Netiesioginės funkcijos teorema- vietinį egzistavimą garantuojančių ir savybes apibūdinančių teoremų bendrinis pavadinimas numanoma funkcija t.y. funkcijas

$y=f(x)$, $f:X\backslash į\; Y$,

pateikta lygtimi

$F(x,y)=z\_0$, $F:X\backslash kartas\; Y\backslash iki\; Z$

ir prasmė $z\_0\backslash in\; Z$ fiksuotas.

Vienmatis korpusas

Paprasčiausia numanomos funkcijos teorema yra tokia.

Jei funkcija $F:\backslash R\backslash times\backslash R\backslash to\backslash R$ yra ištisinis tam tikroje taško kaimynystėje $(x\_0,y\_0)$ $F(x\_0,y\_0)=0$ ir fiksuotam x funkcija F(x,y) yra griežtai monotoniška y tam tikroje kaimynystėje, tada yra dvimatis intervalas $I=I\_x\backslash kartai\; I\_y$, kuri yra taško kaimynystė $(x\_0,y\_0)$, ir tokia nuolatinė funkcija $f:I\_x\backslash iki\; I\_y$, kuri bet kokiam taškui $(x,y)\; \backslash in\; I$ $$

Paprastai papildomai daroma prielaida, kad funkcija $F$ yra nuolat diferencijuojamas taško kaimynystėje $(x\_0,y\_0)$. Tokiu atveju iš sąlygos išplaukia griežtas monotoniškumas $F\_y"(x\_0,y\_0)\backslash ne\; 0\backslash quad$, kur $F\_y"$ reiškia dalinę išvestinę $F$įjungta $y$. Be to, šiuo atveju funkcija $f$ taip pat yra nuolat diferencijuojamas, o jo išvestinę galima apskaičiuoti pagal formulę

$f"(x)\; =\; -\; \backslash frac(F\_x"(x,\; f(x)))(F\_y"(x,\; f(x))).$

Daugiamatis atvejis

Leisti $\backslash R^n$ ir $\backslash R^m$- tarpai su koordinatėmis $x=(x\_1,\backslash taškai,x\_n)$ ir $y=(y\_1,\backslash taškai,y\_m)$, atitinkamai. Apsvarstykite žemėlapių sudarymą $F=(F\_1,\backslash ltaškai,F\_m),$ $F\_i\; =\; F\_i(x,y),$ kuri reprezentuoja kokią nors kaimynystę $W$ taškų $(x\_0,y\_0)\backslash in\backslash R^n\backslash times\backslash R^m$į kosmosą $\backslash R^m$.

Tarkime, kad ekranas $F$ $F\backslash in\; C^(k)(W),$ $k\backslash geq\; 1,$ tie. $F$ yra $k$ kartų nuolatos skiriasi $W,$ $F(x\_0,y\_0)=0,$ rodyti jacobian $y\backslash mapsto\; F(x\_0,y)$ taške nelygus nuliui $y\_0,$ tie. matricos determinantas $\backslash frac(\backslash partial\; F)(\backslash partial\; y)(x\_0,y\_0)$ nėra lygus nuliui. Tada yra apylinkės $U$ ir $V$ taškų $x\_0$ ir $y\_0$ erdvėse $\backslash R^n$ ir $\backslash R^m$ atitinkamai ir $U\backslash times\; V\backslash pogrupis\; W$ ir ekranas $f:\; nuo\; U\; iki\; V,$ $f\backslash in\; C^(k)(U),$ toks kad $F(x,y)\; =\; 0\; \backslash rodyklė\; į\; kairę\; į\; dešinę\; y\; =\; f(x)$ visiems $x\; \backslash \; U$ ir $y\; \backslash in\; V$. Ekranas $f$ apibrėžta vienareikšmiškai.

Natūralus ankstesnės teoremos apibendrinimas netolygaus atvaizdavimo atveju yra ši teoremaː

Tarkime, kad ekranas $F$ atitinka šias sąlygasː $F$ yra nuolatinis $W,$ $F(x\_0,y\_0)=0,$ yra apylinkių $U$ ir $V$ taškų $x\_0$ ir $y\_0$ erdvėse $\backslash R^n$ ir $\backslash R^m$ atitinkamai ir $U\backslash times\; V\backslash pogrupis\; W$, kad kiekvienam fiksuotam $x\; \backslash \; U$ ekranas $y\backslash mapsto\; F(x,y)$ yra vienas su vienu $V$. Tada yra nuolatinis kartografavimas $f:\; U\backslash \; iki\; V$, ką $F(x,y)\; =\; 0\; \backslash rodyklė\; į\; kairę\; į\; dešinę\; y\; =\; f(x)$ visiems $x\; \backslash \; U$ ir $y\; \backslash in\; V$.

taip pat žr

Parašykite apžvalgą apie straipsnį "Numanoma funkcijos teorema"

