Raskime ryšį tarp elektrostatinio lauko stiprumo, kuris yra jo maitinimo funkcija, ir potencialas - lauko charakteristika. Perkraustymo darbai viengungis taškinis teigiamas krūvis iš vieno lauko taško į kitą išilgai ašies X su sąlyga, kad taškai yra be galo arti vienas kito ir x 1 – x 2 = dx , lygus E x dx . Tas pats darbas lygus j 1 -j 2 = dj . Sulyginę abu posakius, galime rašyti

kur dalinis išvestinis simbolis pabrėžia, kad diferenciacija daroma tik atsižvelgiant į X. Panašių samprotavimų kartojimas y ir z ašims , galime rasti vektorių E:

čia i, j, k - koordinačių ašių x, y, z vienetiniai vektoriai.

Iš gradiento (12.4) ir (12.6) apibrėžimo. seka tuo

y., lauko stipris E yra lygus potencialo gradientui su minuso ženklu. Minuso ženklas nustatomas pagal tai, kad lauko stiprumo vektorius E nukreiptas į kryptimi žemyn potencialus.

Elektrostatinio lauko potencialo pasiskirstymui grafiškai pavaizduoti, kaip ir gravitacinio lauko atveju (žr. § 25), naudojami ekvipotencialūs paviršiai – paviršiai, kurių visuose taškuose potencialas j turi vienodą reikšmę.

Jei lauką sukuria taškinis krūvis, tada jo potencialas pagal (84.5)

Taigi ekvipotencialūs paviršiai šiuo atveju yra koncentrinės sferos. Kita vertus, įtempimo linijos taškinio krūvio atveju yra radialinės tiesės. Todėl įtempimo linijos taškinio krūvio atveju statmenai ekvipotencialūs paviršiai.

Įtempimo linijos visada normalusį ekvipotencialų paviršių. Iš tiesų, visi ekvipotencialaus paviršiaus taškai turi tą patį potencialą, todėl krūvio judėjimo išilgai šio paviršiaus darbas yra lygus nuliui, t.y. elektrostatinės jėgos, veikiančios krūvį, visada nukreiptos išilgai normaliųjų į ekvipotencialų paviršių. Todėl vektorius E visada yra normalus ekvipotencialiems paviršiams, ir todėl vektoriaus E linijos yra statmenos šiems paviršiams.

Aplink kiekvieną krūvį ir kiekvieną krūvių sistemą yra begalė ekvipotencialių paviršių. Tačiau jie dažniausiai atliekami taip, kad potencialų skirtumai tarp bet kurių dviejų gretimų potencialų lygių paviršių būtų vienodi. Tada ekvipotencialių paviršių tankis aiškiai apibūdina lauko stiprumą skirtinguose taškuose. Ten, kur šie paviršiai tankesni, lauko stiprumas yra didesnis.

Taigi, žinant elektrostatinio lauko stiprumo linijų vietą, galima sukonstruoti ekvipotencialų paviršių ir, atvirkščiai, iš žinomos ekvipotencialių paviršių vietos, galima nustatyti lauko stiprumo modulį ir kryptį kiekviename lauko taške. lauke. Ant pav. Pavyzdžiui, 133 parodytas teigiamo taškinio krūvio (a) ir įkrauto metalinio cilindro, kurio viename gale yra išsikišimas, o kitame įdubimas, laukų įtempimo linijų (punktyrinių linijų) ir ekvipotencialių paviršių (ištisinių linijų) vaizdas. (b).

Kryptis lauko linija(įtempimo linijos) kiekviename taške sutampa su kryptimi. Iš to išplaukia įtempimas yra lygus potencialų skirtumui U lauko linijos ilgio vienetui .

Būtent išilgai jėgos linijos įvyksta didžiausias potencialo pokytis. Todėl matuojant visada galima nustatyti tarp dviejų taškų U tarp jų ir kuo tiksliau, tuo taškai arčiau. Vienodame elektriniame lauke jėgos linijos yra tiesios. Todėl čia lengviausia apibrėžti:

Grafinis lauko linijų ir ekvipotencialių paviršių vaizdas parodytas 3.4 pav.

