Tenglamalar tizimini yechishning ikki turini tahlil qilamiz:

1. Tizimni almashtirish usuli bilan yechish.
2. Tizim tenglamalarini haddan-o'zga qo'shish (ayirish) yo'li bilan sistemani yechish.

Tenglamalar sistemasini yechish uchun almashtirish usuli Siz oddiy algoritmga amal qilishingiz kerak:
1. Biz ifodalaymiz. Har qanday tenglamadan biz bitta o'zgaruvchini ifodalaymiz.
2. O‘rinbosar. Biz boshqa tenglamada ifodalangan o'zgaruvchining o'rniga, natijada olingan qiymatni almashtiramiz.
3. Olingan tenglamani bitta o‘zgaruvchi bilan yechamiz. Biz tizimga yechim topamiz.

Yechish uchun Atama bo‘yicha qo‘shish (ayirish) tizimi zarur:
1. Biz bir xil koeffitsientlarni yaratadigan o'zgaruvchini tanlang.
2. Tenglamalarni qo'shamiz yoki ayitamiz, natijada bitta o'zgaruvchiga ega bo'lgan tenglamani olamiz.
3. Olingan chiziqli tenglamani yechamiz. Biz tizimga yechim topamiz.

Sistemaning yechimi funksiya grafiklarining kesishish nuqtalaridir.

Keling, misollar yordamida tizimlarning yechimini batafsil ko'rib chiqaylik.

1-misol:

Keling, almashtirish usuli bilan hal qilaylik

Tenglamalar tizimini almashtirish usuli bilan yechish

2x+5y=1 (1 tenglama)
x-10y=3 (2-tenglama)

1. Ekspress
Ko'rinib turibdiki, ikkinchi tenglamada koeffitsienti 1 bo'lgan x o'zgaruvchisi mavjud, shuning uchun ikkinchi tenglamadan x o'zgaruvchisini ifodalash eng oson ekanligi ma'lum bo'ladi.
x=3+10y

2. Ifoda qilgandan so'ng, birinchi tenglamada x o'zgaruvchisi o'rniga 3 + 10y ni qo'yamiz.
2(3+10y)+5y=1

3. Olingan tenglamani bitta o‘zgaruvchi bilan yechamiz.
2(3+10y)+5y=1 (ochiq qavslar)
6+20y+5y=1
25y=1-6
25y=-5 |: (25)
y=-5:25
y=-0,2

Tenglamalar sistemasining yechimi grafiklarning kesishish nuqtalaridir, shuning uchun biz x va y ni topishimiz kerak, chunki kesishish nuqtasi x va y dan iborat.X ni topamiz, biz ifodalagan birinchi xatboshida u erda y ni almashtiramiz.
x=3+10y
x=3+10*(-0,2)=1

Birinchi navbatda nuqtalarni yozish odat tusiga kirgan, biz x o'zgaruvchisini, ikkinchi o'ringa esa y o'zgaruvchisini yozamiz.
Javob: (1; -0,2)

2-misol:

Hujjatga qo‘shish (ayirish) yo‘li bilan yechamiz.

Tenglamalar sistemasini qo`shish usuli bilan yechish

3x-2y=1 (1 tenglama)
2x-3y=-10 (2-tenglama)

1. O‘zgaruvchini tanlang, deylik, x ni tanlaymiz. Birinchi tenglamada x o'zgaruvchisi 3 koeffitsientiga ega, ikkinchisida - 2. Biz koeffitsientlarni bir xil qilishimiz kerak, buning uchun biz tenglamalarni ko'paytirish yoki istalgan songa bo'lish huquqiga egamiz. Birinchi tenglamani 2 ga, ikkinchisini esa 3 ga ko'paytiramiz va umumiy koeffitsient 6 ga teng bo'ladi.