Literatūra

• Zorichas V.A. Matematinė analizė, bet koks leidimas
• Iljinas V. A., Poznyak E. G. Matematinės analizės pagrindai, 3 leidimas, 1 dalis, M., 1971 m.
• Kolmogorovas A. N., Fominas S. V. Funkcijų teorijos elementai ir funkcinė analizė, 5 leid., M., 1981 m.
• Lyusternik L. A., Sobolev V. I. Funkcinės analizės elementai, 2 leid., M., 1965 m
• Nikolskis S. M. Matematinės analizės kursas, 2 leidimas, t. 1-2, M., 1975 m.
• Pontryagin L.S.Įprastosios diferencialinės lygtys, 4-asis leidimas, M., 1974 – §33
• Schwartz L. Analizė, vert. iš prancūzų k., 1 t., M., 1972 m

Pastabos

Ištrauka, apibūdinanti numanomos funkcijos teoremą

Bet nors visi žinojo, kad turi išvykti, vis tiek buvo gėda žinoti, kad turi bėgti. O šiai gėdai įveikti reikėjo išorinio postūmio. Ir šis impulsas atėjo pačiu laiku. Tai buvo vadinamasis prancūziškas le Hourra de l "Empereur [imperatoriškasis linksmumas].
Kitą dieną po tarybos, Napoleonas, anksti ryte, apsimesdamas, kad nori apžiūrėti kariuomenę ir buvusio bei būsimo mūšio lauką, su maršalų svita ir palyda, jojo viduryje kariuomenės rikiuotės. Apie grobį šniukštinėjantys kazokai užkliuvo už paties imperatoriaus ir jo vos nepagavo. Jei kazokai šį kartą Napoleono nesugavo, tai jį išgelbėjo tas pats, kas pražudė prancūzus: grobis, ant kurio tiek Tarutino, tiek čia, palikdami žmones, kazokai puolė. Jie, nekreipdami dėmesio į Napoleoną, puolė prie grobio, ir Napoleonui pavyko išsisukti.
Kai les enfants du Don [Dono sūnūs] galėjo sugauti patį imperatorių jo kariuomenės viduryje, buvo aišku, kad nebeliko nieko kito, kaip tik kuo greičiau bėgti artimiausiu pažįstamu keliu. Napoleonas su savo keturiasdešimties metų pilvu, nebejausdamas savyje buvusio veržlumo ir drąsos, suprato šią užuominą. Ir, veikiamas baimės, kurią įgijo iš kazokų, iš karto sutiko su Moutonu ir davė, kaip sako istorikai, įsakymą trauktis atgal į Smolensko kelią.
Tai, kad Napoleonas sutiko su Moutonu ir kad kariuomenė grįžo, neįrodo, kad jis tai įsakė, o tai, kad pajėgos, kurios veikė visą armiją, nukreipdamos ją Mozhaisko keliu, tuo pačiu metu veikė ir Napoleoną.

Kai žmogus juda, jis visada sugalvoja šio judėjimo tikslą. Norėdamas nueiti tūkstantį mylių, žmogus turi galvoti, kad už šių tūkstančių mylių slypi kažkas gero. Jums reikia pažadėtosios žemės vizijos, kad turėtumėte jėgų judėti.
Prancūzų puolimo metu pažadėtoji žemė buvo Maskva, traukimosi metu – tėvynė. Tačiau tėvynė buvo per toli, ir žmogui, einančiam tūkstantį mylių, reikia pasakyti sau, pamirštant galutinį tikslą: „Šiandien aš ateisiu keturiasdešimt mylių į poilsio ir nakvynės vietą“ ir pirmajame perėjime ši poilsio vieta užgožia galutinį tikslą ir sutelkia visus troškimus bei viltis. Tie siekiai, kurie išreiškiami individe, visada didėja minioje.
Prancūzams, grįžusiems senuoju Smolensko keliu, galutinis tėvynės tikslas buvo per tolimas, o artimiausias tikslas, kurio didžiule dalimi, stiprėjant minioje, siekė visi troškimai ir viltys. Smolenskas. Ne todėl, kad žmonės žinojo, kad Smolenske yra daug aprūpinimo ir šviežių karių, ne todėl, kad jiems tai buvo pasakyta (priešingai, aukščiausi kariuomenės laipsniai ir pats Napoleonas žinojo, kad atsargų mažai), o todėl, kad vien tai galėjo Suteikite jiems jėgų judėti ir ištverti tikrus sunkumus. Jie, ir tie, kurie žinojo, ir tie, kurie nežinojo, vienodai apgaudinėdami save, tarsi į pažadėtąją žemę, siekė Smolensko.
Išėję į pagrindinį kelią prancūzai su nuostabia energija, negirdėtu greičiu bėgo link savo fiktyvaus tikslo. Be šios bendro siekimo priežasties, sujungusios minias prancūzų į vieną visumą ir suteikusios šiek tiek energijos, buvo dar viena juos sujungusi priežastis. To priežastis buvo jų skaičius. Labai didžiulė jų masė, kaip ir pagal fizikinį traukos dėsnį, pritraukė prie savęs atskirus žmonių atomus. Jie persikėlė su savo šimtatūkstantine masė kaip visa valstybė.
Kiekvienas iš jų norėjo tik vieno – pasiduoti nelaisvei, atsikratyti visų baisybių ir negandų. Bet, viena vertus, bendro Smolensko tikslo troškimo stiprybė nuvedė visus ta pačia kryptimi; kita vertus, korpusui buvo neįmanoma pasiduoti kuopai ir, nepaisant to, kad prancūzai išnaudojo visas galimybes atsikratyti vieni kitų ir pasiduoti nelaisvei esant menkiausiam padoriam pretekstui, šie pretekstai ne visada pasireikšdavo. . Pats jų skaičius ir glaudus, greitas judėjimas atėmė iš jų šią galimybę ir padarė rusams ne tik apsunkinamą, bet ir neįmanomą sustabdyti šį judėjimą, į kurį buvo nukreipta visa prancūzų masės energija. Mechaninis kūno plyšimas negalėjo paspartinti vykstančio skilimo proceso peržengiant tam tikrą ribą.

