Hisob-kitoblarning qulayligi uchun oddiy kasrni o'nli kasrga va aksincha aylantirish kerak bo'ladi. Buni qanday qilish haqida ushbu maqolada gaplashamiz. Biz oddiy kasrlarni o'nli kasrlarga va aksincha o'tkazish qoidalarini tahlil qilamiz, shuningdek, misollar keltiramiz.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Biz ma'lum bir ketma-ketlikka rioya qilgan holda oddiy kasrlarni o'nli kasrlarga aylantirishni ko'rib chiqamiz. Birinchidan, maxraji 10 ga karrali bo‘lgan oddiy kasrlar qanday qilib o‘nli kasrlarga aylantirilishini ko‘rib chiqaylik: 10, 100, 1000 va hokazo. Bunday maxrajli kasrlar, aslida, o‘nli kasrlarni yozish ancha og‘irroqdir.

Keyinchalik, oddiy kasrlarni 10 ga karrali emas, balki har qanday maxrajli o'nli kasrlarga qanday aylantirishni ko'rib chiqamiz. E'tibor bering, oddiy kasrlarni o'nli kasrlarga o'tkazishda nafaqat oxirgi o'nli kasrlar, balki cheksiz davriy kasrlar ham olinadi.

Qani boshladik!

10, 100, 1000 va hokazo maxrajli oddiy kasrlarni tarjima qilish. o'nli kasrlarga

Avvalo, aytaylik, ba'zi kasrlarni o'nlik shaklga o'tkazishdan oldin biroz tayyorgarlik kerak. Nima u? Numeratordagi sondan oldin shunchalik ko'p nol qo'shish kerak, shunda hisoblagichdagi raqamlar soni maxrajdagi nollar soniga teng bo'ladi. Masalan, 3100 kasr uchun hisoblagichdagi 3 ning chap tomoniga 0 raqami bir marta qo'shilishi kerak. Fraksiya 610, yuqoridagi qoidaga ko'ra, yaxshilash kerak emas.

Yana bir misolni ko'rib chiqing, shundan so'ng biz birinchi navbatda foydalanish uchun qulay bo'lgan qoidani shakllantiramiz, lekin kasrlarni qayta ishlashda unchalik ko'p tajriba yo'q. Shunday qilib, hisoblagichga nollarni qo'shgandan keyin 1610000 kasr 001510000 kabi ko'rinadi.

Maxraji 10, 100, 1000 va hokazo bo'lgan oddiy kasrni qanday tarjima qilish kerak. kasrga?

Oddiy to'g'ri kasrlarni o'nli kasrlarga o'tkazish qoidasi

1. 0 yozing va undan keyin vergul qo'ying.
2. Biz nollarni qo'shgandan keyin paydo bo'lgan raqamni hisoblagichdan yozamiz.

Endi misollarga o'tamiz.

1-misol. Oddiy kasrlarni o'nli kasrlarga o'tkazish

39100 oddiy kasrni kasrga aylantiring.

Birinchidan, biz kasrga qaraymiz va hech qanday tayyorgarlik harakatlariga ehtiyoj yo'qligini ko'ramiz - hisoblagichdagi raqamlar soni maxrajdagi nollar soniga mos keladi.

Qoidaga rioya qilgan holda, 0 ni yozing, undan keyin kasr nuqtasini qo'ying va raqamdan raqamni yozing. Biz 0, 39 o'nlik kasrni olamiz.

Keling, ushbu mavzu bo'yicha yana bir misolning yechimini tahlil qilaylik.

2-misol. Oddiy kasrlarni o`nli kasrlarga o`tkazish

105 10000000 kasrni o'nli kasr shaklida yozamiz.

Maxrajdagi nollar soni 7 ta, hisoblagich esa faqat uchta raqamdan iborat. Numeratordagi raqam oldiga yana 4 ta nol qo'shamiz:

0000105 10000000

Endi biz 0 ni yozamiz, undan keyin kasr nuqtasini qo'yamiz va raqamdan raqamni yozamiz. Biz o'nlik kasrni olamiz 0 , 0000105 .

Barcha misollarda ko'rib chiqilgan kasrlar oddiy to'g'ri kasrlardir. Ammo noto'g'ri umumiy kasrni o'nli kasrga qanday aylantirish mumkin? Darhol aytaylik, bunday kasrlar uchun nol qo'shib tayyorgarlik ko'rishning hojati yo'q. Keling, qoida tuzamiz.

Oddiy noto'g'ri kasrlarni o'nli kasrlarga o'tkazish qoidasi

1. Numeratorda bo'lgan raqamni yozamiz.
2. O'nli kasr bilan biz o'ng tomonda dastlabki oddiy kasrning maxrajida nol bo'lsa, shuncha sonni ajratamiz.

Quyida ushbu qoidadan foydalanish misoli keltirilgan.

3-misol. Oddiy kasrlarni o'nli kasrlarga o'tkazish

56888038009 100000 kasrni oddiy tartibsizlikdan o'nli kasrga aylantiramiz.

Birinchidan, raqamdan raqamni yozing:

Endi o'ng tomonda biz beshta raqamni kasrli nuqta bilan ajratamiz (maxrajdagi nollar soni beshta). Biz olamiz:

Tabiiy ravishda paydo bo'ladigan navbatdagi savol, agar aralash sonni kasr qismining maxraji 10, 100, 1000 va boshqalar bo'lsa, uni qanday qilib o'nli kasrga aylantirish kerak. Bunday sonni o'nli kasrga aylantirish uchun siz quyidagi qoidadan foydalanishingiz mumkin.

Aralash sonlarni o'nli kasrlarga o'tkazish qoidasi

1. Agar kerak bo'lsa, sonning kasr qismini tayyorlaymiz.
2. Biz asl sonning butun qismini yozamiz va undan keyin vergul qo'yamiz.
3. Biz qo'shilgan nollar bilan birga kasr qismining sonidan raqamni yozamiz.

Keling, bir misolni ko'rib chiqaylik.

4-misol. Aralash sonlarni o`nli kasrlarga aylantirish

23 17 10000 aralash sonini kasrga aylantiring.

Kasr qismida bizda 17 10000 ifodasi mavjud. Keling, uni tayyorlaymiz va hisoblagichning chap tomoniga yana ikkita nol qo'shamiz. Biz olamiz: 0017 10000 .

Endi sonning butun qismini yozamiz va undan keyin vergul qo'yamiz: 23,. .

Verguldan keyin raqamni nol bilan birga yozamiz. Biz natijaga erishamiz:

23 17 10000 = 23 , 0017

Oddiy kasrlarni chekli va cheksiz davriy kasrlarga aylantirish

Albatta, siz o'nli kasrlarga va maxraji 10, 100, 1000 va boshqalarga teng bo'lmagan oddiy kasrlarga o'tkazishingiz mumkin.

Ko'pincha kasrni osongina yangi maxrajga qisqartirish mumkin va keyin ushbu maqolaning birinchi xatboshida ko'rsatilgan qoidadan foydalaning. Misol uchun, 25 kasrning payini va maxrajini 2 ga ko'paytirish kifoya va biz 410 kasrni olamiz, bu kasr 0,4 ga osonlikcha kamayadi.

Biroq, oddiy kasrni o'nli kasrga aylantirishning bu usuli har doim ham qo'llanilmaydi. Quyida ko'rib chiqilgan usulni qo'llashning iloji bo'lmasa, nima qilish kerakligini ko'rib chiqamiz.

Oddiy kasrni o'nli kasrga aylantirishning tubdan yangi usuli bu hisobni maxrajga ustunga bo'lishdir. Ushbu operatsiya natural sonlarni ustunga bo'lishga juda o'xshaydi, lekin o'ziga xos xususiyatlarga ega.

Bo'lishda hisoblagich o'nli kasr sifatida ifodalanadi - vergul sonning oxirgi raqamining o'ng tomoniga qo'yiladi va nollar qo'shiladi. Olingan qismda, hisoblagichning butun qismining bo'linishi tugagach, o'nli nuqta qo'yiladi. Ushbu usul qanday ishlashi misollarni ko'rib chiqqandan keyin aniq bo'ladi.

5-misol. Oddiy kasrlarni o'nli kasrlarga o'tkazish

621 4 oddiy kasrni o'nlik kasrga o'tkazamiz.

O'nli kasrdan keyin bir necha nol qo'shib, 621 raqamini o'nli kasr sifatida ko'rsatamiz. 621 = 621 00

Endi biz 621, 00 ustunini 4 ga bo'lamiz. Dastlabki uchta bo'linish bosqichi natural sonlarni bo'lish bilan bir xil bo'ladi va biz olamiz.

Dividendda o'nli kasrga kelganimizda va qolgan qismi nolga teng bo'lsa, biz kasrni bo'limga qo'yamiz va dividenddagi vergulga e'tibor bermay, bo'lishda davom etamiz.

Natijada, biz o'nli kasrni olamiz 155 , 25 , bu oddiy kasrning 621 4 inversiyasi natijasidir.

621 4 = 155 , 25

Materialni tuzatish uchun boshqa misolni hal qilishni ko'rib chiqing.

Misol 6. Oddiy kasrlarni o'nli kasrlarga o'tkazish

21 800 oddiy kasrni teskari aylantiramiz.

