Bugun biz sizni biz bilan funktsiyani o'rganishga va chizishga taklif qilamiz. Ushbu maqolani diqqat bilan o'rganib chiqqandan so'ng, bunday vazifani bajarish uchun uzoq vaqt ter to'kish shart bo'lmaydi. Funktsiyani o'rganish va chizish oson emas, ish katta hajmda, maksimal e'tibor va hisoblarning aniqligini talab qiladi. Materialni idrok etishni osonlashtirish uchun biz xuddi shu funktsiyani bosqichma -bosqich o'rganamiz, barcha harakatlarimiz va hisob -kitoblarimizni tushuntiramiz. Ajoyib va ​​hayajonli matematika olamiga xush kelibsiz! Boring!

Domen

Funktsiyani o'rganish va tuzish uchun siz bir nechta ta'riflarni bilishingiz kerak. Funktsiya matematikaning asosiy (asosiy) tushunchalaridan biridir. U bir nechta o'zgaruvchilar (ikki, uch yoki undan ko'p) o'rtasidagi o'zgarishlarni ko'rsatadi. Funktsiya shuningdek, to'plamlarning bog'liqligini ko'rsatadi.

Tasavvur qiling, bizda ikkita o'zgaruvchi bor, ular ma'lum bir o'zgarishlarga ega. Demak, y x funktsiyasidir, agar ikkinchi o'zgaruvchining har bir qiymati ikkinchisining bitta qiymatiga to'g'ri kelsa. Bunday holda, y o'zgaruvchisi bog'liq va u funktsiya deb ataladi. X va y o'zgaruvchilari o'z ichiga oladi, deyish odat tusiga kiradi. Bu bog'liqlik aniqroq bo'lishi uchun funktsiya grafigi tuziladi. Funktsiya grafigi nima? Bu koordinata tekisligidagi nuqtalar to'plami, bu erda x ning har bir qiymati y ning bitta qiymatiga to'g'ri keladi. Grafika har xil bo'lishi mumkin - to'g'ri chiziq, giperbola, parabola, sinusoid va boshqalar.

Tadqiqotsiz funktsiya grafigini tuzish mumkin emas. Bugun biz tadqiqot o'tkazishni va funktsiyalar grafigini tuzishni o'rganamiz. Tadqiqot davomida eslatmalar yozish juda muhimdir. Bu vazifani ancha osonlashtiradi. Eng qulay tadqiqot rejasi:

1. Domen.
2. Uzluksizlik.
3. Yagona yoki g'alati tenglik.
4. Davriylik.
5. Asimptotlar.
6. Nol.
7. Belgilarning barqarorligi.
8. Kattalashishi va kamayishi.
9. Haddan tashqari.
10. Konvekslik va konkavlik.

Birinchi nuqtadan boshlaylik. Ta'rif sohasini, ya'ni bizning funktsiyamiz qaysi intervallarda mavjudligini topaylik: y = 1/3 (x ^ 3-14x ^ 2 + 49x-36). Bizning holda, funktsiya x ning har qanday qiymatlari uchun mavjud, ya'ni domen R ga teng. U quyidagicha yozilishi mumkin xÎR.

Uzluksizlik

Endi biz break funktsiyasini o'rganamiz. Matematikada "uzluksizlik" atamasi harakat qonunlarini o'rganish natijasida paydo bo'lgan. Cheksiz nima? Bo'shliq, vaqt, ba'zi bog'liqliklar (masalan, harakatdagi S va t o'zgaruvchilarining bog'liqligi), isitiladigan narsaning harorati (suv, skovorodka, termometr va boshqalar), uzluksiz chiziq (ya'ni qalamdan yirtmasdan chizish mumkin).

Agar grafik bir nuqtada buzilmasa, uzluksiz deb hisoblanadi. Bunday grafikning eng aniq misollaridan biri sinus to'lqinidir, uni siz ushbu bo'limdagi rasmda ko'rishingiz mumkin. Agar bir qancha shartlar bajarilsa, funktsiya x0 nuqtada uzluksiz bo'ladi:

• bu vaqtda funktsiya aniqlanadi;
• nuqtada o'ng va chap chegaralar teng;
• chegara x0 nuqtadagi funksiyaning qiymatiga teng.

Agar hech bo'lmaganda bitta shart bajarilmasa, funksiya buzilgan deyiladi. Va funktsiya uzilgan nuqtalarga uzilish nuqtalari deyiladi. Grafik ko'rinishda "buziladigan" funktsiyaga misol: y = (x + 4) / (x-3). Bundan tashqari, x = 3 nuqtada y mavjud emas (chunki nolga bo'lish mumkin emas).

