Il metodo di Gauss, detto anche metodo della successiva eliminazione delle incognite, consiste in quanto segue. Usando trasformazioni elementari, il sistema di equazioni lineari viene portato in una forma tale che la sua matrice di coefficienti risulta essere trapezoidale (come triangolare o a gradini) o vicino al trapezoidale (il corso diretto del metodo Gauss, quindi - solo una mossa diretta). Un esempio di tale sistema e della sua soluzione è mostrato nella figura sopra.

In un tale sistema, l'ultima equazione contiene solo una variabile e il suo valore può essere trovato in modo univoco. Quindi il valore di questa variabile viene sostituito nell'equazione precedente ( Rovescio gaussiano , quindi - solo una mossa inversa), da cui viene trovata la variabile precedente e così via.

In un sistema trapezoidale (triangolare), come si vede, la terza equazione non contiene più variabili y e X, e la seconda equazione - variabile X .

Dopo che la matrice del sistema ha assunto una forma trapezoidale, non è più difficile risolvere la questione della compatibilità del sistema, determinare il numero di soluzioni e trovare le soluzioni stesse.

Vantaggi del metodo:

1. quando si risolvono sistemi di equazioni lineari con più di tre equazioni e incognite, il metodo di Gauss non è ingombrante come il metodo Cramer, poiché sono necessari meno calcoli per risolvere il metodo di Gauss;
2. utilizzando il metodo di Gauss si possono risolvere sistemi indefiniti di equazioni lineari, cioè avendo una soluzione comune (e li analizzeremo in questa lezione), e utilizzando il metodo Cramer si può solo affermare che il sistema è incerto;
3. puoi risolvere sistemi di equazioni lineari in cui il numero di incognite non è uguale al numero di equazioni (le analizzeremo anche in questa lezione);
4. il metodo si basa sui metodi elementari (scolastici): il metodo di sostituzione delle incognite e il metodo di aggiunta di equazioni, di cui abbiamo parlato nell'articolo corrispondente.

Affinché tutti possano essere imbevuti della semplicità con cui vengono risolti i sistemi trapezoidali (triangolari, a gradini) di equazioni lineari, presentiamo la soluzione di un tale sistema usando il tratto inverso. Una rapida soluzione a questo sistema è stata mostrata nell'immagine all'inizio della lezione.

Esempio 1 Risolvi un sistema di equazioni lineari usando la mossa inversa:

Soluzione. In questo sistema trapezoidale, la variabile z si trova in modo univoco dalla terza equazione. Sostituiamo il suo valore nella seconda equazione e otteniamo il valore della variabile y:

Ora conosciamo i valori di due variabili - z e y. Li sostituiamo nella prima equazione e otteniamo il valore della variabile X:

Dai passaggi precedenti, scriviamo la soluzione del sistema di equazioni:

Per ottenere un tale sistema trapezoidale di equazioni lineari, che abbiamo risolto in modo molto semplice, è necessario applicare un movimento diretto associato a trasformazioni elementari del sistema di equazioni lineari. Inoltre non è molto difficile.

Trasformazioni elementari di un sistema di equazioni lineari

Ripetendo il metodo scolastico dell'addizione algebrica delle equazioni del sistema, abbiamo scoperto che un'altra equazione del sistema può essere aggiunta a una delle equazioni del sistema e ciascuna delle equazioni può essere moltiplicata per alcuni numeri. Di conseguenza, otteniamo un sistema di equazioni lineari equivalente a quello dato. In essa, un'equazione conteneva già solo una variabile, sostituendo il valore di cui in altre equazioni, arriviamo a una soluzione. Tale addizione è uno dei tipi di trasformazione elementare del sistema. Quando utilizziamo il metodo di Gauss, possiamo utilizzare diversi tipi di trasformazioni.

L'animazione sopra mostra come il sistema di equazioni si trasformi gradualmente in un sistema trapezoidale. Cioè, quello che hai visto alla prima animazione e ti sei assicurato che sia facile trovare i valori di tutte le incognite da esso. Come eseguire tale trasformazione e, naturalmente, esempi, saranno discussi ulteriormente.

Quando si risolvono sistemi di equazioni lineari con un numero qualsiasi di equazioni e incognite nel sistema di equazioni e nella matrice espansa del sistema Potere:

1. scambia le linee (questo è stato menzionato all'inizio di questo articolo);
2. se a seguito di altre trasformazioni sono apparse linee uguali o proporzionali, possono essere cancellate, tranne una;
3. eliminare le righe "null", dove tutti i coefficienti sono uguali a zero;
4. moltiplicare o dividere qualsiasi stringa per un numero;
5. aggiungi a qualsiasi riga un'altra riga moltiplicata per un numero.

Come risultato delle trasformazioni, otteniamo un sistema di equazioni lineari equivalente a quello dato.

Algoritmo ed esempi di risoluzione con il metodo di Gauss di un sistema di equazioni lineari a matrice quadrata del sistema

Consideriamo prima la soluzione di sistemi di equazioni lineari in cui il numero di incognite è uguale al numero di equazioni. La matrice di un tale sistema è quadrata, ovvero il numero di righe al suo interno è uguale al numero di colonne.

