Considerando la moltiplicazione dei polinomi, abbiamo memorizzato diverse formule, ovvero: formule per (a + b)², per (a - b)², per (a + b) (a - b), per (a + b)³ e per (a – b)³.

Se un dato polinomio risulta coincidere con una di queste formule, allora sarà possibile fattorizzarlo. Ad esempio, il polinomio a² - 2ab + b², lo sappiamo, è uguale a (a - b)² [o (a - b) (a - b), cioè siamo riusciti a scomporre a² - 2ab + b² in 2 fattori]; anche

Considera il secondo di questi esempi. Vediamo che il polinomio qui fornito corrisponde alla formula ottenuta quadrando la differenza di due numeri (il quadrato del primo numero, meno il prodotto di due per il primo numero e il secondo, più il quadrato del secondo numero): x 6 è il quadrato del primo numero, e quindi , il primo numero stesso è x 3, il quadrato del secondo numero è l'ultimo termine del polinomio dato, cioè 1, il secondo numero stesso è, quindi, anche 1; il prodotto di due per il primo numero e il secondo è il termine -2x 3, perché 2x 3 \u003d 2 x 3 1. Pertanto, il nostro polinomio è stato ottenuto quadrando la differenza tra i numeri x 3 e 1, cioè è uguale a (x 3 - 12 . Considera un altro quarto esempio. Vediamo che questo polinomio a 2 b 2 - 25 può essere considerato come la differenza dei quadrati di due numeri, cioè il quadrato del primo numero è a 2 b 2, quindi il primo numero stesso è ab, il quadrato di il secondo numero è 25, perché il secondo numero stesso è 5. Pertanto, il nostro polinomio può essere considerato come ottenuto moltiplicando la somma di due numeri per la loro differenza, cioè

(ab + 5) (ab - 5).

A volte capita che in un dato polinomio i termini non siano nell'ordine a cui siamo abituati, per esempio.

9a 2 + b 2 + 6ab - possiamo riordinare mentalmente il secondo e il terzo termine, e allora ci sarà chiaro che il nostro trinomio = (3a + b) 2.

... (riordina mentalmente il primo e il secondo termine).

25a 6 + 1 - 10x 3 = (5x 3 - 1) 2 ecc.

Consideriamo un altro polinomio

a 2 + 2ab + 4b 2 .

Vediamo che il suo primo termine è il quadrato del numero a e il terzo termine è il quadrato del numero 2b, ma il secondo termine non è il prodotto di due volte il primo numero e il secondo, tale prodotto sarebbe uguale a 2a 2b = 4ab. Pertanto, è impossibile applicare a questo polinomio la formula per il quadrato della somma di due numeri. Se qualcuno scrivesse che a 2 + 2ab + 4b 2 \u003d (a + 2b) 2, questo sarebbe sbagliato: è necessario considerare attentamente tutti i termini del polinomio prima di applicare la fattorizzazione tramite formule.

40. La combinazione di entrambi i metodi. A volte, quando si scompongono i polinomi in fattori, è necessario combinare sia la tecnica di togliere il fattore comune tra parentesi sia la tecnica di applicare le formule. Ecco alcuni esempi:

1. 2a 3 – 2ab 2 . Innanzitutto, togliamo il fattore comune 2a da parentesi e otteniamo 2a (a 2 - b 2). Il fattore a 2 - b 2, a sua volta, viene scomposto secondo la formula in fattori (a + b) e (a - b).

A volte è necessario applicare ripetutamente il metodo di espansione tramite formule:

1. a 4 - b 4 \u003d (a 2 + b 2) (a 2 - b 2)

Vediamo che il primo fattore a 2 + b 2 non corrisponde a nessuna delle formule familiari; inoltre, ricordando i casi particolari di divisione (Sez. 37), stabiliremo che a 2 + b 2 (la somma dei quadrati di due numeri) non conta affatto. Il secondo dei fattori ottenuti a 2 - b 2 (la differenza per il quadrato di due numeri) viene scomposto in fattori (a + b) e (a - b). Così,

41. Applicazione di casi speciali di divisione. Sulla base del punto 37, possiamo scrivere immediatamente che, ad esempio,

Il factoring di un'equazione è il processo di ricerca di termini o espressioni che, quando moltiplicati, portano all'equazione iniziale. Il factoring è un'abilità utile per risolvere problemi algebrici di base e diventa una necessità pratica quando si lavora con equazioni quadratiche e altri polinomi. Il factoring viene utilizzato per semplificare le equazioni algebriche per renderle più facili da risolvere. Il factoring può aiutarti a escludere alcune possibili risposte più velocemente di quanto tu possa risolvere manualmente l'equazione.

