Definizione di logaritmo

Il logaritmo del numero b in base a è l'esponente a cui devi aumentare a per ottenere b.

Il numero e in matematica è consuetudine indicare il limite a cui tende l'espressione

Numero eè numero irrazionale- un numero incommensurabile con uno, non può essere esattamente espresso né come intero né come frazione razionale numero.

Lettera e- la prima lettera di una parola latina esonerare- ostentare, da cui il nome in matematica esponenziale- funzione esponenziale.

Numero e ampiamente utilizzato in matematica e in tutte le scienze, in un modo o nell'altro utilizzando calcoli matematici per le loro esigenze.

Logaritmi. Proprietà dei logaritmi

Definizione: Il logaritmo di base di un numero positivo b è l'esponente c a cui il numero a deve essere elevato per ottenere il numero b.

Identità logaritmica di base:

7) Formula per il passaggio a una nuova base:

lna = log e a, e ≈ 2.718…

Compiti e test sull'argomento “Logaritmi. Proprietà dei logaritmi»

• Logaritmi - Argomenti importanti per la ripetizione dell'esame in matematica

Per completare con successo le attività su questo argomento, è necessario conoscere la definizione del logaritmo, le proprietà dei logaritmi, l'identità logaritmica di base, le definizioni dei logaritmi decimali e naturali. I principali tipi di attività su questo argomento sono attività per il calcolo e la conversione di espressioni logaritmiche. Consideriamo la loro soluzione nei seguenti esempi.

Soluzione: Usando le proprietà dei logaritmi, otteniamo

Soluzione: usando le proprietà del grado otteniamo

1) (2 2) registro 2 5 =(2 registro 2 5) 2 =5 2 =25

Proprietà dei logaritmi, formulazioni e dimostrazioni.

I logaritmi hanno un certo numero di proprietà caratteristiche. In questo articolo analizzeremo il principale proprietà dei logaritmi. Qui diamo le loro formulazioni, annotiamo le proprietà dei logaritmi sotto forma di formule, mostriamo esempi della loro applicazione e diamo anche prove delle proprietà dei logaritmi.

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Proprietà di base dei logaritmi, formule

Per facilità di ricordare e utilizzare, presentiamo proprietà di base dei logaritmi come elenco di formule. Nella prossima sezione, diamo le loro formulazioni, dimostrazioni, esempi di utilizzo e spiegazioni necessarie.

Proprietà log unità: log a 1=0 per qualsiasi a>0 , a≠1 .

Il logaritmo di un numero uguale alla base: log a a=1 per a>0 , a≠1 .

Proprietà del logaritmo del grado base: log a a p =p , dove a>0 , a≠1 ep è un numero reale qualsiasi.

Il logaritmo del prodotto di due numeri positivi: log a (x y)=log a x+log a y , a>0 , a≠1 , x>0 , y>0 ,
e la proprietà del logaritmo del prodotto di n numeri positivi: log a (x 1 x 2 ... x n) \u003d log a x 1 + log a x 2 + ... + log a x n, a>0, a≠1 , x 1 >0, x 2 >0, …, xn >0 .

Proprietà logaritmica privata: , dove a>0 , a≠1 , x>0 , y>0 .

Logaritmo della potenza di un numero: log a b p =p log a |b| , dove a>0 , a≠1 , b e p sono numeri tali che il grado di b p ha senso e b p >0 .

Conseguenza: , dove a>0 , a≠1 , n è un numero naturale maggiore di uno, b>0 .

Corollario 1: , a>0 , a≠1 , b>0 , b≠1 .

Corollario 2: , a>0 , a≠1 , b>0 , p e q sono numeri reali, q≠0 , in particolare, per b=a abbiamo .

Dichiarazioni e prove di proprietà

Passiamo alla formulazione e alla dimostrazione delle proprietà registrate dei logaritmi. Tutte le proprietà dei logaritmi sono dimostrate sulla base della definizione del logaritmo e dell'identità logaritmica di base che ne consegue, nonché delle proprietà del grado.

Iniziamo con proprietà del logaritmo dell'unità. La sua formulazione è la seguente: il logaritmo dell'unità è uguale a zero, cioè log a 1=0 per ogni a>0 , a≠1 . La dimostrazione è semplice: poiché a 0 =1 per ogni a che soddisfa le condizioni di cui sopra a>0 e a≠1 , allora la provata uguaglianza log a 1=0 segue immediatamente dalla definizione del logaritmo.

Diamo esempi di applicazione della proprietà considerata: log 3 1=0 , lg1=0 e .

Passiamo alla proprietà successiva: il logaritmo di un numero uguale alla base è uguale a uno, questo è, log a a=1 per a>0 , a≠1 . Infatti, poiché a 1 =a per ogni a , allora per la definizione del logaritmo log a a=1 .

Esempi di utilizzo di questa proprietà dei logaritmi sono log 5 5=1 , log 5.6 5.6 e lne=1 .

Il logaritmo della potenza di un numero uguale alla base del logaritmo è uguale all'esponente. Questa proprietà del logaritmo corrisponde a una formula della forma log a a p = p, dove a>0 , a≠1 ep è un numero reale qualsiasi. Questa proprietà segue direttamente dalla definizione del logaritmo. Si noti che consente di specificare immediatamente il valore del logaritmo, se è possibile rappresentare il numero sotto il segno del logaritmo come grado di base, ne parleremo meglio nell'articolo sul calcolo dei logaritmi.

Ad esempio, log 2 2 7 =7 , log10 -4 =-4 e .

Logaritmo del prodotto di due numeri positivi x e y è uguale al prodotto logaritmi di questi numeri: log a (x y)=log a x+log a y, a>0 , a≠1 . Dimostriamo la proprietà del logaritmo del prodotto. Per le proprietà del grado a log a x + log a y =a log a x a log a y , e poiché per l' identità logaritmica principale a log a x =x e a log a y = y , allora a log a x a log a y =x y . Quindi, un log a x+log a y =x y , da cui l'uguaglianza richiesta segue dalla definizione del logaritmo.

Mostriamo esempi di utilizzo della proprietà del logaritmo del prodotto: log 5 (2 3)=log 5 2+log 5 3 e .

La proprietà del logaritmo prodotto può essere generalizzata al prodotto di un numero finito n di numeri positivi x 1 , x 2 , …, x n come log a (x 1 x 2 ... x n)= log a x 1 +log a x 2 +...+log a x n. Questa uguaglianza può essere facilmente dimostrata con il metodo dell'induzione matematica.

Ad esempio, il logaritmo naturale di un prodotto può essere sostituito dalla somma di tre logaritmi naturali dei numeri 4 , e e .

Logaritmo del quoziente di due numeri positivi xey è uguale alla differenza tra i logaritmi di questi numeri. La proprietà del logaritmo quoziente corrisponde a una formula della forma , dove a>0 , a≠1 , xey sono dei numeri positivi. La validità di questa formula si dimostra come la formula per il logaritmo del prodotto: poiché , quindi per la definizione del logaritmo .

Ecco un esempio di utilizzo di questa proprietà del logaritmo: .

Passiamo a proprietà del logaritmo di grado. Il logaritmo di un grado è uguale al prodotto dell'esponente e il logaritmo del modulo della base di questo grado. Scriviamo questa proprietà del logaritmo del grado sotto forma di formula: log a b p =p log a |b|, dove a>0 , a≠1 , b e p sono numeri tali che il grado di b p ha senso e b p >0 .

