Vadinamas netuščias tiesinės erdvės V poaibis L linijinė poerdvė tarpas V, jei

1) \mathbf(u)+\mathbf(v)\in L~~\forall \mathbf(u,v)\in L(poerdvė uždaryta sudėjimo operacijos atžvilgiu);

2) \lambda \mathbf(v)\in L~~ \forall \mathbf(v)\in L ir bet koks skaičius \lambda (poerdvė uždaryta vektoriaus dauginimo iš skaičiaus operacijos atžvilgiu).

Norėdami nurodyti tiesinę poerdvę, naudosime žymėjimą L\triangeleft V ir trumpumui praleisime žodį „linijinis“.

Pastabos 8.7

1. 1, 2 sąlygos apibrėžime gali būti pakeistos viena sąlyga: \lambda \mathbf(u)+\mu \mathbf(v)\in L~~ \forall \mathbf(u,v)\in L ir bet kokie skaičiai \lambda ir \mu . Žinoma, kas čia ir apibrėžime mes kalbame apie apie savavališkus skaičius iš skaičių lauko, kuriame apibrėžta erdvė V.

2. Bet kurioje tiesinėje erdvėje V yra dvi tiesinės poerdvės:

a) pati erdvė V, t.y. V\trikampis V ;

b) nulinė poerdvė \(\mathbf(o)\), susidedanti iš vieno erdvės V nulinio vektoriaus, t.y. . Šios poerdvės vadinamos netinkamomis, o visos likusios – tinkamos.

3. Bet kuri tiesinės erdvės V poerdvė L yra jos poaibis: L\trikampis kairysis V~\Rightarrow~L\pogrupis V, bet ne kiekvienas poaibis M\poaibis V yra tiesinė poerdvė, nes gali pasirodyti, kad ji nėra uždara tiesinių operacijų atžvilgiu.

4. Tiesinės erdvės V poerdvė L pati yra tiesinė erdvė su tomis pačiomis vektorių pridėjimo ir vektoriaus dauginimo iš skaičiaus operacijomis kaip ir erdvėje V, nes joms tenkinamos 1-8 aksiomos. Todėl galime kalbėti apie poerdvės dimensiją, jos pagrindą ir kt.

5. Bet kurios tiesinės erdvės V poerdvės L matmuo neviršija erdvės matmens V\dvitaškis\,\dim(L)\leqslant\dim(V). Jei poerdvės L\trikampio kampo V matmuo yra lygus baigtinių matmenų erdvės V matmeniui (\dim(L)=\dim(V)), tada poerdvė sutampa su pačia erdve: L=V.

Tai išplaukia iš 8.2 teoremos (dėl vektorių sistemos papildymo pagrindu). Iš tiesų, remdamiesi poerdvės L pagrindu, mes ją papildysime erdvės V pagrindu. Jei tai įmanoma, tada \dim(L)<\dim{V} . Если нельзя дополнить, т.е. базис подпространства L является базисом пространства V , то \dim{L}=\dim{V} . Учитывая, что пространство есть линейная оболочка базиса (см. следствие 1 теоремы 8.1), получаем L=V .

6. Bet kuriam tiesinės erdvės V poaibiui M tiesinis korpusas yra V ir poerdvė M\pogrupis \operatoriaus vardas(Lin)(M)\trikampis kairysis V.

Iš tiesų, jei M = \varnothing (tuščia rinkinys), tada pagal apibrėžimą \operatoriaus vardas(Lin)(M)=\(\mathbf(o)\), t.y. yra nulis poerdvė ir \varnothing\subset\(\mathbf(o)\)\triangeleft V. Leiskite M\ne\varnothing . Turime įrodyti, kad rinkinys \operatoriaus vardas (Lin) (M) yra uždarytas jo elementų pridėjimo ir jo elementų dauginimo iš skaičiaus operacijų atžvilgiu. Prisiminkite, kad linijinio apvalkalo elementai \operatoriaus vardas (Lin) (M) tarnauja kaip linijiniai vektorių deriniai iš M. Kadangi linijinis vektorių linijinių derinių derinys yra jų tiesinis derinys, tai, atsižvelgdami į 1 punktą, darome išvadą, kad \operatoriaus vardas (Lin) (M) yra V poerdvė, t.y. \operatoriaus vardas(Lin)(M)\trikampis kairysis V. Įtraukimas M\pogrupis \operatoriaus vardas(Lin)(M)- akivaizdu, nes bet kurį vektorių \mathbf(v)\ in M ​​galima pavaizduoti kaip tiesinę kombinaciją 1\cdot\mathbf(v) , t.y. kaip rinkinio elementas \operatoriaus vardas (Lin) (M).

7. Linijinis apvalkalas \operatoriaus vardas (Lin) (L) poerdvė L\trikampis V sutampa su poerdve L , t.y. .

Iš tiesų, kadangi tiesinėje poerdvėje L yra visos galimos tiesinės jos vektorių kombinacijos, tada \operatoriaus vardas(Lin)(L)\pogrupis L. Priešingas įtraukimas (L\pogrupis \operatoriaus vardas(Lin)(L)) išplaukia iš punkto 6. Tai reiškia \operatoriaus vardas(Lin)(L)=L.

Linijinių poerdvių pavyzdžiai

Nurodykime kai kurias tiesinių erdvių poerdes, kurių pavyzdžiai buvo aptarti anksčiau. Neįmanoma išvardyti visų tiesinės erdvės poerdvių, išskyrus nereikšmingus atvejus.

1. Erdvė \(\mathbf(o)\), susidedanti iš vieno erdvės V nulinio vektoriaus, yra poerdvė, t.y. \(\mathbf(o)\)\triangeleft V.

