Koordinatės naudojamos norint nustatyti objekto vietą pasaulyje. Koordinatės nurodomos ilguma ir platuma. Platumos matuojamos nuo pusiaujo linijos abiejose pusėse. Šiauriniame pusrutulyje platumos yra teigiamos, Pietų pusrutulyje – neigiamos. Ilguma matuojama nuo pradinio dienovidinio arba į rytus, arba į vakarus, atitinkamai gaunama rytų arba vakarų ilguma.

Pagal visuotinai priimtą poziciją dienovidinis laikomas pradiniu, kuris eina per senąją Grinvičo observatoriją Grinviče. Vietos geografines koordinates galima gauti naudojant GPS navigatorių. Šis prietaisas priima signalus iš palydovinės padėties nustatymo sistemos WGS-84 koordinačių sistemoje, vienodai visam pasauliui.

Navigatorių modeliai skiriasi gamintojais, funkcionalumu ir sąsaja. Šiuo metu kai kuriuose mobiliųjų telefonų modeliuose yra įmontuoti GPS navigatoriai. Bet bet koks modelis gali įrašyti ir išsaugoti taško koordinates.

Atstumas tarp GPS koordinačių

Norint išspręsti praktines ir teorines kai kurių pramonės šakų problemas, reikia mokėti nustatyti atstumus tarp taškų pagal jų koordinates. Norėdami tai padaryti, galite naudoti kelis metodus. Kanoninis geografinių koordinačių vaizdavimas: laipsniai, minutės, sekundės.

Pavyzdžiui, galite nustatyti atstumą tarp šių koordinačių: taško Nr. 1 – platumos 55°45′07″ šiaurės platumos, 37°36′56″ rytų ilgumos; taškas Nr. 2 – platuma 58°00′02″ šiaurės platumos, 102°39′42″ rytų ilguma

Paprasčiausias būdas yra naudoti -skaičiuotuvą, kad apskaičiuotumėte atstumą tarp dviejų taškų. Naršyklės paieškos sistemoje turite nustatyti šiuos paieškos parametrus: online – skaičiuoti atstumą tarp dviejų koordinačių. Internetinėje skaičiuoklėje platumos ir ilgumos reikšmės įvedamos į pirmosios ir antrosios koordinačių užklausos laukus. Skaičiuojant internetinė skaičiuoklė davė rezultatą – 3 800 619 m.

Kitas metodas reikalauja daugiau laiko, bet ir vizualesnis. Būtina naudoti bet kurią turimą žemėlapių ar navigacijos programą. Programos, kuriose galite kurti taškus pagal koordinates ir matuoti atstumus tarp jų, apima šias programas: BaseCamp (modernus MapSource programos analogas), Google Earth, SAS.Planet.

Visos aukščiau išvardytos programos yra prieinamos bet kuriam tinklo vartotojui. Pavyzdžiui, norėdami apskaičiuoti atstumą tarp dviejų koordinačių programoje Google Earth, turite sukurti dvi etiketes, nurodančias pirmojo ir antrojo taško koordinates. Tada naudojant liniuotės įrankį reikia sujungti pirmą ir antrą žymes linija, programa automatiškai pateiks matavimo rezultatą ir parodys kelią palydoviniame Žemės vaizde.

Aukščiau pateikto pavyzdžio atveju programa Google Earth grąžino rezultatą – atstumo tarp taško #1 ir taško #2 ilgis yra 3 817 353 m.

Kodėl klaida nustatant atstumą

Visi atstumo tarp koordinačių skaičiavimai yra pagrįsti lanko ilgio skaičiavimais. Apskaičiuojant lanko ilgį, dalyvauja Žemės spindulys. Bet kadangi Žemės forma yra artima pailgam elipsoidui, Žemės spindulys tam tikruose taškuose skiriasi. Norint apskaičiuoti atstumą tarp koordinačių, imama vidutinė Žemės spindulio reikšmė, kuri duoda matavimo paklaidą. Kuo didesnis išmatuotas atstumas, tuo didesnė paklaida.

