Naudodami bet kurią kalbą tą pačią informaciją galite išreikšti skirtingais žodžiais ir frazėmis. Ne išimtis ir matematinė kalba. Tačiau tą pačią išraišką galima lygiaverčiai parašyti skirtingais būdais. Ir kai kuriose situacijose vienas iš įrašų yra paprastesnis. Šioje pamokoje kalbėsime apie posakių supaprastinimą.

Žmonės bendrauja įvairiomis kalbomis. Mums svarbus palyginimas yra pora „rusų kalba – matematinė kalba“. Ta pati informacija gali būti pateikiama skirtingomis kalbomis. Tačiau, be to, vienoje kalboje jis gali būti tariamas skirtingai.

Pavyzdžiui: „Petras draugauja su Vasya“, „Vasya draugauja su Petya“, „Petras ir Vasya yra draugai“. Sakė kitaip, bet vienas ir tas pats. Pagal bet kurią iš šių frazių suprastume, kas yra pavojuje.

Pažiūrėkime į šią frazę: „Berniukas Petya ir berniukas Vasya yra draugai“. Mes suprantame, kas yra pavojuje. Tačiau mums nepatinka, kaip skamba ši frazė. Ar negalime supaprastinti, pasakyti tą patį, bet paprasčiau? „Berniukas ir berniukas“ - galite pasakyti vieną kartą: „Berniukai Petya ir Vasya yra draugai“.

„Berniukai“... Ar ne iš jų vardų aišku, kad tai ne mergaitės. Mes pašaliname „berniukus“: „Petya ir Vasya yra draugai“. O žodį „draugai“ galima pakeisti „draugais“: „Petya ir Vasya yra draugai“. Dėl to pirmoji, ilga, negraži frazė buvo pakeista lygiaverčiu teiginiu, kurį lengviau pasakyti ir suprasti. Mes supaprastinome šią frazę. Supaprastinti reiškia pasakyti lengviau, bet neprarasti, neiškraipyti prasmės.

Tas pats vyksta matematinėje kalboje. Tą patį galima pasakyti skirtingai. Ką reiškia supaprastinti išraišką? Tai reiškia, kad originaliai išraiškai yra daug lygiaverčių posakių, ty tų, kurie reiškia tą patį. Ir iš visos šios gausybės turime pasirinkti patį paprasčiausią, mūsų nuomone, arba tinkamiausią tolimesniems tikslams.

Pavyzdžiui, apsvarstykite skaitinę išraišką. Jis bus lygiavertis.

Jis taip pat bus lygiavertis pirmiesiems dviem: .

Pasirodo, supaprastinome savo posakius ir radome trumpiausią ekvivalentinę išraišką.

Skaitmeninėms išraiškoms visada reikia atlikti visą darbą ir gauti lygiavertę išraišką kaip vieną skaičių.

Apsvarstykite pažodinės išraiškos pavyzdį . Aišku, bus paprasčiau.

Supaprastindami pažodines išraiškas, turite atlikti visus įmanomus veiksmus.

Ar visada reikia supaprastinti išraišką? Ne, kartais mums patogesnis bus lygiavertis, bet ilgesnis žymėjimas.

Pavyzdys: atimkite skaičių iš skaičiaus.

Skaičiuoti galima, bet jei pirmasis skaičius būtų pavaizduotas lygiaverčiu jo žymėjimu: , tada skaičiavimai būtų momentiniai: .

Tai yra, supaprastinta išraiška ne visada mums naudinga tolesniems skaičiavimams.

Nepaisant to, labai dažnai susiduriame su užduotimi, kuri skamba kaip „supaprastinkite išraišką“.

Supaprastinkite posakį: .

Sprendimas

1) Atlikite veiksmus pirmame ir antrame skliausteliuose: .

2) Apskaičiuokite produktus: .

Akivaizdu, kad paskutinė išraiška yra paprastesnė nei pradinė. Mes tai supaprastinome.

Siekiant supaprastinti išraišką, ji turi būti pakeista ekvivalentu (lygu).

Norėdami nustatyti lygiavertę išraišką, turite:

1) atlikti visus įmanomus veiksmus,

2) skaičiavimams supaprastinti naudoti sudėties, atimties, daugybos ir dalybos savybes.

Sudėjimo ir atimties savybės:

1. Komutacinė sudėjimo savybė: suma nesikeičia dėl sąlygų pertvarkymo.

2. Asociatyvi sudėjimo savybė: norėdami prie dviejų skaičių sumos pridėti trečią skaičių, prie pirmojo skaičiaus galite pridėti antrojo ir trečiojo skaičių sumą.

3. Sumos atėmimo iš skaičiaus savybė: norėdami atimti sumą iš skaičiaus, galite atimti kiekvieną narį atskirai.

Daugybos ir dalybos savybės

1. Daugybos komutacinė savybė: sandauga nekinta nuo veiksnių permutacijos.

2. Asociacinė savybė: norėdami padauginti skaičių iš dviejų skaičių sandaugos, pirmiausia galite jį padauginti iš pirmojo koeficiento, o tada gautą sandaugą padauginti iš antrojo koeficiento.

3. Daugybos skirstomoji savybė: norint padauginti skaičių iš sumos, reikia jį padauginti iš kiekvieno nario atskirai.

Pažiūrėkime, kaip iš tikrųjų atliekame protinius skaičiavimus.

Apskaičiuoti:

Sprendimas

1) Įsivaizduokite, kaip

2) Pirmąjį daugiklį pavaizduokime kaip bitų terminų sumą ir atliksime dauginimą:

3) galite įsivaizduoti, kaip ir atlikti daugybą:

4) Pakeiskite pirmąjį koeficientą lygiaverte suma:

Paskirstymo dėsnį galima naudoti ir priešinga kryptimi: .

Atlikite šiuos veiksmus:

1) 2)

Sprendimas

1) Patogumui galite naudoti paskirstymo dėsnį, tiesiog naudokite jį priešinga kryptimi – išimkite bendrą koeficientą iš skliaustų.

2) Išimkime bendrą koeficientą iš skliaustų

Būtina nusipirkti linoleumą virtuvėje ir koridoriuje. Virtuvės zona – prieškambaris –. Yra trijų tipų linoleumai: už ir rubliai. Kiek kainuos kiekvienas iš trijų linoleumo tipų? (1 pav.)

Ryžiai. 1. Problemos būklės iliustracija

Sprendimas

1 būdas. Galite atskirai sužinoti, kiek pinigų reikės norint nusipirkti linoleumą virtuvėje, tada pridėti jį prie koridoriaus ir susumuoti gautus darbus.

Išraiškos, išraiškų konvertavimas

Galios išraiškos (išraiškos su galiomis) ir jų transformacija

Šiame straipsnyje kalbėsime apie išraiškų transformavimą su galiomis. Pirmiausia sutelksime dėmesį į transformacijas, kurios atliekamos naudojant bet kokios rūšies išraiškas, įskaitant galios išraiškas, pvz., atidaromus skliaustus, sumažinančius panašius terminus. Tada mes analizuosime transformacijas, būdingas konkrečiai išraiškoms su laipsniais: dirbant su baze ir laipsniu, naudojant laipsnių savybes ir kt.

Puslapio naršymas.

Kas yra galios išraiškos?

Sąvoka „galios išraiškos“ praktiškai nerandama mokykliniuose matematikos vadovėliuose, tačiau ji dažnai atsiranda problemų rinkiniuose, ypač skirtuose, pavyzdžiui, pasirengti vieningam valstybiniam egzaminui ir OGE. Išanalizavus užduotis, kuriose reikia atlikti bet kokius veiksmus su galios išraiškomis, tampa aišku, kad galios išraiškos suprantamos kaip išraiškos, kurių įrašuose yra laipsniai. Todėl patys galite pasirinkti tokį apibrėžimą:

Apibrėžimas.

Galios išraiškos yra išraiškos, turinčios galių.

Atnešam galios išraiškų pavyzdžiai. Be to, juos pavaizduosime pagal tai, kaip vyksta požiūrių raida nuo laipsnio su natūraliu rodikliu iki laipsnio su realiu rodikliu.

Kaip žinia, pirmiausia susipažįstama su skaičiaus laipsniu su natūraliuoju laipsniu, šiame etape pirmosios paprasčiausios laipsnio išraiškos tipo 3 2 , 7 5 +1 , (2+1) 5 , (−0,1 ) 4 , 3 a 2 −a+a 2 , x 3−1 , (a 2) 3 ir kt.

Šiek tiek vėliau tiriama skaičiaus su sveikuoju laipsniu galia, dėl kurios atsiranda galios išraiškos su neigiamomis sveikųjų skaičių galiomis, pavyzdžiui: 3 −2, , a −2 +2 b −3 + c 2 .

Vyresnėse klasėse jie vėl grįžta prie laipsnių. Ten įvedamas laipsnis su racionaliu eksponentu, dėl kurio atsiranda atitinkamos galios išraiškos: , , ir tt Galiausiai nagrinėjami laipsniai su neracionaliais rodikliais ir juos turinčios išraiškos: , .

Reikalas neapsiriboja išvardytomis galios išraiškomis: toliau kintamasis prasiskverbia į eksponentą, ir yra, pavyzdžiui, tokios išraiškos 2 x 2 +1 arba . O susipažinus pradeda atsirasti išraiškos su laipsniais ir logaritmais, pavyzdžiui, x 2 lgx −5 x lgx.