2. Tegu, kaip ir anksčiau, V_1,\,V_2,\,V_3 yra vektorių aibės (nukreiptos atkarpos) atitinkamai tiesėje, plokštumoje, erdvėje. Jei linija priklauso plokštumai, tada V_1\trikampio kairioji pusė V_2\trikampio pusė V_3. Priešingai, vienetinių vektorių aibė nėra tiesinė poerdvė, nes vektorių padauginus iš skaičiaus, kuris nėra lygus vienetui, gauname aibei nepriklausantį vektorių.

3. N-matėje aritmetinėje erdvėje \mathbb(R)^n apsvarstykite formos „pusės nulio“ stulpelių aibę L x=\begin(pmatrix) x_1&\cdots& x_m&0&\cdots&0\end(pmatrix)^T kurių paskutiniai (n-m) elementai lygūs nuliui. „Pusės nulio“ stulpelių suma yra to paties tipo stulpelis, t.y. pridėjimo operacija uždaroma L. Stulpelį „pusė nulio“ padauginus iš skaičiaus, gaunamas stulpelis „pusė nulio“, t.y. daugybos iš skaičiaus operacija uždaroma L. Štai kodėl L\trikampio kairioji\mathbb(R)^n ir \dim(L)=m . Priešingai, nulinių stulpelių poaibis \mathbb(R)^n nėra tiesinė poerdvė, nes padauginus iš nulio gaunamas nulinis stulpelis, kuris nepriklauso aptariamai aibei. Kitų poerdžių \mathbb(R)^n pavyzdžiai pateikti kitoje pastraipoje.

4. Vienalytės lygčių sistemos su n nežinomųjų sprendinių erdvė \(Ax=o\) yra n-matės aritmetinės erdvės \mathbb(R)^n poerdvė. Šios poerdvės dydį lemia sistemos matrica: \dim\(Ax=o\)=n-\operatoriaus vardas(rg)A.

Nehomogeninės sistemos sprendinių aibė \(Ax=b\) (b\ne o ) nėra poerdvė \mathbb(R)^n , nes dviejų sprendinių suma yra nehomogeniška; sistema nebus tos pačios sistemos sprendimas.

5. N eilės kvadratinių matricų erdvėje M_(n\times n) apsvarstykite du poaibius: simetrinių matricų aibę ir aibę M_(n\times n)^(\tekstas(kos)) kreivosimetrinės matricos. Simetrinių matricų suma yra simetrinė matrica, t.y. pridėjimo operacija uždaroma M_(n\kartų n)^(\tekstas(sim)). Simetrinės matricos padauginimas iš skaičiaus taip pat nepažeidžia simetrijos, t.y. uždaroma matricos dauginimo iš skaičiaus operacija M_(n\kartų n)^(\tekstas(sim)). Vadinasi, simetrinių matricų aibė yra po kvadratinių matricų erdvės erdve, t.y. M_(n\times n)^(\tekstas(sim))\trikampis M_(n\times n). Nesunku rasti šios poerdvės dimensiją. Standartinį pagrindą sudaro: l matricos, kurių pagrindinėje įstrižainėje yra vienas ne nulis (lygus vienam) elementas: a_(ii)=1~ i=1,\ltaškai,n, taip pat matricos su dviem nenuliniais (lygiais vienam) elementais, simetriškais pagrindinės įstrižainės atžvilgiu: a_(ij)=a_(ji)=1, i=1,\ldots,n, j=i, i+1,\ltaškai, n. Iš viso pagrindas bus (n+(n-1)+\ltaškai+2+1= \frac(n(n+1))(2)) matricos Vadinasi, \dim(M_(n\times n)^(\text(sim)))= \frac(n(n+1))(2). Panašiai mes tai gauname M_(n\times n)^(\tekstas(kos))\trikampis M_(n\times n) Ir \dim(M_(n\times n)^(\text(kos)))= \frac(n(n+1))(2).

N-osios eilės vienaskaitos kvadratinių matricų aibė nėra poerdvė M_(n\times n) , nes dviejų vienaskaitos matricų suma gali pasirodyti ne vienaskaita matrica, pavyzdžiui, erdvėje M_(2\ kartus 2):

\begin(pmatrix)1&0\\0&0\end(pmatrix)+ \begin(pmatrix)0&0\\0&1\end(pmatrix)= \begin(pmatrix)1&0\\0&1\end(pmatrix)\!.

6. Polinomų P(\mathbb(R)) su realiaisiais koeficientais erdvėje galime nurodyti natūralią poerdvių grandinę

S \mathbb(R)).

Lyginių daugianario aibė (p(-x)=p(x)) yra tiesinė P(\mathbb(R) suberdvė), nes lyginių daugianario suma ir lyginio daugianario sandauga iš skaičiaus bus lyginė daugianario. Nelyginių daugianario aibė (p(-x)=-p(x)) taip pat yra tiesinė erdvė. Polinomų, turinčių realias šaknis, rinkinys nėra tiesinė poerdvė, nes sudėjus tokius du daugianario gali būti gautas daugianomas, kuris neturi tikrų šaknų, pvz. (x^2-x)+(x+1)=x^2+1.