Dimostriamo prima questa proprietà per b positivo. L'identità logaritmica di base ci permette di rappresentare il numero b come un log a b , quindi b p =(a log a b) p , e l'espressione risultante, per la proprietà power, è uguale a p log a b . Quindi arriviamo all'uguaglianza b p =a p log a b , dalla quale, per definizione del logaritmo, concludiamo che log a b p =p log a b .

Resta da dimostrare questa proprietà per b negativo. Qui notiamo che l'espressione log a b p per b negativo ha senso solo per esponenti pari p (poiché il valore del grado b p deve essere maggiore di zero, altrimenti il ​​logaritmo non avrà senso), e in questo caso b p =|b| p . Allora bp =|b| p =(a log a |b|) p =a p log a |b| , da cui log a b p =p log a |b| .

Per esempio, e ln(-3) 4 =4 ln|-3|=4 ln3 .

Consegue dalla precedente proprietà proprietà del logaritmo dalla radice: il logaritmo della radice dell'ennesimo grado è uguale al prodotto della frazione 1/n per il logaritmo dell'espressione della radice, cioè dove a>0, a≠1, n è un numero naturale maggiore di uno, b>0.

La dimostrazione si basa su un'uguaglianza (vedi la definizione di esponente con esponente frazionario), che vale per qualsiasi b positivo, e la proprietà del logaritmo del grado: .

Ecco un esempio di utilizzo di questa proprietà: .

Ora dimostriamo formula di conversione nella nuova base del logaritmo tipo . Per fare ciò è sufficiente provare la validità dell'uguaglianza log c b=log a b log c a . L'identità logaritmica di base ci permette di rappresentare il numero b come log a b , quindi log c b=log c a log a b . Resta da usare la proprietà del logaritmo del grado: log c a log a b = log a b log c a . Si dimostra quindi l'uguaglianza log c b=log a b log c a, il che significa che si dimostra anche la formula per il passaggio a una nuova base del logaritmo .

Mostriamo un paio di esempi di applicazione di questa proprietà dei logaritmi: e .

La formula per passare a una nuova base consente di passare a lavorare con logaritmi che hanno una base “conveniente”. Ad esempio, può essere utilizzato per passare ai logaritmi naturali o decimali in modo da poter calcolare il valore del logaritmo da una tabella di logaritmi. La formula per il passaggio a una nuova base del logaritmo permette anche in alcuni casi di trovare il valore di un dato logaritmo, quando sono noti i valori di alcuni logaritmi con altre basi.

Viene spesso utilizzato un caso speciale della formula di transizione a una nuova base del logaritmo per c=b della forma. Ciò mostra che log a b e log b a sono numeri reciprocamente inversi. Per esempio, .

Viene spesso utilizzata anche la formula, che è utile quando si trovano valori di logaritmi. A conferma delle nostre parole, mostreremo come viene calcolato il valore del logaritmo del modulo utilizzando esso. abbiamo . Per dimostrare la formula basta usare la formula di transizione alla nuova base del logaritmo a: .

Resta da dimostrare le proprietà di confronto dei logaritmi.

Usiamo il metodo opposto. Supponiamo che per a 1 >1 , a 2 >1 e a 1 2 e per 0 1 log a 1 b≤log a 2 b sia vero. Per le proprietà dei logaritmi, queste disuguaglianze possono essere riscritte come e rispettivamente, e da essi segue che log b a 1 ≤log b a 2 e log b a 1 ≥log b a 2, rispettivamente. Quindi, per le proprietà delle potenze aventi le stesse basi, devono essere soddisfatte le uguaglianze b log b a 1 ≥b log b a 2 e b log b a 1 ≥b log b a 2, cioè a 1 ≥a 2 . Quindi, siamo arrivati ​​a una contraddizione con la condizione a 1 2 . Questo completa la dimostrazione.

Proprietà di base dei logaritmi

• Materiali per la lezione
• Scarica tutte le formule

I logaritmi, come qualsiasi numero, possono essere aggiunti, sottratti e convertiti in ogni modo possibile. Ma poiché i logaritmi non sono numeri ordinari, qui ci sono regole che vengono chiamate proprietà di base.

Queste regole devono essere conosciute - nessun serio problema logaritmico può essere risolto senza di esse. Inoltre, ce ne sono pochissimi: tutto può essere appreso in un giorno. Quindi iniziamo.

Addizioni e sottrazioni di logaritmi

Considera due logaritmi con la stessa base: log a x e log a y . Quindi possono essere aggiunti e sottratti e:

Quindi, la somma dei logaritmi è uguale al logaritmo del prodotto e la differenza è il logaritmo del quoziente. Nota: il punto chiave qui è - stessi motivi. Se le basi sono diverse, queste regole non funzionano!

Queste formule aiuteranno a calcolare l'espressione logaritmica anche quando le sue singole parti non vengono considerate (vedi la lezione "Cos'è un logaritmo"). Dai un'occhiata agli esempi - e guarda:

Un compito. Trova il valore dell'espressione: log 6 4 + log 6 9.

Poiché le basi dei logaritmi sono le stesse, utilizziamo la formula della somma:
ceppo 6 4 + ceppo 6 9 = ceppo 6 (4 9) = ceppo 6 36 = 2.

Un compito. Trova il valore dell'espressione: log 2 48 − log 2 3.

Le basi sono le stesse, usiamo la formula della differenza:
ceppo 2 48 - ceppo 2 3 = ceppo 2 (48: 3) = ceppo 2 16 = 4.

Un compito. Trova il valore dell'espressione: log 3 135 − log 3 5.

Anche in questo caso, le basi sono le stesse, quindi abbiamo:
ceppo 3 135 − ceppo 3 5 = ceppo 3 (135: 5) = ceppo 3 27 = 3.

Come puoi vedere, le espressioni originali sono costituite da logaritmi "cattivi", che non vengono considerati separatamente. Ma dopo le trasformazioni risultano numeri abbastanza normali. Molti test si basano su questo fatto. Sì, quel controllo - espressioni simili in tutta serietà (a volte - praticamente senza modifiche) vengono offerte all'esame.

Eliminando l'esponente dal logaritmo

Ora complichiamo un po' il compito. E se c'è un grado nella base o nell'argomento del logaritmo? Quindi l'esponente di questo grado può essere estratto dal segno del logaritmo secondo le seguenti regole:

• log a x n = n log a x ;
• 
• 

È facile vedere che l'ultima regola segue le prime due. Ma è meglio ricordarlo comunque: in alcuni casi ridurrà notevolmente la quantità di calcoli.

Naturalmente, tutte queste regole hanno senso se si osserva il logaritmo ODZ: a > 0, a ≠ 1, x > 0. E ancora una cosa: impara ad applicare tutte le formule non solo da sinistra a destra, ma anche viceversa, cioè puoi inserire i numeri prima del segno del logaritmo nel logaritmo stesso. Questo è ciò che è più spesso richiesto.

Un compito. Trova il valore dell'espressione: log 7 49 6 .

Eliminiamo il grado nell'argomento secondo la prima formula:
registro 7 49 6 = 6 registro 7 49 = 6 2 = 12

Un compito. Trova il valore dell'espressione:

[Didascalia]

Si noti che il denominatore è un logaritmo la cui base e argomento sono potenze esatte: 16 = 2 4 ; 49 = 72. Abbiamo:

[Didascalia]

Penso che l'ultimo esempio abbia bisogno di chiarimenti. Dove sono finiti i logaritmi? Fino all'ultimo momento, lavoriamo solo con il denominatore. Hanno presentato la base e l'argomento del logaritmo in piedi sotto forma di gradi e hanno estratto gli indicatori: hanno ottenuto una frazione di "tre piani".

