Le serie di Taylor servono come strumento efficace per studiare le funzioni analitiche nel disco zol Per studiare le funzioni analitiche in un dominio anulare, risulta possibile costruire espansioni in potenze positive e negative (z - zq) della forma generalizzando gli sviluppi di Taylor. La serie (1), intesa come somma di due serie, è chiamata serie di Laurent. È chiaro che la regione di convergenza della serie (1) è la parte comune delle regioni di convergenza di ciascuna delle serie (2). Troviamola. Il dominio di convergenza della prima serie è un cerchio il cui raggio è determinato dalla formula di Cauchy-Hadamard All'interno del cerchio di convergenza, la serie (3) converge ad una funzione analitica, e in ogni cerchio di raggio minore converge in modo assoluto e uniforme . La seconda serie è una serie di potenze rispetto alla variabile.La serie (5) converge all'interno del suo cerchio di convergenza ad una funzione analitica della variabile complessa m - * oo, e in ogni cerchio di raggio minore converge assolutamente ed uniformemente, che significa che la regione di convergenza della serie (4) è il cerchio esterno - Se poi esiste una regione comune di convergenza delle serie (3) e (4) - un anello circolare in cui la serie (1) converge a una funzione analitica. Inoltre, in qualsiasi anello, converge in modo assoluto e uniforme. Esempio 1. Determinare la regione di convergenza della serie di rad Laurent Punti singolari isolati e loro classificazione М La regione di convergenza della prima riga è l'esterno del cerchio e la regione con il movimento della seconda riga è l'interno del cerchio. (z), monovalore e apolitico secondo uno schema circolare, può essere rappresentato in questo anello come la somma di una serie convergente i cui coefficienti Cn sono univocamente determinati e calcolati dalle formule dove 7p è un cerchio di raggio m Fissiamo un punto z arbitrario all'interno dell'anello R. Costruiamo cerchi con centro nel punto r, i cui raggi soddisfano le disuguaglianze e consideriamo il nuovo anello.Per il teorema dell'integrale di Cauchy per un dominio multiconnesso, abbiamo Trasforma separatamente ciascuno degli integrali nella somma (8). Per tutti i punti £ lungo il cerchio 7d *, è soddisfatta la relazione de-somma di una serie uniformemente convergente 1 1. Pertanto, la frazione ^ può essere rappresentata in v - / "/ Moltiplicando entrambi i membri per una funzione continua (0 e portando Integrando termine per termine lungo la circonferenza, otteniamo che effettuiamo la trasformazione del secondo integrale Per tutti i punti £ della circonferenza ir> vale la relazione Pertanto, la frazione ^ può essere rappresentata come somma di una convergenza uniformemente serie Moltiplicando entrambi i membri per una funzione continua) e integrando termine per termine lungo il cerchio 7/, si ottiene che Nota che gli integrandi nelle formule (10) e (12) sono funzioni analitiche in un anello circolare. Pertanto, in virtù del teorema di Cauchy, i valori degli integrali corrispondenti non cambiano se sostituiamo i cerchi 7/r e 7r / con qualsiasi cerchio. Questo ci permette di combinare le formule (10) e (12), Sostituendo gli integrali a destra della formula (8) con le loro espressioni (9) e (11), rispettivamente, otteniamo lo sviluppo richiesto. Poiché z è un punto arbitrario dell'anello, ne segue che la serie ( 14) converge alla funzione f (z) ovunque in questo anello, e in ogni anello la serie converge a questa funzione in modo assoluto e uniforme. Dimostriamo ora che la scomposizione della forma (6) è unica. Supponiamo che ci sia un'altra scomposizione, allora, ovunque all'interno dell'anello R, abbiamo Sulla circonferenza la serie (15) converge uniformemente. Moltiplichiamo entrambi i lati dell'uguaglianza (dove m è un numero intero fisso e integriamo entrambe le serie termine per termine. Di conseguenza, otteniamo sul lato sinistro e sulla destra - Cv. Quindi, (4, = St. Poiché m è un numero arbitrario, l'ultima uguaglianza dimostra l'unicità dell'espansione.La serie (6), i cui coefficienti sono calcolati dalle formule (7), è chiamata serie di Laurent della funzione f (z) nell'anello .L'insieme dei termini di questa serie con potenze non negative è chiamato parte regolare della serie di Laurent, e quelli con potenze negative è chiamato la sua parte principale. 7) per i coefficienti della serie di Laurent sono raramente usati in pratica, perché, come una regola, richiedono calcoli ingombranti. Di solito, se possibile, vengono utilizzate espansioni di Taylor già pronte di funzioni elementari. In base all'unicità dell'espansione, qualsiasi metodo legale porta allo stesso risultato. Esempio 2. Considera gli espansioni in serie di Laurent di la funzione di domini diversi, assumendo che Fusion f (z) abbia due punti singolari: Di ​​conseguenza, ci sono tre domini anulari e, centrato nel punto r = 0. in ognuno dei quali la funzione f (r) è analitica: a) un cerchio è un anello all'esterno di un cerchio (Fig. 27). Troviamo gli sviluppi di Laurent della funzione f (z) in ciascuna di queste regioni. Rappresentiamo f (z) come somma di frazioni elementari a) Cerchio Trasformiamo la relazione (16) come segue: b) L'anello per la funzione z rimane convergente in questo anello, poiché Serie (19) per la funzione j ^ j per |z | > 1 diverge. Pertanto, trasformiamo la funzione f (z) come segue: applicando nuovamente la formula (19), otteniamo che Questa serie converge per. Sostituendo gli sviluppi (18) e (21) nella relazione (20), si ottiene c) L'esterno del cerchio per la funzione z per |z | > 2 diverge e serie (21) per le funzioni<*> Usando le formule (18) e (19), otteniamo OR 1 Questo esempio mostra che per la stessa funzione f (z) lo sviluppo di Laurent, in generale, ha una forma diversa per anelli diversi. Esempio 3. Trovare lo sviluppo in serie di 8 Laurent della funzione Serie di Laurent Punti singolari isolati e loro classificazione nella regione anulare A Usiamo la rappresentazione della funzione f (z) nella forma seguente: e trasformiamo il secondo termine Usando la formula per la somma dei termini di una progressione geometrica, si ottiene Sostituendo le espressioni trovate nella formula (22), si ha l'Esempio 4. Espandere in una serie di Laurent la funzione in prossimità di zq sottile = 0. Per ogni complesso si ha Put Questa espansione è valida per qualsiasi punto z Φ 0. In questo caso, la regione anulare è l'intero piano complesso con un punto espulso z - 0. Questa regione può essere definita dalla seguente relazione: Questa funzione è analitica nella regione Dalle formule (13) per i coefficienti della serie di Laurent con lo stesso ragionamento del paragrafo precedente si ottengono le disuguaglianze di Kouiw. se la funzione f (z) è limitata alla circonferenza, dove M è una costante), allora Punti singolari isolati Il punto zo si dice punto singolare isolato della funzione f (z) se esiste un intorno anulare del punto ( questo insieme è talvolta chiamato anche intorno punteggiato del punto 2o), in cui la funzione f (z) è monovalore e analitica. Al punto zo stesso, la funzione è indefinita o non uni-valore e analitica. Si distinguono tre tipi di punti singolari a seconda del comportamento della funzione f (r) quando si avvicina al punto zo. Un punto singolare isolato si dice: 1) asportabile se esiste un punto finito 2) musach se 3) punto essenzialmente singolare se la funzione f (z) non ha limite in Il tipo di punto singolare isolato è strettamente correlato al natura dell'espansione di Laurent della funzione dal centro perforato r. Teorema 16. Un punto singolare isolato z0 di una funzione f (z) è un punto singolare rimovibile se e solo se lo sviluppo di Laurent della funzione f (z) in un intorno del punto zo non contiene una parte principale, cioè , ha la forma Sia zo punto singolare usa e getta. Allora ne esiste uno finito, quindi la funzione f (z) è limitata nell'intorno circonferenziale del punto t. Poniamo Per le disuguaglianze di Cauchy. lo sviluppo della funzione f (r) in un intorno del punto zq contiene solo la parte regolare, cioè ha la forma (23) e, quindi, è di Taylor. È facile vedere che per z - * z0 la funzione f (z) ha un valore limite: Teorema 17. Un punto singolare isolato zq di una funzione f (z) è rimovibile se e solo se la funzione J (z) è delimitato in qualche quartiere forato del punto zq, Zgmecha e non. Sia r0 un punto singolare rimovibile della funzione f (r). Supponendo di ottenere che la funzione f (r) sia analitica in qualche k cerchio centrato nel punto r. Questo definisce il nome del punto - usa e getta. Teorema 18. Un punto singolare isolato zq di una funzione f (z) è un polo se e solo se la parte principale dello sviluppo di Lauren della funzione f (z) in un intorno del punto contiene un numero finito (e positivo) di termini diversi da zero, cioè ha la forma 4 Sia z0 un polo. Poiché esiste un intorno perforato del punto z0 in cui la funzione f (z) è analitica e diversa da zero. Allora una funzione analitica è definita in questo intorno e, di conseguenza, il punto zq è un punto singolare rimovibile (zero) della funzione o dove h (z) è una funzione analitica, h (z0) Φ 0. Allora h (zo) Φ 0 è analitica, allora la funzione u è analitica in un intorno del punto zq, e quindi, donde otteniamo che Supponiamo ora che la funzione f (z) abbia uno sviluppo della forma (24) in un intorno bucato del punto zо. Ciò significa che in questo intorno la funzione f (z) è analitica insieme alla funzione. La funzione g (z) ha uno sviluppo da cui è chiaro che zq è un punto singolare rimovibile della funzione g (z) ed esiste Allora la funzione tende a 0 - il polo della funzione C'è un altro fatto semplice. Il punto Zq è un polo della funzione f (z) se e solo se la funzione g (z) = uv può essere estesa ad una funzione analitica in un intorno del punto zq ponendo g (z0) = 0. L'ordine del polo della funzione f (z) si chiama l'ordine dello zero della funzione jfa. I teoremi 16 e 18 implicano la seguente affermazione. Teorema 19. Un sottile singolare isolato è essenzialmente singolare se e solo se la parte principale dello sviluppo di Laurent in un intorno perforato di questo punto contiene infiniti termini diversi da zero. Esempio 5. Il punto singolare della funzione è zo = 0. Abbiamo la serie di Laurent Punti singolari isolati e loro classificazione Pertanto, zo = 0 è un punto singolare rimovibile. Lo sviluppo di Laurent della funzione f (z) in prossimità del punto zero contiene solo la parte corretta: Esempio 7. f (z) = Il punto singolare della funzione f (z) è zq = 0. Si consideri il comportamento di questa funzione sugli assi reale e immaginario: sull'asse reale in x 0, sull'asse immaginario Quindi non esiste né un limite finito né infinito f (z) per z - * 0 non esiste. Quindi, il punto r = 0 è un punto essenzialmente singolare della funzione f (z). Troviamo lo sviluppo di Laurent della funzione f (z) in un intorno del punto zero. Per ogni complesso abbiamo Put. Allora lo sviluppo di Laurent contiene un numero infinito di termini con potenze negative di z.

