Padalijimo operacija apima kelių pagrindinių komponentų dalyvavimą. Pirmasis iš jų yra vadinamasis dividendas, tai yra skaičius, kuriam taikoma padalijimo procedūra. Antrasis yra daliklis, tai yra skaičius, pagal kurį dalijama. Trečiasis yra koeficientas, tai yra, operacijos dalijant dividendą iš daliklio rezultatas.

padalijimo rezultatas

Paprasčiausias rezultatas, kurį galima gauti naudojant du teigiamus sveikuosius skaičius kaip dividendą ir daliklį, yra kitas teigiamas sveikasis skaičius. Pavyzdžiui, dalijant 6 iš 2, koeficientas bus lygus 3. Tokia situacija įmanoma, jei dividendas yra daliklis, tai yra dalijamas iš jo be liekanos.

Tačiau yra ir kitų variantų, kai neįmanoma atlikti padalijimo operacijos be likučio. Tokiu atveju ne sveikasis skaičius tampa privatus, kurį galima parašyti kaip sveikojo skaičiaus ir trupmeninės dalies derinį. Pavyzdžiui, dalijant 5 iš 2, koeficientas yra 2,5.

Skaičius taške

Vienas iš variantų, kuris gali atsitikti, jei dividendas nėra daliklio kartotinis, yra vadinamasis laikotarpio skaičius. Jis gali atsirasti dėl padalijimo tuo atveju, jei koeficientas pasirodo be galo pasikartojantis skaičių rinkinys. Pavyzdžiui, skaičius taške gali atsirasti, kai skaičius 2 yra padalintas iš 3. Tokiu atveju rezultatas dešimtainės trupmenos pavidalu bus išreikštas kaip begalinio skaičiaus 6 skaitmenų po kablelio derinys. tašką.

Norint nurodyti tokio padalijimo rezultatą, buvo išrastas specialus skaičių rašymo taške būdas: toks skaičius nurodomas skliausteliuose dedant pasikartojantį skaitmenį. Pavyzdžiui, 2 dalijimo iš 3 rezultatas šiuo metodu būtų parašytas kaip 0,(6). Nurodytas žymėjimas taip pat taikomas, jei kartojama tik dalis skaičiaus, gauto iš padalijimo.

Pavyzdžiui, padalijus 5 iš 6, rezultatas bus periodinis skaičius, panašus į 0,8 (3). Šio metodo naudojimas, pirma, yra veiksmingiausias, palyginti su bandymu užrašyti visus ar dalį skaičiaus skaitmenų taške, ir, antra, jis turi didesnį tikslumą, palyginti su kitu tokių skaičių perdavimo būdu - apvalinimu ir be to, lyginant šių skaičių dydį, jis leidžia atskirti periodinius skaičius nuo tikslios dešimtainės trupmenos su atitinkama reikšme. Taigi, pavyzdžiui, akivaizdu, kad 0, (6) yra žymiai didesnis nei 0,6.

Šiame straipsnyje mes analizuosime, kaip paprastųjų trupmenų konvertavimas į dešimtaines, taip pat apsvarstykite atvirkštinį procesą - dešimtainių trupmenų pavertimą paprastosiomis trupmenomis. Čia išsakysime trupmenų invertavimo taisykles ir pateiksime išsamius tipinių pavyzdžių sprendimus.

Puslapio naršymas.

Paprastųjų trupmenų konvertavimas į dešimtaines

Pažymime seką, kuria nagrinėsime paprastųjų trupmenų konvertavimas į dešimtaines.

Pirmiausia pažiūrėsime, kaip paprastąsias trupmenas su vardikliais 10, 100, 1000, ... pavaizduoti dešimtainėmis trupmenomis. Taip yra todėl, kad dešimtainės trupmenos iš esmės yra kompaktiška paprastųjų trupmenų forma su vardikliais 10, 100, ....

Po to eisime toliau ir parodysime, kaip bet kurią paprastąją trupmeną (ne tik su vardikliais 10, 100, ...) galima užrašyti dešimtaine trupmena. Taip paverčiant paprastąsias trupmenas gaunamos ir baigtinės dešimtainės trupmenos, ir begalinės periodinės dešimtainės trupmenos.

Dabar apie viską iš eilės.

Paprastųjų trupmenų su vardikliais 10, 100, ... konvertavimas į dešimtaines trupmenas

Kai kurias įprastas trupmenas reikia „iš anksto paruošti“ prieš konvertuojant į dešimtaines. Tai taikoma paprastosioms trupmenoms, kurių skaitmenų skaičius yra mažesnis už nulių skaičių vardiklyje. Pavyzdžiui, paprastąją trupmeną 2/100 pirmiausia reikia paruošti konvertuoti į dešimtainę trupmeną, tačiau trupmenos 9/10 ruošti nereikia.

„Preliminarus paruošimas“ teisingoms paprastosioms trupmenoms konvertuoti į dešimtaines trupmenas – skaitiklio kairėje pusėje pridedama tiek nulių, kad bendras ten esančių skaitmenų skaičius būtų lygus nulių skaičiui vardiklyje. Pavyzdžiui, trupmena pridėjus nulius atrodys taip.

Paruošę teisingą paprastąją trupmeną, galite pradėti ją konvertuoti į dešimtainę trupmeną.

Duokim taisyklė, kaip paversti tinkamą bendrąją trupmeną, kurios vardiklis yra 10, 100 arba 1 000 ... į dešimtainę trupmeną. Jį sudaro trys žingsniai:

• užrašyti 0;
• po jo dėkite kablelį;
• užrašykite skaičių iš skaitiklio (kartu su pridėtais nuliais, jei juos sudėjome).

Apsvarstykite šios taisyklės taikymą spręsdami pavyzdžius.

Pavyzdys.

Konvertuokite tinkamą trupmeną 37/100 į dešimtainę.

Sprendimas.

Vardiklyje yra skaičius 100, kurio įraše yra du nuliai. Skaitiklyje yra skaičius 37, jo įraše yra du skaitmenys, todėl šios trupmenos nereikia ruošti konvertuoti į dešimtainę trupmeną.

Dabar rašome 0, dedame kablelį ir iš skaitiklio įrašome skaičių 37, o gauname dešimtainę trupmeną 0,37.

Atsakymas:

0,37 .

Norėdami įtvirtinti įprastų paprastųjų trupmenų su skaitikliais 10, 100, ... vertimo į dešimtaines trupmenas įgūdžius, išanalizuosime kito pavyzdžio sprendimą.

Pavyzdys.

Parašykite tinkamą trupmeną 107/10 000 000 dešimtainiu tikslumu.

Sprendimas.

Skaitytuvo skaitmenų skaičius yra 3, o nulių skaičius vardiklyje yra 7, todėl šią paprastąją trupmeną reikia paruošti konvertuoti į dešimtainę. Turime pridėti 7-3=4 nulius į kairę skaitiklyje, kad bendras skaitmenų skaičius būtų lygus nulių skaičiui vardiklyje. Mes gauname .

Belieka suformuoti norimą dešimtainę trupmeną. Norėdami tai padaryti, pirma, užrašome 0, antra, dedame kablelį, trečia, užrašome skaičių iš skaitiklio kartu su nuliais 0000107 , todėl gauname dešimtainę trupmeną 0,0000107 .

Atsakymas:

0,0000107 .

