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Progressione aritmetica

Una progressione aritmetica è un tipo speciale di sequenza. Pertanto, prima di definire una progressione aritmetica (e quindi geometrica), è necessario discutere brevemente l'importante concetto di sequenza numerica.

Sotto sequenza

Immagina un dispositivo sullo schermo di cui alcuni numeri vengono visualizzati uno dopo l'altro. Diciamo 2; 7; 13; uno; 6; 0; 3; : : : Tale insieme di numeri è solo un esempio di sequenza.

Definizione. Una sequenza numerica è un insieme di numeri in cui ad ogni numero può essere assegnato un numero univoco (cioè messo in corrispondenza di un unico numero naturale)1. Il numero con numero n è chiamato l'ennesimo membro della sequenza.

Quindi, nell'esempio sopra, il primo numero ha il numero 2, che è il primo membro della sequenza, che può essere indicato con a1 ; il numero cinque ha il numero 6 che è il quinto membro della sequenza, che può essere indicato con a5 . In generale, l'ennesimo membro di una sequenza è indicato da an (o bn , cn , ecc.).

Una situazione molto conveniente è quando l'ennesimo membro della sequenza può essere specificato da una formula. Ad esempio, la formula an = 2n 3 specifica la sequenza: 1; uno; 3; 5; 7; : : : La formula an = (1)n definisce la sequenza: 1; uno; uno; uno; : : :

Non tutte le serie di numeri sono una sequenza. Quindi, un segmento non è una sequenza; contiene ¾troppi¿ numeri per essere rinumerati. Anche l'insieme R di tutti i numeri reali non è una sequenza. Questi fatti sono dimostrati nel corso dell'analisi matematica.

Progressione aritmetica: definizioni di base

Ora siamo pronti per definire una progressione aritmetica.

Definizione. Una progressione aritmetica è una sequenza in cui ogni termine (a partire dal secondo) è uguale alla somma del termine precedente e di un numero fisso (chiamato differenza della progressione aritmetica).

Ad esempio, sequenza 2; 5; otto; undici; : : : è una progressione aritmetica con primo termine 2 e differenza 3. Sequenza 7; 2; 3; otto; : : : è una progressione aritmetica con primo termine 7 e differenza 5. Sequenza 3; 3; 3; : : : è una progressione aritmetica con differenza zero.

Definizione equivalente: una sequenza an è chiamata progressione aritmetica se la differenza an+1 an è un valore costante (non dipendente da n).

Una progressione aritmetica si dice crescente se la sua differenza è positiva e decrescente se la sua differenza è negativa.

1 Ed ecco una definizione più sintetica: una sequenza è una funzione definita sull'insieme dei numeri naturali. Ad esempio, la sequenza di numeri reali è la funzione f: N! R.

Per impostazione predefinita, le sequenze sono considerate infinite, cioè contenenti un numero infinito di numeri. Ma nessuno si preoccupa di considerare anche le sequenze finite; in effetti, qualsiasi insieme finito di numeri può essere chiamato sequenza finita. Ad esempio, la sequenza finale 1; 2; 3; quattro; 5 è composto da cinque numeri.

Formula dell'ennesimo membro di una progressione aritmetica

È facile capire che una progressione aritmetica è completamente determinata da due numeri: il primo termine e la differenza. Sorge quindi la domanda: come, conoscendo il primo termine e la differenza, trovare un termine arbitrario di una progressione aritmetica?

Non è difficile ottenere la formula desiderata per l'ennesimo termine di una progressione aritmetica. Lascia un

progressione aritmetica con differenza d. Abbiamo:
an+1 = an + d (n = 1; 2; : ::):
In particolare scriviamo:
a2 = a1 + d;
a3 = a2 + d = (a1 + d) + d = a1 + 2d;
a4 = a3 + d = (a1 + 2d) + d = a1 + 3d;
e ora diventa chiaro che la formula per an è:
an = a1 + (n 1)d:

Compito 1. In progressione aritmetica 2; 5; otto; undici; : : : trova la formula dell'ennesimo termine e calcola il centesimo termine.

Soluzione. Secondo la formula (1) abbiamo:

an = 2 + 3(n 1) = 3n 1:

a100 = 3 100 1 = 299:

Proprietà e segno di progressione aritmetica

proprietà di una progressione aritmetica. In progressione aritmetica e per qualsiasi

In altre parole, ogni membro della progressione aritmetica (a partire dal secondo) è la media aritmetica dei membri vicini.

	Prova. Abbiamo:
	a n 1+ a n+1		(e d) + (e + d)

che è ciò che era richiesto.

Più in generale, la progressione aritmetica an soddisfa l'uguaglianza

a n = a n k+ a n+k

per ogni n > 2 e ogni k naturale< n. Попробуйте самостоятельно доказать эту формулу тем же самым приёмом, что и формулу (2 ).

Si scopre che la formula (2) non è solo una condizione necessaria ma anche sufficiente affinché una sequenza sia una progressione aritmetica.

Segno di una progressione aritmetica. Se l'uguaglianza (2) vale per tutti n > 2, allora la sequenza an è una progressione aritmetica.

Prova. Riscriviamo la formula (2) come segue:

a na n 1= a n+1a n:

Questo mostra che la differenza an+1 an non dipende da n, e questo significa semplicemente che la sequenza an è una progressione aritmetica.

La proprietà e il segno di una progressione aritmetica possono essere formulati come un'unica affermazione; per comodità, lo faremo per tre numeri (questa è la situazione che si verifica spesso nei problemi).

Caratterizzazione di una progressione aritmetica. Tre numeri a, b, c formano una progressione aritmetica se e solo se 2b = a + c.

Problema 2. (Moscow State University, Facoltà di Economia, 2007) Tre numeri 8x, 3x2 e 4 nell'ordine specificato formano una progressione aritmetica decrescente. Trova x e scrivi la differenza di questa progressione.

