Vektorlar. Vektorli harakatlar. Ushbu maqolada biz vektor nima, uning uzunligini qanday topish va vektorni songa ko'paytirish, shuningdek, ikkita vektorning yig'indisi, farqi va nuqta hosilasini qanday topish mumkinligi haqida gaplashamiz.

Odatdagidek, eng muhim nazariyalardan biri.

Vektor - bu yo'naltirilgan segment, ya'ni boshi va oxiri bo'lgan segment:

Bu erda A nuqta - vektorning boshi, B nuqtasi - uning oxiri.

Vektor ikkita parametrga ega: uning uzunligi va yo'nalishi.

Vektorning uzunligi - vektorning boshi va oxirini bog'laydigan chiziq uzunligi. Vektor uzunligi belgilanadi

Ikki vektor teng deyiladi agar ular bir xil uzunlikka ega bo'lsa va hizalansa.

Ikki vektor deyiladi birgalikda boshqargan agar ular parallel chiziqlarda yotsa va bir xil yo'nalishda yo'naltirilsa: vektorlar va birgalikda yo'naltirilgan:

Ikki vektor, agar ular parallel to'g'ri chiziqlar ustida yotsa va qarama -qarshi yo'nalishda bo'lsa, qarama -qarshi yo'naltirilgan deb ataladi: va vektorlar, shuningdek qarama -qarshi yo'nalishda:

Parallel to'g'ri chiziqlarda yotadigan vektorlar kollinear deyiladi: vektorlar va kollinear.

Vektor mahsuloti agar raqam = "(! LANG: k> 0) bo'lsa, vektorga yo'naltirilgan vektor deyiladi">, и направленный в противоположную сторону, если , и длина которого равна длине вектора , умноженной на :!}

Kimga ikkita vektor qo'shing va, vektor boshini vektor oxirigacha ulashingiz kerak. Jami vektor vektor boshini vektor oxirigacha bog'laydi:

Bu vektor qo'shish qoidasi deyiladi uchburchak qoidasi.

Ikkita vektorni qo'shish uchun parallelogram qoidasi, vektorlarni bir nuqtadan kechiktirib, ularni parallelogramga to'ldirish kerak. Jami vektor vektorlarning kelib chiqishini parallelogramning qarama -qarshi burchagi bilan bog'laydi:

Ikki vektorning farqi yig'indisi orqali aniqlanadi: vektorlarning farqi va shunday vektor deb ataladi, u vektor bilan birga vektor beradi:

Shunday qilib, quyidagicha Ikki vektorning farqini topish qoidasi: vektordan vektorni olib tashlash uchun bu vektorlarni bir nuqtadan kechiktirish kerak. Farq vektori vektorning oxirini vektorning oxirigacha bog'laydi (ya'ni, ayirilganning oxirini olib tashlangan oxirigacha):

Topmoq vektor va vektor orasidagi burchak, bu vektorlarni bir nuqtadan kechiktirish kerak. Vektor yotadigan nurlar hosil qilgan burchakka vektorlar orasidagi burchak deyiladi:

Ikki vektorning skalyar hosilasi bu vektorlar uzunliklari ortidagi burchak kosinusiga ko'p bo'lgan songa teng:

Sizga Ochiq Bankdagi muammolarni hal qilishni taklif qilaman va keyin VIDEO TUTORIALS ga qarshi o'z qaroringizni tekshiring:

1. Vazifa 4 (№ 27709)

To'rtburchakning ikki tomoni A B C D 6 va 8 ga teng. va vektorlari farqining uzunligini toping.

2018-05-01 xoxlasa buladi 121 2. Vazifa 4 (№ 27710)

To'rtburchakning ikki tomoni A B C D 6 va 8. bor va vektorlarining nuqta hosilasini toping. (oldingi topshiriqdan chizma).

3. Vazifa 4 (№ 27711)

To'rtburchakning ikki tomoni A B C D O... Va vektorlari yig'indisining uzunligini toping.

4. Vazifa 4 (№ 27712)

To'rtburchakning ikki tomoni A B C D 6 va 8. diagonallar nuqtada uchrashadi O... Vektorlarning farqining uzunligini toping. (oldingi topshiriqdan chizma).