Netinkamų bendrųjų trupmenų nereikia ruošti konvertuojant į dešimtaines trupmenas. Reikėtų laikytis toliau pateiktų nurodymų taisyklės, kaip netinkamas bendrąsias trupmenas su vardikliais 10, 100, ... paversti dešimtainėmis trupmenomis:

• užsirašykite skaičių iš skaitiklio;
• kableliu atskiriame tiek skaitmenų dešinėje, kiek pradinės trupmenos vardiklyje yra nulių.

Išanalizuokime šios taisyklės taikymą spręsdami pavyzdį.

Pavyzdys.

Konvertuokite netinkamą bendrąją trupmeną 56 888 038 009/100 000 į dešimtainę.

Sprendimas.

Pirma, užrašome skaičių iš skaitiklio 56888038009, antra, 5 skaitmenis dešinėje atskiriame dešimtainiu tašku, nes pradinės trupmenos vardiklyje yra 5 nuliai. Dėl to mes turime dešimtainę trupmeną 568 880.38009.

Atsakymas:

568 880,38009 .

Norėdami mišrų skaičių konvertuoti į dešimtainę trupmeną, kurios trupmeninės dalies vardiklis yra skaičius 10 arba 100, arba 1000, ..., galite paversti mišrų skaičių į netinkamą paprastąją trupmeną, po kurios gaunama trupmena galima konvertuoti į dešimtainę trupmeną. Bet taip pat galite naudoti toliau nurodytus dalykus taisyklė, kaip mišrius skaičius, kurių vardiklis trupmeninės dalies vardiklis yra 10, 100, arba 1000, ... į dešimtaines trupmenas:

• jei reikia, atliekame pradinio mišraus skaičiaus trupmeninės dalies „preliminarų paruošimą“, skaitiklyje kairėje pridėdami reikiamą nulių skaičių;
• užrašykite sveikąją pradinio mišraus skaičiaus dalį;
• įdėti dešimtainį tašką;
• skaičių iš skaitiklio užrašome kartu su pridėtais nuliais.

Panagrinėkime pavyzdį, kurį spręsdami atliksime visus būtinus veiksmus, kad mišrus skaičius būtų pavaizduotas kaip dešimtainė trupmena.

Pavyzdys.

Konvertuoti mišrų skaičių į dešimtainę.

Sprendimas.

Trupmeninės dalies vardiklyje yra 4 nuliai, o skaitiklyje - skaičius 17, sudarytame iš 2 skaitmenų, todėl skaitiklyje kairėje turime pridėti du nulius, kad simbolių skaičius būtų lygus nulių skaičius vardiklyje. Tai padarius, skaitiklis bus 0017.

Dabar užrašome sveikąją pradinio skaičiaus dalį, tai yra skaičių 23, dedame dešimtainį tašką, po kurio įrašome skaičių iš skaitiklio kartu su pridėtais nuliais, tai yra, 0017, o gauname norimą dešimtainį skaičių. trupmena 23,0017.

Trumpai užrašykite visą sprendimą: .

Be jokios abejonės, buvo galima iš pradžių pavaizduoti mišrų skaičių kaip netinkamą trupmeną, o tada konvertuoti jį į dešimtainę trupmeną. Taikant šį metodą, sprendimas atrodo taip:

Atsakymas:

23,0017 .

Paprastųjų trupmenų konvertavimas į baigtines ir begalines periodines dešimtaines trupmenas

Dešimtaine trupmena gali būti paverčiamos ne tik paprastosios trupmenos, kurių vardikliai yra 10, 100, ..., bet ir paprastosios trupmenos su kitais vardikliais. Dabar išsiaiškinsime, kaip tai daroma.

Kai kuriais atvejais pradinė paprastoji trupmena nesunkiai sumažinama iki vieno iš vardklių 10, 100, arba 1000, ... (žr. paprastosios trupmenos redukavimą iki naujo vardiklio), po to nesunku pateikti gautą trupmeną kaip dešimtainę trupmeną. Pavyzdžiui, akivaizdu, kad trupmeną 2/5 galima sumažinti iki trupmenos, kurios vardiklis yra 10, tam reikia padauginti skaitiklį ir vardiklį iš 2, o tai duos trupmeną 4/10, kuri pagal taisyklės, aptartos ankstesnėje pastraipoje, gali būti lengvai konvertuojamos į dešimtainę trupmeną 0, 4 .

Kitais atvejais turite naudoti kitokį paprastą trupmenos konvertavimo į dešimtainį būdą, kurį dabar apsvarstysime.

Norėdami paversti paprastąją trupmeną į dešimtainę trupmeną, trupmenos skaitiklis dalijamas iš vardiklio, skaitiklis anksčiau buvo pakeistas lygia dešimtaine trupmena su bet kokiu nulių skaičiumi po kablelio (apie tai kalbėjome skyriuje, lygus ir nelygios dešimtainės trupmenos). Šiuo atveju dalijimas atliekamas taip pat, kaip ir dalijimas iš natūraliųjų skaičių stulpelio, o dalyboje dedamas kablelis, kai baigiasi sveikosios dividendo dalies dalijimas. Visa tai paaiškės iš toliau pateiktų pavyzdžių sprendimų.

Pavyzdys.

Paverskite bendrąją trupmeną 621/4 į dešimtainę.

Sprendimas.

Skaitytuvo 621 skaičių pavaizduojame kaip dešimtainę trupmeną, pridėdami po kablelio ir kelis nulius po jo. Iš pradžių pridėsime 2 skaitmenis 0, vėliau, jei reikia, visada galime pridėti daugiau nulių. Taigi, mes turime 621,00.

Dabar skaičių 621 000 padalinkime iš 4 iš stulpelio. Pirmieji trys žingsniai nesiskiria nuo padalijimo iš natūraliųjų skaičių stulpelio, po kurio gauname tokį paveikslėlį:

Taigi, mes pasiekėme dividendų kablelį, o likusi dalis skiriasi nuo nulio. Tokiu atveju į koeficientą dedame dešimtainį tašką ir tęsiame padalijimą iš stulpelio, nepaisydami kablelių:

Šis padalijimas baigtas, todėl gavome dešimtainę trupmeną 155,25, kuri atitinka pradinę paprastąją trupmeną.

Atsakymas:

155,25 .

Norėdami konsoliduoti medžiagą, apsvarstykite kito pavyzdžio sprendimą.

Pavyzdys.

Paverskite bendrąją trupmeną 21/800 į dešimtainę.

Sprendimas.

Norėdami konvertuoti šią bendrąją trupmeną į dešimtainę trupmeną, dešimtainę trupmeną 21 000 ... iš 800 padalinkime iš stulpelio. Po pirmojo žingsnio į koeficientą turėsime įdėti dešimtainį tašką, o tada tęsti padalijimą:

Galiausiai, mes gavome likutį 0, tai baigus įprastos trupmenos 21/400 konvertavimas į dešimtainę trupmeną, ir mes pasiekėme dešimtainę trupmeną 0,02625.

Atsakymas:

0,02625 .