Taigi, mes išsiaiškinome klausimą, kas yra galios išraiškos. Toliau mes sužinosime, kaip juos pakeisti.

Pagrindiniai galios išraiškų transformacijų tipai

Naudodami galios išraiškas galite atlikti bet kurią iš pagrindinių išraiškų tapatybės transformacijų. Pavyzdžiui, galite išplėsti skliaustus, pakeisti skaitines išraiškas jų reikšmėmis, pridėti panašių terminų ir pan. Natūralu, kad tokiu atveju būtina laikytis priimtos veiksmų atlikimo tvarkos. Pateikime pavyzdžių.

Pavyzdys.

Apskaičiuokite laipsnio išraiškos reikšmę 2 3 ·(4 2 −12) .

Sprendimas.

Pagal veiksmų eiliškumą pirmiausia atliekame veiksmus skliausteliuose. Ten, pirma, 4 2 laipsnį pakeičiame jo reikšme 16 (jei reikia žr.), antra, apskaičiuojame skirtumą 16−12=4 . Mes turime 2 3 (4 2 -12) = 2 3 (16 - 12) = 2 3 4.

Gautoje išraiškoje 2 3 laipsnį pakeičiame jo reikšme 8, po to apskaičiuojame sandaugą 8·4=32 . Tai yra norima vertė.

Taigi, 2 3 (4 2 -12) = 2 3 (16 - 12) = 2 3 4 = 8 4 = 32.

Atsakymas:

2 3 (4 2 -12) = 32 .

Pavyzdys.

Supaprastinkite galios išraiškas 3 a 4 b −7 −1+2 a 4 b −7.

Sprendimas.

Akivaizdu, kad šioje išraiškoje yra panašių terminų 3 · a 4 · b − 7 ir 2 · a 4 · b − 7 , ir galime juos sumažinti: .

Atsakymas:

3 a 4 b −7 −1+2 a 4 b −7 =5 a 4 b −7 −1.

Pavyzdys.

Išreikškite išraišką galiomis kaip produktą.

Sprendimas.

Norint susidoroti su užduotimi, skaičių 9 galima pavaizduoti kaip 3 2 laipsnį ir vėliau naudoti sutrumpintą daugybos formulę, kvadratų skirtumą:

Atsakymas:

Taip pat yra keletas identiškų transformacijų, būdingų galios išraiškoms. Toliau mes juos analizuosime.

Darbas su baze ir eksponentu

Yra laipsnių, kurių pagrindas ir (arba) rodiklis yra ne tik skaičiai ar kintamieji, bet ir kai kurios išraiškos. Kaip pavyzdį parašykime (2+0.3 7) 5−3.7 ir (a (a+1)−a 2) 2 (x+1) .

Dirbant su tokiomis išraiškomis, galima pakeisti tiek laipsnio bazėje, tiek rodiklyje esančią išraišką identiškai lygiaverte jos kintamųjų DPV išraiška. Kitaip tariant, pagal mums žinomas taisykles galime atskirai konvertuoti laipsnio bazę, o atskirai – rodiklį. Akivaizdu, kad dėl šios transformacijos gaunama išraiška, kuri yra identiška pradinei.

Tokios transformacijos leidžia mums supaprastinti posakius su galiomis arba pasiekti kitų mums reikalingų tikslų. Pavyzdžiui, aukščiau paminėtoje laipsnio išraiškoje (2+0,3 7) 5−3,7 galima atlikti operacijas su skaičiais bazėje ir laipsnyje, kurie leis pereiti prie laipsnio 4,1 1,3. O atplėšę skliaustus ir įvedę panašius terminus į laipsnio bazę (a·(a+1)−a 2) 2·(x+1) gauname paprastesnės formos a 2·(x+1) laipsnio išraišką ).

Maitinimo savybių naudojimas

Viena iš pagrindinių priemonių transformuojant išraiškas galiomis yra lygybės, kurios atspindi . Prisiminkime pagrindinius. Bet kokiems teigiamiems skaičiams a ir b ir savavališkiems realiesiems skaičiams r ir s galioja šios galios savybės:

• a r a s =a r+s ;
• a r:a s =a r−s ;
• (a b) r = a r b r ;
• (a:b) r =a r:b r ;
• (a r) s =a r s .

Atminkite, kad natūraliųjų, sveikųjų ir teigiamų rodiklių apribojimai skaičių a ir b gali būti ne tokie griežti. Pavyzdžiui, natūraliųjų skaičių m ir n lygybė a m ·a n =a m+n galioja ne tik teigiamiems a , bet ir neigiamiems, o a=0 .

Mokykloje pagrindinis dėmesys transformuojant galios išraiškas yra nukreiptas būtent į gebėjimą pasirinkti tinkamą savybę ir teisingai ją pritaikyti. Šiuo atveju laipsnių pagrindai dažniausiai būna teigiami, o tai leidžia be apribojimų naudoti laipsnių savybes. Tas pats pasakytina ir apie reiškinių, turinčių kintamuosius laipsnių bazėse, transformaciją - kintamųjų priimtinų reikšmių diapazonas paprastai yra toks, kad bazės ima tik teigiamas reikšmes, o tai leidžia laisvai naudoti savybes. laipsnių. Apskritai reikia nuolat savęs klausti, ar šiuo atveju galima pritaikyti kokią nors laipsnių savybę, nes netikslus savybių panaudojimas gali lemti ODZ susiaurėjimą ir kitas bėdas. Šie punktai išsamiai ir su pavyzdžiais aptariami straipsnyje išraiškų transformacija naudojant laipsnių savybes. Čia apsiribojame keliais paprastais pavyzdžiais.

Pavyzdys.

Išreikškite išraišką a 2.5 ·(a 2) −3:a −5.5 kaip laipsnį su baze a .

Sprendimas.

Pirma, antrąjį koeficientą (a 2) −3 paverčiame savybe pakelti laipsnį į laipsnį: (a 2) −3 =a 2 (−3) =a −6. Šiuo atveju pradinė galios išraiška bus a 2.5 ·a −6:a −5.5 . Akivaizdu, kad belieka naudoti galių dauginimo ir padalijimo savybes su ta pačia baze, kurią turime
a 2,5 a -6:a -5,5 =
a 2,5−6:a−5,5 =a−3,5:a−5,5 =
a −3.5−(−5.5) =a 2 .

Atsakymas:

a 2,5 (a 2) -3:a -5,5 \u003d a 2.

Galios savybės naudojamos transformuojant galios išraiškas tiek iš kairės į dešinę, tiek iš dešinės į kairę.

Pavyzdys.

Raskite galios išraiškos reikšmę.

Sprendimas.

Lygybė (a·b) r =a r ·b r , taikoma iš dešinės į kairę, leidžia pereiti nuo pradinės išraiškos prie formos sandaugos ir toliau. O padauginus galias su ta pačia baze, rodikliai sumuojasi: .

Pradinės išraiškos transformaciją buvo galima atlikti kitu būdu:

Atsakymas:

.

Pavyzdys.

Atsižvelgiant į galios išraišką a 1,5 −a 0,5 −6 , įveskite naują kintamąjį t=a 0,5 .

Sprendimas.

Laipsnis a 1,5 gali būti pavaizduotas kaip 0,5 3 ir toliau, remiantis laipsnio savybe laipsnyje (a r) s =a r s, taikomas iš dešinės į kairę, konvertuoti jį į formą (a 0,5) 3 . Šiuo būdu, a 1,5 -a 0,5 -6 = (a 0,5) 3 -a 0,5 -6. Dabar nesunku įvesti naują kintamąjį t=a 0,5 , gauname t 3 −t−6 .

Atsakymas:

t 3 −t−6 .

Trupmenų, turinčių laipsnius, konvertavimas

Galios išraiškos gali turėti trupmenas su laipsniais arba tokias trupmenas atvaizduoti. Bet kurios pagrindinės trupmenos transformacijos, būdingos bet kokios rūšies trupmenoms, yra visiškai taikomos tokioms trupmenoms. Tai yra, trupmenas, kuriose yra laipsniai, galima sumažinti, sumažinti iki naujo vardiklio, dirbti atskirai su jų skaitikliu ir atskirai su vardikliu ir pan. Norėdami iliustruoti aukščiau pateiktus žodžius, apsvarstykite kelių pavyzdžių sprendimus.

Pavyzdys.

Supaprastinkite galios išraišką .

Sprendimas.

Ši galios išraiška yra trupmena. Dirbkime su jo skaitikliu ir vardikliu. Skaitiklyje atveriame skliaustus ir supaprastiname po to gautą išraišką, naudodamiesi galių savybėmis, o vardiklyje pateikiame panašius terminus:

Taip pat keičiame vardiklio ženklą, prieš trupmeną padėdami minusą: .

Atsakymas:

.

Trupmenų, turinčių laipsnius, sumažinimas iki naujo vardiklio atliekamas panašiai kaip racionalių trupmenų sumažinimas iki naujo vardiklio. Tuo pačiu metu taip pat randamas papildomas koeficientas ir iš jo padauginamas trupmenos skaitiklis ir vardiklis. Atliekant šį veiksmą verta atsiminti, kad sumažinimas iki naujo vardiklio gali lemti DPV susiaurėjimą. Kad taip neatsitiktų, būtina, kad jokioms kintamųjų reikšmėms iš pradinės išraiškos ODZ kintamųjų neišnyktų papildomas veiksnys.

Pavyzdys.

Perkelkite trupmenas į naują vardiklį: a) į vardiklį a, b) į vardiklį.

