Sudėjimo teorema

Apsvarstykite nesuderinamus atsitiktinius įvykius.

Yra žinoma, kad nesuderinami atsitiktiniai įvykiai $A$ ir $B$ tame pačiame bandyme turi tikimybes $P\left(A\right)$ ir $P\left(B\right)$. Raskime šių įvykių sumos $A+B$ tikimybę, t.y. tikimybę, kad įvyks bent vienas iš jų.

Tarkime, kad šiame teste visų vienodai galimų elementarių įvykių skaičius yra $n$. Iš jų $A$ ir $B$ įvykiams pirmenybė teikiama atitinkamai $m_(A)$ ir $m_(B)$ elementariems įvykiams. Kadangi įvykiai $A$ ir $B$ yra nesuderinami, $m_(A) +m_(B)$ $m_(A) +m_(B)$ pirmenybė teikiama įvykiui $A+B$. Turime $P\left(A+B\right)=\frac(m_(A) +m_(B) )(n) =\frac(m_(A) )(n) +\frac(m_(B) ) (n) =P\kairė(A\dešinė)+P\kairė(B\dešinė)$.

1 teorema

Dviejų nesuderinamų įvykių sumos tikimybė yra lygi jų tikimybių sumai.

1 pastaba

1 pasekmė. Bet kokio skaičiaus nesuderinamų įvykių sumos tikimybė yra lygi šių įvykių tikimybių sumai.

2 pasekmė. Visos nesuderinamų įvykių grupės tikimybių suma (visų elementariųjų įvykių tikimybių suma) lygi vienetui.

3 pasekmė. Priešingų įvykių tikimybių suma lygi vienetui, nes jie sudaro visą nesuderinamų įvykių grupę.

1 pavyzdys

Tikimybė, kad kurį laiką mieste niekada nelis, $p=0,7$. Raskite tikimybę $q$, kad per tą patį laiką mieste bent kartą lis.

Įvykiai „kurį laiką mieste nelijo“ ir „kurį laiką mieste bent kartą lijo“ yra priešingi. Todėl $p+q=1$, iš kur $q=1-p=1-0,7=0,3$.

Apsvarstykite bendrus atsitiktinius įvykius.

Yra žinoma, kad jungtiniai atsitiktiniai įvykiai $A$ ir $B$ tame pačiame bandyme turi atitinkamai $P\left(A\right)$ ir $P\left(B\right)$ tikimybę. Raskime šių įvykių sumos $A+B$ tikimybę, t.y. tikimybę, kad įvyks bent vienas iš jų.

Tarkime, kad šiame teste visų vienodai galimų elementarių įvykių skaičius yra $n$. Iš jų $A$ ir $B$ įvykiams pirmenybė teikiama atitinkamai $m_(A)$ ir $m_(B)$ elementariems įvykiams. Kadangi įvykiai $A$ ir $B$ yra sujungti, iš bendro $m_(A) +m_(B)$ elementarių įvykių skaičiaus tam tikras skaičius $m_(AB)$ yra palankus abiem įvykiams $A$ ir įvykis $B$, tai yra jų bendras įvykis (įvykių $A\cdot B$ sandauga). Šis kiekis $m_(AB)$ įvedė ir $m_(A)$, ir $m_(B)$. Taigi įvykiui $A+B$ pirmenybė teikiama $m_(A) +m_(B) -m_(AB) $ elementarūs įvykiai. Turime: $P\left(A+B\right)=\frac(m_(A) +m_(B) -m_(AB) )(n) =\frac(m_(A) )(n) +\ frac (m_(B) )(n) -\frac(m_(AB) )(n) =P\kairė(A\dešinė)+P\kairė(B\dešinė)-P\kairė(A\ctaškas B\ teisingai )$.

2 teorema

Dviejų bendrų įvykių sumos tikimybė yra lygi šių įvykių tikimybių sumai, atėmus jų sandaugos tikimybę.

komentuoti. Jei įvykiai $A$ ir $B$ nesuderinami, tai jų sandauga $A\cdot B$ yra neįmanomas įvykis, kurio tikimybė $P\left(A\cdot B\right)=0$. Todėl nesuderinamų įvykių tikimybių pridėjimo formulė yra ypatingas bendrų įvykių tikimybių pridėjimo formulės atvejis.

2 pavyzdys

Raskite tikimybę, kad vienu metu išmetus du kauliukus, skaičius 5 pasirodys bent kartą.

Vienu metu metant du kauliukus, visų vienodai galimų elementarių įvykių skaičius lygus $n=36$, nes ant kiekvieno pirmojo kauliuko skaitmens gali kristi šeši antrojo kauliuko skaitmenys. Iš jų įvykis $A$ – ant pirmojo kauliuko metamas skaičius 5 – įvyksta 6 kartus, įvykis $B$ – ant antrojo kauliuko metamas skaičius 5 – taip pat 6 kartus. Iš visų dvylikos kartų skaičius 5 pasirodo vieną kartą ant abiejų kauliukų. Taigi $P\left(A+B\right)=\frac(6)(36) +\frac(6)(36) -\frac(1)(36) =\frac(11)(36) $.

Tikimybių daugybos teorema

Apsvarstykite nepriklausomus įvykius.

Įvykiai $A$ ir $B$, įvykę dviejuose iš eilės bandymuose, vadinami nepriklausomais, jei įvykio $B$ atsiradimo tikimybė nepriklauso nuo to, ar įvykis $A$ įvyko, ar neįvyko.

Pavyzdžiui, tarkime, kad urnoje yra 2 balti ir 2 juodi rutuliai. Bandymas yra ištraukti kamuolį. Renginys $A$ yra "pirmame bandyme ištrauktas baltas rutulys". Tikimybė $P\left(A\right)=\frac(1)(2) $. Po pirmojo bandymo kamuolys buvo padėtas atgal ir buvo atliktas antras bandymas. Įvykis $B$ – ``baltas rutulys ištrauktas antrajame bandyme''. Tikimybė $P\left(B\right)=\frac(1)(2) $. Tikimybė $P\left(B\right)$ nepriklauso nuo to, ar įvykis $A$ įvyko, ar ne, todėl įvykiai $A$ ir $B$ yra nepriklausomi.