5. Vazifa 4 (№ 27713)

Rombning diagonallari A B C D bor 12 va 16. Vektor uzunligini toping.

6. Vazifa 4 (№ 27714)

Rombning diagonallari A B C D bor 12 va 16. vektorning uzunligini toping +.

7. 4 -topshiriq (No 27715)

Rombning diagonallari A B C D 12 va 16. ga teng. -vektor uzunligini toping. (oldingi muammodan chizilgan).

8. 4 -topshiriq (No 27716)

Rombning diagonallari A B C D bor 12 va 16. vektor uzunligini toping -.

to'qqiz. Vazifa 4 (№ 27717)

Rombning diagonallari A B C D nuqtada kesishadi O va 12 va 16 ga teng. +vektorining uzunligini toping.

o'n. Vazifa 4 (№ 27718)

Rombning diagonallari A B C D nuqtada kesishadi O va 12 va 16. ga teng. -vektor uzunligini toping. (oldingi muammodan chizilgan).

11. 4 -topshiriq (No 27719)

Rombning diagonallari A B C D nuqtada kesishadi O va 12 va 16 ga teng. va vektorlarning nuqta hosilasini toping. (oldingi muammodan chizma).

12. Vazifa 4 (№ 27720)

ABC tengdir +vektorining uzunligini toping.

13. Vazifa 4 (№ 27721)

Oddiy uchburchakning qirralari ABC tengdir 3. Vektorning uzunligini toping.. (oldingi muammodan chizilgan).

o'n to'rt. Vazifa 4 (№ 27722)

Oddiy uchburchakning qirralari ABC tengdir 3. va vektorlarning nuqta hosilasini toping. (oldingi topshiriqdan chizma).

Ehtimol, sizning brauzeringiz qo'llab -quvvatlanmaydi. "Hour USE" simulyatoridan foydalanish uchun yuklab olishga harakat qiling
Firefox

Hatto maktabdan ham, biz bu nima ekanligini bilamiz vektor Bu yo'nalishga ega bo'lgan va tartiblangan nuqta juftligining son qiymati bilan tavsiflanadigan segment. Asos bo'lib xizmat qiladigan segment uzunligiga teng son sifatida belgilanadi vektor uzunligi ... Buni aniqlash uchun biz foydalanamiz koordinata tizimi... Va biz yana bir xususiyatni hisobga olamiz - segment yo'nalishi ... Vektor uzunligini topishning ikki yo'li mavjud. Eng oddiy - o'lchagichni olib, uning nima bo'lishini o'lchash. Yoki formuladan foydalanishingiz mumkin. Endi biz ushbu variantni ko'rib chiqamiz.

Zarur:

- koordinata tizimi (x, y);
- vektor;
- algebra va geometriyani bilish.

Ko'rsatmalar:

• Yo'naltirilgan segment uzunligini aniqlash formulasi quyidagicha yozing r² = x² + y²... Ning kvadrat ildizini chiqarib oling r² va natijada olingan raqam natija bo'ladi. Vektor uzunligini topish uchun quyidagilarni bajaring. Biz koordinatalarning boshlanish nuqtasini belgilaymiz (x1; y1), oxirgi nuqta (x2; y2)... Biz topamiz x va y yo'naltirilgan segmentning oxiri va boshining koordinatalari o'rtasidagi farq bilan. Oddiy qilib aytganda, raqam (NS) quyidagi formula bilan aniqlanadi x = x2-x1 va raqam (y) navbati bilan y = y2-y1.
• Formula bo'yicha koordinatalar yig'indisining kvadratini toping x² + y²... Olingan sonning kvadrat ildizini chiqaramiz, bu vektorning uzunligi bo'ladi (r)... Agar yo'naltirilgan segment koordinatalarining dastlabki ma'lumotlari darhol ma'lum bo'lsa, muammoning echimi soddalashtiriladi. Ma'lumotni formulaga ulash kifoya.
• Diqqat! Vektor koordinata tekisligida emas, balki kosmosda bo'lishi mumkin, bu holda formulaga yana bitta qiymat qo'shiladi va u quyidagi shaklga ega bo'ladi: r² = x² + y² + z², qaerda - (z) kosmosda yo'naltirilgan segmentning kattaligini aniqlashga yordam beradigan qo'shimcha o'q.