Sprendimas.

a) Tokiu atveju gana nesunku išsiaiškinti, koks papildomas veiksnys padeda pasiekti norimą rezultatą. Tai yra daugiklis a 0,3, nes a 0,7 a 0,3 = a 0,7 + 0,3 = a . Atkreipkite dėmesį, kad kintamojo a priimtinų reikšmių diapazone (tai yra visų teigiamų realiųjų skaičių rinkinys) laipsnis a 0,3 neišnyksta, todėl mes turime teisę padauginti duotosios trupmenos skaitiklį ir vardiklį. pagal šį papildomą veiksnį:

b) Atidžiau pažvelgę ​​į vardiklį, nustatome, kad

ir padauginus šią išraišką iš gausite kubelių sumą ir , Tai yra, . Ir tai yra naujas vardiklis, į kurį turime įtraukti pradinę trupmeną.

Taigi radome papildomą veiksnį. Išraiška neišnyksta kintamųjų x ir y priimtinų reikšmių diapazone, todėl galime iš jos padauginti trupmenos skaitiklį ir vardiklį:

Atsakymas:

a) , b) .

Taip pat nėra nieko naujo ir laipsnius turinčių trupmenų redukcijoje: skaitiklis ir vardiklis vaizduojami kaip tam tikras faktorių skaičius, o tie patys skaitiklio ir vardiklio koeficientai mažinami.

Pavyzdys.

Sumažinkite trupmeną: a) , b).

Sprendimas.

a) Pirma, skaitiklį ir vardiklį galima sumažinti skaičiais 30 ir 45, kurie yra lygūs 15. Be to, akivaizdu, kad galite sumažinti x 0,5 +1 ir dar . Štai ką mes turime:

b) Šiuo atveju tie patys veiksniai skaitiklyje ir vardiklyje nėra matomi iš karto. Norėdami juos gauti, turite atlikti išankstines transformacijas. Šiuo atveju jie susideda iš vardiklio išskaidymo į veiksnius pagal kvadratų skirtumo formulę:

Atsakymas:

a)

b) .

Trupmenų mažinimas iki naujo vardiklio ir trupmenų mažinimas daugiausia naudojamas trupmenoms atlikti. Veiksmai atliekami pagal žinomas taisykles. Sudedant (atimant) trupmenas, jos sumažinamos iki bendro vardiklio, po to pridedami (atimami) skaitikliai, o vardiklis lieka toks pat. Rezultatas yra trupmena, kurios skaitiklis yra skaitiklių sandauga, o vardiklis yra vardiklių sandauga. Dalyba iš trupmenos yra daugyba iš jos abipusio skaičiaus.

Pavyzdys.

Sekite žingsnius .

Sprendimas.

Pirma, skliausteliuose atimame trupmenas. Norėdami tai padaryti, mes juos sujungiame į bendrą vardiklį, kuris yra , tada atimkite skaitiklius:

Dabar padauginame trupmenas:

Akivaizdu, kad galima sumažinti galią x 1/2, po to mes turime .

Taip pat galite supaprastinti galios išraišką vardiklyje naudodami kvadratų skirtumo formulę: .

Atsakymas:

Pavyzdys.

Supaprastinkite galios išraišką .

Sprendimas.

Akivaizdu, kad šią trupmeną galima sumažinti (x 2,7 +1) 2, tai suteikia trupmeną . Aišku, kad su x galiomis reikia daryti dar ką nors. Norėdami tai padaryti, gautą frakciją paverčiame produktu. Tai suteikia mums galimybę panaudoti galių dalijimo savybę tais pačiais pagrindais: . O proceso pabaigoje nuo paskutinio produkto pereiname prie frakcijos.

Atsakymas:

.

Ir priduriame, kad galima ir daugeliu atvejų pageidautina perkelti veiksnius su neigiamais rodikliais iš skaitiklio į vardiklį arba iš vardiklio į skaitiklį, keičiant rodiklio ženklą. Tokios transformacijos dažnai supaprastina tolesnius veiksmus. Pavyzdžiui, galios išraišką galima pakeisti .

Posakių konvertavimas su šaknimis ir galiomis

Dažnai išraiškose, kuriose būtinos kai kurios transformacijos, kartu su laipsniais su trupmeniniais eksponentais, yra ir šaknų. Norint konvertuoti tokią išraišką į norimą formą, daugeliu atvejų pakanka pereiti tik prie šaknų arba tik į galias. Bet kadangi su laipsniais dirbti patogiau, jie dažniausiai pereina nuo šaknų iki laipsnių. Tačiau patartina atlikti tokį perėjimą, kai pradinės išraiškos kintamųjų ODZ leidžia pakeisti šaknis laipsniais, nereikia pasiekti modulio arba padalinti ODZ į kelis intervalus (tai išsamiai aptarėme straipsnis, perėjimas nuo šaknų prie laipsnių ir atvirkščiai Susipažinus su laipsniu su racionaliuoju rodikliu, įvedamas laipsnis su iracionaliuoju rodikliu, kuris leidžia kalbėti apie laipsnį su savavališku realiuoju rodikliu. Šiame etape mokykla pradeda mokytis eksponentinė funkcija, kurį analitiškai suteikia laipsnis, kurio pagrindu yra skaičius, o rodiklyje - kintamasis. Taigi susiduriame su galios išraiškomis, kurių laipsnio bazėje yra skaičiai, o laipsnyje - išraiškos su kintamaisiais, ir natūraliai atsiranda poreikis atlikti tokių išraiškų transformacijas.

Reikia pasakyti, kad sprendžiant dažniausiai tenka atlikti nurodyto tipo posakių transformaciją eksponentinės lygtys ir eksponentinės nelygybės, ir šios transformacijos yra gana paprastos. Daugeliu atvejų jie yra pagrįsti laipsnio savybėmis ir dažniausiai yra skirti įvesti naują kintamąjį ateityje. Lygtis leis mums juos parodyti 5 2 x+1 −3 5 x 7 x −14 7 2 x−1 =0.

Pirma, rodikliai, kurių rodikliuose randama kokio nors kintamojo (arba išraiškos su kintamaisiais) ir skaičiaus suma, pakeičiami sandaugomis. Tai taikoma pirmajai ir paskutinei išraiškos kairėje pusėje:
5 2 x 5 1 -3 5 x 7 x -14 7 2 x 7 -1 =0,
5 5 2 x −3 5 x 7 x −2 7 2 x =0.

Tada abi lygybės pusės padalijamos iš išraiškos 7 2 x , kuri ima tik teigiamas ODZ kintamojo x reikšmes pradinei lygčiai (tai yra standartinė tokio pobūdžio lygčių sprendimo technika, mes nekalbame apie tai dabar, todėl sutelkite dėmesį į vėlesnes išraiškų transformacijas su galiomis ):

Dabar trupmenos su galiomis yra panaikintos, o tai suteikia .

Galiausiai laipsnių santykis su tais pačiais rodikliais pakeičiamas santykio laipsniais, todėl gaunama lygtis , kuri yra lygiavertė . Atliktos transformacijos leidžia įvesti naują kintamąjį, kuris sumažina pradinės eksponentinės lygties sprendimą iki kvadratinės lygties sprendinio

I. V. Boikovas, L. D. Romanova Užduočių rinkinys ruošiantis egzaminui. 1 dalis. Penza 2003 m.

Panagrinėkime išraiškų transformavimo galiomis temą, bet pirmiausia apsistosime ties keletu transformacijų, kurias galima atlikti bet kokiomis išraiškomis, įskaitant galias. Išmoksime atidaryti skliaustus, pateikti panašius terminus, dirbti su baze ir laipsniu, naudoti laipsnių savybes.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Kas yra galios išraiškos?

Mokyklos kurse nedaug kas vartoja frazę „galios išraiškos“, tačiau šis terminas nuolat randamas pasiruošimo egzaminui rinkiniuose. Daugeliu atvejų ši frazė žymi išraiškas, kurių įrašuose yra laipsnių. Tai mes atspindėsime savo apibrėžime.

1 apibrėžimas

Galios išraiška yra išraiška, kurioje yra galių.

Pateikiame kelis galios išraiškų pavyzdžius, pradedant laipsniu su natūraliuoju laipsniu ir baigiant laipsniu su realiuoju rodikliu.

Paprasčiausias laipsnio išraiškas galima laikyti laipsniais skaičiaus su natūraliuoju rodikliu: 3 2 , 7 5 + 1 , (2 + 1) 5 , (− 0 , 1) 4 , 2 2 3 3 , 3 a 2 − a + a 2 , x 3 − 1 , (a 2) 3 . Taip pat laipsniai su nuliniu rodikliu: 5 0 , (a + 1) 0 , 3 + 5 2 − 3 , 2 0 . Ir laipsniai su neigiamomis sveikųjų skaičių laipsniais: (0 , 5) 2 + (0 , 5) - 2 2 .

Šiek tiek sunkiau dirbti su laipsniu, kurio rodikliai yra racionalūs ir neracionalūs: 264 1 4 - 3 3 3 1 2 , 2 3 , 5 2 - 2 2 - 1 , 5 , 1 a 1 4 a 1 2 - 2 a - 1 6 · b 1 2 , x π · x 1 - π , 2 3 3 + 5 .

Rodiklis gali būti kintamasis 3 x - 54 - 7 3 x - 58 arba logaritmas x 2 l g x − 5 x l g x.