Yra žinoma, kad nepriklausomi atsitiktiniai dviejų iš eilės bandymų įvykiai $A$ ir $B$ turi atitinkamai $P\left(A\right)$ ir $P\left(B\right)$ tikimybes. Raskime šių įvykių sandaugos $A\cdot B$ tikimybę, tai yra, jų bendro įvykimo tikimybę.

Tarkime, kad pirmajame bandyme visų vienodai galimų elementarių įvykių skaičius yra $n_(1) $. Iš jų $A$ pirmenybę teikia $m_(1)$ elementarūs įvykiai. Taip pat darykime prielaidą, kad antrajame bandyme visų vienodai galimų elementarių įvykių skaičius yra $n_(2) $. Iš jų įvykiui $B$ pirmenybę teikia $m_(2)$ elementarūs įvykiai. Dabar apsvarstykite naują elementarų įvykį, kurį sudaro nuoseklūs pirmojo ir antrojo bandymų įvykiai. Bendras tokių vienodai tikėtinų elementarių įvykių skaičius yra lygus $n_(1) \cdot n_(2) $. Kadangi įvykiai $A$ ir $B$ yra nepriklausomi, nuo šio skaičiaus bendram įvykio $A$ ir įvykio $B$ (įvykių $A\cdot B$ sandaugai) įvykis yra palankesnis $m_( 1) \cdot m_(2) $ įvykiai . Turime: $P\left(A\cdot B\right)=\frac(m_(1) \cdot m_(2) )(n_(1) \cdot n_(2) ) =\frac(m_(1) ) (n_(1) ) \cdot \frac(m_(2) )(n_(2) ) =P\left(A\right)\cdot P\left(B\right)$.

3 teorema

Dviejų nepriklausomų įvykių sandaugos tikimybė yra lygi šių įvykių tikimybių sandaugai.

Apsvarstykite priklausomus įvykius.

Dviejų iš eilės bandymų metu įvyksta $A$ ir $B$ įvykiai. Teigiama, kad įvykis $B$ priklauso nuo įvykio $A$, jei įvykio $B$ atsiradimo tikimybė priklauso nuo to, ar įvykis $A$ įvyko, ar ne. Tada įvykio $B$ tikimybė, kuri buvo apskaičiuota su sąlyga, kad įvyko įvykis $A$, vadinama sąlygine įvykio $B$ tikimybe su sąlyga $A$ ir žymima $P\left (B/A\dešinėje)$.

Pavyzdžiui, tarkime, kad urnoje yra 2 balti ir 2 juodi rutuliai. Bandymas yra rutulio ištraukimas. Renginys $A$ yra "pirmame bandyme ištrauktas baltas rutulys". Tikimybė $P\left(A\right)=\frac(1)(2) $. Po pirmojo bandymo kamuolys nėra grąžinamas atgal ir atliekamas antrasis bandymas. Įvykis $B$ – ``baltas rutulys ištrauktas antrajame bandyme''. Jei per pirmąjį bandymą buvo ištrauktas baltas rutulys, tada tikimybė yra $P\left(B/A\right)=\frac(1)(3) $. Jei pirmame bandyme buvo nupieštas juodas rutulys, tada tikimybė yra $P\left(B/\overline(A)\right)=\frac(2)(3) $. Taigi įvykio $B$ tikimybė priklauso nuo to, ar įvykis $A$ įvyko, ar ne, todėl įvykis $B$ priklauso nuo įvykio $A$.

Tarkime, kad įvykiai $A$ ir $B$ įvyksta dviejuose iš eilės bandymuose. Yra žinoma, kad įvykis $A$ turi $P\left(A\right)$ tikimybę. Taip pat žinoma, kad įvykis $B$ priklauso nuo įvykio $A$ ir jo sąlyginė tikimybė esant sąlygai $A$ yra lygi $P\left(B/A\right)$.

4 teorema

Įvykio $A$ ir nuo jo priklausančio įvykio $B$ sandaugos tikimybę, tai yra jų bendro atsiradimo tikimybę, galima rasti pagal formulę $P\left(A\cdot B\right)= P\left(A\right)\cdot P\left(B/A\right)$.

Taip pat galioja simetrinė formulė $P\left(A\cdot B\right)=P\left(B\right)\cdot P\left(A/B\right)$, kai įvykis $A$ laikomas būti priklausomas nuo įvykio $ B$.

Paskutinio pavyzdžio sąlygomis randame tikimybę, kad baltas rutulys bus ištrauktas abiejuose bandymuose. Toks įvykis yra įvykių $A$ ir $B$ rezultatas. Jo tikimybė yra $P\left(A\cdot B\right)=P\left(A\right)\cdot P\left(B/A\right)=\frac(1)(2) \cdot \frac( 1)(3) =\frac(1)(6) $.

Tikimybių sudėjimo ir daugybos teoremos.
Priklausomi ir nepriklausomi renginiai

Pavadinimas atrodo bauginantis, bet iš tikrųjų labai paprastas. Šioje pamokoje susipažinsime su įvykių tikimybių sudėjimo ir daugybos teoremomis, taip pat analizuosime tipines užduotis, kurios kartu su Klasikinio tikimybės apibrėžimo uždavinys tikrai susitiks arba, greičiausiai, jau susitiko savo kelyje. Norėdami efektyviai išstudijuoti šio straipsnio medžiagą, turite žinoti ir suprasti pagrindinius terminus tikimybių teorija ir mokėti atlikti nesudėtingus aritmetinius veiksmus. Kaip matote, reikia labai nedaug, todėl riebus turto pliusas beveik garantuotas. Bet kita vertus, dar kartą perspėju dėl paviršutiniško požiūrio į praktinius pavyzdžius – subtilybių irgi pakanka. Sėkmės:

Nesuderinamų įvykių tikimybių sudėjimo teorema: vieno iš dviejų atsiradimo tikimybė nesuderinamasįvykius arba (Nesvarbu kas), yra lygus šių įvykių tikimybių sumai:

Panašus faktas galioja ir didesniam nesuderinamų įvykių skaičiui, pavyzdžiui, trims nesuderinamiems įvykiams ir:

Svajonių teorema =) Tačiau toks sapnas turi būti įrodinėjamas, kurį galima rasti, pavyzdžiui, vadovėlyje V.E. Gmurmanas.