Punto singolare

in matematica.

1) Il punto singolare della curva dato dall'equazione F ( x, y) = 0, - punto М 0 ( x 0, y 0), in cui entrambe le derivate parziali della funzione F ( x, y) svaniscono:

Se, in questo caso, non tutte le derivate parziali seconde della funzione F ( x, y) nel punto М 0 sono uguali a zero, allora l'O. t. si dice doppio. Se, insieme alla nullità delle derivate prime nel punto М 0, si annullano tutte le derivate seconde e tutte le derivate seconde, ma non tutte le derivate terze sono uguali a zero, allora l'O. t. Su. Quando si studia la struttura di una curva vicino a un doppio O. t., Un ruolo importante è svolto dal segno dell'espressione

Se > 0, allora un o. t. Si dice isolato; per esempio, la curva y 2 - x 4 + 4x 2= 0, l'origine delle coordinate è un oggetto isolato di t.(Vedi. Riso. 1 ). Se x 2 + y 2 + a 2) 2 - 4a 2 x 2 - un 4= 0 l'origine delle coordinate è il sistema di coordinate nodali (vedi. Riso. 2 ). Se Δ = 0, allora la linearità della curva è isolata o caratterizzata dal fatto che diversi rami della curva hanno una tangente comune in questo punto, ad esempio: a) cuspide del 1° tipo - diversi rami della curva si trovano ai lati opposti della tangente comune e formano un punto come una curva y 2 - x 3= 0 (vedi. Riso. 3 , un); b) una cuspide del 2° tipo - diversi rami della curva si trovano dallo stesso lato della tangente comune, come una curva (y - x 2)2 - x 5= 0 (vedi. Riso. 3 , B); c) punto di autocontatto (per una curva y 2 - x 4= 0 l'origine è il punto di contatto; (cm. Riso. 3 , v). Insieme all'O.t. indicato ci sono molti altri O.t. Con nomi speciali; ad esempio, un punto asintotico è l'apice di una spirale con un numero infinito di spire (vedi. Riso. 4 ), punto di interruzione, punto d'angolo, ecc.

2) Un punto singolare di un'equazione differenziale è un punto in cui sia il numeratore che il denominatore del membro destro dell'equazione differenziale svaniscono simultaneamente (Vedi Equazioni differenziali)

dove P e Q sono funzioni continuamente differenziabili. Assumendo O. t. Situato all'origine e usando la formula di Taylor (vedi la formula di Taylor), possiamo rappresentare l'equazione (1) nella forma

dove P 1 ( x, y) e Q1 ( x, y) sono infinitesimali rispetto a

Vale a dire, se λ 1 ≠ λ 2 e λ 1 λ 2> 0 o λ 1 = λ 2, allora il valore al contorno è un nodo; vi entrano tutte le curve integrali passanti per punti di un intorno sufficientemente piccolo di un nodo. Se λ 1 ≠ λ 2 e λ 1 λ 2 i β, α ≠ 0 e β ≠ 0, allora il punto è il fuoco; tutte le curve integrali che passano per punti di un intorno sufficientemente piccolo del fuoco sono spirali con un numero infinito di giri in qualsiasi intorno arbitrariamente piccolo del fuoco. Se, infine, λ 1,2 = ± ioβ, β ≠ 0, allora il carattere del valore al contorno non è determinato dai soli termini lineari nelle espansioni Р ( x, y) e Q ( x, y), come è avvenuto in tutti i casi di cui sopra; qui O. t. può essere un punto focale o un centro, e può anche avere un carattere più complesso. In prossimità del centro, tutte le curve integrali sono chiuse e contengono in sé un centro. Quindi, per esempio, il punto (0, 0) è un nodo per le equazioni a" = 2y / x(λ 1 = 1, λ 2 = 2; cfr. Riso. 5 , a) e sì" = y / x(λ 1 = λ 2 = 1; vedi Riso. 5 , b), una sella per l'equazione y "= -y / x(λ 1 = -1, λ 2 = 1 ; cm. Riso. 6 ), il focus per l'equazione y "=(x + y) / (x - y) (λ 1 = 1 - io, 2 = 1 + io; cm. Riso. 7 ) e centro per l'equazione y "= -x / y(λ 1 = -io, 2 = io; cm. Riso. otto ).

Se x, y) e Q ( x, y) analitico, un intorno di ordine t superiore può scomporre in regioni: D 1 - riempito con curve integrali che entrano in entrambe le estremità della linea di confine (regioni ellittiche); (domini parabolici), e D 3 sono domini delimitati da due curve integrali che fanno parte della geometria lineare, tra le quali si trovano curve integrali di tipo iperbolico (domini iperbolici) (vedi Sez. Riso. nove ). Se non ci sono curve integrali incluse nel punto limite, il punto limite è chiamato punto di tipo stabile. L'intorno di un O. t. stabile è costituito da curve integrali chiuse che contengono l'O. t. Al suo interno, tra le quali si trovano le spirali (vedi. Riso. dieci ).

Lo studio delle equazioni differenziali nelle equazioni differenziali, cioè, in sostanza, lo studio del comportamento delle famiglie di curve integrali in un intorno di equazioni differenziali, costituisce una delle sezioni della teoria qualitativa delle equazioni differenziali e svolge un ruolo importante nel applicazioni, in particolare, in questioni di stabilità del moto (articoli A M. Lyapunov, A. Poincaré e altri).

3) Un punto singolare di una funzione analitica a valore singolo è il punto in cui viene violata l'analiticità della funzione (vedi Funzioni analitiche). Se c'è un quartiere di O. t. un, libero da altri O. t., quindi il punto unè chiamato O. t. isolato Se un- un O. t. isolato ed esiste un a finito è detto O. t. rimovibile. F(un)= b, puoi ottenerlo un diventerà il punto comune della funzione corretta. Ad esempio, punto z= 0 è rimovibile O. t. Per la funzione f 1 ( z) = F(z), Se z 0 e F 1 (0), = 1, punto z= 0 è un punto ordinario [ F 1 (z) è analitico nel punto z= 0]. Se un- un O. t. ed un isolati sono detti polo o punto inessenziale singolare della funzione F(z), se la serie di Laurent) della funzione F(z) in un intorno di un valore al contorno isolato non contiene gradi negativi z - a, Se un- O. t. rimovibile, contiene un numero finito di gradi negativi z - a, Se un- palo (in questo caso, l'ordine del palo Rè definito come il grado più alto di a — un punto essenzialmente singolare. Ad esempio, per la funzione

p = 2, 3, ...)

punto z= 0 è il polo dell'ordine R, per la funzione

punto z= 0 è un punto singolare essenziale.

