Qulaylik funksiyasini ko‘rib chiqish qulayligi uchun biz 4 ta alohida holatni ko‘rib chiqamiz: natural darajali darajali darajali funksiya, butun darajali darajali darajali funksiya, ratsional darajali darajali darajali funksiya va irratsional darajali darajali funksiya.

Tabiiy darajali quvvat funksiyasi

Boshlash uchun biz tabiiy ko'rsatkichli daraja tushunchasini kiritamiz.

Ta'rif 1

$n$ natural koʻrsatkichli haqiqiy $a$ sonining kuchi $n$ omillar koʻpaytmasiga teng son boʻlib, ularning har biri $a$ soniga teng.

1-rasm.

$a$ daraja asosidir.

$n$ - ko'rsatkich.

Endi tabiiy ko'rsatkichli quvvat funksiyasini, uning xossalarini va grafigini ko'rib chiqing.

Ta'rif 2

$f\left(x\right)=x^n$ ($n\in N)$ natural darajali quvvat funksiyasi deyiladi.

Qulaylik uchun juft darajali $f\left(x\right)=x^(2n)$ quvvat funksiyasi va $f\left(x\right)=x^(2n- toq darajali quvvat funksiyasi alohida koʻrib chiqiladi. 1)$ ($n\n N)$.

Tabiiy juft darajali daraja funksiyasining xossalari

$f\left(-x\right)=((-x))^(2n)=x^(2n)=f(x)$ juft funksiyadir.

Qo'llash doirasi -- $ \

Funktsiya $x\in (-\infty ,0)$ sifatida kamayadi va $x\in (0,+\infty)$ sifatida ortadi.

$f("")\left(x\o'ng)=(\left(2n\cdot x^(2n-1)\right))"=2n(2n-1)\cdot x^(2(n-1) ))\ge 0$

Funktsiya butun ta'rif sohasi bo'yicha qavariqdir.

Qo'llanilish doirasi oxiridagi xatti-harakatlar:

\[(\mathop(lim)_(x\to -\infty ) x^(2n)\ )=+\infty \] \[(\mathop(lim)_(x\to +\infty ) x^( 2n)\ )=+\infty \]

Grafik (2-rasm).

2-rasm. $f\left(x\right)=x^(2n)$ funksiya grafigi

Tabiiy toq darajali daraja funksiyasining xossalari

Ta'rif sohasi barcha haqiqiy sonlardir.

$f\left(-x\right)=((-x))^(2n-1)=(-x)^(2n)=-f(x)$ toq funksiyadir.

$f(x)$ butun taʼrif sohasida uzluksizdir.

Diapazon barcha haqiqiy raqamlardir.

$f"\left(x\right)=\left(x^(2n-1)\right)"=(2n-1)\cdot x^(2(n-1))\ge 0$

Funktsiya butun ta'rif sohasi bo'ylab ortadi.

$f\left(x\right)0$, $x\in (0,+\infty)$ uchun.

$f(""\left(x\o'ng))=(\chap(\left(2n-1\o'ng)\cdot x^(2\left(n-1\o'ng))\o'ng))"=2 \left(2n-1\right)(n-1)\cdot x^(2n-3)$

\ \

Funktsiya $x\in (-\infty ,0)$ uchun botiq va $x\in (0,+\infty)$ uchun qavariq.

Grafik (3-rasm).

3-rasm. $f\left(x\right)=x^(2n-1)$ funksiya grafigi.

Butun sonli darajali quvvat funksiyasi

Boshlash uchun biz butun sonli daraja tushunchasini kiritamiz.

Ta'rif 3

$n$ butun koʻrsatkichli haqiqiy $a$ sonining darajasi quyidagi formula bilan aniqlanadi:

4-rasm

Endi butun ko‘rsatkichli daraja funksiyasi, uning xossalari va grafigini ko‘rib chiqaylik.

Ta'rif 4

$f\left(x\right)=x^n$ ($n\in Z)$ butun koʻrsatkichli quvvat funksiyasi deyiladi.

Agar daraja noldan katta bo'lsa, u holda biz tabiiy ko'rsatkichli daraja funksiyasi holatiga kelamiz. Biz bu haqda yuqorida muhokama qilganmiz. $n=0$ uchun $y=1$ chiziqli funksiyani olamiz. Uning mulohazalarini o‘quvchi ixtiyoriga qoldiramiz. Salbiy butun sonli darajali funktsiyaning xususiyatlarini ko'rib chiqish qoladi

Manfiy butun ko‘rsatkichli daraja funksiyasining xossalari

Qo'llash doirasi $\left(-\infty ,0\right)(0,+\infty)$.

