Trupmenos

Dėmesio!
Yra papildomų
medžiaga specialiajame 555 skyriuje.
Tiems, kurie stipriai "nelabai..."
Ir tiems, kurie „labai...“)

Vidurinėje mokykloje trupmenos nelabai erzina. Kol kas. Kol nesusidursite su eksponentais su racionaliais rodikliais ir logaritmais. Ir ten…. Paspaudi, paspaudi skaičiuotuvą ir rodo visą kai kurių skaičių rezultatų suvestinę. Reikia mąstyti galva, kaip trečioje klasėje.

Pagaliau susitvarkykime su trupmenomis! Na, kiek galima juose susipainioti!? Be to, viskas paprasta ir logiška. Taigi, kas yra trupmenos?

Trupmenų rūšys. Transformacijos.

Frakcijos yra trijų tipų.

1. Paprastosios trupmenos , Pavyzdžiui:

Kartais vietoj horizontalios linijos įdeda pasvirąjį brūkšnį: 1/2, 3/4, 19/5, gerai ir pan. Čia mes dažnai vartosime šią rašybą. Skambinama aukščiausiu numeriu skaitiklis, žemesnė - vardiklis. Jei nuolat painiojate šiuos pavadinimus (taip atsitinka ...), pasakykite sau frazę su posakiu: " Zzzzz Prisiminti! Zzzzz vardiklis – išeina zzzz u!" Žiūrėk, viskas bus prisiminta.)

Brūkšnys, kuris yra horizontalus, kuris yra įstrižas, reiškia padalinys viršutinis skaičius (skaitiklis) iki apatinis skaičius (vardiklis). Štai ir viskas! Vietoj brūkšnio visiškai įmanoma įdėti padalijimo ženklą - du taškus.

Kai padalijimas yra visiškai įmanomas, tai turi būti padaryta. Taigi, vietoj trupmenos „32/8“ daug maloniau rašyti skaičių „4“. Tie. 32 tiesiog padalintas iš 8.

32/8 = 32: 8 = 4

Aš nekalbu apie trupmeną „4/1“. Kuris taip pat yra tik „4“. O jei iki galo nepasidalina, paliekame kaip trupmeną. Kartais reikia elgtis atvirkščiai. Padarykite trupmeną iš sveikojo skaičiaus. Bet apie tai vėliau.

2. Dešimtainės , Pavyzdžiui:

Būtent tokia forma reikės užsirašyti „B“ užduočių atsakymus.

3. mišrūs skaičiai , Pavyzdžiui:

Mišrūs skaičiai vidurinėje mokykloje praktiškai nenaudojami. Norint su jais dirbti, jos turi būti paverstos paprastosiomis trupmenomis. Bet jūs tikrai turite žinoti, kaip tai padaryti! Ir tada toks skaičius susidurs dėlionėje ir pakabins ... Nuo nulio. Bet mes prisimename šią procedūrą! Šiek tiek žemiau.

Pats universaliausias bendrosios trupmenos. Pradėkime nuo jų. Beje, jei trupmenoje yra visokių logaritmų, sinusų ir kitų raidžių, tai nieko nekeičia. Ta prasme, kad viskas veiksmai su trupmenomis niekuo nesiskiria nuo veiksmų su paprastosiomis trupmenomis!

Pagrindinė trupmenos savybė.

Taigi eikime! Visų pirma, aš jus nustebinsiu. Visą trupmenų transformacijų įvairovę suteikia viena savybė! Taip ir vadinasi pagrindinė trupmenos savybė. Prisiminti: Jei trupmenos skaitiklis ir vardiklis padauginami (padalinami) iš to paties skaičiaus, trupmena nepasikeis. Tie:

Aišku, kad gali rašyti toliau, kol nepamėlyna. Neleiskite sinusams ir logaritmams jūsų suklaidinti, mes su jais nagrinėsime toliau. Svarbiausia suprasti, kad visos šios įvairios išraiškos yra ta pati trupmena . 2/3.

Ir mums to reikia, visos šios transformacijos? Ir kaip! Dabar pamatysite patys. Pirma, panaudokime pagrindinę trupmenos savybę trupmenos santrumpos. Atrodytų, dalykas elementarus. Skaitiklį ir vardiklį padalijame iš to paties skaičiaus ir viskas! Neįmanoma suklysti! Bet... žmogus yra kurianti būtybė. Klysti galite visur! Ypač jei reikia sumažinti ne trupmeną kaip 5/10, o trupmeninę išraišką su visokiomis raidėmis.

Kaip teisingai ir greitai sumažinti trupmenas neatliekant nereikalingo darbo, rasite specialiame 555 skyriuje.

Normalus mokinys nesivargina dalyti skaitiklį ir vardiklį iš to paties skaičiaus (arba išraiškos)! Jis tiesiog perbraukia viską taip pat iš viršaus ir apačios! Čia slypi tipiška klaida, jei norite, klaida.

Pavyzdžiui, jums reikia supaprastinti išraišką:

Nėra ko galvoti, iš viršaus nubraukiame raidę „a“, o iš apačios – dvikovą! Mes gauname:

Viskas teisinga. Bet tikrai pasidalinai visas skaitiklis ir visas vardiklis "a". Jei esate įpratę tiesiog perbraukti, tada, skubėdami, galite išbraukti posakyje „a“.

ir vėl gauk

Kas būtų kategoriškai neteisinga. Nes čia visas skaitiklis jau yra ant "a". nepasidalinta! Šios dalies sumažinti negalima. Beje, tokia santrumpa yra, hm... rimtas iššūkis mokytojui. Tai neatleista! Prisiminti? Mažinant, būtina padalinti visas skaitiklis ir visas vardiklis!

Sumažinus trupmenas gyvenimas tampa daug lengvesnis. Kažkur gausite trupmeną, pavyzdžiui, 375/1000. O kaip dabar su ja dirbti? Be skaičiuotuvo? Padaugink, tarkim, pridėk, kvadratu!? Ir jei nesate per daug tingus, bet atsargiai sumažinkite penkiais, ir net penkiais, ir net ... kol jis mažinamas, trumpai tariant. Gauname 3/8! Daug gražiau, tiesa?

Pagrindinė trupmenos savybė leidžia įprastas trupmenas konvertuoti į dešimtaines ir atvirkščiai be skaičiuotuvo! Tai svarbu egzaminui, tiesa?

Kaip paversti trupmenas iš vienos formos į kitą.

Su dešimtainėmis dalimis tai padaryti paprasta. Kaip girdima, taip ir parašyta! Tarkime, 0,25. Tai nulis taško, dvidešimt penkios šimtosios dalys. Taigi rašome: 25/100. Sumažiname (skaitiklį ir vardiklį padaliname iš 25), gauname įprastą trupmeną: 1/4. Viskas. Taip atsitinka, ir nieko nesumažėja. Kaip 0.3. Tai trys dešimtosios, t.y. 3/10.

Ką daryti, jei sveikieji skaičiai nėra nuliai? Nieko blogo. Užrašykite visą trupmeną be jokių kablelių skaitiklyje, o vardiklyje – tai, kas išgirsta. Pavyzdžiui: 3.17. Tai yra trys visos, septyniolika šimtųjų dalių. Skaitiklyje rašome 317, o vardiklyje 100. Gauname 317/100. Niekas nesumažėja, tai reiškia viską. Tai yra atsakymas. Elementarus Vatsonas! Iš viso to, kas išdėstyta pirmiau, naudinga išvada: bet kurią dešimtainę trupmeną galima konvertuoti į paprastąją trupmeną .