Atstumas tarp dviejų taškų plokštumoje.
Koordinačių sistemos

Kiekvienas plokštumos taškas A apibūdinamas jo koordinatėmis (x, y). Jos sutampa su vektoriaus 0A koordinatėmis, išeinančiomis iš taško 0 – pradžios.

Tegu A ir B yra savavališki plokštumos taškai su atitinkamai (x 1 y 1) ir (x 2, y 2) koordinatėmis.

Tada vektorius AB akivaizdžiai turi koordinates (x 2 - x 1, y 2 - y 1). Yra žinoma, kad vektoriaus ilgio kvadratas yra lygus jo koordinačių kvadratų sumai. Todėl atstumas d tarp taškų A ir B arba, kas yra tas pats, vektoriaus AB ilgis, nustatomas iš sąlygos

d 2 \u003d (x 2 - x 1) 2 + (y 2 - y 1) 2.

d \u003d \ / (x 2 - x 1) 2 + (y 2 - y 1) 2

Gauta formulė leidžia rasti atstumą tarp bet kurių dviejų plokštumos taškų, jei žinomos tik šių taškų koordinatės

Kiekvieną kartą, kalbėdami apie vieno ar kito plokštumos taško koordinates, turime omenyje tiksliai apibrėžtą koordinačių sistemą x0y. Apskritai koordinačių sistemą plokštumoje galima pasirinkti įvairiais būdais. Taigi vietoj x0y koordinačių sistemos galime laikyti x"0y" koordinačių sistemą, kuri gaunama pasukus senąsias koordinačių ašis aplink pradinį tašką 0 prieš laikrodžio rodyklę strėlės ant kampo α .

Jei kuris nors plokštumos taškas x0y koordinačių sistemoje turėjo koordinates (x, y), tai naujoje x"0y" koordinačių sistemoje jis turės kitas koordinates (x, y").

Kaip pavyzdį apsvarstykite tašką M, esantį ašyje 0x" ir nutolusį nuo taško 0 atstumu, lygiu 1.

Akivaizdu, kad x0y koordinačių sistemoje šis taškas turi koordinates (cos α , nuodėmė α ), o koordinačių sistemoje x"0y" koordinatės yra (1,0).

Bet kurių dviejų plokštumos A ir B taškų koordinatės priklauso nuo to, kaip šioje plokštumoje nustatyta koordinačių sistema. Tačiau atstumas tarp šių taškų nepriklauso nuo to, kaip nurodyta koordinačių sistema. Šia svarbia aplinkybe iš esmės pasinaudosime kitame skyriuje.

Pratimai

I. Raskite atstumus tarp plokštumos taškų su koordinatėmis:

1) (3.5) ir (3.4); 3) (0,5) ir (5, 0); 5) (-3,4) ir (9, -17);

2) (2, 1) ir (- 5, 1); 4) (0,7) ir (3,3); 6) (8, 21) ir (1, -3).

II. Raskite trikampio, kurio kraštinės pateiktos pagal lygtis, perimetrą:

x + y - 1 = 0, 2x - y - 2 = 0 ir y = 1.

III. x0y koordinačių sistemoje taškai M ir N turi atitinkamai koordinates (1, 0) ir (0,1). Raskite šių taškų koordinates naujoje koordinačių sistemoje, kuri taip pat gaunama pasukus senąsias ašis aplink pradinį tašką 30 ° kampu prieš laikrodžio rodyklę.

IV. x0y koordinačių sistemoje taškai M ir N turi koordinates (2, 0) ir (\ / atitinkamai 3/2, - 1/2). Raskite šių taškų koordinates naujoje koordinačių sistemoje, kuri gaunama pasukus senąsias ašis aplink pradinį tašką 30° kampu pagal laikrodžio rodyklę.