Buning uchun 21 000 kasrni 800 ga bo'linib, ustunga bo'ling. Butun qismning bo'linishi birinchi bosqichda tugaydi, shuning uchun darhol biz qismga kasrni qo'yamiz va qolgan qism nolga teng bo'lgunga qadar dividenddagi vergulni e'tiborsiz qoldirib, bo'linishni davom ettiramiz.

Natijada, biz oldik: 21 800 = 0. 02625 .

Ammo, agar bo'lish paytida biz hech qachon 0 qoldig'iga ega bo'lmasak-chi. Bunday hollarda bo'linishni cheksiz davom ettirish mumkin. Biroq, ma'lum bir qadamdan boshlab, qoldiqlar vaqti-vaqti bilan takrorlanadi. Shunga ko'ra, qismdagi raqamlar ham takrorlanadi. Bu oddiy kasr o'nlik cheksiz davriy kasrga aylantirilganligini anglatadi. Keling, aytilganlarni misol bilan tushuntirib beraylik.

7-misol. Oddiy kasrlarni o'nli kasrlarga o'tkazish

1944 yilgi oddiy kasrni o'nli kasrga aylantiramiz. Buning uchun biz ustunga bo'linishni amalga oshiramiz.

Ko'ramiz, bo'lishda 8 va 36 qoldiqlari takrorlanadi. Shu bilan birga, 1 va 8 raqamlari bo'lakda takrorlanadi. Bu o'nlik davr. Yozishda bu raqamlar qavs ichida olinadi.

Shunday qilib, asl oddiy kasr cheksiz davriy o'nli kasrga aylantiriladi.

19 44 = 0 , 43 (18) .

Qaytib bo'lmaydigan oddiy kasrga ega bo'lsin. U qanday shaklda bo'ladi? Qaysi oddiy kasrlar chekli o‘nli kasrlarga, qaysilari esa cheksiz davriy kasrlarga aylantiriladi?

Birinchidan, aytaylik, agar kasrni 10, 100, 1000 dan biriga qisqartirish mumkin bo'lsa, u holda u oxirgi o'nli kasrga o'xshaydi. Kasrni shu maxrajlardan biriga kamaytirilishi uchun uning maxraji 10, 100, 1000 va hokazo sonlarning kamida bittasiga boʻluvchi boʻlishi kerak. Raqamlarni tub omillarga ajratish qoidalaridan kelib chiqadiki, sonlarning bo'luvchisi 10, 100, 1000 va boshqalar. tub omillarga ajratilganda faqat 2 va 5 raqamlarini o'z ichiga olishi kerak.

Keling, aytilganlarni umumlashtiramiz:

1. Oddiy kasr, agar uning maxrajini 2 va 5 ning tub ko'paytmalariga ajratish mumkin bo'lsa, uni yakuniy o'nli kasr ko'rinishiga keltirish mumkin.
2. Agar maxrajning kengayishida 2 va 5 raqamlaridan tashqari boshqa tub sonlar bo'lsa, kasr cheksiz davriy o'nli kasr ko'rinishiga keltiriladi.

Keling, bir misol keltiraylik.

Misol 8. Oddiy kasrlarni o'nli kasrlarga o'tkazish

Berilgan 47 20, 7 12, 21 56, 31 17 kasrlarning qaysi biri oxirgi oʻnli kasrga, qaysi biri faqat davriy kasrga aylantiriladi. Bu savolga oddiy kasrni to'g'ridan-to'g'ri o'nli kasrga aylantirmasdan javob beramiz.

47 20 kasr, siz osongina ko'rib turganingizdek, pay va maxrajni 5 ga ko'paytirish orqali yangi maxraj 100 ga kamayadi.

4720 = 235100. Bundan xulosa qilamizki, bu kasr yakuniy o'nli kasrga aylantiriladi.

7 12 kasrning maxrajini koeffitsientga ajratish 12 = 2 2 3 ni beradi. Oddiy koeffitsient 3 2 va 5 dan farq qilganligi sababli, bu kasrni chekli o'nli kasr sifatida ifodalash mumkin emas, lekin cheksiz davriy kasr shakliga ega bo'ladi.

21 56 kasr, birinchi navbatda, siz kamaytirishingiz kerak. 7 ga kamaytirilgandan so'ng biz kamaytirilmaydigan kasrni olamiz 3 8 , uning maxrajining omillarga kengayishi 8 = 2 · 2 · 2 ni beradi. Shuning uchun u tugallanuvchi o'nlikdir.

31 17 kasrda maxrajni koeffitsientga ajratish tub son 17 ning o'zi bo'ladi. Shunga ko'ra, bu kasr cheksiz davriy o'nli kasrga aylantirilishi mumkin.

Oddiy kasrni cheksiz va takrorlanmaydigan o'nli kasrga aylantirib bo'lmaydi

Yuqorida biz faqat chekli va cheksiz davriy kasrlar haqida gapirdik. Lekin har qanday oddiy kasrni cheksiz davriy bo'lmagan kasrga aylantirish mumkinmi?

Biz javob beramiz: yo'q!

Muhim!

Cheksiz kasrni o'nli kasrga aylantirganda, siz chekli o'nli kasr yoki cheksiz davriy kasrni olasiz.

Bo'linishning qolgan qismi har doim bo'linuvchidan kichik bo'ladi. Boshqacha qilib aytganda, bo'linish teoremasiga ko'ra, agar biron bir natural sonni q soniga bo'lsak, u holda bo'linishning qolgan qismi har qanday holatda q-1 dan katta bo'lishi mumkin emas. Bo'linish tugagandan so'ng, quyidagi vaziyatlardan biri mumkin:

1. Biz 0 ning qoldig'ini olamiz va bu erda bo'linish tugaydi.
2. Biz qoldiqni olamiz, bu keyingi bo'linish paytida takrorlanadi, natijada biz cheksiz davriy kasrga ega bo'lamiz.

Oddiy kasrni o'nli kasrga o'tkazishda boshqa variantlar bo'lishi mumkin emas. Yana aytaylik, cheksiz davriy kasrdagi davr uzunligi (raqamlar soni) har doim mos keladigan oddiy kasrning maxrajidagi raqamlar sonidan kichik bo'ladi.

O'nli kasrlarni oddiy kasrlarga o'tkazish

Endi o'nlik kasrni oddiy kasrga aylantirishning teskari jarayonini ko'rib chiqish vaqti keldi. Keling, uchta bosqichni o'z ichiga olgan tarjima qoidasini tuzamiz. O'nli kasrni oddiy kasrga qanday o'tkazish mumkin?

O'nli kasrlarni oddiy kasrlarga o'tkazish qoidasi

1. Numeratorda biz vergulni va chapdagi barcha nollarni, agar mavjud bo'lsa, tashlab, asl o'nlik kasrdan raqamni yozamiz.
2. Maxrajda biz bitta va undan keyin o'nli kasrdan keyin dastlabki o'nlik kasrda qancha raqam bo'lsa, shuncha nol yozamiz.
3. Agar kerak bo'lsa, olingan oddiy fraktsiyani kamaytiring.

Ushbu qoidaning qo'llanilishini misollar bilan ko'rib chiqing.

8-misol. O‘nli kasrlarni oddiy kasrlarga o‘tkazish

3, 025 sonini oddiy kasr sifatida ifodalaylik.

1. Numeratorda biz vergulni tashlab, o'nli kasrning o'zini yozamiz: 3025.
2. Maxrajga biz bitta, undan keyin esa uchta nol yozamiz - o'nli kasrdan keyin asl kasrda qancha raqam bor: 3025 1000.
3. Olingan kasr 3025 1000 ni 25 ga kamaytirish mumkin, natijada biz olamiz: 3025 1000 = 121 40 .

9-misol. O’nli kasrlarni oddiy kasrlarga o’tkazish

0, 0017 kasrni o'nlik kasrdan oddiy kasrga aylantiramiz.

1. Numeratorda biz chap tomonda vergul va nollarni tashlab, 0, 0017 kasrni yozamiz. 17 ni oling.
2. Biz maxrajga bitta yozamiz va undan keyin to'rtta nol yozamiz: 17 10000. Bu fraktsiya kamaytirilmaydi.

Agar o'nli kasrda butun son bo'lsa, unda bunday kasr darhol aralash songa aylantirilishi mumkin. Buni qanday qilish kerak?

Keling, yana bir qoidani tuzamiz.

O'nli kasrlarni aralash sonlarga o'tkazish qoidasi.

1. O'nli kasrgacha bo'lgan son aralash sonning butun qismi sifatida yoziladi.
2. Numeratorda, agar mavjud bo'lsa, chapdagi nollarni tashlab, kasrdan keyin kasrdagi sonni yozamiz.
3. Kasr qismining maxrajiga o'nli kasrdan keyin kasr qismida qancha raqam bo'lsa, bitta va shuncha nol qo'shamiz.

Keling, bir misolni ko'rib chiqaylik

10-misol: O‘nlik sonni aralash songa aylantirish

155, 06005 kasrni aralash son sifatida ifodalaylik.