Ora diamo un'occhiata alla frazione principale. Il numeratore e il denominatore hanno lo stesso numero: log 2 7. Poiché log 2 7 ≠ 0, possiamo ridurre la frazione - 2/4 rimarranno al denominatore. Secondo le regole dell'aritmetica, il quattro può essere trasferito al numeratore, cosa che è stata fatta. Il risultato è la risposta: 2.

Passaggio a una nuova fondazione

Parlando delle regole per aggiungere e sottrarre logaritmi, ho sottolineato in modo specifico che funzionano solo con le stesse basi. E se le basi sono diverse? E se non fossero potenze esatte dello stesso numero?

Le formule per il passaggio a una nuova base vengono in soccorso. Le formuliamo sotto forma di teorema:

Sia dato il logaritmo log a x. Allora per ogni numero c tale che c > 0 e c ≠ 1, l'uguaglianza è vera:

[Didascalia]

In particolare, se mettiamo c = x , otteniamo:

[Didascalia]

Dalla seconda formula deriva che è possibile scambiare la base e l'argomento del logaritmo, ma in questo caso l'intera espressione è “rivoltata”, cioè il logaritmo è al denominatore.

Queste formule si trovano raramente nelle normali espressioni numeriche. È possibile valutare quanto siano convenienti solo quando si risolvono equazioni e disequazioni logaritmiche.

Tuttavia, ci sono compiti che non possono essere risolti affatto se non passando a una nuova fondazione. Consideriamo un paio di questi:

Un compito. Trova il valore dell'espressione: log 5 16 log 2 25.

Si noti che gli argomenti di entrambi i logaritmi sono esponenti esatti. Estraiamo gli indicatori: log 5 16 = log 5 2 4 = 4log 5 2; ceppo 2 25 = ceppo 2 5 2 = 2 ceppo 2 5;

Ora capovolgiamo il secondo logaritmo:

[Didascalia]

Poiché il prodotto non cambia dalla permutazione dei fattori, abbiamo tranquillamente moltiplicato quattro e due, quindi abbiamo calcolato i logaritmi.

Un compito. Trova il valore dell'espressione: log 9 100 lg 3.

La base e l'argomento del primo logaritmo sono potenze esatte. Scriviamolo e sbarazziamoci degli indicatori:

[Didascalia]

Ora sbarazziamoci del logaritmo decimale spostandoci su una nuova base:

[Didascalia]

Identità logaritmica di base

Spesso nel processo di risoluzione è necessario rappresentare un numero come un logaritmo su una data base. In questo caso, le formule ci aiuteranno:

1. n = log a a n

2. Nel primo caso, il numero n diventa l'esponente nell'argomento. Il numero n può essere assolutamente qualsiasi cosa, perché è solo il valore del logaritmo.

   La seconda formula è in realtà una definizione parafrasata. Si chiama identità logaritmica di base.

   In effetti, cosa accadrà se il numero b viene elevato a una potenza tale che il numero b a questa potenza dia il numero a? Esatto: questo è lo stesso numero a . Leggi di nuovo attentamente questo paragrafo: molte persone "si appendono" su di esso.

   Come le nuove formule di conversione di base, l'identità logaritmica di base è talvolta l'unica soluzione possibile.

   [Didascalia]

   Nota che log 25 64 = log 5 8 - prendi solo il quadrato della base e l'argomento del logaritmo. Date le regole per moltiplicare potenze con la stessa base, otteniamo:

   [Didascalia]

   Se qualcuno non è a conoscenza, questo è stato un vero compito dall'Esame di Stato unificato 🙂

   Unità logaritmica e zero logaritmico

   In conclusione, darò due identità che è difficile chiamare proprietà - piuttosto, queste sono conseguenze dalla definizione del logaritmo. Si trovano costantemente nei problemi e, sorprendentemente, creano problemi anche agli studenti "avanzati".

   1. log a a = 1 è l'unità logaritmica. Ricorda una volta per tutte: il logaritmo su qualsiasi base a da quella base stessa è uguale a uno.
   2. log a 1 = 0 è zero logaritmico. La base a può essere qualsiasi cosa, ma se l'argomento è uno, il logaritmo è zero! Perché a 0 = 1 è una diretta conseguenza della definizione.

   Queste sono tutte le proprietà. Assicurati di esercitarti a metterli in pratica! Scarica il cheat sheet all'inizio della lezione, stampalo e risolvi i problemi.

   Logaritmo. Proprietà del logaritmo (addizione e sottrazione).

   Proprietà del logaritmo seguire dalla sua definizione. E quindi il logaritmo del numero b per ragione un definito come l'esponente a cui un numero deve essere elevato un per ottenere il numero b(il logaritmo esiste solo per i numeri positivi).

   Da questa formulazione ne consegue che il calcolo x=log a b, equivale a risolvere l'equazione ascia = b. Per esempio, registro 2 8 = 3 perché 8 = 2 3 . La formulazione del logaritmo permette di giustificare che se b=a c, quindi il logaritmo del numero b per ragione unè uguale a Insieme a. È anche chiaro che il tema del logaritmo è strettamente correlato al tema della potenza di un numero.

   Con i logaritmi, come con qualsiasi numero, puoi eseguire operazioni di addizione, sottrazione e trasforma in ogni modo possibile. Ma in considerazione del fatto che i logaritmi non sono numeri ordinari, qui si applicano le loro regole speciali, che vengono chiamate proprietà di base.

   Addizioni e sottrazioni di logaritmi.

   Prendi due logaritmi con la stessa base: registro x e log a y. Quindi rimuovere è possibile eseguire operazioni di addizione e sottrazione:

   Come vediamo, somma dei logaritmiè uguale al logaritmo del prodotto, e differenza logaritmi- il logaritmo del quoziente. E questo è vero se i numeri un, X e a positivo e a ≠ 1.

   È importante notare che l'aspetto principale in queste formule sono le stesse basi. Se le basi differiscono tra loro, queste regole non si applicano!

   Le regole per sommare e sottrarre logaritmi con le stesse basi vengono lette non solo da sinistra a destra, ma anche viceversa. Di conseguenza, abbiamo i teoremi per il logaritmo del prodotto e il logaritmo del quoziente.

   Logaritmo del prodotto due numeri positivi sono uguali alla somma dei loro logaritmi ; parafrasando questo teorema, otteniamo quanto segue, se i numeri un, X e a positivo e a ≠ 1, poi:

   Logaritmo del quoziente di due numeri positivi è uguale alla differenza tra i logaritmi del dividendo e del divisore. In altre parole, se i numeri un, X e a positivo e a ≠ 1, poi:

   Applichiamo i teoremi di cui sopra per risolvere esempi:

   Se numeri X e a sono negativi, quindi formula del logaritmo del prodotto diventa privo di significato. Quindi è vietato scrivere:

   poiché le espressioni log 2 (-8) e log 2 (-4) non sono affatto definite (la funzione logaritmica a= registro 2 X definito solo per valori positivi dell'argomento X).

   Teorema del prodottoè applicabile non solo per due, ma anche per un numero illimitato di fattori. Ciò significa che per ogni naturale K ed eventuali numeri positivi X 1 , X 2 , . . . ,x n c'è un'identità:

   Da teoremi del logaritmo quoziente si può ottenere un'altra proprietà del logaritmo. È noto quel registro un 1= 0, quindi

   Quindi c'è un'uguaglianza:

   Logaritmi di due numeri reciprocamente reciproci sulla stessa base differiranno tra loro solo nel segno. Così:

   Logaritmo. Proprietà dei logaritmi

   Logaritmo. Proprietà dei logaritmi

   Considera l'uguaglianza. Facci conoscere i valori e vogliamo trovare il valore di .