Judant šiuo paviršiumi d l potencialas nepasikeis.

Iš to išplaukia, kad vektoriaus projekcija iki d l nulis , tai yra Todėl kiekviename taške jis nukreiptas išilgai normalės į ekvipotencialų paviršių.

Galite nubrėžti tiek potencialių lygių paviršių, kiek norite. Pagal ekvipotencialių paviršių tankį galima spręsti apie vertę , tai bus su sąlyga, kad potencialų skirtumas tarp dviejų gretimų ekvipotencialių paviršių yra lygus pastoviai vertei.

Formulė išreiškia ryšį tarp potencialo ir stiprumo ir leidžia naudoti žinomas φ reikšmes, norint rasti lauko stiprumą kiekviename taške. Galima išspręsti ir atvirkštinę problemą, t.y. pagal žinomas vertes kiekviename lauko taške raskite potencialų skirtumą tarp dviejų savavališkų lauko taškų. Norėdami tai padaryti, mes naudojame tai, kad lauko atliktas darbas verčia įkrauti q perkeliant jį iš taško 1 į tašką 2, galima apskaičiuoti taip:

Kita vertus, kūrinį galima pavaizduoti taip:

, tada

Integralas gali būti paimtas išilgai bet kurios linijos, jungiančios tašką 1 ir 2, nes lauko jėgų darbas nepriklauso nuo kelio. Uždarojo ciklo aplinkkeliui gauname:

tie. priėjo prie gerai žinomos teoremos apie intensyvumo vektoriaus cirkuliaciją: elektrostatinio lauko stiprumo vektoriaus cirkuliacija išilgai bet kurios uždaros kilpos yra lygi nuliui.

Šią savybę turintis laukas vadinamas potencialu.

Iš vektoriaus cirkuliacijos išnykimo išplaukia, kad elektrostatinio lauko linijos negali būti uždarytos: jos prasideda teigiamais krūviais (šaltiniais) ir baigiasi neigiamais krūviais (kriaukles) arba eina į begalybę.(3.4 pav.).

Šis ryšys galioja tik elektrostatiniam laukui. Vėliau išsiaiškinsime, kad judančių krūvių laukas nėra potencialus ir šis santykis jai nepatenkintas.

Labiau vizualiai grafiškai pavaizduoti laukus, be įtempimo linijų, naudojami vienodo potencialo arba ekvipotencialūs paviršiai. Kaip rodo pavadinimas, ekvipotencialus paviršius yra tas, kuriame visi taškai turi tą patį potencialą. Jei potencialas pateikiamas kaip x, y, z funkcija, tada ekvipotencialaus paviršiaus lygtis yra:

Lauko stiprumo linijos yra statmenos ekvipotencialiems paviršiams.

Įrodykime šį teiginį.

Tegul linija ir jėgos linija sudaro tam tikrą kampą (1.5 pav.).

Pereikime iš taško 1 į tašką 2 palei bandomąją įkrovimo liniją. Šiuo atveju lauko pajėgos atlieka darbą:

. (1.5)

Tai reiškia, kad bandomojo krūvio perkėlimo išilgai potencialo paviršiaus darbas yra lygus nuliui. Tą patį darbą galima apibrėžti ir kitaip – ​​kaip krūvio sandaugą pagal bandomąjį krūvį veikiančio lauko stiprumo modulį, poslinkio dydį ir kampo tarp vektoriaus ir poslinkio vektoriaus kosinusą, t.y. kampo kosinusas (žr. 1.5 pav.):

.

Darbo vertė nepriklauso nuo jo apskaičiavimo būdo, pagal (1.5) lygi nuliui. Tai reiškia, kad ir, atitinkamai, , kuris turėjo būti įrodytas.

