Eksponentinės lygtys ir nelygybės yra tos lygtys ir nelygybės, kurių eksponente yra nežinomasis.

Eksponentinių lygčių sprendimas dažnai yra lygtis a x \u003d a b, kur a > 0, a ≠ 1, x yra nežinomas. Ši lygtis turi vieną šaknį x \u003d b, nes teisinga ši teorema:

Teorema. Jei a > 0, a ≠ 1 ir a x 1 = a x 2, tai x 1 = x 2.

Pagrįskime apgalvotą teiginį.

Tarkime, kad lygybė x 1 = x 2 netenkinama, t.y. x 1< х 2 или х 1 = х 2 . Пусть, например, х 1 < х 2 . Тогда если а >1, tada eksponentinė funkcija y \u003d a x padidėja ir todėl nelygybė a x 1< а х 2 ; если 0 < а < 1, то функция убывает и должно выполняться неравенство а х 1 >a x 2. Abiem atvejais gavome prieštaravimą sąlygai a x 1 = a x 2 .

Panagrinėkime keletą užduočių.

Išspręskite lygtį 4 ∙ 2 x = 1.

Sprendimas.

Lygtį rašome tokia forma 2 2 ∙ 2 x = 2 0 - 2 x + 2 = 2 0 x = -2.

Atsakymas. x = -2.

Išspręskite lygtį 2 3x ∙ 3 x = 576.

Sprendimas.

Kadangi 2 3x \u003d (2 3) x \u003d 8 x, 576 \u003d 24 2, lygtis gali būti parašyta 8 x ∙ 3 x \u003d 24 2 arba 24 x \u003d 2 forma.

Iš čia gauname x = 2.

Atsakymas. x = 2.

Išspręskite lygtį 3 x + 1 - 2∙3 x - 2 = 25.

Sprendimas.

Kairėje pusėje suskaidę bendrą koeficientą 3 x - 2, gauname 3 x - 2 ∙ (3 3 - 2) \u003d 25 - 3 x - 2 ∙ 25 \u003d 25,

iš kur 3 x - 2 = 1, t.y. x - 2 = 0, x = 2.

Atsakymas. x = 2.

Išspręskite lygtį 3 x = 7 x.

Sprendimas.

Kadangi 7 x ≠ 0, lygtį galima parašyti kaip 3 x / 7 x = 1, taigi (3/7) x = 1, x = 0.

Atsakymas. x = 0.

Išspręskite lygtį 9 x - 4 ∙ 3 x - 45 = 0.

Sprendimas.

Pakeitus 3 x \u003d a, ši lygtis sumažinama iki kvadratinės lygties a 2 - 4a - 45 \u003d 0.

Išspręsdami šią lygtį, randame jos šaknis: a 1 \u003d 9 ir 2 \u003d -5, iš kur 3 x \u003d 9, 3 x \u003d -5.

Lygtis 3 x \u003d 9 turi šaknį 2, o lygtis 3 x \u003d -5 neturi šaknų, nes eksponentinė funkcija negali priimti neigiamų verčių.

Atsakymas. x = 2.

Sprendžiant eksponentines nelygybes dažnai reikia išspręsti nelygybes a x > a b arba a x< а b . Эти неравенства решаются с помощью свойства возрастания или убывания показательной функции.

Panagrinėkime kai kurias užduotis.

Išspręskite 3 x nelygybę< 81.

Sprendimas.

Nelygybę rašome forma 3 x< 3 4 . Так как 3 >1, tada funkcija y \u003d 3 x didėja.

Todėl už x< 4 выполняется неравенство 3 х < 3 4 , а при х ≥ 4 выполняется неравенство 3 х ≥ 3 4 .

Taigi, už x< 4 неравенство 3 х < 3 4 является верным, а при х ≥ 4 – неверным, т.е. неравенство
3 x< 81 выполняется тогда и только тогда, когда х < 4.

Atsakymas. X< 4.

Išspręskite nelygybę 16 x +4 x - 2 > 0.

Sprendimas.

