Prisiminkime laipsninių funkcijų su neigiamu sveikojo skaičiaus rodikliu savybes ir grafikus.
Netgi n:
Funkcijos pavyzdys:
Visi tokių funkcijų grafikai eina per du fiksuotus taškus: (1;1), (-1;1). Šio tipo funkcijų ypatumas yra jų paritetas; grafikai yra simetriški operacinės stiprintuvo ašies atžvilgiu.
Ryžiai. 1. Funkcijos grafikas
Nelyginiam n:
Funkcijos pavyzdys:
Visi tokių funkcijų grafikai eina per du fiksuotus taškus: (1;1), (-1;-1). Šio tipo funkcijų ypatumas yra tas, kad jos yra nelyginės, o grafikai yra simetriški kilmės atžvilgiu.
Ryžiai. 2. Funkcijos grafikas
Prisiminkime pagrindinį apibrėžimą.
Neneigiamo skaičiaus a laipsnis su racionaliu teigiamu rodikliu vadinamas skaičiumi.
Teigiamojo skaičiaus a laipsnis su racionaliu neigiamu rodikliu vadinamas skaičiumi.
Dėl lygybės:
Pavyzdžiui: 
; - išraiška pagal apibrėžimą neegzistuoja laipsnio su neigiamu racionaliuoju rodikliu; egzistuoja, nes eksponentas yra sveikasis skaičius, 
Pereikime prie galios funkcijų svarstymo su racionaliu neigiamu eksponentu.
Pavyzdžiui:
Norėdami nubraižyti šios funkcijos grafiką, galite sukurti lentelę. Darysime kitaip: pirmiausia sukursime ir išnagrinėsime vardiklio grafiką – jis mums žinomas (3 pav.).
Ryžiai. 3. Funkcijos grafikas
Vardiklio funkcijos grafikas eina per fiksuotą tašką (1;1). Braižant pradinės funkcijos grafiką, šis taškas išlieka, o šaknis taip pat linkusi į nulį, funkcija – į begalybę. Ir atvirkščiai, kadangi x linksta į begalybę, funkcija linkusi į nulį (4 pav.).
Ryžiai. 4. Funkcijų grafikas
Panagrinėkime kitą funkciją iš tiriamų funkcijų šeimos.
Svarbu, kad pagal apibrėžimą
Panagrinėkime funkcijos grafiką vardiklyje: , šios funkcijos grafikas mums žinomas, jis didėja savo apibrėžimo srityje ir eina per tašką (1;1) (5 pav.).
Ryžiai. 5. Funkcijos grafikas
Nubraižant pradinės funkcijos grafiką, lieka taškas (1;1), o šaknis taip pat linkusi į nulį, funkcija – į begalybę. Ir atvirkščiai, kadangi x linksta į begalybę, funkcija linkusi į nulį (6 pav.).
Ryžiai. 6. Funkcijos grafikas
Nagrinėjami pavyzdžiai padeda suprasti kaip teka grafikas ir kokios yra tiriamos funkcijos - funkcijos su neigiamu racionaliuoju rodikliu savybės.
Šios šeimos funkcijų grafikai eina per tašką (1;1), funkcija mažėja visoje apibrėžimo srityje.
Funkcijos apimtis: 
Funkcija nėra ribojama iš viršaus, bet ribojama iš apačios. Funkcija neturi nei didžiausios, nei mažiausios vertės.
Funkcija yra nuolatinė ir paima visas teigiamas reikšmes nuo nulio iki plius begalybės.
Funkcija yra išgaubta žemyn (15.7 pav.)
Taškai A ir B paimti į kreivę, per juos nubrėžta atkarpa, visa kreivė yra žemiau atkarpos, ši sąlyga tenkinama savavališkiems dviem kreivės taškams, todėl funkcija yra išgaubta žemyn. Ryžiai. 7.
Ryžiai. 7. Funkcijos išgaubtumas
Svarbu suprasti, kad šios šeimos funkcijos iš apačios ribojamos nuliu, tačiau neturi pačios mažiausios vertės.