Tačiau atvirkštinis konvertavimas į dešimtainę dalį neapsieina be skaičiuotuvo. Ir tai būtina! Kaip egzamino atsakymą užrašysi!? Atidžiai perskaitome ir įvaldome šį procesą.

Kas yra dešimtainė trupmena? Ji turi vardiklyje visada yra vertas 10 ar 100, 1000 arba 10 000 ir pan. Jei jūsų įprasta trupmena turi tokį vardiklį, nėra jokių problemų. Pavyzdžiui, 4/10 = 0,4. Arba 7/100 = 0,07. Arba 12/10 = 1,2. O jei atsakyme į skyriaus „B“ užduotį pasirodė 1/2? Ką rašysime atsakydami? Reikalingi dešimtainiai...

Mes prisimenam pagrindinė trupmenos savybė ! Matematika palankiai leidžia padauginti skaitiklį ir vardiklį iš to paties skaičiaus. Bet kam, beje! Žinoma, išskyrus nulį. Išnaudokime šią funkciją savo naudai! Iš ko galima padauginti vardiklį, t.y. 2, kad jis taptų 10, ar 100, ar 1000 (žinoma, kad mažesnis geriau...)? 5, aišku. Nedvejodami padauginkite vardiklį (tai yra JAV būtina) iš 5. Bet tada skaitiklį taip pat reikia padauginti iš 5. Tai jau yra matematika reikalavimai! Gauname 1/2 \u003d 1x5 / 2x5 \u003d 5/10 \u003d 0,5. Tai viskas.

Tačiau visokių vardiklių pasitaiko. Pavyzdžiui, trupmena 3/16 sumažės. Išbandykite, sugalvokite, iš ko padauginti 16, kad gautumėte 100, ar 1000... Neveikia? Tada galite tiesiog padalinti 3 iš 16. Jei nėra skaičiuoklės, teks dalyti kampe, ant popieriaus lapo, kaip mokė pradinėse klasėse. Gauname 0,1875.

Ir yra keletas labai blogų vardiklių. Pavyzdžiui, trupmenos 1/3 negalima paversti geru dešimtainiu. Ir ant skaičiuotuvo, ir ant popieriaus lapo gauname 0,3333333... Tai reiškia, kad 1/3 į tikslią dešimtainę trupmeną neverčia. Kaip ir 1/7, 5/6 ir pan. Daugelis jų yra neišverčiami. Taigi dar viena naudinga išvada. Ne kiekviena bendroji trupmena konvertuojama į dešimtainę dalį. !

Beje, tai naudinga informacija savityrai. Atsakydami į „B“ skyrių, turite užrašyti dešimtainę trupmeną. Ir jūs, pavyzdžiui, gavote 4/3. Ši trupmena nekonvertuojama į dešimtainę. Tai reiškia, kad kažkur pakeliui padarėte klaidą! Grįžkite, patikrinkite sprendimą.

Taigi, su išrūšiuotomis paprastosiomis ir dešimtainėmis trupmenomis. Belieka susidoroti su mišriais skaičiais. Norint dirbti su jais, juos visus reikia paversti įprastomis trupmenomis. Kaip tai padaryti? Galite pagauti šeštoką ir jo paklausti. Bet ne visada šeštokas bus po ranka... Tai turėsime padaryti patys. Tai nėra sunku. Trupmeninės dalies vardiklį padauginkite iš sveikosios dalies ir pridėkite trupmeninės dalies skaitiklį. Tai bus bendrosios trupmenos skaitiklis. O vardiklis? Vardiklis išliks toks pat. Tai skamba sudėtingai, bet iš tikrųjų tai gana paprasta. Pažiūrėkime pavyzdį.

Įveskite problemą, kurią pamatėte su siaubu, skaičių:

Ramiai, be panikos suprantame. Visa dalis yra 1. Viena. Trupmeninė dalis yra 3/7. Todėl trupmeninės dalies vardiklis yra 7. Šis vardiklis bus paprastosios trupmenos vardiklis. Skaičiuojame skaitiklį. 7 padauginame iš 1 (sveikoji dalis) ir pridedame 3 (trumposios dalies skaitiklis). Gauname 10. Tai bus paprastosios trupmenos skaitiklis. Tai viskas. Tai atrodo dar paprasčiau matematiškai:

Aišku? Tada užsitikrinkite savo sėkmę! Konvertuoti į bendrąsias trupmenas. Turėtumėte gauti 10/7, 7/2, 23/10 ir 21/4.

Atvirkštinis veiksmas – netinkamos trupmenos pavertimas mišriu skaičiumi – retai reikalingas vidurinėje mokykloje. Na, jei... O jei tu – ne vidurinėje mokykloje – gali pasižiūrėti specialų 555 skyrių. Toje pačioje vietoje, beje, sužinosite apie netinkamąsias trupmenas.

Na, beveik viskas. Jūs prisiminėte trupmenų tipus ir supratote kaip konvertuoti juos iš vieno tipo į kitą. Klausimas išlieka: kodėl daryk? Kur ir kada pritaikyti šias gilias žinias?

Aš atsakau. Bet koks pavyzdys pats savaime rodo būtinus veiksmus. Jei pavyzdyje paprastosios trupmenos, dešimtainės dalys ir net mišrūs skaičiai sumaišomi į krūvą, viską verčiame paprastosiomis trupmenomis. Tai visada galima padaryti. Na, jei parašyta kažkas panašaus į 0,8 + 0,3, tai mes taip manome, be jokio vertimo. Kodėl mums reikia papildomo darbo? Mes pasirenkame patogų sprendimą JAV !

Jei užduotyje gausu dešimtainių trupmenų, bet hm... kažkokių piktų, eikite į paprastus, išbandykite! Žiūrėk, viskas bus gerai. Pavyzdžiui, skaičių 0,125 turite paversti kvadratu. Ne taip paprasta, jei nepraradote įpročio naudotis skaičiuokle! Reikia ne tik padauginti skaičius stulpelyje, bet ir pagalvoti, kur dėti kablelį! Mano galva, tai tikrai neveikia! O jei einate į paprastąją trupmeną?

0,125 = 125/1000. Sumažiname 5 (pradedant). Gauname 25/200. Dar kartą 5. Gauname 5/40. O, mažėja! Grįžti į 5! Gauname 1/8. Lengvai kvadratuokite (galvoje!) ir gaukite 1/64. Viskas!

Apibendrinkime šią pamoką.

1. Yra trijų tipų trupmenos. Paprastieji, dešimtainiai ir mišrūs skaičiai.

2. Dešimtainės ir mišrūs skaičiai visada galima konvertuoti į bendrąsias trupmenas. Atvirkštinis vertimas ne visada prieinama.

3. Trupmenų tipo pasirinkimas darbui su užduotimi priklauso nuo šios užduoties. Jei vienoje užduotyje yra skirtingų tipų trupmenos, patikimiausia yra pereiti prie įprastų trupmenų.

Dabar galite treniruotis. Pirmiausia konvertuokite šias dešimtaines trupmenas į įprastas:

3,8; 0,75; 0,15; 1,4; 0,725; 0,012

Turėtumėte gauti tokius atsakymus (netvarkoje!):

Tuo mes baigsime. Šioje pamokoje apžvelgėme pagrindinius trupmenų dalykus. Tačiau būna, kad nėra ką ypatingo atnaujinti...) Jei kas nors visiškai pamiršo, ar dar neįvaldė... Tai gali eiti į specialų 555 skyrių. Ten išsamiai aprašyti visi pagrindai. Daugelis staiga viską suprasti prasideda. Ir jie greitai išsprendžia trupmenas).