Pažymime 4 x = t, tada gauname kvadratinę nelygybę t2 + t - 2 > 0.

Ši nelygybė galioja t< -2 и при t > 1.

Kadangi t = 4 x, gauname dvi nelygybes 4 x< -2, 4 х > 1.

Pirmoji nelygybė neturi sprendimo, nes 4 x > 0 visiems x ∈ R.

Antrąją nelygybę įrašome forma 4 x > 4 0 , iš kur x > 0.

Atsakymas. x > 0.

Grafiškai išspręskite lygtį (1/3) x = x - 2/3.

Sprendimas.

1) Nubraižykime funkcijų y \u003d (1/3) x ir y \u003d x - 2/3 grafikus.

2) Remdamiesi savo paveikslu, galime daryti išvadą, kad nagrinėjamų funkcijų grafikai susikerta taške, kurio abscisė x ≈ 1. Patikrinimas įrodo, kad

x \u003d 1 - šios lygties šaknis:

(1/3) 1 = 1/3 ir 1 - 2/3 = 1/3.

Kitaip tariant, mes radome vieną iš lygties šaknų.

3) Raskite kitas šaknis arba įrodykite, kad jų nėra. Funkcija (1/3) x mažėja, o funkcija y \u003d x - 2/3 didėja. Todėl, kai x > 1, pirmosios funkcijos reikšmės yra mažesnės nei 1/3, o antrosios yra didesnės nei 1/3; ties x< 1, наоборот, значения первой функции больше 1/3, а второй – меньше 1/3. Геометрически это означает, что графики этих функций при х >1 ir x< 1 «расходятся» и потому не могут иметь точек пересечения при х ≠ 1.

Atsakymas. x = 1.

Atkreipkite dėmesį, kad iš šios problemos sprendimo išplaukia, kad nelygybė (1/3) x > x – 2/3 tenkinama x< 1, а неравенство (1/3) х < х – 2/3 – при х > 1.

svetainę, visiškai ar iš dalies nukopijavus medžiagą, būtina nuoroda į šaltinį.

Nuo seniausių laikų sprendžiant praktines problemas reikėjo lyginti reikšmes ir kiekius. Kartu atsirado ir tokie vienarūšių dydžių palyginimo rezultatus reiškiantys žodžiai kaip daugiau ir mažiau, aukščiau ir žemiau, lengvesnis ir sunkesnis, tyliau ir garsiau, pigiau ir brangiau ir kt.

Sąvokos „daugiau ir mažiau“ atsirado siejant su objektų skaičiavimu, dydžių matavimu ir palyginimu. Pavyzdžiui, senovės Graikijos matematikai žinojo, kad bet kurio trikampio kraštinė yra mažesnė už kitų dviejų kraštinių sumą ir kad didesnė trikampio kraštinė yra priešais didesnį kampą. Archimedas, skaičiuodamas apskritimo perimetrą, nustatė, kad bet kurio apskritimo perimetras yra lygus tris kartus skersmeniui, o perteklius yra mažesnis nei septintoji skersmens, bet daugiau nei dešimt septyniasdešimt pirmųjų skersmens.

Simboliškai parašykite ryšius tarp skaičių ir dydžių naudodami > ir b ženklus. Įrašai, kuriuose du skaičiai yra sujungti vienu iš ženklų: > (didesnis nei), Jūs taip pat susidūrėte su skaitinėmis nelygybėmis pradinėse klasėse. Jūs žinote, kad nelygybė gali būti tiesa arba ne. Pavyzdžiui, \(\frac(1)(2) > \frac(1)(3) \) yra tinkama skaitinė nelygybė, 0,23 > 0,235 yra neteisinga skaitinė nelygybė.

Nelygybės, apimančios nežinomus dalykus, gali būti teisingos kai kurioms nežinomųjų vertybėms ir klaidingos kitoms. Pavyzdžiui, nelygybė 2x+1>5 yra teisinga, kai x = 3, bet klaidinga, kai x = -3. Nelygybei su vienu nežinomuoju galite nustatyti užduotį: išspręskite nelygybę. Nelygybių sprendimo problemos praktikoje keliamos ir sprendžiamos ne rečiau nei lygčių sprendimo problemos. Pavyzdžiui, daugelis ekonominių problemų redukuojamos iki tiesinių nelygybių sistemų tyrimo ir sprendimo. Daugelyje matematikos šakų nelygybės yra labiau paplitusios nei lygtys.