1. 155 raqamini butun qism sifatida yozamiz.
2. Numeratorda biz noldan voz kechib, kasrdan keyin raqamlarni yozamiz.
3. Maxrajda biz bitta va beshta nol yozamiz

Aralash sonni o'rgatish: 155 6005 100000

Kasr qismini 5 ga kamaytirish mumkin. Biz qisqartiramiz va yakuniy natijaga erishamiz:

155 , 06005 = 155 1201 20000

Cheksiz takrorlanuvchi o'nlik kasrlarni oddiy kasrlarga aylantirish

Davriy o‘nli kasrlarni oddiy kasrlarga o‘tkazish misollarini ko‘rib chiqamiz. Boshlashdan oldin, keling, aniqlik kiritamiz: har qanday davriy o'nli kasr oddiy kasrga aylantirilishi mumkin.

Eng oddiy holat shundaki, kasr davri nolga teng. Nol davriga ega bo'lgan davriy kasr chekli o'nli kasr bilan almashtiriladi va bunday kasrni o'zgartirish jarayoni yakuniy o'nli kasrni invertatsiya qilishgacha qisqartiriladi.

11-misol. Davriy o‘nli kasrni oddiy kasrga o‘tkazish

Davriy kasr 3, 75 (0) ni o'zgartiramiz.

O'ngdagi nollarni tashlab, biz oxirgi o'nlik kasr 3, 75 ni olamiz.

Oldingi paragraflarda muhokama qilingan algoritmga muvofiq ushbu kasrni oddiy kasrga aylantirib, biz quyidagilarni olamiz:

3 , 75 (0) = 3 , 75 = 375 100 = 15 4 .

Agar kasr davri nolga teng bo'lmasa-chi? Davriy qismni geometrik progressiyaning kamayib borayotgan a'zolari yig'indisi deb hisoblash kerak. Buni misol bilan tushuntiramiz:

0 , (74) = 0 , 74 + 0 , 0074 + 0 , 000074 + 0 , 00000074 + . .

Cheksiz kamayuvchi geometrik progressiya hadlari yig'indisi formulasi mavjud. Progressiyaning birinchi hadi b bo'lsa va q ning maxraji 0 ga teng bo'lsa< q < 1 , то сумма равна b 1 - q .

Keling, ushbu formuladan foydalangan holda bir nechta misollarni ko'rib chiqaylik.

12-misol. Davriy o‘nlik kasrni oddiy kasrga o‘tkazish

Aytaylik, bizda 0, (8) davriy kasr bor va biz uni oddiy kasrga aylantirishimiz kerak.

0 , (8) = 0 , 8 + 0 , 08 + 0 , 008 + . .

Bu erda biz birinchi had 0, 8 va maxraj 0, 1 bo'lgan cheksiz kamayuvchi geometrik progressiyaga egamiz.

Keling, formulani qo'llaymiz:

0 , (8) = 0 , 8 + 0 , 08 + 0 , 008 + . . = 0 , 8 1 - 0 , 1 = 0 , 8 0 , 9 = 8 9

Bu kerakli oddiy kasr.

Materialni birlashtirish uchun boshqa misolni ko'rib chiqing.

13-misol. Davriy kasrni oddiy kasrga aylantirish

0 , 43 (18) kasrni o'zgartiring.

Birinchidan, kasrni cheksiz yig'indi sifatida yozamiz:

0 , 43 (18) = 0 , 43 + (0 , 0018 + 0 , 000018 + 0 , 00000018 . .)

Qavs ichidagi shartlarni ko'rib chiqing. Ushbu geometrik progressiyani quyidagicha ifodalash mumkin:

0 , 0018 + 0 , 000018 + 0 , 00000018 . . = 0 , 0018 1 - 0 , 01 = 0 , 0018 0 , 99 = 18 9900 .

Olingan kasrni oxirgi kasrga 0, 43 \u003d 43 100 qo'shamiz va natijani olamiz:

0 , 43 (18) = 43 100 + 18 9900

Ushbu kasrlarni qo'shib, kamaytirgandan so'ng, biz yakuniy javobni olamiz:

0 , 43 (18) = 19 44

Ushbu maqolaning oxirida biz davriy bo'lmagan cheksiz o'nli kasrlarni oddiy kasrlarga aylantirib bo'lmasligini aytamiz.

Agar siz matnda xatolikni sezsangiz, uni belgilab, Ctrl+Enter tugmalarini bosing

Ushbu maqolada biz buni qanday qilishni tahlil qilamiz oddiy kasrlarni o'nli kasrlarga aylantirish, shuningdek, teskari jarayonni ko'rib chiqing - o'nli kasrlarni oddiy kasrlarga aylantirish. Bu erda biz kasrlarni invertatsiya qilish qoidalarini aytamiz va tipik misollarga batafsil echimlarni beramiz.

Sahifani navigatsiya qilish.

Oddiy kasrlarni o'nli kasrlarga o'tkazish

Keling, biz bilan shug'ullanadigan ketma-ketlikni belgilaylik oddiy kasrlarni o'nli kasrlarga aylantirish.

Birinchidan, maxrajlari 10, 100, 1000, ... bo‘lgan oddiy kasrlarni o‘nli kasrlar tarzida ifodalashni ko‘rib chiqamiz. Buning sababi shundaki, o'nli kasrlar mohiyatan maxrajlari 10, 100, ... bo'lgan oddiy kasrlarning ixcham shaklidir.

Shundan so'ng, biz oldinga boramiz va har qanday oddiy kasrni (faqat 10, 100, ... maxrajlari bilan) o'nli kasr sifatida qanday yozish mumkinligini ko'rsatamiz. Oddiy kasrlarni bunday konvertatsiya qilish bilan ham chekli o'nli kasrlar, ham cheksiz davriy o'nli kasrlar olinadi.

Endi hamma narsa tartibda.

Maxraji 10, 100, ... boʻlgan oddiy kasrlarni oʻnli kasrlarga oʻtkazish

Ba'zi oddiy kasrlar o'nli kasrlarga o'tishdan oldin "oldindan tayyorgarlik" kerak. Bu oddiy kasrlar uchun amal qiladi, ularning sonidagi raqamlar soni maxrajdagi nol sonidan kichikdir. Misol uchun, 2/100 oddiy kasrni o'nli kasrga aylantirish uchun birinchi navbatda tayyorlash kerak, lekin 9/10 kasrni tayyorlash kerak emas.

To'g'ri oddiy kasrlarni o'nli kasrlarga o'tkazish uchun "oldindan tayyorgarlik" hisoblagichning chap tomoniga shunchalik ko'p nol qo'shishdan iborat bo'lib, u erdagi raqamlarning umumiy soni maxrajdagi nollar soniga teng bo'ladi. Misol uchun, nollarni qo'shgandan keyin kasr o'xshash bo'ladi.

To'g'ri oddiy kasrni tayyorlaganingizdan so'ng, uni o'nli kasrga aylantirishni boshlashingiz mumkin.

beraylik maxraji 10 yoki 100 yoki 1000 ... boʻlgan toʻgʻri oddiy kasrni oʻnli kasrga aylantirish qoidasi. U uch bosqichdan iborat:

• 0 yozing;
• undan keyin kasrli nuqta qo'ying;
• raqamni hisoblagichdan yozing (agar biz ularni qo'shgan bo'lsak, qo'shilgan nollar bilan birga).

Misollarni echishda ushbu qoidani qo'llashni ko'rib chiqing.

Misol.

37/100 to'g'ri kasrni o'nli kasrga aylantiring.

Yechim.

Maxraj 100 raqamini o'z ichiga oladi, uning yozuvida ikkita nol bor. Numerator 37 raqamini o'z ichiga oladi, uning yozuvida ikkita raqam mavjud, shuning uchun bu kasrni o'nlik kasrga aylantirish uchun tayyorlanish shart emas.

Endi biz 0 ni yozamiz, o'nli kasrni qo'yamiz va hisoblagichdan 37 raqamini yozamiz, o'nlik kasr esa 0,37 ni olamiz.

Javob:

0,37 .

10, 100, ... numeratorlari bo'lgan oddiy oddiy kasrlarni o'nli kasrlarga o'tkazish ko'nikmalarini mustahkamlash uchun biz boshqa misolning yechimini tahlil qilamiz.

Misol.

107/10 000 000 to'g'ri kasrni o'nli kasr shaklida yozing.

Yechim.

Numeratordagi raqamlar soni 3 ga, maxrajdagi nollar soni esa 7 ga teng, shuning uchun bu oddiy kasrni o'nli kasrga aylantirish uchun tayyorlash kerak. Numeratorning chap tomoniga 7-3=4 nol qo'shishimiz kerak, shunda u erdagi raqamlarning umumiy soni maxrajdagi nollar soniga teng bo'ladi. olamiz.

Kerakli o'nli kasrni hosil qilish uchun qoladi. Buni amalga oshirish uchun, birinchidan, biz 0 ni yozamiz, ikkinchidan, vergul qo'yamiz, uchinchidan, raqamdan raqamni nollar bilan birga yozamiz 0000107 , natijada biz o'nlik kasrga ega bo'lamiz 0,0000107 .

Javob:

0,0000107 .