Susipažinkime su naujomis, iki šiol nematytomis sąvokomis:

Priklausomi ir nepriklausomi renginiai

Pradėkime nuo nepriklausomų įvykių. Renginiai yra nepriklausomas jei atsiradimo tikimybė bet kuris iš jų nepriklauso nuo kitų nagrinėjamos aibės įvykių atsiradimo/nepasirodymo (visais įmanomais deriniais). ... Bet ką čia šlifuoti įprastas frazes:

Nepriklausomų įvykių tikimybių daugybos teorema: nepriklausomų įvykių bendro įvykio tikimybė ir yra lygi šių įvykių tikimybių sandaugai:

Grįžkime prie paprasčiausio 1-osios pamokos pavyzdžio, kuriame mestos dvi monetos ir šie įvykiai:

- galvos nukris ant 1-osios monetos;
- Galvos ant 2-osios monetos.

Raskime įvykio tikimybę (galvos atsiras ant 1-osios monetos ir Ant 2-osios monetos atsiras erelis - prisimink, kaip skaityti įvykių produktas!) . Tikimybė patekti ant vienos monetos galvos nepriklauso nuo kitos monetos metimo rezultato, todėl įvykiai ir yra nepriklausomi.

Panašiai:
yra tikimybė, kad 1-oji moneta nusileis galvas ir ant 2 uodegos;
yra tikimybė, kad ant 1-osios monetos atsiras galvos ir ant 2 uodegos;
yra tikimybė, kad 1-oji moneta nukris ant uodegų ir ant 2-ojo erelio.

Atkreipkite dėmesį, kad įvykiai formuojasi pilna grupė o jų tikimybių suma lygi vienetui: .

Daugybos teorema akivaizdžiai išplečiama ir didesniam nepriklausomų įvykių skaičiui, todėl, pavyzdžiui, jei įvykiai yra nepriklausomi, tai jų bendro atsiradimo tikimybė yra: . Praktikuokime su konkrečiais pavyzdžiais:

3 užduotis

Kiekvienoje iš trijų dėžučių yra 10 dalių. Pirmoje dėžutėje yra 8 standartinės dalys, antroje - 7, trečioje - 9. Iš kiekvienos dėžutės atsitiktinai išimama viena dalis. Raskite tikimybę, kad visos dalys yra standartinės.

Sprendimas: tikimybė ištraukti standartinę ar nestandartinę dalį iš bet kurios dėžės nepriklauso nuo to, kurios dalys bus ištrauktos iš kitų dėžių, todėl problema yra dėl nepriklausomų įvykių. Apsvarstykite šiuos nepriklausomus įvykius:

– iš 1 dėžės išimama standartinė dalis;
– iš 2 dėžės išimama standartinė dalis;
– Iš 3 stalčiaus išimta standartinė dalis.

Pagal klasikinį apibrėžimą:
yra atitinkamos tikimybės.

Mus domina įvykis (Standartinė dalis bus paimta iš 1 stalčiaus ir nuo 2 standarto ir nuo 3 standarto) išreiškiamas gaminiu.

Pagal nepriklausomų įvykių tikimybių daugybos teoremą:

yra tikimybė, kad iš trijų dėžių bus ištraukta viena standartinė dalis.

Atsakymas: 0,504

Po gaivinančių pratimų su dėžėmis mūsų laukia ne mažiau įdomios urnos:

4 užduotis

Trijose urnose yra 6 balti ir 4 juodi rutuliai. Iš kiekvienos urnos atsitiktine tvarka ištraukiamas vienas rutulys. Raskite tikimybę, kad: a) visi trys rutuliai bus balti; b) visi trys rutuliai bus vienodos spalvos.

Remdamiesi gauta informacija, atspėkite, kaip elgtis su "būti" dalyku ;-) Apytikslis sprendimo pavyzdys yra sukurtas akademiniu stiliumi su išsamiu visų įvykių aprašymu.

Priklausomi įvykiai. Renginys vadinamas priklausomas jei jos tikimybė priklauso iš vieno ar kelių jau įvykusių įvykių. Jums nereikia toli ieškoti pavyzdžių – tiesiog eikite į artimiausią parduotuvę:

- Rytoj 19.00 bus parduodama šviežia duona.

Šio įvykio tikimybė priklauso nuo daugelio kitų įvykių: ar rytoj bus pristatyta šviežia duona, ar ji bus išparduota iki 19 valandos ar ne ir pan. Atsižvelgiant į įvairias aplinkybes, šis įvykis gali būti ir patikimas, ir neįmanomas. Taigi renginys yra priklausomas.

Duona... ir, kaip reikalavo romėnai, cirkai:

- per egzaminą studentas gaus paprastą bilietą.

Jei eisi ne pats pirmas, tada įvykis priklausys, nes jo tikimybė priklausys nuo to, kokius bilietus klasės draugai jau ištraukė.

Kaip nustatyti įvykių priklausomybę/nepriklausomybę?

Kartais tai tiesiogiai nurodoma problemos būsenoje, tačiau dažniausiai turite atlikti nepriklausomą analizę. Čia nėra vienareikšmės gairės, o įvykių priklausomybės ar nepriklausomybės faktas išplaukia iš natūralaus loginio samprotavimo.

Kad nesumestum visko į vieną krūvą, priklausomų įvykių užduotys Išskirsiu kitą pamoką, bet kol kas apsvarstysime dažniausiai praktikoje pasitaikančias teoremas:

Nenuoseklių tikimybių sudėjimo teoremų uždaviniai
ir padauginus nepriklausomų įvykių tikimybes

Šis tandemas, mano subjektyviu vertinimu, veikia apie 80% nagrinėjamos temos užduočių. Hitai ir tikra tikimybių teorijos klasika:

5 užduotis

Du šauliai paleido po vieną šūvį į taikinį. Pirmajam šauliui pataikymo tikimybė yra 0,8, antrajam - 0,6. Raskite tikimybę, kad:

a) į taikinį pataikys tik vienas šaulys;
b) bent vienas iš šaulių pataikys į taikinį.

Sprendimas: vieno šaulio pataikymo / nepataikymo tikimybė akivaizdžiai nepriklauso nuo kito šaulio pasirodymo.

Apsvarstykite įvykius:
– 1-asis šaulys pataikys į taikinį;
– 2-asis šaulys pataikys į taikinį.

Pagal sąlygą:.

Raskime priešingų įvykių tikimybes – kad atitinkamos rodyklės praleis:

a) Apsvarstykite įvykį: - į taikinį pataiko tik vienas šaulys. Šį įvykį sudaro du nesuderinami rezultatai:

Pataikys 1-asis šaulys ir 2 praleidžia
arba
1-oji praleis ir 2-asis pataikys.