Kai kurios nelygybės yra vienintelė pagalbinė priemonė įrodyti arba paneigti tam tikro objekto egzistavimą, pavyzdžiui, lygties šaknį.

Skaitmeninės nelygybės

Galite palyginti sveikuosius ir dešimtainius skaičius. Žinoti paprastųjų trupmenų su tais pačiais vardikliais, bet skirtingais skaitikliais lyginimo taisykles; su tais pačiais skaitikliais, bet skirtingais vardikliais. Čia sužinosite, kaip palyginti bet kuriuos du skaičius, surasdami jų skirtumo ženklą.

Praktikoje plačiai naudojamas skaičių palyginimas. Pavyzdžiui, ekonomistas planinius rodiklius lygina su faktiniais, gydytojas – paciento temperatūrą su normalia, tekintotojas – apdirbtos detalės matmenis su standartu. Visais tokiais atvejais lyginami kai kurie skaičiai. Dėl skaičių palyginimo susidaro skaitinės nelygybės.

Apibrėžimas. Skaičius a yra didesnis už skaičių b, jei skirtumas a-b yra teigiamas. Skaičius a yra mažesnis už skaičių b, jei skirtumas a-b yra neigiamas.

Jei a yra didesnis už b, tada jie rašo: a > b; jei a yra mažesnis už b, tai jie rašo: a Taigi nelygybė a > b reiškia, kad skirtumas a - b yra teigiamas, t.y. a - b > 0. Nelygybė a Bet kuriems dviem skaičiams a ir b iš šių trijų santykių a > b, a = b, a Teorema. Jei a > b ir b > c, tai a > c.

Teorema. Jei prie abiejų nelygybės pusių pridedamas tas pats skaičius, tai nelygybės ženklas nekinta.
Pasekmė. Bet kuris terminas gali būti perkeltas iš vienos nelygybės dalies į kitą, pakeitus šio termino ženklą į priešingą.

Teorema. Jei abi nelygybės pusės padauginamos iš to paties teigiamo skaičiaus, tai nelygybės ženklas nekinta. Jei abi nelygybės pusės bus padaugintos iš to paties neigiamo skaičiaus, tada nelygybės ženklas pasikeis į priešingą.
Pasekmė. Jei abi nelygybės dalys dalijamos iš to paties teigiamo skaičiaus, tai nelygybės ženklas nekinta. Jei abi nelygybės dalis padalinsime iš to paties neigiamo skaičiaus, tada nelygybės ženklas pasikeis į priešingą.

Jūs žinote, kad skaitines lygybes galima sudėti ir padauginti iš termino. Toliau sužinosite, kaip atlikti panašius veiksmus su nelygybėmis. Praktikoje dažnai naudojama galimybė sudėti ir dauginti nelygybes. Šie veiksmai padeda išspręsti išraiškų verčių vertinimo ir palyginimo problemas.

Sprendžiant įvairius uždavinius, dažnai reikia sudėti arba dauginti iš termino kairiąją ir dešiniąją nelygybių dalis. Kartais sakoma, kad nelygybės pridedamos arba dauginamos. Pavyzdžiui, jei pirmą dieną turistas nuėjo daugiau nei 20 km, o antrą – daugiau nei 25 km, tuomet galima teigti, kad per dvi dienas jis nuėjo daugiau nei 45 km. Panašiai, jei stačiakampio ilgis yra mažesnis nei 13 cm, o plotis yra mažesnis nei 5 cm, tada galima teigti, kad šio stačiakampio plotas yra mažesnis nei 65 cm2.

Nagrinėjant šiuos pavyzdžius, toliau nelygybių sudėties ir daugybos teoremos:

Teorema. Sudėjus to paties ženklo nelygybes, gauname to paties ženklo nelygybę: jei a > b ir c > d, tai a + c > b + d.