Jei jums patinka ši svetainė...

Beje, turiu jums dar keletą įdomių svetainių.)

Galite praktikuotis spręsdami pavyzdžius ir sužinoti savo lygį. Testavimas su momentiniu patvirtinimu. Mokymasis – su susidomėjimu!)

galite susipažinti su funkcijomis ir išvestinėmis.

Jau pradinėje mokykloje mokiniai susiduria su trupmenomis. Ir tada jie pasirodo kiekvienoje temoje. Veiksmų su šiais skaičiais pamiršti neįmanoma. Todėl jūs turite žinoti visą informaciją apie paprastas ir dešimtaines trupmenas. Šios sąvokos paprastos, svarbiausia viską suprasti iš eilės.

Kodėl reikalingos trupmenos?

Mus supantis pasaulis susideda iš ištisų objektų. Todėl akcijų nereikia. Tačiau kasdienybė nuolat verčia žmones dirbti su daiktų dalimis ir daiktais.

Pavyzdžiui, šokoladas susideda iš kelių riekelių. Apsvarstykite situaciją, kai jos plytelę sudaro dvylika stačiakampių. Jei padalinsite į dvi dalis, gausite 6 dalis. Jis bus gerai padalintas į tris. Bet tie penki nesugebės duoti viso šokolado riekelių skaičiaus.

Beje, šie griežinėliai jau yra trupmenos. Ir tolesnis jų padalijimas lemia sudėtingesnių skaičių atsiradimą.

Kas yra "frakcija"?

Tai skaičius, susidedantis iš vieno dalių. Išoriškai tai atrodo kaip du skaičiai, atskirti horizontaliu arba pasviruoju brūkšniu. Ši savybė vadinama trupmeniniu. Viršuje (kairėje) parašytas skaičius vadinamas skaitikliu. Apačioje (dešinėje) esantis vardiklis.

Tiesą sakant, trupmenos juosta yra padalijimo ženklas. Tai yra, skaitiklis gali būti vadinamas dividendu, o vardiklis gali būti vadinamas dalikliu.

Kokios yra trupmenos?

Matematikoje jų yra tik dviejų tipų: paprastosios ir dešimtainės trupmenos. Su pirmokais moksleiviai susipažįsta pradinėse klasėse, vadindami juos tiesiog trupmenomis. Antrieji mokosi 5 klasėje. Tada ir pasirodo šie vardai.

Paprastosios trupmenos yra visos tos, kurios parašytos kaip du skaičiai, atskirti juostele. Pavyzdžiui, 4/7. Dešimtainė yra skaičius, kurio trupmeninė dalis turi padėties žymėjimą ir yra atskirta nuo sveikojo skaičiaus kableliu. Pavyzdžiui, 4.7. Mokiniams turi būti aišku, kad pateikti du pavyzdžiai yra visiškai skirtingi skaičiai.

Kiekvieną paprastą trupmeną galima parašyti kaip dešimtainį skaičių. Šis teiginys beveik visada teisingas ir atvirkščiai. Yra taisyklių, leidžiančių parašyti dešimtainę trupmeną kaip paprastąją trupmeną.

Kokius porūšius turi šios frakcijos?

Geriau pradėti chronologine tvarka, nes jie yra tiriami. Paprastosios trupmenos yra pirmiausia. Tarp jų galima išskirti 5 porūšius.

Teisingai. Jo skaitiklis visada yra mažesnis už vardiklį.

Neteisingai. Jo skaitiklis yra didesnis arba lygus vardikliui.

Sumažinamas / nesumažinamas. Tai gali būti teisinga arba neteisinga. Svarbu ir kitas dalykas, ar skaitiklis ir vardiklis turi bendrų faktorių. Jei yra, tada jie turėtų padalyti abi trupmenos dalis, tai yra, ją sumažinti.

Mišrus. Sveikasis skaičius priskiriamas įprastai teisingai (neteisingai) trupmeninei daliai. Ir visada stovi kairėje.

Sudėtinis. Jis susidaro iš dviejų frakcijų, padalintų viena į kitą. Tai reiškia, kad jis turi tris trupmenines savybes vienu metu.

Dešimtainės turi tik du porūšius:

galutinis, tai yra, kurio trupmeninė dalis yra ribota (turi pabaigą);

begalinis – skaičius, kurio skaitmenys po kablelio nesibaigia (juos galima rašyti be galo).

Kaip dešimtainį skaičių konvertuoti į paprastą?

Jei tai baigtinis skaičius, tai taikoma asociacija, pagrįsta taisykle – kaip girdžiu, taip ir rašau. Tai reiškia, kad reikia teisingai perskaityti ir užsirašyti, bet be kablelio, bet su trupmenine eilute.

Kaip užuomina apie reikalingą vardiklį, atminkite, kad jis visada yra vienas ir keli nuliai. Pastaruosius reikia parašyti tiek, kiek skaitmenų yra nagrinėjamo skaičiaus trupmeninėje dalyje.

Kaip paversti dešimtaines trupmenas į paprastas, jei trūksta visos jų dalies, tai yra lygi nuliui? Pavyzdžiui, 0,9 arba 0,05. Pritaikius nurodytą taisyklę paaiškėja, kad reikia parašyti nulį sveikųjų skaičių. Bet tai nenurodyta. Belieka užrašyti tik trupmenines dalis. Pirmojo skaičiaus vardiklis bus 10, antrojo - 100. Tai yra, nurodytuose pavyzdžiuose kaip atsakymai bus skaičiai: 9/10, 5/100. Be to, pastarąjį, pasirodo, galima sumažinti 5. Todėl jo rezultatas turi būti parašytas 1/20.

Kaip iš dešimtainio skaičiaus padaryti paprastąją trupmeną, jei jos sveikoji dalis skiriasi nuo nulio? Pavyzdžiui, 5.23 arba 13.00108. Abu pavyzdžiai skaito sveikąją dalį ir įrašo jos reikšmę. Pirmuoju atveju tai yra 5, antruoju - 13. Tada reikia pereiti prie trupmeninės dalies. Su jais būtina atlikti tą pačią operaciją. Pirmasis skaičius yra 23/100, antrasis - 108/100 000. Antrąją vertę vėl reikia sumažinti. Atsakymas yra mišrios trupmenos: 5 23/100 ir 13 27/25000.

Kaip paversti begalinį dešimtainį skaičių į bendrą trupmeną?

Jei tai neperiodinė, tada tokios operacijos atlikti negalima. Taip yra dėl to, kad kiekviena dešimtainė trupmena visada konvertuojama į galutinę arba periodinę.

Vienintelis dalykas, kurį leidžiama daryti su tokia trupmena, yra suapvalinti. Bet tada dešimtainis skaičius bus maždaug lygus tai begalinei. Jį jau galima paversti įprastu. Tačiau atvirkštinis procesas: konvertavimas į dešimtainę – niekada nesuteiks pradinės vertės. Tai reiškia, kad begalinės neperiodinės trupmenos nėra verčiamos paprastosiomis trupmenomis. Tai reikia atsiminti.

Kaip parašyti begalinę periodinę trupmeną paprastosios formos pavidalu?