1 pavyzdys – suraskite funkcijos maksimumą ir minimumą intervale ir padidinkite tiesX
ir mažėja tiesX
Archsin funkcijos savybės
Atsižvelgiant į funkciją Visoje jos dalyje apibrėžimo sritis ji būna fragmentiškai monotoniškas, taigi ir atvirkštinė atitiktis Galios funkcijos y = x p apibrėžimo srityje galioja šios formulės: Jei laipsnio funkcijos y = x p eksponentas yra lygus nuliui, p = 0, tada laipsnio funkcija apibrėžiama visiems x ≠ 0 ir yra konstanta, lygi vienetui: Apsvarstykite laipsnio funkciją y = x p = x n, kurios natūralusis nelyginis rodiklis n = 1, 3, 5, ... . Šis rodiklis gali būti parašytas ir tokia forma: n = 2k + 1, kur k = 0, 1, 2, 3, ... yra neneigiamas sveikasis skaičius. Žemiau pateikiamos tokių funkcijų savybės ir grafikai. Galios funkcijos y = x n grafikas su natūraliu nelyginiu eksponentu įvairioms eksponento n = 1, 3, 5, ... reikšmėms. Domenas: -∞ < x < ∞
Apsvarstykite laipsnio funkciją y = x p = x n, kurios natūralusis lyginis rodiklis n = 2, 4, 6, ... . Šis rodiklis gali būti parašytas ir tokia forma: n = 2k, kur k = 1, 2, 3, ... - natūralus. Tokių funkcijų savybės ir grafikai pateikiami toliau. Galios funkcijos y = x n grafikas su natūraliu lyginiu eksponentu įvairioms eksponento n = 2, 4, 6, ... reikšmėms. Domenas: -∞ < x < ∞
Apsvarstykite laipsnio funkciją y = x p = x n, kurios sveikasis skaičius neigiamas rodiklis n = -1, -2, -3, ... . Jei įdėsime n = -k, kur k = 1, 2, 3, ... yra natūralusis skaičius, tada jį galima pavaizduoti taip: Laipsninės funkcijos y = x n grafikas su neigiamu sveikuoju rodikliu įvairioms eksponento n = -1, -2, -3, ... reikšmėms. Žemiau pateiktos funkcijos y = x n su nelyginiu neigiamu rodikliu n = -1, -3, -5, ... savybės. Domenas: x ≠ 0 Žemiau pateikiamos funkcijos y = x n su lyginiu neigiamu rodikliu n = -2, -4, -6, ... savybės. Domenas: x ≠ 0 Apsvarstykite laipsnio funkciją y = x p su racionaliuoju (trupmeniniu) rodikliu, kur n yra sveikas skaičius, m > 1 yra natūralusis skaičius. Be to, n, m neturi bendrų daliklių. Tegul trupmeninio rodiklio vardiklis yra nelyginis: m = 3, 5, 7, ... . Šiuo atveju galios funkcija x p apibrėžiama tiek teigiamoms, tiek neigiamoms argumento x reikšmėms. Panagrinėkime tokių laipsnių funkcijų savybes, kai eksponentas p yra tam tikrose ribose. Tegul racionalusis rodiklis (su nelyginiu vardikliu m = 3, 5, 7, ...) yra mažesnis už nulį: . Galios funkcijų grafikai su racionaliu neigiamu eksponentu įvairioms eksponento reikšmėms, kur m = 3, 5, 7, ... - nelyginis. Pateikiame laipsnio funkcijos y = x p savybes su racionaliu neigiamu eksponentu, kur n = -1, -3, -5, ... yra nelyginis neigiamas sveikasis skaičius, m = 3, 5, 7 ... yra nelyginis natūralusis skaičius. Domenas: x ≠ 0 Laipsninės funkcijos y = x p savybės su racionaliu neigiamu rodikliu, kur n = -2, -4, -6, ... yra lyginis neigiamas sveikasis skaičius, m = 3, 5, 7 ... yra nelyginis natūralusis skaičius . Domenas: x ≠ 0 Galios funkcijos grafikas su racionaliuoju eksponentu (0< p < 1
) при различных значениях показателя степени ,
где m = 3, 5, 7, ...
- нечетное. < p < 1
,
где n = 1, 3, 5, ...