   Cioè, stiamo cercando un esponente a cui devi armare per ottenere .

   Permettere la variabile può assumere qualsiasi valore reale, quindi alle variabili vengono imposte le seguenti restrizioni: o” title=”a>o”/> , 1″ title=”a1″/>, 0″ title=”b>0″/ >

   Se conosciamo i valori di e , e ci troviamo di fronte al compito di trovare l'ignoto, allora a questo scopo viene introdotta un'operazione matematica, che si chiama logaritmo.

   Per trovare il valore che prendiamo logaritmo di un numero Su fondazione :

   Il logaritmo di un numero in base è l'esponente a cui devi aumentare per ottenere .

   Questo è identità logaritmica di base:

   o” title=”a>o”/> , 1″ title=”a1″/>, 0″ title=”b>0″/>

   è essenzialmente una notazione matematica definizioni di logaritmi.

   Il logaritmo dell'operazione matematica è l'inverso dell'esponenziazione, quindi proprietà dei logaritmi sono strettamente correlati alle proprietà del grado.

   Elenchiamo i principali proprietà dei logaritmi:

   (o” title=”a>o”/> , 1″ title=”a1″/>, 0″ title=”b>0″/>, 0,

   d>0″/>, 1″ title="d1″/>

   4.

   5.

   Il seguente gruppo di proprietà permette di rappresentare l'esponente dell'espressione sotto il segno del logaritmo, ovvero stare alla base del logaritmo come coefficiente prima del segno del logaritmo:

   6.

   7.

   8.

   9.

   Il prossimo gruppo di formule permette di passare da un logaritmo con una data base ad un logaritmo con una base arbitraria, ed è chiamato formule di transizione a una nuova base:

   10.

   12. (corollario dalla proprietà 11)

   

   Le seguenti tre proprietà non sono ben note, ma vengono spesso utilizzate quando si risolvono equazioni logaritmiche o quando si semplificano espressioni contenenti logaritmi:

   13.

   14.

   15.

   Casi speciali:

   — logaritmo decimale

   — logaritmo naturale

   Quando si semplificano le espressioni contenenti logaritmi, viene applicato un approccio generale:

   1. Rappresentiamo le frazioni decimali sotto forma di quelle ordinarie.

   2. Rappresentiamo i numeri misti come frazioni improprie.

   3. I numeri alla base del logaritmo e sotto il segno del logaritmo sono scomposti in fattori primi.

   4. Cerchiamo di portare tutti i logaritmi sulla stessa base.

   5. Applicare le proprietà dei logaritmi.

   Diamo un'occhiata a esempi di semplificazione di espressioni contenenti logaritmi.

   Esempio 1

   Calcolare:

   Semplifichiamo tutti gli esponenti: il nostro compito è portarli ai logaritmi la cui base è uguale alla base dell'esponente.

   ==(per proprietà 7)=(per proprietà 6) =

   Sostituisci gli indicatori che abbiamo ottenuto nell'espressione originale. Noi abbiamo:

   Risposta: 5.25

   Esempio 2 Calcola:

   

   Portiamo tutti i logaritmi in base 6 (in questo caso, i logaritmi dal denominatore della frazione "migreranno" al numeratore):

   Scomponiamo i numeri sotto il segno del logaritmo in fattori primi:

   Applicare le proprietà 4 e 6:

   Introduciamo la sostituzione

   Noi abbiamo:

   Risposta 1

   Logaritmo . Identità logaritmica di base.

   Proprietà dei logaritmi. Logaritmo decimale. logaritmo naturale.

   logaritmo numero positivo N in base (b > 0, b 1) è chiamato l'esponente x a cui devi aumentare b per ottenere N .

   Questa voce è equivalente alla seguente: bx = N .

   ESEMPI: log 3 81 = 4 poiché 3 4 = 81 ;

   registro 1/3 27 = – 3 perché (1/3) - 3 = 3 3 = 27 .

   La definizione di logaritmo sopra può essere scritta come identità:

   

   Proprietà di base dei logaritmi.

   2) log 1 = 0 perché b 0 = 1 .

   3) Il logaritmo del prodotto è uguale alla somma dei logaritmi dei fattori:

   4) Il logaritmo del quoziente è uguale alla differenza tra i logaritmi del dividendo e del divisore:

   5) Il logaritmo del grado è uguale al prodotto dell'esponente per il logaritmo della sua base:

   La conseguenza di questa proprietà è la seguente: radice di registro è uguale al logaritmo del numero radice diviso per la potenza della radice:

   

   6) Se la base del logaritmo è un grado, allora il valore il reciproco dell'esponente può essere estratto dal segno logaritmica della rima:

   

   Le ultime due proprietà possono essere combinate in una:

   

   7) La formula per il modulo di transizione (cioè la transizione da una base del logaritmo a un'altra base):

   

   In un caso particolare, quando N = a noi abbiamo:

   

   Logaritmo decimale chiamato logaritmo di base 10. È indicato con lg, cioè registro 10 N= registro N. Logaritmi dei numeri 10, 100, 1000, . p sono rispettivamente 1, 2, 3, …, cioè avere così tanti positivi

   unità, quanti zeri ci sono nel numero logaritmico dopo uno. Logaritmi dei numeri 0.1, 0.01, 0.001, . p sono rispettivamente –1, –2, –3, …, cioè avere tanti negativi quanti sono gli zeri nel numero logaritmico prima dell'uno (inclusi zero interi). I logaritmi dei numeri rimanenti hanno una parte frazionaria chiamata mantissa. Viene chiamata la parte intera del logaritmo caratteristica. Per applicazioni pratiche, i logaritmi decimali sono i più convenienti.

   logaritmo naturale chiamato logaritmo di base e. È indicato con ln, cioè tronco d'albero e N=ln N. Numero eè irrazionale, il suo valore approssimativo è 2,718281828. È il limite verso il quale il numero (1 + 1 / n) n con aumento illimitato n(centimetro. primo meraviglioso limite nella pagina Limiti sequenza numerica).
   Per quanto strano possa sembrare, i logaritmi naturali si sono rivelati molto convenienti durante l'esecuzione di varie operazioni relative all'analisi delle funzioni. Calcolo dei logaritmi di base e molto più veloce di qualsiasi altra base.

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Il logaritmo di un numero positivo b in base a (a>0, a non è uguale a 1) è un numero c tale che a c = b: log a b = c ⇔ a c = b (a > 0, a ≠ 1, b > 0)          

Si noti che il logaritmo di un numero non positivo non è definito. Inoltre, la base del logaritmo deve essere un numero positivo, diverso da 1. Ad esempio, se eleviamo al quadrato -2, otteniamo il numero 4, ma questo non significa che il logaritmo in base -2 di 4 sia 2.

Identità logaritmica di base

un log a b = b (a > 0, a ≠ 1) (2)

È importante che i domini di definizione delle parti destra e sinistra di questa formula siano diversi. Il lato sinistro è definito solo per b>0, a>0 e a ≠ 1. Il lato destro è definito per qualsiasi b e non dipende affatto da a. Pertanto, l'applicazione dell'"identità" logaritmica di base nella risoluzione di equazioni e disuguaglianze può portare a un cambiamento nel DPV.

Due ovvie conseguenze della definizione del logaritmo

log a a = 1 (a > 0, a ≠ 1) (3)
log a 1 = 0 (a > 0, a ≠ 1) (4)

Infatti, elevando il numero a alla prima potenza, otteniamo lo stesso numero, e elevandolo a potenza zero, otteniamo uno.

