Definizione 1. Superficie cilindrica detta superficie formata da rette parallele, detta sua generare .

Se un piano che interseca tutte le superfici cilindriche generatrici lo interseca lungo la linea R, allora questa linea viene chiamata guida questa superficie cilindrica.

Teorema . Se un sistema di coordinate cartesiane viene introdotto nello spazio e un'equazione nel piano hoyè l'equazione di una retta R, allora questa equazione nello spazio è l'equazione di una superficie cilindrica l con linea guida R e i generatori sono paralleli all'asse Oz(Fig. 3.19, a).

Prova. Punto
giace su una superficie cilindrica l se e solo se la proiezione
punti M all'aereo hoy parallelo all'asse Oz giace sulla linea R, cioè. se e solo se l'equazione
.

Conclusioni simili valgono per le equazioni della forma
(Fig. 3.19, b) e
(Fig. 3.19, c).

Definizione 2 . Si chiamano superfici cilindriche le cui guide sono linee del secondo ordine superfici cilindriche del secondo ordine .

Esistono tre tipi di cilindri del secondo ordine: ellittico (fig.3.20)

, (5.42)

iperbolico (fig.3.21)

, (5.43)

parabolico (fig.3.22)

. (5.44)

Riso. 3.20 Fig. 3.21 Fig. 3.22

Per i cilindri dati dalle equazioni (5.42), (5.43) e (5.44), le linee guida sono rispettivamente l'ellisse

,

iperbole

,

parabola

,

e i generatori sono paralleli all'asse Oz.

Commento. Come abbiamo visto, le superfici coniche e cilindriche del secondo ordine hanno generatori rettilinei e ciascuna di queste superfici può essere formata dal moto di una retta nello spazio.

Si scopre che tra tutte le superfici del secondo ordine, ad eccezione del cilindro e del cono, anche l'iperboloide monofoglio e il paraboloide iperbolico hanno generatori rettilinei e, proprio come nel caso di un cilindro e di un cono, entrambi di queste superfici possono essere formate dal movimento di una retta nello spazio (vedi Fig. letteratura specializzata).

§quattro. Ridurre l'equazione generale di una superficie del secondo ordine a forma canonica

Nell'equazione generale della superficie del secondo ordine

a) forma quadratica

dove
;

b) forma lineare

dove
;

c) membro libero .

Per portare l'equazione (5.45) alla forma canonica, è necessario, innanzitutto, effettuare tale trasformazione di coordinate
, e, di conseguenza, la base ortonormale associata
, che trasforma la forma quadratica (5.46) nella forma canonica (vedi kn.2, cap.8, §3, punto 3.1).

La matrice di questa forma quadratica ha la forma

,

dove, cioè matrice MA- simmetrico. Indica con
propri numeri, e attraverso
basi ortonormali composte da autovettori di matrice MA. Permettere

–

matrice di transizione dalla base
alla base
, un
è un nuovo sistema di coordinate associato a questa base.

Quindi, quando si trasformano le coordinate

(5.48)

la forma quadratica (5.46) assume la forma canonica

dove
.

Ora, applicando la trasformazione di coordinate (5.48) alla forma lineare (5.47), otteniamo

dove
,
sono i nuovi coefficienti di forma (5.47).

Pertanto, l'equazione (5.45) assume la forma

+.

Questa equazione può essere ridotta alla forma canonica mediante una traslazione parallela del sistema di coordinate secondo le formule

o (5.49)

Dopo aver eseguito una trasformazione del sistema di coordinate mediante traslazione parallela (5.49), l'equazione di superficie generale del secondo ordine (5.45) rispetto al sistema di coordinate cartesiane
esprimerà una delle seguenti diciassette superfici:

1) ellissoide

2) ellissoide immaginario

3) iperboloide a un foglio

4) iperboloide a due fogli

5) cono

6) cono immaginario

7) paraboloide ellittico

8) paraboloide iperbolico

9) cilindro ellittico

10) immaginario cilindro ellittico

11) due piani immaginari che si intersecano

12) cilindro iperbolico

13) due piani intersecanti

14) cilindro parabolico

15) due piani paralleli

16) due immaginari piani paralleli

17) due piani coincidenti

Esempio. Determinare il tipo e la posizione della superficie specificata rispetto al sistema di coordinate rettangolari cartesiane
e le basi ortonormali associate
equazione

Diamo la forma quadratica

(5.51)

alla forma canonica. La matrice di questo modulo ha la forma

.

Determiniamo gli autovalori di questa matrice dall'equazione caratteristica

Da qui  1 = 2,  2 = 0,  3 = 3.