Mes sprendėme klausimą, kas yra galios išraiškos. Dabar pažvelkime į jų transformaciją.

Pagrindiniai galios išraiškų transformacijų tipai

Pirmiausia apsvarstysime pagrindines išraiškų tapatumo transformacijas, kurias galima atlikti galios išraiškomis.

1 pavyzdys

Apskaičiuokite galios išraiškos reikšmę 2 3 (4 2–12).

Sprendimas

Visas pertvarkas atliksime laikydamiesi veiksmų eilės. Tokiu atveju pradėsime atlikdami veiksmus skliausteliuose: laipsnį pakeisime skaitmenine reikšme ir apskaičiuosime skirtumą tarp dviejų skaičių. Mes turime 2 3 (4 2 - 12) = 2 3 (16 - 12) = 2 3 4.

Mums belieka pakeisti laipsnį 2 3 jo prasmė 8 ir apskaičiuokite produktą 8 4 = 32. Štai mūsų atsakymas.

Atsakymas: 2 3 (4 2 - 12) = 32 .

2 pavyzdys

Supaprastinkite išraišką naudodami galias 3 a 4 b − 7 − 1 + 2 a 4 b − 7.

Sprendimas

Išreiškimas, pateiktas mums problemos sąlygoje, turi panašius terminus, kuriuos galime pateikti: 3 a 4 b − 7 − 1 + 2 a 4 b − 7 = 5 a 4 b − 7 − 1.

Atsakymas: 3 a 4 b − 7 − 1 + 2 a 4 b − 7 = 5 a 4 b − 7 − 1 .

3 pavyzdys

Išreikškite išraišką su laipsniais 9 - b 3 · π - 1 2 sandauga.

Sprendimas

Pavaizduokime skaičių 9 kaip galią 3 2 ir pritaikykite sutrumpintą daugybos formulę:

9 - b 3 π - 1 2 = 3 2 - b 3 π - 1 2 = = 3 - b 3 π - 1 3 + b 3 π - 1

Atsakymas: 9 - b 3 π - 1 2 = 3 - b 3 π - 1 3 + b 3 π - 1 .

O dabar pereikime prie identiškų transformacijų, kurias galima pritaikyti konkrečiai galios išraiškoms, analizės.

Darbas su baze ir eksponentu

Pagrindo arba laipsnio laipsnis gali turėti skaičius, kintamuosius ir kai kurias išraiškas. Pavyzdžiui, (2 + 0, 3 7) 5 - 3, 7 ir . Sunku dirbti su tokiais įrašais. Daug lengviau laipsnio bazėje esančią išraišką arba laipsnio išraišką pakeisti identiška išraiška.

Laipsnio ir rodiklio transformacijos atliekamos pagal mums žinomas taisykles atskirai viena nuo kitos. Svarbiausia, kad transformacijų rezultate gaunama išraiška, kuri yra identiška pradinei.

Transformacijų tikslas – supaprastinti pirminę išraišką arba gauti problemos sprendimą. Pavyzdžiui, pavyzdyje, kurį pateikėme aukščiau, (2 + 0 , 3 7) 5 − 3 , 7 galite atlikti operacijas, kad pasiektumėte laipsnį 4 , 1 1 , 3 . Atidarę skliaustus, laipsnio pagrindu galime pateikti panašius terminus (a (a + 1) − a 2) 2 (x + 1) ir gauti paprastesnės formos galios išraišką a 2 (x + 1).

Maitinimo savybių naudojimas

Laipsnių savybės, užrašytos kaip lygybės, yra viena iš pagrindinių priemonių transformuoti išraiškas laipsniais. Atsižvelgdami į tai, pateikiame pagrindinius a ir b yra bet kokie teigiami skaičiai ir r ir s- savavališki realieji skaičiai:

2 apibrėžimas

• a r a s = a r + s ;
• a r: a s = a r − s ;
• (a b) r = a r b r ;
• (a: b) r = a r: b r ;
• (a r) s = a r s .

Tais atvejais, kai kalbame su natūraliaisiais, sveikaisiais, teigiamais eksponentais, skaičių a ir b apribojimai gali būti daug ne tokie griežti. Taigi, pavyzdžiui, jei svarstysime lygybę a m a n = a m + n, kur m ir n yra natūralūs skaičiai, tada tai bus teisinga bet kurioms a reikšmėms, tiek teigiamoms, tiek neigiamoms, taip pat a = 0.

Laipsnių savybes galite taikyti be apribojimų tais atvejais, kai laipsnių pagrindai yra teigiami arba juose yra kintamųjų, kurių priimtinų reikšmių diapazonas yra toks, kad bazės turi tik teigiamas reikšmes. Tiesą sakant, pagal mokyklos matematikos programą mokinio užduotis yra pasirinkti tinkamą savybę ir teisingai ją pritaikyti.

Rengiantis stojant į universitetus gali kilti užduočių, kuriose netikslus savybių taikymas sukels ODZ susiaurėjimą ir kitus sprendimo sunkumus. Šiame skyriuje nagrinėsime tik du tokius atvejus. Daugiau informacijos šia tema rasite temoje „Reiškių transformavimas naudojant eksponentų savybes“.

4 pavyzdys

Atvaizduokite išraišką a 2, 5 (a 2) - 3: a - 5, 5 kaip laipsnis su pagrindu a.

Sprendimas

Pirmiausia naudojame eksponencijos savybę ir ją naudodami transformuojame antrąjį veiksnį (a 2) – 3. Tada mes naudojame laipsnių daugybos ir padalijimo savybes su ta pačia baze:

a 2 , 5 a - 6 : a - 5 , 5 = a 2 , 5 - 6 : a - 5 , 5 = a - 3 , 5 : a - 5 , 5 = a - 3 , 5 - ( - 5 , 5 ) = a 2 .

Atsakymas: a 2 , 5 (a 2) − 3: a − 5, 5 = a 2 .

Galios išraiškų transformacija pagal laipsnių savybę gali būti atliekama tiek iš kairės į dešinę, tiek į priešingą pusę.

5 pavyzdys

Raskite galios išraiškos 3 1 3 · 7 1 3 · 21 2 3 reikšmę.

Sprendimas

Jei taikysime lygybę (a b) r = a r b r, iš dešinės į kairę, tada gauname 3 7 1 3 21 2 3 ir tada 21 1 3 21 2 3 formos sandaugą. Sudėkime eksponentus, kai laipsnius dauginsime su tomis pačiomis bazėmis: 21 1 3 21 2 3 \u003d 21 1 3 + 2 3 \u003d 21 1 \u003d 21.

Yra dar vienas transformacijos būdas:

3 1 3 7 1 3 21 2 3 = 3 1 3 7 1 3 (3 7) 2 3 = 3 1 3 7 1 3 3 2 3 7 2 3 = = 3 1 3 3 2 3 7 1 3 7 2 3 = 3 1 3 + 2 3 7 1 3 + 2 3 = 3 1 7 1 = 21

Atsakymas: 3 1 3 7 1 3 21 2 3 = 3 1 7 1 = 21

6 pavyzdys

Pateikta galios išraiška a 1, 5 - a 0, 5 - 6, įveskite naują kintamąjį t = a 0, 5.

Sprendimas

Įsivaizduokite laipsnį a 1, 5 kaip a 0, 5 3. Laipsnio savybės naudojimas laipsnyje (a r) s = a r s iš dešinės į kairę ir gaukite (a 0 , 5) 3: a 1 , 5 - a 0 , 5 - 6 = (a 0 , 5) 3 - a 0 , 5 - 6 . Gautoje išraiškoje galite lengvai įvesti naują kintamąjį t = a 0, 5: gauti t 3 − t − 6.

Atsakymas: t 3 − t − 6 .

Trupmenų, turinčių laipsnius, konvertavimas

Dažniausiai susiduriame su dviem galios išraiškų su trupmenomis variantais: išraiška yra trupmena su laipsniu arba turi tokią trupmeną. Visos pagrindinės trupmenos transformacijos yra taikomos tokioms išraiškoms be apribojimų. Juos galima sumažinti, perkelti į naują vardiklį, dirbti atskirai su skaitikliu ir vardikliu. Iliustruojame tai pavyzdžiais.

7 pavyzdys

Supaprastinkite galios išraišką 3 5 2 3 5 1 3 - 5 - 2 3 1 + 2 x 2 - 3 - 3 x 2 .

Sprendimas

Mes susiduriame su trupmena, todėl atliksime transformacijas ir skaitiklyje, ir vardikliuose:

3 5 2 3 5 1 3 - 5 - 2 3 1 + 2 x 2 - 3 - 3 x 2 = 3 5 2 3 5 1 3 - 3 5 2 3 5 - 2 3 - 2 - x 2 = = 3 5 2 3 + 1 3 - 3 5 2 3 + - 2 3 - 2 - x 2 = 3 5 1 - 3 5 0 - 2 - x 2

Norėdami pakeisti vardiklio ženklą, prieš trupmeną įdėkite minusą: 12 - 2 - x 2 = - 12 2 + x 2

Atsakymas: 3 5 2 3 5 1 3 - 5 - 2 3 1 + 2 x 2 - 3 - 3 x 2 = - 12 2 + x 2

Trupmenos, turinčios laipsnius, sumažinamos iki naujo vardiklio taip pat, kaip ir racionalios trupmenos. Norėdami tai padaryti, turite rasti papildomą koeficientą ir iš jo padauginti trupmenos skaitiklį ir vardiklį. Būtina pasirinkti papildomą veiksnį taip, kad jis neišnyktų jokioms kintamųjų reikšmėms iš pradinės išraiškos ODZ kintamųjų.