Teorema. Dauginant to paties ženklo nelygybes, kurių kairioji ir dešinė pusės yra teigiamos, gaunama to paties ženklo nelygybė: jei a > b, c > d ir a, b, c, d yra teigiami skaičiai, tai ac > bd.

Nelygybės su ženklu > (didesnis nei) ir 1/2, 3/4 b, c Kartu su griežtais nelygybės ženklais > ir Lygiai taip pat nelygybė \(a \geq b \) reiškia, kad skaičius a yra didesnis kaip arba lygus b, t.y. ir ne mažesnis kaip b.

Nelygybės, turinčios ženklą \(\geq \) arba ženklą \(\leq \), vadinamos negriežtomis. Pavyzdžiui, \(18 \geq 12 , \; 11 \leq 12 \) nėra griežtos nelygybės.

Visos griežtųjų nelygybių savybės galioja ir negriežtoms nelygybėms. Be to, jei griežtoms nelygybėms ženklai > buvo laikomi priešingais ir žinote, kad norint išspręsti daugybę taikomų uždavinių, turite sudaryti matematinį modelį lygties arba lygčių sistemos pavidalu. Be to, sužinosite, kad daugelio problemų sprendimo matematiniai modeliai yra nelygybė su nežinomaisiais. Supažindinsime su nelygybės sprendimo samprata ir parodysime, kaip patikrinti, ar duotas skaičius yra konkrečios nelygybės sprendimas.

Formos nelygybės
\(ax > b, \quad ax kur a ir b yra pateikti skaičiai, o x nežinomas, vadinamas tiesinės nelygybės su vienu nežinomuoju.

Apibrėžimas. Nelygybės su vienu nežinomuoju sprendimas yra nežinomojo reikšmė, kuriai ši nelygybė virsta tikra skaitine nelygybe. Išspręsti nelygybę reiškia rasti visus jos sprendimus arba nustatyti, kad jų nėra.

Jūs išsprendėte lygtis, sumažindami jas iki paprasčiausių lygčių. Panašiai, sprendžiant nelygybes, linkstama jas savybių pagalba redukuoti į paprasčiausių nelygybių formą.

Antrojo laipsnio nelygybių su vienu kintamuoju sprendimas

Formos nelygybės
\(ax^2+bx+c >0 \) ir \(ax^2+bx+c, kur x yra kintamasis, a, b ir c yra kai kurie skaičiai ir \(a \neq 0 \) vadinami antrojo laipsnio nelygybės su vienu kintamuoju.

Nelygybės sprendimas
\(ax^2+bx+c >0 \) arba \(ax^2+bx+c \) galima suprasti kaip spragų radimą, kur funkcija \(y= ax^2+bx+c \) yra teigiama arba neigiamos reikšmės Norėdami tai padaryti, pakanka išanalizuoti, kaip funkcijos \ (y = ax ^ 2 + bx + c \) grafikas yra koordinačių plokštumoje: kur nukreiptos parabolės šakos - aukštyn arba žemyn , ar parabolė kerta x ašį ir jei susikerta, tai kokiuose taškuose.

Antrojo laipsnio nelygybių su vienu kintamuoju sprendimo algoritmas:
1) suraskite kvadratinio trinalio \(ax^2+bx+c\) diskriminantą ir išsiaiškinkite, ar trinaris turi šaknis;
2) jei trinaris turi šaknis, pažymėkite jas x ašyje ir per pažymėtus taškus nubrėžkite scheminę parabolę, kurios šakos nukreiptos į viršų ties a > 0 arba į apačią ties a 0 ar žemiau 3) suraskite tarpelius x ašis, kurios taškų parabolės yra virš x ašies (jei jos išsprendžia nelygybę \(ax^2+bx+c >0 \)) arba žemiau x ašies (jei išsprendžia nelygybę
\(ax^2+bx+c Nelygybių sprendimas intervalų metodu

Apsvarstykite funkciją
f(x) = (x + 2) (x - 3) (x - 5)

Šios funkcijos sritis yra visų skaičių rinkinys. Funkcijos nuliai yra skaičiai -2, 3, 5. Jie padalina funkcijos sritį į intervalus \((-\infty; -2), \; (-2; 3), \; (3; 5 ) \) ir \( (5; +\infty) \)

Išsiaiškinkime, kokie yra šios funkcijos ženklai kiekviename iš nurodytų intervalų.