IMPLICITŲJŲ FUNKCIJŲ TEORIJA IR JOS TAIKYMAS

§ 1. Netiesioginės funkcijos samprata

Matematikoje ir jos taikymuose tenka spręsti tokias problemas, kai kintamasis u, kuri pagal problemos prasmę yra argumentų funkcija X, adresu, ... , pateikiama funkcine lygtimi

F(u, x, y, ...) = 0. (1)

Šiuo atveju jie taip sako u kaip argumentų funkcija x, y,... nustatyti netiesiogiai . Taigi, pavyzdžiui, funkcija u = - , svarstoma ratu x 2 + y 2 ≤ 1 , gali būti netiesiogiai pateikta funkcine lygtimi

F(u, x, y) = u 2 + x 2 + y 2 – 1 = 0. (2)

Natūralu, kad kyla klausimas, kokiomis sąlygomis funkcinė lygtis (1) būtinai sprendžiamas atžvilgiu u, t.y. būtinai apibrėžia aiškią funkciją u= φ(x, y, ...) ir subtilesnis klausimas, kokiomis sąlygomis yra ši aiški funkcija nuolatinis ir diferencijuotas . Šie klausimai nėra paprasti. Taigi funkcinė lygtis (2), paprastai tariant, nustato apskritime x 2 + y 2 ≤ 1 , išskyrus aukščiau pateiktą aiškią funkciją u = - , be galo daug kitų funkcijų. Tai yra funkcija u = + , taip pat bet kokia funkcija u lygus + kai kuriems taškams (x, y) iš rato x 2 + y 2 ≤ 1 ir lygus - kitiems šio apskritimo taškams. Išsiaiškinti sąlygų, užtikrinančių unikalų (2) lygties išsprendžiamumą, klausimą u, pereikime prie geometrinės iliustracijos. (2) lygtis apibrėžiama erdvėje (u, x, y) sfera S spindulys 1 centruojamas ištakoje (1 pav.). Imkimės sferos S tašką M 0 (u 0 , x 0 , y 0), neguli lėktuve Oho, t.y. vienas, kuriam u 0 ≠ 0. Akivaizdu, kad sferos dalis S, esantis pakankamai mažoje taško kaimynystėje M 0 , vienareikšmiškai projektuojamas į Oxy plokštumą . Analitiškai tai reiškia, kad jei atsižvelgsime į funkciją F(u, x, y) =u 2 + x 2 + y 2 – 1 tik nurodytoje taško kaimynystėje M 0 , tada (2) lygtis yra vienareikšmiškai išsprendžiama atsižvelgiant į u ir apibrėžia vieną aiškią funkciją u = + adresu u 0 > 0 ir u = - adresu u 0 < 0

Jei sferoje S imk tašką M 1 (0, x 1, y 1) gulėdamas lėktuve Oho(žr. 1 pav.), akivaizdu, kad sferos dalis S gulėdamas bet koks kaimynystėje M 1 dviprasmiškai projektuojasi į Oxy plokštumą. Analitiškai tai reiškia, kad jei atsižvelgsime į funkciją F(u, x, y) =u 2 + x 2 + y 2 – 1 bet kurioje taško kaimynystėje M 1 , tada (2) lygtis nėra vienareikšmiškai išsprendžiama atsižvelgiant į u.

Atkreipkite dėmesį, kad dažna funkcijos išvestinė F(u, x, y) =u 2 + x 2 + y 2 – 1 neišnyksta taške M 0 ir dingsta taške M 1. Žemiau mes nustatome, kad taško kaimynystėje yra unikalus išsprendžiamumas M 0 bendroji funkcinė lygtis (1) atžvilgiu u vaidina pagrindinį vaidmenį neišnykstanti dalinės išvestinės taške M 0 . Be to, mes nustatysime sąlygas, kurioms esant aiški funkcija, kuri yra vienintelis (1) lygties sprendimas, yra nuolatinis ir diferencijuotas .

Toliau pažymėsime kintamųjų erdvę (u, x, y, ...) simbolis R ir kintamųjų erdvė (x, y, ...) simbolis R". Trumpumo dėlei ir geometrinės iliustracijos patogumui apsvarstysime du kintamuosius x, y.