Atstumas nuo taško iki taško yra atkarpos, jungiančios šiuos taškus, ilgis tam tikroje skalėje. Taigi, matuojant atstumą, būtina žinoti skalę (ilgio vienetą), kurioje bus atliekami matavimai. Todėl atstumo nuo taško iki taško nustatymo problema dažniausiai nagrinėjama arba koordinačių tiesėje, arba stačiakampėje Dekarto koordinačių sistemoje plokštumoje arba trimatėje erdvėje. Kitaip tariant, dažniausiai atstumą tarp taškų tenka skaičiuoti pagal jų koordinates.

Šiame straipsnyje mes, pirma, primename, kaip nustatomas atstumas nuo taško iki taško koordinačių tiesėje. Toliau gauname atstumo tarp dviejų plokštumos ar erdvės taškų apskaičiavimo formules pagal nurodytas koordinates. Apibendrinant, mes išsamiai apsvarstome tipiškų pavyzdžių ir problemų sprendimus.

Puslapio naršymas.

Atstumas tarp dviejų taškų koordinačių tiesėje.

Pirmiausia apibrėžkime žymėjimą. Atstumas nuo taško A iki taško B bus pažymėtas kaip .

Iš to galime daryti išvadą atstumas nuo taško A su koordinate iki taško B su koordinate yra lygus koordinačių skirtumo moduliui, tai yra, bet kokiam taškų išdėstymui koordinačių tiesėje.

Atstumas nuo taško iki taško plokštumoje, formulė.

Gaukime formulę, kaip apskaičiuoti atstumą tarp taškų ir pateiktą stačiakampėje Dekarto koordinačių sistemoje plokštumoje.

Atsižvelgiant į taškų A ir B vietą, galimi šie variantai.

Jei taškai A ir B sutampa, tai atstumas tarp jų lygus nuliui.

Jei taškai A ir B yra tiesėje, statmenoje x ašiai, tada taškai ir sutampa, o atstumas lygus atstumui. Ankstesnėje pastraipoje išsiaiškinome, kad atstumas tarp dviejų taškų koordinačių tiesėje yra lygus jų koordinačių skirtumo moduliui, todėl . Vadinasi,.

Panašiai, jei taškai A ir B yra tiesėje, statmenoje y ašiai, tada atstumas nuo taško A iki taško B yra kaip .

Šiuo atveju trikampis ABC yra stačiakampio konstrukcijos ir ir . Autorius Pitagoro teorema galime parašyti lygybę , iš kur .

Apibendrinkime visus rezultatus: atstumas nuo taško iki taško plokštumoje randamas per taškų koordinates pagal formulę .

Gautą formulę atstumui tarp taškų rasti galima naudoti, kai taškai A ir B sutampa arba yra tiesėje, statmenoje vienai iš koordinačių ašių. Iš tiesų, jei A ir B yra vienodi, tada . Jei taškai A ir B yra tiesioje linijoje, statmenoje Ox ašiai, tada . Jei A ir B guli tiesioje linijoje, statmenoje Oy ašiai, tada .

Atstumas tarp taškų erdvėje, formulė.

Įveskime erdvėje stačiakampę koordinačių sistemą Оxyz. Gaukite atstumo nuo taško nustatymo formulę iki taško .

Apskritai taškai A ir B nėra plokštumoje, lygiagrečioje vienai iš koordinačių plokštumų. Brėžkime per taškus A ir B plokštumoje, statmenoje koordinačių ašims Ox, Oy ir Oz. Šių plokštumų susikirtimo taškai su koordinačių ašimis suteiks taškų A ir B projekcijas šiose ašyse. Pažymėkite projekcijas .

Norimas atstumas tarp taškų A ir B yra paveikslėlyje pavaizduoto stačiakampio gretasienio įstrižainė. Pagal konstrukciją šio gretasienio matmenys yra ir . Gimnazijos geometrijos kurse buvo įrodyta, kad stačiakampio gretasienio įstrižainės kvadratas yra lygus jo trijų matmenų kvadratų sumai, todėl. Remdamiesi šio straipsnio pirmojoje dalyje pateikta informacija, galime parašyti tokias lygybes, todėl

kur gauname atstumo tarp taškų erdvėje nustatymo formulė .