Ora troviamo gli autovettori della matrice MA: 1) lascia
, quindi dall'equazione
o in forma coordinata

trova dove
è un numero qualsiasi, e quindi
, un
. Dell'intero insieme di vettori collineari scegli vettore
, il cui modulo
, cioè. normalizzare il vettore .

2) per
noi abbiamo

.

Da qui
, dove
- qualsiasi numero. Quindi
, un
. Normalizzazione del vettore , troviamo il vettore unitario :

,

dove
.

3)
, quindi per il componente
vettore abbiamo un sistema

Dove dove
è un numero qualsiasi, e quindi
, un
. Normalizzazione del vettore , troviamo il vettore unitario per la direzione data dal vettore :

dove
.

Passiamo ora dalla base ortonormale
su base ortonormale
, composto da autovettori della matrice MA e associare all'ultima base un nuovo sistema di coordinate rettangolari cartesiane
. La matrice di transizione per tale trasformazione ha la forma

,

e le coordinate vengono trasformate dalle formule

(5.52)

Applicando questa trasformazione di coordinate alla forma quadratica (5.51), la riduciamo alla forma canonica

, dove
.

Determiniamo ora quale forma ha la formula lineare

, dove
,

se le coordinate sono trasformate dalle formule (5.52). abbiamo

Pertanto, se il sistema di coordinate
trasformare secondo le formule (5.52), quindi rispetto al nuovo sistema di coordinate
la superficie considerata del secondo ordine è data dall'equazione

L'equazione (5.53) è ridotta alla forma canonica mediante un trasferimento parallelo del sistema di coordinate secondo le formule

dopodiché, l'equazione della superficie rispetto al sistema di coordinate
prende la forma

o

Questa equazione esprime un cilindro ellittico la cui ellisse guida si trova nel piano delle coordinate
, e le linee generatrici sono parallele all'asse

Commento. Lo schema per ridurre l'equazione generale di una superficie del secondo ordine alla forma canonica presentato in questa sezione può essere applicato anche alla riduzione dell'equazione generale di una curva del secondo ordine alla forma canonica.

Con la differenza che al posto dei grafici "piatti", considereremo le superfici spaziali più comuni, e impareremo anche a costruirle correttamente a mano. Ho cercato per un po' di tempo strumenti software per costruire disegni 3D e ho trovato un paio di buone applicazioni, ma nonostante tutta la facilità d'uso, questi programmi non risolvono bene un importante problema pratico. Il fatto è che nel prossimo futuro storico gli studenti saranno ancora armati di un righello con una matita e, anche avendo un disegno "a macchina" di alta qualità, molti non saranno in grado di trasferirlo correttamente su carta a scacchi. Pertanto, nel manuale di formazione, viene prestata particolare attenzione alla tecnica di costruzione manuale e una parte significativa delle illustrazioni sulla pagina è un prodotto artigianale.

In che modo questo materiale di riferimento è diverso dagli analoghi?

Con una discreta esperienza pratica, conosco molto bene quali superfici vengono affrontate più spesso nei problemi reali di matematica superiore e spero che questo articolo ti aiuti a rifornire rapidamente il tuo bagaglio di conoscenze e abilità applicate pertinenti, che sono il 90-95% dei casi dovrebbe bastare.

Cosa devi sapere in questo momento?

Il più elementare:

Per prima cosa, devi essere in grado costruire bene sistema di coordinate cartesiane spaziali (vedi inizio articolo Grafici e proprietà delle funzioni) .

Cosa guadagnerai dopo aver letto questo articolo?

Bottiglia Dopo aver imparato i materiali della lezione, imparerai come determinare rapidamente il tipo di superficie in base alla sua funzione e / o equazione, immaginare come si trova nello spazio e, naturalmente, fare disegni. Va bene se non tutto si adatta alla tua testa dalla prima lettura: puoi sempre tornare a qualsiasi paragrafo secondo necessità in seguito.

L'informazione è alla portata di tutti: per il suo sviluppo non è necessaria alcuna super-conoscenza, talento artistico speciale e visione spaziale.

Inizio!

In pratica, di solito viene data la superficie spaziale funzione di due variabili o un'equazione della forma (la costante del lato destro è molto spesso uguale a zero o uno). La prima designazione è più tipica per l'analisi matematica, la seconda - per geometria analitica. L'equazione, in sostanza, è dato implicitamente funzione di 2 variabili, che in casi tipici è facilmente riducibile alla forma . Ti ricordo l'esempio più semplice c :

–equazione piana tipo.