Noto'g'ri oddiy kasrlarni o'nli kasrlarga o'tkazishda tayyorlash kerak emas. Quyidagilarga rioya qilish kerak maxrajlari 10, 100, ... bo‘lgan noto‘g‘ri oddiy kasrlarni o‘nli kasrlarga o‘tkazish qoidalari:

• numeratordan raqamni yozing;
• asl kasrning maxrajida nol bo'lsa, o'ngda shuncha raqamni o'nli kasr bilan ajratamiz.

Keling, misolni yechishda ushbu qoidaning qo'llanilishini tahlil qilaylik.

Misol.

Noto'g'ri oddiy kasrni 56 888 038 009/100 000 kasrga aylantiring.

Yechim.

Birinchidan, biz raqamni 56888038009 raqamidan yozamiz, ikkinchidan, o'ngdagi 5 ta raqamni kasr nuqtasi bilan ajratamiz, chunki asl kasrning maxrajida 5 ta nol bor. Natijada biz o'nlik kasrga ega bo'lamiz 568 880.38009.

Javob:

568 880,38009 .

Aralash sonni kasr qismining maxraji 10 yoki 100 yoki 1000, ... bo'lgan o'nli kasrga aylantirish uchun siz aralash sonni noto'g'ri oddiy kasrga aylantirishingiz mumkin, shundan so'ng hosil bo'lgan kasr. o'nli kasrga aylantirilishi mumkin. Ammo siz quyidagilarni ham ishlatishingiz mumkin kasr qismining maxraji 10 yoki 100 yoki 1000 ... bo'lgan aralash sonlarni o'nli kasrlarga aylantirish qoidasi:

• agar kerak bo'lsa, biz numeratorning chap tomonidagi nollarning kerakli sonini qo'shib, asl aralash raqamning kasr qismini "oldindan tayyorlash" ni amalga oshiramiz;
• asl aralash sonning butun qismini yozing;
• kasr nuqtasini qo'ying;
• sonni hisoblagichdan qo'shilgan nollar bilan birga yozamiz.

Keling, misolni ko'rib chiqaylik, uni hal qilishda aralash sonni o'nli kasr sifatida ko'rsatish uchun barcha kerakli amallarni bajaramiz.

Misol.

Aralash sonni kasrga aylantiring.

Yechim.

Kasr qismining maxrajida 4 ta nol, hisoblagichda esa 2 ta raqamdan iborat bo'lgan 17 raqami bor, shuning uchun hisoblagichning chap tomoniga ikkita nol qo'shishimiz kerak, shunda u erdagi belgilar soni teng bo'ladi. maxrajdagi nollar soni. Buni bajarib, hisoblagich 0017 bo'ladi.

Endi biz asl sonning butun qismini, ya'ni 23 raqamini yozamiz, o'nli kasrni qo'yamiz, shundan so'ng biz raqamdan raqamni qo'shilgan nollar bilan birga yozamiz, ya'ni 0017, biz kerakli o'nli kasrni olamiz. kasr 23.0017.

Keling, butun yechimni qisqacha yozamiz: .

Shubhasiz, avval aralash sonni noto'g'ri kasr sifatida ifodalash, keyin esa o'nli kasrga aylantirish mumkin edi. Ushbu yondashuv bilan yechim quyidagicha ko'rinadi:

Javob:

23,0017 .

Oddiy kasrlarni chekli va cheksiz davriy o'nli kasrlarga aylantirish

Faqat maxrajlari 10, 100, ... bo‘lgan oddiy kasrlarni emas, balki boshqa maxrajli oddiy kasrlarni ham o‘nli kasrga aylantirish mumkin. Endi bu qanday amalga oshirilganligini aniqlaymiz.

Ayrim hollarda asl oddiy kasr 10, 100 yoki 1000, ... maxrajlaridan biriga osonlikcha qisqartiriladi (oddiy kasrni yangi maxrajga keltirish haqidagi ma’lumotga qarang), shundan so‘ng uni ko‘rsatish qiyin emas. o'nlik kasr sifatida hosil bo'lgan kasr. Masalan, 2/5 kasrni maxraji 10 bo'lgan kasrga qisqartirish mumkinligi aniq, buning uchun siz pay va maxrajni 2 ga ko'paytirishingiz kerak, bu esa 4/10 kasrni beradi. oldingi paragrafda muhokama qilingan qoidalar, osongina o'nlik kasrga aylantirilishi mumkin 0, to'rt .

Boshqa hollarda, oddiy kasrni o'nli kasrga aylantirishning boshqa usulini qo'llashingiz kerak, biz buni hozir ko'rib chiqamiz.

Oddiy kasrni o'nli kasrga aylantirish uchun kasrning soni maxrajga bo'linadi, hisoblagich oldindan o'nli kasrdan keyin istalgan nol soniga teng o'nli kasr bilan almashtiriladi (bu haqda biz bo'limda gaplashdik. teng va teng bo'lmagan o'nli kasrlar). Bunday holda, bo'lish natural sonlar ustuniga bo'linish bilan bir xil tarzda amalga oshiriladi va dividendning butun qismining bo'linishi tugagach, kasrga kasr qo'yiladi. Bularning barchasi quyida keltirilgan misollarning yechimlaridan aniq bo'ladi.

Misol.

621/4 oddiy kasrni kasrga aylantiring.

Yechim.

Biz 621 numeratoridagi sonni kasrli kasr sifatida o'nli kasr va undan keyin bir necha nol qo'shish orqali ifodalaymiz. Boshlash uchun biz 2 ta 0 raqamini qo'shamiz, keyinroq, agar kerak bo'lsa, har doim ko'proq nol qo'shishimiz mumkin. Shunday qilib, bizda 621.00 bor.

Endi 621 000 sonini 4 ga ustunga ajratamiz. Dastlabki uchta qadam natural sonlar ustuniga bo'linishdan farq qilmaydi, shundan so'ng biz quyidagi rasmga erishamiz:

Shunday qilib, biz dividendning kasr nuqtasiga keldik, qolgan qismi esa noldan farq qiladi. Bunday holda, biz qismga o'nli nuqta qo'yamiz va vergullarga e'tibor bermasdan, ustunga bo'linishni davom ettiramiz:

Ushbu bo'linish tugallandi va natijada biz dastlabki oddiy kasrga mos keladigan 155,25 o'nli kasrni oldik.

Javob:

155,25 .

Materialni birlashtirish uchun boshqa misolning yechimini ko'rib chiqing.

Misol.

21/800 oddiy kasrni kasrga aylantiring.

Yechim.

Ushbu oddiy kasrni o'nli kasrga aylantirish uchun 21 000 ... o'nli kasrni 800 ga bo'linib, ustunga ajratamiz. Birinchi qadamdan so'ng, biz qismga kasr nuqtasini qo'yishimiz kerak va keyin bo'linishni davom ettiramiz:

Nihoyat, biz qolgan 0 ni oldik, bunda 21/400 oddiy kasrni o'nli kasrga o'tkazish tugallandi va biz 0,02625 o'nlik kasrga keldik.

Javob:

0,02625 .

Numeratorni oddiy kasrning maxrajiga bo'lganda, biz hech qachon 0 ning qoldig'ini ololmasligimiz mumkin. Bunday hollarda bo'linishni xohlagancha davom ettirish mumkin. Biroq, ma'lum bir qadamdan boshlab, qoldiqlar vaqti-vaqti bilan takrorlana boshlaydi, bunda bo'limdagi raqamlar ham takrorlanadi. Bu degani, asl umumiy kasr cheksiz davriy kasrga aylanadi. Keling, buni misol bilan ko'rsatamiz.

Misol.

19/44 oddiy kasrni kasr shaklida yozing.

Yechim.

Oddiy kasrni o'nli kasrga aylantirish uchun biz ustunga bo'linamiz:

Bo'lishda 8 va 36 qoldiqlari takrorlana boshlagani allaqachon aniq bo'lib, qismda 1 va 8 raqamlari takrorlanadi. Shunday qilib, asl oddiy kasr 19/44 davriy o'nli kasrga tarjima qilinadi 0,43181818…=0,43(18) .

Javob:

0,43(18) .

Ushbu paragrafni yakunlab, qaysi oddiy kasrlarni yakuniy o'nli kasrlarga, qaysilarini esa faqat davriy kasrlarga aylantirish mumkinligini aniqlaymiz.

Oldimizda kamaytirilmaydigan oddiy kasr bo'lsin (agar kasr kamaytiriladigan bo'lsa, biz birinchi navbatda kasrni qisqartirishni bajaramiz) va biz uni qaysi o'nli kasrga aylantirish mumkinligini aniqlashimiz kerak - chekli yoki davriy.

Ko'rinib turibdiki, agar oddiy kasrni 10, 100, 1000, ... maxrajlaridan biriga qisqartirish mumkin bo'lsa, unda olingan kasrni oldingi bandda muhokama qilingan qoidalarga muvofiq osonlik bilan yakuniy o'nli kasrga aylantirish mumkin. Ammo maxrajlarga 10, 100, 1000 va hokazo. hamma oddiy kasrlar berilmaydi. Bunday maxrajlarga faqat kasrlarni qisqartirish mumkin, ularning maxrajlari kamida 10, 100, ... sonlaridan bittasi va qanday sonlar 10, 100, ... ning bo'luvchisi bo'lishi mumkin? 10, 100, … raqamlari bu savolga javob berishga imkon beradi va ular quyidagicha: 10=2 5 , 100=2 2 5 5 , 1 000=2 2 2 5 5 5, … . Bundan kelib chiqadiki, 10, 100, 1000 va boshqalarning bo'luvchilari. faqat tub omillarga parchalanishida faqat 2 va (yoki) 5 raqamlari bo'lgan raqamlar bo'lishi mumkin.