Esempio 2 Risolvi un sistema di equazioni lineari usando il metodo di Gauss

Risolvendo sistemi di equazioni lineari con metodi scolastici, abbiamo moltiplicato termine per termine una delle equazioni per un certo numero, in modo che i coefficienti della prima variabile nelle due equazioni fossero numeri opposti. Quando si aggiungono equazioni, questa variabile viene eliminata. Il metodo di Gauss funziona in modo simile.

Per semplificare l'aspetto della soluzione comporre la matrice aumentata del sistema:

In questa matrice, i coefficienti delle incognite si trovano a sinistra prima della barra verticale e i membri liberi sono a destra dopo la barra verticale.

Per comodità di dividere i coefficienti delle variabili (per ottenere una divisione per uno) scambiare la prima e la seconda riga della matrice di sistema. Otteniamo un sistema equivalente a quello dato, poiché nel sistema delle equazioni lineari si possono riordinare le equazioni:

Con la nuova prima equazione eliminare la variabile X dalla seconda e da tutte le successive equazioni. Per fare ciò, aggiungi la prima riga moltiplicata per (nel nostro caso per ) alla seconda riga della matrice e la prima riga moltiplicata per (nel nostro caso per ) alla terza riga.

Questo è possibile perché

Se c'erano più di tre equazioni nel nostro sistema, allora la prima riga dovrebbe essere aggiunta a tutte le equazioni successive, moltiplicata per il rapporto dei coefficienti corrispondenti, presi con un segno meno.

Di conseguenza, otteniamo una matrice equivalente al sistema dato di un nuovo sistema di equazioni, in cui tutte le equazioni, a partire dalla seconda non contengono una variabile X :

Per semplificare la seconda riga del sistema risultante, lo moltiplichiamo per e di nuovo otteniamo la matrice del sistema di equazioni equivalente a questo sistema:

Ora, mantenendo invariata la prima equazione del sistema risultante, usando la seconda equazione, eliminiamo la variabile y da tutte le equazioni successive. Per fare ciò, aggiungi la seconda riga moltiplicata per (nel nostro caso, per ) alla terza riga della matrice di sistema.

Se c'erano più di tre equazioni nel nostro sistema, allora la seconda riga dovrebbe essere aggiunta a tutte le equazioni successive, moltiplicata per il rapporto dei coefficienti corrispondenti, presi con un segno meno.

Di conseguenza, otteniamo nuovamente la matrice del sistema equivalente al dato sistema di equazioni lineari:

Abbiamo ottenuto un sistema trapezoidale di equazioni lineari equivalente a quello dato:

Se il numero di equazioni e variabili è maggiore rispetto al nostro esempio, il processo di eliminazione sequenziale delle variabili continua fino a quando la matrice del sistema diventa trapezoidale, come nel nostro esempio demo.

Troveremo la soluzione "dalla fine" - inverso. Per questo dall'ultima equazione che determiniamo z:
.
Sostituendo questo valore nell'equazione precedente, trova y:

Dalla prima equazione trova X:

Risposta: la soluzione di questo sistema di equazioni - .

: in questo caso, la stessa risposta verrà data se il sistema ha una soluzione univoca. Se il sistema ha un numero infinito di soluzioni, lo sarà anche la risposta, e questo è l'argomento della quinta parte di questa lezione.

Risolvi un sistema di equazioni lineari usando tu stesso il metodo di Gauss, quindi osserva la soluzione

Davanti a noi c'è ancora un esempio di un sistema coerente e definito di equazioni lineari, in cui il numero di equazioni è uguale al numero di incognite. La differenza dal nostro esempio demo dall'algoritmo è che ci sono già quattro equazioni e quattro incognite.

Esempio 4 Risolvi un sistema di equazioni lineari usando il metodo di Gauss:

Ora è necessario utilizzare la seconda equazione per escludere la variabile dalle equazioni successive. Facciamo un po' di lavoro preparatorio. Per renderlo più conveniente con il rapporto dei coefficienti, è necessario ottenere un'unità nella seconda colonna della seconda riga. Per fare ciò, sottrarre la terza riga dalla seconda riga e moltiplicare la seconda riga risultante per -1.

Eseguiamo ora l'effettiva eliminazione della variabile dalla terza e dalla quarta equazione. Per fare ciò, aggiungi il secondo, moltiplicato per , alla terza riga e il secondo, moltiplicato per , alla quarta.

Ora, usando la terza equazione, eliminiamo la variabile dalla quarta equazione. Per fare ciò, alla quarta riga, aggiungi la terza, moltiplicata per . Otteniamo una matrice espansa di forma trapezoidale.

Abbiamo ottenuto un sistema di equazioni, che è equivalente al sistema dato:

Pertanto, i sistemi risultanti e dati sono coerenti e definiti. Troviamo la soluzione finale "dalla fine". Dalla quarta equazione, possiamo esprimere direttamente il valore della variabile "x quarto":

Sostituiamo questo valore nella terza equazione del sistema e otteniamo

,

,

Infine, la sostituzione del valore

Nella prima equazione dà

,

dove troviamo "x prima":

Risposta: Questo sistema di equazioni ha una soluzione unica. .