8 pavyzdys

Suveskite trupmenas į naują vardiklį: a) a + 1 a 0, 7 į vardiklį a, b) 1 x 2 3 - 2 x 1 3 y 1 6 + 4 y 1 3 iki vardiklio x + 8 y 1 2 .

Sprendimas

a) Pasirenkame veiksnį, kuris leis redukuoti iki naujo vardiklio. a 0 , 7 a 0 , 3 = a 0 , 7 + 0 , 3 = a , todėl kaip papildomą veiksnį imame a 0, 3. Kintamojo a leistinų verčių diapazonas apima visų teigiamų realiųjų skaičių rinkinį. Šioje srityje laipsnis a 0, 3 nenueina iki nulio.

Padauginkime trupmenos skaitiklį ir vardiklį iš a 0, 3:

a + 1 a 0, 7 = a + 1 a 0, 3 a 0, 7 a 0, 3 = a + 1 a 0, 3 a

b) Atkreipkite dėmesį į vardiklį:

x 2 3 - 2 x 1 3 y 1 6 + 4 y 1 3 = = x 1 3 2 - x 1 3 2 y 1 6 + 2 y 1 6 2

Padauginę šią išraišką iš x 1 3 + 2 · y 1 6, gausime kubelių x 1 3 ir 2 · y 1 6 sumą, t.y. x + 8 · y 1 2 . Tai mūsų naujas vardiklis, į kurį turime įtraukti pradinę trupmeną.

Taigi radome papildomą koeficientą x 1 3 + 2 · y 1 6 . Apie priimtinų kintamųjų verčių diapazoną x ir y išraiška x 1 3 + 2 y 1 6 neišnyksta, todėl galime iš jos padauginti trupmenos skaitiklį ir vardiklį:
1 x 2 3 - 2 x 1 3 y 1 6 + 4 y 1 3 = = x 1 3 + 2 y 1 6 x 1 3 + 2 y 1 6 x 2 3 - 2 x 1 3 y 1 6 + 4 y 1 3 = = x 1 3 + 2 y 1 6 x 1 3 3 + 2 y 1 6 3 = x 1 3 + 2 y 1 6 x + 8 y 1 2

Atsakymas: a) a + 1 a 0, 7 = a + 1 a 0, 3 a, b) 1 x 2 3 - 2 x 1 3 y 1 6 + 4 y 1 3 = x 1 3 + 2 y 1 6 x + 8 y 1 2 .

9 pavyzdys

Sumažinkite trupmeną: a) 30 x 3 (x 0, 5 + 1) x + 2 x 1 1 3 - 5 3 45 x 0, 5 + 1 2 x + 2 x 1 1 3 - 5 3, b) a 1 4 - b 1 4 a 1 2 - b 1 2.

Sprendimas

a) Naudokite didžiausią bendrą vardiklį (GCD), kuriuo galima sumažinti skaitiklį ir vardiklį. Skaičiams 30 ir 45 tai yra 15. Taip pat galime sumažinti x 0, 5 + 1 ir ant x + 2 x 1 1 3 - 5 3 .

Mes gauname:

30 x 3 (x 0, 5 + 1) x + 2 x 1 1 3 - 5 3 45 x 0, 5 + 1 2 x + 2 x 1 1 3 - 5 3 = 2 x 3 3 (x 0, 5 + 1)

b) Čia identiškų veiksnių buvimas nėra akivaizdus. Turėsite atlikti kai kurias transformacijas, kad gautumėte tuos pačius skaitiklio ir vardiklio veiksnius. Norėdami tai padaryti, išplečiame vardiklį naudodami kvadratų skirtumo formulę:

a 1 4 - b 1 4 a 1 2 - b 1 2 = a 1 4 - b 1 4 a 1 4 2 - b 1 2 2 = = a 1 4 - b 1 4 a 1 4 + b 1 4 a 1 4 - b 1 4 = 1 a 1 4 + b 1 4

Atsakymas: a) 30 x 3 (x 0, 5 + 1) x + 2 x 1 1 3 - 5 3 45 x 0, 5 + 1 2 x + 2 x 1 1 3 - 5 3 = 2 · x 3 3 · (x 0 , 5 + 1) , b) a 1 4 - b 1 4 a 1 2 - b 1 2 = 1 a 1 4 + b 1 4 .

Pagrindinės operacijos su trupmenomis apima redukavimą iki naujo vardiklio ir trupmenų mažinimą. Abu veiksmai atliekami laikantis tam tikrų taisyklių. Sudedant ir atimant trupmenas, pirmiausia trupmenos sumažinamos iki bendro vardiklio, po to atliekami veiksmai (sudėti arba atimti) su skaitikliais. Vardiklis išlieka tas pats. Mūsų veiksmų rezultatas – nauja trupmena, kurios skaitiklis yra skaitiklių sandauga, o vardiklis – vardklių sandauga.

10 pavyzdys

Atlikite veiksmus x 1 2 + 1 x 1 2 - 1 - x 1 2 - 1 x 1 2 + 1 · 1 x 1 2 .

Sprendimas

Pradėkime atimdami trupmenas, kurios yra skliausteliuose. Suveskime juos prie bendro vardiklio:

x 1 2 - 1 x 1 2 + 1

Atimkime skaitiklius:

x 1 2 + 1 x 1 2 - 1 - x 1 2 - 1 x 1 2 + 1 1 x 1 2 = = x 1 2 + 1 x 1 2 + 1 x 1 2 - 1 x 1 2 + 1 - x 1 2 - 1 x 1 2 - 1 x 1 2 + 1 x 1 2 - 1 1 x 1 2 = = x 1 2 + 1 2 - x 1 2 - 1 2 x 1 2 - 1 x 1 2 + 1 1 x 1 2 = = x 1 2 2 + 2 x 1 2 + 1 - x 1 2 2 - 2 x 1 2 + 1 x 1 2 - 1 x 1 2 + 1 1 x 1 2 = = 4 x 1 2 x 1 2 - 1 x 1 2 + 1 1 x 1 2

Dabar padauginame trupmenas:

4 x 1 2 x 1 2 - 1 x 1 2 + 1 1 x 1 2 = = 4 x 1 2 x 1 2 - 1 x 1 2 + 1 x 1 2

Sumažinkime laipsniu x 1 2, gauname 4 x 1 2 - 1 x 1 2 + 1 .

Be to, jūs galite supaprastinti galios išraišką vardiklyje, naudodami kvadratų skirtumo formulę: kvadratai: 4 x 1 2 - 1 x 1 2 + 1 = 4 x 1 2 2 - 1 2 = 4 x - 1.

Atsakymas: x 1 2 + 1 x 1 2 - 1 - x 1 2 - 1 x 1 2 + 1 1 x 1 2 = 4 x - 1

11 pavyzdys

Supaprastinkite galios išraišką x 3 4 x 2 , 7 + 1 2 x - 5 8 x 2 , 7 + 1 3 .
Sprendimas

Mes galime sumažinti trupmeną (x 2, 7 + 1) 2. Gauname trupmeną x 3 4 x - 5 8 x 2, 7 + 1.

Tęskime x laipsnių x 3 4 x - 5 8 · 1 x 2, 7 + 1 transformacijas. Dabar galite naudoti galios padalijimo ypatybę su tais pačiais pagrindais: x 3 4 x - 5 8 1 x 2, 7 + 1 = x 3 4 - - 5 8 1 x 2, 7 + 1 = x 1 1 8 1 x 2 , 7 + 1 .

Nuo paskutinio produkto pereiname prie frakcijos x 1 3 8 x 2, 7 + 1.

Atsakymas: x 3 4 x 2 , 7 + 1 2 x - 5 8 x 2 , 7 + 1 3 = x 1 3 8 x 2 , 7 + 1 .

Daugeliu atvejų daugiklius su neigiamais rodikliais patogiau perkelti iš skaitiklio į vardiklį ir atvirkščiai, pakeičiant eksponento ženklą. Šis veiksmas supaprastina tolesnį sprendimą. Pateikiame pavyzdį: laipsnio išraišką (x + 1) - 0 , 2 3 · x - 1 galima pakeisti x 3 · (x + 1) 0 , 2 .

Posakių konvertavimas su šaknimis ir galiomis

Užduotyse yra galios išraiškų, kuriose yra ne tik laipsniai su trupmeniniais rodikliais, bet ir šaknys. Tokius posakius pageidautina redukuoti tik į šaknis arba tik į galias. Pageidautina pereiti prie laipsnių, nes su jais lengviau dirbti. Toks perėjimas yra ypač naudingas, kai pradinės išraiškos kintamųjų DPV leidžia pakeisti šaknis galiomis, neprieinant prie modulio arba nepadalinant DPV į kelis intervalus.

12 pavyzdys

Išreikškite išraišką x 1 9 x x 3 6 kaip laipsnį.

Sprendimas

Tinkamas kintamojo diapazonas x yra nulemtas dviejų nelygybių x ≥ 0 ir x · x 3 ≥ 0 , kurie apibrėžia aibę [ 0 , + ∞) .