Avvalo, vektor tushunchasini tahlil qilish kerak. Geometrik vektor ta'rifini kiritish uchun segment nima ekanligini eslaylik. Keling, quyidagi ta'rifni keltiraylik.

Ta'rif 1

Segment - nuqta shaklida ikkita chegaraga ega bo'lgan to'g'ri chiziqning bir qismi.

Segment 2 ta yo'nalishga ega bo'lishi mumkin. Yo'nalishni ko'rsatish uchun biz segmentning chegaralaridan birini uning boshi, ikkinchisini esa uning oxiri deb ataymiz. Yo'nalish segmentning boshidan oxirigacha ko'rsatiladi.

Ta'rif 2

Vektor yoki yo'naltirilgan segment - bu segmentning qaysi chegarasi boshlanishi, qaysi biri uning oxiri ekanligi ma'lum bo'lgan segment.

Belgilash: Ikki harf: $ \ overline (AB) $ - (bu erda $ A $ - boshi va $ B $ - oxiri).

Bitta kichik harf: $ \ overline (a) $ (1 -rasm).

Keling, to'g'ridan -to'g'ri vektor uzunliklari tushunchasini tanishtiraylik.

Ta'rif 3

$ \ Overline (a) $ vektorining uzunligi $ a $ segmentining uzunligi.

Belgilar: $ | \ overline (a) | $

Vektor uzunligi tushunchasi, masalan, ikkita vektorning tengligi kabi tushuncha bilan bog'liq.

Ta'rif 4

Agar ikkita shart bajarilsa, ikkita vektor teng deb nomlanadi: 1. Ular bir -biriga yo'naltirilgan; 1. Ularning uzunligi teng (2 -rasm).

Vektorlarni aniqlash uchun koordinatalar tizimi joriy qilinadi va kiritilgan tizimdagi vektorning koordinatalari aniqlanadi. Ma'lumki, har qanday vektor $ \ overline (c) = m \ overline (i) + n \ overline (j) $ sifatida kengaytirilishi mumkin, bu erda $ m $ va $ n $ haqiqiy sonlar va $ \ overline (i) $ va $ \ overline (j) $ - mos ravishda $ Ox $ va $ Oy $ o'qlarining birlik vektorlari.

Ta'rif 5

$ \ Overline (c) = m \ overline (i) + n \ overline (j) $ vektorining kengayish koeffitsientlari joriy qilingan koordinatalar tizimida bu vektorning koordinatalari deb ataladi. Matematik jihatdan:

$ \ overline (c) = (m, n) $

Vektor uzunligini qanday topish mumkin?

Ixtiyoriy vektor uzunligini uning berilgan koordinatalaridan hisoblash formulasini olish uchun quyidagi masalani ko'rib chiqing:

Misol 1

Berilgan: $ \ x (y) $ koordinatali $ \ overline (a) $ vektori. Toping: bu vektorning uzunligi.

Keling, samolyotda $ xOy $ kartezian koordinata tizimini joriy qilaylik. $ \ Overline (OA) = \ overline (a) $ ni joriy qilingan koordinatalar tizimidan chetga surib qo'ying. $ Ox $ va $ Oy $ o'qlarida mos ravishda $ OA_1 $ va $ OA_2 $ proyeksiyalarini quraylik (3 -rasm).

Biz yaratgan $ \ overline (OA) $ vektori $ A $ nuqtasi uchun radius vektori bo'ladi, shuning uchun $ (x, y) $ koordinatalariga ega bo'ladi, ya'ni

$ = x $, $ [OA_2] = y $

Endi biz Pifagor teoremasi yordamida kerakli uzunlikni osongina topa olamiz

$ | \ overline (a) | ^ 2 = ^ 2 + ^ 2 $

$ | \ overline (a) | ^ 2 = x ^ 2 + y ^ 2 $

$ | \ overline (a) | = \ sqrt (x ^ 2 + y ^ 2) $

Javob: $ \ sqrt (x ^ 2 + y ^ 2) $.

