SUDĖTINĖS PALŪKANOS

II skyrius. Sudėtinių palūkanų skaičiavimas

2.1 Sudėtinės palūkanos

Sudėtinės palūkanos naudojamos ilgalaikėse finansinėse ir kredito operacijose, jei palūkanos nemokamos periodiškai iš karto po jų sukaupimo už praėjusį laiko tarpą, o pridedamos prie skolos sumos. Dažnai vadinamas sukauptų palūkanų pridėjimas prie sumos, kuri buvo jų nustatymo pagrindas

palūkanų kapitalizacija.

sudėtinių palūkanų formulė

Tegul pradinė skolos suma lygi P , tai vienais metais skolos suma su pridėtomis palūkanomis bus P(1+i) , po 2 metų P(1+i)(1+i)=P(1+ i) 2 , per n metų -P(1+i)n. Taigi gauname sudėtinių palūkanų kaupimo formulę

S=P(1+i)n

kur S – sukaupta suma, i – metinė sudėtinė palūkanų norma, n – paskolos terminas, (1+i) n – kaupimo daugiklis.

Praktiniuose skaičiavimuose daugiausia naudojami diskretūs procentai, t.y. palūkanos, skaičiuojamos už tuos pačius laiko intervalus (metus, pusmetį, ketvirtį ir kt.). Sudėtinės palūkanos yra augimas pagal geometrinės progresijos dėsnį, kurio pirmasis narys lygus P, o vardiklis yra (1+i).

Atkreipkite dėmesį, kad terminui n<1 наращение по простым процентам дает больший результат, чем по сложным, а приn>1 yra priešingai. Tai lengva pamatyti konkrečiuose skaitiniuose pavyzdžiuose. Didžiausias paprastųjų palūkanų sumos perviršis virš sudėtinių palūkanų sumos (esant toms pačioms palūkanų normoms) pasiekiamas vidurinėje laikotarpio dalyje.

Sudėtinių palūkanų kaupimo formulė, kai norma keičiasi laikui bėgant

Tuo atveju, kai sudėtinė palūkanų norma laikui bėgant keičiasi, kaupimo formulė yra tokia

S = P(1 + i) n 1	(1+ i )n 2	...(1+ i )nk ,

kur i1 , i2 ,..., ik yra atitinkamai n1, n2,..., nk laikotarpių palūkanų normų reikšmės.

Sutartyje buvo nustatyta kintamoji sudėtinė palūkanų norma, apibrėžta kaip 20 % per metus ir 10 % marža pirmaisiais dvejais metais, 8 % trečiaisiais metais, 5 % ketvirtaisiais metais. Nustatykite kaupimo daugiklio vertę 4 metams.

(1+0,3)2 (1+0,28)(1+0,25)=2,704

SUDĖTINĖS PALŪKANOS

Sumos formulės padvigubinimas

Siekdamas įvertinti savo perspektyvas, skolintojas ar skolininkas gali užduoti klausimą: per kiek metų paskolos suma padidės N kartų esant tam tikrai palūkanų normai. Paprastai to reikia numatant savo investavimo galimybes ateityje. Gauname atsakymą, padidinimo daugiklį prilyginę reikšmei N:

a) už paprastus palūkanas

(1+paprasta) = N, iš kur
	N-1
	ave stop

b) už sudėtines palūkanas

(1+ikompleksas) n = N, iš kur

Ypač dažnai naudojamas N =2. Tada formulės (21) ir (22) vadinamos dvigubinimo formulėmis ir yra tokios formos:

a) už paprastus palūkanas

b) už sudėtines palūkanas

Jei formulę (23) lengva pritaikyti skaičiavimams įvertinti, tai formulei (24) reikia naudoti skaičiuotuvą. Tačiau esant žemoms palūkanų normoms (tarkim, mažesnėms nei 10 proc.), vietoj to galima naudoti paprastesnį apytikslį skaičiavimą. Tai lengva gauti, jei atsižvelgsime į tai, kad ln 2 0,7 ir ln(1+i) i. Tada

n ≈ 0,7/i.

a) Esant paprastoms palūkanoms:
	ave stop

SUDĖTINĖS PALŪKANOS

b) Su sudėtinėmis palūkanomis ir tikslia formule:

					ln(1+01,)
		sunkus n.

c) Su sudėtinėmis palūkanomis ir apytiksle formule: n ≈ 0,7/i = 0,7/0,1 = 7 metai.

1) Ta pati paprastųjų ir sudėtinių palūkanų normų vertė lemia visiškai skirtingus rezultatus.