Agar ko‘rsatkich juft bo‘lsa, funksiya juft bo‘ladi, agar u toq bo‘lsa, funksiya toq bo‘ladi.

$f(x)$ butun taʼrif sohasida uzluksizdir.

Qiymat diapazoni:

Agar ko'rsatkich juft bo'lsa, $(0,+\infty)$, toq bo'lsa, $\left(-\infty ,0\right)(0,+\infty)$.

Agar ko'rsatkich toq bo'lsa, funktsiya $x\in \left(-\infty ,0\right)(0,+\infty)$ ga kamayadi. Juft ko'rsatkich uchun funktsiya $x\in (0,+\infty)$ sifatida kamayadi. va $x\in \left(-\infty ,0\right)$ sifatida ortadi.

$f(x)\ge 0$ butun domen boʻylab

y = x p quvvat funktsiyasi sohasida quyidagi formulalar bajariladi:
; ;
;
; ;
; ;
; .

Quvvat funksiyalarining xossalari va ularning grafiklari

Ko'rsatkichi nolga teng bo'lgan quvvat funksiyasi, p = 0

Agar y = x p darajali funktsiyaning ko'rsatkichi nolga teng bo'lsa, p = 0 , u holda quvvat funktsiyasi barcha x ≠ 0 uchun aniqlanadi va doimiy, birga teng:
y \u003d x p \u003d x 0 \u003d 1, x ≠ 0.

Tabiiy toq ko'rsatkichli quvvat funksiyasi, p = n = 1, 3, 5, ...

Tabiiy toq ko'rsatkichi n = 1, 3, 5, ... bo'lgan y = x p = x n quvvat funktsiyasini ko'rib chiqaylik. Bunday ko'rsatkichni quyidagicha yozish ham mumkin: n = 2k + 1, bu erda k = 0, 1, 2, 3, ... - manfiy bo'lmagan butun son. Quyida bunday funksiyalarning xossalari va grafiklari keltirilgan.

n = 1, 3, 5, ... ko'rsatkichining turli qiymatlari uchun tabiiy toq ko'rsatkichli y = x n quvvat funktsiyasining grafigi.

Domen: -∞ < x < ∞
Bir nechta qiymatlar: -∞ < y < ∞
Paritet: toq, y(-x) = - y(x)
Monoton: monoton ravishda ortadi
Ekstremal: Yo'q
Qavariq:
-∞ da< x < 0 выпукла вверх
0 da< x < ∞ выпукла вниз
Uzilish nuqtalari: x=0, y=0
x=0, y=0
Cheklovlar:
;
Shaxsiy qadriyatlar:
x = -1 da,
y(-1) = (-1) n ≡ (-1) 2k+1 = -1
x = 0 uchun, y(0) = 0 n = 0
x = 1 uchun, y(1) = 1 n = 1
Teskari funksiya:
n = 1 uchun funksiya o'ziga teskari: x = y
n ≠ 1 uchun teskari funktsiya n darajali ildiz hisoblanadi:

Tabiiy juft darajali quvvat funksiyasi, p = n = 2, 4, 6, ...

Tabiiy juft ko'rsatkichi n = 2, 4, 6, ... bo'lgan y = x p = x n quvvat funktsiyasini ko'rib chiqaylik. Bunday ko'rsatkichni quyidagicha yozish ham mumkin: n = 2k, bu erda k = 1, 2, 3, ... natural son. Bunday funksiyalarning xossalari va grafiklari quyida keltirilgan.

n = 2, 4, 6, ... ko'rsatkichining turli qiymatlari uchun tabiiy juft ko'rsatkichli y = x n quvvat funktsiyasining grafigi.

