

Agar testlar soni yuzlab o'lchangan bo'lsa, u holda biz maxrajga N qo'yishimiz kerak, agar birliklarda bo'lsa, N-1. Olimlar chegarani juda ramziy ravishda chizishga qaror qilishdi: bugungi kunda u 30 raqami bo'ylab ishlaydi. Agar biz 30 dan kam tajriba o'tkazgan bo'lsak, unda biz miqdorni N-1 ga, agar ko'p bo'lsa, N ga bo'lamiz.

Vazifa

Keling, dispersiya va kutish masalasini hal qilish misolimizga qaytaylik. Biz oraliq raqamni oldik 12, uni N yoki N-1 ga bo'lish kerak edi. Biz 30 dan kam bo'lgan 21 ta tajriba o'tkazganimiz uchun biz ikkinchi variantni tanlaymiz. Demak, javob: dispersiya 12/2 = 2.

Kutilgan qiymat

Keling, ushbu maqolada ko'rib chiqishimiz kerak bo'lgan ikkinchi kontseptsiyaga o'tamiz. Matematik kutish barcha mumkin bo'lgan natijalarni mos keladigan ehtimollar bilan ko'paytirish natijasidir. Olingan qiymat, shuningdek, dispersiyani hisoblash natijasi, qancha natijalarni hisobga olishidan qat'i nazar, butun vazifa uchun faqat bir marta olinishini tushunish muhimdir.

Matematik kutish formulasi juda oddiy: biz natijani olamiz, uni ehtimollik bilan ko'paytiramiz, ikkinchi, uchinchi natija uchun bir xil qo'shamiz va hokazo. Ushbu kontseptsiyaga tegishli hamma narsani hisoblash oson. Masalan, matematik taxminlar yig'indisi yig'indining matematik kutishiga teng. Xuddi shu narsa ish uchun ham amal qiladi. Ehtimollar nazariyasidagi har bir miqdor bunday oddiy operatsiyalarni bajarishga imkon bermaydi. Keling, topshiriqni olamiz va bir vaqtning o'zida o'rgangan ikkita tushunchaning qiymatini hisoblaymiz. Bundan tashqari, biz nazariya bilan chalg'itdik - amaliyot vaqti keldi.

Yana bir misol

Biz 50 ta sinovni o'tkazdik va 10 turdagi natijalarni oldik - 0 dan 9 gacha raqamlar - har xil foizlarda paydo bo'ladi. Bular mos ravishda: 2%, 10%, 4%, 14%, 2%, 18%, 6%, 16%, 10%, 18%. Eslatib o'tamiz, ehtimolliklarni olish uchun siz foiz qiymatlarini 100 ga bo'lishingiz kerak. Shunday qilib, biz 0,02 ni olamiz; 0,1 va boshqalar. Tasodifiy o'zgaruvchining dispersiyasi va matematik kutish masalasini yechish misolini keltiramiz.

Biz boshlang'ich maktabda eslab qolgan formuladan foydalanib, o'rtacha arifmetikni hisoblaymiz: 50/10 = 5.

Keling, hisoblashni qulayroq qilish uchun ehtimollarni natijalar soniga "bo'laklarga" aylantiramiz. Biz 1, 5, 2, 7, 1, 9, 3, 8, 5 va 9 ni olamiz. Olingan har bir qiymatdan o'rtacha arifmetikni ayirib, shundan so'ng olingan natijalarning har birini kvadratga aylantiramiz. Misol sifatida birinchi element bilan buni qanday qilishni ko'ring: 1 - 5 = (-4). Keyinchalik: (-4) * (-4) = 16. Boshqa qiymatlar uchun ushbu amallarni o'zingiz bajaring. Agar siz hamma narsani to'g'ri bajargan bo'lsangiz, unda hamma narsani qo'shgandan so'ng siz 90 ni olasiz.