Šiuose skaičiuose po kablelio visada atsiranda vienas ar keli skaitmenys, kurie kartojasi. Jie vadinami laikotarpiais. Pavyzdžiui, 0,3 (3). Čia "3" laikotarpiu. Jos priskiriamos racionaliosioms, nes jas galima paversti paprastosiomis trupmenomis.

Tie, kurie susidūrė su periodinėmis trupmenomis, žino, kad jos gali būti grynos arba mišrios. Pirmuoju atveju taškas prasideda iš karto nuo kablelio. Antrojoje trupmeninė dalis prasideda bet kokiais skaičiais, o tada prasideda kartojimas.

Taisyklė, pagal kurią reikia parašyti begalinį dešimtainį įprastos trupmenos forma, skirsis šių dviejų tipų skaičiams. Gana lengva grynąsias periodines trupmenas užrašyti kaip paprastąsias trupmenas. Kaip ir galutinius, juos reikia konvertuoti: į skaitiklį įrašyti tašką ir vardikliu bus skaičius 9, kartojantis tiek kartų, kiek taške yra skaitmenų.

Pavyzdžiui, 0, (5). Skaičius neturi sveikosios dalies, todėl reikia nedelsiant pereiti prie trupmeninės dalies. Skaitiklyje parašykite 5, o vardiklyje - 9. Tai yra, atsakymas bus trupmena 5/9.

Taisyklė, kaip parašyti bendrąją dešimtainę trupmeną, kuri yra mišri trupmena.

Pažiūrėkite į laikotarpio trukmę. Tiek 9 turės vardiklį.

Užrašykite vardiklį: iš pradžių devyni, paskui nuliai.

Norėdami nustatyti skaitiklį, turite parašyti dviejų skaičių skirtumą. Visi skaitmenys po kablelio bus sumažinti kartu su tašku. Atimamas – tai be taško.

Pavyzdžiui, 0,5(8) – periodinę dešimtainę trupmeną parašykite kaip bendrąją trupmeną. Trupmeninė dalis prieš tašką yra vieno skaitmens. Taigi nulis bus vienas. Laikotarpyje taip pat yra tik vienas skaitmuo – 8. Tai yra tik vienas devynetas. Tai yra, vardiklyje reikia įrašyti 90.

Norint nustatyti skaitiklį iš 58, reikia atimti 5. Pasirodo, 53. Pavyzdžiui, kaip atsakymą turėsite parašyti 53/90.

Kaip paprastosios trupmenos konvertuojamos į dešimtaines?

Paprasčiausias variantas yra skaičius, kurio vardiklis yra skaičius 10, 100 ir pan. Tada vardiklis tiesiog atmetamas, o tarp trupmenos ir sveikųjų skaičių dedamas kablelis.

Būna situacijų, kai vardiklis lengvai virsta 10, 100 ir tt Pavyzdžiui, skaičiai 5, 20, 25. Pakanka juos padauginti atitinkamai iš 2, 5 ir 4. Tik reikia iš to paties skaičiaus padauginti ne tik vardiklį, bet ir skaitiklį.

Visais kitais atvejais pravers paprasta taisyklė: skaitiklį padalinkite iš vardiklio. Tokiu atveju galite gauti du atsakymus: galutinę arba periodinę dešimtainę trupmeną.

Operacijos su paprastosiomis trupmenomis

Sudėjimas ir atėmimas

Studentai juos susipažįsta anksčiau nei kiti. Ir iš pradžių trupmenos turi tuos pačius vardiklius, o vėliau skirtingus. Bendrosios taisyklės gali būti sumažintos iki tokio plano.

Raskite mažiausią bendrą vardiklių kartotinį.

Visoms paprastosioms trupmenoms parašykite papildomus veiksnius.

Padauginkite skaitiklius ir vardiklius iš jiems nustatytų veiksnių.

Sudėkite (atimkite) trupmenų skaitiklius, o bendrąjį vardiklį palikite nepakeistą.

Jei minuendo skaitiklis yra mažesnis už potraukį, tuomet reikia išsiaiškinti, ar turime mišrų skaičių, ar teisingą trupmeną.

Pirmuoju atveju sveikoji dalis turi būti viena. Prie trupmenos skaitiklio pridėkite vardiklį. Ir tada atlikite atimtį.

Antrajame - būtina taikyti atimties nuo mažesnio skaičiaus iki didesnio skaičiaus taisyklę. Tai yra, atimkite minuend modulį iš pogrupio modulio ir įdėkite ženklą „-“.

Atidžiai pažiūrėkite į sudėjimo (atimties) rezultatą. Jei gausite netinkamą trupmeną, tuomet turėtų būti pasirinkta visa dalis. Tai yra, padalinkite skaitiklį iš vardiklio.

Daugyba ir dalyba

Norint juos įgyvendinti, trupmenų nereikia redukuoti iki bendro vardiklio. Taip lengviau imtis veiksmų. Tačiau jie vis tiek turi laikytis taisyklių.

Dauginant paprastąsias trupmenas, reikia atsižvelgti į skaičius skaitikliuose ir vardikliuose. Jei kuris nors skaitiklis ir vardiklis turi bendrą koeficientą, tada juos galima sumažinti.

Padauginkite skaitiklius.

Padauginkite vardiklius.

Jei gausite redukuojamą trupmeną, ji vėl turėtų būti supaprastinta.

Dalindami pirmiausia turite pakeisti dalybą daugyba, o daliklį (antrąją trupmeną) - reciprokine (sukeisti skaitiklį ir vardiklį).

Tada atlikite daugybos veiksmus (pradėkite nuo 1 veiksmo).

Užduotyse, kuriose reikia padauginti (padalyti) iš sveikojo skaičiaus, pastarasis turėtų būti parašytas kaip netinkama trupmena. Tai yra, kai vardiklis yra 1. Tada tęskite, kaip aprašyta aukščiau.



Veiksmai su dešimtaine

Sudėjimas ir atėmimas

Žinoma, dešimtainį skaičių visada galite paversti bendrąja trupmena. Ir elkitės pagal jau aprašytą planą. Tačiau kartais patogiau veikti be šio vertimo. Tada jų pridėjimo ir atėmimo taisyklės bus lygiai tokios pačios.

Išlyginkite skaitmenų skaičių trupmeninėje skaičiaus dalyje, ty po kablelio. Priskirkite trūkstamą nulių skaičių.

Rašykite trupmenas taip, kad kablelis būtų po kableliu.

Sudėkite (atimkite) kaip natūraliuosius skaičius.

Pašalinkite kablelį.

Daugyba ir dalyba

Svarbu, kad čia nereikėtų pridėti nulių. Trupmenos turėtų būti paliktos taip, kaip pateiktos pavyzdyje. Ir tada eik pagal planą.

Norint dauginti, reikia rašyti trupmenas vieną po kita, nekreipti dėmesio į kablelius.

Padauginkite kaip natūraliuosius skaičius.

Atsakyme dėkite kablelį, nuo dešiniojo atsakymo galo skaičiuodami tiek skaitmenų, kiek jų yra abiejų faktorių trupmeninėse dalyse.

Norėdami padalyti, pirmiausia turite konvertuoti daliklį: padaryti jį natūraliu skaičiumi. Tai yra, padauginkite jį iš 10, 100 ir tt, priklausomai nuo to, kiek skaitmenų yra daliklio trupmeninėje dalyje.

Padauginkite dividendą iš to paties skaičiaus.

Padalinkite dešimtainį skaičių iš natūraliojo skaičiaus.

Atsakyme dėkite kablelį tuo momentu, kai baigiasi visos dalies padalijimas.