Gali atsitikti taip, kad dalijant skaitiklį iš paprastosios trupmenos vardiklio, niekada negausime 0 liekanos. Tokiais atvejais padalijimas gali būti tęsiamas tol, kol pageidaujama. Tačiau, pradedant nuo tam tikro žingsnio, likučiai pradeda kartotis periodiškai, o koeficiento skaitmenys taip pat kartojasi. Tai reiškia, kad pradinė bendroji trupmena verčiama į begalinį periodinį dešimtainį skaičių. Parodykime tai pavyzdžiu.

Pavyzdys.

Parašykite bendrąją trupmeną 19/44 kaip dešimtainį skaičių.

Sprendimas.

Norėdami paversti paprastąją trupmeną į dešimtainę, dalijame iš stulpelio:

Jau dabar aišku, kad dalijant pradėjo kartotis likučiai 8 ir 36, o koeficiente kartojasi skaičiai 1 ir 8. Taigi pradinė paprastoji trupmena 19/44 paverčiama periodine dešimtaine trupmena 0,43181818…=0,43(18) .

Atsakymas:

0,43(18) .

Baigdami šią pastraipą išsiaiškinsime, kurios paprastosios trupmenos gali būti konvertuojamos į galutines po kablelio trupmenas, o kurios gali būti konvertuojamos tik į periodines.

Turėkime prieš save neredukuojamą paprastąją trupmeną (jei trupmena redukuojama, tai pirmiausia atliekame trupmenos redukciją), ir turime išsiaiškinti, į kokią dešimtainę trupmeną ją galima paversti – baigtinę ar periodinę.

Akivaizdu, kad jei paprastąją trupmeną galima sumažinti iki vieno iš vardklių 10, 100, 1000, ..., tai gautą trupmeną galima nesunkiai konvertuoti į galutinę dešimtainę trupmeną pagal ankstesnėje pastraipoje aptartas taisykles. Bet į vardiklius 10, 100, 1000 ir t.t. pateikiamos ne visos paprastosios trupmenos. Į tokius vardiklius galima redukuoti tik trupmenas, kurių vardikliai yra bent vienas iš skaičių 10, 100, ... O kokie skaičiai gali būti 10, 100, ... dalikliais? Skaičiai 10, 100, … leis mums atsakyti į šį klausimą, ir jie yra tokie: 10=2 5 , 100=2 2 5 5 , 1 000=2 2 2 5 5 5, … . Iš to išplaukia, kad 10, 100, 1000 ir kt. gali būti tik skaičiai, kurių skaidymuose į pirminius veiksnius yra tik skaičiai 2 ir (arba) 5 .

Dabar galime padaryti bendrą išvadą apie paprastųjų trupmenų konvertavimą į dešimtaines trupmenas:

• jei išskaidant vardiklį į pirminius veiksnius yra tik skaičiai 2 ir (arba) 5, tai šią trupmeną galima paversti galutine dešimtaine trupmena;
• jei, be dviejų ir penkių, vardiklio plėtinyje yra ir kitų pirminių skaičių, tai ši trupmena paverčiama begaline periodine dešimtaine trupmena.

Pavyzdys.

Nekonvertuodami įprastų trupmenų į dešimtainius, pasakykite man, kurias iš trupmenų 47/20, 7/12, 21/56, 31/17 galima paversti galutine dešimtaine trupmena, o kurias tik periodine.

Sprendimas.

Trupmenos 47/20 vardiklio pirminis faktorius turi formą 20=2 2 5 . Šiame išplėtime yra tik dvejetai ir penketukai, todėl šią trupmeną galima sumažinti iki vieno iš vardklių 10, 100, 1000, ... (šiame pavyzdyje iki vardiklio 100), todėl ją galima paversti galutine dešimtainė trupmena.

Trupmenos 7/12 vardiklio pirminis faktorius turi formą 12=2 2 3 . Kadangi joje yra paprastas koeficientas 3, kuris skiriasi nuo 2 ir 5, ši trupmena negali būti pavaizduota kaip baigtinė dešimtainė trupmena, bet gali būti konvertuojama į periodinę dešimtainę trupmeną.

Frakcija 21/56 - sutraukiamas, po sumažinimo įgauna formą 3/8. Vardiklio skaidymas į pirminius veiksnius susideda iš trijų koeficientų, lygių 2, todėl paprastąją trupmeną 3/8, taigi ir jai lygią trupmeną 21/56, galima paversti galutine dešimtaine trupmena.

Galiausiai, trupmenos 31/17 vardiklio išplėtimas pats savaime yra 17, todėl ši trupmena negali būti konvertuojama į baigtinę dešimtainę trupmeną, bet gali būti konvertuojama į begalinę periodinę.

Atsakymas:

47/20 ir 21/56 galima konvertuoti į galutinį dešimtainį skaičių, o 7/12 ir 31/17 galima konvertuoti tik į periodinį dešimtainį skaičių.

Paprastosios trupmenos nekeičiamos į begalinius nesikartojančius dešimtainius

Ankstesnės pastraipos informacija kelia klausimą: „Ar dalijant trupmenos skaitiklį iš vardiklio galima gauti begalinę neperiodinę trupmeną“?

Atsakymas: ne. Verčiant paprastąją trupmeną, galima gauti arba baigtinę dešimtainę trupmeną, arba begalinę periodinę dešimtainę trupmeną. Paaiškinkime, kodėl taip yra.

Iš dalijimosi su liekana teoremos aišku, kad liekana visada yra mažesnė už daliklį, tai yra, jei kurį nors sveikąjį skaičių padalinsime iš sveikojo skaičiaus q, tada tik vienas iš skaičių 0, 1, 2, ..., q−1 gali būti likusioji dalis. Iš to išplaukia, kad padalijus įprastosios trupmenos skaitiklio sveikąją dalį iš vardiklio q, atlikus ne daugiau kaip q žingsnius, atsiras viena iš šių dviejų situacijų:

• arba gausime likutį 0 , tai užbaigs padalijimą ir gausime galutinę dešimtainę trupmeną;
• arba gausime jau anksčiau pasirodžiusią liekaną, po kurios likučiai pradės kartotis kaip ir ankstesniame pavyzdyje (kadangi dalijant lygius skaičius iš q gaunamos lygios liekanos, kas išplaukia iš jau minėtos dalijimosi teoremos), taigi bus gauta begalinė periodinė dešimtainė trupmena.

Kitų variantų negali būti, todėl paprastąją trupmeną konvertuojant į dešimtainę trupmeną, negalima gauti begalinės neperiodinės dešimtainės trupmenos.

Iš šioje pastraipoje pateiktų samprotavimų taip pat matyti, kad dešimtainės trupmenos periodo ilgis visada yra mažesnis už atitinkamos paprastosios trupmenos vardiklio reikšmę.

Konvertuoti dešimtaines trupmenas į bendrąsias trupmenas

Dabar išsiaiškinkime, kaip dešimtainę trupmeną paversti įprastąja. Pradėkime konvertuodami paskutinius dešimtainius skaičius į bendrąsias trupmenas. Po to apsvarstykite begalinių periodinių dešimtainių trupmenų invertavimo metodą. Pabaigoje sakykime apie tai, kad neįmanoma begalinių neperiodinių dešimtainių trupmenų paversti paprastosiomis trupmenomis.