3x-2y=1 |*2
6x-4y=2

2x-3y=-10 |*3
6x-9y=-30

2. Birinchi tenglamadan ikkinchisini ayirib, x o‘zgaruvchidan qutuling.Chiziqli tenglamani yeching.
__6x-4y=2

5y=32 | : besh
y=6,4

3. X ni toping. Topilgan y ni istalgan tenglamada almashtiramiz, deylik, birinchi tenglamada.
3x-2y=1
3x-2*6,4=1
3x-12,8=1
3x=1+12,8
3x=13,8 |:3
x=4,6

Kesishish nuqtasi x=4,6 bo'ladi; y=6,4
Javob: (4,6; 6,4)

Imtihonlarga tekin tayyorlanmoqchimisiz? Repetitor onlayn bepul. Bexazil.

Mavzu bo'yicha dars: "Chiziqli tenglamalar tizimini echishda almashtirish usuli"

Qo'shimcha materiallar
Hurmatli foydalanuvchilar, o'z mulohazalaringizni, fikr-mulohazalaringizni, takliflaringizni qoldirishni unutmang. Barcha materiallar antivirus dasturi tomonidan tekshiriladi.

7-sinf uchun "Integral" onlayn-do'konida o'quv qo'llanmalari va simulyatorlar
Elektron qo'llanma "Yil uchun besh. Geometriyadan ekspress kurs. 7-9 sinflar"
1C: "7-10-sinflar uchun interfaol qurilish vazifalari"

Tenglamalar tizimi nima?

Tenglamalar tizimi ikki chiziqli tenglama bo'lib, ular uchun ikkala tenglamani qanoatlantiradigan juft sonlar mavjud. Tenglamalar tizimi quyidagicha yoziladi:
$\begin(holatlar)a_1x + b_1y +c = 0\\a_2x +b_2y +c = 0\end(holatlar)$

Tenglamalar tizimini yechish deganda har ikkala tenglama haqiqiy tenglikka aylanadigan x va y sonlarini topish yoki bu tenglamalar sistemasi uchun yechim yo'qligini aniqlash tushuniladi.

Agar siz tizimning har bir tenglamasi uchun grafik tuzsangiz, ushbu juft raqamlarni grafik tarzda o'rnatishingiz mumkin. Tizimning yechimi bu grafiklarning kesishish nuqtasi bo'ladi.

Bu usul juda qulay emas, chunki grafik chizishni talab qiladi.

O'zgartirish usuli

Chiziqli tenglamalar tizimini yechishning yana bir usuli almashtirish usulidir.

Misol.
Ayirmasi 12 va yig‘indisi 36 ga teng bo‘lgan ikkita sonni toping.

Yechim.
Topilishi kerak bo'lgan sonlarni x va y bilan belgilaymiz va chiziqli tenglamalar tizimini tuzamiz.
$\begin(holatlar)x - y = 12\\x + y = 36\end(holatlar)$

Birinchi tenglamani y = x - 12, ikkinchi tenglamani y = 36 - x shaklida ifodalaymiz.

Keyin tenglamalar tizimini $\begin(cases)y = x - 12\\y = 36 - x\end(cases)$ shaklida yozish mumkin.
Keling, ikkala tenglamani birlashtiramiz.
x - 12 = 36 - x
2x = 48
x=24
Keyin, y = 12.

Javob: x = 24, y = 12.

Biz tenglamalar tizimining yechimi bo'lgan juft raqamlarni chizmasdan oldik.

Keling, yozamiz ikki o‘zgaruvchili tenglamalar tizimini almashtirish usuli yordamida yechish algoritmi:
1. Sistemaning birinchi tenglamasida y ni x bilan ifodalaymiz.
2. Ikkinchi tenglamada y o‘rniga birinchi qadamda olgan ifodani almashtiramiz.
3. Ikkinchi tenglamani yechib, x ni topamiz.
4. X ning topilgan qiymatini sistemaning birinchi tenglamasiga almashtiramiz.
5. Javobni juft sonlar (x, y) shaklida yozing.

Tenglamalar tizimini almashtirish usuli bilan yechish

Tenglamalar tizimi nima ekanligini eslang.

Ikki o'zgaruvchiga ega bo'lgan ikkita tenglamalar tizimi bir-birining ostiga yozilgan, jingalak qavs bilan birlashtirilgan ikkita tenglamadir. Tizimni yechish deganda bir vaqtning o'zida birinchi va ikkinchi tenglamalarning yechimi bo'ladigan raqamlar juftligini topish tushuniladi.