Sul confine del cerchio di convergenza di una serie di potenze deve esserci almeno un O. t. della funzione rappresentata all'interno di questo cerchio da una data serie di potenze. Tutti i punti di confine del dominio di esistenza di una funzione analitica a valore singolo (confine naturale) sono i punti di confine di questa funzione. Quindi, tutti i punti del cerchio unitario | z| = 1 sono speciali per la funzione

Per una funzione analitica multivalore, il concetto di "O. T." più difficile. Oltre all'O. t., In fogli separati della superficie di Riemann di una funzione (cioè l'O. t. Di elementi analitici a valore singolo) ogni punto di diramazione è anche la Funzione O. t.. I punti di diramazione isolati di una superficie di Riemann (cioè quei punti di diramazione che in alcune delle loro vicinanze non ci sono altre funzioni O. t. in nessuna foglia) sono classificati come segue. Se a è un punto di diramazione isolato di ordine finito ed esiste un a finito, si parla di polo critico. Se unè un punto di diramazione isolato di ordine infinito e a è detto punto di diramazione trascendentale Tutti gli altri punti di diramazione isolati sono detti punti critici essenzialmente singolari. Esempi: punto z= 0 è un punto critico ordinario della funzione f ( z) = ln z e il punto critico essenzialmente singolare della funzione F (z) = peccato ln z.

Qualsiasi O. t., Eccetto rimovibile, è un ostacolo alla continuazione analitica, cioè la continuazione analitica lungo una curva che passa per un O. t. inamovibile è impossibile.

Grande Enciclopedia Sovietica. - M .: enciclopedia sovietica. 1969-1978 .

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Una funzione analitica è un punto in cui vengono violate le condizioni dell'analiticità. Se una funzione analitica f (z) è definita in qualche intorno del punto z0 ovunque ... Enciclopedia fisica

Una funzione analitica è il punto in cui viene violata l'analiticità della funzione ... Grande dizionario enciclopedico

punto singolare- - [Ya.N. Luginsky, M.S.Fezi Zhilinskaya, Y.S.Kabirov. Dizionario inglese russo di ingegneria elettrica e ingegneria energetica, Mosca, 1999] Materie di ingegneria elettrica, concetti di base EN punto singolare ... Guida tecnica per traduttori

1) La definizione di una funzione analitica f (z) è un ostacolo alla continuazione analitica di un elemento di una funzione f (z) di una variabile complessa z lungo un percorso nel piano di questa variabile. Lascia che la funzione analitica f (z) sia definita da alcuni ... ... Enciclopedia della matematica

Funzione analitica, punto in cui viene violata l'analiticità della funzione. * * * PUNTO SINGOLARE PUNTO SINGOLARE di una funzione analitica, punto in cui viene violata l'analiticità di una funzione ... dizionario enciclopedico

punto singolare- ypatingasis taškas statusas T sritis automatika atitikmenys: angl. punto singolare voc. singolare Punkt, m rus. punto singolare, f pranc. punto particolare, m; point singulare, m ... Automatikos terminų žodynas

punto singolare- ypatingasis taškas statusas T sritis fizika atitikmenys: angl. punto singolare voc. singolare Punkt, m rus. punto singolare, f pranc. punto singolare, m ... Fizikos terminų žodynas

Modelli descritti da sistemi di due equazioni differenziali autonome.

Piano di fase. Ritratto di fase. Metodo isoclino. Isoline maggiori. Stabilità dello stato stazionario. Sistemi lineari. Tipi di punti speciali: nodo, sella, fuoco, centro. Esempio: reazioni chimiche del primo ordine.

I risultati più interessanti sulla modellazione qualitativa delle proprietà dei sistemi biologici sono stati ottenuti su modelli di due equazioni differenziali, che consentono uno studio qualitativo utilizzando il metodo piano di fase... Consideriamo un sistema di due equazioni differenziali ordinarie autonome di forma generale

(4.1)

P (x, y), Q (x, y)- funzioni continue definite in una certa area G piano euclideo ( x, y- coordinate cartesiane) e aventi derivate continue di ordine non inferiore alla prima in questa regione.

Regione G può essere illimitato o limitato. Se le variabili x, y hanno un significato biologico specifico (concentrazione di sostanze, numero di specie), il più delle volte l'area Gè il quadrante positivo del semipiano destro:

0 £ X< ¥ ,0 £ sì< ¥ .

La concentrazione di sostanze o il numero di specie può anche essere limitata dall'alto dal volume della nave o dall'area dell'habitat. Quindi l'intervallo di valori delle variabili è:

0 £ X< x 0 , 0 £ sì< y 0 .

Variabili x, y cambiare nel tempo secondo il sistema di equazioni (4.1), in modo che ogni stato del sistema corrisponda a una coppia di valori delle variabili ( x, y).

Viceversa, ogni coppia di variabili ( x, y) corrisponde a un certo stato del sistema.

Considera un piano con assi coordinati su cui sono tracciati i valori delle variabili x, y... ogni punto m questo piano corrisponde a un certo stato del sistema. Tale piano è chiamato piano delle fasi e rappresenta la totalità di tutti gli stati del sistema. Il punto M (x, y) è chiamato punto rappresentativo o rappresentativo.

Lascia che nel momento iniziale del tempo t = t 0 coordinate del punto di tracciamento m 0 (X(T 0), sì(T 0)). In ogni momento successivo nel tempo T il punto raffigurante si sposterà in base alle variazioni dei valori delle variabili X(T), sì(T). Una raccolta di punti m(X(T), y (t)) sul piano delle fasi, la cui posizione corrisponde agli stati del sistema in procinto di variare nel tempo le variabili x (t), io (t) secondo le equazioni (4.1), si chiama traiettoria di fase.

L'insieme delle traiettorie di fase per diversi valori iniziali delle variabili fornisce un "ritratto" facilmente visibile del sistema. Costruzione ritratto di fase ci permette di trarre conclusioni sulla natura dei cambiamenti nelle variabili x, y senza conoscere le soluzioni analitiche del sistema di equazioni originario(4.1).

Per rappresentare il ritratto di fase, è necessario costruire un campo vettoriale di direzioni delle traiettorie del sistema in ogni punto del piano di fase. Specificando l'incrementoD t> 0,otteniamo gli incrementi corrispondenti D X e D sì dalle espressioni:

D x = P (x, y)D T,

D y = Q (x, y)D T.

Direzione vettoriale dy / dx al punto ( x, y) dipende dal segno delle funzioni P (x, y), Q (x, y) e può essere data da una tabella:

P (x, y)> 0, Q (x, y)> 0
P (x, y)<0,Q(x,y)<0
P (x, y)> 0, Q (x, y)<0
P (x, y)<0,Q(x,y)>0

.(4.2)

La soluzione di questa equazione y = y(x, c), o implicitamente F(x, y)= c, dove insieme a- costante di integrazione, dà una famiglia di curve integrali di equazione (4.2) - traiettorie di fase del sistema (4.1) sul piano x, y.

Metodo isocline

Per costruire un ritratto di fase, usa metodo isoclino - sul piano delle fasi vengono tracciate linee che intersecano le curve integrali con un angolo specifico. L'equazione isoclina può essere facilmente ottenuta dalla (4.2). Mettiamo

dove UN– una certa costante. Significato UNè la tangente dell'angolo di inclinazione della tangente alla traiettoria di fase e può assumere valori da -¥ a + ¥ ... Sostituendo invece di dy / dx nella (4.2) la quantità UN otteniamo l'equazione isoclina:

.(4.3)

L'equazione (4.3) definisce in ogni punto del piano un'unica retta tangente alla corrispondente curva integrale, eccetto per il punto in cui P (x, y)= 0, Q (x, y) = 0 , in cui la direzione della tangente diventa indefinita, poiché in questo caso il valore della derivata diventa indefinito:

.

Questo punto è il punto di intersezione di tutte le isocline - punto speciale. Le derivate temporali delle variabili in essa svaniscono contemporaneamente X e sì.

Quindi, al punto singolare, i tassi di variazione delle variabili sono uguali a zero. Di conseguenza, il punto singolare delle equazioni differenziali delle traiettorie di fase (4.2) corrisponde a stato stazionario del sistema(4.1), e le sue coordinate sono i valori stazionari delle variabili x, y.

Di particolare interesse sono isocline principali:

dy / dx = 0, P(x, y)=0 – isocline delle tangenti orizzontali e

dy / dx =¥ , Q(x, y)=0 – isocline delle tangenti verticali.