- нечетное натуральное, m = 3, 5, 7 ...
- нечетное натуральное. Domenas: -∞ < x < +∞
Pateikiamos laipsnio funkcijos y = x p savybės, kurių racionalusis rodiklis yra 0 ribose< p < 1
,
где n = 2, 4, 6, ...
- четное натуральное, m = 3, 5, 7 ...
- нечетное натуральное. Domenas: -∞ < x < +∞
Galios funkcijos grafikas su racionaliuoju rodikliu (p > 1) įvairioms eksponento reikšmėms, kur m = 3, 5, 7, ... - nelyginis. Laipsninės funkcijos y = x p, kurios racionalusis rodiklis didesnis už vienetą, savybės: . Kur n = 5, 7, 9, ... - nelyginis natūralusis, m = 3, 5, 7 ... - nelyginis natūralus. Domenas: -∞ < x < ∞
Laipsninės funkcijos y = x p, kurios racionalusis rodiklis didesnis už vienetą, savybės: . Kur n = 4, 6, 8, ... - lyginis natūralus, m = 3, 5, 7 ... - nelyginis natūralus. Domenas: -∞ < x < ∞
Tegul trupmeninio rodiklio vardiklis yra lyginis: m = 2, 4, 6, ... . Šiuo atveju galios funkcija x p nėra apibrėžta neigiamoms argumento reikšmėms. Jo savybės sutampa su laipsnio funkcijos su neracionaliuoju rodikliu savybėmis (žr. kitą skyrių). Apsvarstykite laipsnio funkciją y = x p su neracionaliuoju rodikliu p. Tokių funkcijų savybės skiriasi nuo aukščiau aptartų tuo, kad jos nėra apibrėžtos neigiamoms argumento x reikšmėms. Teigiamoms argumento reikšmėms savybės priklauso tik nuo eksponento p reikšmės ir nepriklauso nuo to, ar p yra sveikasis skaičius, racionalus ar neracionalus. Domenas: x > 0 Domenas: x ≥ 0 Domenas: x ≥ 0 Nuorodos: [Redaguoti]Gauti arcsin funkciją
nėra funkcija. Todėl mes apsvarstysime segmentą, kuriame jis griežtai didėja ir įgyja visas vertes verčių diapazonas- . Kadangi funkcijai intervale kiekviena argumento reikšmė atitinka vieną funkcijos reikšmę, tai šiame intervale yra atvirkštinė funkcija 
kurio grafikas yra simetriškas atkarpos funkcijos grafikui tiesės atžvilgiu
;
;
;
;
;
;
;
;
.
Galios funkcijų savybės ir jų grafikai
Galios funkcija, kai rodiklis lygus nuliui, p = 0
y = x p = x 0 = 1, x ≠ 0.Galios funkcija su natūraliu nelyginiu rodikliu, p = n = 1, 3, 5, ...
Kelios reikšmės: -∞ < y < ∞
Paritetas: nelyginis, y(-x) = - y(x)
Monotoniškas: monotoniškai didėja
Kraštutinumai: Nr
Išgaubtas:
ties -∞< x < 0
выпукла вверх
0 val< x < ∞
выпукла вниз
Posūkio taškai: x = 0, y = 0
x = 0, y = 0
Ribos:
;
Privačios vertybės:
kai x = -1,
y(-1) = (-1) n ≡ (-1) 2k+1 = -1
kai x = 0, y(0) = 0 n = 0
jei x = 1, y(1) = 1 n = 1
Atvirkštinė funkcija:
jei n = 1, funkcija yra atvirkštinė: x = y
jei n ≠ 1, atvirkštinė funkcija yra n laipsnio šaknis:Laipsnio funkcija su natūraliu lyginiu rodikliu, p = n = 2, 4, 6, ...