Ką daryti, jei viename pavyzdyje yra abiejų tipų trupmenos?

Taip, matematikoje dažnai yra pavyzdžių, kai reikia atlikti operacijas su paprastosiomis ir dešimtainėmis trupmenomis. Yra du galimi šių problemų sprendimai. Turite objektyviai pasverti skaičius ir pasirinkti geriausią.

Pirmasis būdas: pavaizduokite įprastus dešimtainius

Tinka, jei dalijant ar konvertuojant gaunamos galutinės frakcijos. Jei bent vienas skaičius suteikia periodinę dalį, tada ši technika yra draudžiama. Todėl, net jei jums nepatinka dirbti su paprastosiomis trupmenomis, turėsite jas skaičiuoti.

Antrasis būdas: dešimtaines trupmenas rašykite kaip įprastą

Ši technika yra patogi, jei dalyje po kablelio yra 1–2 skaitmenys. Jei jų bus daugiau, gali pasirodyti labai didelė paprastoji trupmena, o dešimtainiai įrašai leis greičiau ir lengviau apskaičiuoti užduotį. Todėl visada reikia blaiviai įvertinti užduotį ir pasirinkti paprasčiausią sprendimo būdą.

Dešimtainės trupmenos yra tos pačios paprastosios trupmenos, tačiau vadinamosios dešimtainės trupmenos. Dešimtainis žymėjimas naudojamas trupmenoms, kurių vardikliai yra 10, 100, 1000 ir kt. Šiuo atveju vietoj trupmenų 1/10; 1/100; 1/1000; ... rašyti 0,1; 0,01; 0,001;... .

Pavyzdžiui, 0,7 ( nulis taškas septyni) yra trupmena 7/10; 5.43 ( penki taškai keturiasdešimt trys šimtosios dalys) yra mišri frakcija 5 43/100 (arba, atitinkamai, netinkama frakcija 543/100).

Gali atsitikti taip, kad iškart po kablelio yra vienas ar daugiau nulių: 1,03 yra trupmena 1 3/100; 17,0087 yra trupmena 1787/10 000. Bendra taisyklė yra tokia: paprastosios trupmenos vardiklyje turi būti tiek nulių, kiek skaitmenų po kablelio yra dešimtainėje trupmenoje.

Dešimtainis skaičius gali baigtis vienu ar daugiau nulių. Pasirodo, šie nuliai yra „papildomi“ - juos galima tiesiog pašalinti: 1,30 = 1,3; 5,4600 = 5,46; 3000 = 3. Ar galite suprasti, kodėl taip yra?

Dešimtainės skaitmenys natūraliai atsiranda dalinant iš „apvalių“ skaičių – 10, 100, 1000, ... Būtinai supraskite šiuos pavyzdžius:

27:10 = 27/10 = 2 7/10 = 2,7;

579:100 = 579/100 = 5 79/100 = 5,79;

33791:1000 = 33791/1000 = 33 791/1000 = 33,791;

34,9:10 = 349/10:10 = 349/100 = 3,49;

6,35:100 = 635/100:100 = 635/10000 = 0,0635.

Ar pastebite čia modelį? Pabandykite tai suformuluoti. Kas atsitiks, jei dešimtainį skaičių padauginsite iš 10, 100, 1000?

Norėdami paversti paprastąją trupmeną į dešimtainę, turite ją perkelti į tam tikrą „apvalų“ vardiklį:

2/5 = 4/10 = 0,4; 11/20 = 55/100 = 0,55; 9/2 = 45/10 = 4,5 ir tt

Dešimtaines trupmenas sudėti daug patogiau nei paprastas trupmenas. Sudėjimas atliekamas taip pat, kaip ir su paprastais skaičiais – pagal atitinkamus skaitmenis. Pridedant stulpelyje, terminai turi būti parašyti taip, kad jų kableliai būtų toje pačioje vertikalioje padėtyje. Sumos kablelis taip pat bus rodomas toje pačioje vertikalioje padėtyje. Dešimtainių trupmenų atėmimas atliekamas lygiai taip pat.

Jei sudėjus ar atimant vienoje iš trupmenų skaitmenų po kablelio yra mažiau nei kitoje, tada šios trupmenos pabaigoje reikia pridėti reikiamą skaičių nulių. Negalite pridėti šių nulių, o tiesiog įsivaizduokite juos mintyse.

Dauginant dešimtaines trupmenas, jas vėl reikia dauginti kaip paprastus skaičius (šiuo atveju kablelio po kableliu rašyti nebereikia). Gautame rezultate kableliais turite atskirti simbolių skaičių, lygų bendram abiejų veiksnių po kablelio skaičiui.

Dalindami dešimtaines trupmenas, vienu metu galite perkelti kablelį į dešinę tiek pat skaitmenų dividende ir daliklyje: koeficientas nuo to nepasikeis:

2,8:1,4 = 2,8/1,4 = 28/14 = 2;

4,2:0,7 = 4,2/0,7 = 42/7 = 6;

6:1,2 = 6,0/1,2 = 60/12 = 5.

Paaiškinkite, kodėl taip yra?

1. Nubrėžkite 10x10 kvadratą. Nudažykite kurią nors jo dalį, lygią: a) 0,02; b) 0,7; c) 0,57; d) 0,91; e) 0,135 viso kvadrato ploto.
2. Kas yra 2,43 kvadratai? Pieškite paveikslėlyje.
3. Padalinkite 37 iš 10; 795; 4; 2,3; 65,27; 0,48 ir rezultatą parašykite dešimtaine trupmena. Padalinkite šiuos skaičius iš 100 ir 1000.
4. Padauginkite iš 10 skaičius 4,6; 6,52; 23.095; 0,01999. Padauginkite šiuos skaičius iš 100 ir 1000.
5. Išreikškite dešimtainę trupmeną ir sumažinkite:
   a) 0,5; 0,2; 0,4; 0,6; 0,8;
   b) 0,25; 0,75; 0,05; 0,35; 0,025;
   c) 0,125; 0,375; 0,625; 0,875;
   d) 0,44; 0,26; 0,92; 0,78; 0,666; 0,848.
6. Įsivaizduokite kaip mišrią trupmeną: 1,5; 3,2; 6,6; 2,25; 10,75; 4,125; 23.005; 7.0125.
7. Parašykite bendrąją trupmeną po kablelio:
   a) 1/2; 3/2; 7/2; 15/2; 1/5; 3/5; 4/5; 18/5;
   b) 1/4; 3/4; 5/4; 19/4; 1/20; 7/20; 49/20; 1/25; 13/25; 77/25; 1/50; 17/50; 137/50;
   c) 1/8; 3/8; 5/8; 7/8; 11/8; 125/8; 1/16; 5/16; 9/16; 23/16;
   d) 1/500; 3/250; 71/200; 9/125; 27/2500; 1999/2000 m.
8. Raskite sumą: a) 7,3 + 12,8; b) 65,14+49,76; c) 3,762+12,85; d) 85,4+129,756; e) 1,44+2,56.
9. Pagalvokite apie vienetą kaip dviejų skaičių po kablelio sumą. Raskite dar dvidešimt būdų tai padaryti.
10. Raskite skirtumą: a) 13,4–8,7; b) 74,52–27,04; c) 49,736–43,45; d) 127,24–93,883; e) 67–52,07; f) 35,24–34,9975.
11. Raskite produktą: a) 7,6 3,8; b) 4,8 12,5; c) 2,39 7,4; d) 3,74 9,65.