7. Erdvėje C(\mathbb(R)) galite nurodyti natūralią poerdžių grandinę:

C(\mathbb(R))\triangleright C^1(\mathbb(R))\triangleright C^2(\mathbb(R)) \triangleright \ldots\triangleright C^m(\mathbb(R))\triangleright \ltaškai

P(\mathbb(R)) polinomai gali būti laikomi funkcijomis, apibrėžtomis \mathbb(R) . Kadangi daugianomas yra ištisinė funkcija kartu su bet kokios eilės jo išvestinėmis, galime rašyti: P(\mathbb(R))\trikampio kairioji pusė C(\mathbb(R)) Ir P_n(\mathbb(R))\trikampio kairysis C^m(\mathbb(R)) \forall m,n\in\mathbb(N). Trigonometrinių dvinarių erdvė T_(\omega) (\mathbb(R)) yra C^m(\mathbb(R)) poerdvė, nes bet kokios eilės funkcijos išvestinės f(t)=a\sin\omega t+b\cos\omega t yra tęstiniai, t.y. T_(\omega)(\mathbb(R))\trikampio kairysis C^m(\mathbb(R)) \forall m\in \mathbb(N). Tęstinių periodinių funkcijų rinkinys nėra C(\mathbb(R)) poerdvė, nes dviejų periodinių funkcijų suma gali pasirodyti neperiodinė, pavyzdžiui, \sin(t)+\sin(\pi t).

Vektorius(arba linijinis) erdvė- matematinė struktūra, kuri yra elementų, vadinamų vektoriais, rinkinys, kuriam apibrėžtos sudėjimo tarpusavyje ir daugybos iš skaičiaus operacijos - skaliaras. Šioms operacijoms taikomos aštuonios aksiomos. Skaliarai gali būti tikrojo, kompleksinio ar bet kurio kito skaičiaus lauko elementai. Ypatingas tokios erdvės atvejis yra įprasta trimatė Euklido erdvė, kurios vektoriai naudojami, pavyzdžiui, fizinėms jėgoms pavaizduoti. Pažymėtina, kad vektorius, kaip vektorinės erdvės elementas, nebūtinai turi būti nurodytas nukreiptos atkarpos forma. „Vektoriaus“ sąvokos apibendrinimas bet kokio pobūdžio vektorinės erdvės elementui ne tik nesukelia terminų painiavos, bet ir leidžia suprasti ar net numatyti daugybę rezultatų, kurie galioja savavališko pobūdžio erdvėms.

Vektorinės erdvės yra tiesinės algebros objektas. Viena iš pagrindinių vektorinės erdvės savybių yra jos matmenys. Matmenys reiškia maksimalų tiesiškai nepriklausomų erdvės elementų skaičių, tai yra, taikant grubią geometrinę interpretaciją, krypčių, neišreiškiamų viena per kitą tik sudėjimo ir daugybos iš skaliro operacijas, skaičių. Vektorinė erdvė gali būti aprūpinta papildomomis struktūromis, tokiomis kaip norma arba vidinis produktas. Tokios erdvės natūraliai atsiranda matematinėje analizėje, pirmiausia begalinės erdvės pavidalu (Anglų), kur funkcijos yra vektoriai. Daugeliui analizės problemų reikia išsiaiškinti, ar vektorių seka konverguoja į tam tikrą vektorių. Tokių klausimų svarstymas galimas vektorinėse erdvėse su papildoma struktūra, dažniausiai tinkama topologija, leidžiančia apibrėžti artumo ir tęstinumo sąvokas. Tokios topologinės vektorinės erdvės, ypač Banacho ir Hilberto erdvės, leidžia giliau tirti.

Pirmieji darbai, numatę vektorinės erdvės sampratos įvedimą, datuojami XVII a. Tada pradėjo kurtis analitinė geometrija, matricų doktrina, tiesinių lygčių sistemos ir euklidiniai vektoriai.

Apibrėžimas [ | ]

Linijinis, arba vektorinė erdvė V (F) (\displaystyle V\left(F\right)) virš lauko F (\displaystyle F)- tai užsakytas ketvertas (V , F , + , ⋅) (\displaystyle (V,F,+,\cdot)), Kur

• V (\displaystyle V)- netuščias savavališko pobūdžio elementų rinkinys, kuris vadinamas vektoriai;
• F (\displaystyle F)- laukas, kurio elementai vadinami skaliarai;
• Operacija apibrėžta papildymas vektoriai V × V → V (\displaystyle V\times V\to V), kuri susieja kiekvieną elementų porą x , y (\displaystyle \mathbf (x) ,\mathbf (y)) rinkiniai V (\displaystyle V) V (\displaystyle V) jiems paskambino suma ir paskirtas x + y (\displaystyle \mathbf (x) +\mathbf (y) );
• Operacija apibrėžta vektorius dauginant iš skalierių F × V → V (\displaystyle F\times V\to V), atitinkantis kiekvieną elementą λ (\displaystyle \lambda) laukai F (\displaystyle F) ir kiekvienas elementas x (\displaystyle \mathbf (x) ) rinkiniai V (\displaystyle V) vienintelis rinkinio elementas V (\displaystyle V), pažymėta λ ⋅ x (\displaystyle \lambda \cdot \mathbf (x) ) arba λ x (\displaystyle \lambda \mathbf (x) );

Vektorinės erdvės, apibrėžtos tame pačiame elementų rinkinyje, bet skirtinguose laukuose, bus skirtingos vektorinės erdvės (pavyzdžiui, realiųjų skaičių porų rinkinys R 2 (\displaystyle \mathbb (R) ^(2)) gali būti dvimatė vektorinė erdvė virš realiųjų skaičių lauko arba vienmatė – virš kompleksinių skaičių lauko).