Kelios reikšmės: 0 ≤ m< ∞
Paritetas: lygus, y(-x) = y(x)
Monotoniškas:
jei x ≤ 0 monotoniškai mažėja
jei x ≥ 0 monotoniškai didėja
Kraštutinumai: minimumas, x = 0, y = 0
Išgaubtas: išgaubtas žemyn
Posūkio taškai: Nr
Sankirtos taškai su koordinačių ašimis: x = 0, y = 0
Ribos:
;
Privačios vertybės:
kai x = -1, y(-1) = (-1) n ≡ (-1) 2k = 1
kai x = 0, y(0) = 0 n = 0
jei x = 1, y(1) = 1 n = 1
Atvirkštinė funkcija:
jei n = 2, kvadratinė šaknis:
jei n ≠ 2, n laipsnio šaknis:Galios funkcija su neigiamu sveikojo skaičiaus rodikliu, p = n = -1, -2, -3, ...
Nelyginis rodiklis, n = -1, -3, -5, ...
Kelios reikšmės: y ≠ 0
Paritetas: nelyginis, y(-x) = - y(x)
Monotoniškas: monotoniškai mažėja
Kraštutinumai: Nr
Išgaubtas:
ties x< 0
:
выпукла вверх
jei x > 0: išgaubta žemyn
Posūkio taškai: Nr
Sankirtos taškai su koordinačių ašimis: Nr
Ženklas:
ties x< 0, y < 0
jei x > 0, y > 0
Ribos:
; ; ;
Privačios vertybės:
jei x = 1, y(1) = 1 n = 1
Atvirkštinė funkcija:
kai n = -1,
ties n< -2
,
Lyginis eksponentas, n = -2, -4, -6, ...
Kelios reikšmės: y > 0
Paritetas: lygus, y(-x) = y(x)
Monotoniškas:
ties x< 0
:
монотонно возрастает
jei x > 0: monotoniškai mažėja
Kraštutinumai: Nr
Išgaubtas: išgaubtas žemyn
Posūkio taškai: Nr
Sankirtos taškai su koordinačių ašimis: Nr
Ženklas: y > 0
Ribos:
; ; ;
Privačios vertybės:
jei x = 1, y(1) = 1 n = 1
Atvirkštinė funkcija:
kai n = -2,
ties n< -2
,
Galios funkcija su racionaliuoju (trupmeniniu) rodikliu
Trupmeninio rodiklio vardiklis yra nelyginis
p reikšmė yra neigiama, p< 0
Nelyginis skaitiklis, n = -1, -3, -5, ...
Kelios reikšmės: y ≠ 0
Paritetas: nelyginis, y(-x) = - y(x)
Monotoniškas: monotoniškai mažėja
Kraštutinumai: Nr
Išgaubtas:
ties x< 0
:
выпукла вверх
jei x > 0: išgaubta žemyn
Posūkio taškai: Nr
Sankirtos taškai su koordinačių ašimis: Nr
Ženklas:
ties x< 0, y < 0
jei x > 0, y > 0
Ribos:
; ; ;
Privačios vertybės:
kai x = -1, y(-1) = (-1) n = -1
jei x = 1, y(1) = 1 n = 1
Atvirkštinė funkcija:Lyginis skaitiklis, n = -2, -4, -6, ...
Kelios reikšmės: y > 0
Paritetas: lygus, y(-x) = y(x)
Monotoniškas:
ties x< 0
:
монотонно возрастает
jei x > 0: monotoniškai mažėja
Kraštutinumai: Nr
Išgaubtas: išgaubtas žemyn
Posūkio taškai: Nr
Sankirtos taškai su koordinačių ašimis: Nr
Ženklas: y > 0
Ribos:
; ; ;
Privačios vertybės:
kai x = -1, y(-1) = (-1) n = 1
jei x = 1, y(1) = 1 n = 1
Atvirkštinė funkcija:P reikšmė yra teigiama, mažesnė už vieną, 0< p < 1
Nelyginis skaitiklis, n = 1, 3, 5, ...
Kelios reikšmės: -∞ < y < +∞
Paritetas: nelyginis, y(-x) = - y(x)
Monotoniškas: monotoniškai didėja
Kraštutinumai: Nr
Išgaubtas:
ties x< 0
:
выпукла вниз
jei x > 0: išgaubta į viršų
Posūkio taškai: x = 0, y = 0
Sankirtos taškai su koordinačių ašimis: x = 0, y = 0
Ženklas:
ties x< 0, y < 0
jei x > 0, y > 0
Ribos:
;
Privačios vertybės:
kai x = -1, y(-1) = -1
kai x = 0, y(0) = 0
jei x = 1, y(1) = 1
Atvirkštinė funkcija:Lyginis skaitiklis, n = 2, 4, 6, ...