Šiame straipsnyje mes suprasime, kas yra dešimtainė trupmena, kokias savybes ir savybes ji turi. Pirmyn! 🙂

Dešimtainė trupmena yra ypatingas paprastųjų trupmenų atvejis (kai vardiklis yra 10 kartotinis).

Apibrėžimas

Dešimtainės yra trupmenos, kurių vardikliai yra skaičiai, susidedantys iš vieneto ir tam tikro skaičiaus nulių, einančių po jo. Tai yra, tai yra trupmenos, kurių vardiklis yra 10, 100, 1000 ir kt. Kitu atveju dešimtainę trupmeną galima apibūdinti kaip trupmeną, kurios vardiklis yra 10 arba viena iš dešimties laipsnių.

Trupmenų pavyzdžiai:

, ,

Dešimtainė trupmena rašoma kitaip nei bendroji trupmena. Veiksmai su šiomis trupmenomis taip pat skiriasi nuo operacijų su įprastomis. Operacijų su jais taisyklės iš esmės yra panašios į operacijų su sveikaisiais skaičiais taisykles. Tai visų pirma lemia jų svarbą sprendžiant praktines problemas.

Trupmenos vaizdavimas dešimtainiu būdu

Dešimtainėje žymėjime vardiklio nėra, rodomas skaitiklio skaičius. Paprastai dešimtainės trupmenos rašomos taip:

kur X yra sveikoji trupmenos dalis, Y yra jos trupmeninė dalis, "," yra kablelis.

Norint teisingai pavaizduoti paprastąją trupmeną kaip dešimtainį skaičių, ji turi būti teisinga, ty su paryškinta sveikojo skaičiaus dalimi (jei įmanoma) ir skaitikliu, mažesniu už vardiklį. Tada, naudojant dešimtainę žymėjimą, sveikoji dalis rašoma prieš kablelį (X), o paprastosios trupmenos skaitiklis rašomas po kablelio (Y).

Jei skaitiklis žymi skaičių, kurio skaitmenų skaičius yra mažesnis už nulių skaičių vardiklyje, tai Y dalyje trūkstamas skaitmenų skaičius dešimtainėje žymoje užpildomas nuliais prieš skaitiklio skaitmenis.

Pavyzdys:

Jei paprastoji trupmena mažesnė už 1, t.y. neturi sveikojo skaičiaus dalies, tada X dešimtaine forma rašomas 0.

Trupmeninėje dalyje (Y), po paskutinio reikšmingojo (išskyrus nulį) skaitmens, galima įvesti savavališką nulių skaičių. Tai neturi įtakos trupmenos vertei. Ir atvirkščiai: visus nulius dešimtainės trupmenos trupmeninės dalies pabaigoje galima praleisti.

Skaitymas po kablelio

X dalis bendruoju atveju skaitoma taip: „X sveikieji skaičiai“.

Y dalis skaitoma pagal skaičių vardiklyje. Vardikliui 10 reikia skaityti: "Y dešimtosios", vardikliui 100: "Y šimtosios", vardikliui 1000: "Y tūkstantosios" ir tt... 😉

Kitas skaitymo būdas laikomas teisingesniu, remiantis trupmeninės dalies skaitmenų skaičiumi. Norėdami tai padaryti, turite suprasti, kad trupmeniniai skaitmenys yra veidrodiniame vaizde sveikosios trupmenos dalies skaitmenų atžvilgiu.

Teisingo skaitymo pavadinimai pateikti lentelėje:

Remiantis tuo, skaitymas turėtų būti pagrįstas trupmeninės dalies paskutinio skaitmens kategorijos pavadinimo atitikimu.

• 3.5 parašyta "trys taškai penki"
• 0,016 reiškia "nulis šešiolika tūkstantųjų dalių"

Savavališkos paprastosios trupmenos konvertavimas į dešimtainę

Jei paprastosios trupmenos vardiklis yra 10 arba tam tikra dešimties galia, tada trupmena konvertuojama taip, kaip aprašyta aukščiau. Kitose situacijose reikia papildomų transformacijų.

Yra 2 vertimo būdai.

Pirmasis vertimo būdas

Skaitiklis ir vardiklis turi būti padauginti iš tokio sveikojo skaičiaus, kad vardiklis būtų 10 arba vienas iš dešimties laipsnių. Ir tada trupmena vaizduojama dešimtainiu būdu.

Šis metodas taikomas trupmenoms, kurių vardiklis išskaidomas tik į 2 ir 5. Taigi, ankstesniame pavyzdyje . Jei yra kitų pagrindinių išplėtimo veiksnių (pavyzdžiui, ), tuomet turėsite pasinaudoti 2-uoju metodu.

Antrasis vertimo būdas

2-asis metodas yra skaitiklio padalijimas iš vardiklio stulpelyje arba skaičiuoklėje. Sveikoji dalis, jei yra, transformacijoje nedalyvauja.

Toliau aprašyta ilgojo padalijimo taisyklė, dėl kurios gaunama dešimtainė trupmena (žr. Dešimtainių skaičių padalijimas).

Konvertuoti dešimtainę į įprastą

Norėdami tai padaryti, jos trupmeninė dalis (į dešinę nuo kablelio) turėtų būti įrašyta kaip skaitiklis, o trupmeninės dalies skaitymo rezultatas – kaip atitinkamas skaičius vardiklyje. Be to, jei įmanoma, reikia sumažinti gautą frakciją.

Pabaiga ir begalinis dešimtainis

Dešimtainė trupmena vadinama galutine, kurios trupmeninę dalį sudaro baigtinis skaičius skaitmenų.

Visuose aukščiau pateiktuose pavyzdžiuose yra tiksliai paskutinės dešimtainės trupmenos. Tačiau ne kiekvieną paprastąją trupmeną galima pavaizduoti kaip galutinį dešimtainį skaičių. Jei 1-asis vertimo metodas tam tikrai trupmenai netaikomas, o 2-asis metodas parodo, kad padalijimas negali būti užbaigtas, galima gauti tik begalinę dešimtainę trupmeną.

Neįmanoma parašyti begalinės trupmenos visa forma. Nebaigta forma gali būti pavaizduotos tokios trupmenos:

1. sumažinus iki pageidaujamo skaitmenų po kablelio;
2. periodinės trupmenos pavidalu.

Periodine vadinama trupmena, kurioje po kablelio galima išskirti be galo pasikartojančią skaitmenų seką.

Likusios trupmenos vadinamos neperiodinėmis. Neperiodinėms trupmenoms leidžiamas tik 1-asis vaizdavimo būdas (apvalinimas).

Periodinės trupmenos pavyzdys: 0,8888888 ... Čia yra pasikartojantis skaičius 8, kuris, be abejo, bus kartojamas neribotą laiką, nes nėra pagrindo manyti kitaip. Šis numeris vadinamas trupmenos laikotarpis.

Periodinės frakcijos yra grynos ir sumaišytos. Dešimtainė trupmena yra grynoji, kai taškas prasideda iškart po kablelio. Mišrią trupmeną prieš kablelį sudaro 1 ar daugiau skaitmenų.

54.33333 ... - periodinė grynoji dešimtainė trupmena

2.5621212121 ... - periodinė mišri frakcija

Begalinių dešimtainių skaičių rašymo pavyzdžiai:

2 pavyzdyje parodyta, kaip periodinėje trupmenoje tinkamai sudaryti tašką.