2) Esant mažoms sudėtinėms palūkanų normoms tikslios ir apytikslės formulės duoda praktiškai tuos pačius rezultatus.

Metinių palūkanų už trupmeninį metų skaičių apskaičiavimas

Esant trupmeniniam metų skaičiui, palūkanos skaičiuojamos įvairiais būdais: 1) Pagal sudėtinių palūkanų formulę

	S=P(1+i)n ,
	Remiantis mišriu metodu, pagal kurį sveikąjį metų skaičių
sudėtinės palūkanos, o trupmeninėms – paprastosios
	S=P(1+i)a (1+bi),
kur n=a+b, a yra sveikasis metų skaičius, b – trupmeninė metų dalis.
	Daugelyje komercinių bankų taikoma taisyklė, pagal kurią atkarpa
Už trumpesnius nei kaupimo laikotarpį palūkanos neskaičiuojamos, t.y.
	S=P(1+i)a .

Nominaliosios ir efektyvios palūkanų normos

Nominali norma. Tegul metinė sudėtinių palūkanų norma lygi j, o kaupimo laikotarpių skaičius per metus m. Tada kiekvieną kartą skaičiuojamos palūkanos j/m. Kursas j vadinamas nominaliuoju. Palūkanos apskaičiuojamos pagal nominalią normą pagal formulę:

kur N/ τ – palūkanų skaičiavimo laikotarpių skaičius (galbūt dalimis), τ – palūkanų skaičiavimo laikotarpis,

SUDĖTINĖS PALŪKANOS

2) Pagal mišrią formulę

S = P(1 +		)a (1+ b

kur a yra sveikas kaupimo laikotarpių skaičius (t. y. a= yra sveikoji dalis, padalijanti visą paskolos terminą N iš kaupimo laikotarpio τ ),

b - likusi trupmeninė kaupimo laikotarpio dalis (b=N/ τ -a).

Paskolos suma yra 20 milijonų rublių. Suteikiama 28 mėn. Nominali norma yra 60% per metus. Palūkanos skaičiuojamos kas ketvirtį. Apskaičiuokite sukauptą sumą trimis atvejais: 1) kai už trupmeninę dalį skaičiuojamos sudėtinės palūkanos, 2) kai už trupmeninę dalį skaičiuojamos paprastosios palūkanos, 3) kai trupmeninės dalies nepaisoma. Palyginkite rezultatus.

Palūkanos skaičiuojamos kas ketvirtį. Iš viso yra 3 = 91 3 ketvirčiai.

S = 20 (1+ 06, / 4)9

RUB 73,713 mln

S = 20(1+

RUB 73,875 mln

3) S \u003d 20 (1 + 0,6 / 4) 9 \u003d 70,358 milijono rublių.

Iš sukauptų sumų palyginimo matome, kad maksimalią reikšmę jis pasiekia antruoju atveju, t.y. skaičiuojant paprastųjų palūkanų trupmeninę dalį.

Efektyvi norma parodo, kuri metinė sudėtinė palūkanų norma duoda tokį pat finansinį rezultatą kaip m – vienkartinis padidėjimas per metus, kai norma j/m.

Jei palūkanos kapitalizuojamos m kartų per metus, kiekvieną kartą j/m norma, tada pagal apibrėžimą galime parašyti lygybę atitinkamiems kaupimo daugikliams:

(1+ie )n =(1+j/m)mn ,

kur i e – efektyvi norma, aj – nominali. Iš to gauname, kad santykis tarp efektyvių ir nominaliųjų normų išreiškiamas santykiu

i e =(1 +				−1
Atvirkštinis ryšys turi formą
j=m[(1+ie)1/m-1].

Apskaičiuokite efektyvią palūkanų normą, jei bankas skaičiuoja palūkanas kas ketvirtį, remdamasis nominalia 10% metine norma.

SUDĖTINĖS PALŪKANOS

Sprendimas i e \u003d (1 + 0,1 / 4) 4 -1 \u003d 0,1038, t.y. 10,38 proc.

10 pavyzdys

Nustatykite, kokia nominali palūkanų norma turėtų būti kas ketvirtį sudėjus palūkanas, kad būtų užtikrinta veiksminga 12 % metinė norma.

Sprendimas. j = 4[(1+0,12) 1/4 -1] = 0,11495, t.y. 11,495 proc.

Apskaita (diskontavimas) taikant sudėtines palūkanas

Čia, kaip ir paprastų palūkanų atveju, bus svarstomos dvi apskaitos rūšys – matematinė ir bankinė.