Pabaigos dešimtainės dalys konvertuojamos į bendrąsias trupmenas

Gauti paprastąją trupmeną, kuri rašoma kaip paskutinė dešimtainė trupmena, yra gana paprasta. Galutinės dešimtainės trupmenos konvertavimo į paprastąją trupmeną taisyklė susideda iš trijų žingsnių:

• pirma, į skaitiklį įrašykite duotą dešimtainę trupmeną, prieš tai atmetę dešimtainį tašką ir visus nulius kairėje, jei tokių yra;
• antra, vardiklyje įrašykite vieną ir pridėkite prie jo tiek nulių, kiek pradinėje dešimtainėje trupmenoje yra skaitmenų po kablelio;
• trečia, jei reikia, sumažinkite gautą frakciją.

Panagrinėkime pavyzdžius.

Pavyzdys.

Paverskite dešimtainę 3,025 į bendrą trupmeną.

Sprendimas.

Jei iš pradinės dešimtainės trupmenos pašalinsime dešimtainį tašką, gausime skaičių 3025. Kairėje pusėje nėra nulių, kuriuos išmestume. Taigi, reikiamos trupmenos skaitiklyje rašome 3025.

Vardiklyje įrašome skaičių 1, o jo dešinėje pridedame 3 nulius, nes pradinėje dešimtainėje trupmenoje po kablelio yra 3 skaitmenys.

Taigi gavome paprastą trupmeną 3 025/1 000. Šią trupmeną galima sumažinti 25, gauname .

Atsakymas:

.

Pavyzdys.

Konvertuoti dešimtainę 0,0017 į paprastąją trupmeną.

Sprendimas.

Be kablelio pradinė dešimtainė trupmena atrodo kaip 00017, išmetę nulius kairėje, gauname skaičių 17, kuris yra norimos paprastosios trupmenos skaitiklis.

Vardiklyje rašome vienetą su keturiais nuliais, nes pradinėje dešimtainėje trupmenoje po kablelio yra 4 skaitmenys.

Dėl to turime paprastą dalį 17/10 000. Ši trupmena yra neredukuojama, o dešimtainė trupmena konvertuojama į paprastąją.

Atsakymas:

.

Kai pradinės galutinės dešimtainės trupmenos sveikoji dalis skiriasi nuo nulio, ją galima iš karto konvertuoti į mišrų skaičių, apeinant paprastąją trupmeną. Duokim taisyklė, skirta paskutinio dešimtainio skaičiaus konvertavimui į mišrų skaičių:

• skaičius prieš dešimtainį tašką turi būti parašytas kaip sveikoji norimo mišraus skaičiaus dalis;
• trupmeninės dalies skaitiklyje turite įrašyti skaičių, gautą iš pradinės dešimtainės trupmenos trupmeninės dalies, išmetę visus nulius kairėje joje;
• trupmeninės dalies vardiklyje reikia įrašyti skaičių 1, prie kurio dešinėje pridėti tiek nulių, kiek yra skaitmenų įvedant pradinę dešimtainę trupmeną po kablelio;
• jei reikia, sumažinkite gauto mišraus skaičiaus trupmeninę dalį.

Apsvarstykite dešimtainės trupmenos konvertavimo į mišrų skaičių pavyzdį.

Pavyzdys.

Išreikškite dešimtainį skaičių 152.06005 kaip mišrų skaičių

Kad jei jie žino serijų teoriją, tai be jos negalima įvesti metamatinių sąvokų. Be to, šie žmonės mano, kad tas, kuris ne visur jo naudoja, yra neišmanantis. Šių žmonių nuomonę palikime jų sąžinei. Geriau supraskime, kas yra begalinė periodinė trupmena ir kaip su ja susidoroti mums, neišsilavinusiems, ribų nepažįstantiems žmonėms.

Padalinkite 237 iš 5. Ne, jums nereikia paleisti skaičiuoklės. Geriau prisiminkime vidurinę (ar net pradinę?) mokyklą ir tiesiog padalinkime stulpelį:

Na, ar prisimeni? Tada galite kibti į verslą.

Sąvoka „trupmena“ matematikoje turi dvi reikšmes:

1. Ne sveikasis skaičius.
2. Ne sveikojo skaičiaus žymėjimo forma.

Yra dviejų tipų trupmenos – ta prasme, dvi ne sveikųjų skaičių rašymo formos:

1. Paprasta (arba vertikaliai) trupmenos, pvz., 1/2 arba 237/5.
2. Dešimtainės dalys, pvz., 0,5 arba 47,4.

Atkreipkite dėmesį, kad apskritai trupmenos žymėjimo naudojimas nereiškia, kad tai, kas parašyta, yra trupmenos skaičius, pavyzdžiui, 3/3 arba 7,0 - ne trupmenos pirmąja to žodžio prasme, o antrąja, žinoma. , trupmenos.

Matematikoje apskritai nuo neatmenamų laikų buvo priimtas dešimtainis skaičius, todėl dešimtainės trupmenos yra patogesnės nei paprastos, tai yra trupmenos su dešimtainiu vardikliu (Vladimiras Dal. Aiškinamasis gyvosios didžiosios rusų kalbos žodynas. „Dešimt“).

Ir jei taip, aš noriu padaryti bet kurią vertikalią trupmeną po kablelio („horizontalią“). Ir tam tereikia skaitiklį padalyti iš vardiklio. Paimkite, pavyzdžiui, trupmeną 1/3 ir pabandykite padaryti dešimtainę.

Net visiškai neišsilavinęs žmogus pastebės: kad ir kiek tai užtruktų, jie neišsiskirs: taip trejetai atsiras be galo. Taigi užsirašykime: 0,33... Turime omenyje „skaičius, kuris gaunamas padalijus 1 iš 3“, arba, trumpai tariant, „trečdalis“. Natūralu, kad trečdalis yra trupmena pirmąja šio žodžio prasme, o „1/3“ ir „0,33 ...“ yra trupmenos antrąja šio žodžio prasme, t. įrašų formos skaičius, kuris yra skaičių eilutėje tokiu atstumu nuo nulio, kad atidėjus tris kartus, gausite vieną.

Dabar pabandykime padalinti 5 iš 6:

Užsirašykime dar kartą: 0,833 ... Turime omenyje „skaičius, kuris gaunamas padalijus 5 iš 6“, arba, trumpai tariant, „penkios šeštosios“. Tačiau čia kyla painiavos: ar tai reiškia 0,83333 (o tada kartojasi trigubai), ar 0,833833 (o tada kartojasi 833). Todėl įrašas su elipsėmis mums netinka: neaišku, nuo kur prasideda pasikartojanti dalis (tai vadinama „periodu“). Todėl skliausteliuose laikome tašką taip: 0, (3); 0,8 (3).

0, (3) ne tik lygus trečdalis yra yra trečdalis, nes mes specialiai sugalvojome šį žymėjimą, kad šis skaičius būtų pavaizduotas kaip dešimtainė trupmena.

Šis įrašas vadinamas begalinė periodinė trupmena, arba tik periodinę trupmeną.

Kai vieną skaičių dalijame iš kito, jei negauname baigtinės trupmenos, gauname begalinę periodinę trupmeną, tai yra, kartais skaičių sekos pradės kartotis. Kodėl taip yra, galima suprasti tik spekuliatyviai, atidžiai pažvelgus į padalijimo pagal stulpelį algoritmą:

Varnele pažymėtose vietose ne visada galima gauti skirtingas skaičių poras (nes iš esmės yra baigtinis tokių porų rinkinys). Ir kai tik ten atsiras tokia pora, kuri jau egzistavo, skirtumas taip pat bus toks pat - tada visas procesas pradės kartotis. To tikrinti nereikia, nes visiškai akivaizdu, kad kartojus tuos pačius veiksmus rezultatai bus tokie patys.