Endi oddiy kasrlarni o'nli kasrlarga o'tkazish haqida umumiy xulosa chiqarishimiz mumkin:

• agar maxrajni tub omillarga ajratishda faqat 2 va (yoki) 5 raqamlari mavjud bo'lsa, u holda bu kasr yakuniy o'nli kasrga aylantirilishi mumkin;
• agar maxrajning kengayishida ikki va beshdan tashqari boshqa tub sonlar mavjud bo'lsa, u holda bu kasr cheksiz o'nli davriy kasrga aylantiriladi.

Misol.

Oddiy kasrlarni o'nli kasrga o'tkazmasdan, ayting-chi, 47/20, 7/12, 21/56, 31/17 kasrlarning qaysi biri oxirgi kasrga, qaysi biri faqat davriy kasrga aylantirilishi mumkin.

Yechim.

47/20 kasr maxrajining tub koeffitsientlari 20=2 2 5 ko'rinishga ega. Bu kengayishda faqat ikkita va beshlar bor, shuning uchun bu kasrni 10, 100, 1000, ... maxrajlaridan biriga qisqartirish mumkin (bu misolda 100 maxrajiga), shuning uchun uni yakuniy qismga aylantirish mumkin. o'nlik kasr.

7/12 kasr maxrajining tub koeffitsienti 12=2 2 3 ko'rinishga ega. U 2 va 5 dan farqli oddiy 3 koeffitsientni o'z ichiga olganligi sababli, bu kasrni chekli o'nli kasr sifatida ifodalash mumkin emas, lekin davriy o'nli kasrga aylantirilishi mumkin.

Fraksiya 21/56 - qisqaradi, qisqartirilgandan keyin 3/8 shaklini oladi. Maxrajning tub omillarga bo'linishi 2 ga teng uchta omilni o'z ichiga oladi, shuning uchun oddiy kasr 3/8 va shuning uchun unga teng bo'lgan kasr 21/56, yakuniy o'nli kasrga aylantirilishi mumkin.

Nihoyat, 31/17 kasrning maxrajining kengayishi o'zi 17 ga teng, shuning uchun bu kasrni cheklangan o'nli kasrga aylantirib bo'lmaydi, lekin uni cheksiz davriy kasrga aylantirish mumkin.

Javob:

47/20 va 21/56 sonli kasrga aylantirilishi mumkin, 7/12 va 31/17 esa faqat davriy kasrga aylantirilishi mumkin.

Oddiy kasrlar cheksiz takrorlanmaydigan o'nli kasrlarga aylanmaydi

Oldingi banddagi ma'lumotlardan savol tug'iladi: "Kasrning sonini maxrajga bo'lishda cheksiz davriy bo'lmagan kasrni olish mumkinmi?"

Javob: yo'q. Oddiy kasrni tarjima qilishda chekli o'nli kasr yoki cheksiz davriy o'nli kasr olinishi mumkin. Keling, nima uchun bunday ekanligini tushuntirib beraylik.

Qoldiqqa bo'linish teoremasidan ko'rinib turibdiki, qoldiq har doim bo'luvchidan kichik bo'ladi, ya'ni ba'zi bir butun sonni q butun soniga bo'lsak, u holda 0, 1, 2, ... sonlaridan faqat bittasi, q−1 qoldiq bo‘lishi mumkin. Bundan kelib chiqadiki, ustun oddiy kasr sonining butun qismini q maxrajiga ajratgandan so'ng, q dan ortiq bo'lmagan qadamlardan so'ng, quyidagi ikkita vaziyatdan biri yuzaga keladi:

• yoki biz qolgan 0 ni olamiz, bu bo'linishni tugatadi va biz oxirgi o'nli kasrni olamiz;
• yoki biz avval paydo bo'lgan qoldiqni olamiz, shundan so'ng qolganlar oldingi misoldagi kabi takrorlana boshlaydi (chunki teng sonlarni q ga bo'lishda yuqorida aytib o'tilgan bo'linish teoremasidan kelib chiqadigan teng qoldiqlar olinadi), shuning uchun cheksiz davriy o'nli kasr olinadi.

Boshqa variantlar bo'lishi mumkin emas, shuning uchun oddiy kasrni o'nli kasrga o'tkazishda cheksiz davriy bo'lmagan o'nli kasrni olish mumkin emas.

Shuningdek, ushbu bandda keltirilgan mulohazalardan kelib chiqadiki, o'nli kasr davrining uzunligi har doim mos keladigan oddiy kasrning maxraji qiymatidan kichikdir.

O'nli kasrlarni oddiy kasrlarga o'tkazish

Endi o'nli kasrni oddiy kasrga qanday o'zgartirishni aniqlaymiz. Yakuniy o'nli kasrlarni oddiy kasrlarga aylantirishdan boshlaylik. Shundan so'ng, cheksiz davriy o'nli kasrlarni invertatsiya qilish usulini ko'rib chiqing. Xulosa qilib aytganda, cheksiz davriy bo'lmagan o'nli kasrlarni oddiy kasrlarga aylantirishning mumkin emasligi haqida gapiraylik.

Oxirgi o‘nli kasrlarni oddiy kasrlarga o‘tkazish

Yakuniy o'nlik kasr sifatida yozilgan oddiy kasrni olish juda oddiy. Yakuniy o'nli kasrni oddiy kasrga o'tkazish qoidasi uch bosqichdan iborat:

• birinchidan, agar mavjud bo'lsa, o'nli kasrni va chapdagi barcha nollarni olib tashlagan holda, berilgan o'nli kasrni hisoblagichga yozing;
• ikkinchidan, maxrajga bitta yozing va asl o‘nli kasrda o‘nli kasrdan keyin qancha raqam bo‘lsa, shuncha nol qo‘shing;
• uchinchidan, agar kerak bo'lsa, hosil bo'lgan fraktsiyani kamaytiring.

Keling, misollarni ko'rib chiqaylik.

Misol.

3.025 kasrni oddiy kasrga aylantiring.

Yechim.

Agar biz asl kasrdagi kasrni olib tashlasak, biz 3025 raqamini olamiz. Uning chap tomonida biz bekor qiladigan nollar yo'q. Shunday qilib, kerakli kasrning soniga biz 3025 yozamiz.

Biz maxrajga 1 raqamini yozamiz va o'ng tomonga 3 ta nol qo'shamiz, chunki o'nli kasrdan keyin asl kasrda 3 ta raqam mavjud.

Shunday qilib, biz 3 025/1 000 oddiy kasrni oldik. Bu kasrni 25 ga kamaytirish mumkin, biz olamiz .

Javob:

.

Misol.

0,0017 kasrni oddiy kasrga aylantiring.

Yechim.

O'nli kasrsiz asl kasr 00017 ga o'xshaydi, chapdagi nollarni tashlab, biz kerakli oddiy kasrning hisoblagichi bo'lgan 17 raqamini olamiz.

Maxrajda biz to'rtta nolga ega birlik yozamiz, chunki asl kasrda kasrdan keyin 4 ta raqam mavjud.

Natijada, bizda 17/10 000 oddiy kasr bor. Bu kasr kamaytirilmaydi va o'nli kasrni oddiy kasrga o'tkazish tugallanadi.

Javob:

.

Dastlabki yakuniy o'nlik kasrning butun qismi noldan farq qilganda, uni oddiy kasrni chetlab o'tib, darhol aralash raqamga aylantirish mumkin. beraylik yakuniy kasrni aralash songa aylantirish qoidasi:

• kasrdan oldingi raqam kerakli aralash sonning butun qismi sifatida yozilishi kerak;
• kasr qismining numeratorida, chapdagi barcha nollarni tashlaganingizdan so'ng, asl o'nlik kasrning kasr qismidan olingan raqamni yozishingiz kerak;
• kasr qismining maxrajida siz 1 raqamini yozishingiz kerak, unga o'ng tomonda o'nli kasrdan keyin dastlabki o'nlik kasrning yozuvida qancha raqam bo'lsa, shuncha nol qo'shing;
• agar kerak bo'lsa, olingan aralash sonning kasr qismini kamaytiring.

O'nli kasrni aralash songa o'tkazish misolini ko'rib chiqing.

Misol.

152.06005 kasrini aralash son sifatida ifodalang

Esingizdami, o'nli kasrlar haqidagi birinchi darsda men o'nli kasrlar sifatida ko'rsatib bo'lmaydigan sonli kasrlar borligini aytdim ("O'nlik kasrlar" darsiga qarang)? 2 va 5 dan boshqa raqamlar mavjudligini tekshirish uchun kasrlarning maxrajlarini faktorlarga ajratishni ham bilib oldik.

Shunday qilib: men yolg'on gapirdim. Va bugun biz mutlaqo har qanday sonli kasrni o'nli kasrga qanday tarjima qilishni o'rganamiz. Shu bilan birga, biz cheksiz muhim qismga ega bo'lgan kasrlarning butun sinfi bilan tanishamiz.