§ 2. Egzistencijos ir diferenciacijos teorema

numanoma funkcija ir kai kurios jos programos

1. Netiesioginės funkcijos egzistavimo ir diferencijavimo teorema.

1 teorema. Tegul funkcija F(u, x, y) yra diferencijuojamas tam tikroje taško kaimynystėjeM 0 (u 0 , x 0 , y 0) erdvės R, o dalinė išvestinė yra ištisinė taškeM 0 . Tada, jei taškeM 0 Funkcija F išnyksta, o dalinė išvestinė neišnyksta, tada bet kuriam pakankamai mažam teigiamam skaičiui ε yra tokia taško kaimynystėM 0 „(x 0 , y 0) erdvės R“, kad šioje kaimynystėje yra unikali funkcijau= φ(x, y), kuri tenkina sąlygą |u - u 0 | < ε ir yra lygties sprendimas

F(u, x, y) = 0 (3)

1 pastaba. 1 teoremos sąlygomis dalinės išvestinės tęstinumo reikalavimo galime praleisti taške M 0 , bet tada turėsime papildomai reikalauti, kad ši išvestinė neišnyktų ne tik pačiame taške M 0 , bet ir tam tikroje šio taško kaimynystėje ir išlaikė tam tikrą ženklą šioje kaimynystėje.

1 teoremos įrodymas.

1. Pirmiausia įrodome, kad pakankamai mažiems ε>0 taško kaimynystėjeM 0 '(x 0, y 0) yra viena funkcijau= φ(x, y), kuri tenkina sąlygą |u - u 0 | < ε ir yra (3) lygties sprendimas. Kad įrodymas būtų vizualesnis, jį palydėsime geometrine iliustracija. Iš analitinės geometrijos žinoma, kad (3) lygtis lemia erdvėje R tam tikras paviršius S(2 pav.), ir, dėl būklės F(M 0 ) = 0 , taškas M 0 guli ant šio paviršiaus. Geometriniu požiūriu unikalus (3) lygties išsprendžiamumas atsižvelgiant į u reiškia tą paviršiaus dalį S, esantis arti taško M 0 , gali būti vienareikšmiškai projektuojamas į koordinačių plokštumą Oho.

Tikslumo dėlei manysime, kad dalinė išvestinė teigiamas taške M 0 . Tada nuo nurodytos išvestinės tęstinumo in M 0 o iš tolydžios funkcijos ženklo stabilumo teoremos išplaukia, kad yra tokia taško kaimynystė M 0 , visur, kur teigiamas . Šią apylinkę galime laikyti pakankamai mažo spindulio rutuliu Ω, kurio centras yra taške M 0 . Pataisykime teigiamą skaičių ε toks mažas, kad kiekvienas taškas M 1 (u 0 - ε, x 0, y 0) ir M 2 (u 0 + ε, x 0, y 0) guli rutulio viduje Ω (tam pakanka paimti ε mažesnis už rutulio spindulį Ω). Pabrėžiame, kad šiuo atveju iš apačios ε ribojamas tik nuliu, ir mes galime jį paimti tiek, kiek norime - tai naudosime toliau.

Apsvarstykite funkciją F(u, x 0 , y 0) po vieną kintamąjį segmente u 0 – ε ≤ u ≤ u 0 + ε . Geometriniu požiūriu tai reiškia, kad mes svarstome trijų kintamųjų funkciją F(u, x, y) palei segmentą M 1 M 2(2 pav.). Kadangi vedinys (u, x 0 , y 0) teigiamas segmente u 0 – ε ≤ u ≤ u 0 + ε tada funkcija F(u, x 0 , y 0) dideja šiame segmente. Bet tada, kadangi ši funkcija yra lygi nuliui nurodyto segmento viduryje (t. y u = u 0 ), tada F(u, x 0 , y 0) nurodyto segmento kairiajame gale turi neigiamą reikšmę, o dešiniajame – teigiamą, t.y.

F(M 1 ) < 0, F(M2) > 0

Toliau apsvarstykite funkcijas F(u - ε, x, y) ir F(u + ε, x, y) du kintamieji X ir adresu, t.y., kalbant geometriškai, apsvarstykite funkciją F(u, x, y) dviejose plokštumose, lygiagrečiose koordinačių plokštumai Oho, kurių pirmasis eina per tašką M 1 o antrasis – per tašką M 2 . Tiek, kiek F(M 1 ) < 0, F(M 2 ) > 0 ir funkcija F(u, x, y) yra ištisinis visur rutulyje Ω, tai, remiantis teorema apie tolydžios funkcijos ženklo stabilumą, šiose plokštumose yra tokių apylinkių taškų M 1 ir M 2 , kurioje funkcija F išsaugo tuos pačius ženklus kaip ir taškuose M 1 ir M 2 . Šias apylinkes galime paimti kaip atvirus kvadratus su centrais taškuose M 1 ir M 2 ir su pakankamai maža kraštine 2δ (2 pav. nurodyti kvadratai nuspalvinti). Analitiškai tai, kad funkcija F(u, x, y) išlaiko pastovų ženklą nurodytuose kvadratuose, išreiškiamas nelygybėmis

F(u 0 – ε, x, y)< 0

At | x – x 0 | < δ , | y – y 0 | < δ (4)