Matematinė apskaita. Šiuo atveju problema išspręsta atvirkščiai, palyginti su sudėtinėmis palūkanomis. Užrašykime pradinę prieaugio formulę

S=P(1+i)n

ir išspręsti tai P

P = S(1 + 1 i ) n = Svn ,

v n =(1 + 1 i ) n =(1 + i ) − n

nuolaida arba nuolaidos faktorius.

Jei palūkanos skaičiuojamos m kartų per metus, tai gauname

	P = S
				(1+ j/m )mn
	kur P ir S yra lygiaverčiai ta prasme, kad mokėjimo suma S per n metų yra lygi sumai P šiuo metu mokama. Skirtumas D=S-P vadinamas nuolaida. Banko sąskaita. Šiuo atveju daroma prielaida, kad naudojama kompleksinė diskonto norma. Diskontavimas taikant kompleksinę diskonto normą vykdomas pagal formulę P=S(1-dsl )n , (39) kur dsl yra sudėtinė metinė diskonto norma. Nuolaida šiuo atveju yra D=S-P=S-S(1-dsl )n =S. (40) SUDĖTINĖS PALŪKANOS Naudojant kompleksinę diskonto normą, diskontavimo procesas vyksta laipsniškai lėtėjant, nes diskonto norma kiekvieną kartą taikoma sumai, sumažintai už praėjusį laikotarpį nuolaidos dydžiu. Nominaliosios ir efektyvios palūkanų normos Nominali diskonto norma. Tais atvejais, kai nuolaida taikoma m kartą per metus, naudokite nominali diskonto norma f. Tada kiekvienu periodu, lygiu 1/m metų daliai, diskontuojama kompleksine diskonto norma f/m. Šios kompleksinės apskaitos diskontavimo procesas kartą per metus aprašomas formule P=S(1-f/m)N , kur N yra bendras nuolaidų laikotarpių skaičius (N=mn). Atliekant nuolaidą ne kartą, o m kartų per metus, nuolaidos vertė sumažėja greičiau. Efektyvi diskonto norma. Efektyvi diskonto norma suprantama kaip sudėtinė metinė diskonto norma, lygiavertė (pagal finansinius rezultatus) nominaliajai normai, taikomai tam tikram nuolaidų skaičiui per metus m. Pagal efektyvios diskonto normos apibrėžimą, jos ryšį su nominalia norma randame iš diskonto faktorių lygybės Atminkite, kad efektyvi diskonto norma visada yra mažesnė nei nominalioji. Priaugimas kompleksine diskonto norma. Didėjimas yra atvirkštinė diskonto normų problema. Sudėtingų diskonto normų kaupimo formules galima gauti išsprendus atitinkamas diskontavimo formules (39 ir 41), palyginti su S . Gauname iš P=S(1-d sl ) n S = P (1− d w )n ir iš P=S(1-f/m)N S = P (1-f/m)N 11 pavyzdys. Kokia suma turi būti įrašyta į vekselį, jei faktiškai išrašyta suma yra 20 milijonų rublių, terminas yra 2 metai. Sąskaita apskaičiuojama remiantis sudėtine 10% metine diskonto norma. S \u003d (1 - 20 0,1) 2 \u003d 24,691358 milijono rublių.

Banko indėlio nauda vertinama ne tik pagal palūkanų normą. Palūkanų apskaičiavimo būdas turi didelę įtaką indėlio pelningumui. Finansų sektoriuje yra paprastų ir sudėtinių palūkanų sąvoka. Kada naudojamas vienas skaičiavimo metodas? Kaip skaičiuojamos palūkanos kiekvienam metodui? O kuris būdas investuotojui pelningesnis?

Paprastųjų palūkanų sąvoka ir kaip jos apskaičiuojamos

Paprastosios palūkanos – tai palūkanos, priskaičiuojamos tik nuo pradinės indėlio sumos, nepriklausomai nuo laikotarpių skaičiaus ir jų trukmės. Jie skaičiuojami vieną kartą pasibaigus indėlio terminui. Tai reiškia, kad skaičiuojant kitą neatsižvelgiama į praėjusio laikotarpio palūkanų sumą.

Paprastųjų palūkanų skaičiavimo metodas pagrįstas pinigų didinimo aritmetine progresija principu. Tarkime, kad investuotojas metų pradžioje įnešė į banką 100 000 rublių. mažiau nei 10 % per metus:

• per metus jis gaus sumą, lygią iš pradžių įneštiems pinigams ir sukauptomis palūkanomis: 100 000 + 10 000 (norint apskaičiuoti palūkanas, indėlio sumą reikia padauginti iš kurso ir padalyti iš 100) = 110 000 (rublių);
• po 2 metų suma bus: 100 000 + (10 000 x 2) = 120 000 (rublių);
• po N metų investuotojas gaus: 100 000 + (10 000 x N).

