Troviamo il rapporto tra l'intensità del campo elettrostatico, che è il suo funzione di alimentazione, e potenziale - caratteristica energetica del campo. Lavoro di trasloco separare carica positiva da un punto all'altro del campo lungo l'asse X a condizione che i punti siano infinitamente vicini tra loro e x 1 – x 2 = dx , è uguale a E x dx . Lo stesso lavoro è uguale a j 1 -j 2 = dj . Uguagliando entrambe le espressioni, possiamo scrivere

dove il simbolo della derivata parziale sottolinea che la differenziazione è fatta solo rispetto a X. Ripetendo un ragionamento simile per gli assi yez , possiamo trovare il vettore E:

dove i, j, k - vettori unitari degli assi coordinati x, y, z.

Dalla definizione del gradiente (12.4) e (12.6). segue quello

cioè, l'intensità del campo E è uguale al gradiente potenziale con un segno meno. Il segno meno è determinato dal fatto che il vettore di intensità di campo E è diretto direzione verso il basso potenziale.

Per una rappresentazione grafica della distribuzione del potenziale di un campo elettrostatico, come nel caso di un campo gravitazionale (vedi § 25), si utilizzano le superfici equipotenziali, superfici in tutti i punti il ​​cui potenziale j ha lo stesso valore.

Se il campo è creato da una carica puntiforme, allora il suo potenziale, secondo (84.5),

Pertanto, le superfici equipotenziali in questo caso sono sfere concentriche. D'altra parte, le linee di tensione nel caso di una carica puntiforme sono rette radiali. Pertanto, le linee di tensione nel caso di una carica puntiforme perpendicolare superfici equipotenziali.

Linee di tensione sempre normale alle superfici equipotenziali. In effetti, tutti i punti della superficie equipotenziale hanno lo stesso potenziale, quindi il lavoro per spostare la carica lungo questa superficie è zero, cioè le forze elettrostatiche che agiscono sulla carica, sempre diretta lungo le normali alle superfici equipotenziali. Pertanto, il vettore E è sempre normale alle superfici equipotenziali, e quindi le linee del vettore E sono ortogonali a queste superfici.

Ci sono un numero infinito di superfici equipotenziali attorno a ciascuna carica e ogni sistema di cariche. Tuttavia, di solito vengono eseguiti in modo che le differenze di potenziale tra due superfici equipotenziali adiacenti siano le stesse. Quindi la densità delle superfici equipotenziali caratterizza chiaramente l'intensità del campo in diversi punti. Dove queste superfici sono più dense, l'intensità del campo è maggiore.

Quindi, conoscendo la posizione delle linee dell'intensità del campo elettrostatico, è possibile costruire superfici equipotenziali e, viceversa, dalla posizione nota delle superfici equipotenziali, è possibile determinare il modulo e la direzione dell'intensità del campo in ogni punto del campo. Sulla fig. 133 ad esempio mostra la vista delle linee di tensione (linee tratteggiate) e delle superfici equipotenziali (linee continue) dei campi di una carica puntiforme positiva (a) e di un cilindro metallico carico avente una sporgenza ad un'estremità e una depressione all'altra (b).

Direzione linea di campo(linee di tensione) in ogni punto coincide con la direzione. Quindi ne consegue che la tensione è uguale alla differenza di potenziale U per unità di lunghezza della linea di campo .

È lungo la linea di forza che si verifica la massima variazione di potenziale. Pertanto, è sempre possibile determinare tra due punti misurando u tra di loro, e più accurato, più vicini sono i punti. In un campo elettrico uniforme, le linee di forza sono diritte. Pertanto, è più facile definire qui:

Una rappresentazione grafica delle linee di campo e delle superfici equipotenziali è mostrata nella Figura 3.4.

Quando ci si sposta lungo questa superficie su d l il potenziale non cambierà.

Ne consegue che la proiezione del vettore a d l zero , questo è Pertanto, in ogni punto è diretto lungo la normale alla superficie equipotenziale.

Puoi disegnare tutte le superfici equipotenziali che desideri. Dalla densità delle superfici equipotenziali, si può giudicare il valore , ciò sarà a condizione che la differenza di potenziale tra due superfici equipotenziali adiacenti sia uguale ad un valore costante.