Soluzione. Per la proprietà di una progressione aritmetica si ha:

2(3 x2 ) = 8x 4 , 2x2 + 8x 10 = 0 , x2 + 4x 5 = 0 , x = 1; x=5:

Se x = 1 si ottiene una progressione decrescente di 8, 2, 4 con una differenza di 6. Se x = 5 si ottiene una progressione crescente di 40, 22, 4; questo caso non funziona.

Risposta: x = 1, la differenza è 6.

La somma dei primi n termini di una progressione aritmetica

La leggenda narra che una volta l'insegnante disse ai bambini di trovare la somma dei numeri da 1 a 100 e si sedette a leggere il giornale in silenzio. Tuttavia, nel giro di pochi minuti, un ragazzo ha detto di aver risolto il problema. Era Carl Friedrich Gauss, 9 anni, poi uno dei più grandi matematici della storia.

L'idea del piccolo Gauss era questa. Permettere

S = 1 + 2 + 3 + : : : + 98 + 99 + 100:

Scriviamo questa somma in ordine inverso:

S = 100 + 99 + 98 + : : : + 3 + 2 + 1;

e aggiungi queste due formule:

2S = (1 + 100) + (2 + 99) + (3 + 98) + : : : + (98 + 3) + (99 + 2) + (100 + 1):

Ogni termine tra parentesi è uguale a 101, e ci sono 100 termini in totale.Pertanto

2S = 101 100 = 10100;

Usiamo questa idea per derivare la formula della somma

S = a1 + a2 + : : : + an + a n n: (3)

Un'utile modifica della formula (3) si ottiene sostituendo in essa la formula per l'ennesimo termine an = a1 + (n 1)d:

		2a1 + (n 1)d

Attività 3. Trova la somma di tutti i numeri positivi a tre cifre divisibili per 13.

Soluzione. I numeri a tre cifre che sono multipli di 13 formano una progressione aritmetica con il primo termine 104 e la differenza 13; L'ennesimo termine di questa progressione è:

an = 104 + 13(n 1) = 91 + 13n:

Scopriamo quanti membri contiene la nostra progressione. Per fare ciò, risolviamo la disuguaglianza:

un 6999; 91 + 13n 6999;

n 6 908 13 = 6911 13; n 6 69:

Quindi ci sono 69 membri nella nostra progressione. Secondo la formula (4) troviamo la quantità richiesta:

S = 2 104 + 68 13 69 = 37674: 2

Qual è l'essenza della formula?

Questa formula ti permette di trovare qualunque CON IL SUO NUMERO" n" .

Naturalmente, è necessario conoscere il primo termine un 1 e differenza di progressione d, beh, senza questi parametri, non puoi scrivere una progressione specifica.

Non basta memorizzare (o imbrogliare) questa formula. È necessario assimilare la sua essenza e applicare la formula in vari problemi. Sì, e non dimenticare al momento giusto, sì ...) Come non dimenticare- Non so. Ma come ricordare Se necessario, ti do un suggerimento. Per coloro che padroneggiano la lezione fino alla fine.)

Quindi, affrontiamo la formula dell'n-esimo membro di una progressione aritmetica.

Che cos'è una formula in generale - immaginiamo.) Che cos'è una progressione aritmetica, un numero di membro, una differenza di progressione - è chiaramente affermato nella lezione precedente. Dai un'occhiata se non l'hai letto. Tutto è semplice lì. Resta da capire cosa ennesimo membro.

progressione in vista generale può essere scritto come una serie di numeri:

un 1 , un 2 , un 3 , un 4 , un 5 , .....

un 1- denota il primo termine di una progressione aritmetica, un 3- terzo membro un 4- quarto, e così via. Se siamo interessati al quinto mandato, diciamo con cui stiamo lavorando un 5, se centoventesimo - da un 120.

Come definire in generale qualunque membro di una progressione aritmetica, s qualunque numero? Molto semplice! Come questo:

un

Ecco cos'è n-esimo membro di una progressione aritmetica. Sotto la lettera n sono nascosti tutti i numeri dei membri contemporaneamente: 1, 2, 3, 4 e così via.

E cosa ci dà un record del genere? Pensa, invece di un numero, hanno scritto una lettera ...

Questa notazione ci offre un potente strumento per lavorare con le progressioni aritmetiche. Usando la notazione un, possiamo trovare rapidamente qualunque membro qualunque progressione aritmetica. E un sacco di compiti da risolvere in progressione. Vedrai più avanti.

Nella formula dell'ennesimo membro di una progressione aritmetica:

a n = a 1 + (n-1)d

un 1- il primo membro della progressione aritmetica;

n- Numero membro.

La formula collega i parametri chiave di qualsiasi progressione: un ; un 1 ; d e n. Intorno a questi parametri, tutti i puzzle ruotano in progressione.

La formula dell'ennesimo termine può essere utilizzata anche per scrivere una progressione specifica. Ad esempio, nel problema si può dire che la progressione è data dalla condizione:

un n = 5 + (n-1) 2.

Un problema del genere può persino confondere ... Non ci sono serie, nessuna differenza ... Ma, confrontando la condizione con la formula, è facile capire che in questa progressione a 1 \u003d 5 e d \u003d 2.

E può essere ancora più arrabbiato!) Se prendiamo la stessa condizione: un n = 5 + (n-1) 2, si, apri le parentesi e dai simili? Otteniamo una nuova formula:

an = 3 + 2n.

esso Solo non generale, ma per una progressione specifica. È qui che sta la trappola. Alcune persone pensano che il primo termine sia un tre. Anche se in realtà il primo membro è un cinque... Un po' più in basso lavoreremo con una formula così modificata.

Nelle attività per la progressione, c'è un'altra notazione - n+1. Questo è, hai indovinato, il termine "n più il primo" della progressione. Il suo significato è semplice e innocuo.) Questo è un membro della progressione, il cui numero è maggiore del numero n di uno. Ad esempio, se in qualche problema prendiamo per un quinto mandato, quindi n+1 sarà il sesto membro. Eccetera.