Biz tekshirayotgan funktsiyada (y = 1/3 (x ^ 3-14x ^ 2 + 49x-36)) hamma narsa oddiy bo'lib chiqdi, chunki grafik uzluksiz bo'ladi.

Juft toq

Endi tenglikni aniqlash funktsiyasini ko'rib chiqing. Birinchidan, ozgina nazariya. Teng funksiya x o'zgaruvchining har qanday qiymati uchun f (-x) = f (x) shartini bajaradigan funktsiyadir (qiymatlar oralig'idan). Misollarga quyidagilar kiradi:

• modul x (grafik shabada o'xshaydi, grafikning birinchi va ikkinchi choraklari bisektori);
• x kvadrat (parabola);
• kosinus x (kosinus).

E'tibor bering, bu uchastkalarning hammasi ordinata (ya'ni y) ga nisbatan qaralganda nosimmetrikdir.

Xo'sh, nima toq funktsiya deb ataladi? Bu shartni bajaradigan funktsiyalar: x o'zgaruvchining har qanday qiymati uchun f (-x) = - f (x). Misollar:

• giperbola;
• kubik parabola;
• sinusoid;
• tangentoid va boshqalar.

E'tibor bering, bu funktsiyalar nuqta (0: 0), ya'ni kelib chiqishi haqida nosimmetrikdir. Maqolaning ushbu bo'limida aytilganlarga asoslanib, juftlik va toq funktsiyaga ega bo'lishi kerak: x ta'riflar to'plamiga kiradi va -x ham.

Keling, tenglik funktsiyasini ko'rib chiqaylik. Ko'rib turibmizki, bu tavsiflarning hech biriga mos kelmaydi. Shunday qilib, bizning vazifamiz na toq, na toq.

Asimptotlar

Ta'rifdan boshlaylik. Asimptot - bu grafikaga iloji boricha yaqinroq bo'lgan egri chiziq, ya'ni nuqtadan masofa nolga intiladi. Umuman olganda, asimptotalarning uch turi mavjud:

• vertikal, ya'ni y o'qiga parallel;
• gorizontal, ya'ni x o'qiga parallel;
• moyil

Birinchi turga kelsak, ba'zi nuqtalarda ma'lumotlarning to'g'ri chiziqlarini izlash kerak:

• bo'shliq;
• ta'rif doirasining oxiri.

Bizning holda, funktsiya uzluksiz, va domen R ga teng. Shuning uchun vertikal asimptotlar yo'q.

Funktsiya grafigi gorizontal asimptotaga ega bo'lib, u quyidagi talablarga javob beradi: agar x cheksizlikka yoki minus cheksizlikka intilsa va chegara ma'lum songa teng bo'lsa (masalan, a). Bunday holda, y = a - bu gorizontal asimptot. Biz tekshirayotgan funktsiyada gorizontal asimptotlar yo'q.

Eğimli asimptot faqat ikkita shart bajarilganda mavjud bo'ladi:

• lim (f (x)) / x = k;
• lim f (x) -kx = b.

Keyin uni quyidagi formula bo'yicha topish mumkin: y = kx + b. Shunga qaramay, bizning holatlarimizda, qiyshiq asimptotlar yo'q.

Funktsiya nollari

Keyingi qadam, funktsiya grafigini nol bilan tekshirish. Shuni ham ta'kidlash kerakki, funktsiya nolini topish bilan bog'liq vazifa faqat funktsiya grafigini o'rganish va chizishda emas, balki mustaqil vazifa sifatida va tengsizliklarni echish usulida ham sodir bo'ladi. Sizdan grafikdagi funksiya nollarini topish yoki matematik yozuvlardan foydalanish talab qilinishi mumkin.

Bu qiymatlarni topish funksiyani aniqroq chizishga yordam beradi. Oddiy qilib aytganda, funktsiyaning nolini x o'zgaruvchining qiymati, bunda y = 0. Agar siz grafikda funksiyaning nolini izlayotgan bo'lsangiz, unda siz grafikning absissa o'qini kesib o'tgan nuqtalariga e'tibor qaratishingiz kerak.