La formula esprime la relazione tra il potenziale e la forza e consente di utilizzare i valori noti di φ per trovare l'intensità del campo in ogni punto. È anche possibile risolvere il problema inverso, cioè per valori noti in ogni punto del campo, trova la differenza di potenziale tra due punti arbitrari del campo. Per fare ciò, utilizziamo il fatto che il lavoro svolto dal campo forza sulla carica q spostandolo dal punto 1 al punto 2 si può calcolare come:

D'altra parte, l'opera può essere rappresentata come:

, poi

L'integrale può essere preso lungo qualsiasi linea che collega il punto 1 e il punto 2, perché il lavoro delle forze di campo non dipende dal percorso. Per un bypass a circuito chiuso, otteniamo:

quelli. giunse al noto teorema sulla circolazione del vettore di intensità: la circolazione del vettore dell'intensità del campo elettrostatico lungo qualsiasi anello chiuso è uguale a zero.

Un campo con questa proprietà è chiamato potenziale.

Dall'estinzione della circolazione del vettore, ne consegue che le linee del campo elettrostatico non possono essere chiuse: iniziano con cariche positive (sorgenti) e terminano con cariche negative (sink) oppure vanno all'infinito(Fig. 3.4).

Questa relazione è vera solo per un campo elettrostatico. Successivamente, scopriremo che il campo delle cariche mobili non è potenziale, e questa relazione non è per questo soddisfatta.

Per una rappresentazione grafica più visiva dei campi, oltre alle linee di tensione, vengono utilizzate superfici di uguale potenziale o superfici equipotenziali. Come suggerisce il nome, una superficie equipotenziale è quella in cui tutti i punti hanno lo stesso potenziale. Se il potenziale è dato in funzione di x, y, z, l'equazione della superficie equipotenziale è:

Le linee di intensità del campo sono perpendicolari alle superfici equipotenziali.

Proviamo questa affermazione.

Lascia che la linea e la linea di forza formino un angolo (Fig. 1.5).

Passiamo dal punto 1 al punto 2 lungo la linea di carica di prova. In questo caso, le forze di campo fanno il lavoro:

. (1.5)

Cioè, il lavoro di spostamento della carica di prova lungo la superficie equipotenziale è zero. Lo stesso lavoro può essere definito in un altro modo - come il prodotto della carica per il modulo dell'intensità di campo agente sulla carica di prova, per la quantità di spostamento e per il coseno dell'angolo tra il vettore e il vettore di spostamento, cioè coseno dell'angolo (vedi fig. 1.5):

.

Il valore dell'opera non dipende dal metodo di calcolo, secondo (1.5) è uguale a zero. Ciò implica che e, rispettivamente, , che doveva essere dimostrato.

Una superficie equipotenziale può essere disegnata attraverso qualsiasi punto del campo. Pertanto, è possibile costruire un numero infinito di tali superfici. Abbiamo concordato, tuttavia, di condurre le superfici in modo tale che la differenza di potenziale per due superfici vicine fosse la stessa ovunque. Quindi, dalla densità delle superfici equipotenziali, si può giudicare l'intensità dell'intensità del campo. Infatti, più dense sono le superfici equipotenziali, più velocemente cambia il potenziale quando ci si sposta lungo la normale alla superficie.

La Figura 1.6,a mostra le superfici equipotenziali (più precisamente, la loro intersezione con il piano del disegno) per il campo di una carica puntiforme. A seconda della natura del cambiamento, le superfici equipotenziali diventano più dense avvicinandosi alla carica. La Figura 1.6b mostra le superfici equipotenziali e le linee di tensione per il campo di dipolo. Dalla Fig. 1.6 si può vedere che con l'uso simultaneo di superfici equipotenziali e linee di tensione, il quadro del campo è particolarmente chiaro.

Per un campo uniforme, le superfici equipotenziali rappresentano ovviamente un sistema di piani equidistanti perpendicolari alla direzione dell'intensità del campo.

1.8. Relazione tra intensità di campo e potenziale

(potenziale gradiente)

Sia un campo elettrostatico arbitrario. In questo campo, disegniamo due superfici equipotenziali in modo tale che differiscano l'una dall'altra per il potenziale per il valore dφ(Fig. 1.7)

Il vettore di tensione è diretto lungo la normale alla superficie. La direzione della normale è la stessa della direzione dell'asse x. Asse X disegnato dal punto 1 interseca la superficie al punto 2.