Išraiška (x + 2)(x - 3)(x - 5) yra trijų veiksnių sandauga. Kiekvieno iš šių veiksnių ženklas nagrinėjamais intervalais nurodytas lentelėje:

Apibendrinant, tegul funkcija pateikiama formule
f(x) = (x-x 1) (x-x 2) ... (x-x n),
kur x yra kintamasis, o x 1 , x 2 , ..., x n nėra lygūs skaičiai. Skaičiai x 1 , x 2 , ..., x n yra funkcijos nuliai. Kiekviename iš intervalų, į kuriuos apibrėžimo sritis padalinta iš funkcijos nulių, funkcijos ženklas išsaugomas, o einant per nulį, jos ženklas keičiasi.

Ši savybė naudojama formos nelygybėms spręsti
(x-x 1) (x-x 2) ... (x-x n) > 0,
(x-x 1)(x-x 2) ... (x-x n) kur x 1 , x 2 , ..., x n nėra lygūs skaičiai

Apsvarstytas metodas nelygybių sprendimas vadinamas intervalų metodu.

Pateiksime nelygybių sprendimo intervalų metodu pavyzdžius.

Išspręskite nelygybę:

\(x(0.5-x)(x+4) Akivaizdu, kad funkcijos f(x) = x(0.5-x)(x+4) nuliai yra taškai \frac(1)(2) , \; x=-4 \)

Funkcijos nulius nubraižome realioje ašyje ir apskaičiuojame kiekvieno intervalo ženklą:

Parenkame tuos intervalus, kuriuose funkcija yra mažesnė arba lygi nuliui, ir užrašome atsakymą.

Atsakymas:
\(x \in \left(-\infty; \; 1 \right) \cup \left[ 4; \; +\infty \right) \)

Teorija:

Sprendžiant nelygybes, naudojamos šios taisyklės:

1. Iš vienos dalies gali būti perkeltas bet koks nelygybės narys
nelygybė kitam su priešingu ženklu, o nelygybės ženklas nesikeičia.

2. Abi nelygybės dalis galima padauginti arba padalyti iš vieneto
ir tas pats teigiamas skaičius, nekeičiant nelygybės ženklo.

3. Abi nelygybės dalis galima padauginti arba padalyti iš vieneto
ir tą patį neigiamą skaičių, keičiant nelygybės ženklą į
priešingas.

Išspręskite nelygybę – 8 x + 11< − 3 x − 4
Sprendimas.

1. Perkelkite narį – 3xį kairę nelygybės pusę ir terminą 11 - į dešinę nelygybės pusę, keičiant ženklus į priešingą y – 3x ir pas 11 .
Tada gauname

− 8 x + 3 x< − 4 − 11

– 5x< − 15

2. Padalinkite abi nelygybės puses – 5x< − 15 iki neigiamo skaičiaus − 5 , o nelygybės ženklas < , pasikeis į > , t.y. pereisime prie priešingos reikšmės nelygybės.
Mes gauname:

– 5x< − 15 | : (− 5 )

x > –15 : (–5)

x > 3

x > 3 yra duotosios nelygybės sprendimas.

Atkreipk dėmesį!

Yra du sprendimo rašymo variantai: x > 3 arba kaip skaitinį diapazoną.

Nelygybės sprendinių aibę pažymime realioje tiesėje ir atsakymą užrašome skaitiniu intervalu.

x ∈ (3 ; + ∞ )

Atsakymas: x > 3 arba x ∈ (3 ; + ∞ )

Algebrinės nelygybės.

Kvadratinės nelygybės. Aukštesnių laipsnių racionalios nelygybės.