90 ni N ga bo'lish orqali dispersiya va o'rtachani hisoblashni davom ettiramiz. Nima uchun biz N-1 emas, N ni tanlaymiz? To'g'ri, chunki bajarilgan tajribalar soni 30 dan oshadi. Shunday qilib: 90/10 = 9. Biz dispersiyani oldik. Agar siz boshqa raqamni olsangiz, umidsizlikka tushmang. Katta ehtimol bilan siz hisob-kitoblarda xato qildingiz. Yozganlaringizni ikki marta tekshiring, shunda hamma narsa joyiga tushadi.

Va nihoyat, matematik kutish formulasini eslaylik. Biz barcha hisob-kitoblarni bermaymiz, faqat barcha kerakli protseduralarni bajarganingizdan so'ng tekshirishingiz mumkin bo'lgan javobni yozamiz. Kutilayotgan qiymat 5,48 bo'ladi. Biz faqat birinchi elementlarning misolidan foydalanib, operatsiyalarni qanday bajarishni eslaymiz: 0 * 0,02 + 1 * 0,1 ... va hokazo. Ko'rib turganingizdek, biz shunchaki natijaning qiymatini uning ehtimoli bilan ko'paytiramiz.

Burilish

Dispersiya va matematik kutish bilan chambarchas bog'liq bo'lgan yana bir tushuncha standart og'ishdir. U lotincha sd harflari yoki yunoncha kichik "sigma" bilan belgilanadi. Ushbu kontseptsiya o'rtacha qiymatlarning markaziy xususiyatdan qanday chetga chiqishini ko'rsatadi. Uning qiymatini topish uchun dispersiyaning kvadrat ildizini hisoblash kerak.

Agar siz oddiy taqsimotni chizsangiz va to'g'ridan-to'g'ri kvadrat og'ishini ko'rishni istasangiz, bu bir necha bosqichda amalga oshirilishi mumkin. Rasmning yarmini rejimning chap yoki o'ng tomoniga (markaziy qiymat) oling, natijada olingan raqamlarning maydonlari teng bo'lishi uchun gorizontal o'qga perpendikulyar chizing. Tarqatishning o'rtasi va gorizontal o'qdagi natijada proyeksiya o'rtasidagi segmentning qiymati standart og'ish bo'ladi.

Dasturiy ta'minot

Formulalarning tavsiflari va keltirilgan misollardan ko'rinib turibdiki, dispersiya va matematik kutishni hisoblash arifmetik nuqtai nazardan eng oson protsedura emas. Vaqtni behuda o'tkazmaslik uchun oliy ta'limda qo'llaniladigan dasturdan foydalanish mantiqan to'g'ri keladi - u "R" deb ataladi. U statistika va ehtimollik nazariyasidan ko'plab tushunchalar uchun qiymatlarni hisoblash imkonini beruvchi funktsiyalarga ega.

Masalan, siz qiymatlar vektorini aniqlaysiz. Bu quyidagicha amalga oshiriladi: vektor<-c(1,5,2…). Теперь, когда вам потребуется посчитать какие-либо значения для этого вектора, вы пишете функцию и задаете его в качестве аргумента. Для нахождения дисперсии вам нужно будет использовать функцию var. Пример её использования: var(vector). Далее вы просто нажимаете «ввод» и получаете результат.

Nihoyat

Dispersiya va matematik kutish - bularsiz kelajakda biror narsani hisoblash qiyin. Universitetlardagi ma'ruzalarning asosiy kursida ular fanni o'rganishning birinchi oylaridayoq ko'rib chiqiladi. Aynan shu oddiy tushunchalarni tushunmaganliklari va ularni hisoblab chiqa olmaganliklari tufayli ko‘pchilik talabalar darhol dasturda qolib keta boshlaydilar va keyinchalik mashg‘ulotlar oxirida yomon baho oladilar, bu esa ularni stipendiyalardan mahrum qiladi.

Kuniga kamida bir hafta yarim soat mashq qiling, ushbu maqolada keltirilganlarga o'xshash vazifalarni hal qiling. Keyin, har qanday ehtimollik nazariyasi testida siz begona maslahatlar va nayranglarsiz misollar bilan kurashasiz.

