Dabar, kai išmokome sudėti ir padauginti atskiras trupmenas, galime apsvarstyti sudėtingesnes struktūras. Pavyzdžiui, ką daryti, jei vienoje užduotyje įvyksta trupmenų sudėtis, atimtis ir daugyba?

Visų pirma, visas trupmenas reikia konvertuoti į netinkamas. Tada paeiliui atliekame reikiamus veiksmus – ta pačia tvarka, kaip ir paprastiems skaičiams. Būtent:

1. Pirma, atliekamas eksponentas - atsikratykite visų išraiškų, kuriose yra eksponentų;
2. Tada – dalyba ir daugyba;
3. Paskutinis žingsnis yra sudėjimas ir atėmimas.

Žinoma, jei posakyje yra skliaustų, veiksmų tvarka pasikeičia – pirmiausia reikia atsižvelgti į viską, kas yra skliaustuose. Ir atminkite apie netinkamas trupmenas: reikia pasirinkti visą dalį tik tada, kai visi kiti veiksmai jau atlikti.

Išverskime visas pirmosios išraiškos trupmenas į netinkamas ir atlikime šiuos veiksmus:

Dabar suraskime antrosios išraiškos reikšmę. Nėra trupmenų su sveikąja dalimi, bet yra skliaustų, todėl pirmiausia atliekame sudėjimą, o tik tada dalijame. Atkreipkite dėmesį, kad 14 = 7 2 . Tada:

Galiausiai apsvarstykite trečiąjį pavyzdį. Čia yra skliaustai ir laipsnis - geriau juos skaičiuoti atskirai. Atsižvelgiant į tai, kad 9 = 3 3 , turime:

Atkreipkite dėmesį į paskutinį pavyzdį. Norėdami padidinti trupmeną iki laipsnio, turite atskirai pakelti skaitiklį iki šios laipsnio ir atskirai vardiklį.

Galite nuspręsti kitaip. Jei prisiminsime laipsnio apibrėžimą, problema bus sumažinta iki įprasto trupmenų dauginimo:

Daugiaaukštės trupmenos

Iki šiol mes svarstėme tik „grynąsias“ trupmenas, kai skaitiklis ir vardiklis yra įprasti skaičiai. Tai atitinka skaitinės trupmenos apibrėžimą, pateiktą pačioje pirmoje pamokoje.

Bet ką daryti, jei į skaitiklį arba vardiklį dedamas sudėtingesnis objektas? Pavyzdžiui, kita skaitinė trupmena? Tokios konstrukcijos pasitaiko gana dažnai, ypač dirbant su ilgomis išraiškomis. Štai keletas pavyzdžių:

Yra tik viena taisyklė dirbant su kelių aukštų frakcijomis: turite nedelsdami jų atsikratyti. "Papildomų" grindų pašalinimas yra gana paprastas, jei prisimenate, kad trupmenos juosta reiškia standartinę padalijimo operaciją. Todėl bet kurią trupmeną galima perrašyti taip:

Naudodamiesi šiuo faktu ir vadovaudamiesi procedūra, bet kurią kelių aukštų frakciją galime nesunkiai sumažinti iki įprastos. Pažvelkite į pavyzdžius:

Užduotis. Konvertuoti daugiaaukštes trupmenas į įprastas:

Kiekvienu atveju perrašome pagrindinę trupmeną, skiriamąją liniją pakeisdami dalybos ženklu. Taip pat atminkite, kad bet koks sveikasis skaičius gali būti pavaizduotas kaip trupmena, kurios vardiklis yra 1. Tai yra, 12 = 12/1; 3 = 3/1. Mes gauname:

Paskutiniame pavyzdyje trupmenos buvo sumažintos prieš galutinį dauginimą.

Darbo su daugiaaukštėmis trupmenomis specifika

Kelių aukštų trupmenose yra viena subtilybė, kurią visada reikia atsiminti, kitaip galite gauti neteisingą atsakymą, net jei visi skaičiavimai buvo teisingi. Pažiūrėk:

1. Skaitiklyje yra atskiras skaičius 7, o vardiklyje - trupmena 12/5;
2. Skaitiklis yra trupmena 7/12, o vardiklis yra vienas skaičius 5.