Ushbu darsda biz almashtirish usuli kabi tizimlarni yechish usuli bilan tanishamiz.

Keling, tenglamalar tizimini ko'rib chiqaylik:

Ushbu tizimni grafik tarzda hal qilishingiz mumkin. Buning uchun biz har bir tenglamaning grafiklarini bitta koordinata tizimida qurishimiz kerak, ularni quyidagi shaklga aylantiramiz:

Keyin sistemaning yechimi bo'ladigan grafiklarning kesishish nuqtasining koordinatalarini toping. Ammo grafik usul har doim ham qulay emas, chunki. past aniqligi va hatto umuman kirish mumkin emasligi bilan farqlanadi. Keling, tizimimizni batafsil ko'rib chiqaylik. Endi shunday ko'rinadi:

Ko'rinib turibdiki, tenglamalarning chap tomonlari teng, ya'ni o'ng tomonlari ham teng bo'lishi kerak. Keyin tenglamani olamiz:

Bu biz qanday echishni biladigan tanish bir o'zgaruvchili tenglama. Noma'lum shartlarni chap tomonga, ma'lumlarini esa o'ngga o'tkazamiz, ko'chirishda +, - belgilarini o'zgartirishni unutmang. Biz olamiz:

Endi x ning topilgan qiymatini sistemaning istalgan tenglamasiga almashtiramiz va y ning qiymatini topamiz. Bizning tizimimizda y \u003d 3 - x ikkinchi tenglamadan foydalanish qulayroq, almashtirishdan keyin biz y \u003d 2 ni olamiz. Endi bajarilgan ishni tahlil qilaylik. Birinchidan, birinchi tenglamada biz y o'zgaruvchini x o'zgaruvchisi bilan ifodaladik. Keyin hosil bo'lgan ifoda - 2x + 4 ikkinchi tenglamaga y o'zgaruvchisi o'rniga almashtirildi. Keyin hosil bo'lgan tenglamani bitta x o'zgaruvchisi bilan yechib, uning qiymatini topdik. Xulosa qilib aytganda, biz boshqa y o'zgaruvchisini topish uchun x ning topilgan qiymatidan foydalandik. Shu o'rinda savol tug'iladi: y o'zgaruvchini ikkala tenglamadan birdaniga ifodalash kerakmidi? Albatta yo'q. Biz bir o'zgaruvchini boshqasi bilan faqat tizimning bir tenglamasida ifodalashimiz va ikkinchisida mos keladigan o'zgaruvchi o'rniga undan foydalanishimiz mumkin edi. Bundan tashqari, har qanday tenglamadan har qanday o'zgaruvchini ifodalash mumkin. Bu erda tanlov faqat hisobning qulayligiga bog'liq. Matematiklar bu protsedurani ikki o'zgaruvchili ikkita tenglamalar tizimini almashtirish usuli yordamida echish algoritmi deb atashgan.Mana bu qanday ko'rinishga ega.

1. Tizim tenglamalaridan birida o‘zgaruvchilardan birini ikkinchisi bilan ifodalang.

2. Tizimning boshqa tenglamasidagi mos o‘zgaruvchi o‘rniga olingan ifodani qo‘ying.

3. Bitta o‘zgaruvchili hosil bo‘lgan tenglamani yeching.

4. O‘zgaruvchining topilgan qiymatini birinchi xatboshida olingan ifodaga almashtiring va boshqa o‘zgaruvchining qiymatini toping.

5. Javobni uchinchi va to‘rtinchi bosqichlarda topilgan raqamlar juftligi shaklida yozing.

Keling, yana bir misolni ko'rib chiqaylik. Tenglamalar tizimini yeching:

Bu erda y o'zgaruvchini birinchi tenglamadan ifodalash qulayroqdir. Biz y \u003d 8 - 2x ni olamiz. Olingan ifoda ikkinchi tenglamada y ga almashtirilishi kerak. Biz olamiz:

Bu tenglamani alohida yozamiz va uni yechamiz. Keling, avval qavslarni ochamiz. Biz 3x - 16 + 4x \u003d 5 tenglamani olamiz. Keling, tenglamaning chap tomonida noma'lum, o'ng tomonida esa ma'lum bo'lganlarni to'playmiz va shunga o'xshash shartlarni beramiz. Biz 7x \u003d 21 tenglamani olamiz, shuning uchun x \u003d 3.