Kadangi bankai nurodo metų kursą, norėdami nustatyti kito laikotarpio (pavyzdžiui, 3 mėnesių) pajamas, naudodami paprastą palūkanų normą, formulė bus tokia:

S = (P x I xT/ K) / 100, kur:

S- sukauptų palūkanų suma (rubliais);

P- pradinė investuotų lėšų suma;

aš– metinė palūkanų norma;

T– indėlio terminas dienomis;

K- dienų skaičius per metus.

Tai yra, su 100 000 rublių įnašu. už 3 mėnesius taikant 10% metinių paprastųjų palūkanų skaičiavimas atliekamas taip:

(100 000 x 10 x 92 / 365) / 100 = 2520,55 (rubliai).

Pasirodo, kad pasibaigus terminui investuotojas gaus įneštus 100 000 rublių. plius 2520,55 rubliai. pajamų, t.y. 102 520,55 RUB

Norint aiškiau parodyti skirtumą tarp paprastos palūkanų skaičiavimo schemos ir sudėtingos, duomenys įvedami į lentelę:

Skaičiuojant koeficientus buvo naudojama metinė palūkanų kapitalizacija. Lentelėje matyti, kad:

• jei indėlio terminas trumpesnis nei metai, tai pagal paprastą palūkanų formulę apskaičiuotas daugiklis yra didesnis. Tai leis investuotojui gauti daugiau pajamų nei naudojant sudėtines palūkanas;
• kai indėlio terminas yra 1 metai - koeficientų vertė lyginama ir yra vienoda. Tai rodo, kad pajamos su metine kapitalizacija, sukauptos nuo paprastų palūkanų ir sudėtinių palūkanų, bus lygios;
• jei indėlio terminas yra ilgesnis nei metai, tai sudėtinių palūkanų kaupimo norma yra didesnė nei naudojant paprastas paprastas palūkanas.

Sudarę panašią lentelę, atsižvelgdami į ketvirčio kapitalizaciją, matote, kad pajamos bus tokios pat su ketvirčio įnašu. Turint trumpesnius indėlius (mėnesiui ar dviems), daugiau pajamų bus gauta iš paprastų palūkanų. Turint indėlius ilgesniam nei ketvirčio laikotarpiui, sudėtinės palūkanos bus pelningesnės.

Šis indėlio pelningumo nustatymo principas, priklausomai nuo palūkanų apskaičiavimo būdo, išsaugomas ir mėnesiniuose skaičiavimuose. Apibendrinant galima teigti, kad sudėtinių palūkanų naudojimas yra naudingas, jei indėlio terminas viršija kapitalizacijos laikotarpį. Kitaip tariant:

• su metine kapitalizacija, įnešti indėlį naudinga, jei jo galiojimo laikas yra ilgesnis nei metai;
• naudojant ketvirtinę kapitalizaciją, sudėtinės palūkanos bus pelningos tik tada, kai indėlio terminas yra ilgesnis nei 3 mėnesiai;

Jei indėlio terminas yra mažesnis nei kapitalizacijos dažnis, tada paprastų indėlių palūkanų skaičiavimas pasirodys pelningesnis.

• Sudarydami sutartį atminkite, kad bankai dokumentuose nevartoja posakių „paprastos“ ar „sudėtinės“ palūkanos. Sutartyje dažnai rašoma frazė „palūkanos skaičiuojamos pasibaigus terminui“. O naudojant kapitalizaciją nurodoma, kad palūkanos skaičiuojamos kartą per metus, ketvirtį ar mėnesį.
• Dedant ilgalaikį indėlį, dėl vienokių ar kitokių priežasčių gali tekti išsiimti pinigus anksčiau laiko. Indėliai su galimybe anksti išimti visada turi mažesnę normą. Tokiais atvejais gali būti naudingas trumpalaikis indėlis su galimu pratęsimu ir sudėtinių palūkanų naudojimas. Pajamos iš tokio indėlio gali pasirodyti didesnės, net jei tokio indėlio palūkanų norma yra šiek tiek mažesnė.
• Greitai ir tiksliai galite apskaičiuoti investicijų grąžą naudodami internetinį skaičiuotuvą. Norėdami tai padaryti, įvedę reikiamus duomenis, turite pažymėti langelį „didžiosios raidės“ ir pasirinkti jo įgyvendinimo laikotarpį (metus, ketvirtį ar mėnesį).