Passi

Fattorizzazione di numeri ed espressioni algebriche di base

1. Fattorizzazione dei numeri. Il concetto di factoring è semplice, ma in pratica il factoring può essere complicato (data un'equazione complessa). Quindi iniziamo con il concetto di fattorizzazione usando i numeri come esempio, continuiamo con equazioni semplici e poi passiamo a equazioni complesse. I fattori di un dato numero sono i numeri che, moltiplicati, danno il numero originale. Ad esempio, i fattori del numero 12 sono i numeri: 1, 12, 2, 6, 3, 4, poiché 1*12=12, 2*6=12, 3*4=12.

   • Allo stesso modo, puoi pensare ai fattori di un numero come ai suoi divisori, cioè ai numeri per cui il numero dato è divisibile.
   • Trova tutti i fattori del numero 60. Usiamo spesso il numero 60 (ad esempio, 60 minuti in un'ora, 60 secondi in un minuto, ecc.) e questo numero ha un numero abbastanza elevato di fattori.
     • 60 moltiplicatori: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 10, 12, 15, 20, 30 e 60.

2. Ricorda: i termini di un'espressione contenente un coefficiente (numero) e una variabile possono anche essere fattorizzati. Per fare ciò, trova i moltiplicatori del coefficiente nella variabile. Sapendo come fattorizzare i termini delle equazioni, puoi facilmente semplificare questa equazione.

   • Ad esempio, il termine 12x può essere scritto come il prodotto di 12 e x. Puoi anche scrivere 12x come 3(4x), 2(6x), ecc. calcolando 12 nei fattori che funzionano meglio per te.
     • Puoi stendere 12 volte più volte di seguito. In altre parole, non dovresti fermarti a 3(4x) o 2(6x); continua espansione: 3(2(2x)) o 2(3(2x)) (ovviamente, 3(4x)=3(2(2x)) ecc.)

3. Applicare la proprietà distributiva della moltiplicazione per fattorizzare le equazioni algebriche. Sapendo come fattorizzare numeri e termini di un'espressione (coefficienti con variabili), puoi semplificare semplici equazioni algebriche trovando il fattore comune di un numero e un termine di un'espressione. Di solito, per semplificare l'equazione, è necessario trovare il massimo comun divisore (gcd). Tale semplificazione è possibile grazie alla proprietà distributiva della moltiplicazione: per qualsiasi numero a, b, c, vale l'uguaglianza a (b + c) = ab + ac.

   • Esempio. Fattorizza l'equazione 12x + 6. Per prima cosa, trova il gcd di 12x e 6. 6 è il numero più grande che divide sia 12x che 6, quindi puoi scomporre questa equazione in: 6(2x+1).
   • Questo processo vale anche per le equazioni che hanno termini negativi e frazionari. Ad esempio, x/2+4 può essere scomposto in 1/2(x+8); ad esempio, -7x+(-21) può essere scomposto in -7(x+3).

   Fattorizzazione di equazioni quadratiche

   1. Assicurati che l'equazione sia in forma quadratica (ax 2 + bx + c = 0). Le equazioni quadratiche sono: ax 2 + bx + c = 0, dove a, b, c sono coefficienti numerici diversi da 0. Se viene fornita un'equazione con una variabile (x) e questa equazione ha uno o più termini con un secondo ordine variabile , puoi spostare tutti i termini dell'equazione su un lato dell'equazione e associarla a zero.