Funktsiyaning nolini topish uchun quyidagi tenglamani yechish kerak: y = 1/3 (x ^ 3-14x ^ 2 + 49x-36) = 0. Kerakli hisob -kitoblarni amalga oshirgandan so'ng, biz quyidagi javobni olamiz:

Barqarorlik

Tadqiqot va funktsiyani (grafikni) tuzishning keyingi bosqichi doimiylik intervallarini topishdir. Bu shuni anglatadiki, biz funktsiyani qaysi vaqt oralig'ida ijobiy, qaysi vaqtda - manfiy ekanligini aniqlashimiz kerak. Oldingi bo'limda topilgan nol funktsiyasi bizga buni bajarishga yordam beradi. Shunday qilib, biz to'g'ri chiziqni (grafikdan alohida) qurishimiz va funktsiya nollarini kichikdan kattagacha to'g'ri tartibda taqsimlashimiz kerak. Endi siz hosil bo'lgan intervallardan qaysi birida "+" belgisi, qaysi birida "-" borligini aniqlashingiz kerak.

Bizning holatda, funktsiya vaqt oralig'ida ijobiy qiymatga ega:

• 1 dan 4 gacha;
• 9dan cheksizgacha.

Salbiy ma'no:

• minus cheksizlikdan 1gacha;
• 4 dan 9 gacha.

Buni aniqlash oson. Intervaldagi istalgan sonni funktsiyaga almashtiring va javob qanday belgi ekanligini ko'ring (minus yoki ortiqcha).

Funktsiyalarni ko'paytirish va kamaytirish

Funktsiyani o'rganish va qurish uchun biz grafik qayerda o'sishini (Oy bo'ylab yuqoriga ko'tarilish) va u qaerga tushishini (ordinata bo'ylab pastga siljish) aniqlashimiz kerak.

Funktsiya faqat x o'zgaruvchining kattaroq qiymati y ning katta qiymatiga to'g'ri kelgan taqdirdagina ortadi. Ya'ni, x2 x1 dan katta, f (x2) f (x1) dan katta. Va biz funksiyaning kamayishida (qarama -qarshi x, y kamroq) butunlay qarama -qarshi hodisani kuzatamiz. O'sish va pasayish intervallarini aniqlash uchun quyidagilarni topish kerak.

• qamrov (bizda allaqachon mavjud);
• lotin (bizning holatimizda: 1/3 (3x ^ 2-28x + 49);
• 1/3 (3x ^ 2-28x + 49) = 0 tenglamani yeching.

Hisob -kitoblardan so'ng biz natijani olamiz:

Biz olamiz: funktsiya minus cheksizlikdan 7/3 gacha va 7dan cheksizgacha oshadi va 7/3 dan 7 gacha intervalda kamayadi.

Haddan tashqari

Y = 1/3 (x ^ 3-14x ^ 2 + 49x-36) tekshiriladigan funktsiya uzluksizdir va x o'zgaruvchining har qanday qiymatlari uchun mavjud. Ekstremal nuqta bu funksiyaning maksimal va minimalini ko'rsatadi. Bizning holatda, qurilish vazifasini sezilarli darajada osonlashtiradigan hech kim yo'q. Aks holda, ular funktsiyaning lotin yordamida ham topiladi. Topgandan so'ng, ularni jadvalda belgilashni unutmang.

Qavariqlik va konkavlik

Biz y (x) funktsiyasini o'rganishni davom ettiramiz. Endi biz uni konveks va konkavlik uchun tekshirishimiz kerak. Bu tushunchalarning ta'rifini tushunish juda qiyin, hamma narsani misollar bilan tahlil qilish yaxshiroqdir. Sinov uchun: agar funksiya kamaymasa, konveks bo'ladi. Qabul qiling, bu tushunarsiz!

Biz ikkinchi darajali funktsiyani topishimiz kerak. Biz olamiz: y = 1/3 (6x-28). Endi o'ng tomonni nolga qo'yamiz va tenglamani echamiz. Javob: x = 14/3. Biz burilish nuqtasini, ya'ni grafik konveksdan konkavga yoki aksincha o'zgaradigan joyni topdik. Minus cheksizlikdan 14/3 gacha bo'lgan vaqt oralig'ida funktsiya konveks, 14/3 dan ortiqcha cheksizlikka qadar esa konkav bo'ladi. Shuni ham ta'kidlash kerakki, grafikdagi burilish nuqtasi silliq va yumshoq bo'lishi kerak, o'tkir burchaklar bo'lmasligi kerak.