Endi, topilgan x qiymatidan foydalanib, siz quyidagilarni topishingiz mumkin:

Javob: bir juft raqamlar (3; 2).

Shunday qilib, biz ushbu darsda ikkita noma'lumli tenglamalar tizimini shubhali grafik usullarga murojaat qilmasdan, analitik, aniq usulda echishni o'rgandik.

Foydalanilgan adabiyotlar roʻyxati:

1. Mordkovich A.G., Algebra 7-sinf 2 qismdan, 1-qism, Ta'lim muassasalari uchun darslik / A.G. Mordkovich. - 10-nashr, qayta ko'rib chiqilgan - Moskva, "Mnemosyne", 2007 yil.
2. Mordkovich A.G., Algebra 7-sinf 2 qism, 2-qism, Ta'lim muassasalari uchun topshiriqlar kitobi / [A.G. Mordkovich va boshqalar]; tomonidan tahrirlangan A.G. Mordkovich - 10-nashr, qayta ko'rib chiqilgan - Moskva, Mnemosyne, 2007 yil.
3. U. Tulchinskaya, Algebra 7-sinf. Blits so'rovi: ta'lim muassasalari talabalari uchun qo'llanma, 4-nashr, qayta ko'rib chiqilgan va to'ldirilgan, Moskva, Mnemozina, 2008 yil.
4. Aleksandrova L.A., Algebra 7-sinf. Ta'lim muassasalari talabalari uchun yangi shakldagi tematik test ishlari, tahririyati A.G. Mordkovich, Moskva, "Mnemosyne", 2011 yil.
5. Aleksandrova L.A. Algebra 7-sinf. Ta'lim muassasalari talabalari uchun mustaqil ish, tahririyati A.G. Mordkovich - 6-nashr, stereotipik, Moskva, "Mnemosyne", 2010 yil.

Ikkita noma’lum chiziqli tenglamalar tizimi ikki yoki undan ortiq chiziqli tenglamalar bo‘lib, ular uchun barcha umumiy yechimlarni topish zarur. Ikki noma'lumli ikkita chiziqli tenglamalar tizimini ko'rib chiqamiz. Ikki noma'lumli ikkita chiziqli tenglamalar tizimining umumiy ko'rinishi quyidagi rasmda ko'rsatilgan:

(a1*x + b1*y = c1,
(a2*x + b2*y = c2

Bu erda x va y noma'lum o'zgaruvchilar, a1, a2, b1, b2, c1, c2 - ba'zi haqiqiy sonlar. Ikki noma’lumli ikkita chiziqli tenglamalar sistemasining yechimi shunday juft sonlar (x, y) bo‘lib, agar bu raqamlar sistema tenglamalariga almashtirilsa, sistemaning har bir tenglamasi haqiqiy tenglikka aylanadi. Chiziqli tenglamalar tizimini yechish usullaridan birini, ya'ni almashtirish usulini ko'rib chiqing.

O'zgartirish usuli bilan echish algoritmi

Chiziqli tenglamalar tizimini almashtirish usuli bilan yechish algoritmi:

1. Bitta tenglamani tanlang (raqamlar kichikroq bo'lganini tanlash yaxshidir) va undan bir o'zgaruvchini boshqasi orqali ifodalang, masalan, x dan y gacha. (siz y dan x gacha ham mumkin).

2. Boshqa tenglamadagi mos o‘zgaruvchi o‘rniga olingan ifodani qo‘ying. Shunday qilib, biz bitta noma'lum chiziqli tenglamani olamiz.

3. Olingan chiziqli tenglamani yechib, yechimini olamiz.

4. Olingan eritmani birinchi xatboshida olingan ifodaga almashtiramiz, eritmadan ikkinchi noma'lumni olamiz.

5. Olingan yechimni tekshiring.

Misol

Buni aniqroq qilish uchun kichik bir misolni hal qilaylik.