Ant liežuvio įvykių algebrosšį faktą galima parašyti taip:

Pirmiausia naudojame nesuderinamų įvykių tikimybių sudėjimo teoremą, tada - nepriklausomų įvykių tikimybių daugybos teoremą:

yra tikimybė, kad bus tik vienas smūgis.

b) Apsvarstykite įvykį: - bent vienas iš šaulių pataikys į taikinį.

Visų pirma, PAGALVOKIM – ką reiškia sąlyga „BENT VIENA“? Šiuo atveju tai reiškia, kad arba 1-asis šaulys pataikys (antrasis nepataikys) arba 2-as (1-as praleidžiamas) arba abi rodyklės vienu metu – iš viso 3 nesuderinami rezultatai.

Pirmasis metodas: atsižvelgiant į paruoštą ankstesnio elemento tikimybę, įvykį patogu pavaizduoti kaip šių nevienodų įvykių sumą:

vienas gaus (įvykis, susidedantis iš 2 nesuderinamų baigčių) arba
Jei pataikė abi rodyklės, šį įvykį žymime raide .

Šiuo būdu:

Pagal nepriklausomų įvykių tikimybių daugybos teoremą:
yra tikimybė, kad pataikys pirmasis šaulys ir Pataikys 2-asis šaulys.

Pagal nesuderinamų įvykių tikimybių sudėjimo teoremą:
yra bent vieno smūgio į taikinį tikimybė.

Antras metodas: apsvarstykite priešingą įvykį: – abu šauliai praleis.

Pagal nepriklausomų įvykių tikimybių daugybos teoremą:

Kaip rezultatas:

Ypatingą dėmesį atkreipkite į antrąjį metodą – apskritai jis racionalesnis.

Be to, yra alternatyvus, trečiasis sprendimo būdas, pagrįstas aukščiau nutylima bendrų įvykių sumavimo teorema.

! Jei skaitote medžiagą pirmą kartą, norint išvengti painiavos, geriau praleisti kitą pastraipą.

Trečias būdas : įvykiai yra jungtiniai, o tai reiškia, kad jų suma išreiškia įvykį „bent vienas šaulys pataiko į taikinį“ (žr. įvykių algebra). Autorius jungtinių įvykių tikimybių sudėjimo teorema ir nepriklausomų įvykių tikimybių daugybos teorema:

Patikrinkime: įvykius ir (atitinkamai 0, 1 ir 2 smūgiai) sudaryti visą grupę, todėl jų tikimybių suma turi būti lygi vienetui:
, kuris turėjo būti patikrintas.

Atsakymas:

Nuodugniai išstudijavę tikimybių teoriją, susidursite su dešimtimis militaristinio turinio užduočių ir, kaip būdinga, po jų nebesinori šaudyti į nieką – užduotys beveik dovanotos. Kodėl nepadarius šablono dar paprastesnio? Sutrumpinkime įrašą:

Sprendimas: pagal sąlygą: , yra tikimybė pataikyti į atitinkamus šaulius. Tada jų praleidimo tikimybė yra tokia:

a) Pagal nesuderinamų tikimybių sudėjimo ir nepriklausomų įvykių tikimybių daugybos teoremas:
yra tikimybė, kad tik vienas šaulys pataikys į taikinį.

b) Pagal nepriklausomų įvykių tikimybių daugybos teoremą:
yra tikimybė, kad abu šauliai nepataikys.

Tada: yra tikimybė, kad bent vienas iš šaulių pataikys į taikinį.

Atsakymas:

Praktiškai galite naudoti bet kurią dizaino parinktį. Žinoma, kur kas dažniau jie eina trumpuoju keliu, tačiau nereikėtų pamiršti 1-ojo metodo – nors jis ilgesnis, bet prasmingesnis – jame aiškesnis, kas, kodėl ir kodėl sumuojasi ir padaugina. Kai kuriais atvejais tinka hibridinis stilius, kai patogu tik kai kuriuos įvykius nurodyti didžiosiomis raidėmis.

Panašios užduotys savarankiškam sprendimui:

6 užduotis

Priešgaisrinei signalizacijai sumontuoti du nepriklausomai veikiantys jutikliai. Tikimybė, kad jutiklis veiks gaisro metu, yra atitinkamai 0,5 ir 0,7 pirmajam ir antrajam jutikliams. Raskite tikimybę, kad kilus gaisrui:

a) suges abu jutikliai;
b) veiks abu jutikliai.
c) Naudojant įvykių, sudarytų ištisą grupę, tikimybių sudėjimo teorema, raskite tikimybę, kad gaisro metu veiks tik vienas jutiklis. Patikrinkite rezultatą tiesiogiai apskaičiuodami šią tikimybę (naudojant sudėties ir daugybos teoremas).

Čia įrenginių veikimo nepriklausomumas yra tiesiogiai išreiškiamas būsenoje, o tai, beje, yra svarbus paaiškinimas. Pavyzdinis sprendimas sukurtas akademiniu stiliumi.

Ką daryti, jei panašioje užduotyje pateikiamos tos pačios tikimybės, pavyzdžiui, 0,9 ir 0,9? Jūs turite nuspręsti lygiai taip pat! (kas iš tikrųjų jau buvo parodyta pavyzdyje su dviem monetomis)

7 užduotis

Tikimybė, kad pirmasis šaulys vienu šūviu pataikys į taikinį, yra 0,8. Tikimybė, kad taikinys nepataikytas pirmajam ir antrajam šauliui iššovus vieną šūvį, yra 0,08. Kokia tikimybė, kad antrasis šaulys vienu šūviu pataikys į taikinį?

Ir tai yra mažas galvosūkis, kuris yra trumpai įrėmintas. Sąlygą galima performuluoti ir glaustai, bet originalo neperdarysiu – praktiškai tenka gilintis į puošnesnius prasimanymus.

Susipažinkite su juo – jis yra tas, kuris jums supjaustė nepamatuojamą kiekį detalių =):

8 užduotis

Darbuotojas valdo tris mašinas. Tikimybė, kad per pamainą pirmai mašinai teks reguliuoti 0,3, antrą - 0,75, trečią - 0,4. Raskite tikimybę, kad pamainos metu:

a) visas mašinas reikės reguliuoti;
b) tik vieną mašiną reikės reguliuoti;
c) reikės sureguliuoti bent vieną mašiną.