Dispersiya I Dispersiya (lotincha dispersio — dispersiya)

matematik statistika va ehtimollar nazariyasida dispersiyaning eng keng tarqalgan o'lchovi, ya'ni o'rtacha qiymatdan og'ishlar. Statistik ma'noda D.

qiymatlarning kvadrat og'ishlarining o'rtacha arifmetik qiymatidir x i ularning arifmetik o'rtacha qiymatidan

Ehtimollar nazariyasida tasodifiy miqdorning taqsimlanishi X E kutish deb ataladi ( X - m x) 2 kvadrat og'ish X uning matematik kutishidan m x= E ( X). D. tasodifiy miqdor X D bilan belgilanadi ( X) yoki s orqali 2 X. D.ning kvadrat ildizi (yaʼni, s, agar D. s 2 boʻlsa) standart ogʻish deyiladi (qarang Kvadrat ogʻish).

Tasodifiy o'zgaruvchi uchun X ehtimollik zichligi bilan tavsiflangan uzluksiz ehtimollik taqsimoti bilan (Qarang: Ehtimollar zichligi) R(X), D. formula boʻyicha hisoblanadi

Ehtimollar nazariyasida quyidagi teorema katta ahamiyatga ega: D. Mustaqil hadlar yig‘indisi ularning D yig‘indisiga teng. Chebishev tengsizligi ham bundan kam ahamiyatli emas, bu tasodifiy miqdorning katta og‘ishlari ehtimolini baholash imkonini beradi. X uning matematik kutilmasidan.

II Dispersiya

D. toʻlqinlarining mavjudligi signallarning muhitda tarqalishida shaklining buzilishiga olib keladi. Buning sababi shundaki, signal parchalanishi mumkin bo'lgan turli chastotali garmonik to'lqinlar turli tezliklarda tarqaladi (batafsilroq, "To'lqinlar, Guruh tezligi" ga qarang). Yorugʻlikning D. shaffof prizmada tarqalganda oq yorugʻlikning spektrga parchalanishiga olib keladi (q. Yorugʻlik dispersiyasi).

Buyuk Sovet Entsiklopediyasi. - M.: Sovet Entsiklopediyasi. 1969-1978 .

Sinonimlar:

Boshqa lug'atlarda "Dispersiya" nima ekanligini ko'ring:

dispersiya- Biror narsani sochish. Matematikada dispersiya qiymatlarning o'rtacha qiymatdan og'ishini o'lchaydi. Oq yorug'likning tarqalishi uning tarkibiy qismlarga bo'linishiga olib keladi. Ovozning tarqalishi uning tarqalishiga sabab bo'ladi. Saqlangan ma'lumotlarni tarqatish ...... Texnik tarjimon uchun qo'llanma

Zamonaviy entsiklopediya

- (dispersiya) Ma'lumotlarning tarqalishi o'lchovi. N hadlar to‘plamining dispersiyasi ularning o‘rtachadan chetlanish kvadratlarini qo‘shish va N ga bo‘lish yo‘li bilan topiladi. Demak, hadlar i = 1, 2, ..., N da xi bo‘lsa, o‘rtasi m bo‘lsa. , farq ...... Iqtisodiy lug'at

Dispersiya- (lotincha dispersio sochilishdan) to'lqinlar, moddadagi to'lqinlarning tarqalish tezligining to'lqin uzunligiga (chastotaga) bog'liqligi. Dispersiya to'lqinlar tarqaladigan muhitning fizik xususiyatlari bilan belgilanadi. Masalan, vakuumda ...... Illustrated entsiklopedik lug'at

- (lot. dispersio sochilishdan) matematik statistika va ehtimollar nazariyasida dispersiya oʻlchovi (oʻrtacha qiymatdan ogʻish). Statistikada dispersiya - tasodifiy ... ... kuzatilgan qiymatlarning (x1, x2,...,xn) kvadratik og'ishlarining o'rtacha arifmetik qiymati. Katta ensiklopedik lug'at

Ehtimollar nazariyasida o'rtachadan og'ishning eng ko'p qo'llaniladigan o'lchovi (tarqalish o'lchovi). Ingliz tilida: Dispersiya Sinonimlari: Statistik dispersiya Inglizcha sinonimlari: Statistik dispersiya Shuningdek qarang: Namuna populyatsiyalari Moliyaviy ... ... Moliyaviy lug'at