Qo'shimcha nuqtalarning ta'rifi

Bizning vazifamiz - funktsiyani o'rganish va chizish. Biz tadqiqotni tugatdik, endi vazifani chizish qiyin bo'lmaydi. Koordinata tekisligida egri yoki to'g'ri chiziqni aniqroq va batafsil takrorlash uchun siz bir nechta yordamchi nuqtalarni topishingiz mumkin. Ularni hisoblash juda oson. Masalan, biz x = 3 ni olamiz, natijadagi tenglamani yechamiz va y = 4 ni topamiz. Yoki x = 5 va y = -5 va boshqalar. Qurilish uchun qancha kerak bo'lsa, shuncha ko'p qo'shimcha ball olishingiz mumkin. Kamida 3-5 ta topiladi.

Grafik tuzish

Biz funktsiyani (x ^ 3-14x ^ 2 + 49x-36) * 1/3 = y. Hisob -kitoblar paytida barcha kerakli yozuvlar koordinata tekisligida qilingan. Qolgan ish - grafik tuzish, ya'ni hamma nuqtalarni bir -biriga bog'lash. Nuqtalarni ulash silliq va aniq bo'lishi kerak, bu mahorat masalasi - ozgina mashg'ulot va sizning jadvalingiz mukammal bo'ladi.

y = _______ ax n + b cx m + d

Va uning sxemasini umumiy sxema bo'yicha tuzing.

Funktsiyalarni umumiy o'rganish va grafikalar tuzilishi quyidagi sxema bo'yicha amalga oshiriladi:

1. Funktsiya maydonini toping.
2. Funktsiya juft, toq, davriy ekanligini aniqlang.
3. Uzluksizlik funktsiyasini tekshiring, uzilish nuqtalarini toping va uzilishlarning mohiyatini bilib oling.
4. Funktsiya grafigining asimptotalarini toping.
5. Funktsiyaning ekstremum nuqtalarini toping, shu nuqtalarda funktsiyaning qiymatlarini hisoblang. Bu nuqtalarda funksiyaning monotonlik intervallarini o'rnating.
6. Funktsiya grafigining burilish nuqtalarini toping, funktsiya qiymatlarini va shu nuqtalarda hosila qiymatlarini hisoblang. Funktsiya grafigining qavariqlik intervallarini o'rnating.
7. Tadqiqot natijalaridan foydalanib, funktsiya grafigini tuzing. Agar siz egri chiziqning alohida qismlarini tozalashingiz kerak bo'lsa, bir nechta qo'shimcha nuqtalarning koordinatalarini hisoblang. Xususan, funktsiyaning "nollari" deb ataladigan koordinata o'qlari bilan grafikning kesishish nuqtalari koordinatalarini hisoblash tavsiya etiladi.

Variantingizning raqamli parametrlarini o'rnating va "Enter" tugmasini bosing.

y = ______ a x n + b v x m + d

Eksponentlar n va m butun musbat bitta raqamli bo'lishi kerak. Oran a B C D [-99.99] diapazonidan har qanday tamsayı qiymatlarini olishi mumkin. Agar kasr oldida "-" belgisi bo'lsa, uni hisoblagichga yo'naltiring. Juda katta va kichik koeffitsientlar qiymatiga berilib ketmang. Esda tutingki, "cheksizlik" ekranga mos kelmaydi.

a = b = v = d =

n = m =

Keling, ushbu sxemani funktsiyaga qo'llaylik

y = _____ 2x 3 x 2 − 4

(a = 2; b = 0; v = 1; d = −4; n = 3; m = 2).

1. Funktsiya nuqtalar bundan mustasno, butun son o'qida aniqlanadi x = ± 2, bunda kasrning maxraji yo'qoladi. Shunday qilib, uning ta'rifi
D (f ) = (−∞;−2)∪(−2;+2)∪(+2;+∞) .

2. Funktsiya g'alati, chunki
,
shuning uchun uning grafigi kelib chiqishi haqida nosimmetrik bo'ladi, shuning uchun funktsiyani intervalda tekshirish kifoya;

intervalda pasayish kuzatiladi [0; 1 2) va 1 2; + ∞.

Diagrammada + va - yordamida funktsiyaning ijobiy va salbiy tomonlari, o'qlar esa kamayishi va ortishi tasvirlangan.

Funktsiyaning ekstremal nuqtalari - bu funktsiyani aniqlaydigan va hosila o'zgarishi belgisi bo'lgan nuqtalar.

Misol 4

Agar misolni ko'rib chiqsak, bu erda x = 0 bo'lsa, undagi funksiyaning qiymati f (0) = 0 2 4 0 2 - 1 = 0 ga teng. Türev belgisi + dan - ga o'zgarganda va x = 0 nuqtadan o'tganda, koordinatali (0; 0) nuqta maksimal nuqta hisoblanadi. Belgi - dan +ga o'zgarganda, biz minimal ballni olamiz.