Sprendimas: kadangi sąlyga nieko nesako apie vieną technologinį procesą, tai kiekvienos mašinos veikimas turėtų būti laikomas nepriklausomu nuo kitų mašinų veikimo.

Analogiškai su užduotimi Nr. 5, čia galite atsižvelgti į įvykius, susidedančius iš to, kad atitinkamas mašinas reikės koreguoti pamainos metu, užrašyti tikimybes, rasti priešingų įvykių tikimybes ir pan. Tačiau su trimis objektais aš tikrai nenoriu taip rengti užduoties - ji pasirodys ilga ir nuobodu. Todėl pastebimai pelningiau čia naudoti „greitąjį“ stilių:

Pagal sąlygą: - tikimybė, kad pamainos metu atitinkamas mašinas reikės derinti. Tada tikimybė, kad jiems nereikės dėmesio, yra:

Vienas iš skaitytojų čia rado šaunią rašybos klaidą, net netaisysiu =)

a) Pagal nepriklausomų įvykių tikimybių daugybos teoremą:
yra tikimybė, kad per pamainą reikės reguliuoti visas tris mašinas.

b) Renginys „Pamainos metu reikės reguliuoti tik vieną mašiną“ susideda iš trijų nesuderinamų rezultatų:

1) 1 mašina pareikalaus dėmesį ir 2-oji mašina nereikės ir 3 mašina nereikės
arba:
2) 1-oji mašina nereikės dėmesį ir 2-oji mašina pareikalaus ir 3 mašina nereikės
arba:
3) 1-oji mašina nereikės dėmesį ir 2-oji mašina nereikės ir 3 mašina pareikalaus.

Pagal nesuderinamų tikimybių sudėjimo ir nepriklausomų įvykių tikimybių daugybos teoremas:

- tikimybė, kad per pamainą reikės reguliuoti tik vieną mašiną.

Manau, kad dabar jums turėtų būti aišku, iš kur kilo ši išraiška

c) Apskaičiuokite tikimybę, kad mašinos nereikės reguliuoti, o tada priešingo įvykio tikimybę:
– tai, kad bent vieną mašiną reikės reguliuoti.

Atsakymas:

Punktą „ve“ galima išspręsti ir per sumą , kur tikimybė, kad per pamainą reikės reguliuoti tik dvi mašinas. Šis įvykis savo ruožtu apima 3 nesuderinamus rezultatus, kurie yra pasirašyti pagal analogiją su elementu „būti“. Pabandykite patys rasti tikimybę patikrinti visą problemą lygybės pagalba.

9 užduotis

Trys ginklai paleido salvę į taikinį. Tikimybė pataikyti vienu šūviu tik iš pirmo ginklo yra 0,7, iš antrojo - 0,6, iš trečio - 0,8. Raskite tikimybę, kad: 1) bent vienas sviedinys pataikys į taikinį; 2) į taikinį pataikys tik du sviediniai; 3) į taikinį bus pataikyta bent du kartus.

Sprendimas ir atsakymas pamokos pabaigoje.

Ir vėl apie sutapimus: tuo atveju, jei pagal sąlygą sutampa dvi ar net visos pradinių tikimybių reikšmės (pavyzdžiui, 0,7; 0,7 ir 0,7), tuomet reikia vadovautis lygiai tuo pačiu sprendimo algoritmu.

Straipsnio pabaigoje išanalizuosime dar vieną įprastą galvosūkį:

10 užduotis

Šaulys su kiekvienu šūviu pataiko į taikinį ta pačia tikimybe. Kokia ši tikimybė, jei tikimybė pataikyti bent vieną kartą per tris šūvius yra 0,973.

Sprendimas: žymi - tikimybę pataikyti į taikinį kiekvienu šūviu.
ir per – kiekvieno šūvio nepataikymo tikimybė.

Užrašykime įvykius:
- 3 šūviais šaulys pataikys į taikinį bent kartą;
- šaulys nepataikys 3 kartus.

Pagal sąlygą, tada priešingo įvykio tikimybė:

Kita vertus, pagal nepriklausomų įvykių tikimybių daugybos teoremą:

Šiuo būdu:

- kiekvieno šūvio nepataikymo tikimybė.

Kaip rezultatas:
yra kiekvieno šūvio pataikymo tikimybė.

Atsakymas: 0,7

Paprasta ir elegantiška.

Nagrinėjamoje užduotyje galima kelti papildomus klausimus apie tik vieno, tik dviejų smūgių ir trijų pataikymų į taikinį tikimybę. Sprendimo schema bus lygiai tokia pati kaip dviejuose ankstesniuose pavyzdžiuose:

Tačiau esminis esminis skirtumas yra tas, kad yra pakartotiniai nepriklausomi testai, kurie atliekami nuosekliai, nepriklausomai vienas nuo kito ir su ta pačia rezultatų tikimybe.

Tema: 15. PAGRINDINĖS TEORIJOS TEOROS

TIKIMYBĖS IR JŲ PASEKMĖS

1. Bendrų įvykių tikimybių sudėjimo teorema.

2. Nepriklausomų įvykių tikimybių daugybos teorema.

3. Sąlyginė įvykio tikimybė. Priklausomų įvykių tikimybių daugybos teorema.

4. Bendrų įvykių tikimybių sudėjimo teorema.

5. Bendrosios tikimybės formulė, Bayes formulė.

6. Testų kartojimas.

1. Bendrų įvykių tikimybių sudėjimo teorema.

suma kelių įvykių įvykis vadinamas įvykiu, kurį sudaro bent vieno iš šių įvykių įvykis.

Jei įvykiai A ir B yra jungtiniai, tada jų suma A + B rodo arba įvykio A, arba B įvykį, arba abu įvykius kartu. Jei A ir B yra nesuderinami įvykiai, tada jų suma A + B reiškia arba įvykio A, arba įvykio B įvykį.

dirbti du įvykiai A ir B vadinami įvykiu AB, kuris susideda iš šių įvykių bendro įvykio.

Teorema: Tikimybė, kad įvyks vienas iš dviejų nesuderinamų įvykių, nesvarbu, kuris iš jų, yra lygi šių įvykių tikimybių sumai

P (A + B) \u003d P (A) + P (B).