F(u 0 + ε, x, y) > 0

Nurodytų kvadratų kraštinės pasirinkimas priklausys nuo dar vienos sąlygos: paimkite δ tokį mažą, kad abu nurodyti kvadratai būtų rutulio Ω viduje (tai tikrai galima padaryti, nes kvadratų centrai M 1 ir M 2 yra vidiniai rutulio taškai Ω). Pasirinkus δ, bet kuris erdvės taškas (u, x, y), kurių koordinatės tenkina nelygybes

| x – x0 |< δ , | y – y 0 |< δ , | u – u 0 |< ε (5)

gulės rutulio viduje Ω. Geometriniu požiūriu nelygybės (5) apibrėžia atvirą stačiakampį gretasienį, kurio centras yra taškas M 0 ir kurių kraštinės lygiagrečios koordinačių ašims u, x, y ir lygus atitinkamai 2ε, 2δ ir 2δ. Šį gretasienį žymėsime simboliu П. Kadangi gretasienis П yra rutulio Ω viduje, tada visur gretasienyje П (įskaitant atvirus kvadratus, esančius jo pagrinduose) išvestinė teigiamas . Be to, dėl nelygybių (4) funkcija F( u , x, y) yra neigiamas apatinėje bazėje ir teigiamas viršutinėje bazėje P .

Dabar įrodykime, kad (3) lygtis yra vienareikšmiškai išsprendžiama atsižvelgiant į u jei funkcija F(u, x, y) atsižvelgti tik į vertybes u, x, y esantis gretasienio viduje P. Pasiaiškinkime, ką reikia įrodyti. Leisti M„(x, y) – bet kuriame erdvės taške R", kurių koordinatės tenkina nelygybes

| x – x 0 | < δ , | y – y 0 | < δ (6)

Kitaip tariant, tegul M„(x, y)- bet kuris plokštumos taškas Oho, esantis kvadrato, kurio centras yra taškas, viduje M 0 '(x 0, y 0) ir kurių kraštinės lygios 2δ. Tai būtina įrodyti koordinatėms x, y taškų M" bus rasta, ir vienintelis dalykas , numeris u nuo intervalo u 0 – ε < u < u 0 + ε toks kad F(u, x, y) = 0. (Geometriniu požiūriu tai reiškia, kad bet kuri linija, lygiagreti ašiai u ir susikirsdamas su gretasieniu P, kerta paviršių S gretasienio П viduje tik viename taške.)

Vertybių taisymas X ir adresu tenkinant nelygybes (6), apsvarstykite funkciją F(u, x, y) argumentas u segmente u 0 – ε ≤ u ≤ u 0 + ε , t. y. apsvarstykite funkciją F(u, x, y) segmente M 1 ’ M 2 ’ kur M 1 ’ ir M 2 ’ - per tašką einančios linijos susikirtimo taškas M„(x, y) ir lygiagreti ašis Oi, su gretasienio P pagrindais (žr. 2 pav.). Kadangi vedinys (u, x, y) teigiamas segmente u 0 – ε ≤ u ≤ u 0 + ε , tada funkcija F(u, x, y) didėja šiame segmente (arba, kas yra tas pats, didėja intervale M 1 ’ M 2 ’ ). Bet tada nuo sąlygų F(M 1 ’) < 0, F(M 2 ’) > 0 iš to seka, kad segmento viduje u 0 – ε ≤ u ≤ u 0 + ε yra tik viena vertė u toks kad F(u, x, y) = 0(arba, geometriškai kalbant, segmento viduje M 1 ’ M 2 ’ yra tik vienas taškas M guli ant paviršiaus S).

Dabar palikite funkciją u= φ(x, y) simbolizuoja taisyklę, pagal kurią kiekvienas taškas M„(x, y) iš kaimynystės (6) yra susietas su vienu skaičiumi u nuo intervalo u 0 – ε < u < u 0 + ε, kuriam F(u, x, y) = 0. Įrodėme, kad kaimynystėje (6) yra unikali funkcija u= φ(x, y), tenkinantis sąlygą | u – u 0 | < ε ir yra (3) lygties sprendinys.

2. Dabar tai įrodykime funkcija u = φ(x, y) yra tolydis bet kuriame taške M „(x, y) kaimynystė (6) . Nuo bet kurio taško M„(x, y) iš kaimynystės (6) tenkinamos tos pačios sąlygos (būtent bet kuris taškas M „(x, y) iš kaimynystės (6) atitinka tašką M(u, x, y) erdvė R tokia, kad funkcija F(u, x, y) dingsta tam tikru momentu M, skiriasi tam tikroje taško kaimynystėje M ir šioje kaimynystėje turi nulinę dalinę išvestinę ) kalbant apie esmę M 0 '(x 0, y 0), tada pakanka įrodyti funkcijos tęstinumą u= φ(x, y) tik taške M 0 '(x 0, y 0). Reikia įrodyti, kad bet koks pakankamai mažas teigiamas ε yra teigiamas skaičius δ toks, kad bet kuriam X ir adresu tenkinantis nelygybes | x – x 0 | < δ , | y – y 0 | < δ , nelygybė | u – u 0 | < ε kur u= φ(x, y), u 0 \u003d φ (x 0, y 0). Jei laikysime ε skaičių, kuris buvo pasirinktas aukščiau, nagrinėjant 1 pastraipą, tada egzistavimas δ suteikia nelygybės (5). Belieka pastebėti, kad 1 punkto samprotavimuose galima paimti teigiamą skaičių ε toks mažas, koks tau patinka (tai buvo pažymėta 1 dalyje).