Ši tema susijusi ir turi būti nagrinėjama investuojant, kaupiant kapitalą ar tiesiog norint sukaupti reikiamą pinigų sumą. Finansų sektoriuje įprasta atskirti paprastųjų ir sudėtinių palūkanų skaičiavimo principus. Pavyzdžiui, bankų sektoriuje sudėtinės palūkanos suprantamos kaip sąvoka. O investicijose dažnai vartojamas žodis „reinvestavimas“.

sudėtinės palūkanos vadinama pinigų sumos geometrine progresija, kai prie bazinės sumos pridedamos sukauptos pelno palūkanos, kitu laikotarpiu bazinė suma didėja ir nuo jos jau skaičiuojamos palūkanos. Dėl šio efekto pajamingumas didesnis nei su paprastomis palūkanomis.

Kapitalizacija arba reinvestavimas- tai yra sukauptų palūkanų sumavimas su bazine nustatytu laikotarpiu. Vėlesniu laikotarpiu bazinė suma keičiama šiuo procentu, taip pasiekiamas laipsniškas arba lavininis lėšų kiekio padidėjimas. Skaičiuojant naudojant paprastą palūkanų formulę, bazinė suma visada išlieka ta pati.

Visa ši teorija nepasiruošusiam skaitytojui atrodo pernelyg daug laiko atimanti ir paini. Tačiau užtikriname, kad sudėtinių palūkanų formulėje nėra nieko itin sudėtingo ir nėra skirtumo nuo paprastų palūkanų. Dabar išanalizuokime keletą užduočių ir viskas atsistos į savo vietas.

Paprastųjų ir sudėtinių palūkanų skaičiavimo pavyzdžiai

Nedidelį laikotarpį paprastųjų ir sudėtinių palūkanų formulė šiek tiek skiriasi. Apsvarstykite pavyzdžius.

Paprasta

Jūs įdėjote 1000 rublių į įprastą indėlio sąskaitą 10% per metus 3 metus. Po 3 metų jūs atsiimate 1300 rublių. Taip veikia paprastas susidomėjimas.

Sunku

Į depozitinę sąskaitą įnešėte 1000 rublių, tačiau indėlio charakteristikos rodo "su metinių palūkanų kapitalizacija". Tas pats – 10% per metus, toks pat terminas – 3 metai. Po 3 metų jūs jau atsiimate 1331 rublį. Dėl sudėtinių palūkanų efekto gavote 31 rubliu daugiau nei pirmuoju atveju.

Daugiau apie sudėtines palūkanas

Mūsų nebedomina paprastas susidomėjimas, o sudėtinė formulė atrodo taip:

S- suma, kurią išimate pabaigoje

B- bazinė suma

Pr- palūkanų norma

n- laikotarpis (gali būti metais arba mėnesiais)

Dabar paskaičiuokime sumas ir procentus, kurie yra artimesni realybei, kad galėtume visiškai patirti skirtumą.

1 užduotis

Duota:

• banko indėlis 100 tūkstančių rublių.
• palūkanų norma 8% per metus
• terminas 4 metai
• yra metinė palūkanų kapitalizacija

Reikia rasti:

Šiuo atveju kasmet kapitalizuojamos palūkanos už indėlį. Kai kurie bankai taip pat teikia mėnesinę palūkanų kapitalizavimo paslaugą. Daugiau apie tai – žemiau esančiame numeryje.

2 užduotis

Duota:

• banko indėlis 100 tūkstančių rublių.
• palūkanų norma 8% per metus
• laikotarpis 4 metai
• mėnesinė kapitalizacija

Reikia rasti:

• galutinė gauta suma (pajamos + %)

Formulėje turite taikyti mėnesio procentą, tam mes padalijame 8 iš 12 mėnesių. Pasirodo, 0,67% – tai procentas per mėnesį. Ir atkreipkite dėmesį, kad eksponentas dabar yra 48, tai yra mėnesių skaičius per 4 metus. Pakeiskite jį į formulę:

išvadas

At kas mėnesį kapitalizacijos, gautos investuotojo pajamos pasirodė 1736 rubliais didesnės.

Kad sudėtinės palūkanos veiktų, jums nereikia atsiimti sukauptų palūkanų, leiskite jas kapitalizuoti sąskaitoje. Tuomet iš užstato gausite daugiau naudos.

Sudėtinių palūkanų formulė tikro banko indėlio pavyzdžiu

Aukščiau apžvelgėme supaprastintus sudėtinių palūkanų veikimo pavyzdžius. Tiesą sakant, bankai naudoja šiek tiek sudėtingesnę formulę.