Segmento dx rappresenta la distanza più breve tra i punti 1 e 2. Il lavoro svolto quando la carica si sposta lungo questo segmento:

D'altra parte, lo stesso lavoro può essere scritto come:

Uguagliando queste due espressioni, otteniamo:

dove il simbolo della derivata parziale sottolinea che la differenziazione viene effettuata solo rispetto a X. Ripetendo un ragionamento simile per gli assi y e z, possiamo trovare il vettore:

, (1.7)

dove sono i vettori unitari degli assi delle coordinate x, y, z.

Il vettore definito dall'espressione (1.7) è chiamato gradiente scalare φ . Per questo, insieme alla designazione, viene utilizzata anche la designazione. ("nabla") indica un vettore simbolico chiamato operatore di Hamilton

FONDAMENTI TEORICI DELL'OPERA.

Esiste una relazione integrale e differenziale tra la forza della frazione elettrica e il potenziale elettrico:

j 1 - j 2 = ∫ e dl (1)

E=-grad j (2)

Il campo elettrico può essere rappresentato graficamente in due modi, complementari tra loro: utilizzando superfici equipotenziali e linee di tensione (linee di forza).

Una superficie i cui punti hanno tutti lo stesso potenziale è chiamata superficie equipotenziale. La linea della sua intersezione con il piano del disegno è chiamata equipotenziale. Linee di forza - linee, tangenti a cui in ogni punto coincidono con la direzione del vettore e . Nella Figura 1, le linee tratteggiate mostrano gli equipotenziali, le linee continue mostrano le linee di forza del campo elettrico.

Fig. 1

La differenza di potenziale tra i punti 1 e 2 è 0, poiché sono sullo stesso equipotenziale. In questo caso, da (1):

∫E dl = 0 o ∫E dlco ( Edl ) = 0 (3)

Perché il e e dl nell'espressione (3) non sono uguali a 0, quindi cos ( Edl ) = 0 . Pertanto, l'angolo tra l'equipotenziale e la linea di campo è p/2.

Dalla relazione differenziale (2) consegue che le linee di forza sono sempre dirette nella direzione del potenziale decrescente.

L'intensità del campo elettrico è determinata dallo "spessore" delle linee di forza. Più spesse sono le linee di forza, minore è la distanza tra gli equipotenziali, in modo che le linee di forza e gli equipotenziali formino "quadrati curvilinei". Sulla base di questi principi, è possibile costruire un quadro di linee di forza, avendo un quadro di equipotenziali, e viceversa.

Un quadro sufficientemente completo degli equipotenziali di campo permette di calcolare in diversi punti il ​​valore della proiezione del vettore di intensità e alla direzione prescelta X , mediata su un certo intervallo della coordinata ∆x :

E cfr. ∆х = - ∆ j /∆х,

dove ∆x - incremento delle coordinate quando si passa da un equipotenziale all'altro,

∆ j - il corrispondente aumento di potenziale,

E cfr. ∆x - significare es tra due potenziali.

DESCRIZIONE DELLA TECNICA DI INSTALLAZIONE E MISURA.

Per modellare il campo elettrico, è conveniente utilizzare l'analogia che esiste tra il campo elettrico creato da corpi carichi e il campo elettrico di corrente continua che scorre attraverso un film conduttivo con conducibilità uniforme. In questo caso, la posizione delle linee di forza del campo elettrico risulta essere simile alla posizione delle linee di correnti elettriche.

La stessa affermazione vale per i potenziali. La distribuzione dei potenziali di campo in un film conduttore è la stessa di un campo elettrico nel vuoto.

Come pellicola conduttiva, nel lavoro viene utilizzata carta elettricamente conduttiva con la stessa conduttività in tutte le direzioni.

Gli elettrodi sono posizionati sulla carta in modo che vi sia un buon contatto tra ciascun elettrodo e la carta conduttiva.

Lo schema di funzionamento dell'impianto è mostrato in Figura 2. L'impianto è costituito da modulo II, elemento esterno I, indicatore III, alimentatore IV. Il modulo viene utilizzato per collegare tutti i dispositivi utilizzati. L'elemento remoto è un pannello dielettrico 1, su cui è posizionato un foglio di carta bianca 2, sopra di esso c'è un foglio di carta da copia 3, quindi un foglio di carta conduttiva 4, su cui sono attaccati gli elettrodi 5. Viene fornita tensione agli elettrodi del modulo II mediante cavi di collegamento. L'indicatore III e la sonda 6 vengono utilizzati per determinare i potenziali dei punti sulla superficie della carta elettricamente conduttiva.