      • Ad esempio, data l'equazione: 5x 2 + 7x - 9 = 4x 2 + x - 18. Può essere convertito nell'equazione x 2 + 6x + 9 = 0, che è un'equazione quadratica.
      • Equazioni con una variabile x di ordini grandi, ad esempio x 3 , x 4 , ecc. non sono equazioni quadratiche. Queste sono equazioni cubiche, equazioni del quarto ordine e così via (solo se tali equazioni non possono essere semplificate in equazioni quadratiche con la variabile x alla potenza di 2).

   2. Le equazioni quadratiche, dove a \u003d 1, sono scomposte in (x + d) (x + e), dove d * e \u003d ce d + e \u003d b. Se l'equazione quadratica che ti è stata data ha la forma: x 2 + bx + c \u003d 0 (ovvero il coefficiente in x 2 è uguale a 1), allora tale equazione può (ma non garantita) essere scomposta in quanto sopra fattori. Per fare ciò, devi trovare due numeri che, moltiplicati, diano "c" e quando aggiunti - "b". Una volta trovati questi due numeri (d ed e), sostituirli nella seguente espressione: (x+d)(x+e), che, quando si aprono le parentesi, porta all'equazione originale.

      • Ad esempio, data l'equazione quadratica x 2 + 5x + 6 = 0. 3*2=6 e 3+2=5, puoi espandere l'equazione in (x+3)(x+2).
      • Per i termini negativi, apportare le seguenti modifiche minori al processo di fattorizzazione:
        • Se l'equazione quadratica ha la forma x 2 -bx + c, allora si scompone in: (x-_) (x-_).
        • Se l'equazione quadratica ha la forma x 2 -bx-c, allora si scompone in: (x + _) (x-_).
      • Nota: gli spazi possono essere sostituiti con frazioni o decimali. Ad esempio, l'equazione x 2 + (21/2)x + 5 = 0 viene scomposta in (x + 10) (x + 1/2).

   3. Fattorizzazione per tentativi ed errori. Semplici equazioni quadratiche possono essere fattorizzate semplicemente sostituendo i numeri in possibili soluzioni fino a trovare la soluzione corretta. Se l'equazione ha la forma ax 2 +bx+c, dove a>1, le possibili soluzioni sono scritte come (dx +/- _)(ex +/- _), dove d ed e sono coefficienti numerici diversi da zero, che moltiplicato dà a. O d o e (o entrambi i coefficienti) possono essere uguali a 1. Se entrambi i coefficienti sono uguali a 1, utilizzare il metodo sopra descritto.

      • Ad esempio, data l'equazione 3x 2 - 8x + 4. Qui, 3 ha solo due fattori (3 e 1), quindi le possibili soluzioni sono scritte come (3x +/- _)(x +/- _). In questo caso, sostituendo -2 agli spazi, troverai la risposta corretta: -2*3x=-6x e -2*x=-2x; - 6x+(-2x)=-8x e -2*-2=4, ovvero tale espansione quando si aprono le parentesi porterà ai termini dell'equazione originale.

Un polinomio è un'espressione costituita dalla somma dei monomi. Questi ultimi sono il prodotto di una costante (numero) e della radice (o radici) dell'espressione per la potenza k. In questo caso si parla di polinomio di grado k. La scomposizione di un polinomio comporta la trasformazione dell'espressione, in cui i termini sono sostituiti da fattori. Consideriamo i modi principali per realizzare questo tipo di trasformazione.

Metodo per espandere un polinomio estraendo un fattore comune

Questo metodo si basa sulle leggi della legge di distribuzione. Quindi, mn + mk = m * (n + k).

• Esempio: espandi 7 anni 2 + 2 anni e 2 m 3 – 12 m 2 + 4 lm.

7y 2 + 2uy = y * (7y + 2u),

2m 3 - 12m 2 + 4lm = 2m(m 2 - 6m + 2l).

Tuttavia, il fattore che è necessariamente presente in ogni polinomio potrebbe non essere sempre trovato, quindi questo metodo non è universale.

Metodo di espansione polinomiale basato su formule di moltiplicazione abbreviate

Le formule di moltiplicazione abbreviate sono valide per un polinomio di qualsiasi grado. In generale, l'espressione di trasformazione è simile a questa:

u k – l k = (u – l)(u k-1 + u k-2 * l + u k-3 *l 2 + … u * l k-2 + l k-1), dove k è un rappresentante di numeri naturali.