Molto spesso la designazione n+1 si verifica nelle formule ricorsive. Non abbiate paura di questa parola terribile!) Questo è solo un modo per esprimere un termine di una progressione aritmetica attraverso il precedente. Supponiamo di avere una progressione aritmetica in questa forma, usando la formula ricorrente:

a n+1 = a n +3

a 2 = a 1 + 3 = 5+3 = 8

a 3 = a 2 + 3 = 8+3 = 11

Dal quarto - al terzo, dal quinto - al quarto e così via. E come contare subito, diciamo il ventesimo termine, un 20? Ma niente da fare!) Mentre il 19° termine non è noto, il 20° non può essere contato. Questa è la differenza fondamentale tra la formula ricorsiva e la formula dell'ennesimo termine. Ricorsivo funziona solo attraverso precedente termine e la formula dell'ennesimo termine - attraverso il primo e permette immediamente trova qualsiasi membro in base al suo numero. Senza contare l'intera serie di numeri in ordine.

In una progressione aritmetica, una formula ricorsiva può essere facilmente trasformata in una normale. Conta una coppia di termini consecutivi, calcola la differenza d, trovare, se necessario, il primo termine un 1, scrivi la formula nella forma usuale e lavora con essa. Nel GIA si trovano spesso tali compiti.

Applicazione della formula dell'n-esimo membro di una progressione aritmetica.

Per prima cosa, diamo un'occhiata all'applicazione diretta della formula. Alla fine della lezione precedente si è verificato un problema:

Data una progressione aritmetica (a n). Trova un 121 se a 1 =3 e d=1/6.

Questo problema può essere risolto senza alcuna formula, semplicemente basandosi sul significato della progressione aritmetica. Aggiungi, sì aggiungi ... Un'ora o due.)

E secondo la formula, la soluzione richiederà meno di un minuto. Puoi cronometrarlo.) Decidiamo.

Le condizioni forniscono tutti i dati per l'utilizzo della formula: a 1 \u003d 3, d \u003d 1/6. Resta da vedere cosa n. Nessun problema! Abbiamo bisogno di trovare un 121. Qui scriviamo:

Per favore presta attenzione! Invece di un indice nè apparso un numero specifico: 121. Il che è abbastanza logico.) Siamo interessati al membro della progressione aritmetica numero centoventuno. Questo sarà il nostro n.È questo significato n= 121 sostituiremo ulteriormente nella formula, tra parentesi. Sostituisci tutti i numeri nella formula e calcola:

a 121 = 3 + (121-1) 1/6 = 3+20 = 23

Questo è tutto ciò che c'è da fare. Altrettanto rapidamente si potrebbe trovare il cinquecentodecimo membro, e il milleterzo qualsiasi. Noi invece mettiamo n il numero desiderato nell'indice della lettera " un" e tra parentesi, e consideriamo.

Lascia che ti ricordi l'essenza: questa formula ti permette di trovare qualunque termine di una progressione aritmetica CON IL SUO NUMERO" n" .

Risolviamo il problema in modo più intelligente. Diciamo che abbiamo il seguente problema:

Trova il primo termine della progressione aritmetica (a n) se a 17 =-2; d=-0,5.

In caso di difficoltà, suggerirò il primo passo. Scrivi la formula per l'ennesimo termine di una progressione aritmetica! Si si. Scrivi a mano, direttamente sul tuo taccuino:

a n = a 1 + (n-1)d

E ora, guardando le lettere della formula, capiamo quali dati abbiamo e cosa manca? A disposizione d=-0,5, c'è un diciassettesimo membro... Tutto? Se pensi che sia tutto, allora non puoi risolvere il problema, sì ...

Abbiamo anche un numero n! Nella condizione un 17 =-2 nascosto due opzioni. Questo è sia il valore del diciassettesimo membro (-2) che il suo numero (17). Quelli. n=17. Questa "piccola cosa" spesso scivola oltre la testa, e senza di essa (senza la "piccola cosa", non la testa!) il problema non può essere risolto. Anche se ... e anche senza testa.)

Ora possiamo semplicemente sostituire stupidamente i nostri dati nella formula:

a 17 \u003d a 1 + (17-1) (-0,5)

Oh si, un 17 sappiamo che è -2. Ok, inseriamolo:

-2 \u003d a 1 + (17-1) (-0,5)

Questo, in sostanza, è tutto. Resta da esprimere il primo termine della progressione aritmetica dalla formula e calcolare. Ottieni la risposta: un 1 = 6.

Tale tecnica - scrivere una formula e sostituire semplicemente i dati noti - aiuta molto in compiti semplici. Bene, devi, ovviamente, essere in grado di esprimere una variabile da una formula, ma cosa fare!? Senza questa abilità, la matematica non può essere affatto studiata ...

Un altro problema popolare:

Trova la differenza della progressione aritmetica (a n) se a 1 =2; un 15 =12.

Cosa stiamo facendo? Sarai sorpreso, scriviamo la formula!)

a n = a 1 + (n-1)d

Considera ciò che sappiamo: a 1 =2; a 15 =12; e (evidenziazione speciale!) n=15. Sentiti libero di sostituire nella formula:

12=2 + (15-1)d

Facciamo l'aritmetica.)

12=2 + 14 gg

d=10/14 = 5/7

Questa è la risposta corretta.

Quindi, compiti un n , un 1 e d deciso. Resta da imparare come trovare il numero:

Il numero 99 è un membro di una progressione aritmetica (a n), dove a 1 =12; d=3. Trova il numero di questo membro.

Sostituiamo le quantità note nella formula dell'ennesimo termine:

un n = 12 + (n-1) 3

A prima vista, ci sono due incognite qui: una n e n. Ma unè un membro della progressione con il numero n... E questo membro della progressione lo conosciamo! È il 99. Non sappiamo il suo numero. n, quindi è necessario trovare anche questo numero. Sostituisci il termine di progressione 99 nella formula:

99 = 12 + (n-1) 3

Esprimiamo dalla formula n, pensiamo. Otteniamo la risposta: n=30.