Domen: -∞ < x < ∞
Bir nechta qiymatlar: 0 ≤ y< ∞
Paritet: juft, y(-x) = y(x)
Monoton:
x ≤ 0 uchun monoton ravishda kamayadi
x ≥ 0 uchun monoton ravishda ortadi
Ekstremal: minimal, x=0, y=0
Qavariq: qavariq pastga
Uzilish nuqtalari: Yo'q
Koordinata o'qlari bilan kesishish nuqtalari: x=0, y=0
Cheklovlar:
;
Shaxsiy qadriyatlar:
x = -1 uchun, y(-1) = (-1) n ≡ (-1) 2k = 1
x = 0 uchun, y(0) = 0 n = 0
x = 1 uchun, y(1) = 1 n = 1
Teskari funksiya:
n = 2 uchun kvadrat ildiz:
n ≠ 2 uchun n daraja ildizi:

Butun manfiy darajali quvvat funksiyasi, p = n = -1, -2, -3, ...

y = x p = x n manfiy butun ko'rsatkichli n = -1, -2, -3, ... bo'lgan quvvat funktsiyasini ko'rib chiqaylik. Agar n = -k qo'ysak, bu erda k = 1, 2, 3, ... natural son, u holda uni quyidagicha ifodalash mumkin:

n = -1, -2, -3, ... ko'rsatkichining turli qiymatlari uchun manfiy butun ko'rsatkichli y = x n darajali funktsiyaning grafigi.

Toq daraja, n = -1, -3, -5, ...

Quyida toq manfiy darajali n = -1, -3, -5, ... y = x n funksiyaning xossalari keltirilgan.

Domen: x ≠ 0
Bir nechta qiymatlar: y ≠ 0
Paritet: toq, y(-x) = - y(x)
Monoton: monoton tarzda kamayadi
Ekstremal: Yo'q
Qavariq:
x da< 0 : выпукла вверх
x > 0 uchun: qavariq pastga
Uzilish nuqtalari: Yo'q
Koordinata o'qlari bilan kesishish nuqtalari: Yo'q
Belgi:
x da< 0, y < 0
x > 0, y > 0 uchun
Cheklovlar:
; ; ;
Shaxsiy qadriyatlar:
x = 1 uchun, y(1) = 1 n = 1
Teskari funksiya:
n = -1 uchun,
n uchun< -2 ,

Hatto ko'rsatkich, n = -2, -4, -6, ...

Quyida n = -2, -4, -6, ... juft manfiy darajali y = x n funksiyaning xossalari keltirilgan.

Domen: x ≠ 0
Bir nechta qiymatlar: y > 0
Paritet: juft, y(-x) = y(x)
Monoton:
x da< 0 : монотонно возрастает
x > 0 uchun: monoton kamayuvchi
Ekstremal: Yo'q
Qavariq: qavariq pastga
Uzilish nuqtalari: Yo'q
Koordinata o'qlari bilan kesishish nuqtalari: Yo'q
Belgi: y > 0
Cheklovlar:
; ; ;
Shaxsiy qadriyatlar:
x = 1 uchun, y(1) = 1 n = 1
Teskari funksiya:
n = -2 uchun,
n uchun< -2 ,

Ratsional (kasr) darajali quvvat funksiyasi

Ratsional (kasr) ko'rsatkichli y = x p quvvat funksiyasini ko'rib chiqaylik, bu erda n - butun son, m > 1 - natural son. Bundan tashqari, n, m ning umumiy bo'luvchilari yo'q.

Kasr ko'rsatkichining maxraji toq

Kasr ko'rsatkichining maxraji toq bo'lsin: m = 3, 5, 7, ... . Bunda x p quvvat funksiyasi ham musbat, ham manfiy x qiymatlari uchun aniqlanadi. Ko'rsatkich p ma'lum chegaralar ichida bo'lganda, bunday quvvat funktsiyalarining xususiyatlarini ko'rib chiqing.

p manfiy, p< 0

Ratsional ko'rsatkich (toq maxrajli m = 3, 5, 7, ... ) noldan kichik bo'lsin: .

Ko'rsatkichning turli qiymatlari uchun manfiy ko'rsatkichli ko'rsatkichli funktsiyalarning grafiklari, bu erda m = 3, 5, 7, ... g'alati.

Toq son, n = -1, -3, -5, ...

Bu erda ratsional manfiy ko'rsatkichli y = xp quvvat funksiyasining xossalari keltirilgan, bu erda n = -1, -3, -5, ... toq manfiy butun son, m = 3, 5, 7 ... toq natural son.