è la funzione piana in esplicitamente .

Cominciamo con esso:

Equazioni dei piani comuni

Le opzioni tipiche per la disposizione dei piani in un sistema di coordinate rettangolari sono discusse in dettaglio all'inizio dell'articolo. Equazione piana. Tuttavia, ancora una volta ci soffermeremo su equazioni che sono di grande importanza per la pratica.

Prima di tutto, devi riconoscere completamente le equazioni dei piani paralleli ai piani delle coordinate. Frammenti di piani sono normalmente rappresentati come rettangoli, che negli ultimi due casi sembrano parallelogrammi. Per impostazione predefinita, puoi scegliere qualsiasi dimensione (entro limiti ragionevoli, ovviamente), mentre è auspicabile che il punto in cui l'asse delle coordinate "perfora" il piano sia il centro di simmetria:


A rigor di termini, gli assi delle coordinate in alcuni punti avrebbero dovuto essere rappresentati con una linea tratteggiata, ma per evitare confusione, trascureremo questa sfumatura.

– (disegno a sinistra) la disuguaglianza definisce il semispazio più lontano da noi, escludendo il piano stesso;

– (disegno medio) la disuguaglianza definisce il semispazio destro, compreso il piano;

– (disegno a destra) una doppia disuguaglianza specifica uno "strato" situato tra i piani, inclusi entrambi i piani.

Per l'autoallenamento:

Esempio 1

Disegna un corpo delimitato da piani
Componi un sistema di disuguaglianze che definiscono il corpo dato.

Una vecchia conoscenza dovrebbe uscire da sotto il piombo della tua matita cuboide. Non dimenticare che i bordi e le facce invisibili devono essere disegnati con una linea tratteggiata. Disegno finito alla fine della lezione.

Per favore, NON TRASCURARE compiti di apprendimento, anche se sembrano troppo semplici. Altrimenti, potrebbe risultare che l'hanno perso una volta, l'hanno perso due volte e poi hanno passato un'ora a elaborare un disegno tridimensionale in qualche esempio reale. Inoltre, il lavoro meccanico aiuterà ad apprendere il materiale in modo molto più efficiente ea sviluppare l'intelligenza! Non è un caso che all'asilo e alle elementari i bambini siano carichi di disegni, modellini, designer e altri compiti per la motricità fine delle dita. Scusate la digressione, ma i miei due quaderni di psicologia dello sviluppo non dovrebbero scomparire =)

Chiameremo condizionatamente il seguente gruppo di piani "proporzioni dirette": si tratta di piani che passano attraverso gli assi delle coordinate:

2) l'equazione della forma definisce un piano passante per l'asse;

3) l'equazione della forma definisce un piano passante per l'asse.

Anche se il segno formale è evidente (quale variabile manca nell'equazione - l'aereo passa attraverso quell'asse), è sempre utile comprendere l'essenza degli eventi che si susseguono:

Esempio 2

Costruisci aereo

Qual è il modo migliore per costruire? Propongo il seguente algoritmo:

Innanzitutto, riscriviamo l'equazione nella forma , da cui si vede chiaramente che la "y" può prendere qualunque i valori. Fissiamo il valore, cioè consideriamo il piano delle coordinate. Le equazioni impostate linea spaziale giacente nel piano delle coordinate dato. Tracciamo questa linea sul disegno. La retta passa per l'origine, quindi per costruirla basta trovare un punto. Permettere . Metti da parte un punto e traccia una linea.

Ora torniamo all'equazione del piano. Dal momento che la "y" prende qualunque valori, quindi la retta costruita nel piano viene continuamente “replicata” a sinistra ea destra. È così che si forma il nostro piano, che passa per l'asse. Per completare il disegno, a sinistra e a destra della retta mettiamo da parte due rette parallele e “chiudiamo” il parallelogramma simbolico con segmenti orizzontali trasversali:

Poiché la condizione non imponeva ulteriori restrizioni, il frammento dell'aereo poteva essere raffigurato leggermente più piccolo o leggermente più grande.

Ancora una volta, ripetiamo il significato della disuguaglianza lineare spaziale usando l'esempio. Come determinare il semispazio che definisce? Prendiamo un punto non posseduto piano, ad esempio, un punto dal semispazio più vicino a noi e sostituisci le sue coordinate nella disuguaglianza:

Ricevuto corretta disuguaglianza, il che significa che la disuguaglianza definisce il semispazio inferiore (rispetto al piano ), mentre il piano stesso non è incluso nella soluzione.

Esempio 3

Costruisci aerei
un) ;
b) .