Chiqish: Koordinatalariga ega bo'lgan vektor uzunligini topish uchun ushbu koordinatalar yig'indisi kvadratining ildizini topish kerak.

Misol vazifalar

Misol 2

Quyidagi koordinatalarga ega bo'lgan $ X $ va $ Y $ nuqtalari orasidagi masofani toping: mos ravishda $ (- 1.5) $ va $ (7.3) $.

Har qanday ikkita nuqta vektor tushunchasi bilan osongina bog'lanishi mumkin. Masalan, $ \ overline (XY) $ vektorini ko'rib chiqaylik. Bizga ma'lumki, bunday vektorning koordinatalarini oxirgi nuqtaning koordinatalaridan ($ Y $) boshlang'ich nuqtaning tegishli koordinatalarini ($ X $) chiqarib topish mumkin. Biz buni olamiz

Vektorlarning yig'indisi. Vektor uzunligi. Aziz do'stlar, orqa imtihonda vektorli vazifalar guruhi mavjud. Juda keng doiradagi topshiriqlar (nazariy asoslarni bilish muhim). Ko'pchilik og'zaki qaror qabul qiladi. Savollar vektor uzunligini, vektorlar yig'indisini (farqini), nuqta mahsulotini topish bilan bog'liq. Shuningdek, ko'plab vazifalar mavjud, ularni hal qilishda vektorlarning koordinatalari bilan amallarni bajarish kerak.

Vektor haqidagi nazariya qiyin emas va uni yaxshi o'rganish kerak. Ushbu maqolada biz vektor uzunligini, shuningdek vektorlar yig'indisini (farqini) topish bilan bog'liq vazifalarni tahlil qilamiz. Ba'zi nazariy fikrlar:

Vektor tushunchasi

Vektor - bu yo'nalishli chiziqli segment.

Yo'nalishi va uzunligi teng bo'lgan barcha vektorlar tengdir.

* Yuqoridagi to'rt vektorning barchasi teng!

Ya'ni, agar biz parallel vektor yordamida bizga berilgan vektorni harakatlantirsak, biz har doim originalga teng bo'lgan vektorni olamiz. Shunday qilib, cheksiz ko'p teng vektorlar bo'lishi mumkin.

Vektorli belgi

Vektor lotincha katta harflar bilan belgilanishi mumkin, masalan:

Belgilanishning bu shakli bilan birinchi navbatda vektorning boshlanishini bildiruvchi harf, so'ngra vektorning oxirini bildiruvchi harf yoziladi.

Boshqa vektor lotin alifbosining bitta harfi bilan belgilanadi (katta harf):

O'qlarsiz belgilash ham mumkin:

AB va BC ikkita vektorlarning yig'indisi AC vektori bo'ladi.

U AB + BC = AC sifatida yozilgan.

Bu qoida deyiladi - uchburchak qoidasi.

Ya'ni, agar bizda ikkita vektor bo'lsa - ularni shartli ravishda (1) va (2) deb ataymiz va vektorning oxiri (1) vektorning boshiga to'g'ri keladi (2), keyin bu vektorlarning yig'indisi a bo'ladi. vektor, uning boshi (1) vektorining boshiga to'g'ri keladi va oxiri (2) vektorining oxiriga to'g'ri keladi.

Xulosa: agar bizda samolyotda ikkita vektor bo'lsa, biz har doim ularning yig'indisini topa olamiz. Parallel tarjima yordamida siz ushbu vektorlarning istalganini ko'chirishingiz va uning boshini boshqasining oxiriga ulashingiz mumkin. Masalan:

Vektorni siljiting b yoki boshqa yo'l bilan - biz unga tenglikni quramiz:

Bir nechta vektorlarning yig'indisi qanday topiladi? Xuddi shu printsip bo'yicha:

* * *

Parallelogram qoidasi

Bu qoida yuqorida aytilganlarning natijasidir.

Umumiy kelib chiqish vektorlari uchun ularning yig'indisi ushbu vektorlarga qurilgan parallelogrammaning diagonali bilan tasvirlangan.