Molto spesso in pratica vengono utilizzate formule per polinomi del secondo e terzo ordine:

u 2 - l 2 \u003d (u - l) (u + l),

u 3 - l 3 \u003d (u - l) (u 2 + ul + l 2),

u 3 + l 3 = (u + l)(u 2 - ul + l 2).

• Esempio: espandere 25p 2 - 144b 2 e 64m 3 - 8l 3 .

25p 2 - 144b 2 \u003d (5p - 12b) (5p + 12b),

64m 3 - 8l 3 = (4m) 3 - (2l) 3 = (4m - 2l)((4m) 2 + 4m * 2l + (2l) 2) = (4m - 2l)(16m 2 + 8ml + 4l 2 ).

Metodo di scomposizione polinomiale - raggruppamento dei termini di un'espressione

Questo metodo riprende in qualche modo la tecnica di derivare un fattore comune, ma presenta alcune differenze. In particolare, prima di isolare il fattore comune, si dovrebbero raggruppare i monomi. Il raggruppamento si basa sulle regole delle leggi associative e commutative.

Tutti i monomi presentati nell'espressione sono divisi in gruppi, in ognuno dei quali viene tolto un valore comune in modo tale che il secondo fattore sia lo stesso in tutti i gruppi. In generale, un tale metodo di scomposizione può essere rappresentato come un'espressione:

pl + ks + kl + ps = (pl + ps) + (ks + kl) ⇒ pl + ks + kl + ps = p(l + s) + k(l + s),

pl + ks + kl + ps = (p + k)(l + s).

• Esempio: espandere 14mn + 16ln - 49m - 56l.

14mn + 16ln - 49m - 56l = (14mn - 49m) + (16ln - 56l) = 7m * (2n - 7) + 8l * (2n - 7) = (7m + 8l)(2n - 7).

Metodo di decomposizione polinomiale - Formazione del quadrato completo

Questo metodo è uno dei più efficienti nel corso della scomposizione polinomiale. Nella fase iniziale, è necessario determinare i monomi che possono essere "piegati" nel quadrato della differenza o somma. Per questo, viene utilizzata una delle seguenti relazioni:

(p - b) 2 \u003d p 2 - 2pb + b 2,

• Esempio: espandere l'espressione u 4 + 4u 2 – 1.

Tra i suoi monomi, individuiamo i termini che formano un quadrato completo: u 4 + 4u 2 - 1 = u 4 + 2 * 2u 2 + 4 - 4 - 1 =

\u003d (u 4 + 2 * 2u 2 + 4) - 4 - 1 \u003d (u 4 + 2 * 2u 2 + 4) - 5.

Completa la trasformazione usando le regole della moltiplicazione abbreviata: (u 2 + 2) 2 - 5 = (u 2 + 2 - √5) (u 2 + 2 + √5).

Quella. u 4 + 4u 2 - 1 = (u 2 + 2 - √5)(u 2 + 2 + √5).

La fattorizzazione dei polinomi è una trasformazione identica, a seguito della quale un polinomio viene trasformato in un prodotto di più fattori: polinomi o monomi.

Esistono diversi modi per fattorizzare i polinomi.

Metodo 1. Tra parentesi il fattore comune.

Questa trasformazione si basa sulla legge distributiva della moltiplicazione: ac + bc = c(a + b). L'essenza della trasformazione sta nell'individuare il fattore comune nelle due componenti in esame e “escluderlo” dalle parentesi.

Fattorizziamo il polinomio 28x 3 - 35x 4.

Soluzione.

1. Troviamo un divisore comune per gli elementi 28x3 e 35x4. Per 28 e 35 saranno 7; per x 3 e x 4 - x 3. In altre parole, il nostro fattore comune è 7x3.

2. Rappresentiamo ciascuno degli elementi come un prodotto di fattori, uno dei quali
7x 3: 28x 3 - 35x 4 \u003d 7x 3 ∙ 4 - 7x 3 ∙ 5x.