Questi sono compiti per l'autocostruzione, in caso di difficoltà, utilizzare un ragionamento simile. Brevi istruzioni e disegni alla fine della lezione.

In pratica, sono particolarmente comuni i piani paralleli all'asse. Un caso particolare, quando l'aereo passa per l'asse, era proprio nel paragrafo "b", e ora analizzeremo un problema più generale:

Esempio 4

Costruisci aereo

Soluzione: la variabile "z" non partecipa esplicitamente all'equazione, il che significa che il piano è parallelo all'asse dell'applicata. Usiamo la stessa tecnica degli esempi precedenti.

Riscriviamo l'equazione del piano nella forma da cui è chiaro che "Z" può prendere qualunque i valori. Risolviamolo e nel piano "nativo" tracciamo la solita linea retta "piatta". Per costruirlo conviene prendere dei punti di riferimento.

Dal momento che "Z" prende tutto valori, quindi la retta costruita si "moltiplica" continuamente su e giù, formando così il piano desiderato . Disegna con cura un parallelogramma di dimensioni ragionevoli:

Pronto.

Equazione di un piano in segmenti

La varietà applicata più importante. Se una tutto probabilità equazione generale del piano diverso da zero, allora può essere rappresentato come , che è chiamato equazione piana in segmenti. Ovviamente, il piano interseca gli assi delle coordinate in punti e il grande vantaggio di tale equazione è la facilità di disegno:

Esempio 5

Costruisci aereo

Soluzione: in primo luogo, componiamo l'equazione del piano in segmenti. Lancia il termine libero a destra e dividi entrambe le parti per 12:

No, questo non è un errore di battitura e tutte le cose accadono nello spazio! Esaminiamo la superficie proposta con lo stesso metodo utilizzato di recente per gli aerei. Riscriviamo l'equazione nella forma , da cui segue che "Z" prende qualunque i valori. Fissiamo e costruiamo un'ellisse nel piano. Dal momento che "Z" prende tutto valori, quindi l'ellisse costruita viene continuamente "replicata" su e giù. È facile capire che la superficie infinito:

Questa superficie è chiamata cilindro ellittico. Viene chiamata un'ellisse (a qualsiasi altezza). guida cilindro e si chiamano rette parallele passanti per ciascun punto dell'ellisse generare cilindro (che letteralmente lo formano). l'asse è Asse di simmetria superficie (ma non ne fa parte!).

Le coordinate di qualsiasi punto appartenente a una data superficie soddisfano necessariamente l'equazione .

Spaziale la disuguaglianza definisce l'"interno" del "tubo" infinito, compresa la superficie cilindrica stessa, e, di conseguenza, la disuguaglianza opposta definisce l'insieme dei punti esterni al cilindro.

Nei problemi pratici, il caso più popolare è quando guida cilindro è cerchio:

Esempio 8

Costruisci la superficie data dall'equazione

È impossibile raffigurare un "tubo" infinito, quindi l'arte si limita, di regola, al "taglio".

Innanzitutto, è conveniente costruire un cerchio di raggio nel piano, quindi un altro paio di cerchi sopra e sotto. I cerchi risultanti ( guide cilindro) ben collegati da quattro rette parallele ( generare cilindro):

Non dimenticare di utilizzare le linee tratteggiate per le linee invisibili.

Le coordinate di qualsiasi punto appartenente a un determinato cilindro soddisfano l'equazione . Le coordinate di qualsiasi punto che si trova rigorosamente all'interno del "tubo" soddisfano la disuguaglianza , e la disuguaglianza definisce un insieme di punti della parte esterna. Per una migliore comprensione, consiglio di considerare diversi punti specifici nello spazio e vedere di persona.

Esempio 9

Costruisci una superficie e trova la sua proiezione su un piano

Riscriviamo l'equazione nella forma da cui segue che "x" prende qualunque i valori. Risolviamo e disegniamo nell'aereo cerchio– centrato all'origine, raggio unitario. Poiché "x" prende continuamente tutto valori, allora il cerchio costruito genera un cilindro circolare con un asse di simmetria. Disegna un altro cerchio guida cilindro) e collegarli accuratamente con linee rette ( generare cilindro). In alcuni punti si sono verificate sovrapposizioni, ma cosa fare, una tale pendenza:

Questa volta mi sono limitato a un pezzo del cilindro nella fessura e questo non è casuale. In pratica, spesso è necessario raffigurare solo un piccolo frammento della superficie.