Takrorlanuvchi o'nlik bu har qanday o'nlik bo'lib, unda quyidagilar mavjud:

1. Muhim qism cheksiz sonli raqamlardan iborat;
2. Muayyan vaqt oralig'ida muhim qismdagi raqamlar takrorlanadi.

Muhim qismni tashkil etuvchi takroriy raqamlar to'plami kasrning davriy qismi deb ataladi va bu to'plamdagi raqamlar soni kasr davridir. Muhim qismning takrorlanmaydigan qolgan qismi davriy bo'lmagan qism deb ataladi.

Ko'p ta'riflar mavjud bo'lganligi sababli, ushbu fraktsiyalarning bir nechtasini batafsil ko'rib chiqishga arziydi:

Bu fraktsiya ko'pincha muammolarda paydo bo'ladi. Davriy bo'lmagan qism: 0; davriy qism: 3; davr uzunligi: 1.

Davriy bo'lmagan qism: 0,58; davriy qism: 3; davr uzunligi: yana 1.

Davriy bo'lmagan qism: 1; davriy qism: 54; Davr uzunligi: 2.

Davriy bo'lmagan qism: 0; davriy qism: 641025; davr uzunligi: 6. Qulaylik uchun takrorlanuvchi qismlar bir-biridan bo'sh joy bilan ajratiladi - bu yechimda buni qilish shart emas.

Davriy bo'lmagan qism: 3066; davriy qism: 6; davr uzunligi: 1.

Ko'rib turganingizdek, davriy kasrning ta'rifi tushunchaga asoslanadi sonning muhim qismi. Shuning uchun, agar siz nima ekanligini unutgan bo'lsangiz, uni takrorlashni maslahat beraman - "" darsiga qarang.

Davriy kasrga o'tish

a / b shaklining oddiy qismini ko'rib chiqing. Keling, uning maxrajini oddiy omillarga ajratamiz. Ikkita variant mavjud:

1. Kengayishda faqat 2 va 5 omillar mavjud.Bu kasrlar osonlik bilan o'nli kasrlarga keltiriladi - "O'nlik kasrlar" darsiga qarang. Bizni bunday narsa qiziqtirmaydi;
2. Kengayishda 2 va 5 dan tashqari yana bir narsa bor. Bu holda kasrni o'nlik kasr sifatida ko'rsatib bo'lmaydi, lekin uni davriy o'nli kasrga aylantirish mumkin.

Davriy o'nli kasrni o'rnatish uchun uning davriy va davriy bo'lmagan qismini topish kerak. Qanday? Kasrni noto'g'ri kasrga aylantiring, so'ngra hisoblagichni "burchak" bilan maxrajga bo'ling.

Bunday holda, quyidagilar sodir bo'ladi:

1. Avval ajrating butun qismi agar u mavjud bo'lsa;
2. Kasrdan keyin bir nechta raqam bo'lishi mumkin;
3. Biroz vaqt o'tgach, raqamlar boshlanadi takrorlang.

Ana xolos! O'nli kasrdan keyin takrorlanadigan raqamlar davriy qism bilan belgilanadi va oldingisi - davriy bo'lmagan.

Vazifa. Oddiy kasrlarni davriy o'nli kasrlarga aylantiring:

Butun qismsiz barcha kasrlar, shuning uchun biz hisoblagichni maxrajga "burchak" bilan ajratamiz:

Ko'rib turganingizdek, qoldiqlar takrorlanadi. Kasrni "to'g'ri" shaklda yozamiz: 1,733 ... = 1,7(3).

Natijada kasr: 0,5833 ... = 0,58(3).

Oddiy shaklda yozamiz: 4.0909 ... = 4, (09).

Biz kasrni olamiz: 0,4141 ... = 0, (41).

Davriy o'nlikdan oddiyga o'tish

Davriy o'nlik X = abc (a 1 b 1 c 1) ko'rib chiqaylik. Uni klassik "ikki qavatli" ga o'tkazish talab qilinadi. Buning uchun to'rtta oddiy qadamni bajaring:

1. Kasr davrini toping, ya'ni. davriy qismda nechta raqam borligini hisoblang. Bu k raqami bo'lsin;
2. X · 10 k ifodaning qiymatini toping. Bu o'nli kasrni to'liq nuqtani o'ngga siljitishga teng - " O'nli kasrlarni ko'paytirish va bo'lish" darsiga qarang;
3. Olingan sondan asl ifodani ayiring. Bunday holda, davriy qism "yoqib yuboriladi" va qoladi oddiy kasr;
4. Olingan tenglamada X ni toping. Barcha o'nli kasrlar oddiy kasrga aylantiriladi.

Vazifa. Sonning oddiy noto'g'ri kasriga aylantiring:

• 9,(6);
• 32,(39);
• 0,30(5);
• 0,(2475).

Birinchi kasr bilan ishlash: X = 9, (6) = 9,666 ...

Qavslar faqat bitta raqamni o'z ichiga oladi, shuning uchun davr k = 1. Keyinchalik, biz bu kasrni 10 k = 10 1 = 10 ga ko'paytiramiz. Bizda:

10X = 10 9,6666... ​​= 96,666...

Asl kasrni ayiring va tenglamani yeching:

10X - X = 96,666 ... - 9,666 ... = 96 - 9 = 87;
9X=87;
X = 87/9 = 29/3.

Endi ikkinchi kasr bilan shug'ullanamiz. Shunday qilib, X = 32, (39) = 32,393939 ...

Davr k = 2, shuning uchun biz hamma narsani 10 k = 10 2 = 100 ga ko'paytiramiz:

100X = 100 32.393939 ... = 3239.3939 ...

Asl kasrni yana ayirib, tenglamani yeching:

100X - X = 3239,3939 ... - 32,3939 ... = 3239 - 32 = 3207;
99X = 3207;
X = 3207/99 = 1069/33.

Uchinchi kasrga o'tamiz: X = 0,30(5) = 0,30555 ... Sxema bir xil, shuning uchun men faqat hisob-kitoblarni keltiraman:

Davr k = 1 ⇒ hamma narsani 10 k = 10 ga ko'paytiring 1 = 10;

10X = 10 0,30555... = 3,05555...
10X - X = 3,0555 ... - 0,305555 ... = 2,75 = 11/4;
9X = 11/4;
X = (11/4): 9 = 11/36.

Nihoyat, oxirgi kasr: X = 0,(2475) = 0,2475 2475 ... Yana qulaylik uchun davriy qismlar bir-biridan bo'shliqlar bilan ajratilgan. Bizda ... bor:

k = 4 ⇒ 10 k = 10 4 = 10 000;
10 000X = 10 000 0,2475 2475 = 2475,2475 ...
10,000X - X = 2475,2475 ... - 0,2475 2475 ... = 2475;
9999X = 2475;
X = 2475: 9999 = 25/101.

Ushbu maqola haqida o'nli kasrlar. Bu yerda kasr sonlarning o‘nli yozuvlari bilan shug‘ullanamiz, o‘nli kasr tushunchasi bilan tanishamiz va o‘nli kasrlarga misollar keltiramiz. Keyinchalik, o'nli kasrlarning raqamlari haqida gapiraylik, raqamlarning nomlarini bering. Shundan so'ng biz cheksiz o'nli kasrlarga e'tibor qaratamiz, masalan, davriy va davriy bo'lmagan kasrlar haqida. Keyinchalik, biz o'nli kasrlar bilan asosiy amallarni sanab o'tamiz. Xulosa qilib, biz o'nli kasrlarning koordinata nuridagi o'rnini o'rnatamiz.

Sahifani navigatsiya qilish.

Kasr sonning o'nlik belgisi

O'nli kasrlarni o'qish

Keling, o'nli kasrlarni o'qish qoidalari haqida bir necha so'z aytaylik.

To'g'ri oddiy kasrlarga mos keladigan o'nlik kasrlar ushbu oddiy kasrlar kabi o'qiladi, faqat "nol butun" oldindan qo'shiladi. Masalan, 0,12 o'nlik kasr 12/100 oddiy kasrga to'g'ri keladi (u "o'n ikki yuzdan" deb o'qiydi), shuning uchun 0,12 "nol nuqta o'n ikki yuzdan" deb o'qiladi.

Aralash raqamlarga mos keladigan o'nlik kasrlar xuddi shu aralash raqamlar bilan bir xil tarzda o'qiladi. Masalan, 56.002 o'nlik kasr aralash songa mos keladi, shuning uchun 56.002 o'nlik kasr "ellik olti nuqtadan ikki mingdan bir" deb o'qiladi.

O'nli kasrlardagi o'rinlar

O'nli kasrlarni yozishda, shuningdek natural sonlarni yozishda har bir raqamning qiymati uning pozitsiyasiga bog'liq. Darhaqiqat, 0,3 o'nlikdagi 3 soni o'ndan uchni, o'nlik kasrda 0,0003 - o'n mingdan uch qismini va o'nlik kasrda 30 000,152 - uchta o'n mingni bildiradi. Shunday qilib, biz bu haqda gapirishimiz mumkin o'nli kasrlardagi raqamlar, shuningdek natural sonlardagi raqamlar haqida.