Puoi anche verificare la soluzione del sistema su una calcolatrice che risolve con il metodo di Cramer: in questo caso, la stessa risposta verrà data se il sistema ha una soluzione univoca.

Soluzione con il metodo di Gauss di problemi applicati sull'esempio di un problema per leghe

I sistemi di equazioni lineari sono usati per modellare oggetti reali del mondo fisico. Risolviamo uno di questi problemi - per le leghe. Compiti simili: compiti per miscele, il costo o il peso specifico dei singoli beni in un gruppo di beni e simili.

Esempio 5 Tre pezzi di lega hanno una massa totale di 150 kg. La prima lega contiene il 60% di rame, la seconda il 30%, la terza il 10%. Allo stesso tempo, nella seconda e terza lega messe insieme, il rame è 28,4 kg in meno rispetto alla prima lega e nella terza lega il rame è 6,2 kg in meno rispetto alla seconda. Trova la massa di ogni pezzo di lega.

Soluzione. Componiamo un sistema di equazioni lineari:

Moltiplicando la seconda e la terza equazione per 10, otteniamo un sistema equivalente di equazioni lineari:

Componiamo la matrice estesa del sistema:

Attenzione, mossa diretta. Sommando (nel nostro caso sottraendo) una riga, moltiplicata per un numero (lo applichiamo due volte), si verificano le seguenti trasformazioni con la matrice espansa del sistema:

Il rettilineo è finito. Abbiamo una matrice espansa di forma trapezoidale.

Usiamo il contrario. Troviamo una soluzione dalla fine. Lo vediamo .

Dalla seconda equazione troviamo

Dalla terza equazione -

Puoi anche verificare la soluzione del sistema su una calcolatrice che risolve con il metodo di Cramer: in questo caso, la stessa risposta verrà data se il sistema ha una soluzione univoca.

La semplicità del metodo di Gauss è testimoniata dal fatto che il matematico tedesco Carl Friedrich Gauss ha impiegato solo 15 minuti per inventarlo. Oltre al metodo del suo nome, tratto dall'opera di Gauss, il detto "Non dobbiamo confondere ciò che ci sembra incredibile e innaturale con l'assolutamente impossibile" è una sorta di breve istruzione per fare scoperte.

In molti problemi applicati potrebbe non esserci una terza restrizione, cioè una terza equazione, quindi è necessario risolvere un sistema di due equazioni con tre incognite usando il metodo di Gauss, o, al contrario, ci sono meno incognite delle equazioni. Iniziamo ora a risolvere tali sistemi di equazioni.

Usando il metodo Gauss, puoi determinare se un sistema è coerente o incoerente n equazioni lineari con n variabili.

Metodo di Gauss e sistemi di equazioni lineari con infinite soluzioni

Il prossimo esempio è un sistema coerente ma indefinito di equazioni lineari, cioè ha un numero infinito di soluzioni.

Dopo aver eseguito le trasformazioni nella matrice espansa del sistema (permutare le righe, moltiplicare e dividere le righe per un certo numero, aggiungere una riga all'altra), le righe del modulo

Se in tutte le equazioni aventi la forma

I membri liberi sono pari a zero, questo significa che il sistema è indefinito, cioè ha un numero infinito di soluzioni, e le equazioni di questo tipo sono “superflue” e sono escluse dal sistema.

Esempio 6

Soluzione. Componiamo la matrice estesa del sistema. Quindi, utilizzando la prima equazione, eliminiamo la variabile dalle equazioni successive. Per fare ciò, alla seconda, terza e quarta riga, aggiungi la prima, moltiplicata rispettivamente per :

Ora aggiungiamo la seconda riga alla terza e alla quarta.

Di conseguenza, arriviamo al sistema

Le ultime due equazioni sono diventate equazioni della forma. Queste equazioni sono soddisfatte per qualsiasi valore delle incognite e possono essere scartate.

Per soddisfare la seconda equazione, possiamo scegliere valori arbitrari per e , quindi il valore per sarà determinato in modo inequivocabile: . Dalla prima equazione, si trova anche in modo univoco il valore per: .

Sia il dato che l'ultimo sistema sono compatibili ma indefiniti e le formule

per arbitrario e dacci tutte le soluzioni del sistema dato.

Metodo di Gauss e sistemi di equazioni lineari senza soluzioni

L'esempio seguente è un sistema incoerente di equazioni lineari, ovvero non ha soluzioni. La risposta a tali problemi è formulata come segue: il sistema non ha soluzioni.

Come già accennato in relazione al primo esempio, dopo aver eseguito trasformazioni nella matrice espansa del sistema, le linee del modulo

corrispondente ad un'equazione della forma

Se tra loro c'è almeno un'equazione con un termine libero diverso da zero (cioè ), allora questo sistema di equazioni è incoerente, cioè non ha soluzioni, e questo completa la sua soluzione.