Dopo aver costruito le isocline principali e aver trovato il punto della loro intersezione (x, y), le cui coordinate soddisfano le condizioni:

troveremo così il punto di intersezione di tutte le isocline nel piano delle fasi, in cui la direzione delle tangenti alle traiettorie di fase è indefinita. Esso - punto singolare che corrisponde stato stazionario del sistema(fig. 4.2).

Il sistema (4.1) ha tanti stati stazionari quanti sono i punti di intersezione delle principali isocline sul piano delle fasi.

Ad ogni traiettoria di fase corrisponde un insieme di moti di un sistema dinamico che passano per gli stessi stati e differiscono tra loro solo per l'origine del tempo.

Se le condizioni del teorema di Cauchy sono soddisfatte, allora attraverso ogni punto dello spazio x, y, t esiste un'unica curva integrale. Lo stesso vale, a causa dell'autonomia, per le traiettorie di fase: una traiettoria monofase passa per ogni punto del piano di fase.

Stabilità allo stato stazionario

Lascia che il sistema sia in equilibrio.

Allora il punto rappresentativo si trova in uno dei punti singolari del sistema, in corrispondenza del quale, per definizione:

.

Se un punto singolare è stabile o meno è determinato dal fatto che il punto raffigurante esca con una piccola deviazione dallo stato stazionario. Applicata a un sistema di due equazioni, la definizione di stabilità nel linguaggioe, Dcome segue.

Uno stato di equilibrio è stabile se per una data regione di deviazioni dallo stato di equilibrio (e )puoi specificare la zona D (e )che circonda lo stato di equilibrio e ha la proprietà che nessuna traiettoria che inizia all'interno della regione D , non raggiunge mai il confine e ... (fig.4.4)

Per una vasta classe di sistemi - sistemi grezzi – la natura del cui comportamento non cambia con un piccolo cambiamento nella forma delle equazioni, le informazioni sul tipo di comportamento in prossimità dello stato stazionario possono essere ottenute esaminando non l'originale, ma un semplificato linearizzato sistema.

Sistemi lineari.

Consideriamo un sistema di due equazioni lineari:

.(4.4)

Qui a, b, c, d- costanti, x, y- Coordinate cartesiane sul piano delle fasi.

Cercheremo una soluzione generale nella forma:

.(4.5)

Sostituisci queste espressioni nella (4.4) e cancellale con e io T:

(4.6)

Sistema algebrico di equazioni (4.6) con incognite A, B ha soluzione diversa da zero solo se il suo determinante, composto dai coefficienti delle incognite, è uguale a zero:

.

Espandendo questo determinante, si ottiene l'equazione caratteristica del sistema:

.(4.7)

La soluzione di questa equazione fornisce i valori dell'indicatoreio 1,2 per cui sono possibili valori diversi da zero per UN e B soluzioni dell'equazione (4.6). Questi significati sono

.(4.8)

Se l'espressione radicale è negativa, alloraio 1,2 numeri complessi coniugati. Supponiamo che entrambe le radici dell'equazione (4.7) abbiano parti reali diverse da zero e che non ci siano radici multiple. Allora la soluzione generale del sistema (4.4) può essere rappresentata come una combinazione lineare di esponenziali con esponentiio 1 , io 2 :

(4.9)

Per analizzare la natura delle possibili traiettorie del sistema sul piano delle fasi, usiamo trasformazione lineare omogenea delle coordinate, che porterà il sistema a forma canonica:

,(4.10)

ammettendo una rappresentazione più conveniente sul piano delle fasi rispetto al sistema originario (4.4). Introduciamo nuove coordinateξ , η dalle formule:

(4.1)

È noto dal corso di algebra lineare che nel caso di disuguaglianza delle parti reali a zeroio 1 , io 2 il sistema originale (4.4) usando le trasformazioni (4.11) può sempre essere trasformato nella forma canonica (4.10) e si può studiare il suo comportamento sul piano delle fasiξ , η ... Consideriamo i vari casi che possono presentarsi qui.

Radici 1 , λ 2 - valido e un segno

In questo caso i fattori di conversione sono reali, si parte dal piano realex, yal piano reale ξ, η. Dividendo la seconda delle equazioni (4.10) per la prima si ottiene:

.(4.12)

Integrando questa equazione, troviamo:

Dove (4.13)

Accettiamo di intendere per λ 2 la radice dell'equazione caratteristica a grande modulo, che non viola la generalità del nostro ragionamento. Allora, poiché nel caso in esame le radici λ 1 , 2 - valido e un segno,un>1 , e si tratta di curve integrali di tipo parabolico.

Tutte le curve integrali (tranne l'asse η che corrisponde a ) toccare l'origine dell'asse ξ, che è anche la curva integrale dell'equazione (4.11). L'origine è un punto singolare.

Cerchiamo ora di trovare la direzione del moto del punto rappresentante lungo le traiettorie di fase. Se 1, λ 2 - sono negativi, quindi, come si può vedere dalle equazioni (4.10), | ξ |, | η | diminuire nel tempo. Il punto raffigurante si avvicina però all'origine, senza mai raggiungerla. Altrimenti, ciò contraddirebbe il teorema di Cauchy, che afferma che solo una traiettoria di fase passa attraverso ciascun punto del piano di fase.

Un punto così singolare attraverso il quale passano le curve integrali, proprio come la famiglia delle parabole passa per l'origine, è detto nodo (fig. 4.5)

Stato di equilibrio del tipo di nodo a 1, λ 2 < 0 è Lyapunov stabile, poiché il punto che rappresenta lungo tutte le curve integrali si sposta verso l'origine. esso nodo stabile... Se 1, λ 2 > 0, allora | ξ |, | η | aumenta con il tempo e il punto rappresentativo si allontana dall'origine. In questo caso, il punto singolare– nodo instabile .

Sul piano delle fasi x, y rimarrà il carattere qualitativo generale del comportamento delle curve integrali, ma le tangenti alle curve integrali non coincideranno con gli assi coordinati. L'angolo di inclinazione di queste tangenti sarà determinato dal rapporto dei coefficienti α , β , γ , δ nelle equazioni (4.11).

Radici 1 , λ 2 - segni validi e diversi.

Conversione da coordinate x, y alle coordinate ξ, η di nuovo valido. Le equazioni per le variabili canoniche hanno ancora la forma (4.10), ma ora i segni λ 1, λ 2 sono diversi. L'equazione della traiettoria di fase ha la forma:

Dove, (4.14)

Integrando (4.14), troviamo

(4.15)

esso l'equazione definisce una famiglia di curve di tipo iperbolico, dove entrambi gli assi coordinati- asintoti (per un=1 avremmo una famiglia di iperboli isoscele). Gli assi delle coordinate in questo caso sono curve integrali– queste saranno le uniche curve integrali passanti per l'origine. Ognidi essi è costituito da traiettorie trifase: da due movimenti a uno stato di equilibrio (o da uno stato di equilibrio) e da uno stato di equilibrio. Tutte le altre curve integrali– sono iperboli che non passano per l'origine (Fig. 4.6) Un punto così speciale si chiama "sella ». Le linee di livello vicino alla sella della montagna si comportano come traiettorie di fase in prossimità della sella.

Consideriamo la natura del moto del punto rappresentativo lungo traiettorie di fase vicino allo stato di equilibrio. Lasciamo, per esempio, 1> 0, 2<0 ... Quindi il punto rappresentativo posto sull'asse ξ , si allontanerà dall'origine e si posizionerà sull'asse η – si avvicinerà all'origine indefinitamente, senza raggiungerlo in un tempo finito. Ovunque il punto rappresentativo si trova nel momento iniziale (tranne il punto singolare e i punti sull'asintoto η =0), alla fine si allontanerà dallo stato di equilibrio, anche se all'inizio si muoverà lungo una delle curve integrali verso il punto singolare.

È ovvio che il punto singolare del tipo a sella è sempre instabile . Solo per condizioni iniziali appositamente scelte sull'asintotoη =0 il sistema si avvicinerà all'equilibrio. Tuttavia, ciò non contraddice l'affermazione sull'instabilità del sistema. Se conti, che tutti gli stati iniziali del sistema sul piano delle fasi sono ugualmente probabili, allora la probabilità di tale stato iniziale che corrisponde al moto nella direzione Per il punto singolare è zero. Pertanto, qualsiasi movimento reale rimuoverà il sistema dallo stato di equilibrio.Tornando alle coordinatex, y,otteniamo lo stesso quadro qualitativo della natura del moto delle traiettorie attorno all'origine.