- [lat. dispersus tarqoq, tarqoq] 1) tarqoq; 2) kimyoviy, fizik. moddani juda kichik zarrachalarga parchalash. D. prizma yordamida oq yorugʻlikning yorugʻlik bilan spektrga parchalanishi; 3) mat. o'rtachadan og'ish. Xorijiy so'zlar lug'ati. Komlev N.G.,…… Rus tilidagi xorijiy so'zlar lug'ati

dispersiya- (dispersiya) ma'lumotlar tarqalishining ko'rsatkichi, bu ma'lumotlarning o'rtacha arifmetikdan chetlanishining o'rtacha kvadratiga mos keladi. Standart og'ish kvadratiga teng. Amaliy psixolog lug'ati. Moskva: AST, Hosil. S. Yu. Golovin. 1998 yil ... Buyuk Psixologik Entsiklopediya

Tarqalish, tarqatish Ruscha sinonimlarning lug'ati. ot dispersiyasi, sinonimlar soni: 6 nanodispersiya (1) ... Sinonim lug'at

Dispersiya tasodifiy o'zgaruvchi qiymatlarining dispersiya xarakteristikasi bo'lib, ularning o'rtacha qiymatdan og'ish kvadrati bilan o'lchanadi (d2 bilan belgilanadi). D. nazariy (uzluksiz yoki diskret) va empirik (shuningdek uzluksiz va ... ...) farqlanadi. Iqtisodiy va matematik lug'at

Dispersiya- * dispersiya * dispersiya 1. Tarqalish; sochmoq; o'zgaruvchanlik (qarang). 2. Tasodifiy miqdorning matematik kutilganidan chetlanish darajasini tavsiflovchi nazariy ehtimollik tushunchasi. Biometrik amaliyotda s2 namunaviy dispersiya ... Genetika. ensiklopedik lug'at

Kitoblar

• Keng yutilish zonalarida anomal dispersiya, D.S. Rojdestvo. 1934 yilgi nashrning asl muallif imlosida ko'chirilgan ("SSSR Fanlar Akademiyasi materiallari" nashriyoti). DA…

Agar populyatsiya o'rganilayotgan belgiga ko'ra guruhlarga bo'lingan bo'lsa, u holda ushbu populyatsiya uchun dispersiyaning quyidagi turlarini hisoblash mumkin: umumiy, guruh (guruh ichidagi), guruh o'rtacha (guruh ichidagi o'rtacha), guruhlararo.

Dastlab, u determinatsiya koeffitsientini hisoblab chiqadi, bu o'rganilayotgan belgining umumiy o'zgarishining qaysi qismini guruhlararo o'zgarish ekanligini ko'rsatadi, ya'ni. guruhlash tufayli:

Empirik korrelyatsiya nisbati guruhlash (faktorial) va samarali belgilar o'rtasidagi bog'liqlikning mustahkamligini tavsiflaydi.

Empirik korrelyatsiya nisbati 0 dan 1 gacha qiymatlarni olishi mumkin.

Empirik korrelyatsiya nisbati asosida munosabatlarning yaqinligini baholash uchun siz Chaddock munosabatlaridan foydalanishingiz mumkin:

4-misol Turli xil mulkchilik shaklidagi loyiha-qidiruv tashkilotlari tomonidan ishlarning bajarilishi to'g'risida quyidagi ma'lumotlar mavjud:

Belgilang:

1) umumiy dispersiya;

2) guruh dispersiyasi;

3) guruh dispersiyasining o'rtacha ko'rsatkichi;

4) guruhlararo dispersiya;

5) dispersiyalarni qo‘shish qoidasiga asoslangan umumiy dispersiya;

6) determinatsiya koeffitsienti va empirik korrelyatsiya.

O'zingiz xulosa chiqaring.

Yechim:

1. Ikki mulkchilik shaklidagi korxonalar tomonidan bajarilgan ishlarning o'rtacha hajmini aniqlaymiz:

Umumiy farqni hisoblang:

2. Guruh o‘rtacha ko‘rsatkichlarini aniqlang:

million rubl;

million rub.