Paprasčiausios savybės[ | ]

1. Vektorinė erdvė yra pridedama Abelio grupė.
2. Neutralus elementas 0 ∈ V (\displaystyle \mathbf (0) \in V)
3. 0 ⋅ x = 0 (\displaystyle 0\cdot \mathbf (x) =\mathbf (0) ) bet kam.
4. Bet kam x ∈ V (\displaystyle \mathbf (x) \in V) priešingas elementas − x ∈ V (\displaystyle -\mathbf (x) \in V) yra vienintelis dalykas, kuris išplaukia iš grupės savybių.
5. 1 ⋅ x = x (\displaystyle 1\cdot \mathbf (x) =\mathbf (x) ) bet kam x ∈ V (\displaystyle \mathbf (x) \in V).
6. (− α) ⋅ x = α ⋅ (− x) = − (α x) (\displaystyle (-\alpha)\cdot \mathbf (x) =\alpha \cdot (-\mathbf (x))=-( \alpha \mathbf (x))) bet kokiam ir x ∈ V (\displaystyle \mathbf (x) \in V).
7. α ⋅ 0 = 0 (\displaystyle \alpha \cdot \mathbf (0) =\mathbf (0) ) bet kam α ∈ F (\displaystyle \alpha \in F).

Susiję apibrėžimai ir savybės[ | ]

Poerdvė[ | ]

Algebrinis apibrėžimas: Linijinė poerdvė arba vektorinė poerdvė- netuščias poaibis K (\displaystyle K) linijinė erdvė V (\displaystyle V) toks kad K (\displaystyle K) pati yra tiesinė erdvė apibrėžtųjų atžvilgiu V (\displaystyle V) sudėjimo ir daugybos iš skaliaro operacijos. Visų poerdžių rinkinys paprastai žymimas kaip L a t (V) (\displaystyle \mathrm (Lat) (V)). Kad poaibis būtų poerdvė, to būtina ir pakanka

Paskutiniai du teiginiai atitinka šiuos teiginius:

Visiems vektoriams x , y ∈ K (\displaystyle \mathbf (x) ,\mathbf (y) \in K) vektorius α x + β y (\displaystyle \alpha \mathbf (x) +\beta \mathbf (y) ) taip pat priklausė K (\displaystyle K) bet kuriam α , β ∈ F (\displaystyle \alpha ,\beta \in F).

Visų pirma, vektorinė erdvė, susidedanti tik iš vieno nulinio vektoriaus, yra bet kurios erdvės poerdvė; kiekviena erdvė yra savo paties poerdvė. Poerdvės, kurios nesutampa su šiomis dviem, vadinamos savo arba ne trivialus.

Poerdvių savybės[ | ]

Linijiniai deriniai[ | ]

Galutinė formos suma

Linijinis derinys vadinamas:

Pagrindas. Matmenys[ | ]

Vektoriai x 1 , x 2 , … , x n (\displaystyle \mathbf (x) _(1),\mathbf (x) _(2),\ldots ,\mathbf (x) _(n)) yra vadinami tiesiškai priklausomas, jei yra netrivialus tiesinis jų derinys, lygus nuliui:

Priešingu atveju šie vektoriai vadinami tiesiškai nepriklausomas.

Šis apibrėžimas leidžia apibendrinti: begalinis vektorių rinkinys iš V (\displaystyle V) paskambino tiesiškai priklausomas, jei kai kurie yra tiesiškai priklausomi galutinis jo poaibis ir tiesiškai nepriklausomas, jei kas nors iš to galutinis poaibis yra tiesiškai nepriklausomas.

Pagrindo savybės:

Linijinis apvalkalas[ | ]

Linijinis apvalkalas poaibiai X (\displaystyle X) linijinė erdvė V (\displaystyle V)- visų poerdvių sankirta V (\displaystyle V) kuriuose yra X (\displaystyle X).

Linijinis tarpatramis yra poerdvė V (\displaystyle V).

Linijinis apvalkalas taip pat vadinamas sukurta poerdvė X (\displaystyle X). Taip pat sakoma, kad linijinis apvalkalas V (X) (\displaystyle (\mathcal (V)) (X))- erdvė, ištemptas krūva X (\displaystyle X).

Linijinis apvalkalas V (X) (\displaystyle (\mathcal (V)) (X)) susideda iš visų galimų tiesinių kombinacijų įvairių baigtinių elementų posistemių iš X (\displaystyle X). Visų pirma, jei X (\displaystyle X) tada yra baigtinė aibė V (X) (\displaystyle (\mathcal (V)) (X)) susideda iš visų linijinių elementų kombinacijų X (\displaystyle X). Taigi nulinis vektorius visada priklauso tiesiniam korpusui.

Jeigu X (\displaystyle X) yra tiesiškai nepriklausoma aibė, tada ji yra pagrindas V (X) (\displaystyle (\mathcal (V)) (X)), 1980. - 454 p.

Vadinamas netuščias tiesinės erdvės V poaibis L linijinė poerdvė tarpas V, jei

1) \mathbf(u)+\mathbf(v)\in L~~\forall \mathbf(u,v)\in L(poerdvė uždaryta sudėjimo operacijos atžvilgiu);

2) \lambda \mathbf(v)\in L~~ \forall \mathbf(v)\in L ir bet koks skaičius \lambda (poerdvė uždaryta vektoriaus dauginimo iš skaičiaus operacijos atžvilgiu).

Norėdami nurodyti tiesinę poerdvę, naudosime žymėjimą L\triangeleft V ir trumpumui praleisime žodį „linijinis“.

Pastabos 8.7

1. 1, 2 sąlygos apibrėžime gali būti pakeistos viena sąlyga: \lambda \mathbf(u)+\mu \mathbf(v)\in L~~ \forall \mathbf(u,v)\in L ir bet kokie skaičiai \lambda ir \mu . Žinoma, čia ir apibrėžime kalbame apie savavališkus skaičius iš skaičių lauko, kuriame yra apibrėžta erdvė V.