Taigi vienam įrašui gavome dvi visiškai skirtingas interpretacijas. Jei suskaičiuosite, atsakymai taip pat skirsis:

Norėdami užtikrinti, kad įrašas visada būtų skaitomas vienareikšmiškai, naudokite paprastą taisyklę: pagrindinės trupmenos skiriamoji linija turi būti ilgesnė už įdėtą eilutę. Pageidautina kelis kartus.

Jei laikysitės šios taisyklės, aukščiau pateiktos trupmenos turėtų būti parašytos taip:

Taip, tikriausiai jis negražus ir užima per daug vietos. Bet jūs skaičiuosite teisingai. Galiausiai, keli pavyzdžiai, kai tikrai pasitaiko kelių lygių trupmenos:

Užduotis. Rasti išraiškos reikšmes:

Taigi, dirbkime su pirmuoju pavyzdžiu. Paverskime visas trupmenas į netinkamas, o tada atlikime sudėjimo ir padalijimo operacijas:

Padarykime tą patį su antruoju pavyzdžiu. Paverskite visas trupmenas į netinkamas ir atlikite reikiamas operacijas. Kad skaitytojui nebūtų nuobodu, praleisiu keletą akivaizdžių skaičiavimų. Mes turime:

Kadangi pagrindinių trupmenų skaitiklyje ir vardiklyje yra sumos, kelių aukštų trupmenų rašymo taisyklės laikomasi automatiškai. Be to, paskutiniame pavyzdyje, norėdami atlikti padalijimą, sąmoningai palikome skaičių 46/1 trupmenos pavidalu.

Taip pat atkreipiu dėmesį, kad abiejuose pavyzdžiuose trupmeninė juosta iš tikrųjų pakeičia skliaustus: pirmiausia radome sumą, o tik tada - koeficientą.

Kažkas pasakys, kad perėjimas prie netinkamų trupmenų antrajame pavyzdyje buvo aiškiai nereikalingas. Galbūt taip ir yra. Bet taip apsidraudžiame nuo klaidų, nes kitą kartą pavyzdys gali pasirodyti daug sudėtingesnis. Pasirinkite patys, kas svarbiau: greitis ar patikimumas.

Straipsnyje parodysime kaip išspręsti trupmenas su paprastais aiškiais pavyzdžiais. Supraskime, kas yra trupmena, ir apsvarstykime sprendžiant trupmenas!

koncepcija trupmenomisį matematikos kursą įvedamas nuo vidurinės mokyklos 6 klasės.

Trupmenos atrodo taip: ±X / Y, kur Y yra vardiklis, nurodo į kiek dalių buvo padalinta visuma, o X yra skaitiklis, nurodo, kiek tokių dalių buvo paimta. Aiškumo dėlei paimkime pavyzdį su pyragu:

Pirmuoju atveju tortas buvo supjaustytas vienodai ir paimama viena pusė, t.y. 1/2. Antruoju atveju tortas buvo supjaustytas į 7 dalis, iš kurių buvo paimtos 4 dalys, t.y. 4/7.

Jei vieno skaičiaus dalijimosi iš kito dalis nėra sveikas skaičius, ji rašoma trupmena.

Pavyzdžiui, išraiška 4:2 \u003d 2 suteikia sveikąjį skaičių, bet 4:7 nėra visiškai dalijama, todėl ši išraiška rašoma kaip trupmena 4/7.

Kitaip tariant trupmena yra išraiška, žyminti dviejų skaičių arba posakių padalijimą ir rašoma pasviruoju brūkšniu.

Jei skaitiklis yra mažesnis už vardiklį, trupmena yra teisinga, jei atvirkščiai, ji yra neteisinga. Trupmenoje gali būti sveikasis skaičius.

Pavyzdžiui, 5 visos 3/4.

Šis įrašas reiškia, kad norint gauti visus 6, vienos dalies iš keturių neužtenka.

Jei norite prisiminti kaip spręsti trupmenas 6 klasei tu turi tai suprasti sprendžiant trupmenas iš esmės reikia suprasti keletą paprastų dalykų.