Guruhdagi farqlar:

;

3. Guruh dispersiyalarining o‘rtacha qiymatini hisoblang:

4. Guruhlararo dispersiyani aniqlang:

5. Dispersiyalarni qo‘shish qoidasi asosida umumiy dispersiyani hisoblang:

6. Determinatsiya koeffitsientini aniqlang:

.

Shunday qilib, loyiha-qidiruv tashkilotlari tomonidan bajarilgan ishlarning hajmi 22% ga korxonalarning mulkchilik shakliga bog'liq.

Empirik korrelyatsiya nisbati formula bo'yicha hisoblanadi

.

Hisoblangan ko'rsatkichning qiymati ish hajmining korxonaning mulkchilik shakliga bog'liqligi kichik ekanligini ko'rsatadi.

5-misol Ishlab chiqarish maydonlarining texnologik intizomini o'rganish natijasida quyidagi ma'lumotlar olindi:

Determinatsiya koeffitsientini aniqlang

Tasodifiy o'zgaruvchining dispersiyasi bu o'zgaruvchi qiymatlarining tarqalishining o'lchovidir. Kichik tafovut qiymatlarning bir-biriga yaqin to'planganligini anglatadi. Katta farq qiymatlarning kuchli tarqalishini ko'rsatadi. Statistikada tasodifiy miqdorning dispersiyasi tushunchasidan foydalaniladi. Masalan, agar siz ikkita kattalik qiymatlarining farqini solishtirsangiz (masalan, erkak va ayol bemorlarning kuzatuvlari natijalari), siz ba'zi o'zgaruvchilarning ahamiyatini tekshirishingiz mumkin. Variant statistik modellarni yaratishda ham qo'llaniladi, chunki kichik tafovut qiymatlarni haddan tashqari oshirayotganligingizning belgisi bo'lishi mumkin.

Qadamlar

Namuna farqini hisoblash

1. Namuna qiymatlarini yozib oling. Ko'pgina hollarda, statistik mutaxassislar uchun faqat ma'lum populyatsiyalarning namunalari mavjud. Misol uchun, qoida tariqasida, statistiklar Rossiyadagi barcha avtomobillar aholisini saqlash xarajatlarini tahlil qilmaydi - ular bir necha ming avtomobilning tasodifiy namunasini tahlil qiladilar. Bunday namuna bir mashinaning o'rtacha narxini aniqlashga yordam beradi, lekin, ehtimol, natijada olingan qiymat haqiqiy qiymatdan uzoq bo'ladi.

   • Masalan, tasodifiy tartibda olingan, 6 kun ichida kafeda sotilgan bulochkalar sonini tahlil qilaylik. Namuna quyidagi shaklga ega: 17, 15, 23, 7, 9, 13. Bu populyatsiya emas, namunadir, chunki bizda kafe ochilgan har bir kun uchun sotilgan bulochkalar haqida maʼlumotlar yoʻq.
   • Agar sizga qiymatlar namunasi emas, balki populyatsiya berilgan bo'lsa, keyingi bo'limga o'ting.

2. Namuna dispersiyasini hisoblash formulasini yozing. Dispersiya ma'lum miqdor qiymatlarining tarqalishining o'lchovidir. Dispersiya qiymati nolga qanchalik yaqin bo'lsa, qiymatlar shunchalik yaqinroq guruhlanadi. Qiymatlar namunasi bilan ishlaganda dispersiyani hisoblash uchun quyidagi formuladan foydalaning:

   • s 2 (\displaystyle s^(2)) = ∑[(x i (\displaystyle x_(i))-x̅) 2 (\displaystyle ^(2))] / (n - 1)
   • s 2 (\displaystyle s^(2)) dispersiyadir. Dispersiya kvadrat birliklarda o'lchanadi.
   • x i (\displaystyle x_(i))- namunadagi har bir qiymat.
   • x i (\displaystyle x_(i)) x̅ ayirish, kvadratini olish va keyin natijalarni qo'shish kerak.
   • x̅ – namunaviy o‘rtacha (namuna o‘rtacha).
   • n - namunadagi qiymatlar soni.