Pasekmė: Nesuderinamų įvykių А 1 ,...,А n , sudarančių visą grupę, tikimybių suma lygi vienetui:

P (A 1) + P (A 2) + ... + P (A n) \u003d 1

2. Tikimybių daugybos teorema nepriklausomiems

įvykius .

Du įvykiai vadinami nepriklausomas jeigu vieno iš jų atsiradimo tikimybė nepriklauso nuo to, ar kitas įvykis įvyko, ar neįvyko.

Keli įvykiai vadinami vienas nuo kito nepriklausomais (arba vienas nuo kito nepriklausomais), jei kiekvienas iš jų ir bet koks derinys, sudarytas iš likusių (dalies arba visų) įvykių, yra nepriklausomi įvykiai.

Jeigu įvykiai А 1 ,А 2 ,...,А n yra vienas nuo kito nepriklausomi, tai jų priešingi įvykiai taip pat yra nepriklausomi vienas nuo kito.

Teorema: Kelių tarpusavyje nepriklausomų įvykių atsiradimo tikimybė yra lygi šių įvykių tikimybių sandaugai .

P(A 1 A 2 ,...A n ) = P(A 1 )  P(A 2 )  ...  P(A n )

Dviejų įvykių atveju P(AB) = P(A)  P(B)

Užduotis. Du prekybininkai dirba nepriklausomai vienas nuo kito. Tikimybė, kad pirmasis pardavėjas praleis nekokybišką prekę, yra 0,1; antrasis 0,2. Kokia tikimybė, kad žiūrėdami prekę abu prekeiviai nepraleis santuokos.

Sprendimas: įvykis A - prekybininkas praleidau santuoką, įvykis B - prekybininkas II praleido santuoką.

Kur įvykis A - santuoka nepraleis I prekybininko,

įvykis B - santuoka nepraleis II prekybininko.

Kadangi abu veikia nepriklausomai vienas nuo kito, tai A ir B yra nepriklausomi įvykiai.

3. Sąlyginė įvykio tikimybė. Priklausomų įvykių tikimybių daugybos teorema.

Įvykis B vadinamas priklausomas nuo įvykio A, jei įvykis A pakeičia įvykio B tikimybę.

Įvykio B tikimybė, nustatyta su sąlyga, kad įvyko įvykis A, vadinama sąlyginė tikimybėįvykis B ir žymimas P A (B).

Teorema : Dviejų priklausomų įvykių A ir B bendro įvykimo tikimybė yra lygi vieno iš jų tikimybės sandaugai su sąlygine kito tikimybe, nustatyta darant prielaidą, kad pirmasis įvykis jau įvyko, t.y.

P(AB) = P(A) R A (B) arba P (AB) \u003d P (B) P V (A)

Tikimybių daugybos teoremą galima išplėsti iki bet kokio skaičiaus m priklausomų įvykių А 1 А 2 ...А m .

P(A 1 A 2 ..A m )=P(A 1 ) 

o kito įvykio tikimybė apskaičiuojama darant prielaidą, kad įvyko visi ankstesni.

Užduotis. Dėžutėje yra 2 balti ir 3 mėlyni rašikliai. Iš dėžutės iš eilės išimami du rašikliai. Raskite tikimybę, kad abu rašikliai yra balti.

Sprendimas: įvykis A – abu rašikliai yra balti, įvykis B – pirmojo balto rašiklio pasirodymas, įvykis C – antrojo balto rašiklio pasirodymas.

Tada A=B SU.

Kadangi pirmasis rašiklis negrąžinamas į dėžutę, t.y. dėžutės sudėtis pasikeitė, tada įvykiai B ir C yra priklausomi.

P (B) \u003d 2/5; Įvykio C tikimybę randame darant prielaidą, kad B jau įvyko, t.y. P B (C) \u003d ¼.

Norima tikimybė

Darbo tipas: 4

Būklė

Tikimybė, kad akumuliatorius nebus įkrautas, yra 0,15. Klientas parduotuvėje įsigyja atsitiktinę pakuotę, kurioje yra dvi iš šių baterijų. Raskite tikimybę, kad abi šios pakuotės baterijos bus įkrautos.

Rodyti sprendimą

Sprendimas

Tikimybė, kad baterija bus įkrauta, yra 1-0,15 = 0,85. Raskime įvykio „įkrautos abi baterijos“ tikimybę. A ir B pažymėkite įvykius „įkraunamas pirmasis akumuliatorius“ ir „įkraunamas antrasis akumuliatorius“. Gavome P(A) = P(B) = 0,85. Įvykis „įkraunamos abi baterijos“ yra įvykių A \ cap B sankirta, jo tikimybė lygi P(A\capB) = P(A)\cdot P(B) = 0,85\cdot 0,85 = 0,7225.

Atsakymas

Darbo tipas: 4
Tema: įvykių tikimybių sudėjimas ir daugyba

Būklė

Tikimybė, kad švirkštimo priemonė yra sugedusi, yra 0,05. Klientas parduotuvėje perka atsitiktinę pakuotę, kurioje yra du rašikliai. Raskite tikimybę, kad abu šioje pakuotėje esantys rašikliai yra geri.

Rodyti sprendimą

Sprendimas

Tikimybė, kad rašiklis yra geros būklės, yra 1–0,05 = 0,95. Raskime įvykio „veikia abi rankenos“ tikimybę. A ir B pažymėkite įvykius „veikia pirmoji rankena“ ir „veikia antroji rankena“. Gavome P(A) = P(B) = 0,95. Įvykis "abi rankenos yra geros" yra įvykių A \ cap B sankirta, jo tikimybė lygi P(A\dangtelis B) = P(A)\cdot P(B) = 0,95\cdot 0,95 = 0,9025.

Atsakymas

Šaltinis: „Matematika. Pasiruošimas egzaminui-2017 m. profilio lygis. Red. F. F. Lysenko, S. Yu. Kulabukhova.

Darbo tipas: 4
Tema: įvykių tikimybių sudėjimas ir daugyba

Būklė

Nuotraukoje pavaizduotas labirintas. „Įėjimo“ taške vabalas įšliaužia į labirintą. Vabalas negali apsisukti ir šliaužti priešinga kryptimi, todėl prie kiekvieno išsišakojimo pasirenka vieną iš takų, kuriuo dar nebuvo. Kokia tikimybė, kad vabalas prieis prie išėjimo D, jei tolimesnis kelias pasirinktas atsitiktinai.