Kelios reikšmės: 0 ≤ m< +∞
Paritetas: lygus, y(-x) = y(x)
Monotoniškas:
ties x< 0
:
монотонно убывает
jei x > 0: didėja monotoniškai
Kraštutinumai: minimumas, kai x = 0, y = 0
Išgaubtas: išgaubta aukštyn, kai x ≠ 0
Posūkio taškai: Nr
Sankirtos taškai su koordinačių ašimis: x = 0, y = 0
Ženklas: jei x ≠ 0, y > 0
Ribos:
;
Privačios vertybės:
kai x = -1, y(-1) = 1
kai x = 0, y(0) = 0
jei x = 1, y(1) = 1
Atvirkštinė funkcija:P indeksas yra didesnis nei vienas, p > 1
Nelyginis skaitiklis, n = 5, 7, 9, ...
Kelios reikšmės: -∞ < y < ∞
Paritetas: nelyginis, y(-x) = - y(x)
Monotoniškas: monotoniškai didėja
Kraštutinumai: Nr
Išgaubtas:
ties -∞< x < 0
выпукла вверх
0 val< x < ∞
выпукла вниз
Posūkio taškai: x = 0, y = 0
Sankirtos taškai su koordinačių ašimis: x = 0, y = 0
Ribos:
;
Privačios vertybės:
kai x = -1, y(-1) = -1
kai x = 0, y(0) = 0
jei x = 1, y(1) = 1
Atvirkštinė funkcija: Lyginis skaitiklis, n = 4, 6, 8, ...
Kelios reikšmės: 0 ≤ m< ∞
Paritetas: lygus, y(-x) = y(x)
Monotoniškas:
ties x< 0
монотонно убывает
jei x > 0 monotoniškai didėja
Kraštutinumai: minimumas, kai x = 0, y = 0
Išgaubtas: išgaubtas žemyn
Posūkio taškai: Nr
Sankirtos taškai su koordinačių ašimis: x = 0, y = 0
Ribos:
;
Privačios vertybės:
kai x = -1, y(-1) = 1
kai x = 0, y(0) = 0
jei x = 1, y(1) = 1
Atvirkštinė funkcija: Trupmeninio rodiklio vardiklis lyginis
Galios funkcija su neracionaliu rodikliu
y = x p skirtingoms eksponento p reikšmėms. Galios funkcija su neigiamu rodikliu p< 0
Kelios reikšmės: y > 0
Monotoniškas: monotoniškai mažėja
Išgaubtas: išgaubtas žemyn
Posūkio taškai: Nr
Sankirtos taškai su koordinačių ašimis: Nr
Ribos: ;
Privati reikšmė: Jei x = 1, y(1) = 1 p = 1 Galios funkcija su teigiamu rodikliu p > 0
Rodiklis mažesnis nei vienas 0< p < 1
Kelios reikšmės: y ≥ 0
Monotoniškas: monotoniškai didėja
Išgaubtas: išgaubtas į viršų
Posūkio taškai: Nr
Sankirtos taškai su koordinačių ašimis: x = 0, y = 0
Ribos:
Privačios vertybės: Jei x = 0, y(0) = 0 p = 0 .
Jei x = 1, y(1) = 1 p = 1 Rodiklis yra didesnis nei vienas p > 1
Kelios reikšmės: y ≥ 0
Monotoniškas: monotoniškai didėja
Išgaubtas: išgaubtas žemyn
Posūkio taškai: Nr
Sankirtos taškai su koordinačių ašimis: x = 0, y = 0
Ribos:
Privačios vertybės: Jei x = 0, y(0) = 0 p = 0 .
Jei x = 1, y(1) = 1 p = 1
I.N. Bronšteinas, K.A. Semendyaev, Matematikos vadovas inžinieriams ir kolegijų studentams, „Lan“, 2009 m.