Domen: x ≠ 0
Bir nechta qiymatlar: y ≠ 0
Paritet: toq, y(-x) = - y(x)
Monoton: monoton tarzda kamayadi
Ekstremal: Yo'q
Qavariq:
x da< 0 : выпукла вверх
x > 0 uchun: qavariq pastga
Uzilish nuqtalari: Yo'q
Koordinata o'qlari bilan kesishish nuqtalari: Yo'q
Belgi:
x da< 0, y < 0
x > 0, y > 0 uchun
Cheklovlar:
; ; ;
Shaxsiy qadriyatlar:
uchun x = -1, y(-1) = (-1) n = -1
x = 1 uchun, y(1) = 1 n = 1
Teskari funksiya:

Juft sanoq, n = -2, -4, -6, ...

Ratsional manfiy ko'rsatkichli y = xp darajali funksiyaning xossalari, bu erda n = -2, -4, -6, ... juft manfiy butun son, m = 3, 5, 7 ... toq natural son. .

Domen: x ≠ 0
Bir nechta qiymatlar: y > 0
Paritet: juft, y(-x) = y(x)
Monoton:
x da< 0 : монотонно возрастает
x > 0 uchun: monoton kamayuvchi
Ekstremal: Yo'q
Qavariq: qavariq pastga
Uzilish nuqtalari: Yo'q
Koordinata o'qlari bilan kesishish nuqtalari: Yo'q
Belgi: y > 0
Cheklovlar:
; ; ;
Shaxsiy qadriyatlar:
x = -1 uchun, y(-1) = (-1) n = 1
x = 1 uchun, y(1) = 1 n = 1
Teskari funksiya:

p-qiymati ijobiy, birdan kichik, 0< p < 1

Ratsional darajali daraja funksiyasining grafigi (0< p < 1 ) при различных значениях показателя степени , где m = 3, 5, 7, ... - нечетное.

Toq son, n = 1, 3, 5, ...

< p < 1 , где n = 1, 3, 5, ... - нечетное натуральное, m = 3, 5, 7 ... - нечетное натуральное.

Domen: -∞ < x < +∞
Bir nechta qiymatlar: -∞ < y < +∞
Paritet: toq, y(-x) = - y(x)
Monoton: monoton ravishda ortadi
Ekstremal: Yo'q
Qavariq:
x da< 0 : выпукла вниз
x > 0 uchun: qavariq yuqoriga
Uzilish nuqtalari: x=0, y=0
Koordinata o'qlari bilan kesishish nuqtalari: x=0, y=0
Belgi:
x da< 0, y < 0
x > 0, y > 0 uchun
Cheklovlar:
;
Shaxsiy qadriyatlar:
uchun x = -1, y(-1) = -1
uchun x = 0, y(0) = 0
x = 1 uchun, y(1) = 1
Teskari funksiya:

Juft sanoq, n = 2, 4, 6, ...

Ratsional ko'rsatkichli y = x p quvvat funksiyasining 0 ichida bo'lgan xossalari keltirilgan.< p < 1 , где n = 2, 4, 6, ... - четное натуральное, m = 3, 5, 7 ... - нечетное натуральное.

Domen: -∞ < x < +∞
Bir nechta qiymatlar: 0 ≤ y< +∞
Paritet: juft, y(-x) = y(x)
Monoton:
x da< 0 : монотонно убывает
x > 0 uchun: monoton ravishda ortib boradi
Ekstremal: x = 0 da minimal, y = 0
Qavariq: x ≠ 0 da yuqoriga qavariq
Uzilish nuqtalari: Yo'q
Koordinata o'qlari bilan kesishish nuqtalari: x=0, y=0
Belgi: x ≠ 0 uchun, y > 0
Cheklovlar:
;
Shaxsiy qadriyatlar:
uchun x = -1, y(-1) = 1
uchun x = 0, y(0) = 0
x = 1 uchun, y(1) = 1
Teskari funksiya:

Ko'rsatkich p birdan katta, p > 1

Ko'rsatkichning turli qiymatlari uchun ratsional ko'rsatkichli (p > 1) quvvat funktsiyasining grafigi, bu erda m = 3, 5, 7, ... g'alati.

Toq son, n = 5, 7, 9, ...

Ratsional ko'rsatkichi birdan katta bo'lgan y = x p darajali funksiyaning xossalari:. Bu yerda n = 5, 7, 9, ... toq natural son, m = 3, 5, 7 ... toq natural son.