Dabar, kai gerai suprantame esmė periodinė trupmena, pabandykime padauginti trečdalį iš trijų. Taip, žinoma, pasirodys vienas, bet parašykime šią trupmeną dešimtaine forma ir padauginkime iš stulpelio (dėl elipsės neaiškumų čia nekyla, nes visi skaičiai po kablelio yra vienodi):

Ir vėl pastebime, kad po kablelio visą laiką atsiras devynetai, devynetai ir devynetai. Tai yra, naudojant, atvirkščiai, skliaustų žymėjimą, gauname 0, (9). Kadangi žinome, kad trečdalio ir trijų sandauga yra vienetas, tai 0, (9) yra tokia keista vieneto rašymo forma. Tačiau nepatartina naudoti šios žymėjimo formos, nes vienetas puikiai parašytas nenaudojant taško, pavyzdžiui: 1.

Kaip matote, 0, (9) yra vienas iš tų atvejų, kai sveikas skaičius rašomas trupmena, pavyzdžiui, 3/3 arba 7,0. Tai yra, 0, (9) yra trupmena tik antrąja šio žodžio prasme, bet ne pirmąja.

Taigi, be jokių apribojimų ir eilučių išsiaiškinome, kas yra 0, (9) ir kaip su tuo elgtis.

Tačiau vis tiek atminkite, kad iš tikrųjų esame protingi ir studijavome analizę. Iš tiesų, sunku paneigti, kad:

Bet, ko gero, niekas nesiginčys su tuo, kad:

Visa tai, žinoma, tiesa. Iš tiesų, 0, (9) yra ir sumažintų eilučių suma, ir nurodyto kampo dvigubas sinusas, ir Eulerio skaičiaus natūralusis logaritmas.

Tačiau nei vienas, nei kitas, nei trečias nėra apibrėžimas.

Teigti, kad 0, (9) yra begalinės eilutės 9/(10 n) suma, kai n yra didesnis už vienetą, yra tas pats, kas sakyti, kad sinusas yra begalinės Teiloro eilutės suma:

Tai gana teisus, ir tai yra pats svarbiausias skaičiavimo matematikos faktas, bet tai nėra apibrėžimas ir, svarbiausia, nepriartina žmogaus prie supratimo esmė sinusas. Tam tikro kampo sinuso esmė yra ta, kad jis yra tiesiog kampui priešingos kojos santykis su hipotenuze.

Na, periodinė trupmena yra tiesiog dešimtainė trupmena, kuri atsiranda, kai dalijant stulpeliu bus kartojamas tas pats skaičių rinkinys. Čia iš viso nėra analizės.

Ir čia kyla klausimas: kur apskritai mes paėmėme skaičių 0, (9)? Ką padalijame iš stulpelio, kad gautume? Išties tokių skaičių nėra, stulpelyje dalijant vienas iš kito, turėtume be galo daug atsirandančių devynetų. Bet mums pavyko gauti šį skaičių stulpelį 0, (3) padauginus iš 3? Ne visai. Juk reikia dauginti iš dešinės į kairę, kad teisingai būtų atsižvelgta į skaitmenų perkėlimus, o mes tai padarėme iš kairės į dešinę, sumaniai pasinaudodami tuo, kad pervedimai ir taip niekur nevyksta. Todėl 0,(9) rašymo teisėtumas priklauso nuo to, ar pripažįstame tokio daugybos iš stulpelio teisėtumą, ar ne.

Todėl paprastai galima sakyti, kad žymėjimas 0,(9) yra neteisingas – ir tam tikru mastu būti teisingas. Tačiau, kadangi žymėjimas a ,(b ) yra priimtas, tiesiog negražu jo atsisakyti, kai b = 9; geriau nuspręsti, ką toks įrašas reiškia. Taigi, jei iš viso priimame žymėjimą 0,(9), tai šis žymėjimas, žinoma, reiškia skaičių vienas.

Belieka tik pridurti, kad jei naudotume, tarkime, trinarė skaičių sistemą, tai vienetinį stulpelį (1 3) padalijus iš trigubo (10 3) gautume 0,1 3 (skaitoma „nulis taško vienas trečdalis“) , o padalijus 1 iš 2 būtų 0,(1) 3 .

Taigi trupmenos įrašo periodiškumas nėra kažkokia objektyvi trupmenos skaičiaus charakteristika, o tik šalutinis poveikis naudojant vieną ar kitą skaičių sistemą.

Šis straipsnis yra apie po kablelio. Čia aptarsime trupmeninių skaičių dešimtainį žymėjimą, supažindinsime su dešimtainės trupmenos sąvoka ir pateiksime dešimtainių trupmenų pavyzdžių. Toliau pakalbėkime apie dešimtainių trupmenų skaitmenis, pateikite skaitmenų pavadinimus. Po to mes sutelksime dėmesį į begalines dešimtaines trupmenas, tarkime, apie periodines ir neperiodines trupmenas. Toliau išvardijame pagrindinius veiksmus su dešimtainėmis trupmenomis. Apibendrinant, nustatome dešimtainių trupmenų padėtį koordinačių spindulyje.

Puslapio naršymas.

Trupmeninio skaičiaus dešimtainis žymėjimas

Skaitymas po kablelio

Pakalbėkime keletą žodžių apie dešimtainių trupmenų skaitymo taisykles.

Dešimtainės trupmenos, atitinkančios teisingas paprastąsias trupmenas, skaitomos taip pat, kaip ir šios paprastosios trupmenos, tik prieš tai pridedama „nulis“. Pavyzdžiui, dešimtainė trupmena 0,12 atitinka paprastąją trupmeną 12/100 (ji skaitoma „dvylika šimtųjų dalių“), todėl 0,12 skaitoma kaip „nulis dvylika šimtųjų dalių“.

Dešimtainės trupmenos, atitinkančios mišrius skaičius, skaitomos lygiai taip pat, kaip ir šie mišrūs skaičiai. Pavyzdžiui, dešimtainė trupmena 56.002 atitinka mišrų skaičių, todėl dešimtainė trupmena 56.002 skaitoma kaip „penkiasdešimt šeši taškai dvi tūkstantosios dalys“.

Vietos po kablelio

Dešimtainių trupmenų žymėjime, taip pat natūraliųjų skaičių žymėjime kiekvieno skaitmens reikšmė priklauso nuo jo padėties. Iš tikrųjų skaičius 3 dešimtaine 0,3 reiškia tris dešimtąsias, 0,0003 - tris dešimtąsias dalis, o 30 000,152 - tris dešimtis tūkstančių. Taigi, galime kalbėti apie skaitmenys po kablelio, taip pat apie natūraliųjų skaičių skaitmenis.

Skaičių pavadinimai dešimtainėje trupmenoje iki kablelio visiškai sutampa su natūraliųjų skaičių skaitmenų pavadinimais. O skaitmenų pavadinimai dešimtainėje trupmenoje po kablelio matomi iš šios lentelės.

Pavyzdžiui, dešimtainėje trupmenoje 37,051 skaičius 3 yra dešimčių vietoje, 7 yra vienetų vietoje, 0 yra dešimtoje, 5 yra šimtoje, 1 yra tūkstantojoje.