Qavariqlik va chuqurchalik f "" (x) ≥ 0 va f "" (x) ≤ 0 shaklidagi tengsizliklarni echish orqali aniqlanadi. Kamdan -kam hollarda, bu nom konkavlik o'rniga pastga, konveksiya o'rniga tepaga ishlatiladi.

Ta'rif 3

Uchun konkavlik va qavariqlik intervallarini aniqlash zarur:

• ikkinchi hosilani toping;
• ikkinchi hosila funktsiyasining nollarini toping;
• paydo bo'lgan nuqtalar bilan ta'rif maydonini intervallarga ajratish;
• bo'shliq belgisini aniqlang.

Misol 5

Domenning ikkinchi hosilasini toping.

Yechim

f "" (x) = - 2 x (4 x 2 - 1) 2 "= = ( - 2 x)" (4 x 2 - 1) 2 - - 2 x 4 x 2 - 1 2 "(4 x 2) - 1) 4 = 24 x 2 + 2 (4 x 2 - 1) 3

Hisoblagich va maxraj nollarini topamiz, bu erda bizning misolda maxraj nollari x = ± 1 2

Endi siz raqamli o'qda nuqtalarni chizishingiz va har bir intervaldan ikkinchi lotin belgisini aniqlashingiz kerak. Biz buni olamiz

Javob:

• funksiya oraliqdan qavariq - 1 2; 12;
• funktsiya - interv oralig'idan konkav. - 1 2 va 12 2; + ∞.

Ta'rif 4

Burilish nuqtasi X 0 shaklidagi nuqta; f (x 0). Qachonki u funktsiya grafigiga tegsa, u x 0 orqali o'tganda, funktsiya o'z belgisini teskarisiga o'zgartiradi.

Boshqacha qilib aytganda, bu ikkinchi lotin belgisi o'tadigan va o'zgaradigan nuqta, va nuqtalarda o'zlari nolga teng yoki yo'q. Barcha nuqtalar funktsiyaning maydoni deb hisoblanadi.

Masalan, burilish nuqtalari yo'qligi ko'rinib turibdi, chunki ikkinchi hosila x = ± 1 2 nuqtalaridan o'tayotganda o'zgaradi. Ular, o'z navbatida, ta'rif doirasiga kiritilmagan.

Gorizontal va qiyshiq asimptotalarni topish

Cheksizlikdagi funktsiyani belgilashda siz gorizontal va qiyshiq asimptotalarni qidirishingiz kerak.

Ta'rif 5

Eğimli asimptotlar y = k x + b tenglamasi bilan belgilangan chiziqlar bilan tasvirlangan, bu erda k = lim x → ∞ f (x) x va b = lim x → ∞ f (x) - k x.

Cheksizlikka teng bo'lmagan k = 0 va b uchun biz qiyshiq asimptotaga aylanishini topamiz gorizontal.

Boshqacha qilib aytganda, asimptotalar - bu funktsiya grafigi cheksizlikka yaqinlashadigan chiziqlar. Bu funktsiyani tezda tuzishga yordam beradi.

Agar asimptotlar bo'lmasa, lekin funktsiya ikkala cheksizlikda aniqlangan bo'lsa, funktsiya grafigi qanday ishlashini tushunish uchun bu cheksizlikdagi funktsiyaning chegarasini hisoblash kerak.

Misol 6

Masalan, buni o'ylab ko'ring

k = lim x → ∞ f (x) x = lim x → ∞ x 2 4 x 2 - 1 x = 0 b = lim x → ∞ (f (x) - kx) = lim x → ∞ x 2 4 x 2 - 1 = 1 4 ⇒ y = 1 4

gorizontal asimptotadir. Funktsiyani ko'rib chiqqandan so'ng, siz uni yaratishni boshlashingiz mumkin.

Oraliq nuqtalarda funktsiyaning qiymatini hisoblash

Chizma chizig'ini aniqroq qilish uchun, oraliq nuqtalarda funktsiyaning bir nechta qiymatlarini topish tavsiya etiladi.

Misol 7

Biz ko'rib chiqqan misoldan x = - 2, x = - 1, x = - 3 4, x = - 1 4 nuqtalardagi funktsiya qiymatlarini topish kerak. Funktsiya teng bo'lgani uchun, biz bu nuqtalardagi qiymatlarga mos kelishini, ya'ni x = 2, x = 1, x = 3 4, x = 1 4 ni olamiz.