3. Namuna o'rtacha qiymatini hisoblang. U x̅ sifatida belgilanadi. Namuna o'rtachasi oddiy arifmetik o'rtacha kabi hisoblanadi: namunadagi barcha qiymatlarni qo'shing va natijani namunadagi qiymatlar soniga bo'ling.

   • Bizning misolimizda namunadagi qiymatlarni qo'shing: 15 + 17 + 23 + 7 + 9 + 13 = 84
     Endi natijani namunadagi qiymatlar soniga bo'ling (bizning misolimizda 6 ta mavjud): 84 ÷ 6 = 14.
     Namuna oʻrtacha x̅ = 14.
   • Namuna o'rtacha qiymati - bu namunadagi qiymatlar atrofida taqsimlanadigan markaziy qiymat. Agar namuna klasteridagi qiymatlar namuna atrofida o'rtacha bo'lsa, dispersiya kichik bo'ladi; aks holda dispersiya katta bo'ladi.

4. Namunadagi har bir qiymatdan namunaviy o'rtachani olib tashlang. Endi farqni hisoblang x i (\displaystyle x_(i))- x̅, qayerda x i (\displaystyle x_(i))- namunadagi har bir qiymat. Olingan har bir natija ma'lum bir qiymatning o'rtacha tanlamadan qanchalik og'ishini, ya'ni bu qiymat o'rtacha tanlamadan qanchalik uzoqligini ko'rsatadi.

   • Bizning misolimizda:
     x 1 (\displaystyle x_(1))- x̅ = 17 - 14 = 3
     x 2 (\displaystyle x_(2))- x̅ = 15 - 14 = 1
     x 3 (\displaystyle x_(3))- x̅ = 23 - 14 = 9
     x 4 (\displaystyle x_(4))- x̅ = 7 - 14 = -7
     x 5 (\displaystyle x_(5))- x̅ = 9 - 14 = -5
     x 6 (\displaystyle x_(6))- x̅ = 13 - 14 = -1
   • Olingan natijalarning to'g'riligini tekshirish oson, chunki ularning yig'indisi nolga teng bo'lishi kerak. Bu o'rtacha qiymatni aniqlash bilan bog'liq, chunki salbiy qiymatlar (o'rtacha qiymatdan kichikroq qiymatlargacha bo'lgan masofalar) ijobiy qiymatlar (o'rtacha qiymatdan kattaroq qiymatlargacha bo'lgan masofalar) bilan to'liq qoplanadi.

5. Yuqorida ta'kidlab o'tilganidek, farqlar yig'indisi x i (\displaystyle x_(i))- x̅ nolga teng bo'lishi kerak. Bu shuni anglatadiki, o'rtacha dispersiya har doim nolga teng bo'lib, ba'zi bir miqdor qiymatlarining tarqalishi haqida hech qanday tasavvurga ega emas. Ushbu muammoni hal qilish uchun har bir farqni kvadratga aylantiring x i (\displaystyle x_(i))- x̅. Bu siz faqat ijobiy raqamlarni olishingizga olib keladi, ular birgalikda qo'shilganda hech qachon 0 ga chiqmaydi.

   • Bizning misolimizda:
     (x 1 (\displaystyle x_(1))-x̅) 2 = 3 2 = 9 (\displaystyle ^(2)=3^(2)=9)
     (x 2 (\displaystyle (x_(2))-x̅) 2 = 1 2 = 1 (\displaystyle ^(2)=1^(2)=1)
     9 2 = 81
     (-7) 2 = 49
     (-5) 2 = 25
     (-1) 2 = 1
   • Siz farqning kvadratini topdingiz - x̅) 2 (\displaystyle ^(2)) namunadagi har bir qiymat uchun.