E ora un problema sullo stesso argomento, ma più creativo):

Determina se il numero 117 sarà un membro di una progressione aritmetica (a n):

-3,6; -2,4; -1,2 ...

Riscriviamo la formula. Cosa, non ci sono opzioni? Hm... Perché abbiamo bisogno degli occhi?) Vediamo il primo membro della progressione? Vediamo. Questo è -3,6. Puoi tranquillamente scrivere: a 1 \u003d -3.6. Differenza d può essere determinato dalla serie? È facile se sai qual è la differenza di una progressione aritmetica:

d = -2,4 - (-3,6) = 1,2

Sì, abbiamo fatto la cosa più semplice. Resta da affrontare un numero sconosciuto n e un incomprensibile numero 117. Nel problema precedente, almeno si sapeva che era il termine della progressione che si dava. Ma qui non lo sappiamo nemmeno... Come essere!? Bene, come essere, come essere... Accendi le tue capacità creative!)

Noi supponiamo quel 117 è, dopo tutto, un membro della nostra progressione. Con un numero sconosciuto n. E, proprio come nel problema precedente, proviamo a trovare questo numero. Quelli. scriviamo la formula (sì-sì!)) e sostituiamo i nostri numeri:

117 = -3,6 + (n-1) 1,2

Ancora una volta esprimiamo dalla formulan, contiamo e otteniamo:

Ops! Il numero è risultato frazionario! Centouno e mezzo. E numeri frazionari nelle progressioni non può essere. Quale conclusione traiamo? Sì! Numero 117 non è membro della nostra progressione. È da qualche parte tra il 101° e il 102° membro. Se il numero risultasse naturale, ad es. intero positivo, allora il numero sarebbe un membro della progressione con il numero trovato. E nel nostro caso, la risposta al problema sarà: no.

Compito basato su una versione reale del GIA:

La progressione aritmetica è data dalla condizione:

a n \u003d -4 + 6,8 n

Trova il primo e il decimo termine della progressione.

Qui la progressione è impostata in modo insolito. Una specie di formula ... Succede.) Tuttavia, questa formula (come ho scritto sopra) - anche la formula dell'n-esimo membro di una progressione aritmetica! Lei permette anche trova qualsiasi membro della progressione in base al suo numero.

Stiamo cercando il primo membro. Quello che pensa. che il primo termine sia meno quattro, è fatalmente sbagliato!) Perché la formula nel problema è modificata. Il primo termine di una progressione aritmetica in esso nascosto. Niente, lo troveremo ora.)

Proprio come nelle attività precedenti, sostituiamo n=1 in questa formula:

a 1 \u003d -4 + 6,8 1 \u003d 2,8

Qui! Il primo termine è 2,8, non -4!

Allo stesso modo, stiamo cercando il decimo termine:

a 10 \u003d -4 + 6,8 10 \u003d 64

Questo è tutto ciò che c'è da fare.

E ora, per chi ha letto fino a queste righe, il bonus promesso.)

Supponiamo, in una difficile situazione di combattimento del GIA o dell'esame di stato unificato, di aver dimenticato l'utile formula dell'n-esimo membro di una progressione aritmetica. Qualcosa mi viene in mente, ma in qualche modo incerto... Se n lì, o n+1, o n-1... Come essere!?

Calma! Questa formula è facile da ricavare. Non molto rigoroso, ma sicuramente sufficiente per la fiducia e la decisione giusta!) Per la conclusione, basta ricordare il significato elementare della progressione aritmetica e avere un paio di minuti di tempo. Hai solo bisogno di disegnare un'immagine. Per chiarezza.

Disegniamo un asse numerico e segniamo il primo su di esso. secondo, terzo, ecc. membri. E nota la differenza d tra i membri. Come questo:

Osserviamo l'immagine e pensiamo: a cosa corrisponde il secondo termine? Secondo uno d:

un 2 =a 1 + 1 d

Qual è il terzo termine? Terzo termine è uguale al primo termine più Due d.

un 3 =a 1 + 2 d

Lo capisci? Non metto alcune parole in grassetto per niente. Ok, un altro passo.)

Qual è il quarto termine? Il quarto termine è uguale al primo termine più tre d.

un 4 =a 1 + 3 d

È tempo di rendersi conto che il numero di lacune, ad es. d, sempre uno in meno rispetto al numero del membro che stai cercando n. Cioè, fino al numero n, numero di lacune sarà n-1. Quindi, la formula sarà (nessuna opzione!):

a n = a 1 + (n-1)d

In generale, le immagini visive sono molto utili per risolvere molti problemi in matematica. Non trascurare le immagini. Ma se è difficile disegnare un'immagine, allora ... solo una formula!) Inoltre, la formula dell'ennesimo termine ti consente di collegare l'intero potente arsenale della matematica alla soluzione: equazioni, disuguaglianze, sistemi, ecc. Non puoi mettere un'immagine in un'equazione...

Compiti per decisione indipendente.

Per il riscaldamento:

1. In progressione aritmetica (a n) a 2 =3; a 5 \u003d 5.1. Trova un 3 .

Suggerimento: secondo l'immagine, il problema viene risolto in 20 secondi ... Secondo la formula, risulta più difficile. Ma per padroneggiare la formula, è più utile.) Nella Sezione 555, questo problema è risolto sia dall'immagine che dalla formula. Senti la differenza!)

E questo non è più un riscaldamento.)

2. In progressione aritmetica (a n) a 85 \u003d 19.1; a 236 =49, 3. Trova un 3 .

Cosa, riluttanza a disegnare un'immagine?) Ancora! È meglio nella formula, sì ...

3. La progressione aritmetica è data dalla condizione:a 1 \u003d -5,5; a n+1 = a n +0,5. Trova il centoventicinquesimo termine di questa progressione.

In questo compito, la progressione è data in modo ricorrente. Ma contando fino al centoventicinquesimo termine... Non tutti possono fare un'impresa del genere.) Ma la formula dell'ennesimo termine è alla portata di tutti!