O'nli kasrdagi raqamlarning o'nli kasrgacha bo'lgan nomlari natural sonlardagi raqamlarning nomlari bilan to'liq mos keladi. O'nli kasrdan keyingi kasrdagi raqamlarning nomlari esa quyidagi jadvaldan ko'rinadi.

Masalan, 37.051 o‘nlik kasrda 3 raqami o‘nlik qatorida, birliklar qatorida 7, o‘ninchi o‘rinda 0, yuzinchi o‘rinda 5, minginchi o‘rinda 1 raqami berilgan.

O'nli kasrdagi raqamlar ish staji bo'yicha ham farqlanadi. Agar biz o'nli kasr tizimida raqamdan raqamga chapdan o'ngga o'tsak, u holda biz dan harakat qilamiz katta uchun kichik darajalar. Masalan, yuzlar soni o'ninchi raqamdan kattaroq, millioninchi raqam esa yuzinchi raqamdan yoshroq. Ushbu yakuniy o'nlik kasrda biz eng muhim va eng muhim raqamlar haqida gapirishimiz mumkin. Masalan, kasrda 604.9387 katta (eng yuqori) raqam yuzlar soni va kichik (eng past)- o'n minginchi o'rin.

O'nli kasrlar uchun raqamlarga kengaytirish amalga oshiriladi. Bu natural sonlar sonlarining kengayishiga o'xshaydi. Masalan, 45,6072 ning kasrli kengayishi: 45,6072=40+5+0,6+0,007+0,0002 . O'nli kasrni raqamlarga kengaytirishdan qo'shish xususiyatlari sizga ushbu o'nli kasrning boshqa ko'rinishlariga o'tish imkonini beradi, masalan, 45,6072=45+0,6072 , yoki 45,6072=40,6+5,007+0,0002 , yoki 45,6070=74.0. .

O'nli kasrlarni tugatish

Shu paytgacha biz faqat o'nli kasrlar haqida gapirdik, ularning yozuvida o'nli kasrdan keyin sonli sonlar mavjud. Bunday kasrlar yakuniy kasrlar deyiladi.

Ta'rif.

O'nli kasrlarni tugatish- Bular o'nlik kasrlar bo'lib, ularning yozuvlarida chekli sonli belgilar (raqamlar) mavjud.

Yakuniy oʻnli kasrlarga misollar: 0.317 , 3.5 , 51.1020304958 , 230 032.45 .

Biroq, har bir oddiy kasrni chekli o'nli kasr sifatida ifodalash mumkin emas. Masalan, 5/13 kasrni 10, 100, ... maxrajlaridan biri bilan teng kasr bilan almashtirib bo'lmaydi, shuning uchun uni yakuniy o'nli kasrga aylantirib bo'lmaydi. Bu haqda oddiy kasrlarni o‘nli kasrlarga o‘tkazish nazariyasi bo‘limida ko‘proq gaplashamiz.

Cheksiz o'nli kasrlar: davriy kasrlar va davriy bo'lmagan kasrlar

O'nli kasrdan keyin o'nli kasrni yozishda siz cheksiz sonli raqamlar imkoniyatiga ruxsat berishingiz mumkin. Bunday holda, biz cheksiz o'nli kasrlar deb ataladigan narsalarni ko'rib chiqamiz.

Ta'rif.

Cheksiz o'nli kasrlar- Bular o'nlik kasrlar bo'lib, ularning yozuvida cheksiz sonli raqamlar mavjud.

Cheksiz o'nli kasrlarni to'liq yoza olmasligimiz aniq, shuning uchun ularni yozishda ular kasrdan keyingi ma'lum sonli raqamlar bilan cheklanadi va cheksiz davom etadigan raqamlar ketma-ketligini ko'rsatadigan ellips qo'yadi. Mana cheksiz oʻnli kasrlarga misollar: 0.143940932…, 3.1415935432…, 153.02003004005…, 2.11111111…, 69.74152152152….

Agar siz oxirgi ikkita cheksiz o'nli kasrga diqqat bilan qarasangiz, u holda 2.111111111 kasrda ... cheksiz takrorlanuvchi 1 raqami aniq ko'rinadi va 69,74152152152 ... kasrda uchinchi kasrdan boshlab, takrorlanuvchi raqamlar guruhi aniq ko'rinadi. 1, 5 va 2 aniq ko'rinadi. Bunday cheksiz o'nli kasrlar davriy deyiladi.

Ta'rif.

Davriy o'nli kasrlar(yoki oddiygina davriy kasrlar) cheksiz o'nli kasrlar bo'lib, ular yozuvida ma'lum bir o'nlik kasrdan boshlab qandaydir raqam yoki raqamlar guruhi deyiladi. kasr davri.

Masalan, 2.111111111… davriy kasr davri 1-raqam, 69.74152152152… kasr davri esa 152 kabi sonlar guruhidir.

Cheksiz davriy o'nli kasrlar uchun maxsus belgi qabul qilingan. Qisqartirish uchun biz davrni bir marta qavs ichiga olib yozishga kelishib oldik. Masalan, 2,111111111… davriy kasr 2,(1) , davriy kasr 69,74152152152… 69,74(152) sifatida yoziladi.

Shuni ta'kidlash kerakki, bir xil davriy o'nli kasr uchun siz turli davrlarni belgilashingiz mumkin. Masalan, davriy kasr 0,73333… ni davriy kasr 0,7(3) 3, davriy 0,7(33) 33 va hokazo 0,7(333), 0,7 (3333) kasr deb hisoblash mumkin. ), ... Shuningdek, 0,73333 ... davriy kasrga ham qarashingiz mumkin: 0,733(3) yoki shunga o'xshash 0,73(333) va hokazo. Bu erda noaniqlik va nomuvofiqlikni oldini olish uchun biz o'nlik kasr davrini takrorlanadigan raqamlarning barcha mumkin bo'lgan ketma-ketliklarining eng qisqasi va eng yaqin joydan o'nli kasrgacha bo'lgan davr deb hisoblashga rozi bo'lamiz. Ya'ni, 0,73333... o'nlik kasr davri bir raqam 3 ketma-ketligi hisoblanadi va davriylik kasrdan keyingi ikkinchi o'rindan boshlanadi, ya'ni 0,73333...=0,7(3) . Yana bir misol: davriy kasr 4.7412121212… davri 12 ga teng, davriylik kasrdan keyingi uchinchi raqamdan boshlanadi, yaʼni 4.7412121212…=4.74(12) .

Cheksiz o'nli davriy kasrlar maxraji 2 va 5 dan boshqa tub ko'rsatkichlarni o'z ichiga olgan oddiy kasrlarni o'nli kasrlarga aylantirish orqali olinadi.

Bu erda davriy kasrlar 9 ga teng bo'lgan davriy kasrlarni eslatib o'tish kerak. Mana shunday kasrlarga misollar: 6.43(9) , 27,(9) . Bu kasrlar davriy kasrlar uchun yana bir belgi bo'lib, davri 0 bo'lgan davriy kasrlar bilan almashtirilishi odatiy holdir. Buning uchun 9-davr 0-davr bilan almashtiriladi va keyingi eng yuqori raqamning qiymati bittaga oshiriladi. Misol uchun, 7.24(9) shakldagi 9-davrli kasr 7.25(0) koʻrinishdagi 0-davrli davriy kasr yoki 7.25 ga teng yakuniy oʻnli kasr bilan almashtiriladi. Yana bir misol: 4,(9)=5,(0)=5 . Davrasi 9 bo'lgan kasr va davri 0 bo'lgan mos kasrning tengligi ushbu o'nli kasrlarni ularga teng oddiy kasrlar bilan almashtirgandan so'ng osongina aniqlanadi.

Nihoyat, cheksiz takrorlanuvchi raqamlar ketma-ketligiga ega bo'lmagan cheksiz o'nli kasrlarni batafsil ko'rib chiqaylik. Ular davriy bo'lmagan deb ataladi.

Ta'rif.

Takrorlanmaydigan o'nli kasrlar(yoki oddiygina davriy bo'lmagan kasrlar) nuqtasiz cheksiz oʻnli kasrlar.

Ba'zan davriy bo'lmagan kasrlar davriy kasrlarga o'xshash shaklga ega bo'ladi, masalan, 8,02002000200002 ... davriy bo'lmagan kasr. Bunday hollarda farqni sezish uchun ayniqsa ehtiyot bo'lishingiz kerak.

E'tibor bering, davriy bo'lmagan kasrlar oddiy kasrlarga aylantirilmaydi, cheksiz davriy bo'lmagan o'nli kasrlar irratsional sonlarni ifodalaydi.

O'nli kasrlar bilan amallar

O'nli kasrlar bilan amallardan biri taqqoslash bo'lib, to'rtta asosiy arifmetika ham aniqlanadi o'nli kasrlar bilan amallar: qo‘shish, ayirish, ko‘paytirish va bo‘lish. O'nli kasrlar bilan harakatlarning har birini alohida ko'rib chiqing.