2. Bet kurioje tiesinėje erdvėje V yra dvi tiesinės poerdvės:

a) pati erdvė V, t.y. V\trikampis V ;

b) nulinė poerdvė \(\mathbf(o)\), susidedanti iš vieno erdvės V nulinio vektoriaus, t.y. . Šios poerdvės vadinamos netinkamomis, o visos likusios – tinkamos.

3. Bet kuri tiesinės erdvės V poerdvė L yra jos poaibis: L\trikampis kairysis V~\Rightarrow~L\pogrupis V, bet ne kiekvienas poaibis M\poaibis V yra tiesinė poerdvė, nes gali pasirodyti, kad ji nėra uždara tiesinių operacijų atžvilgiu.

4. Tiesinės erdvės V poerdvė L pati yra tiesinė erdvė su tomis pačiomis vektorių pridėjimo ir vektoriaus dauginimo iš skaičiaus operacijomis kaip ir erdvėje V, nes joms tenkinamos 1-8 aksiomos. Todėl galime kalbėti apie poerdvės dimensiją, jos pagrindą ir kt.

5. Bet kurios tiesinės erdvės V poerdvės L matmuo neviršija erdvės matmens V\dvitaškis\,\dim(L)\leqslant\dim(V). Jei poerdvės L\trikampio kampo V matmuo yra lygus baigtinių matmenų erdvės V matmeniui (\dim(L)=\dim(V)), tai poerdvė sutampa su pačia erdve: L=V .

Tai išplaukia iš 8.2 teoremos (dėl vektorių sistemos papildymo pagrindu). Iš tiesų, remdamiesi poerdvės L pagrindu, mes ją papildysime erdvės V pagrindu. Jei tai įmanoma, tada \dim(L)<\dim{V} . Если нельзя дополнить, т.е. базис подпространства L является базисом пространства V , то \dim{L}=\dim{V} . Учитывая, что пространство есть линейная оболочка базиса (см. следствие 1 теоремы 8.1), получаем L=V .

6. Bet kuriam tiesinės erdvės V poaibiui M tiesinis korpusas yra V ir poerdvė M\pogrupis \operatoriaus vardas(Lin)(M)\trikampis kairysis V.

Iš tiesų, jei M = \varnothing (tuščia rinkinys), tada pagal apibrėžimą \operatoriaus vardas(Lin)(M)=\(\mathbf(o)\), t.y. yra nulis poerdvė ir \varnothing\subset\(\mathbf(o)\)\triangeleft V. Leiskite M\ne\varnothing . Turime įrodyti, kad rinkinys \operatoriaus vardas (Lin) (M) yra uždarytas jo elementų pridėjimo ir jo elementų dauginimo iš skaičiaus operacijų atžvilgiu. Prisiminkite, kad linijinio apvalkalo elementai \operatoriaus vardas (Lin) (M) tarnauja kaip linijiniai vektorių deriniai iš M. Kadangi linijinis vektorių linijinių derinių derinys yra jų tiesinis derinys, tai, atsižvelgdami į 1 punktą, darome išvadą, kad \operatoriaus vardas (Lin) (M) yra V poerdvė, t.y. \operatoriaus vardas(Lin)(M)\trikampis kairysis V. Įtraukimas M\pogrupis \operatoriaus vardas(Lin)(M)- akivaizdu, nes bet kurį vektorių \mathbf(v)\ in M ​​galima pavaizduoti kaip tiesinę kombinaciją 1\cdot\mathbf(v) , t.y. kaip rinkinio elementas \operatoriaus vardas (Lin) (M).

7. Linijinis apvalkalas \operatoriaus vardas (Lin) (L) poerdvė L\trikampis V sutampa su poerdve L , t.y. .

Iš tiesų, kadangi tiesinėje poerdvėje L yra visos galimos tiesinės jos vektorių kombinacijos, tada \operatoriaus vardas(Lin)(L)\pogrupis L. Priešingas įtraukimas (L\pogrupis \operatoriaus vardas(Lin)(L)) išplaukia iš punkto 6. Tai reiškia \operatoriaus vardas(Lin)(L)=L.

Linijinių poerdvių pavyzdžiai

Nurodykime kai kurias tiesinių erdvių poerdes, kurių pavyzdžiai buvo aptarti anksčiau. Neįmanoma išvardyti visų tiesinės erdvės poerdvių, išskyrus nereikšmingus atvejus.

1. Erdvė \(\mathbf(o)\), susidedanti iš vieno erdvės V nulinio vektoriaus, yra poerdvė, t.y. \(\mathbf(o)\)\triangeleft V.

2. Tegu, kaip ir anksčiau, V_1,\,V_2,\,V_3 yra vektorių aibės (nukreiptos atkarpos) atitinkamai tiesėje, plokštumoje, erdvėje. Jei linija priklauso plokštumai, tada V_1\trikampio kairioji pusė V_2\trikampio pusė V_3. Priešingai, vienetinių vektorių aibė nėra tiesinė poerdvė, nes vektorių padauginus iš skaičiaus, kuris nėra lygus vienetui, gauname aibei nepriklausantį vektorių.