Domen: -∞ < x < ∞
Bir nechta qiymatlar: -∞ < y < ∞
Paritet: toq, y(-x) = - y(x)
Monoton: monoton ravishda ortadi
Ekstremal: Yo'q
Qavariq:
-∞ da< x < 0 выпукла вверх
0 da< x < ∞ выпукла вниз
Uzilish nuqtalari: x=0, y=0
Koordinata o'qlari bilan kesishish nuqtalari: x=0, y=0
Cheklovlar:
;
Shaxsiy qadriyatlar:
uchun x = -1, y(-1) = -1
uchun x = 0, y(0) = 0
x = 1 uchun, y(1) = 1
Teskari funksiya:

Juft sanoq, n = 4, 6, 8, ...

Ratsional ko'rsatkichi birdan katta bo'lgan y = x p darajali funksiyaning xossalari:. Bu yerda n = 4, 6, 8, ... juft natural son, m = 3, 5, 7 ... toq natural son.

Domen: -∞ < x < ∞
Bir nechta qiymatlar: 0 ≤ y< ∞
Paritet: juft, y(-x) = y(x)
Monoton:
x da< 0 монотонно убывает
x > 0 uchun monoton ravishda ortadi
Ekstremal: x = 0 da minimal, y = 0
Qavariq: qavariq pastga
Uzilish nuqtalari: Yo'q
Koordinata o'qlari bilan kesishish nuqtalari: x=0, y=0
Cheklovlar:
;
Shaxsiy qadriyatlar:
uchun x = -1, y(-1) = 1
uchun x = 0, y(0) = 0
x = 1 uchun, y(1) = 1
Teskari funksiya:

Kasr ko'rsatkichining maxraji juft

Kasr ko'rsatkichining maxraji juft bo'lsin: m = 2, 4, 6, ... . Bunday holda, x p quvvat funktsiyasi argumentning salbiy qiymatlari uchun aniqlanmagan. Uning xususiyatlari irratsional ko'rsatkichli quvvat funktsiyasining xususiyatlariga to'g'ri keladi (keyingi bo'limga qarang).

Irratsional darajali quvvat funksiyasi

P irratsional ko'rsatkichli y = x p quvvat funksiyasini ko'rib chiqaylik. Bunday funktsiyalarning xususiyatlari yuqorida ko'rib chiqilganlardan farq qiladi, chunki ular x argumentining salbiy qiymatlari uchun aniqlanmagan. Argumentning ijobiy qiymatlari uchun xususiyatlar faqat p ko'rsatkichining qiymatiga bog'liq va p butun son, ratsional yoki irratsional ekanligiga bog'liq emas.

p ko'rsatkichining turli qiymatlari uchun y = x p.

Salbiy p bilan quvvat funktsiyasi< 0

Domen: x > 0
Bir nechta qiymatlar: y > 0
Monoton: monoton tarzda kamayadi
Qavariq: qavariq pastga
Uzilish nuqtalari: Yo'q
Koordinata o'qlari bilan kesishish nuqtalari: Yo'q
Cheklovlar: ;
shaxsiy qiymat: x = 1 uchun y(1) = 1 p = 1

Ijobiy ko'rsatkichi p > 0 bo'lgan quvvat funksiyasi

Ko'rsatkich bir 0 dan kam< p < 1

Domen: x ≥ 0
Bir nechta qiymatlar: y ≥ 0
Monoton: monoton ravishda ortadi
Qavariq: yuqoriga qavariq
Uzilish nuqtalari: Yo'q
Koordinata o'qlari bilan kesishish nuqtalari: x=0, y=0
Cheklovlar:
Shaxsiy qadriyatlar: x = 0 uchun y(0) = 0 p = 0 .
x = 1 uchun y(1) = 1 p = 1

Ko'rsatkich bir p > 1 dan katta

Domen: x ≥ 0
Bir nechta qiymatlar: y ≥ 0
Monoton: monoton ravishda ortadi
Qavariq: qavariq pastga
Uzilish nuqtalari: Yo'q
Koordinata o'qlari bilan kesishish nuqtalari: x=0, y=0
Cheklovlar:
Shaxsiy qadriyatlar: x = 0 uchun y(0) = 0 p = 0 .
x = 1 uchun y(1) = 1 p = 1

Adabiyotlar:
I.N. Bronshteyn, K.A. Semendyaev, Oliy o'quv yurtlari muhandislari va talabalari uchun matematika bo'yicha qo'llanma, Lan, 2009 yil.