Periodinių dešimtainių skaičių konvertavimas į įprastą

Norėdami grynąją periodinę trupmeną paversti įprastu periodu, įrašykite ją į skaitiklį, o į vardiklį - skaičių, susidedantį iš devynių, kurių suma lygi laikotarpio skaitmenų skaičiui.

Mišrus pasikartojantis dešimtainis skaičius verčiamas taip:

1. reikia sudaryti skaičių, kurį sudaro skaičius po kablelio prieš tašką ir pirmasis taškas;
2. iš gauto skaičiaus atimkite skaičių po kablelio prieš tašką. Rezultatas bus paprastosios trupmenos skaitiklis;
3. vardiklyje turite įvesti skaičių, kurį sudaro devynių skaičius, lygus taško skaitmenų skaičiui, po kurio seka nuliai, kurių skaičius yra lygus skaičiaus skaitmenų skaičiui po kablelio prieš 1-as laikotarpis.

Dešimtainis palyginimas

Iš pradžių dešimtainės trupmenos lyginamos pagal jų dalis. Kuo didesnė yra trupmena, kuri turi didesnę sveikojo skaičiaus dalį.

Jei sveikųjų skaičių dalys yra vienodos, tada lyginami atitinkamų trupmeninės dalies skaitmenų skaitmenys, pradedant nuo pirmosios (nuo dešimtųjų). Čia galioja tas pats principas: didesnė iš trupmenų, kuri turi didesnį dešimtinių skaičių; jei dešimtųjų dalių skaitmenys yra lygūs, šimtosios dalys lyginamos ir pan.

Tiek, kiek

, kadangi su lygiomis sveikųjų skaičių dalimis ir lygiomis dešimtosiomis trupmeninėje dalyje, 2-oji trupmena turi daugiau šimtųjų dalių.

Dešimtainių skaičių pridėjimas ir atėmimas

Dešimtainiai skaitmenys pridedami ir atimami taip pat, kaip ir sveikieji skaičiai, atitinkamus skaitmenis rašant vienas po kito. Norėdami tai padaryti, vienas po kito turi būti kablelio. Tada sutaps sveikosios dalies vienetai (dešimtosios ir kt.), taip pat trupmeninės dalies dešimtosios (šimtosios ir kt.). Trūkstami trupmeninės dalies skaitmenys užpildomi nuliais. Tiesiogiai Sudėjimo ir atimties procesas atliekamas taip pat, kaip ir sveikųjų skaičių atveju.

Dešimtainė daugyba

Norėdami padauginti dešimtaines trupmenas, turite jas rašyti vieną po kita, sulygiuoti su paskutiniu skaitmeniu ir nekreipti dėmesio į kablelio vietą. Tada reikia padauginti skaičius taip pat, kaip ir dauginant sveikuosius skaičius. Gavę rezultatą, turėtumėte perskaičiuoti skaitmenų skaičių po kablelio abiejose trupmenose ir bendrą trupmeninių skaitmenų skaičių gautame skaičiuje atskirti kableliu. Jei skaitmenų nepakanka, jie pakeičiami nuliais.

Dešimtainių skaičių dauginimas ir dalijimas iš 10 n

Šie veiksmai yra paprasti ir perkeliami po kablelio. P dauginant kablelis perkeliamas į dešinę (trupmena didėja) skaitmenų skaičiumi, lygiu nulių skaičiui 10 n, kur n yra savavališkas sveikasis skaičius. Tai yra, tam tikras skaičius skaitmenų perkeliamas iš trupmeninės dalies į sveikąjį skaičių. Dalinant atitinkamai kablelis perkeliamas į kairę (skaičius mažėja), o dalis skaitmenų iš sveikosios dalies perkeliama į trupmeninę. Jei nėra pakankamai skaitmenų perkelti, trūkstami skaitmenys užpildomi nuliais.

Dešimtainio ir sveikojo skaičiaus dalijimas iš sveikojo skaičiaus ir dešimtainio skaičiaus

Dešimtainės dalies dalijimas iš sveikojo skaičiaus yra tas pats, kas padalyti du sveikuosius skaičius. Be to, reikia atsižvelgti tik į kablelio padėtį: griaunant skaitmens skaitmenį, po kurio rašomas kablelis, po esamo sugeneruoto atsakymo skaitmens reikia dėti kablelį. Tada reikia dalyti tol, kol gausis nulis. Jei dividende nėra pakankamai ženklų, kad būtų galima visiškai padalyti, kaip juos reikia naudoti nulius.

Panašiai 2 sveikieji skaičiai padalijami į stulpelį, jei visi dividendo skaitmenys buvo nugriauti, o visas padalijimas dar nebaigtas. Tokiu atveju, nugriovus paskutinį dividendo skaitmenį, gautame atsakyme dedamas kablelis, o kaip nugriauti skaitmenys naudojami nuliai. Tie. dividendas čia iš tikrųjų vaizduojamas kaip dešimtainė trupmena su nuline trupmenine dalimi.

Norint padalyti dešimtainę trupmeną (arba sveikąjį skaičių) iš dešimtainio skaičiaus, reikia padauginti dividendą ir daliklį iš skaičiaus 10 n, kuriame nulių skaičius yra lygus skaitmenų skaičiui po kablelio daliklis. Tokiu būdu jie atsikrato trupmenos, iš kurios norite padalyti, kablelio. Be to, padalijimo procesas yra toks pat, kaip aprašyta aukščiau.

Grafinis dešimtainių skaičių vaizdavimas

Grafiškai dešimtainės trupmenos vaizduojamos koordinačių linija. Tam pavieniai segmentai papildomai padalijami į 10 lygių dalių, lygiai taip pat, kaip vienu metu ant liniuotės dedami centimetrai ir milimetrai. Taip užtikrinama, kad dešimtainės dalys būtų rodomos tiksliai ir būtų galima objektyviai palyginti.

Kad išilginės atskirų segmentų padalos būtų vienodos, reikia atidžiai įvertinti paties atskiro segmento ilgį. Jis turėtų būti toks, kad būtų galima užtikrinti papildomo padalijimo patogumą.

Matematikoje įvairūs skaičių tipai buvo tiriami nuo pat jų atsiradimo. Yra daug skaičių aibių ir poaibių. Tarp jų yra sveikieji skaičiai, racionalūs, neracionalūs, natūralūs, lyginiai, nelyginiai, sudėtingi ir trupmeniniai. Šiandien analizuosime informaciją apie paskutinį rinkinį – trupmeninius skaičius.

Trupmenų apibrėžimas

Trupmenos yra skaičiai, susidedantys iš visos dalies ir vieneto trupmenų. Kaip ir sveikieji skaičiai, tarp dviejų sveikųjų skaičių yra be galo daug trupmeninių skaičių. Matematikoje operacijos su trupmenomis atliekamos, kaip ir su sveikaisiais ir natūraliaisiais skaičiais. Tai gana paprasta ir galima išmokti per kelias pamokas.

Straipsnyje pateikiami du tipai

Paprastosios trupmenos

Paprastosios trupmenos yra sveikoji dalis a ir du skaičiai, parašyti per trupmenos juostą b/c. Paprastosios trupmenos gali būti labai naudingos, jei trupmeninės dalies negalima pavaizduoti racionalia dešimtaine forma. Be to, patogiau atlikti aritmetinius veiksmus per trupmeninę eilutę. Viršutinė dalis vadinama skaitikliu, apatinė – vardikliu.