Esempio 7 Risolvi il sistema di equazioni lineari usando il metodo di Gauss:

Soluzione. Componiamo la matrice estesa del sistema. Utilizzando la prima equazione, escludiamo la variabile dalle equazioni successive. Per fare ciò, aggiungi il primo moltiplicato per alla seconda riga, il primo moltiplicato per la terza riga e il primo moltiplicato per la quarta riga.

Ora è necessario utilizzare la seconda equazione per escludere la variabile dalle equazioni successive. Per ottenere rapporti interi dei coefficienti, scambiamo la seconda e la terza riga della matrice estesa del sistema.

Per escludere dalla terza e dalla quarta equazione, aggiungere la seconda, moltiplicata per , alla terza riga e la seconda, moltiplicata per , alla quarta.

Ora, usando la terza equazione, eliminiamo la variabile dalla quarta equazione. Per fare ciò, alla quarta riga, aggiungi la terza, moltiplicata per .

Il sistema dato è quindi equivalente al seguente:

Il sistema risultante è incoerente, poiché la sua ultima equazione non può essere soddisfatta da nessun valore delle incognite. Pertanto, questo sistema non ha soluzioni.

Consideriamo metodi esatti per risolvere il sistema; ecco la matrice dimensionale

Un metodo per risolvere un problema è classificato come esatto se, assumendo che non vi siano arrotondamenti, fornisce una soluzione esatta al problema dopo un numero finito di operazioni aritmetiche e logiche. Se il numero di elementi diversi da zero della matrice del sistema è dell'ordine di , allora per la maggior parte dei metodi esatti attualmente utilizzati per risolvere tali sistemi, il numero richiesto di operazioni è dell'ordine di . Pertanto, per l'applicabilità di metodi esatti, è necessario che tale ordine del numero di operazioni sia accettabile per un dato computer; altre restrizioni sono imposte dal volume e dalla struttura della memoria del computer.

La clausola sui "metodi attualmente in uso" ha il seguente significato. Esistono metodi per risolvere tali sistemi con un numero inferiore di operazioni, ma non vengono utilizzati attivamente a causa della forte sensibilità del risultato all'errore di calcolo.

Il più famoso dei metodi esatti per risolvere i sistemi di equazioni lineari è il metodo di eliminazione di Gauss. Consideriamo una delle sue possibili implementazioni. Supponendo che , la prima equazione del sistema

dividere per il coefficiente , di conseguenza otteniamo l'equazione

Quindi, da ciascuna delle restanti equazioni, viene sottratta la prima equazione, moltiplicata per il coefficiente appropriato. Di conseguenza, queste equazioni vengono trasformate nella forma

La prima incognita è risultata esclusa da tutte le equazioni tranne la prima. Inoltre, supponendo che , dividiamo la seconda equazione per il coefficiente ed escludiamo l'incognita da tutte le equazioni, a partire dalla seconda, e così via. Come risultato della successiva eliminazione delle incognite, il sistema di equazioni si trasforma in un sistema di equazioni con matrice triangolare

L'insieme dei calcoli eseguiti, durante i quali il problema originario è stato trasformato nella forma (2), è detto corso diretto del metodo di Gauss.

Dall'equazione del sistema (2) determiniamo , da , ecc. fino a . La totalità di tali calcoli è chiamata il corso inverso del metodo di Gauss.

È facile verificare che l'implementazione del movimento in avanti del metodo di Gauss richiede operazioni aritmetiche e l'esecuzione inversa richiede operazioni aritmetiche.

L'eccezione si verifica a seguito delle seguenti operazioni: 1) dividendo l'equazione per , 2) sottraendo l'equazione ottenuta dopo tale divisione, moltiplicata per , dalle equazioni con numeri k . La prima operazione equivale a moltiplicare il sistema di equazioni a sinistra per la matrice diagonale

la seconda operazione equivale alla moltiplicazione a sinistra per la matrice

Pertanto, il sistema (2) ottenuto come risultato di queste trasformazioni può essere scritto come

Il prodotto delle matrici triangolari sinistra (destra) è una matrice triangolare sinistra (destra), quindi C è una matrice triangolare sinistra. Dalla formula per gli elementi della matrice inversa

ne consegue che la matrice inversa a una triangolare sinistra (destra) è triangolare sinistra (destra). Pertanto, la matrice è triangolare sinistra.

Introduciamo la notazione. Secondo la costruzione, tutto e la matrice D sono triangolari rettamente. Da qui otteniamo la rappresentazione della matrice A come prodotto delle matrici triangolari sinistra e destra:

L'uguaglianza, insieme alla condizione , forma un sistema di equazioni rispetto agli elementi delle matrici triangolari B e : . Poiché for e for , questo sistema può essere scritto come

(3)

oppure, che è lo stesso,

Usando la condizione che tutto otteniamo un sistema di relazioni di ricorrenza per determinare gli elementi e :

I calcoli vengono eseguiti in sequenza per gli insiemi. Qui e sotto, nel caso in cui il limite superiore della sommatoria sia inferiore a quello inferiore, si assume che l'intera somma sia uguale a zero.