Keling, yozamiz va hal qilamiz:

F ( - 2) = f (2) = 2 2 4 2 2 - 1 = 4 15 ≈ 0,27 f ( - 1) - f (1) = 1 2 4 1 2 - 1 = 1 3 ≈ 0, 33 f - 3 4 = f 3 4 = 3 4 2 4 3 4 2 - 1 = 9 20 = 0,45 f - 1 4 = f 1 4 = 1 4 2 4 1 4 2 - 1 = - 1 12 ≈ - 0,08

Funktsiyaning maksimal va minimal sonlarini, burilish nuqtalarini, oraliq nuqtalarini aniqlash uchun asimptotalar tuzish kerak. Qulay belgilash uchun o'sish, pasayish, konvekslik, konkavlik intervallari belgilanadi. Quyidagi rasmga e'tibor bering.

Belgilangan nuqtalar orqali grafik chiziqlarni chizish kerak, bu o'qlarni kuzatib, asimptotalarga yaqinlashishga imkon beradi.

Bu funktsiyani to'liq o'rganishni yakunlaydi. Geometrik transformatsiyalar qo'llaniladigan ba'zi elementar funktsiyalarni tuzish hollari mavjud.

Agar siz matnda xato ko'rsangiz, uni tanlang va Ctrl + Enter tugmalar birikmasini bosing

To'liq tadqiqot o'tkazing va funktsiyani tuzing

y (x) = x2 + 81 - x.y (x) = x2 + 81 - x.

1) Funktsiya ta'rifi maydoni. Funktsiya kasr bo'lgani uchun, maxrajning nolini topish kerak.

1 - x = 0, ph = 1,1 - x = 0, ph = 1.

Biz funktsiya maydonidan x = 1x = 1 yagona nuqtasini chiqarib tashlaymiz va olamiz:

D (y) = (- ∞; 1) ∪ (1; + ∞). D (y) = (- ∞; 1) ∪ (1; + ∞).

2) Keling, uzilish nuqtasi yaqinidagi funktsiyani o'rganamiz. Keling, bir tomonlama chegaralarni topaylik:

Chegaralar cheksizlikka teng bo'lgani uchun, x = 1x = 1 nuqta ikkinchi turdagi uzilishdir, to'g'ri chiziq x = 1x = 1 vertikal asimptotadir.

3) Funktsiya grafigining koordinata o'qlari bilan kesishish nuqtalarini aniqlaylik.

OyOy ordinata o'qi bilan kesishish nuqtalarini toping, ular uchun x = 0x = 0 ga tenglashtiramiz:

Shunday qilib, OyOy o'qi bilan kesishish nuqtasi (0; 8) (0; 8) koordinatalariga ega.

OxOx ​​abssissa o'qi bilan kesishish nuqtalarini toping, ular uchun y = 0y = 0 qo'yamiz:

Tenglamaning ildizlari yo'q, shuning uchun OxOx o'qi bilan kesishish nuqtalari yo'q.

E'tibor bering, x2 + 8> 0x2 + 8> 0 har qanday xx uchun. Shuning uchun, x∈ (-∞; 1) x∈ (-∞; 1) funktsiya y> 0y> 0 (musbat qiymatlarni oladi, grafik absissadan yuqori), x∈ (1; + ∞) x∈ uchun (1; + ∞) y funktsiyasi<0y<0 (принимает отрицательные значения, график находится ниже оси абсцисс).

4) Funktsiya hatto toq ham emas, chunki:

5) Keling, davriylik funktsiyasini ko'rib chiqaylik. Bu funktsiya davriy emas, chunki bu kasrli ratsional funktsiya.

6) Ekstrema va monotonlik funktsiyasini ko'rib chiqaylik. Buning uchun biz funktsiyaning birinchi lotinini topamiz:

Keling, birinchi lotinni nolga tenglashtiramiz va turg'un nuqtalarni topamiz (bu erda y '= 0y' = 0):

Bizda uchta muhim nuqta bor: x = -2, x = 1, x = 4x = -2, x = 1, x = 4. Biz funktsiyaning butun maydonini berilgan nuqtalar bilan intervallarga ajratdik va har bir intervalda lotin belgilarini aniqlaymiz:

$ X ^ (-∞; -2), (4; + ∞) x∈ (-∞; -2), (4; + ∞) uchun y "lotin<0y′<0, поэтому функция убывает на данных промежутках.

X \ (-2; 1), (1; 4) x \ (-2; 1), (1; 4) türev y> 0y> 0 uchun bu intervallarda funksiya ortadi.

Bu holda, x = -2x = -2 - mahalliy minimal nuqta (funksiya kamayadi va keyin ortadi), x = 4x = 4 - mahalliy maksimal nuqta (funksiya ortadi va keyin kamayadi).