Ši formulė taip pat galioja, jei taškai A ir B

• suderinti;
• priklauso vienai iš koordinačių ašių arba tiesei, lygiagrečiai vienai iš koordinačių ašių;
• priklauso vienai iš koordinačių plokštumų arba plokštumai, lygiagrečiai vienai iš koordinačių plokštumų.

Atstumo nuo taško iki taško nustatymas, pavyzdžiai ir sprendimai.

Taigi, gavome formules, kaip rasti atstumą tarp dviejų koordinačių linijos taškų, plokštumos ir trimatės erdvės. Atėjo laikas apsvarstyti tipinių pavyzdžių sprendimus.

Užduočių, kurių paskutinis žingsnis yra surasti atstumą tarp dviejų taškų pagal jų koordinates, skaičius yra tikrai didžiulis. Išsami tokių pavyzdžių apžvalga nepatenka į šio straipsnio taikymo sritį. Čia apsiribojame pavyzdžiais, kuriuose žinomos dviejų taškų koordinatės ir reikia apskaičiuoti atstumą tarp jų.

Šiame straipsnyje mes apsvarstysime būdus, kaip teoriškai ir konkrečių užduočių pavyzdžiu nustatyti atstumą nuo taško iki taško. Pradėkime nuo kai kurių apibrėžimų.

Yandex.RTB R-A-339285-1 1 apibrėžimas

Atstumas tarp taškų- tai juos jungiančios atkarpos ilgis esamoje skalėje. Norint turėti matavimo ilgio vienetą, būtina nustatyti skalę. Todėl iš esmės atstumo tarp taškų nustatymo problema sprendžiama naudojant jų koordinates koordinačių tiesėje, koordinačių plokštumoje arba trimatėje erdvėje.

Pradiniai duomenys: koordinačių tiesė O x ir ant jos esantis savavališkas taškas A. Bet kuriam tiesės taškui būdingas vienas realusis skaičius: tegul tai yra tam tikras taško A skaičius xA, tai taško A koordinatė.

Apskritai galime sakyti, kad tam tikros atkarpos ilgio įvertinimas įvyksta lyginant su atkarpa, imama kaip ilgio vienetas tam tikroje skalėje.

Jei taškas A atitinka sveikąjį realųjį skaičių, iš taško O į tašką išilgai tiesės O A atidėję iš eilės atkarpas - ilgio vienetus, atkarpos O A ilgį galime nustatyti pagal bendrą laukiančių atskirų atkarpų skaičių.

Pavyzdžiui, taškas A atitinka skaičių 3 - norint patekti į jį iš taško O, reikės atidėti tris vieneto segmentus. Jei taško A koordinatė yra – 4, pavieniai atkarpos brėžiamos panašiai, tik kita, neigiama kryptimi. Taigi pirmuoju atveju atstumas O A yra 3; antruoju atveju O A \u003d 4.

Jei taškas A turi racionalųjį skaičių kaip koordinatę, tada nuo pradžios (taško O) atidedame sveikąjį skaičių vienetinių atkarpų, o tada jo reikiamą dalį. Tačiau geometriškai ne visada įmanoma atlikti matavimą. Pavyzdžiui, atrodo sunku atidėti koordinačių tiesioginę trupmeną 4 111 .

Tokiu būdu visiškai neįmanoma atidėti neracionalaus skaičiaus tiesėje. Pavyzdžiui, kai taško A koordinatė lygi 11 . Tokiu atveju galima pereiti prie abstrakcijos: jei duotoji taško A koordinatė yra didesnė už nulį, tada O A \u003d x A (skaičius imamas kaip atstumas); jei koordinatė mažesnė už nulį, tai O A = - x A . Apskritai šie teiginiai galioja bet kuriam realiajam skaičiui x A .