Qui, a proposito, sono risultate 6 generatrici: due linee rette aggiuntive "chiudono" la superficie dagli angoli in alto a sinistra e in basso a destra.

Ora affrontiamo la proiezione del cilindro sul piano. Molti lettori capiscono cos'è una proiezione, ma, tuttavia, trascorriamo altri cinque minuti di educazione fisica. Per favore alzati e inclina la testa sul disegno in modo che la punta dell'asse appaia perpendicolare alla tua fronte. L'aspetto del cilindro da questo angolo è la sua proiezione sul piano. Ma sembra essere una striscia infinita, racchiusa tra rette, comprese le rette stesse. Questa proiezione è esattamente dominio funzioni (grondaia superiore del cilindro), (grondaia inferiore).

A proposito, chiariamo la situazione con le proiezioni su altri piani di coordinate. Lascia che i raggi del sole risplendano sul cilindro dal lato della punta e lungo l'asse. L'ombra (proiezione) di un cilindro su un piano è una striscia infinita simile - una parte del piano delimitata da linee rette ( - qualsiasi), comprese le linee rette stesse.

Ma la proiezione sull'aereo è leggermente diversa. Se guardi il cilindro dalla punta dell'asse, viene proiettato in un cerchio di raggio unitario con cui abbiamo iniziato la costruzione.

Esempio 10

Costruisci una superficie e trova le sue proiezioni sui piani delle coordinate

Questo è un compito per una decisione indipendente. Se la condizione non è molto chiara, quadra entrambi i lati e analizza il risultato; scopri esattamente quale parte del cilindro specifica la funzione. Utilizzare la tecnica di costruzione che è stata utilizzata più volte sopra. Breve soluzione, disegno e commenti alla fine della lezione.

Le superfici ellittiche e altre superfici cilindriche possono essere sfalsate rispetto agli assi delle coordinate, ad esempio:

(per motivi familiari di un articolo su Righe di 2° ordine) - un cilindro di raggio unitario con una linea di simmetria passante per un punto parallelo all'asse. Tuttavia, in pratica, tali cilindri si incontrano abbastanza raramente, ed è assolutamente incredibile incontrare una superficie cilindrica “obliqua” rispetto agli assi coordinati.

Cilindri parabolici

Come suggerisce il nome, guida un tale cilindro è parabola.

Esempio 11

Costruisci una superficie e trova le sue proiezioni sui piani delle coordinate.

Impossibile resistere a questo esempio =)

Soluzione: Seguiamo il sentiero battuto. Riscriviamo l'equazione nella forma , da cui segue che "Z" può assumere qualsiasi valore. Fissiamo e costruiamo una parabola ordinaria sul piano, dopo aver segnato i punti di riferimento banali. Dal momento che "Z" prende tutto valori, quindi la parabola costruita viene continuamente "replicata" su e giù all'infinito. Mettiamo da parte la stessa parabola, diciamo, ad un'altezza (nel piano) e le colleghiamo accuratamente con linee parallele ( generatori del cilindro):

Io ricordo tecnica utile: se inizialmente non c'è fiducia nella qualità del disegno, allora è meglio disegnare prima le linee sottili e sottili con una matita. Quindi valutiamo la qualità dello schizzo, scopriamo le aree in cui la superficie è nascosta ai nostri occhi e solo allora applichiamo pressione sullo stilo.

Proiezioni.

1) La proiezione di un cilindro su un piano è una parabola. Va notato che in questo caso è impossibile parlarne domini di una funzione di due variabili- per la ragione che l'equazione del cilindro non è riducibile alla forma funzionale.

2) La proiezione del cilindro sul piano è un semipiano, compreso l'asse

3) E, infine, la proiezione del cilindro sul piano è l'intero piano.

Esempio 12

Costruisci cilindri parabolici:

a) ci limitiamo a un frammento della superficie nel semispazio vicino;

b) nel mezzo

In caso di difficoltà, non abbiamo fretta e discutiamo per analogia con gli esempi precedenti, fortunatamente la tecnologia è stata elaborata a fondo. Non è fondamentale se le superfici risultano un po' goffe: è importante visualizzare correttamente l'immagine fondamentale. Io stesso non mi preoccupo particolarmente della bellezza delle linee, se ottengo un disegno tollerabile di "grado C", di solito non lo rifavo. Nella soluzione di esempio, tra l'altro, è stata utilizzata un'altra tecnica per migliorare la qualità del disegno ;-)

Cilindri iperbolici

guide tali cilindri sono iperboli. Questo tipo di superficie, secondo le mie osservazioni, è molto più raro dei tipi precedenti, quindi mi limito a un unico disegno schematico di un cilindro iperbolico:

Il principio del ragionamento qui è esattamente lo stesso: il solito iperbole scolastica dal piano si "moltiplica" continuamente su e giù fino all'infinito.