O'nlik sanoqli taqqoslash asosan taqqoslangan o'nli kasrlarga mos keladigan oddiy kasrlarni solishtirishga asoslangan. Biroq, o'nli kasrlarni oddiy kasrlarga aylantirish ancha mashaqqatli operatsiya bo'lib, cheksiz takrorlanmaydigan kasrlarni oddiy kasr sifatida tasvirlab bo'lmaydi, shuning uchun o'nli kasrlarni bit bo'yicha taqqoslashdan foydalanish qulay. O'nli kasrlarni bit bo'yicha taqqoslash natural sonlarni solishtirishga o'xshaydi. Batafsil ma'lumot olish uchun maqolani o'nli kasrlarni taqqoslash, qoidalar, misollar, echimlarni o'rganishingizni tavsiya qilamiz.

Keling, keyingi bosqichga o'tamiz - o'nli kasrlarni ko'paytirish. Yakuniy o'nli kasrlarni ko'paytirish o'nlik kasrlarni ayirish, qoidalar, misollar, natural sonlar ustuniga ko'paytirishning echimlari kabi amalga oshiriladi. Davriy kasrlar bo'lsa, ko'paytirishni oddiy kasrlarni ko'paytirishga kamaytirish mumkin. O'z navbatida cheksiz davriy bo'lmagan o'nli kasrlarni yaxlitlashdan keyin ko'paytirish chekli o'nli kasrlarni ko'paytirishga kamayadi. O'nli kasrlarni ko'paytirish, qoidalar, misollar, echimlar maqolasining materialini qo'shimcha o'rganishni tavsiya qilamiz.

Koordinatalar nuridagi o'nlik sonlar

Nuqtalar va o'nli kasrlar o'rtasida yakkama-yakka muvofiqlik mavjud.

Keling, berilgan o'nli kasrga mos keladigan koordinata nurida nuqtalar qanday tuzilganligini aniqlaylik.

Biz chekli o'nli kasrlar va cheksiz davriy o'nli kasrlarni ularga teng oddiy kasrlar bilan almashtirib, keyin koordinata nurida mos keladigan oddiy kasrlarni qurishimiz mumkin. Masalan, 1,4 o'nlik kasr 14/10 oddiy kasrga to'g'ri keladi, shuning uchun koordinatasi 1,4 bo'lgan nuqta boshdan ijobiy yo'nalishda bitta segmentning o'ndan biriga teng bo'lgan 14 ta segment tomonidan chiqariladi.

O'nlik kasrlarni koordinata nurida, bu o'nli kasrni raqamlarga kengaytirishdan boshlab belgilash mumkin. Masalan, 16,3007 koordinatali nuqta qurishimiz kerak deylik, chunki 16,3007=16+0,3+0,0007 , u holda koordinatalar boshidan 16 ta birlik segmentlarni ketma-ket yotqizish orqali, 3 ta segment, uzunligi bo'yicha bu nuqtaga etib borishimiz mumkin. ulardan birlikning o'ndan biriga teng va uzunligi birlik segmentining o'ndan mingdan bir qismiga teng bo'lgan 7 ta segment.

Koordinata nurida o'nli sonlarni qurishning bu usuli cheksiz o'nli kasrga mos keladigan nuqtaga xohlagancha yaqinlashishga imkon beradi.

Ba'zan cheksiz o'nli kasrga mos keladigan nuqtani aniq chizish mumkin. Masalan, , u holda bu cheksiz o'nli kasr 1,41421... koordinata nurining nuqtasiga to'g'ri keladi, 1 birlik segmentli tomonli kvadrat diagonalining uzunligi bo'yicha koordinatali nurning bosh nuqtasidan uzoqda.

Koordinata nurining berilgan nuqtasiga mos keladigan o'nli kasrni olishning teskari jarayoni deyiladi. segmentning o'nlik o'lchovi. Keling, bu qanday amalga oshirilganini ko'rib chiqaylik.

Bizning vazifamiz koordinata chizig'idagi boshlang'ich nuqtadan berilgan nuqtaga borish (yoki unga erishishning iloji bo'lmasa, unga cheksiz yaqinlashish) bo'lsin. Segmentning o'nli o'lchovi bilan biz boshlang'ichdan istalgan son birlik segmentlarini, keyin uzunligi bitta segmentning o'ndan biriga teng bo'lgan segmentlarni, keyin uzunligi bitta segmentning yuzdan biriga teng bo'lgan segmentlarni va hokazolarni ketma-ket kechiktirishimiz mumkin. . Har bir uzunlikdagi chizilgan segmentlar sonini yozib, biz koordinata nurida berilgan nuqtaga mos keladigan o'nli kasrni olamiz.

Masalan, yuqoridagi rasmdagi M nuqtaga o'tish uchun uzunligi birlikning o'ndan biriga teng bo'lgan 1 birlik segmenti va 4 ta segmentni ajratib qo'yishingiz kerak. Shunday qilib, M nuqtasi o'nlik kasr 1.4 ga to'g'ri keladi.

O'nlik kasrni o'lchashda erishib bo'lmaydigan koordinata nurining nuqtalari cheksiz o'nli kasrlarga to'g'ri kelishi aniq.

Adabiyotlar ro'yxati.

• Matematika: o'qish. 5 hujayra uchun. umumiy ta'lim muassasalar / N. Ya. Vilenkin, V. I. Joxov, A. S. Chesnokov, S. I. Shvartsburd. - 21-nashr, o'chirilgan. - M.: Mnemosyne, 2007. - 280 b.: kasal. ISBN 5-346-00699-0.
• Matematika. 6-sinf: darslik. umumiy ta'lim uchun muassasalar / [N. Ya.Vilenkin va boshqalar]. - 22-nashr, Rev. - M.: Mnemosyne, 2008. - 288 b.: kasal. ISBN 978-5-346-00897-2.
• Algebra: darslik 8 hujayra uchun. umumiy ta'lim muassasalar / [Yu. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova]; ed. S. A. Telyakovskiy. - 16-nashr. - M. : Ta'lim, 2008. - 271 p. : kasal. - ISBN 978-5-09-019243-9.
• Gusev V. A., Mordkovich A. G. Matematika (texnika maktablariga abituriyentlar uchun qo'llanma): Proc. nafaqa.- M.; Yuqori maktab, 1984.-351 b., kasal.

Bo'linish operatsiyasi bir nechta asosiy komponentlarning ishtirokini o'z ichiga oladi. Ulardan birinchisi dividend deb ataladigan, ya'ni bo'linish jarayonidan o'tadigan raqamdir. Ikkinchisi - bo'linuvchi, ya'ni bo'linish amalga oshiriladigan raqam. Uchinchisi - ko'rsatkich, ya'ni dividendni bo'luvchiga bo'lish operatsiyasining natijasi.

bo'linish natijasi

Dividend va bo'luvchi sifatida ikkita musbat sonni qo'llashda olinishi mumkin bo'lgan eng oddiy natija boshqa ijobiy butun sondir. Masalan, 6 ni 2 ga bo'lishda bo'linish 3 ga teng bo'ladi. Bu holat dividend bo'luvchi bo'lsa, ya'ni unga qoldiqsiz bo'linsa mumkin.

Biroq, bo'linish operatsiyasini qoldiqsiz bajarish mumkin bo'lmaganda, boshqa variantlar mavjud. Bunday holda, butun son bo'lmagan son xususiy bo'lib, uni butun va kasr qismining birikmasi sifatida yozish mumkin. Masalan, 5 ni 2 ga bo'lishda ko'rsatkich 2,5 ga teng.

Davrdagi raqam

Agar dividendlar bo'linuvchining ko'paytmasi bo'lmasa, ro'y berishi mumkin bo'lgan variantlardan biri bu davrdagi sondir. Agar bo'linish cheksiz takrorlanadigan sonlar to'plamiga aylansa, bo'linish natijasida paydo bo'lishi mumkin. Masalan, davrdagi son 2 soni 3 ga bo'linganda paydo bo'lishi mumkin. Bu holatda o'nlik kasr ko'rinishidagi natija o'nlikdan keyin cheksiz 6 ta raqamning birikmasi sifatida ifodalanadi. nuqta.

Bunday bo'linish natijasini ko'rsatish uchun raqamlarni davrda yozishning maxsus usuli ixtiro qilindi: bunday raqam qavslar ichida takrorlanuvchi raqamni qo'yish orqali ko'rsatiladi. Misol uchun, 2 ni 3 ga bo'lish natijasi ushbu usul yordamida 0, (6) sifatida yoziladi. Belgilangan belgi, agar bo'linish natijasida hosil bo'lgan sonning faqat bir qismi takrorlangan bo'lsa ham qo'llaniladi.

Misol uchun, 5 ni 6 ga bo'lganda, natija 0,8 (3) ga o'xshash davriy son bo'ladi. Ushbu usuldan foydalanish, birinchidan, davrdagi raqamlarning hammasini yoki bir qismini yozishga urinish bilan solishtirganda eng samarali hisoblanadi, ikkinchidan, bunday raqamlarni uzatishning boshqa usuli bilan solishtirganda aniqroqdir - yaxlitlash va bundan tashqari, bu raqamlarning kattaligini solishtirganda, davrdagi raqamlarni mos keladigan qiymatga ega bo'lgan aniq o'nli kasrdan ajratish imkonini beradi. Shunday qilib, masalan, 0, (6) 0,6 dan sezilarli darajada katta ekanligi aniq.