Nelygybių sprendimo metodai daugiausia priklauso nuo to, kuriai klasei priklauso nelygybę sudarančios funkcijos.

1. aš. Kvadratinės nelygybės, tai yra formos nelygybės

ax 2 + bx + c > 0 (< 0), a ≠ 0.

Norėdami išspręsti nelygybę, galite:

1. Padalinkite kvadratinį trinarį faktoriais, tai yra, parašykite nelygybę kaip

a (x - x 1) (x - x 2) > 0 (< 0).

1. Įdėkite daugianario šaknis į skaičių tiesę. Šaknys padalija realiųjų skaičių aibę į intervalus, kurių kiekviename atitinkama kvadratinė funkcija bus pastovaus ženklo.
2. Kiekviename tarpelyje nustatykite a (x - x 1) (x - x 2) ženklą ir užrašykite atsakymą.

Jei kvadratinis trinaris neturi šaknų, tada D<0 и a>0 yra kvadratinis trinaris, kai x yra teigiamas.

• Išspręskite nelygybę. x 2 + x - 6 > 0.

Kvadratinio trinalio koeficientas (x + 3) (x - 2) > 0

Atsakymas: x (-∞; -3) (2; +∞).

2) (x – 6) 2 > 0

Ši nelygybė galioja bet kuriam x, išskyrus x = 6.

Atsakymas: (-∞; 6) (6; +∞).

3) x² + 4x + 15< 0.

Čia D< 0, a = 1 >0. Kvadratinis trinaris yra teigiamas visiems x.

Atsakymas: x О Ø.

Išspręskite nelygybes:

1. 1 + x - 2x²< 0. Ответ:
2. 3x² - 12x + 12 ≤ 0. Atsakymas:
3. 3x² – 7x + 5 ≤ 0. Atsakymas:
4. 2x² - 12x + 18 > 0. Atsakymas:
5. Kokioms a reikšmėms daroma nelygybė

x² – ax > tinka bet kuriam x? Atsakymas:

1. II. Aukštesnio laipsnio racionalios nelygybės, tai yra formos nelygybės

a n x n + a n-1 x n-1 + … + a 1 x + a 0 > 0 (<0), n>2.

Aukščiausio laipsnio daugianario turėtų būti koeficientas, tai yra, nelygybė turi būti įrašyta formoje

a n (x - x 1) (x - x 2) ... (x - x n) > 0 (<0).

Skaičių eilutėje pažymėkite taškus, kuriuose polinomas išnyksta.

Nustatykite daugianario ženklus kiekviename intervale.

1) Išspręskite nelygybę x 4 - 6x 3 + 11x 2 - 6x< 0.

x 4 - 6x 3 + 11x 2 - 6x = x (x 3 - 6x 2 + 11x -6) = x (x 3 - x 2 - 5x 2 + 5x +6x - 6) = x (x - 1) (x 2-5x + 6) =

x (x - 1) (x - 2) (x - 3). Taigi x (x - 1) (x - 2) (x - 3)<0

Atsakymas: (0; 1) (2; 3).

2) Išspręskite nelygybę (x -1) 5 (x + 2) (x - ½) 7 (2x + 1) 4<0.

Tikrojoje ašyje pažymėkite taškus, kuriuose polinomas išnyksta. Tai x \u003d 1, x \u003d -2, x \u003d ½, x \u003d - ½.

Taške x \u003d - ½ ženklas nesikeičia, nes dvejetainis (2x + 1) pakeliamas iki lygiosios laipsnio, tai yra, išraiška (2x + 1) 4 nekeičia ženklo, kai eina per tašką. x \u003d - ½.

Atsakymas: (-∞; -2) (½; 1).

3) Išspręskite nelygybę: x 2 (x + 2) (x - 3) ≥ 0.

Ši nelygybė lygi tokiai aibei

(1) sprendimas yra x (-∞; -2) (3; +∞). Sprendimas (2) yra x = 0, x = -2, x = 3. Sujungę gautus sprendinius, gauname x н (-∞; -2] (0) (0) )