Il logaritmo del prodotto e il logaritmo del quoziente

log a (b c) = log a b + log a c (a > 0, a ≠ 1, b > 0, c > 0) (5)

Log a b c = log a b − log a c (a > 0, a ≠ 1, b > 0, c > 0) (6)

Vorrei mettere in guardia gli scolari dall'uso sconsiderato di queste formule quando si risolvono equazioni e disuguaglianze logaritmiche. Quando vengono utilizzati "da sinistra a destra", l'ODZ si restringe e quando si passa dalla somma o differenza dei logaritmi al logaritmo del prodotto o del quoziente, l'ODZ si espande.

Infatti, l'espressione log a(f(x)g(x)) è definita in due casi: quando entrambe le funzioni sono strettamente positive oppure quando f(x) e g(x) sono entrambe minori di zero.

Trasformando questa espressione nel sum log a f (x) + log a g (x) , siamo costretti a limitarci al solo caso in cui f(x)>0 e g(x)>0. C'è un restringimento della gamma dei valori ammissibili, e questo è categoricamente inaccettabile, poiché può portare alla perdita di soluzioni. Un problema simile esiste per la formula (6).

Il grado può essere tolto dal segno del logaritmo

log a b p = p log a b (a > 0, a ≠ 1, b > 0) (7)

E ancora vorrei chiedere la precisione. Considera il seguente esempio:

Log a (f (x) 2 = 2 log a f (x)

Il lato sinistro dell'uguaglianza è ovviamente definito per tutti i valori di f(x) tranne zero. Il lato destro è solo per f(x)>0! Togliendo la potenza dal logaritmo, restringiamo nuovamente l'ODZ. La procedura inversa porta ad un ampliamento della gamma di valori ammissibili. Tutte queste osservazioni si applicano non solo alla potenza di 2, ma anche a qualsiasi potenza pari.

Formula per trasferirsi in una nuova base

log a b = log c b log c a (a > 0, a ≠ 1, b > 0, c > 0, c ≠ 1) (8)

Quel raro caso in cui l'ODZ non cambia durante la conversione. Se hai scelto saggiamente la base c (positiva e diversa da 1), la formula per passare a una nuova base è perfettamente sicura.

Se scegliamo il numero b come nuova base c, otteniamo un caso particolare importante di formula (8):

Log a b = 1 log b a (a > 0, a ≠ 1, b > 0, b ≠ 1) (9)

Alcuni semplici esempi con logaritmi

Esempio 1 Calcola: lg2 + lg50.
Soluzione. lg2 + lg50 = lg100 = 2. Abbiamo usato la formula per la somma dei logaritmi (5) e la definizione del logaritmo decimale.

Esempio 2 Calcola: lg125/lg5.
Soluzione. lg125/lg5 = log 5 125 = 3. Abbiamo usato la nuova formula di transizione di base (8).

Tabella di formule relative ai logaritmi

un log a b = b (a > 0, a ≠ 1)

log a a = 1 (a > 0, a ≠ 1)

log a 1 = 0 (a > 0, a ≠ 1)

log a (b c) = log a b + log a c (a > 0, a ≠ 1, b > 0, c > 0)

log a b c = log a b − log a c (a > 0, a ≠ 1, b > 0, c > 0)

log a b p = p log a b (a > 0, a ≠ 1, b > 0)

log a b = log c b log c a (a > 0, a ≠ 1, b > 0, c > 0, c ≠ 1)

log a b = 1 log b a (a > 0, a ≠ 1, b > 0, b ≠ 1)

Il logaritmo di un numero N per ragione un si chiama esponente X , a cui devi aumentare un per ottenere il numero N

Purché
,
,

Dalla definizione del logaritmo segue che
, cioè.
- questa uguaglianza è l'identità logaritmica di base.

I logaritmi in base 10 sono detti logaritmi decimali. Invece di
scrivere
.

logaritmi di base e sono detti naturali e denotati
.

Proprietà di base dei logaritmi.

Il logaritmo di unità per ogni base è zero

Il logaritmo del prodotto è uguale alla somma dei logaritmi dei fattori.

3) Il logaritmo del quoziente è uguale alla differenza dei logaritmi

Fattore
è chiamato modulo di transizione dai logaritmi alla base un ai logaritmi alla base b .

Utilizzando le proprietà 2-5, è spesso possibile ridurre il logaritmo di un'espressione complessa al risultato di semplici operazioni aritmetiche sui logaritmi.

Per esempio,

Tali trasformazioni del logaritmo sono dette logaritmi. Le trasformazioni reciproche dei logaritmi sono dette potenziamento.

Capitolo 2. Elementi di matematica superiore.

1. Limiti

limite di funzione
è un numero finito A se, quando si sforza xx 0 per ogni predeterminato
, c'è un numero
che non appena
, poi
.

Una funzione che ha un limite differisce da esso di una quantità infinitesima:
, dove - b.m.w., cioè
.

Esempio. Considera la funzione
.

Quando si lotta
, funzione y va a zero:

1.1. Teoremi di base sui limiti.

Il limite di un valore costante è uguale a questo valore costante

.

Il limite della somma (differenza) di un numero finito di funzioni è uguale alla somma (differenza) dei limiti di queste funzioni.

Il limite di un prodotto di un numero finito di funzioni è uguale al prodotto dei limiti di queste funzioni.

Il limite del quoziente di due funzioni è uguale al quoziente dei limiti di queste funzioni se il limite del denominatore non è uguale a zero.

Limiti notevoli

,
, dove

1.2. Esempi di calcolo dei limiti

Tuttavia, non tutti i limiti sono calcolati in modo così semplice. Più spesso, il calcolo del limite si riduce alla rivelazione dell'incertezza di tipo: o .

.

2. Derivata di una funzione

Diamo una funzione
, continuo sul segmento
.

Discussione ha avuto una spinta
. Quindi la funzione verrà incrementata
.

Valore dell'argomento corrisponde al valore della funzione
.

Valore dell'argomento
corrisponde al valore della funzione.

Di conseguenza, .

Troviamo il limite di questa relazione in
. Se questo limite esiste, allora è chiamato derivata della funzione data.

Definizione della 3derivata di una data funzione
per argomento detto limite del rapporto tra l'incremento della funzione e l'incremento dell'argomento, quando l'incremento dell'argomento tende arbitrariamente a zero.

Derivata di funzione
può essere indicato come segue:

; ; ; .

Definizione 4 Viene chiamata l'operazione per trovare la derivata di una funzione differenziazione.

2.1. Il significato meccanico della derivata.

Considera il movimento rettilineo di un corpo rigido o di un punto materiale.

Lascia che ad un certo punto nel tempo punto in movimento
era a distanza dalla posizione di partenza
.

Dopo un certo periodo di tempo
si è allontanata
. Atteggiamento =- velocità media di un punto materiale
. Troviamo il limite di questo rapporto, tenendo conto che
.

Di conseguenza, la determinazione della velocità istantanea di un punto materiale si riduce a trovare la derivata del percorso rispetto al tempo.

2.2. Valore geometrico della derivata

Supponiamo di avere una funzione definita graficamente
.

Riso. 1. Il significato geometrico della derivata

Se una
, allora il punto
, si sposterà lungo la curva, avvicinandosi al punto
.

Di conseguenza
, cioè. il valore della derivata dato il valore dell'argomento numericamente è uguale alla tangente dell'angolo formato dalla tangente in un dato punto con la direzione positiva dell'asse
.