Veiksmai su paprastosiomis trupmenomis: pavyzdžiai

Pagrindinė trupmenos savybė. At skaitiklį ir vardiklį padauginus iš to paties skaičiaus, kuris nėra nulis, gaunamas skaičius, lygus duotajam. Ši trupmenos savybė padeda pridėti vardiklį (tai bus aptarta toliau) arba sumažinti trupmeną, todėl skaičiuoti yra patogiau. a/b = a*c/b*c. Pavyzdžiui, 36/24 = 6/4 arba 9/13 = 18/26

Sumažinimas iki bendro vardiklio. Norėdami pateikti trupmenos vardiklį, turite pateikti vardiklį faktorių forma, o tada padauginti iš trūkstamų skaičių. Pavyzdžiui, 7/15 ir 12/30; 7/5*3 ir 12/5*3*2. Matome, kad vardikliai skiriasi dviem, todėl pirmosios trupmenos skaitiklį ir vardiklį padauginame iš 2. Gauname: 14/30 ir 12/30.

Sudėtinės frakcijos- paprastosios trupmenos su paryškinta sveikojo skaičiaus dalimi. (A b/c) Norėdami pateikti sudėtinę trupmeną kaip bendrą trupmeną, skaičių, esantį prieš trupmeną, padauginkite iš vardiklio ir pridėkite jį prie skaitiklio: (A*c + b)/c.

Aritmetiniai veiksmai su trupmenomis

Nebus nereikalinga atsižvelgti į gerai žinomas aritmetines operacijas tik dirbant su trupmeniniais skaičiais.

Sudėjimas ir atėmimas. Sudėti ir atimti trupmenas taip pat lengva, kaip ir sveikuosius skaičius, išskyrus vieną sunkumą – trupmeninės juostos buvimą. Sudedant trupmenas su tuo pačiu vardikliu, reikia sudėti tik abiejų trupmenų skaitiklius, vardikliai lieka nepakitę. Pavyzdžiui: 5/7 + 1/7 = (5+1)/7 = 6/7

Jei dviejų trupmenų vardikliai yra skirtingi skaičiai, pirmiausia turite juos sujungti į bendrą (kaip aptarta aukščiau). 1/8 + 3/2 = 1/2*2*2 + 3/2 = 1/8 + 3*4/2*4 = 1/8 + 12/8 = 13/8. Atimtis vyksta lygiai tuo pačiu principu: 8/9 - 2/3 \u003d 8/9 - 6/9 \u003d 2/9.

Daugyba ir dalyba. Veiksmai su trupmenomis dauginant atsiranda tokiu principu: skaitikliai ir vardikliai dauginami atskirai. Apskritai daugybos formulė atrodo taip: a/b *c/d = a*c/b*d. Be to, daugindami galite sumažinti trupmeną, pašalindami tuos pačius veiksnius iš skaitiklio ir vardiklio. Kitoje kalboje skaitiklis ir vardiklis dalijasi iš to paties skaičiaus: 4/16 = 4/4*4 = 1/4.

Norėdami padalyti vieną paprastąją trupmeną iš kitos, turite pakeisti daliklio skaitiklį ir vardiklį ir atlikti dviejų trupmenų dauginimą pagal anksčiau aptartą principą: 5/11: 25/11 = 5/11 * 11/25 = 5*11/11*25 = 1/5

Dešimtainės

Dešimtainės yra populiaresnė ir dažniausiai naudojama trupmeninių skaičių versija. Juos lengviau užrašyti į eilutę arba pateikti kompiuteryje. Dešimtainės trupmenos struktūra yra tokia: pirmiausia rašomas visas skaičius, o po to po kablelio – trupmeninė dalis. Iš esmės dešimtainės trupmenos yra sudėtinės trupmenos, tačiau jų trupmeninė dalis pavaizduota skaičiumi, padalytu iš 10 kartotinio. Taigi jų pavadinimas. Veiksmai su dešimtainėmis trupmenomis yra panašūs į operacijas su sveikaisiais skaičiais, nes jie taip pat rašomi dešimtainių skaičių sistemoje. Be to, skirtingai nuo įprastų trupmenų, dešimtainės dalys gali būti neracionalios. Tai reiškia, kad jie gali būti begaliniai. Jie parašyti kaip 7, (3). Skaitomas toks įrašas: septynios visos, trys dešimtosios laikotarpio.

Pagrindinės operacijos su dešimtainiais skaičiais

Dešimtainių trupmenų sudėjimas ir atėmimas. Veiksmus su trupmenomis atlikti nėra sunkiau nei su sveikaisiais natūraliaisiais skaičiais. Taisyklės yra lygiai tokios pačios, kaip ir sudėjus arba atimant natūraliuosius skaičius. Juos taip pat galima laikyti stulpeliu, bet jei reikia, trūkstamas vietas pakeiskite nuliais. Pavyzdžiui: 5.5697 – 1.12. Norint atlikti stulpelio atimtį, reikia išlyginti skaičių skaičių po kablelio: (5,5697 - 1,1200). Taigi, skaitinė reikšmė nepasikeis ir gali būti skaičiuojama stulpelyje.

Veiksmai su dešimtainėmis trupmenomis negali būti atliekami, jei vienas iš jų turi neracionalią formą. Norėdami tai padaryti, turite konvertuoti abu skaičius į paprastas trupmenas ir naudoti anksčiau aprašytus metodus.

Daugyba ir dalyba. Dešimtainių skaičių dauginimas panašus į natūraliųjų skaičių dauginimą. Juos taip pat galima padauginti iš stulpelio, tiesiog ignoruojant kablelį, o tada atskirti kableliu galutinėje vertėje tiek pat skaitmenų, kiek suma po kablelio buvo dviem trupmenomis po kablelio. Pavyzdžiui, 1,5 * 2,23 = 3,345. Viskas labai paprasta ir neturėtų sukelti sunkumų, jei jau esate įvaldę natūraliųjų skaičių dauginimą.

Dalyba taip pat sutampa su natūraliųjų skaičių dalyba, bet su nedideliu nukrypimu. Norėdami padalyti iš dešimtainio skaičiaus stulpelyje, turite išmesti kablelį daliklyje, o dividendą padauginti iš skaitmenų skaičiaus po kablelio daliklyje. Tada padalykite kaip su natūraliaisiais skaičiais. Esant nebaigtam padalijimui, galite pridėti nulius prie dividendo dešinėje, taip pat pridedant nulį po kablelio.

Veiksmų su dešimtainėmis trupmenomis pavyzdžiai. Dešimtainės dalys yra labai patogus aritmetinio skaičiavimo įrankis. Juose dera natūraliųjų, sveikųjų skaičių patogumas ir paprastųjų trupmenų tikslumas. Be to, gana paprasta vieną frakciją paversti kita. Veiksmai su trupmenomis nesiskiria nuo operacijų su natūraliaisiais skaičiais.

1. Papildymas: 1,5 + 2,7 = 4,2
2. Atimtis: 3,1 - 1,6 = 1,5
3. Daugyba: 1,7 * 2,3 = 3,91
4. Padalinys: 3,6: 0,6 = 6

Be to, procentais pavaizduoti tinka dešimtainės dalys. Taigi, 100% = 1; 60 % = 0,6; ir atvirkščiai: 0,659 = 65,9 %.

Tai viskas, ką reikia žinoti apie trupmenas. Straipsnyje buvo nagrinėjamos dviejų tipų trupmenos – paprastosios ir dešimtainės. Abu gana nesunkiai apskaičiuojami, o jei visiškai įvaldote natūraliuosius skaičius ir su jais atliekamus veiksmus, galite drąsiai pradėti mokytis trupmeninių.