Vektorga teng vektor tuzamiz b shuning uchun uning boshlanishi vektorning oxiriga to'g'ri keladi a va biz ularning yig'indisi bo'lgan vektorni qura olamiz:

Muammolarni hal qilish uchun biroz muhimroq ma'lumot kerak.

Asl uzunlikka teng, lekin teskari yo'naltirilgan vektor ham belgilanadi, lekin teskari belgiga ega:

Bu ma'lumotlar vektorlarning farqini topish masalasini hal qilishda juda foydali. Ko'rib turganingizdek, vektor farqi o'zgartirilgan shaklda bir xil bo'ladi.

Ikki vektor berilsin, ularning farqini toping:

Biz b vektorga qarama -qarshi vektor qurdik va farqni topdik.

Vektor koordinatalari

Vektor koordinatalarini topish uchun oxirining koordinatalaridan boshlanishning tegishli koordinatalarini chiqarib tashlang:

Ya'ni, vektorning koordinatalari juft sonlardir.

Agar

Va vektorlarning koordinatalari quyidagicha:

Keyin c 1 = a 1 + b 1 c 2 = a 2 + b 2

Agar

Keyin c 1 = a 1 - b 1 c 2 = a 2 - b 2

Vektor moduli

Vektor moduli - uning uzunligi, formula bilan aniqlanadi:

Vektor uzunligini aniqlash formulasi, agar uning boshi va oxirining koordinatalari ma'lum bo'lsa:

Vazifalarni ko'rib chiqing:

ABCD to'rtburchaklarining ikki tomoni 6 va 8 ga teng. Diagonallar O nuqtada uchrashadi. AO va BO vektorlari orasidagi farqning uzunligini toping.

Keling, AO -BO natijasi bo'ladigan vektorni topaylik:

AO –BO = AO + (- BO) = AB

Ya'ni, AO va vektorlari orasidagi farq VO vektor bo'ladi AB. Va uning uzunligi sakkizta.

Rombning diagonallari A B C D 12 va 16. bor AB + AD vektorining uzunligini toping.

AD va AB BC vektorlari yig'indisi AD vektoriga teng bo'lgan vektorni topamiz. Shunday qilib, AB + AD = AB + BC = AC

AC - bu rombning diagonalining uzunligi AS, bu 16 ga teng.

ABCD rombining diagonallari shu nuqtada uchrashadi O va 12 va 16 ga teng. AO + BO vektorining uzunligini toping.

AO va BO VO vektorlari yig'indisi OD vektoriga teng bo'lgan vektorni topamiz.

AD - rombning yon uzunligi. Vazifa to'g'ri burchakli AOD uchburchagidagi gipotenuzani topish bilan bog'liq. Keling, oyoqlarni hisoblaymiz:

Pifagor teoremasi bo'yicha:

ABCD rombining diagonallari O nuqtada uchrashadi va 12 va 16 ga teng AO –BO vektorining uzunligini toping.

Keling, AO -BO natijasi bo'ladigan vektorni topaylik:

AB - romb tomonining uzunligi. Muammo to'g'ri burchakli AOB uchburchakda AB gipotenuzasini topishgacha kamayadi. oyoqlarni hisoblang:

Pifagor teoremasi bo'yicha:

ABC muntazam uchburchakning qirralari 3 ga teng.

AB -AC vektorining uzunligini toping.

Vektor farqining natijasini topamiz:

SV uchga teng, chunki shart shuni aytadiki, uchburchak teng qirrali va tomonlari 3 ga teng.

27663. a (6; 8) vektor uzunligini toping.

27664. AB vektori uzunligining kvadratini toping.

Avvalo, vektor tushunchasini tahlil qilish kerak. Geometrik vektor ta'rifini kiritish uchun segment nima ekanligini eslaylik. Keling, quyidagi ta'rifni keltiraylik.

Ta'rif 1

Segment - nuqta shaklida ikkita chegaraga ega bo'lgan to'g'ri chiziqning bir qismi.

Segment 2 ta yo'nalishga ega bo'lishi mumkin. Yo'nalishni ko'rsatish uchun biz segmentning chegaralaridan birini uning boshi, ikkinchisini esa uning oxiri deb ataymiz. Yo'nalish segmentning boshidan oxirigacha ko'rsatiladi.