). Bazaning haqiqiy qiymatlari uchun X va ko'rsatkich lekin odatda faqat S. f ning haqiqiy qiymatlarini hisobga oling. x a. Ular hech bo'lmaganda hamma uchun mavjud. x > 0; agar lekin - toq maxrajli ratsional son bo'lsa, ular ham hamma uchun mavjud x 0; agar ratsional sonning maxraji lekin hatto, yoki irratsional bo'lsa, keyin x a hech qanday haqiqiy ma'noga ega emas x 0. Qachon x = 0 quvvat funktsiyasi x a hamma uchun nolga teng lekin> 0 va uchun aniqlanmagan a 0; 0 ° ning aniq ma'nosi yo'q. S. f. (haqiqiy qiymatlar oralig'ida) noyobdir, bundan mustasno lekin - juft maxrajli kamaytirilmaydigan kasr bilan ifodalangan ratsional son: bu hollarda u ikki qiymatli va argumentning bir xil qiymati uchun uning qiymatlari. X> 0 mutlaq qiymatda teng, lekin ishorasi qarama-qarshidir. Odatda bu holda S. f.ning faqat manfiy boʻlmagan yoki arifmetik qiymati hisobga olinadi. Uchun X> 0 S. f. - agar ortib boradi lekin> 0 va agar kamayadi lekin x = 0, 0 a holatda x a)" = ax a-1. Keyinchalik,

Funktsiyalarni ko'rish y \u003d cx a, qayerda dan- doimiy koeffitsient, matematikada va uning qo'llanilishida muhim rol o'ynaydi; da lekin= 1, bu funktsiyalar to'g'ridan-to'g'ri proportsionallikni ifodalaydi (ularning grafiklari koordinatali to'g'ri chiziqlardir, rasmga qarang. bitta), da a =-1 - teskari proportsionallik (grafiklar koordinata o'qlari asimptotalari bo'lgan, boshlang'ich nuqtasida joylashgan teng yonli giperbolalardir; rasmga qarang. 2). Ko'pgina fizika qonunlari shakl funktsiyalari yordamida matematik tarzda ifodalanadi y = cx a(rasmga qarang. 3); misol uchun, y = cx 2 bir tekis tezlashtirilgan yoki bir tekis sekin harakat qonunini ifodalaydi ( y - yo'l, X - vaqt, 2 c- tezlashtirish; boshlang'ich masofa va tezlik nolga teng).

Murakkab mintaqada S. f. z a hamma uchun belgilangan z≠ 0 formula bo'yicha:

qayerda k= 0, ± 1, ± 2,.... Agar lekin - butun son, keyin S. f. z a aniq:

Agar lekin - mantiqiy (va = p/q, qayerda R Va q koprime), keyin S. f. z a qabul qiladi q turli xil ma'nolar:

bu yerda e k = - daraja ildizlari q birlikdan: k = 0, 1, ..., q - 1. Agar lekin - mantiqsiz, keyin S. f. z a - cheksiz qiymat: multiplikator e a2k π ι turlicha qabul qiladi k turli ma'nolar. S. f ning murakkab qiymatlari bilan. z a bir xil formula (*) bilan aniqlanadi. Misol uchun,

shunday qilib, xususan, k = 0, ± 1, ± 2,....

Asosiy qiymat ostida ( z a) 0 S. f. uning ma'nosi tushuniladi k = 0, agar -pz ≤ p (yoki 0 ≤ arg z z a) = |z a|e ia arg z, (i) 0 \u003d e -p / 2 va boshqalar.

Buyuk Sovet Entsiklopediyasi. - M.: Sovet Entsiklopediyasi. 1969-1978 .

Boshqa lug'atlarda "Quvvat funktsiyasi" nima ekanligini ko'ring:

y = axn ko'rinishidagi funktsiya, bu erda a va n har qanday haqiqiy sonlar ... Katta ensiklopedik lug'at