4. Data una progressione aritmetica (a n):

-148; -143,8; -139,6; -135,4, .....

Trova il numero del termine positivo più piccolo della progressione.

5. Secondo la condizione del compito 4, trova la somma dei membri più piccoli positivi e più grandi negativi della progressione.

6. Il prodotto del quinto e del dodicesimo termine di una progressione aritmetica crescente è -2,5 e la somma del terzo e dell'undicesimo termine è zero. Trova un 14 .

Non è il compito più semplice, sì ...) Qui il metodo "sulle dita" non funzionerà. Devi scrivere formule e risolvere equazioni.

Risposte (in disordine):

3,7; 3,5; 2,2; 37; 2,7; 56,5

Accaduto? È carino!)

Non tutto funziona? Succede. A proposito, nell'ultimo compito c'è un punto sottile. Sarà richiesta attenzione durante la lettura del problema. E logica.

La soluzione a tutti questi problemi è discussa in dettaglio nella Sezione 555. E l'elemento fantasy per il quarto, e il momento sottile per il sesto e gli approcci generali per risolvere qualsiasi problema per la formula dell'ennesimo termine: tutto è dipinto. Raccomando.

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Primo livello

Progressione aritmetica. Teoria dettagliata con esempi (2019)

Sequenza numerica

Quindi sediamoci e iniziamo a scrivere dei numeri. Per esempio:
Puoi scrivere qualsiasi numero e ce ne possono essere quanti ne vuoi (nel nostro caso, loro). Non importa quanti numeri scriviamo, possiamo sempre dire quale di essi è il primo, quale è il secondo e così via fino all'ultimo, cioè possiamo numerarli. Questo è un esempio di sequenza numerica:

Sequenza numerica
Ad esempio, per la nostra sequenza:

Il numero assegnato è specifico per un solo numero di sequenza. In altre parole, non ci sono numeri di tre secondi nella sequenza. Il secondo numero (come il -esimo numero) è sempre lo stesso.
Il numero con il numero è chiamato -esimo membro della sequenza.

Di solito chiamiamo l'intera sequenza una lettera (ad esempio) e ogni membro di questa sequenza - la stessa lettera con un indice uguale al numero di questo membro: .

Nel nostro caso:

Diciamo di avere una sequenza numerica in cui la differenza tra numeri adiacenti è la stessa e uguale.
Per esempio:

eccetera.
Tale sequenza numerica è chiamata progressione aritmetica.
Il termine "progresso" fu introdotto dall'autore romano Boezio già nel VI secolo e fu inteso in senso lato come una sequenza numerica infinita. Il nome "aritmetica" fu trasferito dalla teoria delle proporzioni continue, in cui erano impegnati gli antichi greci.

Questa è una sequenza numerica, ogni membro della quale è uguale al precedente, sommato con lo stesso numero. Questo numero è chiamato differenza di una progressione aritmetica ed è indicato.

Prova a determinare quali sequenze di numeri sono una progressione aritmetica e quali no:

un)
b)
c)
d)

Fatto? Confronta le nostre risposte:
È progressione aritmetica - b, c.
Non è progressione aritmetica - a, d.

Torniamo alla progressione data () e proviamo a trovare il valore del suo esimo membro. Esiste Due modo per trovarlo.

1. Metodo

Possiamo sommare al valore precedente il numero di progressione fino a raggiungere il esimo termine della progressione. È positivo che non abbiamo molto da riassumere, solo tre valori:

Quindi, il -esimo membro della progressione aritmetica descritta è uguale a.

2. Metodo

E se dovessimo trovare il valore del esimo termine della progressione? La somma ci avrebbe impiegato più di un'ora, e non è un dato di fatto che non avremmo commesso errori nell'addizione dei numeri.
Naturalmente, i matematici hanno escogitato un modo in cui non è necessario aggiungere la differenza di una progressione aritmetica al valore precedente. Guarda da vicino l'immagine disegnata ... Sicuramente hai già notato un certo schema, ovvero:

Ad esempio, vediamo cosa compone il valore del -esimo membro di questa progressione aritmetica:


In altre parole:

Cerca di trovare autonomamente in questo modo il valore di un membro di questa progressione aritmetica.

Calcolato? Confronta le tue voci con la risposta:

Fai attenzione che hai ottenuto esattamente lo stesso numero del metodo precedente, quando abbiamo aggiunto successivamente i membri di una progressione aritmetica al valore precedente.
Proviamo a "spersonalizzare" questa formula: la portiamo in una forma generale e otteniamo:

Equazione della progressione aritmetica.

Le progressioni aritmetiche sono in aumento o in diminuzione.

Crescente- progressioni in cui ogni valore successivo dei termini è maggiore del precedente.
Per esempio:

Discendente- progressioni in cui ogni valore successivo dei termini è minore del precedente.
Per esempio:

La formula derivata viene utilizzata nel calcolo dei termini sia in termini crescenti che decrescenti di una progressione aritmetica.
Diamo un'occhiata in pratica.
Ci viene data una progressione aritmetica composta dai seguenti numeri:

Da allora:

Quindi, eravamo convinti che la formula funziona sia in progressione aritmetica decrescente che crescente.
Prova a trovare da solo il -esimo e -esimo membro di questa progressione aritmetica.

Confrontiamo i risultati:

Proprietà della progressione aritmetica

Complichiamo il compito: deriviamo la proprietà di una progressione aritmetica.
Supponiamo di avere la seguente condizione:
- progressione aritmetica, trova il valore.
È facile, dici, e inizia a contare secondo la formula che già conosci:

Sia, a, allora:

Assolutamente giusto. Si scopre che prima lo troviamo, quindi lo aggiungiamo al primo numero e otteniamo ciò che stiamo cercando. Se la progressione è rappresentata da piccoli valori, allora non c'è nulla di complicato, ma cosa succede se ci vengono dati dei numeri nella condizione? D'accordo, c'è la possibilità di commettere errori nei calcoli.
Ora pensa, è possibile risolvere questo problema in un solo passaggio usando qualsiasi formula? Certo, sì, e cercheremo di tirarlo fuori ora.