6. Kvadrat farqlar yig‘indisini hisoblang. Ya'ni formulaning quyidagicha yozilgan qismini toping: ∑[( x i (\displaystyle x_(i))-x̅) 2 (\displaystyle ^(2))]. Bu erda S belgisi har bir qiymat uchun kvadratik farqlar yig'indisini bildiradi x i (\displaystyle x_(i)) namunada. Siz allaqachon kvadrat farqlarni topdingiz (x i (\displaystyle (x_(i)))-x̅) 2 (\displaystyle ^(2)) har bir qiymat uchun x i (\displaystyle x_(i)) namunada; Endi bu kvadratlarni qo'shing.

   • Bizning misolimizda: 9 + 1 + 81 + 49 + 25 + 1 = 166 .

7. Natijani n - 1 ga bo'ling, bu erda n - namunadagi qiymatlar soni. Bir muncha vaqt oldin, tanlama dispersiyasini hisoblash uchun statistiklar natijani oddiygina n ga bo'lishdi; bu holda siz berilgan namunadagi dispersiyani tavsiflash uchun ideal bo'lgan kvadrat dispersiyaning o'rtacha qiymatini olasiz. Ammo esda tutingki, har qanday namuna umumiy qiymatlar sonining faqat kichik bir qismidir. Agar siz boshqa namunani olsangiz va bir xil hisob-kitoblarni qilsangiz, boshqa natijaga erishasiz. Ma'lum bo'lishicha, n - 1 ga bo'lish (shunchaki n emas) populyatsiya tafovutini yaxshiroq baholash imkonini beradi, bu siz istagan narsadir. n - 1 ga bo'lish odatiy holga aylangan, shuning uchun u tanlama dispersiyasini hisoblash formulasiga kiritilgan.

   • Bizning misolimizda namuna 6 ta qiymatni o'z ichiga oladi, ya'ni n = 6.
     Namuna dispersiyasi = s 2 = 166 6 − 1 = (\displaystyle s^(2)=(\frac (166)(6-1))=) 33,2

8. Dispersiya va standart og'ish o'rtasidagi farq. E'tibor bering, formulada eksponent mavjud, shuning uchun dispersiya tahlil qilingan qiymatning kvadrat birliklarida o'lchanadi. Ba'zan bunday qiymatni ishlatish juda qiyin; bunday hollarda dispersiyaning kvadrat ildiziga teng bo'lgan standart og'ish qo'llaniladi. Shuning uchun namunaviy dispersiya quyidagicha belgilanadi s 2 (\displaystyle s^(2)), va namunaviy standart og'ish sifatida s (\displaystyle s).

   • Bizning misolimizda namunaviy standart og'ish: s = √33,2 = 5,76.

   Aholi dispersiyasini hisoblash

   1. Ba'zi qiymatlarni tahlil qiling. To'plam ko'rib chiqilayotgan miqdorning barcha qiymatlarini o'z ichiga oladi. Misol uchun, agar siz Leningrad viloyati aholisining yoshini o'rganayotgan bo'lsangiz, unda aholi ushbu mintaqaning barcha aholisining yoshini o'z ichiga oladi. Agregat bilan ishlashda jadval yaratish va unga agregat qiymatlarini kiritish tavsiya etiladi. Quyidagi misolni ko'rib chiqing:

      • Muayyan xonada 6 ta akvarium mavjud. Har bir akvariumda quyidagi baliqlar soni mavjud:
        x 1 = 5 (\displaystyle x_(1)=5)
        x 2 = 5 (\displaystyle x_(2)=5)
        x 3 = 8 (\displaystyle x_(3)=8)
        x 4 = 12 (\displaystyle x_(4)=12)
        x 5 = 15 (\displaystyle x_(5)=15)
        x 6 = 18 (\displaystyle x_(6)=18)

   2. Populyatsiya dispersiyasini hisoblash formulasini yozing. Populyatsiya ma'lum miqdorning barcha qiymatlarini o'z ichiga olganligi sababli, quyidagi formula populyatsiya dispersiyasining aniq qiymatini olish imkonini beradi. Populyatsiya dispersiyasini tanlanma dispersiyadan ajratish uchun (bu faqat taxmin), statistiklar turli xil o'zgaruvchilardan foydalanadilar:

      • σ 2 (\displaystyle ^(2)) = (∑(x i (\displaystyle x_(i)) - μ) 2 (\displaystyle ^(2))) / n
      • σ 2 (\displaystyle ^(2))- populyatsiya dispersiyasi ("sigma kvadrati" deb o'qiladi). Dispersiya kvadrat birliklarda o'lchanadi.
      • x i (\displaystyle x_(i))- yig'indidagi har bir qiymat.
      • s - yig'indining belgisi. Ya'ni, har bir qiymat uchun x i (\displaystyle x_(i)) m ni ayirib, kvadratga aylantiring va natijalarni qo'shing.
      • m - o'rtacha aholi soni.
      • n - umumiy populyatsiyadagi qiymatlar soni.