Rodyti sprendimą

Sprendimas

Kryžkelėje pastatykime rodykles tomis kryptimis, kuriomis vabalas gali judėti (žr. pav.).

Kiekvienoje sankryžoje pasirinkime vieną kryptį iš dviejų galimų ir manysime, kad atsitrenkęs į sankryžą vabalas pajudės mūsų pasirinkta kryptimi.

Kad vabalas pasiektų išvažiavimą D, kiekvienoje sankryžoje reikia pasirinkti ištisine raudona linija pažymėtą kryptį. Iš viso kryptis pasirenkama 4 kartus, kiekvieną kartą nepriklausomai nuo ankstesnio pasirinkimo. Tikimybė, kad kiekvieną kartą bus pasirinkta ištisinė raudona rodyklė \frac12\cdot\frac12\cdot\frac12\cdot\frac12= 0,5^4= 0,0625.

Atsakymas

Šaltinis: „Matematika. Pasiruošimas egzaminui-2017 m. profilio lygis. Red. F. F. Lysenko, S. Yu. Kulabukhova.

Darbo tipas: 4
Tema: įvykių tikimybių sudėjimas ir daugyba

Būklė

Automobilių stovėjimo aikštelė apšviesta žibintu su dviem lemputėmis. Tikimybė, kad per metus sudegs viena lempa, yra 0,4. Raskite tikimybę, kad per metus neišdegs bent viena lempa.

Rodyti sprendimą

Sprendimas

Pirmiausia randame įvykio „per metus sudegė abi lempos“ tikimybę, kuri yra priešinga problemos teiginiui pateiktam įvykiui. Tegu A ir B reiškia įvykius „per metus sudegė pirmoji lempa“ ir „per metus sudegė antra lempa“. Pagal sąlygą P(A) = P(B) = 0,4. Įvykis "per metus sudegė abi lempos" yra A\cap B, jo tikimybė yra P(A\capB) = P(A) \cdot P(B) = 0,4 \cdot 0,4 = 0,16 (kadangi įvykiai A ir B yra nepriklausomi).

Norima tikimybė lygi 1 – P(A\dangtelis B) = 1 - 0,16 = 0,84.

Atsakymas

Šaltinis: „Matematika. Pasiruošimas egzaminui-2017 m. profilio lygis. Red. F. F. Lysenko, S. Yu. Kulabukhova.

Darbo tipas: 4
Tema: įvykių tikimybių sudėjimas ir daugyba

Būklė

Viešbutyje yra du aušintuvai. Kiekvienas iš jų gali būti sugedęs su 0,2 tikimybe, nepriklausomai nuo kito aušintuvo. Nustatykite tikimybę, kad bent vienas iš šių aušintuvų bus tinkamas naudoti.

Rodyti sprendimą

Sprendimas

Pirma, suraskime įvykio „abu aušintuvai yra sugedę“ tikimybę, kuri yra priešinga problemos teiginio įvykiui. A ir B pažymėkite įvykius „sugedo pirmasis aušintuvas“ ir „sugedęs antrasis aušintuvas“. Pagal sąlygą P(A) = P(B) = 0,2. Įvykis "abu aušintuvai yra sugedę" yra A \cap B , įvykių A ir B sankirta, jo tikimybė yra P(A \cap B) = P(A)\cdot P(B) = 0,2\ctaškas 0,2 = 0,04(kadangi įvykiai A ir B yra nepriklausomi). Norima tikimybė yra 1-P(A \cap B)=1-0,04=0,96.

Atsakymas

Šaltinis: „Matematika. Pasiruošimas egzaminui-2017 m. profilio lygis. Red. F. F. Lysenko, S. Yu. Kulabukhova.

Darbo tipas: 4
Tema: įvykių tikimybių sudėjimas ir daugyba

Būklė

Fizikos egzamine mokinys atsako į vieną klausimą iš egzamino klausimų sąrašo. Tikimybė, kad šis klausimas yra apie „Mechaniką“, yra 0,25. Tikimybė, kad šis klausimas yra apie „Elektrą“, yra 0,3. Nėra klausimų, kurie būtų susiję su dviem temomis vienu metu. Raskite tikimybę, kad mokinys gaus klausimą viena iš šių dviejų temų.

Įvykio samprata ir įvykio tikimybė. Tam tikri ir neįmanomi įvykiai. Klasikinis tikimybių apibrėžimas. Tikimybių sudėjimo teorema. Tikimybių daugybos teorema. Paprasčiausių uždavinių sprendimas tikimybei nustatyti naudojant tikimybių pridėjimą.

3.1 temos gairės:

Įvykio samprata ir įvykio tikimybė. Tam tikri ir neįmanomi įvykiai. Klasikinis tikimybių apibrėžimas:

Kiekvieno reiškinio tyrimas stebėjimo ar patirties gavimo tvarka yra susijęs su tam tikros sąlygų (testų) visumos įgyvendinimu. Kiekvienas bandymo rezultatas arba rezultatas vadinamas įvykis.

Jei įvykis tam tikromis sąlygomis gali įvykti arba neįvykti, tada jis vadinamas atsitiktinis. Tuo atveju, kai įvykis būtinai turi įvykti, jis vadinamas patikimas ir tuo atveju, kai to tikrai negali atsitikti, - neįmanomas.

Renginiai vadinami nesuderinamas jei kaskart gali pasirodyti tik vienas iš jų. Renginiai vadinami Bendras, jeigu tam tikromis sąlygomis vienas iš šių įvykių netrukdo įvykti kitam tame pačiame bandyme.

Renginiai vadinami priešingas, jei testo sąlygomis jie, kaip vieninteliai jo rezultatai, yra nesuderinami.

Įvykio tikimybė yra laikoma objektyvios atsitiktinio įvykio galimybės matu.

Tikimybėįvykiai vadinami baigčių skaičiaus santykiu m, pirmenybę teikiant šio įvykio įvykimui, visų baigčių (nesuderinamų, unikalių ir vienodai galimų) skaičiui n, t.y.

Bet kurio įvykio tikimybė negali būti mažesnė už nulį ir didesnė už vienetą, t.y. . Neįmanomas įvykis atitinka tikimybę, o patikimas – tikimybę

1 pavyzdys. 1000 bilietų loterijoje yra 200 laimėjusių. Vienas bilietas ištraukiamas atsitiktine tvarka. Kokia tikimybė, kad šis bilietas laimės?