Il confine tra i casi considerati del nodo e della sella è il caso quando uno degli indicatori caratteristici, per esempio λ 1 , svanisce, come nel caso in cui il determinante del sistema- espressione ad-bc = 0(vedi formula 4.8 ). In questo caso, i coefficienti dei membri di destra delle equazioni (4.4) sono proporzionali tra loro:

e il sistema ha i suoi stati di equilibrio tutti i punti della retta:

Il resto delle curve integrali sono una famiglia di rette parallele con la pendenza , lungo il quale i punti rappresentativi si avvicinano allo stato di equilibrio o si allontanano da esso, a seconda del segno della seconda radice dell'equazione caratteristica 2 = a + d.(Fig. 4.7 ) In questo caso, le coordinate dello stato di equilibrio dipendono dal valore iniziale delle variabili.

Radici 1 , λ 2 – complessoconiugare

In questo caso, con validX e sì noi hanno coniugato complesso ξ , η (4.10) . Tuttavia, introducendo un'ulteriore trasformazione intermedia, è possibile in questo caso ridurre la considerazione ad una vera e propria trasformazione lineare omogenea. Mettiamo:

(4.16)

dove a, b, e tu, v – valori reali. Si può dimostrare che la trasformazione dax, y Per tu, v è, secondo le nostre ipotesi, reale, lineare, omogenea con determinante diverso da zero. In virtù delle equazioni(4.10, 4.16) abbiamo:

dove

(4.17)

Dividendo la seconda delle equazioni per la prima, noi abbiamo:

che è più facile da integrare, se andiamo al sistema di coordinate polari (R, φ ) . Dopo la sostituzione arriviamo dove:

.(4.18)

Quindi, sul piano delle fasitu, vsi tratta di una famiglia di spirali logaritmiche, ognuna delle quali hapunto asintotico all'origine.Punto singolare, che è il punto asintotico di tutte le curve integrali sotto forma di spirali, annidato ciascuno inamico si chiama messa a fuoco ( Figura 4.8 ) .

Considerare la natura del moto del punto rappresentativo lungo le traiettorie di fase. Moltiplicando la prima delle equazioni (4.17) pertu e il secondo su v e sommando otteniamo:

In cui si

lascia stare un 1 < 0 (un 1 = Rifλ ) ... Il punto rappresentativo si avvicina quindi continuamente all'origine senza raggiungerla in un tempo finito. Ciò significa che le traiettorie di fase sono spirali tortuose e corrispondono a oscillazioni smorzate variabili. Esso - messa a fuoco costante .

Nel caso di un fuoco stabile, come nel caso di un nodo stabile, non è soddisfatta solo la condizione di Lyapunov, ma anche un requisito più rigoroso. Vale a dire, per qualsiasi deviazione iniziale, il sistema tornerà il più vicino alla posizione di equilibrio con il passare del tempo. Tale stabilità, in cui le deviazioni iniziali non solo non aumentano, ma svaniscono, tendendo a zero, si chiama stabilità assoluta .

Se nella formula (4.18) un 1 >0 , allora il punto raffigurante si allontana dall'origine, e abbiamo a che fare con messa a fuoco irregolare . Quando ci si sposta da un aereotu, val piano delle fasiX, sìle spirali rimarranno anch'esse spirali, ma si deformeranno.

Consideriamo ora il caso in cuiun 1 =0 ... Traiettorie di fase sull'aereotu, vci saranno cerchi che sull'aereox, yabbinare le ellissi:

Quindi, perun 1=0 attraverso il punto singolarex = 0, y = 0 non passa una singola curva integrale. Un tale punto singolare isolato, vicino al quale le curve integrali sono curve chiuse, in particolare ellissi incastonate l'una nell'altra e che racchiudono un punto singolare, è chiamato centro.

Sono quindi possibili sei tipi di stati di equilibrio, a seconda della natura delle radici dell'equazione caratteristica (4.7). Vista delle traiettorie di fase sull'aereo x, y per questi sei casi è mostrato in Fig. 4.9.

Riso. 4.9.Tipi di ritratti di fase in prossimità di uno stato stazionario per il sistema di equazioni lineari (4.4).

Cinque tipi di stati di equilibrio sono approssimativi, la loro natura non cambia con cambiamenti sufficientemente piccoli nei membri destri delle equazioni (4.4). In questo caso, i cambiamenti dovrebbero essere piccoli non solo nei membri di destra, ma anche nelle loro derivate del primo ordine. Il sesto stato di equilibrio - il centro - non è ruvido. Con piccoli cambiamenti nei parametri del lato destro delle equazioni, si trasforma in un focus stabile o instabile.

Diagramma di biforcazione

Introduciamo la notazione:

. (4.11)

Quindi l'equazione caratteristica sarà scritta nella forma:

. (4.12)

Considera un piano con coordinate cartesiane rettangolari S , D e segna su di esso le regioni corrispondenti all'uno o all'altro tipo di stato di equilibrio, che è determinato dalla natura delle radici dell'equazione caratteristica

.(4.13)

La condizione per la stabilità dello stato di equilibrio sarà la presenza di una parte reale negativa diio 1 e io 2 ... Condizione necessaria e sufficiente per questo è il compimento delle disuguaglianzeS > 0, D > 0 ... Nel diagramma (4.15), questa condizione corrisponde a punti situati nel primo quarto del piano dei parametri. Il punto singolare sarà il fuoco seio 1 e io 2 complesso. Questa condizione corrisponde a quei punti del piano per i quali , quelli. punti tra due rami di una parabolaS 2 = 4 D... Punti semiasse S = 0, D> 0 corrispondono a stati di equilibrio di tipo centro. Allo stesso modo,io 1 e io 2 - valido, ma con segni diversi, ad es. il punto singolare sarà una sella se D<0, eccetera. Di conseguenza, otteniamo un diagramma di partizione del piano dei parametri S, D, sulle aree corrispondenti a diversi tipi di stati di equilibrio.

Riso. 4.10. Diagramma di biforcazione

per il sistema di equazioni lineari 4.4

Se i coefficienti del sistema lineare a, b, c, d dipendono da qualche parametro, quindi quando questo parametro cambia, i valoriS , D ... Quando si attraversano i confini, il carattere del ritratto di fase cambia qualitativamente. Pertanto, tali confini sono chiamati biforcativi: su lati diversi del confine, il sistema ha due ritratti di fase topologicamente diversi e, di conseguenza, due diversi tipi di comportamento.

Il diagramma mostra come possono avvenire tali cambiamenti. Se escludiamo casi particolari - l'origine - allora è facile vedere che la sella può entrare in un nodo, stabile o instabile quando attraversa l'asse delle ordinate. Un nodo stabile può andare in sella o in una messa a fuoco stabile, ecc. Si noti che le transizioni sito stabile - focus stabile e sito instabile - focus instabile non sono biforcative, poiché la topologia dello spazio delle fasi non cambia in questo caso. Parleremo più in dettaglio della topologia dello spazio delle fasi e delle transizioni di biforcazione nella Lezione 6.

Alle transizioni di biforcazione cambia il carattere di stabilità del punto singolare. Ad esempio, un focus stabile attraverso il centro può diventare un focus instabile. Questa biforcazione si chiama la biforcazione Andronov-Hopf dai nomi degli scienziati che lo hanno studiato. Con questa biforcazione nasce un ciclo limite nei sistemi non lineari, e il sistema diventa auto-oscillante (vedi Lezione 8).

Esempio. Sistema di reazione chimica lineare

Sostanza NS fluisce dall'esterno a velocità costante, si trasforma in sostanza Y e ad una velocità proporzionale alla concentrazione della sostanza sì, viene tolto dalla sfera di reazione. Tutte le reazioni sono del primo ordine, ad eccezione dell'afflusso di materia dall'esterno, che ha ordine zero. Lo schema di reazione è il seguente:

(4.14)

ed è descritto da un sistema di equazioni:

(4.15)

Otteniamo concentrazioni stazionarie eguagliando i membri di destra a zero:

.(4.16)

Considera il ritratto di fase del sistema. Dividiamo la seconda equazione del sistema (4.16) per la prima. Noi abbiamo:

.(4.17)

L'equazione (4.17) determina il comportamento delle variabili sul piano delle fasi. Costruiamo un ritratto di fase di questo sistema. Per prima cosa, disegniamo le isocline principali sul piano delle fasi. Equazione dell'isoclina delle tangenti verticali:

Equazione dell'isoclina delle tangenti orizzontali:

Il punto singolare (stato stazionario) si trova all'intersezione delle principali isocline.

Ora determiniamo a quale angolo gli assi delle coordinate sono intersecati dalle curve integrali.

Se x = 0, allora.

Quindi, la tangente dell'angolo di inclinazione della tangente alle curve integrali y = y (x), attraversando l'ordinata x = 0, è negativo nel semipiano superiore (si ricordi che le variabili x, y hanno valori di concentrazione, e quindi ci interessa solo il quadrante in alto a destra del piano di fase). In questo caso, la grandezza della tangente dell'angolo di inclinazione della tangente aumenta con la distanza dall'origine.