3. N-matėje aritmetinėje erdvėje \mathbb(R)^n apsvarstykite formos „pusės nulio“ stulpelių aibę L x=\begin(pmatrix) x_1&\cdots& x_m&0&\cdots&0\end(pmatrix)^T kurių paskutiniai (n-m) elementai lygūs nuliui. „Pusės nulio“ stulpelių suma yra to paties tipo stulpelis, t.y. pridėjimo operacija uždaroma L. Stulpelį „pusė nulio“ padauginus iš skaičiaus, gaunamas stulpelis „pusė nulio“, t.y. daugybos iš skaičiaus operacija uždaroma L. Štai kodėl L\trikampio kairioji\mathbb(R)^n ir \dim(L)=m . Priešingai, nulinių stulpelių poaibis \mathbb(R)^n nėra tiesinė poerdvė, nes padauginus iš nulio gaunamas nulinis stulpelis, kuris nepriklauso aptariamai aibei. Kitų poerdžių \mathbb(R)^n pavyzdžiai pateikti kitoje pastraipoje.

4. Vienalytės lygčių sistemos su n nežinomųjų sprendinių erdvė \(Ax=o\) yra n-matės aritmetinės erdvės \mathbb(R)^n poerdvė. Šios poerdvės dydį lemia sistemos matrica: \dim\(Ax=o\)=n-\operatoriaus vardas(rg)A.

Nehomogeninės sistemos sprendinių aibė \(Ax=b\) (b\ne o ) nėra poerdvė \mathbb(R)^n , nes dviejų sprendinių suma yra nehomogeniška; sistema nebus tos pačios sistemos sprendimas.

5. N eilės kvadratinių matricų erdvėje M_(n\times n) apsvarstykite du poaibius: simetrinių matricų aibę ir aibę M_(n\times n)^(\tekstas(kos)) kreivosimetrinės matricos. Simetrinių matricų suma yra simetrinė matrica, t.y. pridėjimo operacija uždaroma M_(n\kartų n)^(\tekstas(sim)). Simetrinės matricos padauginimas iš skaičiaus taip pat nepažeidžia simetrijos, t.y. uždaroma matricos dauginimo iš skaičiaus operacija M_(n\kartų n)^(\tekstas(sim)). Vadinasi, simetrinių matricų aibė yra po kvadratinių matricų erdvės erdve, t.y. M_(n\times n)^(\tekstas(sim))\trikampis M_(n\times n). Nesunku rasti šios poerdvės dimensiją. Standartinį pagrindą sudaro: l matricos, kurių pagrindinėje įstrižainėje yra vienas ne nulis (lygus vienam) elementas: a_(ii)=1~ i=1,\ltaškai,n, taip pat matricos su dviem nenuliniais (lygiais vienam) elementais, simetriškais pagrindinės įstrižainės atžvilgiu: a_(ij)=a_(ji)=1, i=1,\ldots,n, j=i, i+1,\ltaškai, n. Iš viso pagrindas bus (n+(n-1)+\ltaškai+2+1= \frac(n(n+1))(2)) matricos Vadinasi, \dim(M_(n\times n)^(\text(sim)))= \frac(n(n+1))(2). Panašiai mes tai gauname M_(n\times n)^(\tekstas(kos))\trikampis M_(n\times n) Ir \dim(M_(n\times n)^(\text(kos)))= \frac(n(n+1))(2).

N-osios eilės vienaskaitos kvadratinių matricų aibė nėra poerdvė M_(n\times n) , nes dviejų vienaskaitos matricų suma gali pasirodyti ne vienaskaita matrica, pavyzdžiui, erdvėje M_(2\ kartus2):

\begin(pmatrix)1&0\\0&0\end(pmatrix)+ \begin(pmatrix)0&0\\0&1\end(pmatrix)= \begin(pmatrix)1&0\\0&1\end(pmatrix)\!.

6. Polinomų P(\mathbb(R)) su realiaisiais koeficientais erdvėje galime nurodyti natūralią poerdvių grandinę

S \mathbb(R)).

Lyginių daugianario aibė (p(-x)=p(x)) yra tiesinė P(\mathbb(R) suberdvė), nes lyginių daugianario suma ir lyginio daugianario sandauga iš skaičiaus bus lyginė daugianariai. Nelyginių daugianario aibė (p(-x)=-p(x)) taip pat yra tiesinė erdvė. Polinomų, turinčių realias šaknis, rinkinys nėra tiesinė suberdvė, nes sudėjus tokius du daugianario gali būti gautas daugianomas, kuris neturi tikrų šaknų, pvz. (x^2-x)+(x+1)=x^2+1.

7. Erdvėje C(\mathbb(R)) galite nurodyti natūralią poerdžių grandinę:

C(\mathbb(R))\triangleright C^1(\mathbb(R))\triangleright C^2(\mathbb(R)) \triangleright \ldots\triangleright C^m(\mathbb(R))\triangleright \ltaškai

P(\mathbb(R)) polinomai gali būti laikomi funkcijomis, apibrėžtomis \mathbb(R) . Kadangi daugianomas yra ištisinė funkcija kartu su bet kokios eilės jo išvestinėmis, galime rašyti: P(\mathbb(R))\trikampio kairioji pusė C(\mathbb(R)) Ir P_n(\mathbb(R))\trikampio kairysis C^m(\mathbb(R)) \forall m,n\in\mathbb(N). Trigonometrinių dvinarių erdvė T_(\omega) (\mathbb(R)) yra × poerdvė

Bet kokiuose linijinė erdvė galima nustatyti tokį poaibį vektoriai, kuri, palyginti su operacijomis iš, pati yra tiesinė erdvė. Tai galima padaryti įvairiais būdais, o tokių pogrupių struktūra neša svarbią informaciją apie pačią linijinę erdvę.