Ekvipotencialų paviršių galima nubrėžti per bet kurį lauko tašką. Todėl tokių paviršių galima sukonstruoti be galo daug. Tačiau sutarėme paviršius atlikti taip, kad dviejų gretimų paviršių potencialų skirtumas visur būtų vienodas. Tada pagal ekvipotencialių paviršių tankį galima spręsti apie lauko stiprumo dydį. Iš tiesų, kuo tankesni yra ekvipotencialūs paviršiai, tuo greičiau keičiasi potencialas judant išilgai normalios į paviršių.

1.6,a paveiksle pavaizduoti taškinio krūvio lauko ekvipotencialūs paviršiai (tiksliau, jų susikirtimas su brėžinio plokštuma). Atsižvelgiant į pokyčio pobūdį, ekvipotencialūs paviršiai tampa tankesni artėjant prie krūvio. 1.6b paveiksle pavaizduoti dipolio lauko ekvipotencialūs paviršiai ir įtempimo linijos. Iš 1.6 pav. matyti, kad tuo pačiu metu naudojant ekvipotencialų paviršių ir įtempimo linijas, lauko vaizdas yra ypač aiškus.

Vienodam laukui ekvipotencialūs paviršiai akivaizdžiai reiškia vienodai išdėstytų plokštumų, statmenų lauko stiprumo krypčiai, sistemą.

1.8. Lauko stiprumo ir potencialo ryšys

(galimas gradientas)

Tegul yra savavališkas elektrostatinis laukas. Šiame lauke nubrėžiame du potencialių lygių paviršius taip, kad jie vienas nuo kito skirtųsi potencialu pagal vertę dφ(1.7 pav.)

Įtempimo vektorius nukreipiamas išilgai normalios į paviršių. Normaliosios krypties kryptis yra tokia pati kaip x ašies kryptis. Ašis x nubrėžtas iš taško 1 kerta paviršių 2 punkte.

Skyrius dx reiškia trumpiausią atstumą tarp taškų 1 ir 2. Darbas, atliktas, kai krūvis juda šia atkarpa:

Kita vertus, tą patį darbą galima parašyti taip:

Sulyginę šias dvi išraiškas, gauname:

kur dalinis išvestinis simbolis pabrėžia, kad diferencijavimas atliekamas tik atsižvelgiant į x. Panašių samprotavimų kartojimas ašims y ir z, galime rasti vektorių:

, (1.7)

kur yra koordinačių ašių vienetiniai vektoriai x, y, z.

Vektorius, apibrėžtas išraiška (1.7), vadinamas skaliariniu gradientu φ . Jam kartu su pavadinimu taip pat naudojamas pavadinimas. ("nabla") reiškia simbolinį vektorių, vadinamą Hamiltono operatoriumi

TEORINIAI DARBO PAGRINDAI.

Tarp elektrinės frakcijos stiprumo ir elektrinio potencialo yra vientisas ir diferencinis ryšys:

j 1 - j 2 = ∫ E dl (1)

E=-grad j (2)

Elektrinį lauką grafiškai galima pavaizduoti dviem būdais, vienas kitą papildant: naudojant potencialų išlyginimo paviršius ir įtempimo linijas (jėgų linijas).

Paviršius, kurio visi taškai turi tą patį potencialą, vadinamas ekvipotencialiu paviršiumi. Jos susikirtimo su brėžinio plokštuma linija vadinama ekvipotencialu. Jėgos linijos – tiesės, liestinės, kurių kiekviename taške sutampa su vektoriaus kryptimi E . 1 paveiksle punktyrinės linijos rodo ekvipotencialus, ištisinės linijos – elektrinio lauko jėgos linijas.

1 pav

Potencialų skirtumas tarp 1 ir 2 taškų yra 0, nes jie yra tame pačiame ekvipotenciale. Šiuo atveju nuo (1):

∫E dl = 0 arba ∫E dlcos ( Edl ) = 0 (3)

Tiek, kiek E ir dl išraiškoje (3) nėra lygūs 0, tada cos ( Edl ) = 0 . Todėl kampas tarp ekvipotencialo ir lauko linijos yra p/2.