Come sonda viene utilizzato un filo con una spina all'estremità. Potenziale j sonda è uguale al potenziale del punto sulla superficie della carta elettricamente conduttiva, che tocca. L'insieme dei punti di campo con lo stesso potenziale è l'immagine dell'equipotenziale di campo. L'unità di alimentazione IV viene utilizzata come unità di alimentazione TES - 42, che è collegata al modulo tramite un connettore a spina sulla parete posteriore del modulo. Un voltmetro V7 - 38 viene utilizzato come indicatore Ш.

ORDINE DI ESECUZIONE DEI LAVORI.

1. Collocare un foglio di carta bianca sul pannello 1 2. Collocare la carta carbone 3 e un foglio di carta conduttiva 4 su di esso (Fig. 2).

2. Installare gli elettrodi 5 su carta elettricamente conduttiva e fissarli con i dadi.

3. Collegare l'alimentatore IV (TEC-42) al modulo utilizzando il connettore a spina sulla parete posteriore del modulo.

4. Utilizzando due fili, collegare l'indicatore III (V7-38 voltmetro) alle prese "PV" sul pannello frontale del modulo. Premere il pulsante corrispondente sul voltmetro per misurare la tensione CC (Fig. 2).

5. Utilizzando due conduttori, collegare gli elettrodi 5 al modulo P.

6. Collegare la sonda (cavo con due spine) alla presa sul pannello frontale del modulo.

7. Collegare il supporto alla rete 220 V. Accendere l'alimentazione generale del supporto.

Un campo elettrostatico può essere caratterizzato da una combinazione di forza e linee equipotenziali.

linea di forza - questa è una linea tracciata mentalmente nel campo, che inizia su un corpo caricato positivamente e termina su un corpo caricato negativamente, disegnata in modo tale che la tangente ad esso in qualsiasi punto del campo dia la direzione della tensione in quel punto.

Le linee di forza si chiudono su cariche positive e negative e non possono chiudersi su se stesse.

Sotto superficie equipotenziale comprendere l'insieme di punti di campo che hanno lo stesso potenziale ().

Se il campo elettrostatico è tagliato da un piano secante, nella sezione saranno visibili tracce dell'intersezione del piano con superfici equipotenziali. Queste tracce sono chiamate linee equipotenziali.

Le linee equipotenziali sono chiuse su se stesse.

Le linee di forza e le linee equipotenziali si intersecano ad angolo retto.

R
Considera la superficie equipotenziale:

(poiché i punti giacciono su una superficie equipotenziale).

- prodotto scalare

Le linee dell'intensità del campo elettrostatico penetrano nella superficie equipotenziale con un angolo di 90 0, quindi l'angolo tra i vettori
è 90 gradi e il loro prodotto scalare è 0.

Equazione della linea equipotenziale

Considera la linea di forza:

H
l'intensità del campo elettrostatico è diretta tangenzialmente alla linea di campo (vedi definizione della linea di campo), anche l'elemento di percorso è diretto , quindi l'angolo tra questi due vettori è zero.

o

Equazione della linea di campo

Capacità gradiente

Capacità gradiente è il tasso di aumento potenziale nella direzione più breve tra due punti.

C'è qualche differenza di potenziale tra due punti. Se questa differenza è divisa per la distanza più breve tra i punti presi, il valore risultante caratterizzerà il tasso di variazione potenziale nella direzione della distanza più breve tra i punti.

Il gradiente di potenziale mostra la direzione del maggiore aumento del potenziale, è numericamente uguale al modulo di intensità ed è diretto negativamente rispetto ad esso.

Due punti sono essenziali nella definizione di un gradiente:

La direzione in cui vengono presi due punti vicini dovrebbe essere tale che la velocità di cambiamento sia massima.

La direzione è tale che la funzione scalare aumenta in quella direzione.

Per un sistema di coordinate cartesiane:

Il tasso di variazione potenziale nella direzione degli assi X, Y, Z:

;
;

Due vettori sono uguali solo quando le loro proiezioni sono uguali tra loro. La proiezione del vettore di tensione sull'asse Xè uguale alla proiezione del tasso di variazione potenziale lungo l'asse X preso con il segno opposto. Allo stesso modo per gli assi Y e Z.

;
;
.

In un sistema di coordinate cilindrico, l'espressione per il gradiente potenziale avrà la forma seguente.