Dešimtainės trupmenos skaitmenys taip pat skiriasi stažu. Jei dešimtainiame žymėjime pereisime nuo skaitmens prie skaitmens iš kairės į dešinę, tada judėsime nuo vyresnysisĮ jaunesniųjų rangų. Pavyzdžiui, šimtų skaitmuo yra senesnis nei dešimtosios dalies skaitmuo, o milijoninis skaitmuo yra jaunesnis nei šimtosios dalies skaitmuo. Šioje paskutinėje dešimtainėje trupmenoje galime kalbėti apie reikšmingiausius ir mažiausiai reikšmingus skaitmenis. Pavyzdžiui, dešimtainiu skaičiumi 604.9387 vyresnysis (aukščiausias) skaitmuo yra šimtų skaitmuo ir jaunesnysis (žemiausias)- dešimtoji tūkstantoji vieta.

Dešimtainės trupmenos išplečiamos į skaitmenis. Tai analogiška natūraliųjų skaičių skaitmenų plėtimui. Pavyzdžiui, 45,6072 dešimtainis išplėtimas yra: 45,6072=40+5+0,6+0,007+0,0002 . O sudėjimo savybės iš dešimtainės trupmenos išplėtimo į skaitmenis leidžia pereiti prie kitų šios dešimtainės trupmenos atvaizdų, pavyzdžiui, 45.6072=45+0.6072 arba 45.6072=40.6+5.007+0.0002 arba 45.4507=0.0002 , arba 45.407=2. .

Pabaigos po kablelio

Iki šiol kalbėjome tik apie dešimtaines trupmenas, kurių įraše po kablelio yra baigtinis skaičius skaitmenų. Tokios trupmenos vadinamos paskutinėmis dešimtainėmis trupmenomis.

Apibrėžimas.

Pabaiga po kablelio- Tai yra dešimtainės trupmenos, kurių įrašuose yra baigtinis simbolių (skaitmenų) skaičius.

Štai keletas paskutinių dešimtainių skaičių pavyzdžių: 0,317 , 3,5 , 51,1020304958 , 230 032,45 .

Tačiau ne kiekviena bendroji trupmena gali būti pavaizduota kaip baigtinė dešimtainė trupmena. Pavyzdžiui, trupmena 5/13 negali būti pakeista lygia trupmena, kurios vardiklis yra 10, 100, ..., todėl jos negalima konvertuoti į galutinę dešimtainę trupmeną. Plačiau apie tai kalbėsime paprastųjų trupmenų konvertavimo į dešimtaines trupmenas teorijos skyriuje.

Begalinės dešimtainės trupmenos: periodinės ir neperiodinės trupmenos

Rašydami dešimtainę trupmeną po kablelio, galite leisti begalinį skaitmenų skaičių. Šiuo atveju mes pereisime prie vadinamųjų begalinių dešimtainių trupmenų svarstymo.

Apibrėžimas.

Begalinis dešimtainis skaičius- Tai yra dešimtainės trupmenos, kurių įraše yra begalinis skaičius skaitmenų.

Aišku, kad begalinės dešimtainės trupmenos negalime užrašyti visos, todėl jas įrašant jos apsiriboja tik tam tikru baigtiniu skaitmenų skaičiumi po kablelio ir dedama elipsė, nurodanti be galo besitęsiančią skaitmenų seką. Štai keletas begalinių dešimtainių trupmenų pavyzdžių: 0.143940932…, 3.1415935432…, 153.02003004005…, 2.111111111…, 69.74152152152….

Jei atidžiai pažvelgsite į paskutines dvi begalines dešimtaines trupmenas, tada trupmenoje 2.111111111 ... aiškiai matomas be galo besikartojantis skaičius 1, o trupmenoje 69.74152152152 ..., pradedant nuo trečiojo skaitmens po kablelio, pasikartojanti skaičių grupė 1, 5 ir 2 yra aiškiai matomi. Tokios begalinės dešimtainės trupmenos vadinamos periodinėmis.

Apibrėžimas.

Periodiniai dešimtainiai(arba tiesiog periodinės trupmenos) – tai begalinės dešimtainės trupmenos, kurių įraše, pradedant nuo tam tikro kablelio, yra koks nors skaitmuo ar skaitmenų grupė, vadinama trupmenos laikotarpis.

Pavyzdžiui, periodinės trupmenos 2,111111111… laikotarpis yra skaičius 1, o trupmenos laikotarpis 69,74152152152… yra skaičių grupė, pavyzdžiui, 152.

Begalinėms periodinėms dešimtainėms trupmenoms pritaikytas specialus žymėjimas. Trumpumo dėlei susitarėme vieną kartą parašyti tašką, įterpdami jį skliausteliuose. Pavyzdžiui, periodinė trupmena 2.111111111… rašoma kaip 2,(1) , o periodinė trupmena 69.74152152152… rašoma kaip 69.74(152) .

Verta paminėti, kad tai pačiai periodinei dešimtainei trupmenai galite nurodyti skirtingus laikotarpius. Pavyzdžiui, periodinis dešimtainis skaičius 0,73333… gali būti laikomas trupmena 0,7(3), kurios taškas yra 3, taip pat trupmena 0,7(33) su periodu 33 ir tt 0,7(333), 0,7 (3333). ), ... Taip pat galite žiūrėti periodinę trupmeną 0,73333 ... taip: 0,733 (3), arba taip 0,73 (333) ir pan. Čia, siekiant išvengti dviprasmybių ir nenuoseklumo, sutinkame dešimtainės trupmenos periodu laikyti trumpiausią iš visų galimų pasikartojančių skaitmenų sekų, pradedant nuo artimiausios padėties iki kablelio. Tai yra, dešimtainės trupmenos periodas 0,73333… bus laikomas vieno skaitmens 3 seka, o periodiškumas prasideda nuo antros padėties po kablelio, tai yra, 0,73333…=0,7(3) . Kitas pavyzdys: periodinės trupmenos 4,7412121212… laikotarpis yra 12, periodiškumas prasideda nuo trečiojo skaitmens po kablelio, tai yra, 4,7412121212…=4,74(12) .

Begalinės dešimtainės periodinės trupmenos gaunamos paprastųjų trupmenų, kurių vardikliuose yra pirminių koeficientų, išskyrus 2 ir 5, dešimtaines trupmenas.

Čia verta paminėti periodines trupmenas, kurių taškas yra 9. Štai tokių trupmenų pavyzdžiai: 6.43(9) , 27,(9) . Šios trupmenos yra dar vienas žymėjimas periodinėms trupmenoms, kurių periodas 0, ir įprasta jas pakeisti periodinėmis trupmenomis su 0 periodu. Norėdami tai padaryti, 9 laikotarpis pakeičiamas 0 periodu, o kito didžiausio skaitmens reikšmė padidinama vienu. Pavyzdžiui, 7.24(9) formos trupmena su 9 tašku pakeičiama periodine trupmena su 7.25(0) formos periodine trupmena arba lygia galutine dešimtaine trupmena 7.25. Kitas pavyzdys: 4,(9)=5,(0)=5 . Trupmenos su periodu 9 ir ją atitinkančios trupmenos su periodu 0 lygybė lengvai nustatoma pakeitus šias dešimtaines trupmenas jų lygiomis paprastosiomis trupmenomis.