2.3. Tabella delle formule di differenziazione di base.

Funzione di alimentazione

Funzione esponenziale

funzione logaritmica

funzione trigonometrica

Funzione trigonometrica inversa

2.4. Regole di differenziazione.

Derivato di

Derivata della somma (differenza) delle funzioni

Derivata del prodotto di due funzioni

La derivata del quoziente di due funzioni

2.5. Derivata di una funzione complessa.

Lascia che la funzione
tale da poter essere rappresentato come

e
, dove la variabile è un argomento intermedio, quindi

La derivata di una funzione complessa è uguale al prodotto della derivata della funzione data rispetto all'argomento intermedio per la derivata dell'argomento intermedio rispetto a x.

Esempio 1.

Esempio2.

3. Differenziale di funzione.

Lascia che ci sia
, differenziabile su qualche intervallo
Lasciarlo andare a questa funzione ha una derivata

,

allora puoi scrivere

(1),

dove - una quantità infinitesima,

perché a

Moltiplicando tutti i termini di uguaglianza (1) per
noi abbiamo:

Dove
- b.m.v. ordine superiore.

Valore
è detto differenziale della funzione
e indicato

.

3.1. Il valore geometrico del differenziale.

Lascia che la funzione
.

Fig.2. Il significato geometrico del differenziale.

.

Ovviamente, il differenziale della funzione
è uguale all'incremento dell'ordinata della tangente nel punto dato.

3.2. Derivati ​​e differenziali di vari ordini.

Se c'è
, poi
è chiamata derivata prima.

La derivata della prima derivata si chiama derivata del secondo ordine e si scrive
.

Derivata dell'ennesimo ordine della funzione
è detta derivata dell'ordine (n-1) e si scrive:

.

Il differenziale del differenziale di una funzione è chiamato secondo differenziale o differenziale del secondo ordine.

.

.

3.3 Risolvere problemi biologici utilizzando la differenziazione.

Compito 1. Gli studi hanno dimostrato che la crescita di una colonia di microrganismi obbedisce alla legge
, dove N – numero di microrganismi (in migliaia), t – tempo (giorni).

b) La popolazione della colonia aumenterà o diminuirà durante questo periodo?

Risposta. La colonia crescerà di dimensioni.

Compito 2. L'acqua del lago viene periodicamente testata per controllare il contenuto di batteri patogeni. Tramite t giorni dopo il test, la concentrazione di batteri è determinata dal rapporto

.

Quando arriverà la minima concentrazione di batteri nel lago e sarà possibile nuotarci?

Soluzione Una funzione raggiunge max o min quando la sua derivata è zero.

,

Determiniamo che il massimo o il minimo saranno tra 6 giorni. Per fare questo, prendiamo la seconda derivata.

Risposta: Dopo 6 giorni ci sarà una concentrazione minima di batteri.

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proprietà di base.

1. logax + logay = log(x y);
2. logax − logay = log(x: y).

stessi motivi

log6 4 + log6 9.

Ora complichiamo un po' il compito.

Esempi di risoluzione dei logaritmi

E se c'è un grado nella base o nell'argomento del logaritmo? Quindi l'esponente di questo grado può essere estratto dal segno del logaritmo secondo le seguenti regole:

Naturalmente, tutte queste regole hanno senso se si osserva il logaritmo ODZ: a > 0, a ≠ 1, x >

Un compito. Trova il valore dell'espressione:

Passaggio a una nuova fondazione

Sia dato il logaritmo logax. Allora per ogni numero c tale che c > 0 e c ≠ 1, l'uguaglianza è vera:

Un compito. Trova il valore dell'espressione:

Guarda anche:

Proprietà di base del logaritmo

1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.

L'esponente è 2.718281828…. Per ricordare l'esponente, puoi studiare la regola: l'esponente è 2,7 e il doppio dell'anno di nascita di Leone Tolstoj.

Proprietà di base dei logaritmi

Conoscendo questa regola, conoscerai sia il valore esatto dell'esponente che la data di nascita di Leone Tolstoj.

Esempi di logaritmi

Prendi il logaritmo delle espressioni

Esempio 1
un). x=10ac^2 (a>0, c>0).

Con le proprietà 3,5 calcoliamo

2.

3.

4. dove .

Esempio 2 Trova x se

Esempio 3. Sia dato il valore dei logaritmi

Calcola log(x) se

Proprietà di base dei logaritmi

I logaritmi, come qualsiasi numero, possono essere aggiunti, sottratti e convertiti in ogni modo possibile. Ma poiché i logaritmi non sono numeri ordinari, qui ci sono regole che vengono chiamate proprietà di base.

Queste regole devono essere conosciute - nessun serio problema logaritmico può essere risolto senza di esse. Inoltre, ce ne sono pochissimi: tutto può essere appreso in un giorno. Quindi iniziamo.

Addizioni e sottrazioni di logaritmi

Considera due logaritmi con la stessa base: logax e logay. Quindi possono essere aggiunti e sottratti e:

1. logax + logay = log(x y);
2. logax − logay = log(x: y).

Quindi, la somma dei logaritmi è uguale al logaritmo del prodotto e la differenza è il logaritmo del quoziente. Nota: il punto chiave qui è - stessi motivi. Se le basi sono diverse, queste regole non funzionano!

Queste formule aiuteranno a calcolare l'espressione logaritmica anche quando le sue singole parti non vengono considerate (vedi la lezione "Cos'è un logaritmo"). Dai un'occhiata agli esempi e guarda:

Poiché le basi dei logaritmi sono le stesse, utilizziamo la formula della somma:
log6 4 + log6 9 = log6 (4 9) = log6 36 = 2.

Un compito. Trova il valore dell'espressione: log2 48 − log2 3.

Le basi sono le stesse, usiamo la formula della differenza:
log2 48 − log2 3 = log2 (48: 3) = log2 16 = 4.

Un compito. Trova il valore dell'espressione: log3 135 − log3 5.

Anche in questo caso, le basi sono le stesse, quindi abbiamo:
log3 135 − log3 5 = log3 (135: 5) = log3 27 = 3.

Come puoi vedere, le espressioni originali sono costituite da logaritmi "cattivi", che non vengono considerati separatamente. Ma dopo le trasformazioni risultano numeri abbastanza normali. Molti test si basano su questo fatto. Sì, controllo - espressioni simili in tutta serietà (a volte - praticamente senza modifiche) vengono offerte all'esame.

Eliminando l'esponente dal logaritmo

È facile vedere che l'ultima regola segue le prime due. Ma è meglio ricordarlo comunque: in alcuni casi ridurrà notevolmente la quantità di calcoli.

Naturalmente, tutte queste regole hanno senso se si osserva il logaritmo ODZ: a > 0, a ≠ 1, x > 0. E ancora una cosa: impara ad applicare tutte le formule non solo da sinistra a destra, ma anche viceversa, cioè puoi inserire i numeri prima del segno del logaritmo nel logaritmo stesso. Questo è ciò che è più spesso richiesto.

Un compito. Trova il valore dell'espressione: log7 496.

Eliminiamo il grado nell'argomento secondo la prima formula:
log7 496 = 6 log7 49 = 6 2 = 12

Un compito. Trova il valore dell'espressione:

Si noti che il denominatore è un logaritmo la cui base e argomento sono potenze esatte: 16 = 24; 49 = 72. Abbiamo:

Penso che l'ultimo esempio abbia bisogno di chiarimenti. Dove sono finiti i logaritmi? Fino all'ultimo momento, lavoriamo solo con il denominatore.

Formule dei logaritmi. I logaritmi sono esempi di soluzioni.