Indichiamo il termine desiderato della progressione aritmetica poiché conosciamo la formula per trovarlo - questa è la stessa formula che abbiamo derivato all'inizio:
, poi:

• il membro precedente della progressione è:
• il prossimo termine della progressione è:

Sommiamo i membri precedenti e successivi della progressione:

Si scopre che la somma dei membri precedenti e successivi della progressione è il doppio del valore del membro della progressione che si trova tra di loro. In altre parole, per trovare il valore di un membro di progressione con valori noti precedenti e successivi, è necessario sommarli e dividerli per.

Esatto, abbiamo lo stesso numero. Ripariamo il materiale. Calcola tu stesso il valore della progressione, perché non è affatto difficile.

Ben fatto! Sai quasi tutto sulla progressione! Resta da scoprire solo una formula, che, secondo la leggenda, uno dei più grandi matematici di tutti i tempi, il "re dei matematici" - Karl Gauss, facilmente deducibile per se stesso ...

Quando Carl Gauss aveva 9 anni, l'insegnante, impegnato a controllare il lavoro degli studenti di altre classi, chiese a lezione il seguente compito: "Calcola la somma di tutti i numeri naturali da fino a (secondo altre fonti fino a) inclusi. " Qual è stata la sorpresa dell'insegnante quando uno dei suoi studenti (era Karl Gauss) dopo un minuto ha dato la risposta corretta al compito, mentre la maggior parte dei compagni di classe del temerario dopo lunghi calcoli ha ricevuto il risultato sbagliato ...

Il giovane Carl Gauss ha notato uno schema che puoi facilmente notare.
Diciamo di avere una progressione aritmetica composta da -ti membri: dobbiamo trovare la somma dei membri dati della progressione aritmetica. Naturalmente, possiamo sommare manualmente tutti i valori, ma se dovessimo trovare la somma dei suoi termini nell'attività, come stava cercando Gauss?

Descriviamo la progressione che ci è stata data. Osserva da vicino i numeri evidenziati e prova a eseguire varie operazioni matematiche con essi.


Provato? Cosa hai notato? Correttamente! Le loro somme sono uguali

Ora rispondi, quante di queste coppie ci saranno nella progressione che ci è stata data? Naturalmente, esattamente la metà di tutti i numeri, cioè.
Basandosi sul fatto che la somma di due termini di una progressione aritmetica è uguale, e coppie uguali simili, otteniamo che la somma totale è uguale a:
.
Pertanto, la formula per la somma dei primi termini di qualsiasi progressione aritmetica sarà:

In alcuni problemi non conosciamo il esimo termine, ma conosciamo la differenza di progressione. Prova a sostituire nella formula della somma la formula del esimo membro.
Cosa hai preso?

Ben fatto! Torniamo ora al problema che è stato posto a Carl Gauss: calcola tu stesso qual è la somma dei numeri che iniziano dal -esimo e la somma dei numeri che iniziano dal -esimo.

Quanto hai preso?
Gauss ha scoperto che la somma dei termini è uguale e la somma dei termini. È così che hai deciso?

In effetti, la formula per la somma dei membri di una progressione aritmetica fu dimostrata dall'antico scienziato greco Diofanto nel 3° secolo, e durante tutto questo tempo persone argute usarono le proprietà di una progressione aritmetica con potenza e principale.
Ad esempio, immagina l'antico Egitto e il più grande cantiere dell'epoca: la costruzione di una piramide ... La figura ne mostra un lato.

Dov'è la progressione qui dici? Guarda attentamente e trova uno schema nel numero di blocchi di sabbia in ogni fila del muro della piramide.


Perché non una progressione aritmetica? Conta quanti blocchi sono necessari per costruire un muro se i mattoni del blocco sono posizionati nella base. Spero che non conterai muovendo il dito sul monitor, ricordi l'ultima formula e tutto ciò che abbiamo detto sulla progressione aritmetica?

In questo caso, la progressione si presenta così:
Differenza di progressione aritmetica.
Il numero di membri di una progressione aritmetica.
Sostituiamo i nostri dati nelle ultime formule (contiamo il numero di blocchi in 2 modi).

Metodo 1.

Metodo 2.

E ora puoi anche calcolare sul monitor: confronta i valori ottenuti con il numero di blocchi che sono nella nostra piramide. Era d'accordo? Ben fatto, hai imparato la somma dei th termini di una progressione aritmetica.
Certo, non puoi costruire una piramide dai blocchi alla base, ma da? Prova a calcolare quanti mattoni di sabbia sono necessari per costruire un muro con questa condizione.
Sei riuscito?
La risposta corretta è blocchi:

Allenamento

Compiti:

1. Masha si sta rimettendo in forma per l'estate. Ogni giorno aumenta il numero di squat. Quante volte Masha si accovaccia in settimane se ha fatto gli squat al primo allenamento.
2. Qual è la somma di tutti i numeri dispari contenuti in.
3. Quando immagazzinano i tronchi, i taglialegna li impilano in modo tale che ogni strato superiore contenga un tronco in meno rispetto al precedente. Quanti tronchi ci sono in una muratura, se la base della muratura è in tronchi.

Risposte:

1. Definiamo i parametri della progressione aritmetica. In questo caso
   (settimane = giorni).

   Risposta: In due settimane, Masha dovrebbe accovacciarsi una volta al giorno.

2. Primo numero dispari, ultimo numero.
   Differenza di progressione aritmetica.
   Il numero di numeri dispari nella metà, tuttavia, verifica questo fatto usando la formula per trovare il -esimo membro di una progressione aritmetica:

   I numeri contengono numeri dispari.
   Sostituiamo i dati disponibili nella formula:

   Risposta: La somma di tutti i numeri dispari contenuti in è uguale a.

3. Richiama il problema delle piramidi. Nel nostro caso, a , poiché ogni livello superiore è ridotto di un log, ci sono solo un gruppo di livelli, cioè.
   Sostituisci i dati nella formula:

   Risposta: Ci sono tronchi nella muratura.