Iš diferencialinio ryšio (2) išplaukia, kad jėgos linijos visada nukreiptos mažėjančio potencialo kryptimi.

Elektrinio lauko stiprumo dydį lemia jėgos linijų „storis“. Kuo storesnės jėgos linijos, tuo mažesnis atstumas tarp ekvipotencialų, kad jėgos ir ekvipotencialų linijos sudarytų „kreivinius kvadratus“. Remiantis šiais principais, galima sudaryti jėgos linijų vaizdą, turint potencialų išlyginimo vaizdą ir atvirkščiai.

Pakankamai išsamus lauko ekvipotencialų vaizdas leidžia skirtinguose taškuose apskaičiuoti intensyvumo vektoriaus projekcijos vertę E į pasirinktą kryptį X , apskaičiuojamas per tam tikrą koordinatės intervalą ∆х :

E plg. ∆х = - ∆ j /∆х,

kur ∆х - koordinačių prieaugis pereinant nuo vieno ekvipotencialo prie kito,

∆ j - atitinkamas potencialo padidėjimas,

E plg. ∆х - reiškia E x tarp dviejų potencialų.

MONTAVIMO IR MATAVIMO TECHNIKOS APRAŠYMAS.

Elektriniam laukui modeliuoti patogu naudoti analogiją, kuri egzistuoja tarp įkrautų kūnų sukuriamo elektrinio lauko ir nuolatinės srovės elektrinio lauko, tekančio per vienodo laidumo laidžią plėvelę. Tokiu atveju elektrinio lauko jėgos linijų vieta pasirodo panaši į elektros srovių linijų vietą.

Tas pats teiginys galioja ir potencialams. Lauko potencialų pasiskirstymas laidžioje plėvelėje yra toks pat kaip ir elektriniame lauke vakuume.

Kaip laidži plėvelė, darbe naudojamas vienodo laidumo visomis kryptimis elektrai laidus popierius.

Elektrodai dedami ant popieriaus taip, kad būtų geras kontaktas tarp kiekvieno elektrodo ir laidžio popieriaus.

Įrenginio veikimo schema parodyta 2 pav. Įrenginys susideda iš II modulio, I išorinio elemento, III indikatoriaus, IV maitinimo šaltinio. Modulis skirtas sujungti visus naudojamus įrenginius. Nuotolinis elementas yra dielektrinė plokštė 1, ant kurios dedamas balto popieriaus lapas 2, ant jo dedamas anglinio popieriaus lapas 3, po to laidžiojo popieriaus lapas 4, ant kurio pritvirtinti elektrodai 5. Įtampa yra tiekiamas elektrodams iš II modulio naudojant jungiamuosius laidus. Indikatorius III ir zondas 6 naudojami elektrai laidžio popieriaus paviršiaus taškų potencialams nustatyti.

Kaip zondas naudojamas laidas su kištuku gale. Potencialus j zondas yra lygus elektrai laidžio popieriaus paviršiaus taško, kurį jis liečia, potencialui. Vienodo potencialo lauko taškų rinkinys yra lauko ekvipotencialo vaizdas. Maitinimo blokas IV naudojamas kaip maitinimo blokas TEC - 42, kuris prijungiamas prie modulio naudojant kištukinę jungtį galinėje modulio sienelėje. Kaip indikatorius Ш naudojamas voltmetras V7 - 38.

DARBŲ ATLIKIMO TVARKA.

1. Ant skydelio uždėkite balto popieriaus lapą 1 2. Ant jo uždėkite anglies popierių 3 ir laidaus popieriaus lapą 4 (2 pav.).