Considera l'asse y = 0. All'intersezione di questo asse da curve integrali, sono descritti dall'equazione

In la tangente della pendenza delle curve integrali che attraversano l'asse delle ascisse è positiva e cresce da zero a infinito all'aumentare X.

In .

Quindi, con un ulteriore aumento, la tangente dell'angolo di inclinazione decresce in valore assoluto, rimanendo negativa e tendendo a -1 a X ® ¥ ... Conoscendo la direzione delle tangenti alle curve integrali sulle isocline principali e sugli assi coordinati, è facile costruire il quadro completo delle traiettorie di fase.

Stabiliremo il carattere di stabilità del punto singolare usando il metodo di Lyapunov. Il determinante caratteristico del sistema ha la forma:

.

Espandendo il determinante si ottiene l'equazione caratteristica del sistema: , cioè. le radici dell'equazione caratteristica sono entrambe negative. Di conseguenza, lo stato stazionario del sistema è un nodo stabile. In questo caso, la concentrazione della sostanza X tende ad uno stato stazionario sempre monotono, la concentrazione della sostanza Y può passare per min o max. Le modalità oscillatorie sono impossibili in un tale sistema.

Concetti di base e definizioni:

Lo zero della funzione analitica f (z) è il punto “a” per cui f (a) = 0.

Uno zero di ordine “n” di una funzione f (z) è un punto “a” se ma fn (a) ¹0.

Un punto singolare "a" si dice punto singolare isolato di una funzione f (z) se esiste un intorno di questo punto in cui non ci sono punti singolari, eccetto "a".

I feature point isolati sono di tre tipi:.

1 punti singolari removibili;

3 punti essenziali.

Il tipo di punto singolare può essere determinato in base al comportamento di questa funzione al punto singolare trovato, nonché dalla forma della serie di Laurent ottenuta per la funzione in prossimità del punto singolare trovato.

Determinazione del tipo di un punto singolare dal comportamento di una funzione in esso.

1.Punti speciali rimovibili.

Un punto singolare isolato a di una funzione f (z) si dice asportabile se esiste un limite finito.

2. Poli.

Un punto singolare isolato a di una funzione f (z) si dice polo se .

3. Punti essenziali.

Un punto singolare isolato a di una funzione f (z) si dice punto essenzialmente singolare se non esiste né finito né infinito.

Il seguente collegamento avviene tra gli zeri ei poli della funzione.

Perché il punto a sia un polo di ordine n della funzione f (Z), è necessario e sufficiente che questo punto sia uno zero di ordine n per la funzione.

Se n = 1 il polo si dice semplice.

Definizione: Un punto singolare isolato di natura non ambigua si chiama:

a) rimovibile se la parte principale della decomposizione è assente;

b) un polo, se la parte principale contiene un numero finito di membri;

c) un punto essenzialmente singolare se la parte principale contiene un numero infinito di membri.

a) Quindi, in prossimità di un punto singolare amovibile, l'espansione ha la forma:

esprime una funzione in tutti i punti del cerchio | z-a |

Al centro z = a, l'uguaglianza è falsa, perché la funzione ha una discontinuità in z = a, e il membro destro è continuo. Se al centro si cambia il valore della funzione, portandolo uguale al valore del lato destro, allora verrà eliminato lo spazio - da cui il nome - asportabile.

b) In prossimità di un polo di ordine m, lo sviluppo in serie di Laurent ha la forma:

c) In prossimità di un palo semplice

Deduzioni e formule per il loro calcolo.

Il residuo di una funzione analitica f (z) in un punto singolare isolato z 0 è un numero complesso uguale al valore dell'integrale presa in senso positivo lungo il cerchio L centrato nel punto z 0 che giace nel dominio di analiticità della funzione f (z) (cioè nell'anello 0<|z-z0|

Il residuo di una funzione f (z) in un punto singolare isolato z 0 è indicato con Res f (z 0) o Res (f (z); z 0). Così,

Res f (z 0) = . (22.15.1)

Se mettiamo n = -1 nella formula (22.15.1), allora otteniamo:

C -1 =

o Res f (z 0) = C -1,

quelli. il residuo della funzione f (z) rispetto al punto singolare z 0 è uguale al coefficiente del primo termine con esponente negativo nello sviluppo della funzione f (z) nella serie di Laurent.

Calcolo delle detrazioni.

Punti singolari corretti o rimovibili. Ovviamente, se z = z 0 è un punto singolare regolare o amovibile della funzione f (z), allora Res f (z 0) = 0 (nella scomposizione di Laurent in questi casi è assente la parte principale, quindi c-1 = 0).

Polo. Sia il punto z 0 un polo semplice della funzione f (z). Allora la serie di Laurent per la funzione f (z) in un intorno del punto z 0 ha la forma:

Da qui

Quindi, passando in questa uguaglianza al limite come z --z 0, otteniamo

Res f (z0) =

In sostanza un punto singolare. Se il punto z 0 è un punto essenzialmente singolare della funzione f (z), allora per calcolare il residuo della funzione in questo punto, di solito viene determinato direttamente il coefficiente c-1 nell'espansione della funzione nella serie di Laurent.

Classificazione degli eventi. Somma, prodotto di eventi, loro proprietà, presentazione grafica.

Gli eventi si dividono in:

1. Casuale

2. Credibile

3. Impossibile

Affidabile è un evento che si verifica necessariamente nelle condizioni date (la notte è seguita dal mattino).

L'accidentale è un evento che può o non può accadere (superamento dell'esame).

L'impossibile è un evento che non si verificherà in queste condizioni (tira fuori dalla scatola la matita verde con solo quelle rosse).

lascia stare zq è un punto singolare della funzione f (z), t.s. f(z) ma a questo punto è analitico (in particolare, può non essere definito lì). Se c'è un tale quartiere perforato del punto zq (cioè, l'insieme О z - zq f (z) è ayalytic, quindi zo chiamato punto singolare isolato funzioni f(z). Questa definizione rimane nel caso zn = oo se lo iodio viene perforato dall'intorno del punto zq = oo capire l'insieme z> SONO - l'esterno di un cerchio centrato nell'origine. In altre parole, il punto singolare zq si dice isolato se esiste un intorno di questo punto in cui vi sono altri punti singolari diversi da zq. In tutto ciò che segue, consideriamo solo punti singolari di natura a valore singolo (la funzione f(z) presunto non ambiguo).

A seconda del comportamento della funzione f(z) a z -> zq ci sono tre tipi di punti singolari. Punto singolare isolato funzioni zq f(z) chiamato:

1) singolarità removibile se c'è un limite finito

2) palo se c'è un limite

3) essenzialmente un punto singolare, Se f (z) non ha limite né finito né infinito per z-> zq.

Esempio 26.1. Mostriamo che tutti e tre i tipi di punti singolari sono realizzati. Tener conto di F(z)= Punto zq = 0 è isolato

punto speciale di questa funzione. Usando la formula (22.12), otteniamo lo sviluppo

da cui segue che esiste lim fi (z)= 1. Pertanto, zq = 0 è

è il punto singolare removibile della funzione fi (z).

Funzione f'j (z) =--- ha un palo nel punto zo= 1 perché

2 R"X

Consideriamo ora la funzione ) s (z)= e 1 zo = O è un punto essenziale di questa funzione. Quando si sforza z a zero lungo l'asse reale, i limiti sinistro e destro della funzione / s (z) distinto: lim insieme a 1 / 1 = 0, limite con 1 / * = vespa Ciò implica,

x-> 0-0 x-> 0 + O

che cosa f: io (z) non ha limite né finito né infinito in 2 -> Oh, cioè zq = О è un punto essenzialmente singolare di questa funzione. (Si noti che come tende il punto z - iy a zero sulla funzione dell'asse immaginario

non ha alcun limite.)

Ci sono, ovviamente, punti singolari non isolati. Per esempio. la funzione ha poli nei punti z n = -, NS= ± 1, ± 2, ...

Quindi, Zq = 0 è un punto singolare non isolato di questa funzione: in ogni intorno (arbitrariamente piccolo) di questo punto ci sono altri punti singolari r p.

lascia stare zo - fine punto singolare isolato di una funzione f(z). Quindi f(z)è simile in qualche intorno forato 0 Zo del punto zo questo intorno può essere considerato come un anello con raggio interno r = 0. Per il Teorema 25.1, nell'intorno considerato, la funzione f(z) può essere espansa in una serie di Laurent (25.2). Mostreremo che il comportamento della funzione per 2 -> zq (cioè il tipo del punto singolare zo) dipende dal tipo della parte principale della scomposizione (25.2); questa circostanza spiega l'origine del termine "parte principale".

TEOREMA a 2G. 2. Un punto singolare isolato zo di una funzione f (z) è rimovibile se e solo se l'espansione di Lorapov in un intorno forato di questo punto ha un oide

quelli. consiste solo della parte corretta, e tutti i coefficienti della parte principale sono uguali al proiettile.