Riassumendo

1. - una sequenza numerica in cui la differenza tra numeri adiacenti è uguale e uguale. Sta aumentando e diminuendo.
2. Trovare la formula Il membro di una progressione aritmetica è scritto dalla formula - , dove è il numero di numeri nella progressione.
3. Proprietà dei membri di una progressione aritmetica- - dove - il numero di numeri nella progressione.
4. La somma dei membri di una progressione aritmetica si possono trovare in due modi:
   
   , dove è il numero di valori.

PROGRESSIONE ARITMETICA. LIVELLO MEDIO

Sequenza numerica

Sediamoci e iniziamo a scrivere dei numeri. Per esempio:

Puoi scrivere qualsiasi numero e ce ne possono essere quanti ne vuoi. Ma puoi sempre dire quale di loro è il primo, quale è il secondo, e così via, cioè possiamo numerarli. Questo è un esempio di sequenza numerica.

Sequenza numericaè un insieme di numeri, a ciascuno dei quali può essere assegnato un numero univoco.

In altre parole, ad ogni numero può essere associato un certo numero naturale, e solo uno. E non assegneremo questo numero a nessun altro numero di questo set.

Il numero con il numero è chiamato -esimo membro della sequenza.

Di solito chiamiamo l'intera sequenza una lettera (ad esempio) e ogni membro di questa sequenza - la stessa lettera con un indice uguale al numero di questo membro: .

È molto conveniente se il membro -esimo della sequenza può essere dato da una formula. Ad esempio, la formula

imposta la sequenza:

E la formula è la seguente sequenza:

Ad esempio, una progressione aritmetica è una sequenza (il primo termine qui è uguale e la differenza). Oppure (, differenza).

formula all'ennesimo termine

Chiamiamo ricorrente una formula in cui, per scoprire il -esimo termine, è necessario conoscere il precedente o più precedenti:

Per trovare, ad esempio, il esimo termine della progressione utilizzando tale formula, dobbiamo calcolare i nove precedenti. Ad esempio, lascia. Quindi:

Bene, ora è chiaro qual è la formula?

In ogni riga, aggiungiamo, moltiplicato per un numero. Per quello? Molto semplice: questo è il numero del membro attuale meno:

Molto più comodo ora, giusto? Controlliamo:

Decidi tu stesso:

In una progressione aritmetica, trova la formula per l'ennesimo termine e trova il centesimo termine.

Soluzione:

Il primo membro è uguale. E qual è la differenza? Ed ecco cosa:

(in fondo si chiama differenza perché è uguale alla differenza dei membri successivi della progressione).

Quindi la formula è:

Allora il centesimo termine è:

Qual è la somma di tutti i numeri naturali da a?

Secondo la leggenda, il grande matematico Carl Gauss, essendo un bambino di 9 anni, calcolò questa cifra in pochi minuti. Notò che la somma del primo e dell'ultimo numero è uguale, la somma del secondo e del penultimo è la stessa, la somma del terzo e del 3° dalla fine è la stessa, e così via. Quante sono queste coppie? Esatto, esattamente la metà del numero di tutti i numeri, cioè. Così,

La formula generale per la somma dei primi termini di qualsiasi progressione aritmetica sarà:

Esempio:
Trova la somma di tutti i multipli a due cifre.

Soluzione:

Il primo di questi numeri è questo. Ogni successivo si ottiene sommando un numero al precedente. Pertanto, i numeri che ci interessano formano una progressione aritmetica con il primo termine e la differenza.

La formula per il esimo termine per questa progressione è:

Quanti termini ci sono nella progressione se devono essere tutti a due cifre?

Molto facile: .

L'ultimo termine della progressione sarà uguale. Quindi la somma:

Risposta: .

Ora decidi tu stesso:

1. Ogni giorno l'atleta corre 1 metro in più rispetto al giorno precedente. Quanti chilometri percorrerà in settimane se percorresse km m il primo giorno?
2. Un ciclista percorre più miglia ogni giorno rispetto al precedente. Il primo giorno ha percorso km. Quanti giorni deve guidare per percorrere un chilometro? Quanti chilometri percorrerà l'ultimo giorno di viaggio?
3. Il prezzo di un frigorifero nel negozio viene ridotto dello stesso importo ogni anno. Determina quanto il prezzo di un frigorifero è diminuito ogni anno se, messo in vendita per rubli, sei anni dopo è stato venduto per rubli.

Risposte:

1. La cosa più importante qui è riconoscere la progressione aritmetica e determinarne i parametri. In questo caso, (settimane = giorni). Devi determinare la somma dei primi termini di questa progressione:
   .
   Risposta:
2. Qui è dato:, è necessario trovare.
   Ovviamente, devi usare la stessa formula di somma del problema precedente:
   .
   Sostituisci i valori:

   La radice ovviamente non si adatta, quindi la risposta.
   Calcoliamo la distanza percorsa nell'ultimo giorno utilizzando la formula del -esimo termine:
   (km).
   Risposta:

3. Dato: . Trova: .
   Non è più facile:
   (strofinare).
   Risposta:

PROGRESSIONE ARITMETICA. IN BREVE SUL PRINCIPALE

Questa è una sequenza numerica in cui la differenza tra numeri adiacenti è la stessa e uguale.

La progressione aritmetica è crescente () e decrescente ().

Per esempio:

La formula per trovare l'n-esimo membro di una progressione aritmetica

è scritto come una formula, dove è il numero di numeri nella progressione.

Proprietà dei membri di una progressione aritmetica

Se si conoscono i membri vicini, è facile trovare un membro della progressione, dov'è il numero di numeri nella progressione.

La somma dei membri di una progressione aritmetica

Ci sono due modi per trovare la somma:

Dove è il numero di valori.

Dove è il numero di valori.

I problemi di progressione aritmetica esistono fin dall'antichità. Sono apparsi e hanno chiesto una soluzione, perché avevano un'esigenza pratica.