Šiame rinkinyje mes turime teisę pereiti nuo šaknų prie galių:

x 1 9 x x 3 6 = x 1 9 x x 1 3 1 6

Naudodamiesi laipsnių savybėmis, supaprastiname gautą galios išraišką.

x 1 9 x x 1 3 1 6 = x 1 9 x 1 6 x 1 3 1 6 = x 1 9 x 1 6 x 1 1 3 6 = = x 1 9 x 1 6 x 1 18 = x 1 9 + 1 6 + 1 18 = x 1 3

Atsakymas: x 1 9 x x 3 6 = x 1 3 .

Laipsnių konvertavimas su kintamaisiais eksponente

Šias transformacijas atlikti gana paprasta, jei teisingai naudojate laipsnio savybes. Pavyzdžiui, 5 2 x + 1 - 3 5 x 7 x - 14 7 2 x - 1 = 0.

Galime pakeisti laipsnio sandaugą, pagal kurią randama kurio nors kintamojo ir skaičiaus suma. Kairėje pusėje tai galima padaryti su pirmuoju ir paskutiniu terminu kairėje išraiškos pusėje:

5 2 x 5 1 - 3 5 x 7 x - 14 7 2 x 7 - 1 = 0, 5 5 2 x - 3 5 x 7 x - 2 7 2 x = 0.

Dabar padalinkime abi lygties puses iš 7 2 x. Ši išraiška kintamojo x ODZ įgauna tik teigiamas reikšmes:

5 5 - 3 5 x 7 x - 2 7 2 x 7 2 x = 0 7 2 x , 5 5 2 x 7 2 x - 3 5 x 7 x 7 2 x - 2 7 2 x 7 2 x = 0 , 5 5 2 x 7 2 x - 3 5 x 7 x 7 x 7 x - 2 7 2 x 7 2 x = 0

Sumažinkime trupmenas laipsniais, gausime: 5 5 2 x 7 2 x - 3 5 x 7 x - 2 = 0 .

Galiausiai laipsnių santykis su tais pačiais rodikliais pakeičiamas koeficientų laipsniais, todėl gaunama lygtis 5 5 7 2 x - 3 5 7 x - 2 = 0 , kuri yra lygi 5 5 7 x 2 - 3 5 7 x-2 = 0.

Įvedame naują kintamąjį t = 5 7 x , kuris sumažina pradinės eksponentinės lygties sprendinį iki kvadratinės lygties 5 · t 2 − 3 · t − 2 = 0 sprendinio.

Posakių konvertavimas laipsniais ir logaritmais

Išraiškos, turinčios laipsnius ir logaritmus, taip pat randamos uždaviniuose. Tokių posakių pavyzdžiai: 1 4 1 - 5 log 2 3 arba log 3 27 9 + 5 (1 - log 3 5) log 5 3 . Tokių išraiškų transformacija atliekama naudojant aukščiau aptartus metodus ir logaritmų savybes, kurias išsamiai išanalizavome temoje „Logaritminių išraiškų transformacija“.

Jei tekste pastebėjote klaidą, pažymėkite ją ir paspauskite Ctrl+Enter

Naudodami bet kurią kalbą tą pačią informaciją galite išreikšti skirtingais žodžiais ir frazėmis. Ne išimtis ir matematinė kalba. Tačiau tą pačią išraišką galima lygiaverčiai parašyti skirtingais būdais. Ir kai kuriose situacijose vienas iš įrašų yra paprastesnis. Šioje pamokoje kalbėsime apie posakių supaprastinimą.

Žmonės bendrauja įvairiomis kalbomis. Mums svarbus palyginimas yra pora „rusų kalba – matematinė kalba“. Ta pati informacija gali būti pateikiama skirtingomis kalbomis. Tačiau, be to, vienoje kalboje jis gali būti tariamas skirtingai.

Pavyzdžiui: „Petras draugauja su Vasya“, „Vasya draugauja su Petya“, „Petras ir Vasya yra draugai“. Sakė kitaip, bet vienas ir tas pats. Pagal bet kurią iš šių frazių suprastume, kas yra pavojuje.

Pažiūrėkime į šią frazę: „Berniukas Petya ir berniukas Vasya yra draugai“. Mes suprantame, kas yra pavojuje. Tačiau mums nepatinka, kaip skamba ši frazė. Ar negalime supaprastinti, pasakyti tą patį, bet paprasčiau? „Berniukas ir berniukas“ - galite pasakyti vieną kartą: „Berniukai Petya ir Vasya yra draugai“.

„Berniukai“... Ar ne iš jų vardų aišku, kad tai ne mergaitės. Mes pašaliname „berniukus“: „Petya ir Vasya yra draugai“. O žodį „draugai“ galima pakeisti „draugais“: „Petya ir Vasya yra draugai“. Dėl to pirmoji, ilga, negraži frazė buvo pakeista lygiaverčiu teiginiu, kurį lengviau pasakyti ir suprasti. Mes supaprastinome šią frazę. Supaprastinti reiškia pasakyti lengviau, bet neprarasti, neiškraipyti prasmės.

Tas pats vyksta matematinėje kalboje. Tą patį galima pasakyti skirtingai. Ką reiškia supaprastinti išraišką? Tai reiškia, kad originaliai išraiškai yra daug lygiaverčių posakių, ty tų, kurie reiškia tą patį. Ir iš visos šios gausybės turime pasirinkti patį paprasčiausią, mūsų nuomone, arba tinkamiausią tolimesniems tikslams.

Pavyzdžiui, apsvarstykite skaitinę išraišką. Jis bus lygiavertis.

Jis taip pat bus lygiavertis pirmiesiems dviem: .

Pasirodo, supaprastinome savo posakius ir radome trumpiausią ekvivalentinę išraišką.

Skaitmeninėms išraiškoms visada reikia atlikti visą darbą ir gauti lygiavertę išraišką kaip vieną skaičių.

Apsvarstykite pažodinės išraiškos pavyzdį . Aišku, bus paprasčiau.

Supaprastindami pažodines išraiškas, turite atlikti visus įmanomus veiksmus.

Ar visada reikia supaprastinti išraišką? Ne, kartais mums patogesnis bus lygiavertis, bet ilgesnis žymėjimas.

Pavyzdys: atimkite skaičių iš skaičiaus.

Skaičiuoti galima, bet jei pirmasis skaičius būtų pavaizduotas lygiaverčiu jo žymėjimu: , tada skaičiavimai būtų momentiniai: .

Tai yra, supaprastinta išraiška ne visada mums naudinga tolesniems skaičiavimams.

Nepaisant to, labai dažnai susiduriame su užduotimi, kuri skamba kaip „supaprastinkite išraišką“.

Supaprastinkite posakį: .

Sprendimas

1) Atlikite veiksmus pirmame ir antrame skliausteliuose: .

2) Apskaičiuokite produktus: .

Akivaizdu, kad paskutinė išraiška yra paprastesnė nei pradinė. Mes tai supaprastinome.

Siekiant supaprastinti išraišką, ji turi būti pakeista ekvivalentu (lygu).

Norėdami nustatyti lygiavertę išraišką, turite:

1) atlikti visus įmanomus veiksmus,

2) skaičiavimams supaprastinti naudoti sudėties, atimties, daugybos ir dalybos savybes.

Sudėjimo ir atimties savybės:

1. Komutacinė sudėjimo savybė: suma nesikeičia dėl sąlygų pertvarkymo.

2. Asociatyvi sudėjimo savybė: norėdami prie dviejų skaičių sumos pridėti trečią skaičių, prie pirmojo skaičiaus galite pridėti antrojo ir trečiojo skaičių sumą.

3. Sumos atėmimo iš skaičiaus savybė: norėdami atimti sumą iš skaičiaus, galite atimti kiekvieną narį atskirai.

Daugybos ir dalybos savybės

1. Daugybos komutacinė savybė: sandauga nekinta nuo veiksnių permutacijos.

2. Asociacinė savybė: norėdami padauginti skaičių iš dviejų skaičių sandaugos, pirmiausia galite jį padauginti iš pirmojo koeficiento, o tada gautą sandaugą padauginti iš antrojo koeficiento.

3. Daugybos skirstomoji savybė: norint padauginti skaičių iš sumos, reikia jį padauginti iš kiekvieno nario atskirai.

Pažiūrėkime, kaip iš tikrųjų atliekame protinius skaičiavimus.

Apskaičiuoti:

Sprendimas

1) Įsivaizduokite, kaip

2) Pirmąjį daugiklį pavaizduokime kaip bitų terminų sumą ir atliksime dauginimą:

3) galite įsivaizduoti, kaip ir atlikti daugybą:

4) Pakeiskite pirmąjį koeficientą lygiaverte suma:

Paskirstymo dėsnį galima naudoti ir priešinga kryptimi: .

Atlikite šiuos veiksmus:

1) 2)

Sprendimas

1) Patogumui galite naudoti paskirstymo dėsnį, tiesiog naudokite jį priešinga kryptimi – išimkite bendrą koeficientą iš skliaustų.

2) Išimkime bendrą koeficientą iš skliaustų

Būtina nusipirkti linoleumą virtuvėje ir koridoriuje. Virtuvės zona – prieškambaris –. Yra trijų tipų linoleumai: už ir rubliai. Kiek kainuos kiekvienas iš trijų linoleumo tipų? (1 pav.)

Ryžiai. 1. Problemos būklės iliustracija

Sprendimas

1 būdas. Galite atskirai sužinoti, kiek pinigų reikės norint nusipirkti linoleumą virtuvėje, tada pridėti jį prie koridoriaus ir susumuoti gautus darbus.

Pirmas lygis

Išraiškos konvertavimas. Išsami teorija (2019 m.)