Apibrėžimas 2.1. Linijinės erdvės poaibis paskambino linijinė poerdvė, jei tenkinamos šios dvi sąlygos:

2.1 apibrėžimas iš esmės sako, kad linijinė poerdvė yra bet kuri poaibis duota tiesinė erdvė, uždaryta pagal tiesines operacijas, tie. taikant tiesines operacijas vektoriams, priklausantiems šiam poaibiui, rezultatas neišvedamas už poaibio ribų. Parodykime, kad tiesinė suberdvė N kaip nepriklausomas objektas, tai linijinė erdvė aplinkos linijinėje erdvėje nurodytų operacijų atžvilgiu. Iš tiesų, šios operacijos yra apibrėžtos bet kuriems aibės elementams, taigi ir poaibio elementams N. 2.1 apibrėžimas iš tikrųjų reikalauja, kad elementams iš N priklausė ir operacijų rezultatas H. Todėl nurodytas operacijas galima laikyti siauresnės aibės operacijomis H. Šioms operacijoms rinkinyje N tiesinės erdvės aksiomos a)-b) ir e)-h) tenkinamos dėl to, kad jos galioja . Be to, tenkinamos ir dvi likusios aksiomos, nes pagal 2.1 apibrėžimą, jei tada:

1) ir 0- nulinis vektorius V N;

2) .

Bet kurioje linijinėje erdvėje visada yra dvi tiesinės poerdvės: pati tiesinė erdvė Ir nulinė suberdvė {0}, susidedantis iš vieno elemento 0. Šios tiesinės poerdvės vadinamos ne savo, o visos kitos tiesinės poerdvės vadinamos savo. Pateiksime tinkamų tiesinių poerdvių pavyzdžių.

2.1 pavyzdys. Trimatės erdvės laisvųjų vektorių linijinėje erdvėje tiesinė poerdvė susidaro iš:

a) visi vektoriai, lygiagretūs duotai plokštumai;

b) visi vektoriai, lygiagretūs duotai tiesei.

Tai išplaukia iš toliau pateiktų svarstymų. Iš laisvųjų vektorių sumos apibrėžimo seka, kad du vektoriai ir jų suma yra lygiagrečiai (2.1 pav., a). Todėl, jei ir yra lygiagrečios tam tikrai plokštumai, tai jų suma bus lygiagreti tai pačiai plokštumai. Tai nustato, kad a) atveju 2.1 apibrėžimo 1) sąlyga yra įvykdyta. Jei vektorius padauginamas iš skaičiaus, gaunamas vektorius, kolinearinis pradiniam (2.1,6 pav.). Tai įrodo, kad 2.1 apibrėžimo 2 sąlyga yra įvykdyta. b) atvejis pagrįstas panašiai.

Linijinė erdvė suteikia vizualinį vaizdą apie tai, kas yra linijinė poerdvė. Iš tiesų, mes nustatome tam tikrą erdvės tašką. Tada skirtingos plokštumos ir skirtingos tiesės, einančios per šį tašką, atitiks skirtingas tiesines poerdes iš (2.2 pav.).

Ne taip akivaizdu, kad nėra kitų tinkamų poerdvių. Jei linijinėje poerdvėje N tada nėra nulinių vektorių N - nulinė tiesinė poerdvė, o tai neteisinga. Jei į N yra nulinis vektorius ir bet kurie du vektoriai iš N yra kolinearūs, tada visi šios tiesinės poerdvės vektoriai yra lygiagretūs kokiai nors tiesei, einančia per fiksuotą tašką. Vadinasi, N sutampa su viena iš tiesinių poerdvių, aprašytų b atveju). Jei į N yra du nekolineariniai vektoriai, o bet kurie trys vektoriai yra lygiagretūs, tada visi tokios tiesinės poerdvės vektoriai yra lygiagretūs kokiai nors plokštumai, einančiai per fiksuotą tašką. Tai atvejis a). Įleiskite linijinę poerdvę N yra trys nevienaplaniai vektoriai. Tada jie susidaro pagrindu V . Bet kuris laisvas vektorius gali būti pavaizduotas kaip linijinis derinys šie vektoriai. Tai reiškia, kad visi laisvieji vektoriai patenka į tiesinę poerdvę N, ir todėl sutampa su . Šiuo atveju gauname netinkamą tiesinę poerdvę. Taigi visos savosios poerdvės gali būti pavaizduotos kaip plokštumos arba tiesės, einančios per fiksuotą tašką.

2.2 pavyzdys. Bet koks vienalytės tiesinių algebrinių lygčių sistemos (SLAE) sprendimas iš P kintamieji gali būti laikomi vektoriumi tiesinės aritmetinės erdvės . Visų tokių vektorių rinkinys yra tiesinė poerdvė . Tiesą sakant, vienalytės SLAE sprendiniai gali būti sudedami komponentiškai ir dauginami iš realiųjų skaičių, t.y. pagal vektorių sudėjimo iš taisyklių taisykles. Operacijos rezultatas vėl bus vienalytės SLAE sprendimas. Tai reiškia, kad tenkinamos abi tiesinės poerdvės apibrėžimo sąlygos.

Lygtis turi sprendinių rinkinį, kuris yra tiesinė poerdvė. Tačiau tą pačią lygtį galima laikyti plokštumos lygtimi kokioje nors stačiakampėje koordinačių sistemoje. Plokštuma eina per pradinę vietą, o visų plokštumos taškų spindulio vektoriai sudaro dvimatę poerdvę tiesinėje erdvėje

Vienalytės SLAE tirpalų rinkinys

taip pat sudaro tiesinę poerdvę . Kartu ši sistema gali būti laikoma bendrosios linijos lygtys erdvėje, nurodyta kokioje nors stačiakampėje koordinačių sistemoje .. Ši tiesė eina per pradžią, o visų jos taškų spindulio vektorių aibė sudaro vienmatę poerdvę.