I cilindri considerati appartengono ai cosiddetti superfici del 2° ordine e ora continueremo a conoscere altri rappresentanti di questo gruppo:

Ellissoide. Sfera e palla

L'equazione canonica di un ellissoide in un sistema di coordinate rettangolare ha la forma , dove sono i numeri positivi ( semiassi ellissoide), che nel caso generale diverso. Viene chiamato un ellissoide superficie, e corpo delimitata da questa superficie. Il corpo, come molti hanno intuito, è dato dalla disuguaglianza e le coordinate di qualsiasi punto interno (così come di qualsiasi punto di superficie) soddisfano necessariamente questa disuguaglianza. Il design è simmetrico rispetto agli assi delle coordinate e ai piani delle coordinate:

Anche l'origine del termine "ellissoide" è ovvia: se la superficie è "tagliata" da piani coordinati, allora nelle sezioni ce ne saranno tre diversi (nel caso generale)

Con superfici del 2° ordine, lo studente si incontra più spesso nel primo anno. All'inizio, i compiti su questo argomento possono sembrare semplici, ma mentre studi matematica superiore e approfondisci il lato scientifico, puoi finalmente smettere di orientarti su ciò che sta accadendo. Per evitare che ciò accada, è necessario non solo memorizzare, ma capire come si ottiene questa o quella superficie, come la modifica dei coefficienti influisca su di essa e sulla sua posizione rispetto al sistema di coordinate originale e come trovare un nuovo sistema (quello in cui il suo centro coincide con le coordinate dell'origine, ma parallelo a uno degli assi delle coordinate). Cominciamo proprio dall'inizio.

Definizione

Una superficie del 2° ordine è un GMT, le cui coordinate soddisfano l'equazione generale della forma seguente:

È chiaro che ogni punto appartenente alla superficie deve avere tre coordinate in qualche base designata. Sebbene in alcuni casi il luogo dei punti possa degenerare, ad esempio, in un piano. Significa solo che una delle coordinate è costante ed è uguale a zero nell'intero campo dei valori ammissibili.

La forma completamente dipinta dell'uguaglianza sopra menzionata si presenta così:

A 11 x 2 +A 22 y 2 +A 33 z 2 +2A 12 xy+2A 23 yz+2A 13 xz+2A 14 x+2A 24 y+2A 34 z+A 44 =0.

A nm - alcune costanti, x, y, z - variabili corrispondenti alle coordinate affini di un punto. Allo stesso tempo, almeno uno dei fattori costanti non deve essere uguale a zero, cioè nessun punto corrisponderà all'equazione.

Nella stragrande maggioranza degli esempi, molti fattori numerici sono ancora identici a zero e l'equazione è notevolmente semplificata. In pratica, determinare se un punto appartiene ad una superficie non è difficile (è sufficiente sostituirne le coordinate nell'equazione e verificare se l'identità è rispettata). Il punto chiave di tale lavoro è la riduzione di quest'ultima a forma canonica.

L'equazione scritta sopra definisce qualsiasi superficie (tutte elencate di seguito) del 2° ordine. Considereremo degli esempi di seguito.

Tipi di superfici del 2° ordine

Le equazioni delle superfici del secondo ordine differiscono solo per i valori dei coefficienti A nm . Dal punto di vista generale, per determinati valori delle costanti si possono ottenere varie superfici, classificate come segue:

1. Cilindri.
2. Tipo ellittico.
3. tipo iperbolico.
4. Tipo conico.
5. tipo parabolico.
6. Aerei.

Ciascuno dei tipi elencati ha una forma naturale e immaginaria: nella forma immaginaria, il luogo dei punti reali o degenera in una figura più semplice o è del tutto assente.

cilindri

Questo è il tipo più semplice, poiché la curva relativamente complessa giace solo alla base, fungendo da guida. I generatori sono rette perpendicolari al piano in cui giace la base.

Il grafico mostra un cilindro circolare, un caso speciale di cilindro ellittico. Nel piano XY, la sua proiezione sarà un'ellisse (nel nostro caso, un cerchio) - una guida, e in XZ - un rettangolo - poiché i generatori sono paralleli all'asse Z. Per ottenerlo dall'equazione generale, è necessario per dare ai coefficienti i seguenti valori:

Invece delle solite designazioni x, y, z, x vengono utilizzate con un numero di serie - questo non importa.