Palūkanų norma pateikiama kaip

g- norma procentais per metus, padalinta iš 100. Jei 8% per metus, tai gauname g=0,08
d- dienų, po kurių palūkanos kapitalizuojamos su bazine suma, skaičius
y- dienų skaičius per metus

Formulė yra universali ir leidžia atlikti įvairių tipų indėlių skaičiavimus. Taigi mūsų pagrindinė formulė tapo šiek tiek sudėtingesnė:

Matematinė „geometrinės progresijos“ sąvoka padeda banko indėliui su kapitalizacija dirbti daug efektyviau nei be kapitalizacijos. Žmogaus smegenys ne visada įsivaizduoja skirtumą arba iš pradžių jam atrodo, kad jis nėra reikšmingas. Tiesą sakant, per ilgą laiką sudėtinės palūkanos pradeda vaidinti didžiulį vaidmenį kuriant kapitalą.

Sudėtinių palūkanų skaičiavimo per ilgą laikotarpį pavyzdys

Paimkime 2 pavyzdžius vienu metu su paprastomis ir sudėtinėmis palūkanomis, kad skirtumas būtų aiškus. Abiem variantais pradinė bazinė suma bus 10 tūkstančių rublių. 20 metų po 10% per metus. Stulpeliuose „Sudėtinės palūkanos“ palūkanų suma kiekvienais metais bus pridedama prie bazinės sumos.

Kaip matome, ilgalaikėje perspektyvoje palūkanų kapitalizacija atrodo labai įspūdinga priemonė! Ir kuo ilgesnis investavimo laikotarpis, tuo ryškesnis skirtumas. Tačiau pažvelkime į dar įspūdingesnį pavyzdį.

Kaip sudėtinės palūkanos padės kaupti kapitalą?

Įspūdingiausias sudėtinių palūkanų darbe pavyzdys bus žemiau.

Įsivaizduokite, kad jūsų turima bazinė suma yra gana apgailėtina - 1000 rublių. Bet kiekvieną mėnesį iš atlyginimo galite atidėti 1000 rublių.

Dabar įvertinkime galimybes, kokios palūkanos suteikia turimas lėšų taupymo ir investavimo priemones per metus:

• 5% – vyriausybės obligacijos, vadinamosios federalinės paskolos obligacijos. Tai supaprastinta, iš tikrųjų suma gali būti didesnė.
• 10% – dosniausias banko indėlis
• 15% - mišrus investicinis akcijų ir obligacijų portfelis
• 20% – toks procentas per metus gali duoti biržos akcijų portfelį.

Nebeteikime formulių, nes mes jau viską išsamiai papasakojome. Dabar paimkime tik galutines figūras, kurios pribloškia nepasiruošusio žmogaus vaizduotę.

Kaip matome, rezultatai įspūdingi, sumos auga kaip sniego gniūžtė. Viską gali pasitikrinti su skaičiuokle arba excel, čia nėra apgaulės. Milijonieriumi tikrai galite tapti sutaupę vos 1000 USD per mėnesį.

O kas, jei galėtumėte sutaupyti 10 000 USD? Dabar visur lentelėje nubrėžkite nulį ir dar kartą nustebkite rezultatais.

Galite ginčytis, kad tikrai įdomios sumos atsiranda tik 20% per metus. Jūs nežinote, kaip investuoti į akcijas. Tiesą sakant, tai nėra taip sunku, yra labai paprastos investavimo į akcijas strategijos. Jums nereikia kiekvieną dieną ar savaitę galvoti apie tai, kaip pasirinkti akcijas ir parduoti ar pirkti. Tai beveik kaip banko indėlis. Jūs tiesiog sutaupote pinigų kiekvieną mėnesį pirkdami tas pačias akcijas ar fondo vienetus. Tai yra strategijos esmė.

Kodėl saugu investuoti į akcijas? Kodėl akcijos privalo augti 20% per metus? Išsamią informaciją apie strategiją ir atsakymus į šiuos klausimus gausite mūsų internetiniame seminare apie, tiksliau, šio webinaro įrašą.

Pagalbinės formulės

Štai dar kelios pagalbinės formulės, kurios gali praversti rengiant asmeninį finansinį planą. Jie išreikšti iš tų, kurie jau buvo parašyti aukščiau. Panagrinėkime viską pagal užduočių pavyzdžius.

1 užduotis

Duota:

• jūs turite 60 tūkstančių rublių
• norite juos padauginti iki 250 tūkstančių rublių
• turite 15 metų kadenciją

Rasti:

• už kokias palūkanas reikia investuoti pinigus?

Skaičiavimas:

Atsakymas – 10,03 proc

2 užduotis

Duota:

• jūs turite 50 tūkstančių rublių
• norite juos padauginti iki 1 milijono rublių
• esate tikri, kad galite juos investuoti 40% per metus

Rasti:

• kiek laiko tai užtruks per metus?