2.3 pavyzdys. Eilės kvadratinių matricų tiesinėje erdvėje P tiesinę poerdvę sudaro:

a) visos simetrinės matricos;

b) visos kreivosimetrinės matricos;

c) visos viršutinės (apatinės) trikampės matricos.

Sudėjus tokias matricas arba padauginus iš skaičiaus, gauname to paties tipo matricą. Priešingai, vienaskaitos matricų poaibis nėra tiesinė suberdvė, nes dviejų vienaskaitos matricų suma gali būti nevienetinė matrica:

2.4 pavyzdys. Atkarpoje ištisinėje funkcijų linijinėje erdvėje galima išskirti šias tiesines poerdes:

a) aibė funkcijų, kurios yra tolydžios intervale ir nuolat diferencijuojamos intervale (0,1) (šis teiginys pagrįstas diferencijuojamų funkcijų savybėmis: diferencijuojamų funkcijų suma yra diferencijuojama funkcija, diferencijuojamo sandauga funkcija pagal skaičių yra diferencijuojama funkcija);

b) visų daugianario aibė;

c) daug visi daugianariai, kurių laipsnis ne didesnis kaip n.

Apibrėžimas 6.1. Poerdvė Ln- matmenų erdvė R yra vektorių rinkinys, kuris sudaro tiesinę erdvę veiksmų, kurie yra apibrėžti, atžvilgiu R.

Kitaip tariant, L vadinama erdvės poerdve R, jei nuo x, y∈L seka tuo x+y∈L ir jeigu x∈L, Tai λ x∈L, Kur λ - bet koks tikrasis skaičius.

Paprasčiausias poerdvės pavyzdys yra nulinė poerdvė, t.y. erdvės pogrupis R, susidedantis iš vieno nulinio elemento. Visa erdvė gali tarnauti kaip poerdvė R. Šios poerdvės vadinamos trivialus arba ne savo.

Poerdvė n-dimensinė erdvė yra baigtinė ir jos matmuo neviršija n: pritemdytas L≤ pritemdytas R.

Poerdvių suma ir susikirtimas

Leisti L Ir M- dvi erdvės suberdvės R.

Suma L+M vadinamas vektorių rinkiniu x+y, Kur x∈L Ir y∈M. Akivaizdu, kad bet koks linijinis vektorių derinys iš L+M priklauso L+M, vadinasi L+M yra erdvės poerdvė R(gali sutapti su erdve R).

Kertant L∩M poerdvės L Ir M yra vektorių, kurie vienu metu priklauso poerdvėms, rinkinys L Ir M(gali sudaryti tik nulinis vektorius).

6.1 teorema. Savavališkų poerdvių matmenų suma L Ir M baigtinių matmenų tiesinė erdvė R lygus šių poerdvių sumos matmeniui ir šių poerdvių susikirtimo matmeniui:

dim L+dim M=dim(L+M)+dim(L∩M).

Įrodymas. Pažymėkime F=L+M Ir G=L∩M. Leisti G g-dimensinė poerdvė. Pasirinkime jame pagrindą. Nes G⊂L Ir G⊂M, todėl pagrindas G galima pridėti prie pagrindo L ir į bazę M. Tegul suberdvės pagrindas L ir tegul poerdvės pagrindas M. Parodykime, kad vektoriai

priklauso poerdvei G=L∩M. Kita vertus, vektorius v gali būti pavaizduotas tiesine poerdvės bazinių vektorių kombinacija G:

Iš (6.4) ir (6.5) lygčių turime:

Dėl tiesinės poerdvės pagrindo nepriklausomybės L mes turime:

tiesiškai nepriklausomas. Bet bet koks vektorius z iš F(pagal suberdvių sumos apibrėžimą) gali būti pavaizduota suma x+y, Kur x∈L, y∈M. Savo ruožtu x pavaizduota tiesine vektorių kombinacija a y- linijinis vektorių derinys. Vadinasi, vektoriai (6.10) generuoja poerdvę F. Mes nustatėme, kad vektoriai (6.10) sudaro pagrindą F=L+M.

Suberdvės bazių tyrimas L Ir M ir poerdvės pagrindu F=L+M(6.10), turime: dim L=g+l, dim M=g+m, dim (L+M)=g+l+m. Taigi:

dim L+dim M−dim(L∩M)=dim(L+M). ■

Tiesioginė suberdvių suma

Apibrėžimas 6.2. Erdvė F reiškia tiesioginę poerdvių sumą L Ir M, jei kiekvienas vektorius x erdvė F gali būti pavaizduota tik kaip suma x=y+z, Kur y∈ L ir z∈M.

Nurodoma tiesioginė suma L⊕M. Jie sako, kad jei F = L⊕M, Tai F suyra į tiesioginę savo poerdvių sumą L Ir M.

6.2 teorema. Tam, kad n- matmenų erdvė R buvo tiesioginė poerdvių suma L Ir M, sankryžai užtenka L Ir M turi tik nulinį elementą ir kad matmuo R buvo lygus poerdvių matmenų sumai L Ir M.

Įrodymas. Pasirinkime tam tikrą bazę poerdvėje L ir tam tikrą bazę poerdvėje M. Įrodykime tai

Kadangi (6.13) kairioji pusė yra poerdvės vektorius L, o dešinėje pusėje yra poerdvės vektorius M Ir L∩M=0 , Tai