Pertanto, invece di successive trasformazioni del sistema (1) nella forma (2), si possono calcolare direttamente le matrici B e utilizzare le formule (4). Questi calcoli possono essere eseguiti solo se tutti gli elementi sono diversi da zero. Siano matrici di principali minori dell'ordine delle matrici A, B, D. Secondo (3) . Perché poi . Di conseguenza,

Quindi, per eseguire i calcoli secondo le formule (4), è necessario e sufficiente soddisfare le condizioni

In alcuni casi è noto in anticipo che la condizione (5) è soddisfatta. Ad esempio, molti problemi di fisica matematica si riducono a risolvere sistemi con matrice A definita positiva. Tuttavia, nel caso generale, questo non può essere detto in anticipo. Un caso del genere è anche possibile: tutto, ma tra le quantità ce ne sono di molto piccole e, divise per esse, si ottengono numeri grandi con errori assoluti grandi. Di conseguenza, la soluzione sarà fortemente distorta.

Indichiamo . Da e , allora le uguaglianze valgono. Pertanto, dopo aver scomposto la matrice del sistema originario nel prodotto di matrici triangolari sinistra e destra, la soluzione del sistema originario si riduce alla soluzione sequenziale di due sistemi con matrici triangolari; ciò richiederebbe operazioni aritmetiche.

Spesso è conveniente combinare la sequenza di operazioni per scomporre la matrice A nel prodotto di matrici triangolari e per determinare il vettore d. Equazioni

i sistemi possono essere scritti come

Pertanto, i valori possono essere calcolati contemporaneamente al resto dei valori utilizzando le formule (4).

Quando si risolvono problemi pratici, diventa spesso necessario risolvere sistemi di equazioni con una matrice contenente un gran numero di elementi zero.

Tipicamente, queste matrici hanno una cosiddetta struttura a bande. Più precisamente, la matrice A è detta -diagonale o ha una struttura a bande, se a . Il numero è chiamato larghezza del nastro. Si scopre che quando si risolve un sistema di equazioni con una matrice a nastro con il metodo di Gauss, il numero di operazioni aritmetiche e la quantità richiesta di memoria del computer possono essere notevolmente ridotte.

Compito 1. Indagare le caratteristiche del metodo di Gauss e il metodo per risolvere il sistema utilizzando la scomposizione della matrice a bande A nel prodotto delle matrici triangolari sinistra e destra. Mostra che per trovare la soluzione sono necessarie operazioni aritmetiche (per ). Trova il membro principale del numero di operazioni sotto la condizione .

Compito 2. Stimare la quantità di memoria del computer caricata nel metodo di Gauss per le matrici di bande.

Quando si calcola senza l'aiuto di un computer, la probabilità di errori casuali è alta. Per eliminare tali errori, a volte viene introdotto un sistema di controllo, costituito da elementi di controllo delle equazioni del sistema

Quando si trasformano le equazioni, sugli elementi di controllo vengono eseguite le stesse operazioni che sui membri liberi delle equazioni. Di conseguenza, l'elemento di controllo di ogni nuova equazione deve essere uguale alla somma dei coefficienti di questa equazione. Una grande discrepanza tra di loro indica errori nei calcoli o l'instabilità dell'algoritmo di calcolo in relazione all'errore di calcolo.

Ad esempio, nel caso di portare il sistema di equazioni nella forma utilizzando le formule (4), l'elemento di controllo di ciascuna delle equazioni del sistema viene calcolato utilizzando le stesse formule (4). Dopo aver calcolato tutti gli elementi ad un determinato controllo si effettua verificando l'uguaglianza

L'andamento inverso del metodo di Gauss è accompagnato anche dal calcolo degli elementi di controllo delle righe del sistema.

Per evitare l'influenza catastrofica dell'errore computazionale, si utilizza il metodo gaussiano con la scelta dell'elemento principale.

La sua differenza dallo schema del metodo gaussiano sopra descritto è la seguente. Sia, nel corso dell'eliminazione delle incognite, il sistema di equazioni

Troviamo tale che e ridenotiamo e ; quindi elimineremo l'incognita da tutte le equazioni, iniziando con . Tale ridenominazione porta a un cambiamento nell'ordine di eliminazione delle incognite e in molti casi riduce significativamente la sensibilità della soluzione agli errori di arrotondamento nei calcoli.

Spesso è necessario risolvere più sistemi di equazioni, con la stessa matrice A. Conviene procedere come segue: introducendo la notazione

Eseguiamo calcoli usando le formule (4) e calcoliamo gli elementi in . Come risultato si otterranno p sistemi di equazioni a matrice triangolare, corrispondenti al problema originale

Risolviamo questi sistemi ciascuno separatamente. Si scopre che il numero totale di operazioni aritmetiche per risolvere p sistemi di equazioni in questo modo è .

La tecnica sopra descritta viene talvolta utilizzata al fine di ottenere un giudizio sull'errore della soluzione, conseguenza di errori di arrotondamento nei calcoli, senza significativi costi aggiuntivi. Sono dati dal vettore z con componenti aventi, se possibile, lo stesso ordine e segno delle componenti della soluzione voluta; spesso a causa della mancanza di informazioni sufficienti che prendono. Il vettore viene calcolato e, insieme al sistema di equazioni originale, il sistema viene risolto.