Quindi, in uno dei papiri dell'Antico Egitto, che ha un contenuto matematico - il papiro Rhind (XIX secolo aC) - si trova il seguente compito: dividere dieci misure di pane in dieci persone, purché la differenza tra ciascuna di esse sia una ottavo di misura.

E nelle opere matematiche degli antichi greci ci sono eleganti teoremi relativi alla progressione aritmetica. Così, Ipsicle di Alessandria (II secolo, che compilò molti problemi interessanti e aggiunse il quattordicesimo libro agli "Elementi" di Euclide, formulò l'idea: "In una progressione aritmetica con un numero pari di membri, la somma dei membri della 2a metà è maggiore della somma dei membri del 1° per il quadrato 1/2 membri.

La sequenza an è indicata. I numeri della sequenza sono chiamati suoi membri e sono solitamente indicati da lettere con indici che indicano il numero di serie di questo membro (a1, a2, a3 ... leggi: "a 1st", "a 2nd", "a 3rd" e così via).

La sequenza può essere infinita o finita.

Cos'è una progressione aritmetica? Si intende ottenuto sommando il termine precedente (n) con lo stesso numero d, che è la differenza della progressione.

Se d<0, то мы имеем убывающую прогрессию. Если d>0, allora tale progressione è considerata crescente.

Una progressione aritmetica si dice finita se si prendono in considerazione solo alcuni dei suoi primi termini. Con un numero molto elevato di membri, questa è già una progressione infinita.

Qualsiasi progressione aritmetica è data dalla seguente formula:

an =kn+b, mentre b e k sono dei numeri.

L'affermazione, che è l'opposto, è assolutamente vera: se la sequenza è data da una formula simile, allora questa è esattamente una progressione aritmetica, che ha le proprietà:

1. Ogni membro della progressione è la media aritmetica del membro precedente e di quello successivo.
2. Il contrario: se, a partire dal 2°, ogni termine è la media aritmetica del termine precedente e del successivo, cioè se la condizione è soddisfatta, la sequenza data è una progressione aritmetica. Questa uguaglianza è allo stesso tempo un segno di progressione, quindi è solitamente chiamata proprietà caratteristica della progressione.
   Allo stesso modo è vero il teorema che riflette questa proprietà: una successione è una progressione aritmetica solo se questa uguaglianza è vera per uno qualsiasi dei membri della successione, a partire dal 2°.

La proprietà caratteristica per quattro numeri qualsiasi di una progressione aritmetica può essere espressa dalla formula an + am = ak + al se n + m = k + l (m, n, k sono i numeri della progressione).

In una progressione aritmetica, qualsiasi termine necessario (Nesimo) può essere trovato applicando la seguente formula:

Ad esempio: il primo termine (a1) in una progressione aritmetica è dato ed è uguale a tre, e la differenza (d) è uguale a quattro. Devi trovare il quarantacinquesimo termine di questa progressione. a45 = 1+4(45-1)=177

La formula an = ak + d(n - k) consente di determinare l'n-esimo membro di una progressione aritmetica attraverso uno qualsiasi dei suoi k-esimo membro, purché noto.

La somma dei membri di una progressione aritmetica (assumendo i primi n membri della progressione finale) è calcolata come segue:

Sn = (a1+an) n/2.

Se è noto anche il 1° termine, allora è conveniente per il calcolo un'altra formula:

Sn = ((2a1+d(n-1))/2)*n.

La somma di una progressione aritmetica che contiene n termini si calcola come segue:

La scelta delle formule per i calcoli dipende dalle condizioni dei compiti e dai dati iniziali.

La serie naturale di qualsiasi numero come 1,2,3,...,n,... è l'esempio più semplice di progressione aritmetica.

Oltre alla progressione aritmetica, ce n'è anche una geometrica, che ha le sue proprietà e caratteristiche.

Il concetto di sequenza numerica implica che ogni numero naturale corrisponda a un valore reale. Una tale serie di numeri può essere sia arbitraria che avere determinate proprietà: una progressione. In quest'ultimo caso, ogni elemento successivo (membro) della sequenza può essere calcolato utilizzando il precedente.

Una progressione aritmetica è una sequenza di valori numerici in cui i suoi membri vicini differiscono l'uno dall'altro dello stesso numero (tutti gli elementi della serie, a partire dal 2°, hanno una proprietà simile). Questo numero - la differenza tra il membro precedente e quello successivo - è costante ed è chiamato differenza di progressione.

Differenza di progressione: definizione

Si consideri una sequenza composta da j valori A = a(1), a(2), a(3), a(4) … a(j), j appartiene all'insieme dei numeri naturali N. Una progressione aritmetica, secondo la sua definizione, è una successione , in cui a(3) - a(2) = a(4) - a(3) = a(5) - a(4) = ... = a(j) - a(j-1) = d. Il valore di d è la differenza desiderata di questa progressione.

d = a(j) - a(j-1).

Assegna:

• Una progressione crescente, nel qual caso d > 0. Esempio: 4, 8, 12, 16, 20, …
• progressione decrescente, poi d< 0. Пример: 18, 13, 8, 3, -2, …

Differenza di progressione e suoi elementi arbitrari

Se sono noti 2 membri arbitrari della progressione (i-esimo, k-esimo), la differenza per questa sequenza può essere stabilita in base alla relazione:

a(i) = a(k) + (i - k)*d, quindi d = (a(i) - a(k))/(i-k).

La differenza di progressione e il suo primo termine

Questa espressione aiuterà a determinare il valore sconosciuto solo nei casi in cui è noto il numero dell'elemento della sequenza.

Differenza di progressione e sua somma

La somma di una progressione è la somma dei suoi termini. Per calcolare il valore totale dei suoi primi j elementi, utilizzare la formula corrispondente:

S(j) =((a(1) + a(j))/2)*j, ma poiché a(j) = a(1) + d(j – 1), quindi S(j) = ((a(1) + a(1) + d(j – 1))/2)*j=(( 2a(1) + d(– 1))/2)*j.