Prova. 1. Lascia zo- punto singolare removibile. Dimostriamo che lo sviluppo di Laurent della funzione f(z) ha la forma (26.1). Poiché il punto singolare zo rimovibile, allora c'è un limite finito lim f(z) = A. Quindi, f(z)è limitato in qualche intorno forato 0 z - zq del punto zo, quelli. ) (z) per tutti z da questo quartiere. prendine uno R. U р /? |, E usa le formule (25.3) per i coefficienti della serie di Laurent:

Per i coefficienti della parte principale dell'espansione n =- 1, -2, ... Per tali valori NS noi abbiamo p ~ n-e 0 a R-> 0. Poiché il valore R può essere scelto arbitrariamente piccolo, quindi Signor ~ " può essere arbitrariamente piccolo. Poiché | c t, | ^ Signor ~ n e c „non dipendono da p, quindi c„ = 0 per e= - 1, -2, ..., come richiesto.

2. Supponiamo ora che lo sviluppo di Laurent abbia la forma (26.1). La serie (26.1) è una serie di potenze e. quindi, converge non solo nel forato, ma anche in tutto il vicinato z-zq compreso il punto zo; la sua quantità S (z) analitico per z e S (z) = ) (z) a 0 z - zo R. Esiste quindi un limite finito lim ) (z)= Пт 5 (г) = 5 (th) - Pertanto, il punto singolare zq

Z-> Zo Z- * Zo

monouso. Il teorema è dimostrato.

Commento. Dalla dimostrazione del teorema segue che nell'intorno forato 0 z - zo di un punto singolare amovibile la funzione f(z) coincide con la funzione S (r), che è analitica in tutto l'intorno z - zo. Quindi, se poniamo f (th) = S (zq), quindi, senza modificare i valori della funzione f(z) in nessun punto dell'intorno perforato, rendiamo questa funzione analitica in r, cioè "Rimuovi" la funzione. Questo spiega il termine "caratteristica rimovibile". È naturale considerare tali punti come punti regolari e non punti singolari della funzione f(z).

Consideriamo, ad esempio, la funzione

Nell'Esempio 26.1, è stato mostrato che Pm (nr) = 1, i.e. punto singolare

zq = 0 rimovibile. Ponendo / i (0) = 1, eliminiamo così la singolarità e otteniamo una funzione analitica nel punto zq = 0 (e nell'intero piano С).

Diamo ora una caratterizzazione dei poli in termini di espansioni di Laurent.

Teorema 26.3. Un punto singolare isolato Zo di una funzione f (z) è un polo se e solo se, quando la parte principale dell'espansione di Laurent centrata su Zq ha solo chiao finiti di eccellente

da zero coefficienti con n:

Prova. 1. Lascia zq è il polo, cioè limo / ( z) = oo.

Dimostriamo che lo sviluppo di Laurent della funzione f(z) ha la forma (2G.2). Dal momento che lim f(z)= oo. allora c'è un intorno forato di punto

ki zq. in cui f(z)è analitico e non ha zeri. Allora la funzione g (z) = 1 /f(z) sarà anche analitico in questo quartiere forato, e lim g (z)= 0. Pertanto, Zoè usa e getta * -? * 0

punto singolare della funzione g(z). Estendiamo la definizione g (z) al punto zo mettendo g (zo)= 0. Allora g (z) diventa analitico in tutto il vicinato (non forato) del punto z 0, Inoltre z 0 sarà il suo zero isolato. Indichiamo con n la molteplicità (ordine) di questo zero. Come mostrato nella Sezione 23, in prossimità del punto funzione zq g (z) può essere rappresentato nella forma (vedi (23.2))

Inoltre (z $) f 0 e y> (z)è analitico in qualche vicinanza del punto zo- Perché ip (z) continuo nel punto zo e g> (zo) Ф 0 "allora ip (z) inoltre non ha zeri in alcune vicinanze di questo punto. Quindi funzione 1 / -p (z) sarà anche analitico in questo quartiere e, quindi, si espande in esso in una serie di Taylor:

Espandendo le parentesi e cambiando la notazione dei coefficienti, scriviamo l'ultima espansione nella forma

dove c_jv = 1> di f 0. Quindi, la parte principale dello sviluppo di Laurent della funzione f (r) contiene solo un numero finito di termini; siamo arrivati ​​all'uguaglianza richiesta (26.2).

2. Lascia entrare l'intorno perforato del punto ns funzione ) (z)è rappresentato dall'espansione di Laurent (26.2) (in una forma più dettagliata, vedi (26.3)), la cui parte principale contiene solo un numero finito di termini, e insieme a- D " F 0. Dobbiamo dimostrare che Zq - polo della funzione f(z). Moltiplicando l'uguaglianza (26.3) per (G - G o) iV, otteniamo la funzione

La serie in (26.4) è una serie di potenze che converge ad una funzione analitica non solo nel punto, ma anche in tutto l'intorno del punto Zq. Pertanto la funzione h(z) diventa analitico in questo intorno se lo estendiamo in r mettendo h (zo)= s_dg F 0. Allora

Quindi, il punto t è un polo, e il Teorema 26.3 è dimostrato.

La molteplicità (ordine) della funzione zero g (z)= 1 // (r) è chiamato ordine dei poli esima funzione f (r). Se N - l'ordine del palo del go, quindi g (z)= (r- Zo) Nip (z), inoltre (th) F 0, e, come mostrato nella prima parte della dimostrazione del Teorema 26.3, lo sviluppo della funzione f (r) ha la forma (26.3), dove c_ / v F 0. Viceversa, se f (r) si espande in una serie (26.3) e e-z F 0, allora

tp N - l'ordine del polo della funzione f (z). Così, ordine dei poli zq della funzione/(G) è uguale al numero del coefficiente principale diverso da zero della parte principale dell'espansione di Laurent nell'intorno perforato del punto zq(cioè uguale a questo numero N, cosa s_dg F 0 e Cn= 0 per NS > N).

Dimostriamo la seguente affermazione, che è conveniente) per le applicazioni.

Corollario 26.4. Il punto zq è un polo di ordine N della finzione/(G) se e solo se/(G) rappresentabile nella forma

dove h (z) è una funzione analitica in un intorno del punto ns e h (zo) ф 0.

Prova. Funzione cp (z) = l / h (z)è analitica in qualche intorno del punto R. La condizione del Corollario 26.4 è equivalente alla seguente:

Ecco perchè zq - molteplicità zero n funzioni g(z). e quindi il polo della molteplicità n funzione / (2).

II esempio 26.5. Trova i punti singolari isolati di una funzione e determinarne il tipo.

SOLUZIONE I punti speciali sono i punti in cui (z 2 + 1 ) (z+ H) 2 = 0. Se z 2 L- 1 = 0, quindi 2 = ± g Se (z 4-H) 2 = 0, quindi z= -3. Pertanto, la funzione ha tre punti singolari z= r, 22 = -g, Z3 = - 3. Considera z:

G - il polo del primo ordine (abbiamo usato il Corollario 26.4). Allo stesso modo si può dimostrare che 22 = -ioè anche un polo di primo ordine. Per 2 abbiamo:

Passiamo alla considerazione di punti essenzialmente singolari.

Teorema 26.6. Un punto singolare isolato zq di una funzione f (z) è essenzialmente singolare se e solo se la parte principale dello sviluppo di Laurent centrata su zq ne ha infiniti diversi da. zero, coefficienti con p.

Prova. Il Teorema 26.6 segue direttamente dai Teoremi 26.2 e 26.3. Infatti, se il punto zq è essenzialmente singolare, allora la parte principale dell'espansione di Laurent non può essere assente o contenere un numero finito di termini (altrimenti il ​​punto Zq sarà removibile o a palo). Pertanto, il numero di membri nella parte principale deve essere infinito.

Viceversa, se la parte principale contiene infiniti termini, allora Zq non può essere un punto rimovibile o un palo. Di conseguenza, questo punto è essenzialmente speciale.

Secondo la definizione, un punto essenzialmente singolare è caratterizzato dal fatto che la funzione f (2) non ha né un limite finito, ni infinito a z ->zq. Un'idea più completa di quanto sia irregolare il comportamento di una funzione in un intorno di un punto essenzialmente singolare è data dal seguente teorema.