Skaičiavimas:

Atsakymas: 8,9 metų.

Išvada

Aprašyta paprastųjų ir sudėtinių palūkanų formavimo kapitalui formulė aktyviai naudojama visame pasaulyje, nesvarbu, ar tai būtų įprastas kaupimas, ar investicija. Profesionalūs finansų patarėjai ir turtingiausi pasaulio žmonės teigiamai reaguoja ir rekomenduoja pasinaudoti sudėtinėmis palūkanomis, kad pagerintų savo finansinę padėtį.

Kaip matėme, nebūtina turėti didelės sumos pačioje pradžioje, svarbiausia yra reguliariai taupyti pinigus ir mėgautis geromis palūkanomis.

Be aukščiau pateikto straipsnio, norėčiau pridėti dar keletą naudingų formulių, skirtų skirtingų tipų interesams apskaičiuoti.
Pradėsiu nuo paprasto, bet ne mažiau naudingo:

vienas). Dalies procentais apskaičiavimo formulė.
Pateikiami du skaičiai: X1 ir X2. Būtina nustatyti, kiek procentų yra skaičius X1 iš X2.
Y \u003d X1 / X2 * 100.

2). Skaičiaus procento skaičiavimo formulė.
Pateikiamas skaičius X2. Būtina apskaičiuoti skaičių X1, kuris yra duotas Y procentas nuo X2.

X1 = X2 * Y / 100.

3). Skaičiaus padidinimo tam tikru procentu (suma su PVM) formulė.
Pateikiamas skaičius X1. Būtina apskaičiuoti skaičių X2, kuris yra didesnis už skaičių X1 tam tikru procentu Y. Naudodami skaičiaus procentinės dalies apskaičiavimo formulę gauname:

X2 = X1 * (1 + Y / 100).

keturi). Pradinės sumos apskaičiavimo formulė (suma be PVM).
Duotas skaičius X1, lygus kažkokiam pradiniam skaičiui X2 su pridėtu procentu Y. Reikia apskaičiuoti skaičių X2. Kitaip tariant: mes žinome pinigų sumą su PVM, reikia skaičiuoti sumą be PVM. Pažymėkite y = Y / 100, tada:

X1 = X2 + y * X2.
arba

X1 = X2 * (1 + y).
tada

X2 = X1 / (1+y).
5). Skaičiaus sumažinimo tam tikru procentu formulė.
Pateikiamas skaičius X1. Būtina apskaičiuoti skaičių X2, kuris yra mažesnis už skaičių X1 tam tikru procentu Y. Naudodami skaičiaus procento apskaičiavimo formulę gauname:

X2 = X1 - X1 * Y / 100.
arba

X2 = X1 * (1 – Y / 100).

6). Banko indėlio palūkanų skaičiavimas. Paprastųjų palūkanų apskaičiavimo formulė.
Jei palūkanos už indėlį yra priskaičiuojamos vieną kartą pasibaigus indėlio terminui, tada palūkanų suma apskaičiuojama naudojant paprastą palūkanų formulę.

Y = S + (S*Z*d/D)/100
Yp = (S*Z*d/D)/100
Kur:
Y - banko indėlio suma su palūkanomis,
Yp - palūkanų (pajamų) suma,
S - pradinė suma (kapitalas),
Z – metinė palūkanų norma,
d - palūkanų už pritrauktą indėlį kaupimo dienų skaičius,
D yra kalendorinių metų dienų skaičius (365 arba 366).

7). Palūkanų už banko indėlį apskaičiavimas skaičiuojant palūkanas už palūkanas. Sudėtinių palūkanų skaičiavimo formulė.
Jei palūkanos už indėlį yra kaupiamos kelis kartus reguliariais intervalais ir įskaitomos į indėlį, tai indėlio suma su palūkanomis apskaičiuojama naudojant sudėtinių palūkanų formulę.

X = S* (1 + P*d/D/100)N

Kur:


Y – metinė palūkanų norma,

Skaičiuojant sudėtines palūkanas, lengviau apskaičiuoti visą sumą su palūkanomis, o tada apskaičiuoti palūkanų sumą (pajamas):

Sp = X – S = S * (1 + Y*d/D/100)N – S
arba

Sp = S* ((1 + Y*d/D/100)N – 1)

aštuoni). Kita sudėtinių palūkanų formulė.
Jei palūkanų norma nurodoma ne metiniu pagrindu, o tiesiogiai kaupimo laikotarpiui, sudėtinių palūkanų formulė atrodo taip.