Siano ez effettivamente ottenute soluzioni di questi sistemi. Il giudizio sull'errore della soluzione desiderata può essere ottenuto in base all'ipotesi: gli errori relativi nella risoluzione con il metodo di eliminazione di sistemi con la stessa matrice e diversi lati destri, che sono, rispettivamente, i valori e , differiscono non un numero molto elevato di volte.

Un'altra tecnica per ottenere un giudizio sul valore reale dell'errore che deriva dall'arrotondamento nei calcoli è cambiare la scala, che cambia il quadro dell'accumulo dell'errore di calcolo.

Insieme al sistema originale, il sistema viene risolto con lo stesso metodo

Per e , che non sono potenze intere di due, il confronto dei vettori e dà un'idea dell'entità dell'errore di calcolo. Ad esempio, puoi prendere .

Lo studio di molti problemi porta alla necessità di risolvere sistemi di equazioni lineari con matrice definita positiva simmetrica. Tali sistemi sorgono, ad esempio, quando si risolvono equazioni differenziali con il metodo degli elementi finiti o con i metodi alle differenze finite. In questi casi, anche la matrice del sistema ha una struttura a bande.

Per risolvere tali sistemi, così come i sistemi di equazioni di forma più generale con una matrice hermitiana che non è necessariamente definita positiva, viene utilizzato il metodo della radice quadrata (il metodo di Cholesky). La matrice A è rappresentata come

dove S è una matrice triangolare retta, è il suo coniugato, cioè

essendo tutti una matrice diagonale con elementi uguali o -1. L'uguaglianza di matrice (6) forma un sistema di equazioni

Equazioni simili per vengono scartate, poiché le equazioni corrispondenti alle coppie e sono equivalenti. Da qui si ottengono formule ricorrenti per la determinazione degli elementi e :

La matrice S è triangolare retta e quindi, ottenuta la rappresentazione (6), la soluzione del sistema originario si riduce anche alla Soluzione sequenziale di due sistemi con matrici triangolari. Si noti che nel caso di tutti e .

Compito 3. Stimare il numero di operazioni aritmetiche e il carico di memoria del computer (supponendo che la quantità di memoria richiesta per memorizzare la matrice A diminuisca) quando si risolve un sistema con una matrice definita positiva reale A con il metodo della radice quadrata.

Molti pacchetti software per la risoluzione di problemi ai limiti della fisica matematica con il metodo degli elementi finiti sono organizzati secondo lo schema seguente. Dopo che la matrice del sistema A è stata formata riorganizzando righe e colonne (sia le righe che le colonne vengono riorganizzate contemporaneamente), il sistema viene convertito nel modulo con la larghezza del nastro più piccola. Successivamente, viene applicato il metodo della radice quadrata. Allo stesso tempo, per ridurre la quantità di calcoli quando si risolve un sistema con altri membri destri, viene memorizzata la matrice S.

Sezione 3. Metodi numerici per la risoluzione di equazioni

Tipi di modelli matematici (equazioni) nella teoria dei circuiti elettrici

1. - sistemi di equazioni algebriche lineari –

circuiti lineari di corrente alternata (metodo complesso) continua e sinusoidale.

2 . - sistemi di algebrica non lineare o

equazioni trascendentali - circuiti non lineari di corrente continua o sinusoidale.

3. . – sistemi di differenziali non lineari

equazioni del primo ordine in derivate ordinarie - processi transitori in circuiti non lineari.

Qui F e ψ sono funzioni vettoriali, cioè equivale a scrivere:

f 1 (X, b 1) = 0

f 2 (X, b 2) = 0

…………

f n (X, b n) = 0

un - record:

ψ 1 (dX/dt,X,b 1 ,t) = 0

ψ 2 (dX/dt,X,b 2 ,t) = 0

…………………..

ψ n (dX/dt,X,b n ,t) = 0

Considera i metodi più efficienti per risolvere queste equazioni.

Metodi numerici per la risoluzione di sistemi di equazioni algebriche lineari (LAE)

Metodo di Gauss (eliminazione delle incognite)

I metodi di risoluzione LAE sono importanti perché vengono applicati (iterativamente) per risolvere equazioni più complesse.

Sia dato il sistema LAE nella forma:

,

dove è una matrice quadrata n–esimo ordine con elementi diagonali diversi da zero; - vettore di incognite; è il vettore delle parti giuste.

L'algoritmo del metodo di Gauss è costituito da diretto e inversione muoversi. Durante il movimento in avanti, le incognite vengono eliminate in sequenza. Il sistema assume la forma:

I coefficienti vengono ricalcolati secondo la formula:

, dove io, j = k+1, …n con un'eccezione K th sconosciuto.

In questo caso, è conveniente considerare la colonna dei lati destri come n + 1 colonna della matrice dei coefficienti, cioè j = k+1, …n+1.