Išraiškos konvertavimas

Dažnai girdime šią nemalonią frazę: „supaprastink posakį“. Paprastai šiuo atveju turime tokį monstrą:

„Taip, daug lengviau“, - sakome, bet toks atsakymas paprastai neveikia.

Dabar aš išmokysiu jus nebijoti tokių užduočių. Be to, pamokos pabaigoje jūs pats supaprastinsite šį pavyzdį iki (tiesiog!) įprasto skaičiaus (taip, po velnių su šiomis raidėmis).

Tačiau prieš pradėdami šią pamoką turite mokėti tvarkyti trupmenas ir koeficientų polinomus. Todėl pirmiausia, jei to dar nepadarėte, būtinai įsisavinkite temas „“ ir „“.

Skaityti? Jei taip, tuomet esate pasiruošę.

Pagrindinės supaprastinimo operacijos

Dabar analizuosime pagrindinius metodus, kurie naudojami išraiškoms supaprastinti.

Paprasčiausias iš jų yra

1. Panašių atnešimas

Kas yra panašūs? Jūs tai patyrėte 7 klasėje, kai matematikoje vietoj skaičių pirmą kartą pasirodė raidės. Panašūs yra terminai (monomilai), turintys tą pačią raidžių dalį. Pavyzdžiui, sumoje kaip terminai yra ir.

Prisiminė?

Pateikti panašius terminus reiškia pridėti kelis panašius terminus ir gauti vieną terminą.

Bet kaip mes galime sujungti raides? - Jūs klausiate.

Tai labai lengva suprasti, jei įsivaizduojate, kad raidės yra kažkokie objektai. Pavyzdžiui, laiškas yra kėdė. Tada kokia yra išraiška? Dvi kėdės plius trys kėdės, kiek kainuos? Teisingai, kėdės: .

Dabar išbandykite šią išraišką:

Kad nesusipainiotumėte, skirtingos raidės žymi skirtingus objektus. Pavyzdžiui, - tai (kaip įprasta) kėdė ir - tai stalas. Tada:

kėdės stalai kėdės stalai kėdės kėdės stalai

Skaičiai, iš kurių dauginamos tokių terminų raidės, yra vadinami koeficientai. Pavyzdžiui, monomijoje koeficientas yra lygus. Ir jis lygus.

Taigi, panašaus atnešimo taisyklė:

Pavyzdžiai:

Atsineškite panašių:

Atsakymai:

2. (ir yra panašūs, nes todėl šie terminai turi tą pačią raidinę dalį).

2. Faktorizavimas

Paprastai tai yra svarbiausia dalis supaprastinant išraiškas. Pateikus panašius, dažniausiai gauta išraiška turi būti faktorinuojama, tai yra, pateikiama kaip produktas. Tai ypač svarbu trupmenose: juk norint sumažinti trupmeną, skaitiklis ir vardiklis turi būti vaizduojami kaip sandauga.

Išsamius faktoringo išraiškų metodus išnagrinėjote temoje "", todėl čia tereikia prisiminti, ką išmokote. Norėdami tai padaryti, išspręskite keletą pavyzdžių(turi būti atimta):

Sprendimai:

3. Frakcijų mažinimas.

Na, o kas gali būti gražiau, nei išbraukti dalį skaitiklio ir vardiklio ir išmesti juos iš savo gyvenimo?

Tai yra santrumpos grožis.

Tai paprasta:

Jei skaitiklyje ir vardiklyje yra tie patys veiksniai, juos galima sumažinti, tai yra, pašalinti iš trupmenos.

Ši taisyklė išplaukia iš pagrindinės trupmenos savybės:

Tai yra, redukcijos operacijos esmė yra ta Trupmenos skaitiklį ir vardiklį padalijame iš to paties skaičiaus (arba iš tos pačios išraiškos).

Norėdami sumažinti dalį, jums reikia:

1) skaitiklis ir vardiklis faktorizuoti

2) jeigu skaitiklyje ir vardiklyje yra bendri veiksniai, juos galima ištrinti.

Principas, manau, aiškus?

Norėčiau atkreipti jūsų dėmesį į vieną tipišką sutrumpinimo klaidą. Nors ši tema ir paprasta, tačiau daug kas viską daro ne taip, to nesuvokdami supjaustyti- tai reiškia padalinti skaitiklis ir vardiklis tuo pačiu skaičiumi.

Santrumpų nėra, jei skaitiklis arba vardiklis yra suma.

Pavyzdžiui: reikia supaprastinti.

Kai kurie tai daro: tai visiškai neteisinga.

Kitas pavyzdys: sumažinti.

„Protingiausi“ padarys tai:.

Pasakyk man, kas čia negerai? Atrodytų: - tai daugiklis, todėl galite sumažinti.

Bet ne: - tai tik vieno skaitiklio nario koeficientas, bet pats skaitiklis kaip visuma nėra išskaidytas į veiksnius.

Štai dar vienas pavyzdys:.

Ši išraiška suskaidoma į veiksnius, o tai reiškia, kad galite sumažinti, ty padalyti skaitiklį ir vardiklį iš, o tada iš:

Galite iš karto padalyti iš:

Norėdami išvengti tokių klaidų, prisiminkite paprastą būdą nustatyti, ar išraiška yra faktoringa:

Aritmetinė operacija, kuri atliekama paskutinė skaičiuojant išraiškos reikšmę, yra „pagrindinė“. Tai yra, jei vietoj raidžių pakeičiate kai kuriuos (bet kokius) skaičius ir bandote apskaičiuoti išraiškos reikšmę, tada, jei paskutinis veiksmas yra daugyba, tada turime sandaugą (išraiška išskaidoma į veiksnius). Jei paskutinis veiksmas yra sudėjimas arba atėmimas, tai reiškia, kad išraiška neskaičiuojama (todėl negali būti sumažinta).

Norėdami tai išspręsti, keletą išspręskite patys pavyzdžių:

Atsakymai:

1. Tikiuosi iš karto nepuolei kirpti ir? Vis tiek nepakako „sumažinti“ vienetų, tokių kaip:

Pirmas žingsnis turėtų būti faktorizavimas:

4. Trupmenų sudėjimas ir atėmimas. Trupmenų suvedimas į bendrą vardiklį.

Paprastųjų trupmenų pridėjimas ir atėmimas yra gerai žinoma operacija: ieškome bendro vardiklio, kiekvieną trupmeną padauginame iš trūkstamo koeficiento ir pridedame / atimame skaitiklius. Prisiminkime:

Atsakymai:

1. Vardikliai ir yra koprime, tai yra, jie neturi bendrų veiksnių. Todėl šių skaičių LCM yra lygus jų sandaugai. Tai bus bendras vardiklis:

2. Čia yra bendras vardiklis:

3. Čia pirmiausia mišrias frakcijas paverčiame netinkamomis, o tada - pagal įprastą schemą:

Visai kas kita, jei trupmenose yra raidžių, pavyzdžiui:

Pradėkime nuo paprasto:

a) Vardikliuose nėra raidžių

Čia viskas taip pat, kaip ir su įprastomis skaitinėmis trupmenomis: randame bendrą vardiklį, kiekvieną trupmeną padauginame iš trūkstamo koeficiento ir pridedame / atimame skaitiklius:

dabar skaitiklyje galite pateikti panašius, jei tokių yra, ir suskaičiuoti:

Išbandykite patys:

b) Vardikliuose yra raidės

Prisiminkime principą rasti bendrą vardiklį be raidžių:

Pirmiausia nustatome bendrus veiksnius;

Tada vieną kartą užrašome visus bendruosius veiksnius;

ir padauginkite juos iš visų kitų veiksnių, o ne įprastų.

Norėdami nustatyti bendrus vardiklių veiksnius, pirmiausia juos išskaidome į paprastus veiksnius:

Mes pabrėžiame bendrus veiksnius:

Dabar vieną kartą užrašome bendruosius veiksnius ir pridedame prie jų visus neįprastus (nepabrauktus) veiksnius:

Tai yra bendras vardiklis.

Grįžkime prie raidžių. Vardikliai pateikiami lygiai taip pat:

Vardiklius išskaidome į veiksnius;

nustatyti bendrus (identiškus) daugiklius;

vieną kartą surašykite visus bendrus veiksnius;

Juos dauginame iš visų kitų faktorių, o ne iš įprastų.

Taigi, eilės tvarka:

1) išskaidykite vardiklius į veiksnius:

2) nustatyti bendrus (identiškus) veiksnius:

3) vieną kartą surašykite visus bendruosius veiksnius ir padauginkite iš visų kitų (nepabrauktų) koeficientų:

Taigi bendras vardiklis yra čia. Pirmoji trupmena turi būti padauginta iš, antroji - iš:

Beje, yra vienas triukas:

Pavyzdžiui: .

Vardikliuose matome tuos pačius veiksnius, tik visi su skirtingais rodikliais. Bendras vardiklis bus:

tiek, kiek

tiek, kiek

tiek, kiek

laipsniu.

Sudėtinkite užduotį:

Kaip padaryti, kad trupmenos turėtų tą patį vardiklį?

Prisiminkime pagrindinę trupmenos savybę:

Niekur nesakoma, kad tą patį skaičių galima atimti (arba pridėti) iš trupmenos skaitiklio ir vardiklio. Nes tai netiesa!

Pažiūrėkite patys: paimkite, pavyzdžiui, bet kurią trupmeną ir prie skaitiklio ir vardiklio pridėkite tam tikrą skaičių, pavyzdžiui, . Kas išmokta?