   3. O'rtacha aholi sonini hisoblang. Umumiy aholi bilan ishlashda uning o'rtacha qiymati m (mu) bilan belgilanadi. Aholining o'rtacha qiymati odatdagi arifmetik o'rtacha sifatida hisoblanadi: populyatsiyadagi barcha qiymatlarni qo'shing va natijani populyatsiyadagi qiymatlar soniga bo'ling.

      • Shuni yodda tutingki, o'rtacha ko'rsatkichlar har doim ham o'rtacha arifmetik sifatida hisoblanmaydi.
      • Bizning misolimizda populyatsiya degani: m = 5 + 5 + 8 + 12 + 15 + 18 6 (\displaystyle (\frac (5+5+8+12+15+18)(6))) = 10,5

   4. Populyatsiyadagi har bir qiymatdan aholi o'rtacha qiymatini ayiring. Farq qiymati nolga qanchalik yaqin bo'lsa, ma'lum qiymat o'rtacha populyatsiyaga yaqinroq bo'ladi. Populyatsiyadagi har bir qiymat va uning o'rtacha qiymati o'rtasidagi farqni toping va siz qiymatlarning taqsimlanishiga birinchi qarashni olasiz.

      • Bizning misolimizda:
        x 1 (\displaystyle x_(1))- m = 5 - 10,5 = -5,5
        x 2 (\displaystyle x_(2))- m = 5 - 10,5 = -5,5
        x 3 (\displaystyle x_(3))- m = 8 - 10,5 = -2,5
        x 4 (\displaystyle x_(4))- m = 12 - 10,5 = 1,5
        x 5 (\displaystyle x_(5))- m = 15 - 10,5 = 4,5
        x 6 (\displaystyle x_(6))- m = 18 - 10,5 = 7,5

   5. Olingan har bir natijani kvadratga aylantiring. Farq qiymatlari ham ijobiy, ham salbiy bo'ladi; agar siz ushbu qiymatlarni raqam qatoriga qo'ysangiz, ular populyatsiya o'rtachasining o'ng va chap tomonida yotadi. Bu dispersiyani hisoblash uchun yaxshi emas, chunki ijobiy va salbiy raqamlar bir-birini bekor qiladi. Shuning uchun, faqat ijobiy raqamlarni olish uchun har bir farqni kvadratga aylantiring.

      • Bizning misolimizda:
        (x i (\displaystyle x_(i)) - μ) 2 (\displaystyle ^(2)) har bir populyatsiya qiymati uchun (i = 1 dan i = 6 gacha):
        (-5,5)2 (\displaystyle ^(2)) = 30,25
        (-5,5)2 (\displaystyle ^(2)), qayerda x n (\displaystyle x_(n)) populyatsiyadagi oxirgi qiymatdir.
      • Olingan natijalarning o'rtacha qiymatini hisoblash uchun siz ularning yig'indisini topishingiz va uni n ga bo'lishingiz kerak: (( x 1 (\displaystyle x_(1)) - μ) 2 (\displaystyle ^(2)) + (x 2 (\displaystyle x_(2)) - μ) 2 (\displaystyle ^(2)) + ... + (x n (\displaystyle x_(n)) - μ) 2 (\displaystyle ^(2))) / n
      • Endi yuqoridagi tushuntirishni o'zgaruvchilar yordamida yozamiz: (∑( x i (\displaystyle x_(i)) - μ) 2 (\displaystyle ^(2))) / n va populyatsiya dispersiyasini hisoblash formulasini oling.