La mossa inversa consiste nel determinare le incognite, partendo dall'ultima equazione in cui rimane una sola incognita x n. Valore ricevuto x n viene sostituito nell'equazione precedente e determinato xn-1 eccetera.

Per un arbitrario xk si ottiene la seguente formula:

dove k = n, n -1,…1.

La complessità del metodo di Gauss è stimata dal numero di operazioni aritmetiche eseguite:

.

La dipendenza cubica dalla dimensione del problema limita notevolmente la complessità dei circuiti analizzati. Tuttavia, se alcuni dei coefficienti aik nella matrice è zero, cioè lei è scarso, diventa possibile ridurre l'intensità del lavoro.

L'idea principale del metodo della matrice sparsa è prendere in considerazione quando si calcola e si memorizzano solo elementi diversi da zero della matrice. Il grado di radianza della matrice è caratterizzato dal fattore di riempimento:

dove n noè il numero di elementi diversi da zero.

Esistono matrici di coefficienti di tipo speciale: matrici a banda, quando elementi diversi da zero si trovano lungo la diagonale principale; e blocco-diagonale, quando blocchi diversi da zero si trovano lungo la diagonale principale. Ci sono anche blocchi diagonali con bordo.

Esempio di matrice di bande Esempio di matrice diagonale a blocchi

Esempio di matrice con bordi diagonali a blocchi

Per loro sono state sviluppate soluzioni efficaci speciali. Per diagonale - metodo spazza. L'equazione del blocco è divisa in gruppi separati di equazioni per blocchi, che vengono risolti con il metodo di Gauss. Per i bordi diagonali a blocchi, esistono metodi diacottici per la risoluzione.

diacottici- un approccio allo studio dei sistemi complessi, che consiste nel dividere il sistema in parti e analizzarlo in parti, tenendo conto di tutte le connessioni tra le parti selezionate.

Due sistemi di equazioni lineari si dicono equivalenti se l'insieme di tutte le loro soluzioni è lo stesso.

Le trasformazioni elementari del sistema di equazioni sono:

1. Cancellazione dal sistema di equazioni banali, cioè quelli per i quali tutti i coefficienti sono uguali a zero;
2. Moltiplicando qualsiasi equazione per un numero diverso da zero;
3. Somma a qualsiasi i -esima equazione di qualsiasi j -esima equazione, moltiplicata per qualsiasi numero.

La variabile x i è chiamata libera se questa variabile non è consentita ed è consentito l'intero sistema di equazioni.

Teorema. Le trasformazioni elementari trasformano il sistema di equazioni in uno equivalente.

Il significato del metodo di Gauss è trasformare il sistema di equazioni originale e ottenere un sistema equivalente consentito o equivalente incoerente.

Quindi, il metodo di Gauss consiste nei seguenti passaggi:

1. Considera la prima equazione. Scegliamo il primo coefficiente diverso da zero e dividiamo l'intera equazione per esso. Otteniamo un'equazione in cui una variabile x i entra con un coefficiente di 1;
2. Sottraiamo questa equazione da tutte le altre, moltiplicandola per numeri tali che i coefficienti per la variabile x i nelle restanti equazioni siano a zero. Otteniamo un sistema che si risolve rispetto alla variabile x i ed è equivalente a quello originario;
3. Se sorgono equazioni banali (raramente, ma succede; ad esempio, 0 = 0), le cancelliamo dal sistema. Di conseguenza, le equazioni diventano una in meno;
4. Ripetiamo i passaggi precedenti non più di n volte, dove n è il numero di equazioni nel sistema. Ogni volta selezioniamo una nuova variabile per “elaborazione”. Se sorgono equazioni in conflitto (ad esempio, 0 = 8), il sistema è incoerente.

Di conseguenza, dopo alcuni passaggi otteniamo o un sistema consentito (possibilmente con variabili libere) o uno incoerente. I sistemi ammessi rientrano in due casi:

1. Il numero di variabili è uguale al numero di equazioni. Quindi il sistema è definito;
2. Il numero di variabili è maggiore del numero di equazioni. Raccogliamo tutte le variabili libere sulla destra: otteniamo formule per le variabili consentite. Queste formule sono scritte nella risposta.

È tutto! Il sistema di equazioni lineari è risolto! Questo è un algoritmo abbastanza semplice e per padroneggiarlo non è necessario contattare un tutor di matematica. Considera un esempio:

Un compito. Risolvi il sistema di equazioni:

Descrizione dei passaggi:

1. Sottraiamo la prima equazione dalla seconda e dalla terza: otteniamo la variabile consentita x 1;
2. Moltiplichiamo la seconda equazione per (−1) e dividiamo la terza equazione per (−3) - otteniamo due equazioni in cui la variabile x 2 entra con un coefficiente di 1;
3. Aggiungiamo la seconda equazione alla prima e sottraiamo dalla terza. Otteniamo la variabile consentita x 2 ;
4. Infine, sottraiamo la terza equazione dalla prima - otteniamo la variabile consentita x 3 ;
5. Abbiamo ricevuto un sistema autorizzato, scriviamo la risposta.

La soluzione generale di un sistema congiunto di equazioni lineari è un nuovo sistema, equivalente a quello originale, in cui tutte le variabili consentite sono espresse in termini di variabili libere.