3. Belieka įrodyti diferencialumas funkcijas u= φ(x, y) bet kuriuo metu M„(x, y) kaimynystėje (6). Remiantis 2 dalyje pateikta pastaba, pakanka įrodyti funkcijos skirtingumą u= φ(x, y) pačiame taške M 0 '(x 0, y 0). Norėdami tai padaryti, apskaičiuojame bendrą prieaugį Δ u funkcijas u= φ(x, y) taške M 0 '(x 0, y 0) Δ x ir Δ y. Tiek, kiek F(u 0 , x 0 , y 0) = 0 ir F(u 0 + Δ u, x 0 + Δx, y 0 + Δy) = 0 , tada visas priedas Δ F funkcijos F(u, x, y) taške M 0 '(x 0, y 0), atitinkantis argumentų žingsnius Δ u, Δ x ir Δ y, nulis . Bet dėl ​​funkcijos diferencijavimo sąlygos F(u, x, y) taške M 0 (u 0 , x 0 , y 0)šis bendras prieaugis turi formą

čia visos dalinės išvestinės , ir yra paimti taške M 0 (u 0 , x 0 , y 0); α, β ir γ→0 adresu

Taigi gauname

Pagal skirtumo formą, funkcijos tęstinumo sąlygos u= φ(x, y) taške M 0 '(x 0, y 0) Δ u→ 0 val. Taigi galima teigti, kad α, β ir γ→0 tik su sąlyga .

Pagal teoremos sąlygą dalinė išvestinė taške nėra lygi nuliui M 0 . Tiek, kiek γ→0 tada pakankamai mažam Δ x ir Δ y išraiška neišnyksta . Šiuo atveju formulė (7) gali būti padalinta iš kurios gauname

Dviejų funkcijų dalinio ribinės vertės teorema galime teigti, kad

kur μ ir υ→0 at.

Palyginę (8) ir (9) formules, galiausiai gauname

(10) formulė įrodo funkcijos diferencijavimą u= φ(x, y) taške M 0 '(x 0, y 0). Taigi 1 teorema yra visiškai įrodyta.

2 pastaba. Aukščiau pateiktą įrodymą galima be jokių sunkumų perkelti į numanomos funkcijos atvejį, priklausomai ne nuo dviejų, o nuo bet kokio baigtinio argumentų skaičiaus x 1 , x 2 , …,x m(ir ypač iš vieno argumento). Dviejų argumentų atvejis X ir adresu turi tik pranašumą, nes leidžia erdvėje pateikti vizualinę geometrinę iliustraciją (u, x, y) .

2. Netiesiogiai pateiktos funkcijos dalinių išvestinių skaičiavimas. Pabandykime skaičiuoti funkcijos, netiesiogiai pateiktos (3) lygtimi, dalinių išvestinių. Tegu tenkinamos 1 teoremos sąlygos. Tada visiškam funkcijos prieaugiui u= φ(x, y) atstovavimas (10) galioja. Šis vaizdavimas leidžia teigti, kad funkcijų dalinės išvestinės u= φ(x, y) yra apibrėžti formulėmis

Panašios formulės galioja ir tuo atveju, kai netiesiogiai apibrėžta funkcija priklauso ne nuo dviejų, o nuo bet kokio baigtinio argumentų skaičiaus x 1 , x 2 , …,x m. Tokiu atveju (k = 1, 2, …, m)

Jeigu norime užtikrinti netiesiogiai apibrėžtos funkcijos egzistavimą u= φ(x, y) daliniai dariniai antra tvarka, tada, žinoma, turime sugriežtinti funkcijai keliamus reikalavimus F(u, x, y) 1 teoremoje būtina papildomai reikalauti, kad funkcija F(u, x, y) yra du kartus diferencijuojamas nagrinėjamu tašku. Remdamiesi šiomis prielaidomis, sustojame ties skaičiavimu antros eilės daliniai išvestiniai .

Pagal kompleksinės funkcijos diferenciacijos taisyklę gauname tokias nurodytų suminių dalinių išvestinių formules:

Mes kreipiamės į netiesiogiai pateiktos funkcijos antros eilės dalinių išvestinių skaičiavimą. Tikslumo dėlei apskaičiuojame išvestinę. Pirmosios iš (11) formulių diferencijavimas atsižvelgiant į adresu ir atsižvelgiant į tai, kad kiekviena iš dalinių išvestinių ir priklauso nuo trijų argumentų u, x, y, kurių pirmoji pati yra funkcija X ir adresu, turėsiu

Į gautą formulę įterpę išraišką, kurią nustato antra formulė (11), pagaliau turime

Dalinės išvestinės ir yra apskaičiuojamos lygiai taip pat. Panašus metodas gali būti naudojamas trečiojo ir vėlesnių pavedimų dalinėms išvestinėms apskaičiuoti (su sąlyga, kad funkcija F(u, x, y) yra diferencijuojamas tam tikrame taške atitinkamą skaičių kartų).