Hanno presentato la base e l'argomento del logaritmo in piedi sotto forma di gradi e hanno estratto gli indicatori: hanno ottenuto una frazione di "tre piani".

Ora diamo un'occhiata alla frazione principale. Il numeratore e il denominatore hanno lo stesso numero: log2 7. Poiché log2 7 ≠ 0, possiamo ridurre la frazione - 2/4 rimarranno al denominatore. Secondo le regole dell'aritmetica, il quattro può essere trasferito al numeratore, cosa che è stata fatta. Il risultato è la risposta: 2.

Passaggio a una nuova fondazione

Parlando delle regole per aggiungere e sottrarre logaritmi, ho sottolineato in modo specifico che funzionano solo con le stesse basi. E se le basi sono diverse? E se non fossero potenze esatte dello stesso numero?

Le formule per il passaggio a una nuova base vengono in soccorso. Le formuliamo sotto forma di teorema:

Sia dato il logaritmo logax. Allora per ogni numero c tale che c > 0 e c ≠ 1, l'uguaglianza è vera:

In particolare, se mettiamo c = x, otteniamo:

Dalla seconda formula deriva che è possibile scambiare la base e l'argomento del logaritmo, ma in questo caso l'intera espressione è “rivoltata”, cioè il logaritmo è al denominatore.

Queste formule si trovano raramente nelle normali espressioni numeriche. È possibile valutare quanto siano convenienti solo quando si risolvono equazioni e disequazioni logaritmiche.

Tuttavia, ci sono compiti che non possono essere risolti affatto se non passando a una nuova fondazione. Consideriamo un paio di questi:

Un compito. Trova il valore dell'espressione: log5 16 log2 25.

Si noti che gli argomenti di entrambi i logaritmi sono esponenti esatti. Estraiamo gli indicatori: log5 16 = log5 24 = 4log5 2; log2 25 = log2 52 = 2log2 5;

Ora capovolgiamo il secondo logaritmo:

Poiché il prodotto non cambia dalla permutazione dei fattori, abbiamo tranquillamente moltiplicato quattro e due, quindi abbiamo calcolato i logaritmi.

Un compito. Trova il valore dell'espressione: log9 100 lg 3.

La base e l'argomento del primo logaritmo sono potenze esatte. Scriviamolo e sbarazziamoci degli indicatori:

Ora sbarazziamoci del logaritmo decimale spostandoci su una nuova base:

Identità logaritmica di base

Spesso nel processo di risoluzione è necessario rappresentare un numero come un logaritmo su una data base. In questo caso, le formule ci aiuteranno:

Nel primo caso, il numero n diventa l'esponente nell'argomento. Il numero n può essere assolutamente qualsiasi cosa, perché è solo il valore del logaritmo.

La seconda formula è in realtà una definizione parafrasata. Si chiama così:

In effetti, cosa accadrà se il numero b è elevato a un livello tale che il numero b in questo grado dia il numero a? Esatto: questo è lo stesso numero a. Leggi di nuovo attentamente questo paragrafo: molte persone "si appendono" ad esso.

Come le nuove formule di conversione di base, l'identità logaritmica di base è talvolta l'unica soluzione possibile.

Un compito. Trova il valore dell'espressione:

Si noti che log25 64 = log5 8 - ha appena tolto il quadrato dalla base e l'argomento del logaritmo. Date le regole per moltiplicare potenze con la stessa base, otteniamo:

Se qualcuno non è a conoscenza, questo è stato un vero compito dall'Esame di Stato unificato 🙂

Unità logaritmica e zero logaritmico

In conclusione, darò due identità che è difficile chiamare proprietà - piuttosto, queste sono conseguenze dalla definizione del logaritmo. Si trovano costantemente nei problemi e, sorprendentemente, creano problemi anche agli studenti "avanzati".

1. logaa = 1 è. Ricorda una volta per tutte: il logaritmo su qualsiasi base a da quella base stessa è uguale a uno.
2. loga 1 = 0 è. La base a può essere qualsiasi cosa, ma se l'argomento è uno, il logaritmo è zero! Perché a0 = 1 è una diretta conseguenza della definizione.

Queste sono tutte le proprietà. Assicurati di esercitarti a metterli in pratica! Scarica il cheat sheet all'inizio della lezione, stampalo e risolvi i problemi.

Guarda anche:

Il logaritmo del numero b alla base a denota l'espressione. Calcolare il logaritmo significa trovare una tale potenza x() alla quale l'uguaglianza è vera

Proprietà di base del logaritmo

Le proprietà di cui sopra devono essere note, poiché, sulla loro base, quasi tutti i problemi e gli esempi sono risolti in base ai logaritmi. Le restanti proprietà esotiche possono essere derivate da manipolazioni matematiche con queste formule

1.
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15.

Quando si calcolano le formule per la somma e la differenza dei logaritmi (3.4) si incontrano abbastanza spesso. Il resto è alquanto complesso, ma in una serie di attività sono indispensabili per semplificare le espressioni complesse e calcolarne i valori.

Casi comuni di logaritmi

Alcuni dei logaritmi comuni sono quelli in cui la base è pari a dieci, esponenziale o due.
Il logaritmo in base dieci è solitamente chiamato logaritmo in base dieci ed è semplicemente indicato con lg(x).

Si può vedere dal record che le basi non sono scritte nel record. Per esempio

Il logaritmo naturale è il logaritmo la cui base è l'esponente (indicato con ln(x)).

L'esponente è 2.718281828…. Per ricordare l'esponente, puoi studiare la regola: l'esponente è 2,7 e il doppio dell'anno di nascita di Leone Tolstoj. Conoscendo questa regola, conoscerai sia il valore esatto dell'esponente che la data di nascita di Leone Tolstoj.

E un altro importante logaritmo in base due è

La derivata del logaritmo della funzione è uguale a uno diviso per la variabile

Il logaritmo integrale o antiderivato è determinato dalla dipendenza

Il materiale di cui sopra è sufficiente per risolvere un'ampia classe di problemi relativi a logaritmi e logaritmi. Per assimilare il materiale, fornirò solo alcuni esempi comuni tratti dal curriculum scolastico e dalle università.

Esempi di logaritmi

Prendi il logaritmo delle espressioni

Esempio 1
un). x=10ac^2 (a>0, c>0).

Con le proprietà 3,5 calcoliamo

2.
Per la proprietà differenza dei logaritmi abbiamo

3.
Usando le proprietà 3.5 troviamo

4. dove .

Un'espressione apparentemente complessa che utilizza una serie di regole viene semplificata nella forma

Trovare valori logaritmici

Esempio 2 Trova x se

Soluzione. Per il calcolo applichiamo le proprietà 5 e 13 fino all'ultimo termine

Sostituisci nel verbale e piangi

Poiché le basi sono uguali, uguagliamo le espressioni

Logaritmi. Primo livello.

Sia dato il valore dei logaritmi

Calcola log(x) se

Soluzione: prendi il logaritmo della variabile per scrivere il logaritmo attraverso la somma dei termini

Questo è solo l'inizio della conoscenza dei logaritmi e delle loro proprietà. Esercitati con i calcoli, arricchisci le tue abilità pratiche: presto avrai bisogno delle conoscenze acquisite per risolvere le equazioni logaritmiche. Dopo aver studiato i metodi di base per risolvere tali equazioni, amplieremo le tue conoscenze per un altro argomento altrettanto importante: le disuguaglianze logaritmiche ...

Proprietà di base dei logaritmi

I logaritmi, come qualsiasi numero, possono essere aggiunti, sottratti e convertiti in ogni modo possibile. Ma poiché i logaritmi non sono numeri ordinari, qui ci sono regole che vengono chiamate proprietà di base.