Keling, ushbu nuqtalarda funktsiyaning qiymatlarini topamiz:

Shunday qilib, minimal nuqta (-2; 4) (- 2; 4), maksimal nuqta (4; -8) (4; -8).

7) Keling, egilish va konveksiya funktsiyasini ko'rib chiqaylik. Funktsiyaning ikkinchi hosilasini topamiz:

Ikkinchi lotinni nolga tenglashtiraylik:

Olingan tenglamaning ildizlari yo'q, shuning uchun burilish nuqtalari yo'q. Bundan tashqari, x∈ (-∞; 1) x∈ (-∞; 1) y ′ ′> 0y ″> 0 tutilganda, ya’ni funksiya x∈ (1; + ∞) x∈ (1; + ∞) y ′ ′<0y″<0, то есть функция выпуклая.

8) Funktsiyaning cheksizlikdagi xatti -harakatlarini, ya'ni.

Chegaralar cheksiz bo'lgani uchun gorizontal asimptotlar yo'q.

Keling, y = kx + by = kx + b shaklidagi qiyshiq asimptotalarni aniqlashga harakat qilaylik. Biz ma'lum formulalar bo'yicha k, bk, b qiymatlarini hisoblaymiz:

Funktsiyaning bitta y = -x - 1y = -x - 1 qiyshiq asimptotasi borligini bilib oldik.

9) Qo'shimcha fikrlar. Grafikni aniqroq tuzish uchun funksiyaning qiymatini boshqa ba'zi nuqtalarda hisoblaylik.

y (-5) = 5.5; y (2) = - 12; y (7) = - 9.5.y (-5) = 5.5; y (2) = - 12; y (7) = - 9.5.

10) Olingan ma'lumotlarga asoslanib, biz grafik tuzamiz, uni x = 1x = 1 (ko'k), y = -x - 1y = -x - 1 (yashil) asimptotalari bilan to'ldiramiz va xarakterli nuqtalarni belgilaymiz ( ordinat o'qi, to'q sariq ekstremal, qora qo'shimcha nuqtalar):

Vazifa 4: Geometrik, iqtisodiy muammolar (ularning qaysi biri ekanligini bilmayman, bu erda yechim va formulalar bilan bog'liq masalalarning taxminiy tanlovi)

3.23 -misol. a

Yechim. x va y y
y = a - 2 × a / 4 = a / 2. X = a / 4 yagona tanqidiy nuqta bo'lgani uchun, bu nuqtadan o'tishda lotin belgisi o'zgarishini tekshirib ko'raylik. Xa / 4 S "> 0 uchun va x> a / 4 S uchun"< 0, значит, в точке x=a/4 функция S имеет максимум. Значение функции S(a/4) = a/4(a - a/2) = a 2 /8 (кв. ед).Поскольку S непрерывна на и ее значения на концах S(0) и S(a/2) равны нулю, то найденное значение будет наибольшим значением функции. Таким образом, наиболее выгодным соотношением сторон площадки при данных условиях задачи является y = 2x.

3.24 -misol.

Yechim.
R = 2, H = 16/4 = 4.

3.22 -misol. F (x) = 2x 3 - 15x 2 + 36x - 14 funktsiyasining ekstremalini toping.

Yechim. F "(x) = 6x 2 - 30x +36 = 6 (x -2) (x - 3) bo'lgani uchun, funktsiyaning kritik nuqtalari x 1 = 2 va x 2 = 3. Ekstremma faqat shu nuqtalarda bo'lishi mumkin. Shunday qilib, x 1 = 2 nuqtadan o'tishda lotin o'z belgisini plyusni minusga o'zgartirsa, funktsiya shu nuqtada maksimalga ega bo'ladi. X 2 = 3 nuqtadan o'tganda, lotin o'z belgisini minusni plyusga o'zgartiradi, shuning uchun x 2 = 3 nuqtada funksiya minimal bo'ladi.Funktsiyaning qiymatlarini ballar bo'yicha hisoblash
x 1 = 2 va x 2 = 3, biz funktsiyani topamiz: maksimal f (2) = 14 va minimal f (3) = 13.

3.23 -misol. Tosh devori yonida to'rtburchaklar maydonni qurish kerak, shunda u uch tomondan panjara bilan o'ralgan, to'rtinchi tomoni esa devorga ulashgan. Buning uchun bor a yugurish metrlari. Sayt qaysi tomonlar nisbati bo'yicha eng katta maydonga ega bo'ladi?