Quvvat funksiyasi funktsiyasi, bu erda (eksponent) qandaydir haqiqiy son ... Vikipediya

y = axn ko'rinishdagi funktsiya, bu erda a va p haqiqiydir. raqamlar, S. f. tabiatdagi juda ko‘p qonuniyatlarni qamrab oladi. Shaklda. S. f ning grafiklari ko'rsatilgan. n \u003d 1, 2, 3, 1/2 va a \u003d 1 uchun. San'atga. Quvvat funktsiyasi… Katta ensiklopedik politexnika lug'ati

y=axn ko'rinishdagi funktsiya, bu erda a va n har qanday haqiqiy sonlardir. Rasmda n = 1, 2, 3, 1/2 va a = 1 uchun quvvat funktsiyasining grafiklari ko'rsatilgan. * * * QUVVAT FUNKSIYASI QUVVAT FUNKSIYASI, y = axn ko'rinishidagi funktsiya, bu erda a va n har qanday haqiqiy sonlardir. ... ensiklopedik lug'at

quvvat funktsiyasi- laipsninė funkcija statusas T sritis automatika atitikmenys: engl. quvvat funktsiyasi vok. Potenzfunktion, f rus. quvvat funktsiyasi, fpranc. fonction puissance, f … Automatikos terminų žodynas

y \u003d x a funktsiyasi, bu erda a doimiy son. Agar a butun son bo'lsa, u holda C. f. ratsional funksiyaning maxsus holati. Chi aC ning murakkab qiymatlari bilan. f. a butun son bo'lmasa, noaniq bo'ladi. Ruxsat etilgan real uchun. va x a soni kuchdir ... Matematik entsiklopediya

y = axn ko'rinishdagi funktsiya, bu erda a va n har qanday haqiqiy sonlardir. Shaklda. S. f ning grafiklari ko'rsatilgan. n= 1, 2, 3, 1/2 va a=1 uchun ... Tabiiy fan. ensiklopedik lug'at

talab funktsiyasi- Muayyan mahsulotni bozorga olib chiqish uchun teng marketing harakatlari bilan uning narxiga qarab sotish hajmi qanday o'zgarishini ko'rsatadigan funktsiya. talab funktsiyasi ...... aks ettiruvchi funktsiya. Texnik tarjimon uchun qo'llanma

Talab funktsiyasi- alohida tovar va xizmatlarga (iste'mol tovarlari) talab hajmining unga ta'sir qiluvchi omillar majmuiga bog'liqligini aks ettiruvchi funksiya. Torroq talqin: F.s. mahsulotga boʻlgan talab va narx oʻrtasidagi oʻzaro bogʻliqlikni ifodalaydi ... ... Iqtisodiy va matematik lug'at

Y = 1 + x + x2 + x3 + ... modullari birdan kichik bo'lgan haqiqiy yoki murakkab x qiymatlar uchun aniqlanadi. F. y \u003d p0xn + p1xn 1 + p2xn 2 + ... + pn 1x + pn, bu erda koeffitsientlar, p0, p1, p2, ..., pn, bu raqamlar butun funktsiya n oh deb ataladi. ... ... Brokxaus va Efron entsiklopediyasi

Kitoblar

• Jadvallar to'plami. Algebra va tahlilning boshlanishi. 11-sinf. 15 ta jadvallar + metodologiya, . Jadvallar 680 x 980 mm o'lchamdagi qalin poligrafik kartonga bosilgan. To'plamda o'qituvchilar uchun uslubiy tavsiyalar mavjud risola mavjud. 15 varaqdan iborat oʻquv albomi…

Mavzu bo'yicha dars va taqdimot: "Energetika funktsiyalari. Xossalar. Grafiklar"

Qo'shimcha materiallar
Hurmatli foydalanuvchilar, o'z mulohazalaringizni, fikr-mulohazalaringizni, takliflaringizni qoldirishni unutmang! Barcha materiallar antivirus dasturi tomonidan tekshiriladi.

11-sinf uchun "Integral" onlayn-do'konida o'quv qo'llanmalari va simulyatorlar
9-11-sinflar uchun "Trigonometriya" interfaol qo'llanma
10-11-sinflar uchun "Logarifmlar" interfaol qo'llanma

Quvvat funksiyalari, ta'rif sohasi.

Bolalar, oxirgi darsda biz ratsional ko'rsatkichli raqamlar bilan ishlashni o'rgandik. Ushbu darsda biz kuch funktsiyalarini ko'rib chiqamiz va ko'rsatkich ratsional bo'lgan holat bilan cheklanamiz.
Formaning funksiyalarini ko'rib chiqamiz: $y=x^(\frac(m)(n))$.
Dastavval ko‘rsatkichi $\frac(m)(n)>1$ bo‘lgan funksiyalarni ko‘rib chiqamiz.
Bizga $y=x^2*5$ maxsus funksiya berilsin.
O'tgan darsda bergan ta'rifga ko'ra: agar $x≥0$ bo'lsa, u holda bizning funktsiyamiz sohasi $(x)$ nuridir. Keling, funktsiya grafigimizni sxematik tasvirlaymiz.