Apibendrinant: atstumas nuo pradžios iki taško, kuris atitinka realų skaičių koordinačių tiesėje, yra lygus:

• 0, jei taškas sutampa su pradžia;

• x A, jei x A > 0;

• - x A, jei x A< 0 .

Šiuo atveju akivaizdu, kad paties atkarpos ilgis negali būti neigiamas, todėl naudodamiesi modulio ženklu koordinate užrašome atstumą nuo taško O iki taško A x A: O A = x A

Teisingas teiginys būtų toks: atstumas nuo vieno taško iki kito bus lygus koordinačių skirtumo moduliui. Tie. taškams A ir B, esantiems toje pačioje koordinačių tiesėje bet kurioje vietoje ir turintiems atitinkamai koordinates x A ir x B: A B = x B - x A .

Pradiniai duomenys: taškai A ir B, esantys plokštumoje stačiakampėje koordinačių sistemoje O x y su nurodytomis koordinatėmis: A (x A , y A) ir B (x B , y B) .

Per taškus A ir B nubrėžkime statmenas koordinačių ašims O x ir O y ir gaukime projekcijos taškus: A x , A y , B x , B y . Atsižvelgiant į taškų A ir B vietą, galimos šios parinktys:

Jei taškai A ir B sutampa, tai atstumas tarp jų lygus nuliui;

Jei taškai A ir B yra tiesėje, statmenoje O x ašiai (abscisių ašiai), tada taškai ir sutampa, ir | A B | = | A y B y | . Kadangi atstumas tarp taškų lygus jų koordinačių skirtumo moduliui, tai A y B y = y B - y A , taigi, A B = A y B y = y B - y A .

Jei taškai A ir B yra tiesėje, statmenoje O y ašiai (y ašiai), pagal analogiją su ankstesne pastraipa: A B = A x B x = x B - x A

Jei taškai A ir B nėra tiesėje, statmenoje vienai iš koordinačių ašių, atstumą tarp jų randame išvedami skaičiavimo formulę:

Matome, kad trikampis A B C pagal konstrukciją yra stačiakampis. Šiuo atveju A C = A x B x ir B C = A y B y . Naudodami Pitagoro teoremą sudarome lygybę: AB 2 = AC 2 + BC 2 ⇔ AB 2 = A x B x 2 + A y B y 2, o tada transformuojame: AB = A x B x 2 + A y B y 2 = x B - x A 2 + y B - y A 2 = (x B - x A) 2 + (y B - y A) 2

Iš gauto rezultato padarykime išvadą: atstumas nuo taško A iki taško B plokštumoje nustatomas skaičiuojant pagal formulę naudojant šių taškų koordinates.

A B = (x B - x A) 2 + (y B - y A) 2

Gauta formulė patvirtina ir anksčiau suformuotus teiginius taškų ar situacijų sutapimo atvejams, kai taškai guli ant tiesių, statmenų ašims. Taigi taškų A ir B sutapimo atveju lygybė bus teisinga: A B = (x B - x A) 2 + (y B - y A) 2 = 0 2 + 0 2 = 0

Situacijai, kai taškai A ir B yra tiesėje, statmenoje x ašiai:

A B = (x B - x A) 2 + (y B - y A) 2 = 0 2 + (y B - y A) 2 = y B - y A

Tuo atveju, kai taškai A ir B yra tiesėje, statmenoje y ašiai:

A B = (x B - x A) 2 + (y B - y A) 2 = (x B - x A) 2 + 0 2 = x B - x A

Pradiniai duomenys: stačiakampė koordinačių sistema O x y z su joje esančiais savavališkais taškais su nurodytomis koordinatėmis A (x A , y A , z A) ir B (x B , y B , z B) . Būtina nustatyti atstumą tarp šių taškų.