2. Elektrodus 5 sumontuokite ant elektrai laidžio popieriaus ir pritvirtinkite veržlėmis.

3. Prijunkite IV maitinimo bloką (TEC-42) prie modulio naudodami kištukinę jungtį, esančią galinėje modulio sienelėje.

4. Dviem laidais prijunkite III indikatorių (V7-38 voltmetras) prie modulio priekinio skydelio "PV" lizdų. Norėdami išmatuoti nuolatinės srovės įtampą, paspauskite atitinkamą voltmetro mygtuką (2 pav.).

5. Naudodami du laidininkus prijunkite elektrodus 5 prie modulio P.

6. Prijunkite zondą (laidą su dviem kištukais) prie lizdo modulio priekiniame skydelyje.

7. Prijunkite stovą prie 220 V tinklo Įjunkite bendrą stovo maitinimą.

Elektrostatinį lauką galima apibūdinti jėgos ir potencialo išlyginimo linijų deriniu.

jėgos linija - tai lauke mintyse nubrėžta linija, prasidedanti nuo teigiamai įkrauto kūno ir baigiant neigiamą krūvį turintį kūną, nubrėžta taip, kad jos liestinė bet kuriame lauko taške nurodytų įtempimo kryptį tame taške.

Jėgos linijos užsidaro ant teigiamų ir neigiamų krūvių ir negali užsidaryti pačios.

Pagal ekvipotencialų paviršių suprasti lauko taškų, turinčių tokį patį potencialą, rinkinį ().

Jei elektrostatinį lauką pjauna sekantinė plokštuma, tada pjūvyje bus matomi plokštumos susikirtimo su ekvipotencialiais paviršiais pėdsakai. Šie pėdsakai vadinami potencialų išlyginimo linijomis.

Ekvipotencialios linijos yra uždarytos savaime.

Jėgos linijos ir potencialo išlyginimo linijos susikerta stačiu kampu.

R
Apsvarstykite ekvipotencialų paviršių:

(kadangi taškai yra ant ekvipotencialaus paviršiaus).

- skaliarinis produktas

Elektrostatinio lauko stiprio linijos prasiskverbia pro ekvipotencialų paviršių 90 0 kampu, tada kampas tarp vektorių
yra 90 laipsnių, o jų taškinė sandauga yra 0.

Ekvipotencialų linijos lygtis

Apsvarstykite jėgos liniją:

H
elektrostatinio lauko stiprumas nukreipiamas tangentiškai lauko linijai (žr. lauko linijos apibrėžimą), kelio elementas taip pat nukreiptas , taigi kampas tarp šių dviejų vektorių lygus nuliui.

arba

Lauko linijos lygtis

Gradiento talpa

Gradiento talpa yra potencialo didėjimo greitis trumpiausia kryptimi tarp dviejų taškų.

Tarp dviejų taškų yra tam tikras potencialų skirtumas. Jei šis skirtumas yra padalintas iš trumpiausio atstumo tarp paimtų taškų, tada gauta vertė apibūdins potencialo kitimo greitį trumpiausio atstumo tarp taškų kryptimi.

Potencialo gradientas rodo didžiausio potencialo didėjimo kryptį, skaitiniu požiūriu yra lygus intensyvumo moduliui ir yra neigiamai nukreiptas jo atžvilgiu.

Apibrėžiant gradientą svarbūs du punktai:

Kryptis, kuria paimami du šalia esantys taškai, turi būti tokia, kad pokyčio greitis būtų didžiausias.

Kryptis tokia, kad skaliarinė funkcija ta kryptimi didėja.

Dekarto koordinačių sistemai:

Potencialų kitimo greitis X, Y, Z ašių kryptimi:

;
;

Du vektoriai yra lygūs tik tada, kai jų projekcijos yra lygios viena kitai. Įtempimo vektoriaus projekcija ašyje X yra lygi potencialo kitimo greičio projekcijai išilgai ašies X paimtas su priešingu ženklu. Panašiai ir kirviams Y ir Z.

;
;
.

Cilindrinėje koordinačių sistemoje potencialaus gradiento išraiška bus tokia.