Quando potrebbe essere necessaria una soluzione generale? Se devi fare meno passi di k (k è quante equazioni in totale). Tuttavia, le ragioni per cui il processo si conclude ad un certo punto l< k , может быть две:

1. Dopo l'l -esimo passaggio, otteniamo un sistema che non contiene un'equazione con il numero (l + 1). In effetti, questo è un bene, perché. il sistema risolto viene comunque ricevuto, anche qualche passaggio prima.
2. Dopo l'l -esimo passo si ottiene un'equazione in cui tutti i coefficienti delle variabili sono uguali a zero e il coefficiente libero è diverso da zero. Questa è un'equazione incoerente e, quindi, il sistema è incoerente.

È importante capire che l'aspetto di un'equazione incoerente con il metodo di Gauss è una ragione sufficiente per l'incoerenza. Allo stesso tempo, notiamo che come risultato del l -esimo passaggio, le equazioni banali non possono rimanere: tutte vengono eliminate direttamente nel processo.

Descrizione dei passaggi:

1. Sottrarre la prima equazione per 4 dalla seconda. E aggiungi anche la prima equazione alla terza: otteniamo la variabile consentita x 1;
2. Sottraiamo la terza equazione, moltiplicata per 2, dalla seconda - otteniamo l'equazione contraddittoria 0 = −5.

Quindi, il sistema è incoerente, poiché è stata trovata un'equazione incoerente.

Un compito. Indagare la compatibilità e trovare la soluzione generale del sistema:

Descrizione dei passaggi:

1. Sottraiamo la prima equazione dalla seconda (dopo averla moltiplicata per due) e dalla terza: otteniamo la variabile consentita x 1;
2. Sottrarre la seconda equazione dalla terza. Poiché tutti i coefficienti in queste equazioni sono uguali, la terza equazione diventa banale. Allo stesso tempo, moltiplichiamo la seconda equazione per (−1);
3. Sottraiamo la seconda equazione dalla prima equazione: otteniamo la variabile consentita x 2. Anche l'intero sistema di equazioni è ora risolto;
4. Poiché le variabili x 3 e x 4 sono libere, le spostiamo a destra per esprimere le variabili consentite. Questa è la risposta.

Quindi, il sistema è congiunto e indefinito, poiché ci sono due variabili consentite (x 1 e x 2) e due libere (x 3 e x 4).

Si consideri un sistema di m equazioni lineari con n incognite

Trasformazioni elementari i sistemi (4.12) sono chiamati:

1. permutazione di due equazioni qualsiasi;
2. moltiplicando entrambi i membri di qualsiasi equazione per qualsiasi numero diverso da zero;
3. sommando ad entrambe le parti di una delle equazioni le parti corrispondenti dell'altra, moltiplicate per un numero qualsiasi.

Ovviamente le trasformazioni elementari trasformano un sistema lineare in uno equivalente.

sistema a gradini chiamato sistema di equazioni lineari tipo

(4.13)

dove . I coefficienti a ii sono chiamati principale, o primo, elementi del sistema. Ad esempio, il sistema

Ha un aspetto a gradini.

Se nel sistema (4.13) k = n , allora viene chiamato triangolare. È ovvio che in questo caso è definitivo.

Se k< n , то k неизвестных х 1 , х 2 , ..., х к , называют elementi principali. Possono essere espressi in termini delle restanti n – k incognite, chiamate gratuito. In questo caso verrà chiamato il sistema (4.13). incerto.

Torniamo a un sistema arbitrario (4.12) e, per certezza, assumiamo che . Se questo non è il caso, allora con identiche trasformazioni lineari del sistema (4.12) si può sempre ottenere il soddisfacimento di questa condizione. Elimina x 1 da tutte le equazioni tranne la prima. Per fare ciò, moltiplichiamo entrambe le parti della prima equazione per un 21 / a 11 e sottraiamo dalle parti corrispondenti della seconda equazione. Quindi moltiplichiamo entrambe le parti della prima equazione per un 31 / a 11 e sottraiamo dalle parti corrispondenti della terza. E così faremo con ogni seguente equazione. Inoltre, allo stesso modo, escludiamo x 2 dalla terza, quarta e così via. Come risultato di tali trasformazioni, otteniamo un sistema a gradini compatibile o arriviamo a un sistema incompatibile in cui una delle equazioni ha un termine libero diverso da zero e tutti gli altri coefficienti sul lato sinistro sono uguali a zero. In quest'ultimo caso, anche il sistema (4.12) sarà incompatibile.

Esempio 6. Risolvi il sistema

Soluzione. I calcoli sono convenientemente scritti secondo il cosiddetto schema a divisione singola, con cui operano coefficienti di sistema.

x1	x2	x3	B
1	2	1	9	13
1	1	2	8	12
2	1	1	7	11
1	2	1	9	13
0	-1	1	-1	-1
0	-3	-1	11	15
1	2	1	9	13
0	-1	1	-1	-1
0	0	-4	-8	-12

Il risultato è un sistema triangolare.