Bendras skirtingų rezultatų skaičius yra n= 1000. Rezultatų, palankių laimėti, skaičius yra m= 200. Pagal formulę gauname .

2 pavyzdys. Iš urnos, kurioje yra 5 balti ir 3 juodi rutuliukai, išimamas vienas rutulys. Raskite tikimybę, kad rutulys yra juodas.

Įvykį, kurį sudaro juodo rutulio atsiradimas, pažymėkime . Bendras bylų skaičius. Bylų skaičius m, palankus įvykiui įvykti, yra lygus 3. Pagal formulę gauname .

3 pavyzdys. Iš urnos, kurioje yra 12 baltų ir 8 juodų rutulių, atsitiktinai ištraukiami du rutuliai. Kokia tikimybė, kad abu rutuliai yra juodi?

Įvykį, kurį sudaro du juodi rutuliukai, pažymėkime kaip . Bendras galimų atvejų skaičius n lygus 20 elementų (12 + 8) derinių skaičiui po du:

Bylų skaičius m palankus renginiui

Naudodami formulę randame dviejų juodų rutuliukų atsiradimo tikimybę:

Tikimybių sudėjimo teorema. Paprasčiausių uždavinių sprendimas tikimybei nustatyti naudojant tikimybių sudėjimo teoremą:

Nesuderinamų įvykių tikimybių sudėjimo teorema. Tikimybė, kad įvyks vienas iš kelių poromis nesuderinamų įvykių, nesvarbu, kuris iš jų, yra lygi šių įvykių tikimybių sumai:

Bendrų įvykių tikimybių sudėjimo teorema. Tikimybė, kad įvyks bent vienas iš dviejų bendrų įvykių, yra lygi šių įvykių tikimybių sumai be jų bendro įvykimo tikimybės:

4 pavyzdys. Dėžutėje atsitiktinai išdėstyta 20 dalių, iš kurių penkios yra standartinės. Darbuotojas atsitiktinai paima tris dalis. Raskite tikimybę, kad bent viena iš paimtų dalių yra standartinė.

Akivaizdu, kad bent viena iš paimtų dalių bus standartinė, jei įvyks kuris nors iš trijų nesuderinamų įvykių: B- viena dalis standartinė, dvi nestandartinės; C- dvi dalys standartinės, viena nestandartinė ir D- trys dalys yra standartinės.

Taigi įvykis A gali būti pavaizduota kaip šių trijų įvykių suma: A=B+C+D. Pagal sudėjimo teoremą turime P(A) = P(B) + P(C) + P(D). Raskite kiekvieno iš šių įvykių tikimybę:

Sudėjus rastas reikšmes gauname

5 pavyzdys Raskite tikimybę, kad atsitiktinai pasirinktas dviženklis skaičius bus 3 arba 5 kartotinis, arba abiejų tuo pačiu metu.

Leisti A- įvykis, susidedantis iš to, kad atsitiktinai paimtas skaičius yra 3 kartotinis, ir B- tai yra 5 kartotinis. Raskime Nuo A ir B bendrus renginius, tada naudojame formulę:

Iš viso yra 90 dviženklių skaičių: 10, 11, 98, 99. Iš jų 30 yra 3 kartotiniai (palankūs įvykio pradžiai A); 18 – 5 kartotiniai (palankūs įvykio pradžiai B) ir 6 – 3 ir 5 kartotiniai tuo pačiu metu (palankūs įvykio pradžiai AB). Taigi, t.y.

Tikimybių daugybos teorema:

Nepriklausomų įvykių tikimybių daugybos teorema. Dviejų nepriklausomų įvykių bendro įvykio tikimybė yra lygi šių įvykių tikimybių sandaugai:

Tikimybė, kad įvyks keli įvykiai, kurie kartu yra nepriklausomi, apskaičiuojama pagal formulę:

Priklausomų įvykių tikimybių daugybos teorema. Dviejų priklausomų įvykių bendro įvykio tikimybė yra lygi vieno iš jų sandaugai su sąlygine antrojo tikimybe:

6 pavyzdys. Vienoje urnoje yra 4 balti ir 8 juodi rutuliai, kitoje 3 balti ir 9 juodi rutuliai. Iš kiekvienos urnos buvo paimtas kamuolys. Raskite tikimybę, kad abu rutuliai yra balti.

Tegul atrodo baltas rutulys iš pirmosios urnos, o baltas rutulys iš antrosios urnos. Akivaizdu, kad įvykiai ir yra nepriklausomi. Raskime

Pagal formulę gauname:

Klausimai savęs patikrinimui 3.1 tema:

1. Kas yra įvykis?

2. Kokie įvykiai vadinami patikimais?

3. Kokie įvykiai vadinami neįmanomais?

4. Apibrėžkite tikimybę.

5. Suformuluokite tikimybių sudėjimo teoremą.

6. Suformuluokite tikimybių daugybos teoremą.

3.1 temos savarankiško sprendimo užduotys:

1. Dėžutėje yra 10 dalių, iš kurių 4 yra standartinės. Valdiklis atsitiktinai paėmė 3 dalis. Raskite tikimybę, kad bent viena iš paimtų dalių yra standartinė.

2. Urnoje yra 10 baltų, 15 juodų, 20 mėlynų ir 25 raudoni rutuliukai. Raskite tikimybę, kad ištrauktas rutulys bus: 1) baltas; 2) juoda arba raudona.

3. Raskite tikimybę, kad atsitiktinai pasirinktas dviženklis skaičius bus 4 arba 5 kartotinis, arba abu tuo pačiu metu.

4. Darbuotojas aptarnauja dvi mašinas, kurios dirba nepriklausomai viena nuo kitos. Tikimybė, kad per valandą pirmas automatas nereikalauja darbuotojo dėmesio yra 0,8, o antrajam automatui ši tikimybė yra 0,7. Raskite tikimybę, kad per valandą nė vienas automatas neprireiks darbuotojo dėmesio.

5. Urnoje yra 6 rutuliukai, iš kurių 3 balti. Atsitiktinai vienas po kito ištraukiami du rutuliai. Apskaičiuokite tikimybę, kad abu rutuliai bus balti.

6. Urnoje yra 10 baltų ir 6 juodi rutuliukai. Raskite tikimybę, kad trys atsitiktinai vienas po kito nupiešti rutuliai yra juodi.