Apsvarstykite bendrą atvejį, kai taškai A ir B nėra plokštumoje, lygiagrečioje vienai iš koordinačių plokštumų. Nubrėžkite taškų A ir B plokštumas, statmenas koordinačių ašims, ir gaukite atitinkamus projekcijos taškus: A x , A y , A z , B x , B y , B z

Atstumas tarp taškų A ir B yra gauto langelio įstrižainė. Pagal šios dėžės matavimo konstrukciją: A x B x , A y B y ir A z B z

Iš geometrijos eigos žinoma, kad gretasienio įstrižainės kvadratas yra lygus jo matmenų kvadratų sumai. Remdamiesi šiuo teiginiu, gauname lygybę: A B 2 \u003d A x B x 2 + A y B y 2 + A z B z 2

Remdamiesi anksčiau gautomis išvadomis, rašome taip:

A x B x = x B - x A , A y B y = y B - y A , A z B z = z B - z A

Pakeiskime išraišką:

AB 2 = A x B x 2 + A y B y 2 + A z B z 2 = x B - x A 2 + y B - y A 2 + z B - z A 2 = = (x B - x A) 2 + (y B - y A) 2 + z B - z A 2

Galutinis atstumo tarp taškų erdvėje nustatymo formulė atrodys taip:

A B = x B - x A 2 + y B - y A 2 + (z B - z A) 2

Gauta formulė taip pat galioja tais atvejais, kai:

Taškai sutampa;

Jie yra toje pačioje koordinačių ašyje arba tiesėje, lygiagrečioje vienai iš koordinačių ašių.

Atstumo tarp taškų nustatymo uždavinių sprendimo pavyzdžiai

1 pavyzdys

Pradiniai duomenys: pateikta koordinačių linija ir joje esantys taškai su nurodytomis koordinatėmis A (1 - 2) ir B (11 + 2). Būtina rasti atstumą nuo atskaitos taško O iki taško A ir tarp taškų A ir B.

Sprendimas

1. Atstumas nuo atskaitos taško iki taško yra lygus šio taško koordinatės moduliui, atitinkamai O A \u003d 1 - 2 \u003d 2 - 1
2. Atstumas tarp taškų A ir B apibrėžiamas kaip šių taškų koordinačių skirtumo modulis: A B = 11 + 2 - (1 - 2) = 10 + 2 2

Atsakymas: O A = 2 - 1, A B = 10 + 2 2

2 pavyzdys

Pradiniai duomenys: pateikta stačiakampė koordinačių sistema ir du joje esantys taškai A (1 , - 1) ir B (λ + 1 , 3). λ yra tikrasis skaičius. Būtina rasti visas šio skaičiaus reikšmes, kurioms atstumas A B bus lygus 5.

Sprendimas

Norėdami rasti atstumą tarp taškų A ir B, turite naudoti formulę A B = (x B - x A) 2 + y B - y A 2

Pakeitę tikrąsias koordinačių reikšmes, gauname: A B = (λ + 1 - 1) 2 + (3 - (- 1)) 2 = λ 2 + 16

Taip pat naudojame esamą sąlygą, kad A B = 5 ir tada lygybė bus teisinga:

λ 2 + 16 = 5 λ 2 + 16 = 25 λ = ± 3

Atsakymas: A B \u003d 5, jei λ \u003d ± 3.

3 pavyzdys

Pradiniai duomenys: pateikta trimatė erdvė stačiakampėje koordinačių sistemoje O x y z ir joje esantys taškai A (1 , 2 , 3) ​​ir B - 7 , - 2 , 4.

Sprendimas

Norėdami išspręsti problemą, naudojame formulę A B = x B - x A 2 + y B - y A 2 + (z B - z A) 2

Pakeitę realias reikšmes, gauname: A B = (- 7 - 1) 2 + (- 2 - 2) 2 + (4 - 3) 2 = 81 = 9

Atsakymas: | A B | = 9

Jei tekste pastebėjote klaidą, pažymėkite ją ir paspauskite Ctrl+Enter