Infatti, 1/a 2 e le altre costanti qui indicate sono gli stessi coefficienti indicati nell'equazione generale, ma è consuetudine scriverli in questa forma: questa è la rappresentazione canonica. In quanto segue, verrà utilizzata solo tale notazione.

Così si definisce un cilindro iperbolico. Lo schema è lo stesso: l'iperbole sarà la guida.

Un cilindro parabolico è definito in modo leggermente diverso: la sua forma canonica include un coefficiente p, chiamato parametro. Il coefficiente infatti è pari a q=2p, ma è consuetudine dividerlo nei due fattori presentati.

Esiste un altro tipo di cilindro: immaginario. Nessun vero punto appartiene a un tale cilindro. È descritto dall'equazione di un cilindro ellittico, ma invece dell'unità è -1.

Tipo ellittico

L'ellissoide può essere allungato lungo uno degli assi (lungo il quale dipende dai valori delle costanti a, b, c, sopra indicati; è ovvio che un coefficiente maggiore corrisponderà all'asse maggiore).

C'è anche un ellissoide immaginario - a condizione che la somma delle coordinate moltiplicate per i coefficienti sia -1:

Iperboloidi

Quando appare un meno in una delle costanti, l'equazione dell'ellissoide si trasforma nell'equazione di un iperboloide a un foglio. Deve essere chiaro che questo meno non deve essere posizionato davanti alla coordinata x 3! Determina solo quale degli assi sarà l'asse di rotazione dell'iperboloide (o parallelo ad esso, poiché quando nel quadrato compaiono termini aggiuntivi (ad esempio, (x-2) 2), il centro della figura si sposta, poiché di conseguenza, la superficie si sposta parallelamente agli assi delle coordinate). Questo vale per tutte le superfici del 2° ordine.

Inoltre bisogna capire che le equazioni sono presentate in forma canonica e possono essere modificate variando le costanti (con il segno preservato!); mentre la loro forma (iperboloide, cono e così via) rimarrà la stessa.

Tale equazione è già data da un iperboloide a due fogli.

superficie conica

Non c'è unità nell'equazione del cono - uguaglianza a zero.

Solo una superficie conica delimitata è chiamata cono. L'immagine sotto mostra che, in effetti, ci saranno due cosiddetti coni sul grafico.

Nota importante: in tutte le equazioni canoniche considerate, si presume che le costanti siano positive per impostazione predefinita. In caso contrario, il segno potrebbe influenzare il grafico finale.

I piani delle coordinate diventano i piani di simmetria del cono, il centro di simmetria si trova all'origine.

Nell'equazione immaginaria del cono ci sono solo vantaggi; ha un unico punto reale.

Paraboloidi

Le superfici del 2° ordine nello spazio possono assumere forme diverse anche con equazioni simili. Ad esempio, ci sono due tipi di paraboloidi.

x 2 / a 2 + y 2 / b 2 \u003d 2z

Un paraboloide ellittico, quando l'asse Z è perpendicolare al disegno, verrà proiettato in un'ellisse.

x 2 / a 2 -y 2 / b 2 \u003d 2z

Paraboloide iperbolico: sezioni con piani paralleli a ZY produrranno parabole e sezioni con piani paralleli a XY produrranno iperboli.

Piani intersecanti

Ci sono casi in cui le superfici del 2° ordine degenerano in un piano. Questi piani possono essere disposti in vari modi.

Consideriamo innanzitutto i piani intersecanti:

x 2 / a 2 -y 2 / b 2 \u003d 0

Questa modifica dell'equazione canonica si traduce in due soli piani intersecanti (immaginario!); tutti i punti reali sono sull'asse della coordinata che non è nell'equazione (nel canonico - l'asse Z).

Piani paralleli

In presenza di una sola coordinata, le superfici del 2° ordine degenerano in una coppia di piani paralleli. Ricorda, qualsiasi altra variabile può prendere il posto di Y; quindi si otterranno piani paralleli ad altri assi.

In questo caso, diventano immaginari.

Aerei coincidenti

Con un'equazione così semplice, una coppia di piani degenera in uno: coincidono.

Non dimenticare che nel caso di una base tridimensionale, l'equazione di cui sopra non definisce la retta y=0! Non ha altre due variabili, ma ciò significa semplicemente che il loro valore è costante e uguale a zero.

Costruzione

Uno dei compiti più difficili per uno studente è la costruzione di superfici del 2° ordine. È ancora più difficile spostarsi da un sistema di coordinate all'altro, dati gli angoli della curva rispetto agli assi e l'offset del centro. Ripetiamo come determinare in sequenza la vista futura del disegno in modo analitico.