Galiausiai, atidžiau pažvelkime į begalinius dešimtainius skaičius, kurie neturi be galo pasikartojančios skaitmenų sekos. Jie vadinami neperiodiniais.

Apibrėžimas.

Nesikartojantis dešimtainis skaičius(arba tiesiog neperiodinės trupmenos) yra begaliniai dešimtainiai skaitmenys be taško.

Kartais neperiodinių trupmenų forma yra panaši į periodinių trupmenų formą, pavyzdžiui, 8.02002000200002 ... yra neperiodinė trupmena. Tokiais atvejais turėtumėte būti ypač atsargūs, kad pastebėtumėte skirtumą.

Atkreipkite dėmesį, kad neperiodinės trupmenos nėra konvertuojamos į paprastąsias trupmenas, begalinės neperiodinės dešimtainės trupmenos reiškia neracionalius skaičius.

Veiksmai su dešimtaine

Vienas iš veiksmų su dešimtainėmis dalimis yra palyginimas, taip pat apibrėžiamos keturios pagrindinės aritmetikos operacijos su dešimtainėmis dalimis: sudėtis, atimtis, daugyba ir dalyba. Apsvarstykite atskirai kiekvieną veiksmą su dešimtainėmis trupmenomis.

Dešimtainis palyginimas iš esmės pagrįstas paprastųjų trupmenų, atitinkančių lyginamąsias dešimtaines trupmenas, palyginimu. Tačiau dešimtainių trupmenų konvertavimas į įprastas yra gana daug pastangų reikalaujantis veiksmas, o begalinės nesikartojančios trupmenos negali būti vaizduojamos kaip paprastoji trupmena, todėl patogu naudoti bitų dešimtainių trupmenų palyginimą. Bitinis dešimtainių skaičių palyginimas yra panašus į natūraliųjų skaičių palyginimą. Norėdami gauti išsamesnės informacijos, rekomenduojame perskaityti straipsnį apie dešimtainių trupmenų palyginimą, taisykles, pavyzdžius, sprendimus.

Pereikime prie kito žingsnio - dauginant po kablelio. Galutinių dešimtainių trupmenų dauginimas atliekamas panašiai kaip dešimtainių trupmenų atėmimas, taisyklės, pavyzdžiai, daugybos iš natūraliųjų skaičių stulpelio sprendiniai. Periodinių trupmenų atveju daugyba gali būti sumažinta iki paprastųjų trupmenų dauginimo. Savo ruožtu begalinių neperiodinių dešimtainių trupmenų daugyba po jų apvalinimo sumažinama iki baigtinių dešimtainių trupmenų dauginimo. Rekomenduojame toliau studijuoti straipsnio dešimtainių trupmenų daugybos medžiagą, taisykles, pavyzdžius, sprendinius.

Koordinačių pluošto dešimtainės dalys

Egzistuoja vienas su vienu taškais ir kablelio atitikmuo.

Išsiaiškinkime, kaip taškai sudaromi koordinačių spindulyje, atitinkančiame nurodytą dešimtainę trupmeną.

Baigines dešimtaines trupmenas ir begalines periodines dešimtaines trupmenas galime pakeisti joms lygiomis paprastosiomis trupmenomis, o tada koordinačių spindulyje sudaryti atitinkamas paprastąsias trupmenas. Pavyzdžiui, dešimtainė trupmena 1,4 atitinka paprastąją trupmeną 14/10, todėl taškas, kurio koordinatė 1,4, teigiama kryptimi pašalinamas iš pradžios 14 atkarpų, lygių vienos atkarpos dešimtajai daliai.

Dešimtainės trupmenos gali būti pažymėtos koordinačių pluošte, pradedant nuo šios dešimtainės trupmenos išplėtimo į skaitmenis. Pavyzdžiui, tarkime, kad reikia sukurti tašką, kurio koordinatė yra 16,3007, nes 16,3007=16+0,3+0,0007, tada galime pasiekti šį tašką nuosekliai išdėstydami 16 vienetų atkarpų nuo koordinačių pradžios, 3 atkarpas, ilgį. iš kurių lygi vieneto dešimtajai daliai, ir 7 atkarpas, kurių ilgis lygus dešimčiai tūkstantajai vieneto atkarpos.

Šis koordinačių pluošto dešimtainių skaičių konstravimo metodas leidžia kiek norite priartėti prie taško, atitinkančio begalinę dešimtainę trupmeną.

Kartais galima tiksliai nubraižyti tašką, atitinkantį begalinį dešimtainį skaičių. Pavyzdžiui, , tada ši begalinė dešimtainė trupmena 1,41421... atitinka koordinačių spindulio tašką, nutolusį nuo pradžios tašku kvadrato, kurio kraštinė yra 1 vieneto atkarpa, įstrižainės ilgiu.

Atvirkštinis dešimtainės trupmenos gavimo procesas, atitinkantis duotą koordinačių pluošto tašką, yra vadinamasis. segmento dešimtainis matavimas. Pažiūrėkime, kaip tai daroma.

Tegul mūsų užduotis yra patekti iš pradžios į nurodytą koordinačių linijos tašką (arba be galo priartėti prie jo, jei neįmanoma į jį patekti). Naudodami dešimtainį segmento matavimą, galime nuosekliai atidėti bet kokį vienetinių segmentų skaičių nuo pradžios, tada segmentus, kurių ilgis lygus vieno segmento dešimtajai daliai, tada segmentus, kurių ilgis lygus šimtajai atskiro atkarpos ir tt . Užrašę nubrėžtų kiekvieno ilgio atkarpų skaičių, gauname dešimtainę trupmeną, atitinkančią duotą koordinačių spindulio tašką.

Pavyzdžiui, norėdami patekti į tašką M aukščiau esančiame paveikslėlyje, turite atidėti 1 vieneto segmentą ir 4 segmentus, kurių ilgis yra lygus vieneto dešimtajai daliai. Taigi taškas M atitinka dešimtainę trupmeną 1.4.

Aišku, kad koordinačių pluošto taškai, kurių negalima pasiekti atliekant dešimtainį matavimą, atitinka begalines dešimtaines trupmenas.

Bibliografija.

• Matematika: studijos. 5 ląstelėms. bendrojo išsilavinimo institucijos / N. Ya. Vilenkin, V. I. Zhokhov, A. S. Chesnokov, S. I. Shvartsburd. – 21 leid., ištrinta. - M.: Mnemosyne, 2007. - 280 p.: iliustr. ISBN 5-346-00699-0.
• Matematika. 6 klasė: vadovėlis. bendrajam lavinimui institucijos / [N. Ya.Vilenkinas ir kiti]. - 22 leidimas, kun. - M.: Mnemosyne, 2008. - 288 p.: iliustr. ISBN 978-5-346-00897-2.
• Algebra: vadovėlis 8 ląstelėms. bendrojo išsilavinimo institucijos / [Yu. N. Makaryčiovas, N. G. Mindjukas, K. I. Neškovas, S. B. Suvorova]; red. S. A. Telakovskis. – 16 leidimas. - M. : Švietimas, 2008. - 271 p. : nesveikas. - ISBN 978-5-09-019243-9.
• Gusevas V. A., Mordkovičius A. G. Matematika (vadovas stojantiesiems į technikos mokyklas): Proc. pašalpa.- M.; Aukščiau mokykla, 1984.-351 p., iliustr.