Ta'rif 2

Vektor yoki yo'naltirilgan segment - bu segmentning qaysi chegarasi boshlanishi, qaysi biri uning oxiri ekanligi ma'lum bo'lgan segment.

Belgilash: Ikki harf: $ \ overline (AB) $ - (bu erda $ A $ - boshi va $ B $ - oxiri).

Bitta kichik harf: $ \ overline (a) $ (1 -rasm).

Keling, to'g'ridan -to'g'ri vektor uzunliklari tushunchasini tanishtiraylik.

Ta'rif 3

$ \ Overline (a) $ vektorining uzunligi $ a $ segmentining uzunligi.

Belgilar: $ | \ overline (a) | $

Vektor uzunligi tushunchasi, masalan, ikkita vektorning tengligi kabi tushuncha bilan bog'liq.

Ta'rif 4

Agar ikkita shart bajarilsa, ikkita vektor teng deb nomlanadi: 1. Ular bir -biriga yo'naltirilgan; 1. Ularning uzunligi teng (2 -rasm).

Vektorlarni aniqlash uchun koordinatalar tizimi joriy qilinadi va kiritilgan tizimdagi vektorning koordinatalari aniqlanadi. Ma'lumki, har qanday vektor $ \ overline (c) = m \ overline (i) + n \ overline (j) $ sifatida kengaytirilishi mumkin, bu erda $ m $ va $ n $ haqiqiy sonlar va $ \ overline (i) $ va $ \ overline (j) $ - mos ravishda $ Ox $ va $ Oy $ o'qlarining birlik vektorlari.

Ta'rif 5

$ \ Overline (c) = m \ overline (i) + n \ overline (j) $ vektorining kengayish koeffitsientlari joriy qilingan koordinatalar tizimida bu vektorning koordinatalari deb ataladi. Matematik jihatdan:

$ \ overline (c) = (m, n) $

Vektor uzunligini qanday topish mumkin?

Ixtiyoriy vektor uzunligini uning berilgan koordinatalaridan hisoblash formulasini olish uchun quyidagi masalani ko'rib chiqing:

Misol 1

Berilgan: $ \ x (y) $ koordinatali $ \ overline (a) $ vektori. Toping: bu vektorning uzunligi.

Keling, samolyotda $ xOy $ kartezian koordinata tizimini joriy qilaylik. $ \ Overline (OA) = \ overline (a) $ ni joriy qilingan koordinatalar tizimidan chetga surib qo'ying. $ Ox $ va $ Oy $ o'qlarida mos ravishda $ OA_1 $ va $ OA_2 $ proyeksiyalarini quraylik (3 -rasm).

Biz yaratgan $ \ overline (OA) $ vektori $ A $ nuqtasi uchun radius vektori bo'ladi, shuning uchun $ (x, y) $ koordinatalariga ega bo'ladi, ya'ni

$ = x $, $ [OA_2] = y $

Endi biz Pifagor teoremasi yordamida kerakli uzunlikni osongina topa olamiz

$ | \ overline (a) | ^ 2 = ^ 2 + ^ 2 $

$ | \ overline (a) | ^ 2 = x ^ 2 + y ^ 2 $

$ | \ overline (a) | = \ sqrt (x ^ 2 + y ^ 2) $

Javob: $ \ sqrt (x ^ 2 + y ^ 2) $.

Chiqish: Koordinatalariga ega bo'lgan vektor uzunligini topish uchun ushbu koordinatalar yig'indisi kvadratining ildizini topish kerak.

Misol vazifalar

Misol 2

Quyidagi koordinatalarga ega bo'lgan $ X $ va $ Y $ nuqtalari orasidagi masofani toping: mos ravishda $ (- 1.5) $ va $ (7.3) $.

Har qanday ikkita nuqta vektor tushunchasi bilan osongina bog'lanishi mumkin. Masalan, $ \ overline (XY) $ vektorini ko'rib chiqaylik. Bizga ma'lumki, bunday vektorning koordinatalarini oxirgi nuqtaning koordinatalaridan ($ Y $) boshlang'ich nuqtaning tegishli koordinatalarini ($ X $) chiqarib topish mumkin. Biz buni olamiz