PAVYZDŽIAI. 1) Apskaičiuokite funkcijos dalinę išvestinę u= φ(x, y) pateikta lygtimi x + y + u – e - (x + y + u) = 0 .

Visų pirma, naudodami (11) formules, apskaičiuojame pirmos eilės dalines išvestines. Be to, akivaizdu, kad = 0 .

2) Tas pats klausimas lygties pateiktai funkcijai u 2 + x 2 + y 2 - a 2 = 0 . Naudodami (11) formules gauname, . Toliau turėsime

3. Paviršiaus ir plokščiosios kreivės vienaskaitos taškai. Apsvarstykite tam tikrą paviršių S(plokščia kreivė L) nurodytoje Dekarto stačiakampėje koordinačių sistemoje pagal lygtį F(x, y,z)=0 (F(x, y,) = 0). Apie funkciją F(x, y,z) (F(x, y,)) tarkime, kad jis turi ištisines pirmos eilės dalines išvestines visų argumentų atžvilgiu visur, bet kurio paviršiaus taško kaimynystėje S(kreivas L). Šį tašką pavadinsime paviršiuje S(kreivas L) vienaskaita, jei šioje vietoje visos funkcijos pirmosios eilės dalinės išvestinės F(x, y,z) (F(x, y,)). Netoli vienaskaitos taško jis negali būti taikomas lygčiai F(x, y,z)=0 (F(x, y,) = 0) 1 teorema, t.y. negalima teigti, kad ši lygtis yra išsprendžiama bent vieno iš kintamųjų atžvilgiu x, y, z (x, y). Taigi paviršiaus plotas S(kreivas L) greta vienaskaitos taško gali neleisti unikalios projekcijos į bet kurią koordinačių plokštumą (į kurią nors koordinačių ašį). Paviršiaus struktūra S(kreivas L) vienaskaitos taško kaimynystėje gali būti labai sudėtinga ir reikalauti tolesnio tyrimo.

Paviršiaus taškai S(kreivas L), kurie nėra ypatingi, dažniausiai vadinami įprastas . 1 teorema galioja įprasto taško kaimynystėje, todėl paviršiaus plotas, esantis greta įprasto taško S(kreivas L) leidžia vienareikšmiškai projektuoti bent į vieną iš koordinačių plokštumų (bent į vieną iš koordinačių ašių), o tai labai palengvina šios srities tyrimą.

PAVYZDŽIAI. 1) Raskite apskrito kūgio vienaskaitinius taškus x 2 + y 2 – z 2 = 0.

Tiek, kiek F(x, y,z) = x 2 + y 2 – z 2 , tada, . Vienintelis išskirtinis taškas yra kilmė. Gerai žinoma, kad šalia šio taško kūgio paviršius negali būti vienareikšmiškai projektuojamas į kurią nors koordinačių plokštumą (15.3 pav.).

2) Tas pats klausimas dėl plokščios kreivės x 2 - y 2 + x 3 = 0 .

Dalinės išvestinės turi formą . Abi dalinės išvestinės išnyksta dviejuose plokštumos taškuose (0, 0) ir (- , 0) . Iš šių dviejų taškų tik pirmasis priklauso nagrinėjamai kreivei, t.y. yra vienaskaita. Sukūręs kreivę x 2 - y 2 + x 3 = 0 taško apylinkėse (0, 0) , įsitikinsime, kad šis taškas yra grafiko savaiminio susikirtimo taškas (15.4 pav.). Akivaizdu, kad šalia šio taško kreivė negali būti vienareikšmiškai projektuojama į ašį Oi, ne ant ašies OU.

4. Sąlygos, užtikrinančios funkcijos egzistavimą y=f(x) atvirkštinė funkcija. Taikykime 1 teoremą, kad išsiaiškintume, kokiomis sąlygomis funkcija y=f(x) turi taškų kai kuriose apylinkėse x 0 atvirkštinė funkcija x=f -1 (y), apibrėžtas tam tikroje taško kaimynystėje y 0 , kur y 0 = f(x0). Mes apsvarstysime funkciją y=f(x) kaip funkcija, apibrėžta formos funkcine lygtimi F(x, y) = f(x) – y = 0.

Tada atvirkštinės funkcijos egzistavimo klausimas sutampa su sprendžiamumo klausimu X nurodytą funkcinę lygtį. Dėl 1 teoremos ir 1 pastabos prieš įrodydami šią teoremą gauname tokį tvirtinimą: jei funkcija y=f(x) turi nulinę išvestinę kurioje nors taško x 0 kaimynystėje, tai šiai funkcijai, esančiam x 0 kaimynystėje, yra atvirkštinė funkcija x=f -1 (y), apibrėžta ir diferencijuotas tam tikroje taško y 0 kaimynystėje, kur y 0 = f(x0). Nurodytos atvirkštinės funkcijos taške išvestinė y 0 dėl antrosios iš (11) formulių yra lygi .

Jei funkcija pateikiama lygtimi y=ƒ(x), išspręsta y atžvilgiu, tada funkcija yra pateikta aiškiai (išskirtinė funkcija).