Prisiminkite, kaip pačioje pirmoje pamokoje apie dešimtaines trupmenas sakiau, kad yra skaitinių trupmenų, kurių negalima pavaizduoti kaip po kablelio (žr. pamoką „ Dešimtainės trupmenos“)? Taip pat išmokome koeficientuoti trupmenų vardiklius, kad patikrintume, ar yra kitų skaičių, išskyrus 2 ir 5.

Taigi: melavau. Ir šiandien mes išmoksime išversti absoliučiai bet kokią skaitinę trupmeną į dešimtainę. Tuo pačiu susipažinsime su visa trupmenų klase, turinčia begalinę reikšmingą dalį.

Pasikartojantis dešimtainis skaičius yra bet koks dešimtainis skaičius, turintis:

1. Reikšmingąją dalį sudaro begalinis skaičius skaitmenų;
2. Tam tikrais intervalais kartojami reikšmingosios dalies skaičiai.

Pasikartojančių skaitmenų rinkinys, sudarantis reikšmingąją dalį, vadinamas periodine trupmenos dalimi, o skaitmenų skaičius šioje aibėje yra trupmenos periodas. Likęs reikšmingosios dalies segmentas, kuris nesikartoja, vadinamas neperiodine dalimi.

Kadangi yra daug apibrėžimų, verta išsamiai apsvarstyti keletą šių trupmenų:

Ši dalis dažniausiai atsiranda problemų atveju. Neperiodinė dalis: 0; periodinė dalis: 3; laikotarpio trukmė: 1.

Neperiodinė dalis: 0,58; periodinė dalis: 3; laikotarpio trukmė: vėl 1.

Neperiodinė dalis: 1; periodinė dalis: 54; laikotarpio trukmė: 2.

Neperiodinė dalis: 0; periodinė dalis: 641025; periodo ilgis: 6. Patogumui pasikartojančios dalys viena nuo kitos atskiriamos tarpu – šiame sprendime to daryti nebūtina.

Neperiodinė dalis: 3066; periodinė dalis: 6; laikotarpio trukmė: 1.

Kaip matote, periodinės trupmenos apibrėžimas grindžiamas sąvoka reikšminga skaičiaus dalis. Todėl, jei pamiršote, kas tai yra, rekomenduoju tai pakartoti – žiūrėkite pamoką „“.

Perėjimas prie periodinio dešimtainio skaičiaus

Apsvarstykite paprastąją formos a / b trupmeną. Išskaidykime jo vardiklį į paprastus veiksnius. Yra dvi parinktys:

1. Išplėtime yra tik faktoriai 2 ir 5. Šios trupmenos lengvai sumažinamos iki kablelio – žr. pamoką „ Dešimtainės trupmenos“. Mums tokie neįdomūs;
2. Išplėtime yra dar kažkas, be 2 ir 5. Šiuo atveju trupmena negali būti pavaizduota kaip dešimtainė dalis, tačiau ją galima paversti periodine dešimtaine dalimi.

Norėdami nustatyti periodinę dešimtainę trupmeną, turite rasti jos periodinę ir neperiodinę dalis. Kaip? Paverskite trupmeną į netinkamą, o tada padalinkite skaitiklį iš vardiklio su „kampu“.

Tai darant, atsitiks:

1. Pirmiausia padalinkite visa dalis jei jis egzistuoja;
2. Po kablelio gali būti keli skaičiai;
3. Po kurio laiko prasidės skaičiai kartoti.

Tai viskas! Pasikartojantys skaitmenys po kablelio žymimi periodine dalimi, o kas yra priekyje – neperiodine.

Užduotis. Paprastąsias trupmenas konvertuoti į periodines dešimtaines:

Visos trupmenos be sveikosios dalies, todėl skaitiklį tiesiog padalijame iš vardiklio su „kampu“:

Kaip matote, likučiai kartojasi. Parašykime trupmeną „teisinga“ forma: 1,733 ... = 1,7(3).

Rezultatas yra trupmena: 0,5833 ... = 0,58(3).

Rašome normalia forma: 4.0909 ... = 4, (09).

Gauname trupmeną: 0,4141 ... = 0, (41).

Perėjimas iš periodinio dešimtainio į paprastąjį

Apsvarstykite periodinį dešimtainį X = abc (a 1 b 1 c 1). Būtina jį perkelti į klasikinį „dviejų aukštų“. Norėdami tai padaryti, atlikite keturis paprastus veiksmus:

1. Raskite trupmenos periodą, t.y. suskaičiuokite, kiek skaitmenų yra periodinėje dalyje. Tegul tai yra skaičius k;
2. Raskite išraiškos X · 10 k reikšmę. Tai prilygsta dešimtainio kablelio perkėlimui į dešinę – žr. pamoką „ Dešimtainių trupmenų daugyba ir padalijimas»;
3. Iš gauto skaičiaus atimkite pradinę išraišką. Tokiu atveju periodinė dalis „išdeginama“ ir lieka bendroji trupmena;
4. Gautoje lygtyje raskite X. Visos dešimtainės trupmenos paverčiamos įprastomis.

Užduotis. Konvertuoti į įprastą neteisingą skaičiaus trupmeną:

• 9,(6);
• 32,(39);
• 0,30(5);
• 0,(2475).

Darbas su pirmąja trupmena: X = 9, (6) = 9,666 ...

Skliausteliuose yra tik vienas skaitmuo, taigi laikotarpis k = 1. Toliau šią trupmeną padauginame iš 10 k = 10 1 = 10. Turime:

10X = 10 9,6666... ​​= 96,666...

Atimkite pradinę trupmeną ir išspręskite lygtį:

10X - X = 96,666 ... - 9,666 ... = 96 - 9 = 87;
9X=87;
X = 87/9 = 29/3.

Dabar panagrinėkime antrąją trupmeną. Taigi X = 32, (39) = 32,393939 ...

Laikotarpis k = 2, todėl viską padauginame iš 10 k = 10 2 = 100:

100X = 100 32,393939 ... = 3239,3939 ...

Dar kartą atimkite pradinę trupmeną ir išspręskite lygtį:

100X - X = 3239,3939 ... - 32,3939 ... = 3239 - 32 = 3207;
99X = 3207;
X = 3207/99 = 1069/33.

Pereikime prie trečios trupmenos: X = 0,30(5) = 0,30555 ... Schema ta pati, todėl pateiksiu tik skaičiavimus:

Laikotarpis k = 1 ⇒ viską padauginti iš 10 k = 10 1 = 10;

10X = 10 0,30555... = 3,05555...
10X - X = 3,0555 ... - 0,305555 ... = 2,75 = 11/4;
9X = 11/4;
X = (11/4): 9 = 11/36.

Galiausiai paskutinė trupmena: X = 0,(2475) = 0,2475 2475 ... Vėlgi, patogumo dėlei periodinės dalys viena nuo kitos atskirtos tarpais. Mes turime:

k = 4 ⇒ 10 k = 10 4 = 10 000;
10 000 X = 10 000 0,2475 2475 = 2475,2475 ...
10 000X - X = 2475,2475 ... - 0,2475 2475 ... = 2475;
9999X = 2475;
X = 2475: 9999 = 25/101.