Per costruire una superficie del 2° ordine, sono necessari:

• portare l'equazione in forma canonica;
• determinare il tipo di superficie oggetto di studio;
• costruire in base ai valori dei coefficienti.

Tutti i tipi considerati sono elencati di seguito:

Per consolidare, descriviamo in dettaglio un esempio di questo tipo di attività.

Esempi

Diciamo di avere un'equazione:

3(x 2 -2x+1)+6y 2 +2z 2 +60y+144=0

Portiamolo alla forma canonica. Individuiamo i quadrati pieni, cioè sistemiamo i termini disponibili in modo tale che siano l'espansione del quadrato della somma o differenza. Ad esempio: se (a+1) 2 =a 2 +2a+1, allora a 2 +2a+1=(a+1) 2 . Effettueremo la seconda operazione. In questo caso non è necessario aprire le parentesi, poiché ciò complicherà solo i calcoli, ma è necessario eliminare il fattore comune 6 (tra parentesi con il quadrato intero della Y):

3(x-1) 2 +6(y+5) 2 +2z 2 =6

La variabile z si verifica in questo caso solo una volta - per il momento può essere lasciata invariata.

Analizziamo l'equazione in questa fase: tutte le incognite sono precedute da un segno più; quando diviso per sei, ne rimane uno. Pertanto, abbiamo un'equazione che definisce un ellissoide.

Si noti che 144 è stato preso in considerazione in 150-6, dopodiché il -6 è stato spostato a destra. Perché doveva essere fatto in questo modo? È ovvio che il massimo divisore in questo esempio è -6, quindi, affinché un'unità rimanga sulla destra dopo averla divisa, è necessario "rinviare" esattamente 6 da 144 (la presenza di un membro libero, una costante non moltiplicata per l'ignoto).

Dividi tutto per sei e ottieni l'equazione canonica dell'ellissoide:

(x-1) 2 /2+(y+5) 2 /1+z 2 /3=1

Nella classificazione delle superfici del 2° ordine precedentemente utilizzata, viene considerato un caso particolare quando il centro della figura è all'origine. In questo esempio, è sfalsato.

Assumiamo che ogni parentesi con incognite sia una nuova variabile. Ovvero: a=x-1, b=y+5, c=z. Nelle nuove coordinate il centro dell'ellissoide coincide con il punto (0,0,0), quindi a=b=c=0, da cui: x=1, y=-5, z=0. Nelle coordinate iniziali, il centro della figura giace nel punto (1,-5,0).

L'ellissoide sarà composto da due ellissi: la prima nel piano XY e la seconda nel piano XZ (o YZ - non importa). I coefficienti per i quali sono divise le variabili sono al quadrato nell'equazione canonica. Pertanto, nell'esempio sopra, sarebbe più corretto dividere per la radice di due, uno e la radice di tre.

L'asse minore della prima ellisse, parallelo all'asse Y, è due. L'asse maggiore parallelo all'asse x è due radici di due. L'asse minore della seconda ellisse, parallelo all'asse Y, rimane lo stesso: è uguale a due. E l'asse maggiore, parallelo all'asse Z, è uguale a due radici di tre.

Utilizzando i dati ottenuti dall'equazione originale convertendo nella forma canonica, possiamo disegnare un ellissoide.

Riassumendo

L'argomento trattato in questo articolo è piuttosto ampio, ma, in realtà, come puoi vedere ora, non molto complicato. Il suo sviluppo, infatti, termina nel momento in cui si memorizzano i nomi e le equazioni delle superfici (e, ovviamente, come si presentano). Nell'esempio sopra, abbiamo considerato ogni passaggio in dettaglio, ma portare l'equazione alla forma canonica richiede una conoscenza minima della matematica superiore e non dovrebbe causare alcuna difficoltà allo studente.

L'analisi del calendario futuro secondo l'uguaglianza esistente è già un compito più difficile. Ma per la sua soluzione di successo, è sufficiente capire come vengono costruite le corrispondenti curve del secondo ordine: ellissi, parabole e altre.

I casi di degenerazione sono una sezione ancora più semplice. A causa dell'assenza di alcune variabili, non solo i calcoli sono semplificati, come accennato in precedenza, ma anche la costruzione stessa.

Non appena puoi nominare con sicurezza tutti i tipi di superfici, variare le costanti, trasformando il grafico in una o nell'altra figura, l'argomento sarà padroneggiato.

Successo nell'apprendimento!