3. Tra parentesi il fattore comune
7x 3: 28x 3 - 35x 4 \u003d 7x 3 ∙ 4 - 7x 3 ∙ 5x \u003d 7x 3 (4 - 5x).

Metodo 2. Utilizzo di formule di moltiplicazione abbreviate. La "maestria" di padroneggiare questo metodo è notare nell'espressione una delle formule per la moltiplicazione abbreviata.

Fattorizziamo il polinomio x 6 - 1.

Soluzione.

1. Possiamo applicare la formula della differenza dei quadrati a questa espressione. Per fare ciò, rappresentiamo x 6 come (x 3) 2 e 1 come 1 2, cioè 1. L'espressione assumerà la forma:
(x 3) 2 - 1 \u003d (x 3 + 1) ∙ (x 3 - 1).

2. All'espressione risultante, possiamo applicare la formula per la somma e la differenza dei cubi:
(x 3 + 1) ∙ (x 3 - 1) \u003d (x + 1) ∙ (x 2 - x + 1) ∙ (x - 1) ∙ (x 2 + x + 1).

Così,
x 6 - 1 = (x 3) 2 - 1 = (x 3 + 1) ∙ (x 3 - 1) = (x + 1) ∙ (x 2 - x + 1) ∙ (x - 1) ∙ (x 2+x+1).

Metodo 3. Raggruppamento. Il metodo di raggruppamento consiste nel combinare le componenti di un polinomio in modo tale che sia facile eseguire su di esse operazioni (addizione, sottrazione, estrazione di un fattore comune).

Fattorizziamo il polinomio x 3 - 3x 2 + 5x - 15.

Soluzione.

1. Raggruppa i componenti in questo modo: il 1° con il 2° e il 3° con il 4°
(x 3 - 3x 2) + (5x - 15).

2. Nell'espressione risultante, togliamo tra parentesi i fattori comuni: x 2 nel primo caso e 5 nel secondo.
(x 3 - 3x 2) + (5x - 15) \u003d x 2 (x - 3) + 5 (x - 3).

3. Estraiamo il fattore comune x - 3 e otteniamo:
x 2 (x - 3) + 5 (x - 3) \u003d (x - 3) (x 2 + 5).

Così,
x 3 - 3x 2 + 5x - 15 \u003d (x 3 - 3x 2) + (5x - 15) \u003d x 2 (x - 3) + 5 (x - 3) \u003d (x - 3) ∙ (x 2+5).

Ripariamo il materiale.

Fattorizzare il polinomio a 2 - 7ab + 12b 2 .

Soluzione.

1. Rappresentiamo il monomio 7ab come la somma 3ab + 4ab. L'espressione assumerà la forma:
a 2 - (3ab + 4ab) + 12b 2 .

Apriamo le parentesi e otteniamo:
a 2 - 3ab - 4ab + 12b 2 .

2. Raggruppare le componenti del polinomio in questo modo: la 1a con la 2a e la 3a con la 4a. Noi abbiamo:
(a 2 - 3ab) - (4ab - 12b 2).

3. Eliminiamo i fattori comuni:
(a 2 - 3ab) - (4ab - 12b 2) \u003d a (a - 3b) - 4b (a - 3b).

4. Eliminiamo il fattore comune (a - 3b):
a(a – 3b) – 4b(a – 3b) = (a – 3b) ∙ (a – 4b).

Così,
a 2 - 7ab + 12b 2 =
= a 2 - (3ab + 4ab) + 12b 2 =
= a 2 - 3ab - 4ab + 12b 2 =
= (a 2 - 3ab) - (4ab - 12b 2) =
= a(a - 3b) - 4b(a - 3b) =
= (à – 3 b) ∙ (à – 4b).

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In questa lezione, richiameremo tutti i metodi precedentemente studiati per la fattorizzazione di un polinomio e considereremo esempi della loro applicazione, inoltre, studieremo un nuovo metodo: il metodo del quadrato completo e impareremo come applicarlo per risolvere vari problemi.