Teorema 26.7 (teorema di Sokhotskii). Se zq è essenzialmente singolare, il punto della funzione f (z), allora per qualsiasi numero complesso l, compreso A = ooh, esiste una successione di punti z n tale che z n -> zo e limi f (z n) = UN.

n-> os

Prova. Consideriamo prima il caso A = oo. Nella prima parte della dimostrazione del Teorema 2G.2, abbiamo stabilito che se f(z)è limitato in qualche intorno forato del punto t, allora tutti i coefficienti cα, n = - 1, - 2, ... della parte principale sono uguali a zero (e, quindi, la singolarità in r è asportabile). Poiché per la condizione r0 è un punto essenzialmente singolare, la funzione f (r) è illimitata in ogni intorno perforato del punto r. Prendiamo un vicinato comune 0 Z tale che f (zi)> 1 (se | / (z) | z - zo H / 2 esiste un punto z-2 , in cui | / (aa) | > 2, ecc.: in un quartiere forato O 71. Ovviamente, rn e lim / (rn) = oo. Quindi, nel caso A = oo, Teorema 26,7

dimostrato.

Lascia ora un f oo. Supponiamo prima che ci sia un intorno bucato 0

= -aa---- sarà analitico in questo quartiere forato e, poi

/(G) - UN

quindi, r è un punto singolare isolato della funzione Φ (r). Mostriamo. che r0 è un punto essenzialmente singolare di (r). Lascia che questo sia sbagliato. Allora esiste un limite lim Φ (r), finito o infinito. Perché

f (r) = A +, allora esiste anche Hm / (r), il che contraddice la condizione

(г) ~ : - * z 0

secondo il teorema. Quindi, r0 è un punto essenzialmente singolare della funzione Φ (r). Per quanto sopra dimostrato, esiste una successione di punti rn tale che rn0 e lim Φ (rn) = oo. Da qui

Abbiamo dimostrato l'asserzione richiesta assumendo che f (r) fa in qualche zona forata del punto R. Supponiamo ora che questo non sia vero, cioè. in ogni intorno arbitrariamente piccolo perforato del punto t, esiste un tale punto G", che f (r ") = A. Allora per qualsiasi NS in un intorno forato 0 f (z u) = L. Quindi, l'affermazione richiesta è vera NS-tu

in tutti i casi, e il Teorema 26.7 è dimostrato.

Secondo il Teorema 26.7 (Sokhotskii), in qualsiasi intorno (arbitrariamente piccolo) perforato di un punto essenzialmente singolare, la funzione f (r) assume valori arbitrariamente vicini a qualsiasi numero dal piano complesso esteso C.

Per lo studio di punti singolari isolati sono spesso utili le già note espansioni di Taylor di funzioni elementari di base.

ESEMPIO 2G.8. Determinare il tipo del punto singolare zq = 0 per la funzione

Soluzione e. Espandi numeratore e denominatore in una serie di Taylor in potenze di r. Sostituendo in (22.11) 3 z invece di r e sottraendo 1, otteniamo

Usando la (22.12), otteniamo lo sviluppo del denominatore:

Le serie in queste espansioni convergono in tutto il piano complesso €. Abbiamo

e / 2 (2) sono anaiitici in prossimità del punto zo = 0 (e anche in tutto il piano) e / 2 (20) F 0, allora h(z)è anche analitico in qualche intorno del punto 0. Secondo il Corollario 26.4, il punto Zo = 0 è il polo dell'ordine N = 4.

II esempio 26.9. Trova i punti singolari di una funzione f(z)= sin j - e determina il loro tipo.

P e in e ed e. La funzione ha un singolo punto singolare finito zq = 1. Nei restanti punti di C, la funzione w =--- analitico; quindi, la funzione sin w sarà analitico.

Sostituendo l'espansione seno (22.12) - invece di r, otteniamo

Abbiamo ottenuto un'espansione della funzione sin in una serie di Laurent in un intorno forato del punto 2o = 1. Poiché l'espansione risultante contiene infiniti termini con potenze negative (r - 1), allora zq = 1 è un punto essenzialmente singolare (in questo caso la scomposizione di Laurent consiste solo della parte principale, e la parte corretta è assente).

Si noti che è stato possibile stabilire il carattere della singolarità anche in questo caso direttamente dalla definizione, senza ricorrere allo sviluppo in serie. Esistono infatti successioni (r ",) e (2") convergenti a zo= 1, e tale che f (z "n)= 1, / (2 ") = 0 (specifica tu stesso tali sequenze). Quindi, f(z) non ha limiti a z -> 1 e, quindi, punto zq - 1 è essenziale.

Introduciamo il concetto di sviluppo di Laurent di una funzione in un intorno del punto Zq = 00 e si consideri la connessione tra l'espansione e la natura della singolarità a questo punto. Si noti che le definizioni di punto singolare isolato e il suo tipo (rimovibile, polare o essenzialmente singolare) si riferiscono al caso zq = os invariato. Ma Teorema 26.2. 26.3 e 26.6, relativi alla natura delle espansioni di Laurent, devono essere modificate. Il punto è che i membri cn (z - 2o) pag. NS= -1, -2, ..., la parte principale, che definisce l'"irregolarità" della funzione vicino al punto finale Zq, poiché 2 tende a oo, si comporteranno “correttamente” (tenderà a 0). Al contrario, i membri della parte corretta con NS= 1,2, ... tenderà a oo; determinano la natura della caratteristica in Zq = oo. Pertanto, la parte principale dell'espansione in prossimità di oo saranno termini con poteri positivi NS, e quello corretto è negativo.

Introduciamo una nuova variabile w = 12. Funzione tv = 1/2, esteso in modo tale che ui (oo) = 0, uno a uno e mappa in modo conforme l'intorno z> R punti zq = 00 in prossimità di |w | wq = 0. Se la funzione f(z) analitico nel quartiere forato R z Zq = a, quindi la funzione G (w) = f (l / w) sarà analitico nell'intorno verde di 0 wo = 0. Poiché come 2 -> oo sarà w-> 0, quindi

Ecco perchè G (w) ha a punto wq = 0 singolarità dello stesso tipo di f(z) al punto Zq = 00. Espandiamo la funzione G (w) in una serie di Laurent nell'intorno forato del punto wo = 0:

Le somme a destra di (26.5) rappresentano rispettivamente la parte corretta e quella principale dell'espansione. Passiamo alla variabile z, sostituendo w = 1/ z:

denotando NS= -A *, 6 * = 6_ „= con n e notando che G (l / z) = f (z), noi abbiamo

La scomposizione (2G.G) si chiama per lo sviluppo di Laurent della funzione f (z) in un intorno forato del punto zq= oo. La prima somma in (2G.6) è chiamata la parte giusta, e la seconda somma è parte principale questa decomposizione. Poiché queste somme corrispondono alle parti corrette e principali dell'espansione (26.5), gli analoghi dei Teoremi 26.2, 26.3 e 26.6 sono validi per l'espansione (26.6). Quindi, il seguente teorema è un analogo del Teorema 26.2.

Teorema 26.10. Punto singolare isolatoZq - vespe (funzioni/(G) è rimovibile se e solo se l'espansione di Laurent in un intorno forato di questo punto ha la forma

tp consiste solo della parte corretta.

Mettiamo / (oo) = insieme a. Funzione definita da serie (26.7) convergenti in un intorno z> R il punto 2o = a, si chiama analitico al punto z o = oo. (Si noti che questa definizione è equivalente all'analiticità della funzione G (w) al punto guai = 0.)

Esempio 26.11. Esplora il punto singolare zq = oo della funzione

Poiché il limite è finito, allora zo = oo è un punto singolare rimovibile della funzione f (r). Se mettiamo / (oo) = lim J(z)= 0, quindi f(z) sarà analizzato-

al punto Zo= os. Mostriamo come trovare la scomposizione corrispondente (26.7). Passiamo alla variabile w = 1 fz. sostituzione z= 1 /? E, otteniamo

(l'ultima uguaglianza è valida nell'intorno forato del punto w0 = 0, ma estenderemo la definizione (7 (0) = 0). La funzione risultante ha punti singolari w =± io, w =-1/3, e al punto Wq = 0 è analitico. Funzione di espansione G (w) per gradi w(come è stato fatto nell'Esempio 25.7) e sostituendo nella serie di potenze risultante w = 1 / z, possiamo ottenere lo sviluppo (26.7) della funzione f(z).

Teorema 26.3 per il caso zo= oo verrà riscritto come segue.

Teorema 26.12. Punto singolare isolato th = os della funzione f (z) è un polo se e solo se la parte principale dello sviluppo di Laurent (26.6) ha solo un numero finito di coefficienti diversi da zero insieme a":

Qui la serie è la parte regolare e il polinomio tra parentesi è la parte principale dell'espansione. La molteplicità del polo nell'asse è definita come la molteplicità del polo wq = 0 funzioni G (z).È facile vedere che la molteplicità del polo coincide con il numero n nel (26.8).

Q n | (i 2 + 1) (h + 3) 2

Compito. Mostra che la funzione f (z) =-- - ha in

punto zo = oo polo di ordine 3.

Il teorema 26.6 sulla singolarità essenziale viene riscritto per il caso zo= era quasi letteralmente, e non ci soffermiamo su questo in dettaglio.