• Trupmena iš esmės yra trupmenos išraiška. Tai yra skaitinė išraiška, kokia dalis yra iš vienos visumos. Pavyzdžiui, trupmena 3/5 išreiškia, kad jei ką nors vientisą padalinsime į 5 dalis ir šios visumos dalių arba dalių skaičius yra trys.
• Trupmena gali būti mažesnė nei 1, pavyzdžiui, 1/2 (arba iš esmės pusė), tada ji yra teisinga. Jei trupmena didesnė už 1, pavyzdžiui, 3/2 (trys pusės arba pusantros), tai neteisinga ir, norint supaprastinti sprendimą, geriau pasirinkti visą dalį 3/2= 1 visa 1 /2.
• Trupmenos yra tokie patys skaičiai kaip 1, 3, 10 ir net 100, tik skaičiai yra ne sveikieji, o trupmeniniai. Su jais galite atlikti visas tas pačias operacijas kaip ir su skaičiais. Skaičiuoti trupmenas nėra sunkesnis, o toliau tai parodysime konkrečiais pavyzdžiais.

Kaip išspręsti trupmenas. Pavyzdžiai.

Trupmenoms taikomos įvairios aritmetinės operacijos.

Trupmenos suvedimas į bendrą vardiklį

Pavyzdžiui, reikia palyginti trupmenas 3/4 ir 4/5.

Norėdami išspręsti problemą, pirmiausia randame mažiausią bendrą vardiklį, t.y. mažiausias skaičius, kuris dalijasi be liekanos iš kiekvieno trupmenų vardiklio

Mažiausias bendras vardiklis(4.5) = 20

Tada abiejų trupmenų vardiklis sumažinamas iki mažiausio bendro vardiklio

Atsakymas: 15/20

Trupmenų sudėjimas ir atėmimas

Jei reikia apskaičiuoti dviejų trupmenų sumą, jos pirmiausia sujungiamos į bendrą vardiklį, tada pridedami skaitikliai, o vardiklis lieka nepakitęs. Panašiai nagrinėjamas trupmenų skirtumas, vienintelis skirtumas yra tas, kad skaitikliai atimami.

Pavyzdžiui, reikia rasti trupmenų 1/2 ir 1/3 sumą

Dabar raskite skirtumą tarp trupmenų 1/2 ir 1/4

Trupmenų daugyba ir dalyba

Čia trupmenų sprendimas paprastas, čia viskas gana paprasta:

• Daugyba - trupmenų skaitikliai ir vardikliai dauginami tarpusavyje;
• Padalijimas – pirmiausia gauname trupmeną, antrosios trupmenos atvirkštinį skaičių, t.y. sukeiskite jo skaitiklį ir vardiklį, po to gautas trupmenas padauginame.

Pavyzdžiui:

Apie tai kaip išspręsti trupmenas, visi. Jei turite klausimų apie sprendžiant trupmenas, kažkas neaišku, tada rašykite komentaruose ir mes jums atsakysime.

Jei esate mokytojas, galite atsisiųsti pristatymą pradinei mokyklai (http://school-box.ru/nachalnaya-shkola/prezentazii-po-matematike.html), kuris bus naudingas.

Veiksmai su trupmenomis.

Dėmesio!
Yra papildomų
medžiaga specialiajame 555 skyriuje.
Tiems, kurie stipriai "nelabai..."
Ir tiems, kurie „labai...“)

Taigi, kas yra trupmenos, trupmenų rūšys, transformacijos – prisiminėme. Išspręskime pagrindinį klausimą.

Ką galite padaryti su trupmenomis? Taip, viskas taip pat, kaip ir su įprastais skaičiais. Sudėti, atimti, dauginti, padalyti.

Visi šie veiksmai su dešimtainis operacijos su trupmenomis nesiskiria nuo operacijų su sveikaisiais skaičiais. Tiesą sakant, jie tam ir tinka, dešimtainė. Vienintelis dalykas yra tai, kad reikia teisingai dėti kablelį.

mišrūs skaičiai, kaip sakiau, yra mažai naudingi daugeliui veiksmų. Jas dar reikia paversti paprastosiomis trupmenomis.

Ir štai veiksmai su paprastosios trupmenos bus protingesnis. Ir daug svarbiau! Leiskite man jums priminti: visi veiksmai su trupmeninėmis išraiškomis su raidėmis, sinusais, nežinomaisiais ir pan., niekuo nesiskiria nuo veiksmų su paprastomis trupmenomis! Veiksmai su paprastosiomis trupmenomis yra visos algebros pagrindas. Būtent dėl ​​šios priežasties mes čia labai detaliai išanalizuosime visą šią aritmetiką.