1-misol Tenglamalar tizimini yeching:

(x+2*y=12
(2*x-3*y=-18

Yechim:

1. Bu sistemaning birinchi tenglamasidan x o'zgaruvchini ifodalaymiz. Bizda x= (12 -2*y);

2. Bu ifodani ikkinchi tenglamaga almashtiring, 2*x-3*y=-18 ni olamiz; 2*(12 -2*y) - 3*y = -18; 24 - 4y - 3*y = -18;

3. Olingan chiziqli tenglamani yechamiz: 24 - 4y - 3*y = -18; 24-7*y=-18; -7*y = -42; y=6;

4. Olingan natijani birinchi xatboshida olingan ifodaga almashtiramiz. x= (12 -2*y); x=12-2*6 = 0; x=0;

5. Olingan yechimni tekshiramiz, buning uchun biz dastlabki tizimda topilgan raqamlarni almashtiramiz.

(x+2*y=12;
(2*x-3*y=-18;

{0+2*6 =12;
{2*0-3*6=-18;

{12 =12;
{-18=-18;

Biz to'g'ri tenglikni oldik, shuning uchun biz yechimni to'g'ri topdik.

1. O'zgartirish usuli: sistemaning istalgan tenglamasidan bir noma’lumni boshqasi orqali ifodalaymiz va uni sistemaning ikkinchi tenglamasiga almashtiramiz.

Vazifa. Tenglamalar tizimini yeching:

Yechim. Tizimning birinchi tenglamasidan biz ifodalaymiz da bo'ylab X va tizimning ikkinchi tenglamasiga almashtiring. Keling, tizimni olamiz asl nusxaga teng.

Bunday shartlar kiritilgandan so'ng, tizim quyidagi shaklga ega bo'ladi:

Ikkinchi tenglamadan biz topamiz: . Ushbu qiymatni tenglamaga almashtirish da = 2 - 2X, olamiz da= 3. Demak, bu sistemaning yechimi sonlar juftligi .

2. Algebraik qo'shish usuli: ikkita tenglamani qo'shib, bitta o'zgaruvchili tenglamani oling.

Vazifa. Tizim tenglamasini yeching:

Yechim. Ikkinchi tenglamaning ikkala tomonini 2 ga ko'paytirsak, biz tizimni olamiz asl nusxaga teng. Ushbu tizimning ikkita tenglamasini qo'shib, biz tizimga kelamiz

Shu kabi atamalarni qisqartirgandan so'ng, ushbu tizim quyidagi shaklni oladi: Ikkinchi tenglamadan biz topamiz. Ushbu qiymatni 3- tenglamaga almashtirish X + 4da= 5, biz olamiz , qayerda. Shuning uchun, bu tizimning yechimi raqamlar juftligi .

3. Yangi o'zgaruvchilarni kiritish usuli: biz tizimda ba'zi takrorlanuvchi ifodalarni qidirmoqdamiz, ularni yangi o'zgaruvchilar bilan belgilaymiz va shu bilan tizim shaklini soddalashtiramiz.

Vazifa. Tenglamalar tizimini yeching:

Yechim. Keling, ushbu tizimni boshqacha yozamiz:

Bo'lsin x + y = u, hu = v. Keyin biz tizimni olamiz

Keling, uni almashtirish usuli bilan hal qilaylik. Tizimning birinchi tenglamasidan biz ifodalaymiz u bo'ylab v va tizimning ikkinchi tenglamasiga almashtiring. Keling, tizimni olamiz bular.

Tizimning ikkinchi tenglamasidan biz topamiz v 1 = 2, v 2 = 3.

Ushbu qiymatlarni tenglamaga almashtirish u = 5 - v, olamiz u 1 = 3,
u 2 = 2. Keyin bizda ikkita tizim mavjud

Birinchi tizimni yechishda biz ikkita juft sonni olamiz (1; 2), (2; 1). Ikkinchi tizimda hech qanday yechim yo'q.

Mustaqil ishlash uchun mashqlar

1. Tenglamalar sistemasini almashtirish usuli yordamida yeching.