Queste regole devono essere conosciute - nessun serio problema logaritmico può essere risolto senza di esse. Inoltre, ce ne sono pochissimi: tutto può essere appreso in un giorno. Quindi iniziamo.

Addizioni e sottrazioni di logaritmi

Considera due logaritmi con la stessa base: logax e logay. Quindi possono essere aggiunti e sottratti e:

1. logax + logay = log(x y);
2. logax − logay = log(x: y).

Quindi, la somma dei logaritmi è uguale al logaritmo del prodotto e la differenza è il logaritmo del quoziente. Nota: il punto chiave qui è - stessi motivi. Se le basi sono diverse, queste regole non funzionano!

Queste formule aiuteranno a calcolare l'espressione logaritmica anche quando le sue singole parti non vengono considerate (vedi la lezione "Cos'è un logaritmo"). Dai un'occhiata agli esempi e guarda:

Un compito. Trova il valore dell'espressione: log6 4 + log6 9.

Poiché le basi dei logaritmi sono le stesse, utilizziamo la formula della somma:
log6 4 + log6 9 = log6 (4 9) = log6 36 = 2.

Un compito. Trova il valore dell'espressione: log2 48 − log2 3.

Le basi sono le stesse, usiamo la formula della differenza:
log2 48 − log2 3 = log2 (48: 3) = log2 16 = 4.

Un compito. Trova il valore dell'espressione: log3 135 − log3 5.

Anche in questo caso, le basi sono le stesse, quindi abbiamo:
log3 135 − log3 5 = log3 (135: 5) = log3 27 = 3.

Come puoi vedere, le espressioni originali sono costituite da logaritmi "cattivi", che non vengono considerati separatamente. Ma dopo le trasformazioni risultano numeri abbastanza normali. Molti test si basano su questo fatto. Sì, controllo - espressioni simili in tutta serietà (a volte - praticamente senza modifiche) vengono offerte all'esame.

Eliminando l'esponente dal logaritmo

Ora complichiamo un po' il compito. E se c'è un grado nella base o nell'argomento del logaritmo? Quindi l'esponente di questo grado può essere estratto dal segno del logaritmo secondo le seguenti regole:

È facile vedere che l'ultima regola segue le prime due. Ma è meglio ricordarlo comunque: in alcuni casi ridurrà notevolmente la quantità di calcoli.

Naturalmente, tutte queste regole hanno senso se si osserva il logaritmo ODZ: a > 0, a ≠ 1, x > 0. E ancora una cosa: impara ad applicare tutte le formule non solo da sinistra a destra, ma anche viceversa, cioè puoi inserire i numeri prima del segno del logaritmo nel logaritmo stesso.

Come risolvere i logaritmi

Questo è ciò che è più spesso richiesto.

Un compito. Trova il valore dell'espressione: log7 496.

Eliminiamo il grado nell'argomento secondo la prima formula:
log7 496 = 6 log7 49 = 6 2 = 12

Un compito. Trova il valore dell'espressione:

Si noti che il denominatore è un logaritmo la cui base e argomento sono potenze esatte: 16 = 24; 49 = 72. Abbiamo:

Penso che l'ultimo esempio abbia bisogno di chiarimenti. Dove sono finiti i logaritmi? Fino all'ultimo momento, lavoriamo solo con il denominatore. Hanno presentato la base e l'argomento del logaritmo in piedi sotto forma di gradi e hanno estratto gli indicatori: hanno ottenuto una frazione di "tre piani".

Ora diamo un'occhiata alla frazione principale. Il numeratore e il denominatore hanno lo stesso numero: log2 7. Poiché log2 7 ≠ 0, possiamo ridurre la frazione - 2/4 rimarranno al denominatore. Secondo le regole dell'aritmetica, il quattro può essere trasferito al numeratore, cosa che è stata fatta. Il risultato è la risposta: 2.

Passaggio a una nuova fondazione

Parlando delle regole per aggiungere e sottrarre logaritmi, ho sottolineato in modo specifico che funzionano solo con le stesse basi. E se le basi sono diverse? E se non fossero potenze esatte dello stesso numero?

Le formule per il passaggio a una nuova base vengono in soccorso. Le formuliamo sotto forma di teorema:

Sia dato il logaritmo logax. Allora per ogni numero c tale che c > 0 e c ≠ 1, l'uguaglianza è vera:

In particolare, se mettiamo c = x, otteniamo:

Dalla seconda formula deriva che è possibile scambiare la base e l'argomento del logaritmo, ma in questo caso l'intera espressione è “rivoltata”, cioè il logaritmo è al denominatore.

Queste formule si trovano raramente nelle normali espressioni numeriche. È possibile valutare quanto siano convenienti solo quando si risolvono equazioni e disequazioni logaritmiche.

Tuttavia, ci sono compiti che non possono essere risolti affatto se non passando a una nuova fondazione. Consideriamo un paio di questi:

Un compito. Trova il valore dell'espressione: log5 16 log2 25.

Si noti che gli argomenti di entrambi i logaritmi sono esponenti esatti. Estraiamo gli indicatori: log5 16 = log5 24 = 4log5 2; log2 25 = log2 52 = 2log2 5;

Ora capovolgiamo il secondo logaritmo:

Poiché il prodotto non cambia dalla permutazione dei fattori, abbiamo tranquillamente moltiplicato quattro e due, quindi abbiamo calcolato i logaritmi.

Un compito. Trova il valore dell'espressione: log9 100 lg 3.

La base e l'argomento del primo logaritmo sono potenze esatte. Scriviamolo e sbarazziamoci degli indicatori:

Ora sbarazziamoci del logaritmo decimale spostandoci su una nuova base:

Identità logaritmica di base

Spesso nel processo di risoluzione è necessario rappresentare un numero come un logaritmo su una data base. In questo caso, le formule ci aiuteranno:

Nel primo caso, il numero n diventa l'esponente nell'argomento. Il numero n può essere assolutamente qualsiasi cosa, perché è solo il valore del logaritmo.

La seconda formula è in realtà una definizione parafrasata. Si chiama così:

In effetti, cosa accadrà se il numero b è elevato a un livello tale che il numero b in questo grado dia il numero a? Esatto: questo è lo stesso numero a. Leggi di nuovo attentamente questo paragrafo: molte persone "si appendono" ad esso.

Come le nuove formule di conversione di base, l'identità logaritmica di base è talvolta l'unica soluzione possibile.

Un compito. Trova il valore dell'espressione:

Si noti che log25 64 = log5 8 - ha appena tolto il quadrato dalla base e l'argomento del logaritmo. Date le regole per moltiplicare potenze con la stessa base, otteniamo:

Se qualcuno non è a conoscenza, questo è stato un vero compito dall'Esame di Stato unificato 🙂

Unità logaritmica e zero logaritmico

In conclusione, darò due identità che è difficile chiamare proprietà - piuttosto, queste sono conseguenze dalla definizione del logaritmo. Si trovano costantemente nei problemi e, sorprendentemente, creano problemi anche agli studenti "avanzati".

1. logaa = 1 è. Ricorda una volta per tutte: il logaritmo su qualsiasi base a da quella base stessa è uguale a uno.
2. loga 1 = 0 è. La base a può essere qualsiasi cosa, ma se l'argomento è uno, il logaritmo è zero! Perché a0 = 1 è una diretta conseguenza della definizione.

Queste sono tutte le proprietà. Assicurati di esercitarti a metterli in pratica! Scarica il cheat sheet all'inizio della lezione, stampalo e risolvi i problemi.