Trupmenų sudėjimas ir atėmimas.

Kiekvienas gali pridėti (atimti) trupmenas su tais pačiais vardikliais (labai tikiuosi!). Na, priminsiu, kad esu visiškai užmirštas: pridedant (atimant) vardiklis nesikeičia. Skaitikliai sudedami (atimami), kad būtų gautas rezultato skaitiklis. Tipas:

Trumpai, bendrais bruožais:

Ką daryti, jei vardikliai skiriasi? Tada, naudodami pagrindinę trupmenos savybę (čia ji vėl pravertė!), Vardiklius padarome vienodus! Pavyzdžiui:

Čia turėjome padaryti trupmeną 4/10 iš trupmenos 2/5. Tik tam, kad vardikliai būtų vienodi. Atkreipiu dėmesį, kad 2/5 ir 4/10 yra ta pati trupmena! Tik 2/5 mums nepatogu, o 4/10 net nieko.

Beje, tai yra bet kokių matematikos užduočių sprendimo esmė. Kai išeiname nepatogus išsireiškimai daro tas pats, bet patogiau išspręsti.

Kitas pavyzdys:

Situacija panaši. Čia mes gauname 48 iš 16. Paprasčiausiai dauginant iš 3. Viskas aišku. Bet čia mes susiduriame su tokiais dalykais kaip:

Kaip būti?! Sunku iš septynių surinkti devynetą! Bet mes protingi, žinome taisykles! Transformuokime kas trupmeną, kad vardikliai būtų vienodi. Tai vadinama „sumažinti iki bendro vardiklio“:

Kaip! Iš kur aš sužinojau apie 63? Labai paprasta! 63 yra skaičius, kuris tuo pačiu metu dalijasi iš 7 ir 9. Tokį skaičių visada galima gauti padauginus vardiklius. Pavyzdžiui, jei kurį nors skaičių padauginsime iš 7, rezultatas tikrai bus padalintas iš 7!

Jei reikia pridėti (atimti) kelias trupmenas, nereikia to daryti poromis, žingsnis po žingsnio. Jums tereikia rasti vardiklį, kuris yra bendras visoms trupmenoms, ir kiekvieną trupmeną įtraukti į tą patį vardiklį. Pavyzdžiui:

O koks bus bendras vardiklis? Žinoma, galite padauginti iš 2, 4, 8 ir 16. Gauname 1024. Košmaras. Lengviau įvertinti, kad skaičius 16 puikiai dalijasi iš 2, 4 ir 8. Todėl iš šių skaičių nesunku gauti 16. Šis skaičius bus bendras vardiklis. Paverskime 1/2 į 8/16, 3/4 į 12/16 ir t.t.

Beje, jei imsime 1024 kaip bendrą vardiklį, tai irgi viskas susitvarkys, galų gale viskas sumažės. Tik ne visi pasieks šį tikslą dėl skaičiavimų ...

Išspręskite pavyzdį patys. Ne logaritmas... Turėtų būti 29/16.

Taigi, su trupmenų pridėjimu (atėmimu) aišku, tikiuosi? Žinoma, lengviau dirbti sutrumpinta versija, su papildomais daugikliais. Bet šis malonumas prieinamas tiems, kurie sąžiningai dirbo žemesnėse klasėse... Ir nieko nepamiršo.

Ir dabar mes atliksime tuos pačius veiksmus, bet ne su trupmenomis, o su trupmeninės išraiškos. Čia rasite naujų grėblių, taip...

Taigi, turime pridėti dvi trupmenines išraiškas:

Reikia, kad vardikliai būtų vienodi. Ir tik su pagalba daugyba! Taigi pagrindinė trupmenos savybė sako. Todėl negaliu pridėti vieneto prie x pirmoje vardiklio trupmenoje. (Bet tai būtų puiku!). Bet jei padauginsi vardiklius, pamatysi, viskas augs kartu! Taigi užrašome trupmenos eilutę, paliekame tuščią vietą viršuje, tada pridedame, o žemiau užrašome vardklių sandaugą, kad nepamirštume:

Ir, žinoma, mes nieko nedauginame dešinėje pusėje, neatidarome skliaustų! O dabar, žiūrėdami į bendrą dešiniosios pusės vardiklį, galvojame: norėdami gauti vardiklį x (x + 1) pirmoje trupmenoje, turime šios trupmenos skaitiklį ir vardiklį padauginti iš (x + 1) . O antroje trupmenoje - x. Jūs gaunate tai:

Pastaba! Skliaustai yra čia! Tai grėblys, ant kurio žengia daugelis. Žinoma, ne skliausteliuose, o jų nebuvimas. Skliaustai atsiranda, nes dauginamės visas skaitiklis ir visas vardiklis! Ir ne jų atskiros dalys ...

Dešinės pusės skaitiklyje rašome skaitiklių sumą, viskas kaip skaitinėse trupmenose, tada dešinės pusės skaitiklyje skliaustus atveriame, t.y. padaugink viska ir duok like. Nereikia vardikliuose skliaustų vardinti, nereikia kažko dauginti! Apskritai vardikliuose (bet kokiuose) produktas visada yra malonesnis! Mes gauname:

Čia mes gavome atsakymą. Procesas atrodo ilgas ir sunkus, bet tai priklauso nuo praktikos. Spręskite pavyzdžius, pripraskite, viskas taps paprasta. Tie, kurie įvaldė trupmenas per skirtą laiką, visas šias operacijas atlieka viena ranka, mašinoje!

Ir dar viena pastaba. Daugelis žino, kad kalba apie trupmenas, bet laikosi pavyzdžių visas numeriai. Tipas: 2 + 1/2 + 3/4= ? Kur pritvirtinti dviratį? Nereikia niekur tvirtinti, reikia padaryti frakciją iš dvikočio. Tai nėra lengva, tai labai paprasta! 2 = 2/1. Kaip šitas. Bet koks sveikas skaičius gali būti parašytas trupmena. Skaitiklis yra pats skaičius, vardiklis yra vienas. 7 yra 7/1, 3 yra 3/1 ir pan. Tas pats ir su raidėmis. (a + b) \u003d (a + b) / 1, x \u003d x / 1 ir kt. Ir tada mes dirbame su šiomis trupmenomis pagal visas taisykles.

Na, o sudėjus - atimant trupmenas, žinios buvo atnaujintos. Trupmenų transformacijos iš vienos rūšies į kitą – kartojasi. Taip pat galite patikrinti. Ar mes šiek tiek atsiskaitysime?)

Apskaičiuoti:

Atsakymai (netvarkingai):

71/20; 3/5; 17/12; -5/4; 11/6

Trupmenų daugyba / dalyba - kitoje pamokoje. Taip pat yra užduočių visiems veiksmams su trupmenomis.

Jei jums patinka ši svetainė...

Beje, turiu jums dar keletą įdomių svetainių.)

Galite praktikuotis spręsdami pavyzdžius ir sužinoti savo lygį. Testavimas su momentiniu patvirtinimu. Mokymasis – su susidomėjimu!)

galite susipažinti su funkcijomis ir išvestinėmis.

Šiame skyriuje aprašomos operacijos su paprastosiomis trupmenomis. Jei reikia atlikti matematinį veiksmą su mišriaisiais skaičiais, tai pakanka mišriąją trupmeną paversti nepaprastąja, atlikti reikiamus veiksmus ir, jei reikia, vėl pateikti galutinį rezultatą kaip mišrųjį skaičių. Ši operacija bus aprašyta toliau.

Frakcijos mažinimas

matematinis veiksmas. Frakcijos mažinimas

Norint sumažinti trupmeną \frac(m)(n), reikia rasti didžiausią bendrą jos skaitiklio ir vardiklio daliklį: gcd(m,n), tada trupmenos skaitiklį ir vardiklį padalinti iš šio skaičiaus. Jei gcd(m,n)=1, tai trupmena negali būti sumažinta. Pavyzdys: \frac(20)(80)=\frac(20:20)(80:20)=\frac(1)(4)

Paprastai iš karto rasti didžiausią bendrą daliklį yra sudėtinga užduotis, o praktiškai trupmena mažinama keliais etapais, žingsnis po žingsnio iš skaitiklio ir vardiklio išryškinant akivaizdžius bendrus veiksnius. \frac(140)(315)=\frac(28\cdot5)(63\cdot5)=\frac(4\cdot7\cdot5)(9\cdot7\cdot5)=\frac(4)(9)