Pagal numanomas paskyrimas funkcijos supranta funkcijos priskyrimą lygties F(x;y)=0 forma, neleidžiama y atžvilgiu.

Bet kuri aiškiai nurodyta funkcija y=ƒ(x) gali būti parašyta kaip netiesiogiai duota pagal lygtį ƒ(x)-y=0, bet ne atvirkščiai.

Ne visada lengva, o kartais ir neįmanoma, išspręsti y lygtį (pavyzdžiui, y+2x+jaukus-1=0 arba 2y-x+y=0).

Jei numanoma funkcija pateikiama lygtimi F(x; y)=0, tai norint rasti y išvestinę x atžvilgiu, nereikia spręsti lygties y atžvilgiu: pakanka diferencijuoti šią lygtį x atžvilgiu, y vertinant kaip x funkciją, ir tada išspręskite gautą lygtį y atžvilgiu".

Netiesioginės funkcijos išvestinė išreiškiama argumentu x ir funkcija y.

Netiesiogiai apibrėžtos funkcijos egzistavimo ir diferenciacijos teorema

Tegul funkcija F(x,y) atitinka sąlygas

F(x 0,y 0) = 0 ;

daliniai dariniai F"x ir F"y yra ištisiniai tam tikroje taško kaimynystėje ( x 0,y 0) ;

F"y(x 0,y 0) ≠ 0 .

lygtis F(x,y) = 0 netiesiogiai apibrėžia kurioje nors taško kaimynystėje x 0 vienintelė nuolatinė funkcija y(x) tenkinantis sąlygą y(x 0) =y 0 .

funkcija y(x) turi išvestinę, kuri yra ištisinė taško kaimynystėje x 0 .

Išaiškinkime teoremos sąlygų reikšmę.

Nepertraukiamos numanomos funkcijos buvimas y=f(x) netoli taško ( x 0,y 0) išplaukia iš egzistavimo teoremos, nes:

1 sąlyga garantuoja taško, kurio koordinatės tenkina lygtį, egzistavimą F(x,y) = 0 ;

2 sąlyga reiškia funkcijos tęstinumą F(x,y) netoli taško ( x 0,y 0) , o iš 3 sąlygos - jo monotoniškumas in y už kiekvieną fiksuotą x iš šios apylinkės.

Todėl 1–3 sąlygos užtikrina numanomos funkcijos egzistavimo sąlygų įvykdymą y(x) tenkinantis sąlygą y(x 0) =y 0 ir ištisinis taško kaimynystėje x 0.

1. Netiesiogiai pateiktos funkcijos dalinių išvestinių skaičiavimas.

Kai įvykdomos atitinkamos sąlygos, lygtis netiesiogiai apibrėžia funkciją. Ta pati lygtis gali netiesiogiai apibrėžti arba funkciją.

Netiesioginės funkcijos išvestinė. Skaičiuodami numanomos funkcijos išvestinę, naudojame kompleksinės funkcijos diferenciacijos taisyklę. Išskirkime lygtį: . Iš čia gauname netiesiogiai pateiktos funkcijos išvestinės formulę:. Lygiai taip pat lengva gauti formules kelių kintamųjų funkcijos dalinėms išvestinėms, netiesiogiai pateiktoms, pavyzdžiui, lygtimi :,.

1. Būtinos sąlygos kelių kintamųjų funkcijos vietiniam ekstremumui. Kelių kintamųjų funkcijų lokalus ekstremumas. Būtinos sąlygos besąlyginiam vietiniam ekstremumui.

Apibrėžimas : Tegu duota funkcija n- kintamieji

Tegu taškas M 0 pateikiamas su koordinatėmis , taškas M 0 vadinamas vietiniu max(min), jei   taško M 0 env: x  env yra teisinga

(x   env ), env vadinama aibe (in n matmenų erdvė).

Vietinis taškasmaksarbaminvadinamas ekstremumo tašku.

Būtinos sąlygos kelių kintamųjų funkcijos ekstremumui.

Apibrėžimas: stacionarus taškas. Jei funkcija yra diferencijuojama taške M 0, tai būtina ekstremumo egzistavimo sąlyga šiame taške yra jos stacionarumo reikalavimas:

(, jei)

Stacionarus taškas yra taškas, kuriame visos dalinės išvestinės visų argumentų atžvilgiu yra lygios 0.

Įrodymas: Pataisykite visus kintamuosius palikdami tik x 1 ,

pataisydami bet kurį kitą kintamąjį, gauname tą patį.

Apibrėžimas: būtina ekstremumo sąlyga.

Ekstremaliame funkcijos taške n- Kintamasis diferencialas išnyksta.

Jei vietinis ekstremumas , jei - yra nepriklausomi

komentaras: jei tenkinama būtina ekstremumo sąlyga, tai nebūtinai yra ekstremumas.

Tiesa: jei taškas yra nejudantis, tai nebūtinai yra ekstremumas, KALBANT BENDRAI! Ekstremas visada yra stacionarus taškas!

Pavyzdys: (0,0),x>0, y>0  z>0, x<0, y<0 z<0, но dz =0.