Yechim. Biz saytning yon tomonlarini belgilaymiz x va y... Saytning maydoni S = xy. Bo'lsin y devorga ulashgan tomonning uzunligi. Shunda shart bilan 2x + y = a tenglik bajarilishi kerak. Shuning uchun, y = a - 2x va S = x (a - 2x), bu erda
0 ≤ x ≤ a / 2 (saytning uzunligi va kengligi manfiy bo'lishi mumkin emas). S "= a - 4x, a - 4x = 0 x = a / 4 uchun, qaerdan
y = a - 2 × a / 4 = a / 2. X = a / 4 yagona tanqidiy nuqta bo'lgani uchun, bu nuqtadan o'tishda lotin belgisi o'zgarishini tekshirib ko'raylik. Xa / 4 S "> 0 uchun va x> a / 4 S uchun"< 0, значит, в точке x=a/4 функция S имеет максимум. Значение функции S(a/4) = a/4(a - a/2) = a 2 /8 (кв. ед).Поскольку S непрерывна на и ее значения на концах S(0) и S(a/2) равны нулю, то найденное значение будет наибольшим значением функции. Таким образом, наиболее выгодным соотношением сторон площадки при данных условиях задачи является y = 2x.

3.24 -misol. Sig'imi V = 16p ≈ 50 m 3 bo'lgan yopiq silindrsimon idishni ishlab chiqarish talab qilinadi. Tankning o'lchamlari qanday bo'lishi kerak (radiusi R va balandligi H), shuning uchun uni tayyorlash uchun eng kam material ishlatilgan?

Yechim. Tsilindrning umumiy yuzasi S = 2pR (R + H). Biz tsilindrning hajmini bilamiz V = pR 2 H Þ H = V / pR 2 = 16p / pR 2 = 16 / R 2. Demak, S (R) = 2p (R 2 + 16 / R). Bu funksiyaning hosilasini toping:
S "(R) = 2p (2R- 16 / R 2) = 4p (R- 8 / R 2). S" (R) = 0 bo'lganda R 3 = 8, shuning uchun,
R = 2, H = 16/4 = 4.

Shunga o'xshash ma'lumotlar.

Funktsiyalarni o'rganishda va ularning grafiklarini tuzishda tayanch nuqtalar xarakterli nuqtalardir - uzilish nuqtalari, ekstremum, burilish, koordinata o'qlari bilan kesishish nuqtalari. Differentsial hisob yordamida funktsiyalardagi o'zgarishlarning xarakterli xususiyatlarini aniqlash mumkin: o'sish va pasayish, maksimal va minima, grafikning konvekslik va konkavlik yo'nalishi, asimptotalar mavjudligi.

Funktsiya grafigining eskizini asimptotalar va ekstremum nuqtalari topilgandan keyin chizish mumkin (va kerak) va o'rganish vaqtida funktsiyani o'rganish uchun aylanma jadvalni to'ldirish qulay.

Odatda, quyidagi funktsiyalarni o'rganish sxemasi ishlatiladi.

1.Funktsiyaning maydonini, uzluksizlik intervallarini va uzilish nuqtalarini toping.

2.Funktsiyani tenglik yoki g'aroyiblik uchun tekshiring (grafikning eksenel yoki markaziy simmetriyasi).

3.Asimptotalarni toping (vertikal, gorizontal yoki qiyalik).

4.Funktsiyaning o'sish va pasayish intervallarini, uning ekstremum nuqtalarini toping va o'rganing.

5.Egri chiziqning konvekslik va konkavlik intervallarini, uning burilish nuqtalarini toping.

6.Agar mavjud bo'lsa, egri chiziqning koordinata o'qlari bilan kesishish nuqtalarini toping.

7.Tadqiqotning qisqacha jadvalini tayyorlang.

8.Yuqoridagi nuqtalarda bajarilgan funktsiyani o'rganishni hisobga olgan holda grafik tuzing.

Misol. Funktsiyani o'rganish

va uning grafigini tuzing.

7. Funktsiyani o'rganishning qisqacha jadvalini tuzamiz, u erda biz barcha xarakterli nuqtalarni va ular orasidagi intervallarni kiritamiz. Funktsiyaning tengligini hisobga olib, biz quyidagi jadvalni olamiz:

				Jadvalning xususiyatlari
[-1, 0[			Borayotgan	Qavariq
				(0; 1) - maksimal ball
]0, 1[			Kamaydi	Qavariq
				Burilish nuqtasi, o'qi bilan shakllanadi Ho'kiz o'tkir burchak