Taigi, dar viena nepalaužiama taisyklė:

Suvedę trupmenas į bendrą vardiklį, naudokite tik daugybos operaciją!

Bet ką reikia padauginti, kad gautum?

Čia ir padauginkite. Ir padauginkite iš:

Išraiškos, kurių negalima suskaidyti į faktorius, bus vadinamos „elementariais veiksniais“. Pavyzdžiui, yra elementarus veiksnys. - irgi. Bet – ne: ji suskaidoma į veiksnius.

O išraiška? Ar tai elementaru?

Ne, nes jis gali būti koeficientas:

(apie faktorizavimą jau skaitėte temoje "").

Taigi, elementarieji veiksniai, į kuriuos išskaidote išraišką raidėmis, yra paprastų veiksnių, į kuriuos skaidote skaičius, analogas. Ir mes tą patį padarysime su jais.

Matome, kad abu vardikliai turi veiksnį. Tai atiteks bendram vardikliui valdžioje (prisimeni kodėl?).

Daugiklis yra elementarus, ir jie neturi jo bendro, o tai reiškia, kad pirmąją trupmeną tiesiog reikės padauginti iš jo:

Kitas pavyzdys:

Sprendimas:

Prieš paniškai padaugindami šiuos vardiklius, turite pagalvoti, kaip juos apskaičiuoti? Abu jie atstovauja:

Puiku! Tada:

Kitas pavyzdys:

Sprendimas:

Kaip įprasta, vardiklius skirstome į faktorius. Pirmajame vardiklyje mes jį tiesiog ištraukiame iš skliaustų; antroje - kvadratų skirtumas:

Atrodytų, kad nėra bendrų veiksnių. Bet jei gerai pažiūrėsi, jie jau tokie panašūs... O tiesa tokia:

Taigi rašykime:

Tai yra, viskas pasirodė taip: skliausteliuose mes sukeitėme terminus, o tuo pačiu metu ženklas prieš trupmeną pasikeitė į priešingą. Atminkite, kad turėsite tai daryti dažnai.

Dabar pateikiame bendrą vardiklį:

Supratau? Dabar patikrinkime.

Užduotys savarankiškam sprendimui:

Atsakymai:

Čia turime prisiminti dar vieną dalyką - kubelių skirtumą:

Atkreipkite dėmesį, kad antrosios trupmenos vardiklyje nėra formulės „sumos kvadratas“! Sumos kvadratas atrodytų taip:

A yra vadinamasis nepilnas sumos kvadratas: antrasis narys jame yra pirmojo ir paskutinio sandauga, o ne jų padvigubintas sandauga. Nepilnas sumos kvadratas yra vienas iš kubelių skirtumo didėjimo veiksnių:

O jei jau yra trys trupmenos?

Taip, tas pats! Visų pirma įsitikinsime, kad maksimalus faktorių skaičius vardikliuose yra vienodas:

Atkreipkite dėmesį: jei pakeičiate ženklus viename skliaustelyje, ženklas prieš trupmeną pasikeičia į priešingą. Kai pakeičiame ženklus antrajame skliauste, ženklas prieš trupmeną vėl apverčiamas. Dėl to jis (ženklas prieš trupmeną) nepasikeitė.

Pirmąjį vardiklį pilnai išrašome bendrame vardiklyje, o tada pridedame prie jo visus dar neparašytus veiksnius, nuo antrojo, o po to nuo trečiojo (ir taip toliau, jei trupmenų yra daugiau). Tai yra, viskas vyksta taip:

Hmm... Su trupmenomis aišku, ką daryti. Bet kaip su dviem?

Tai paprasta: jūs žinote, kaip sudėti trupmenas, tiesa? Taigi, jūs turite įsitikinti, kad deuce tampa trupmena! Atminkite: trupmena yra padalijimo operacija (skaitiklis dalijamas iš vardiklio, jei staiga pamiršote). Ir nėra nieko lengviau, kaip padalyti skaičių iš. Tokiu atveju pats skaičius nepasikeis, o pavirs trupmena:

Būtent tai, ko reikia!

5. Trupmenų daugyba ir dalyba.

Na, dabar sunkiausia dalis baigėsi. O prieš mus yra paprasčiausias, bet kartu ir svarbiausias:

Procedūra

Kokia yra skaitmeninės išraiškos apskaičiavimo procedūra? Atsiminkite, atsižvelgiant į tokios išraiškos vertę:

Ar skaičiavai?

Turėtų veikti.

Taigi, primenu.

Pirmasis žingsnis yra apskaičiuoti laipsnį.

Antrasis yra daugyba ir padalijimas. Jei vienu metu atliekami keli daugybos ir dalybos procesai, galite juos atlikti bet kokia tvarka.

Ir galiausiai atliekame sudėjimą ir atimtį. Vėlgi, bet kokia tvarka.

Bet: skliausteliuose esanti išraiška vertinama ne pagal eilę!

Jei keli skliaustai padauginami arba dalijami vienas iš kito, pirmiausia įvertiname kiekvieno iš skliaustų esančią išraišką, o tada padauginame arba padalijame.

Ką daryti, jei skliausteliuose yra kitų skliaustų? Na, pagalvokime: skliaustuose įrašyta kokia nors išraiška. Ką pirmiausia reikia padaryti vertinant išraišką? Teisingai, apskaičiuokite skliaustus. Na, mes supratome: pirmiausia apskaičiuojame vidinius skliaustus, tada visa kita.

Taigi, aukščiau pateiktos išraiškos veiksmų tvarka yra tokia (dabartinis veiksmas paryškintas raudonai, tai yra veiksmas, kurį dabar atlieku):

Gerai, viskas paprasta.

Bet tai ne tas pats, kas išraiška su raidėmis, ar ne?

Ne, tai tas pats! Tik vietoj aritmetinių operacijų reikia atlikti algebrines operacijas, tai yra operacijas, aprašytas ankstesniame skyriuje: atneša panašius, frakcijų pridėjimas, frakcijų mažinimas ir pan. Vienintelis skirtumas bus faktoringo daugianario veiksmas (dažnai jį naudojame dirbdami su trupmenomis). Dažniausiai faktorizavimui reikia naudoti i arba tiesiog iš skliaustų išimti bendrą koeficientą.

Paprastai mūsų tikslas yra pateikti išraišką kaip produktą arba koeficientą.

Pavyzdžiui:

Supaprastinkime išraišką.

1) Pirmiausia supaprastiname išraišką skliausteliuose. Ten mes turime trupmenų skirtumą, o mūsų tikslas yra pavaizduoti jį kaip sandaugą arba koeficientą. Taigi, sujungiame trupmenas į bendrą vardiklį ir pridedame:

Neįmanoma toliau supaprastinti šios išraiškos, visi veiksniai čia yra elementarūs (ar vis dar prisimenate, ką tai reiškia?).

2) Mes gauname:

Trupmenų daugyba: kas gali būti lengviau.

3) Dabar galite sutrumpinti:

Gerai, dabar viskas. Nieko sudėtingo, tiesa?

Kitas pavyzdys:

Supaprastinkite išraišką.

Pirmiausia pabandykite tai išspręsti patys, o tik tada žiūrėkite į sprendimą.

Visų pirma, apibrėžkime procedūrą. Pirmiausia sudėkime trupmenas skliausteliuose, vietoj dviejų trupmenų pasirodys viena. Tada padalysime trupmenas. Na, o rezultatą pridedame su paskutine trupmena. Aš schematiškai sunumeruosiu veiksmus:

Dabar parodysiu visą procesą, nuspalvindamas dabartinį veiksmą raudona spalva:

Galiausiai pateiksiu du naudingus patarimus:

1. Jei yra panašių, reikia nedelsiant atvežti. Kad ir kurią akimirką turėtume panašių, patartina iš karto atsinešti.

2. Tas pats pasakytina ir apie trupmenų mažinimą: kai tik atsiranda galimybė sumažinti, reikia ja pasinaudoti. Išimtis yra trupmenos, kurias pridedate arba atimate: jei jos dabar turi tuos pačius vardiklius, sumažinimas turėtų būti paliktas vėlesniam laikui.

Štai keletas užduočių, kurias galite išspręsti patys:

Ir pažadėjo pačioje pradžioje:

Sprendimai (trumpai):

Jei susidorojote su bent trimis pirmaisiais pavyzdžiais, tada, manote, įvaldėte temą.

Dabar į mokymąsi!

IŠRAIKOS KONVERSIJA. SANTRAUKA IR PAGRINDINĖ FORMULĖ

Pagrindinės supaprastinimo operacijos:

• Atneša panašiai: norint pridėti (sumažinti) panašius terminus, reikia pridėti jų koeficientus ir priskirti raidės dalį.
• faktorizavimas: bendro faktoriaus išėmimas iš skliaustų, pritaikymas ir pan.
• Frakcijos mažinimas: trupmenos skaitiklį ir vardiklį galima padauginti arba padalyti iš to paties ne nulio skaičiaus, nuo kurio trupmenos reikšmė nekinta.
  1) skaitiklis ir vardiklis faktorizuoti
  2) jei skaitiklyje ir vardiklyje yra bendrų veiksnių, juos galima perbraukti.

  SVARBU: galima sumažinti tik daugiklius!

• Trupmenų sudėjimas ir atėmimas:
  ;
• Trupmenų daugyba ir dalyba:
  ;