Argomento:Fattorizzazione dei polinomi

Lezione:Fattorizzazione dei polinomi. Metodo di selezione del quadrato completo. Combinazione di metodi

Richiama i metodi principali per la fattorizzazione di un polinomio che sono stati studiati in precedenza:

Il metodo per togliere un fattore comune tra parentesi, cioè un fattore presente in tutti i membri del polinomio. Considera un esempio:

Ricordiamo che un monomio è un prodotto di potenze e numeri. Nel nostro esempio, entrambi i membri hanno alcuni elementi comuni e identici.

Quindi, togliamo il fattore comune tra parentesi:

;

Ricordiamo che moltiplicando per la parentesi il moltiplicatore renderizzato si può verificare la correttezza del rendering.

metodo di raggruppamento. Non è sempre possibile eliminare un fattore comune in un polinomio. In questo caso, è necessario dividere i suoi membri in gruppi in modo tale che in ogni gruppo si possa eliminare un fattore comune e provare a scomporlo in modo che dopo aver eliminato i fattori nei gruppi, appaia un fattore comune per il l'intera espressione e l'espansione potrebbe essere continuata. Considera un esempio:

Raggruppa rispettivamente il primo termine con il quarto, il secondo con il quinto e il terzo con il sesto:

Eliminiamo i fattori comuni nei gruppi:

L'espressione ha un fattore comune. Tiriamolo fuori:

Applicazione di formule di moltiplicazione abbreviate. Considera un esempio:

;

Scriviamo l'espressione nel dettaglio:

Ovviamente abbiamo davanti a noi la formula per il quadrato della differenza, poiché c'è una somma dei quadrati di due espressioni e da essa viene sottratto il loro doppio prodotto. Procediamo con la formula:

Oggi impareremo in un altro modo: il metodo di selezione del quadrato completo. Si basa sulle formule del quadrato della somma e del quadrato della differenza. Ricordiamoli:

La formula per il quadrato della somma (differenza);

La particolarità di queste formule è che contengono i quadrati di due espressioni e il loro doppio prodotto. Considera un esempio:

Scriviamo l'espressione:

Quindi la prima espressione è e la seconda.

Per fare una formula per il quadrato della somma o differenza non basta il doppio prodotto delle espressioni. Bisogna sommare e sottrarre:

Comprimi il quadrato completo della somma:

Trasformiamo l'espressione risultante:

Applichiamo la formula della differenza dei quadrati, ricordiamo che la differenza dei quadrati di due espressioni è il prodotto e la somma della loro differenza:

Quindi, questo metodo consiste, prima di tutto, nel fatto che è necessario identificare le espressioni a e b che sono al quadrato, cioè determinare quali espressioni sono al quadrato in questo esempio. Dopodiché è necessario verificare la presenza di un prodotto doppio e se non c'è aggiungere e sottrarre, questo non cambierà il significato dell'esempio, ma il polinomio può essere scomposto utilizzando le formule per il quadrato di la somma o la differenza e la differenza dei quadrati, se possibile.

Passiamo alla soluzione degli esempi.

Esempio 1 - fattorizzare:

Trova le espressioni al quadrato:

Scriviamo quale dovrebbe essere il loro doppio prodotto:

Sommiamo e sottraiamo il doppio prodotto:

Comprimi il quadrato intero della somma e diamo quelli simili:

Scriveremo secondo la formula della differenza dei quadrati:

Esempio 2 - risolvi l'equazione:

;

C'è un trinomio sul lato sinistro dell'equazione. Devi tenerlo in considerazione. Usiamo la formula del quadrato della differenza:

Abbiamo il quadrato della prima espressione e il doppio prodotto, manca il quadrato della seconda espressione, aggiungiamolo e sottraiamolo:

Comprimi l'intero quadrato e diamo termini simili:

Applichiamo la formula della differenza di quadrati:

Quindi abbiamo l'equazione

Sappiamo che il prodotto è uguale a zero solo se almeno uno dei fattori è uguale a zero. Sulla base di questo, scriveremo le equazioni:

Risolviamo la prima equazione:

Risolviamo la seconda equazione:

Risposta: o

;

Agiamo in modo simile all'esempio precedente: selezioniamo il quadrato della differenza.