$y=x^(\frac(m)(n))$, $0 funksiya xossalari 2. Juft ham, toq ham emas.
3. $$ ga oshadi,
b) $(2,10)$,
c) $$ nurida.
Yechim.
Bolalar, 10-sinfda segmentdagi funksiyaning eng katta va eng kichik qiymatini qanday topganimizni eslaysizmi?
To'g'ri, biz hosiladan foydalanganmiz. Keling, misolimizni yechib, eng kichik va eng katta qiymatni topish algoritmini takrorlaymiz.
1. Berilgan funksiyaning hosilasini toping:
$y"=\frac(16)(5)*\frac(5)(2)x^(\frac(3)(2))-x^3=8x^(\frac(3)(2)) -x^3=8\sqrt(x^3)-x^3$.
2. Hosilasi asl funksiyaning butun sohasi bo‘yicha mavjud bo‘lsa, u holda kritik nuqtalar yo‘q. Statsionar nuqtalarni topamiz:
$y"=8\sqrt(x^3)-x^3=0$.
$8*\sqrt(x^3)=x^3$.
$64x^3=x^6$.
$x^6-64x^3=0$.
$x^3(x^3-64)=0$.
$x_1=0$ va $x_2=\sqrt(64)=4$.
Berilgan segmentga faqat bitta yechim $x_2=4$ tegishli.
Segmentning oxirida va ekstremal nuqtada funksiyamiz qiymatlari jadvalini tuzamiz:
Javob: $y_(ism)=-862,65$ bilan $x=9$; $x=4$ uchun $y_(maks)=38,4$.

Misol. Tenglamani yeching: $x^(\frac(4)(3))=24-x$.
Yechim. $y=x^(\frac(4)(3))$ funksiyaning grafigi ortib bormoqda, $y=24-x$ funksiyaning grafigi esa kamaymoqda. Bolalar, siz va men bilamiz: agar bir funktsiya ortib, ikkinchisi kamaysa, ular faqat bitta nuqtada kesishadi, ya'ni bizda faqat bitta yechim bor.
Eslatma:
$8^(\frac(4)(3))=\sqrt(8^4)=(\sqrt(8))^4=2^4=16$.
$24-8=16$.
Ya'ni $x=8$ uchun $16=16$ to'g'ri tenglikni oldik, bu bizning tenglamamizning yechimi.
Javob: $x=8$.

Misol.
Funksiya grafigini chizing: $y=(x-3)^\frac(3)(4)+2$.
Yechim.
Funktsiyamizning grafigi $y=x^(\frac(3)(4))$ funksiya grafigidan uni 3 birlik o'ngga va 2 birlik yuqoriga siljitgan holda olinadi.

Misol. $y=x^(-\frac(4)(5))$ chiziqqa $x=1$ nuqtadagi teginish tenglamasini yozing.
Yechim. Tangens tenglama bizga ma'lum bo'lgan formula bilan aniqlanadi:
$y=f(a)+f"(a)(x-a)$.
Bizning holatda $a=1$.
$f(a)=f(1)=1^(-\frac(4)(5))=1$.
Keling, hosilani topamiz:
$y"=-\frac(4)(5)x^(-\frac(9)(5))$.
Keling, hisoblab chiqamiz:
$f"(a)=-\frac(4)(5)*1^(-\frac(9)(5))=-\frac(4)(5)$.
Tangens tenglamasini toping:
$y=1-\frac(4)(5)(x-1)=-\frac(4)(5)x+1\frac(4)(5)$.
Javob: $y=-\frac(4)(5)x+1\frac(4)(5)$.

Mustaqil hal qilish uchun vazifalar

1. Funktsiyaning eng katta va eng kichik qiymatini toping: $y=x^\frac(4)(3)$ segmentida:
a) $$.
b) $(4,50)$.
c) $$ nurida.
3. Tenglamani yeching: $x^(\frac(1)(4))=18-x$.
4. Funksiya grafigini tuzing: $y=(x+1)^(\frac(3)(2))-1$.
5. $y=x^(-\frac(3)(7))$ chiziqqa $x=1$ nuqtadagi teginish tenglamasini yozing.