X = S * (1 + Y/100)N

Kur:
X - indėlio suma su palūkanomis,
S - indėlio suma (kapitalas),
Y – palūkanų norma,
N yra palūkanų laikotarpių skaičius.

sudėtinės palūkanosĮprasta vadinti efektą, atsirandantį, kai kaupiasi pelnas ir palūkanos, dėl to palūkanų mokėjimai didėja eksponentiškai. Dauguma šiuolaikinių bankų priima klientus būtent už sudėtines palūkanas, o tai neabejotinai naudinga indėlininkui. Net pats Einšteinas įvertino sudėtinių palūkanų atradimo svarbą ir pavadino ją pagrindine „varomąja jėga pasaulyje“.

Norėdami geriau suprasti, kas yra sudėtinės palūkanos, turite eiti į pavyzdžius su skaičiavimais.

Kaip apskaičiuojamos sudėtinės palūkanos?

Skaičiavimui naudojama paprasta formulė:

Formulėje SUM reiškia galutinę atsiskaitymo su klientu sumą, X – investicijos sumą, n – atsiskaitymo laikotarpių skaičių. Grafike galite pamatyti, ką reiškia eksponentinis sumos padidėjimas:

Banko indėlių formulė yra šiek tiek sudėtingesnė, nes įvedamas naujas lygties elementas -:

Taigi, turime žinoti didžiųjų raidžių rašymo dažnumą. Kapitalizacija reiškia sumos, nuo kurios skaičiuojamos palūkanos, perskaičiavimą – už paskutinį laikotarpį sukaupta suma pridedama prie bazinės sumos. Jei perskaičiavimas vyksta kas mėnesį, didžiųjų raidžių rašymo dažnis (mūsų formulėje D) yra 30 dienų, jei kas ketvirtį - 90 dienų.

Likę nepažįstami rodikliai banko sudėtinių palūkanų skaičiavimo formulėje yra Y - dienų skaičius per metus (365 arba 366) ir P - palūkanų norma. Iškviečiamas visas reikšmių blokas po vieneto, esančio po skliauste palūkanų normos santykis.

Apsvarstykite pavyzdį:

Pilietis I investuoja 100 000 rublių po 15% per metus su mėnesine kapitalizacija. Kiek jis galės uždirbti per 8 metus?

A) su paprastomis palūkanomis?

B) su sudėtinėmis palūkanomis?

Taigi, pirmiausia apskaičiuojame paprastą procentą. 15% nuo 100 000 rublių yra 15 000 rublių. Jei 15 tūkstančių rublių padauginama iš 8, tada jūs gaunate pelną iš 120 tūkstančių rublių užstato. Taigi, po 8 metų pilietis I galės atsiimti 220 tūkstančių rublių.

Norėdami apskaičiuoti sudėtines palūkanas, pakeičiame duomenis formulėje:

Skaičiavimų rezultatas turėtų būti nemalonus siurprizas - pelnas bus tas pats 120 tūkstančių rublių. Tada pabandykime apskaičiuoti sumą metinei kapitalizacijai, o ne mėnesinei:

Gausime rezultatą, kuris mus tenkins kur kas labiau – 306 tūkst. pelno. Darome išvadą: kuo rečiau bus kapitalizacija, tuo didesnis bus pelnas. Palūkanos kasmet skaičiuojamos taip:

	Paprasta (pelnas + suma)	Kompleksas (pelnas + suma)

Matyti, kad pagal sudėtines palūkanas jie auga kaip sniego gniūžtė. Kuo ilgiau indėlininkas jų neatsiims, tuo didesnis jo pelnas kas mėnesį.

Kitos naudingos formulės

Kitos formulės gali būti naudingos skaičiuojant indėlius:

1. Palūkanų norma. Formulė parodo, kiek procentų jums reikia įnešti lėšų, kad gautumėte norimą rezultatą.

Mes žinome visus rodiklius, todėl pabandykime iš karto išspręsti pavyzdį:

Kiek procentų reikia skirti 10 000 rublių, kad per 15 metų gautumėte 80 000 rublių?

Akivaizdu, kad jums reikia įdėti pinigų 15% per metus.

1. Laikotarpių skaičius. Formulė parodo, kiek palūkanų laikotarpių reikia įnešti lėšų, kad būtų pasiektas norimas rezultatas:

Vėlgi, bandome išspręsti pavyzdį:

Kiek laiko užtrunka 150 000 tūkstančių rublių įnešti pinigus 20% per metus, kad gautumėte 1 milijoną rublių?

Finansavimas reikalingas 10 metų.