Trupmenų suvedimas į bendrą vardiklį

matematinis veiksmas. Trupmenų suvedimas į bendrą vardiklį

Norėdami sumažinti dvi trupmenas \frac(a)(b) ir \frac(c)(d) iki bendro vardiklio, jums reikia:

• rasti mažiausią bendrą vardiklių kartotinį: M=LCM(b,d);
• padauginkite pirmosios trupmenos skaitiklį ir vardiklį iš M / b (po to trupmenos vardiklis tampa lygus skaičiui M);
• antrosios trupmenos skaitiklį ir vardiklį padauginkite iš M/d (po to trupmenos vardiklis tampa lygus skaičiui M).

Taigi pradines trupmenas paverčiame trupmenomis su tais pačiais vardikliais (kurie bus lygūs skaičiui M).

Pavyzdžiui, trupmenos \frac(5)(6) ir \frac(4)(9) turi LCM(6,9) = 18. Tada: \frac(5)(6)=\frac(5\cdot3) (6 \cdot3)=\frac(15)(18);\quad\frac(4)(9)=\frac(4\cdot2)(9\cdot2)=\frac(8)(18) . Taigi gautos trupmenos turi bendrą vardiklį.

Praktiškai ne visada lengva užduotis rasti vardiklių mažiausiąjį bendrąjį kartotinį (LCM). Todėl bendruoju vardikliu pasirenkamas skaičius, lygus pradinių trupmenų vardklių sandaugai. Pavyzdžiui, trupmenos \frac(5)(6) ir \frac(4)(9) sumažinamos iki bendro vardiklio N=6\cdot9:

\frac(5)(6)=\frac(5\cdot9)(6\cdot9)=\frac(45)(54);\quad\frac(4)(9)=\frac(4\cdot6)( 9\cdot6)=\frac(24)(54)

Trupmenų palyginimas

matematinis veiksmas. Trupmenų palyginimas

Norėdami palyginti dvi įprastas trupmenas:

• palyginkite gautų trupmenų skaitiklius; trupmena su didesniu skaitikliu bus didesnė.

Pavyzdžiui, \frac(9)(14)

Lyginant trupmenas, yra keletas specialių atvejų:

1. Iš dviejų frakcijų su tais pačiais vardikliais tuo didesnė yra trupmena, kurios skaitiklis didesnis. Pavyzdžiui, \frac(3)(15)
2. Iš dviejų frakcijų su tais pačiais skaitikliais tuo didesnė yra trupmena, kurios vardiklis yra mažesnis. Pavyzdžiui, \frac(4)(11)>\frac(4)(13)
3. Ta trupmena, kuri tuo pačiu didesnis skaitiklis ir mažesnis vardiklis, daugiau. Pavyzdžiui, \frac(11)(3)>\frac(10)(8)

Dėmesio! 1 taisyklė taikoma visoms trupmenoms, jei jų bendras vardiklis yra teigiamas skaičius. 2 ir 3 taisyklės taikomos teigiamoms trupmenoms (kurių skaitiklis ir vardiklis yra didesni už nulį).

Trupmenų sudėjimas ir atėmimas

matematinis veiksmas. Trupmenų sudėjimas ir atėmimas

Norėdami pridėti dvi frakcijas, jums reikia:

• suvesti juos į bendrą vardiklį;
• pridėkite jų skaitiklius ir palikite vardiklį nepakeistą.

Pavyzdys: \frac(7)(9)+\frac(4)(7)=\frac(7\cdot7)(9\cdot7)+\frac(4\cdot9)(7\cdot9)=\frac(49) )(63)+\frac(36)(63)=\frac(49+36)(63)=\frac(85)(63)

Norėdami iš vienos trupmenos atimti kitą trupmeną, jums reikia:

• suvesti trupmenas į bendrą vardiklį;
• atimkite antrosios trupmenos skaitiklį iš pirmosios trupmenos skaitiklio, o vardiklį palikite nepakeistą.

Pavyzdys: \frac(4)(15)-\frac(3)(5)=\frac(4)(15)-\frac(3\cdot3)(5\cdot3)=\frac(4)(15) -\frac(9)(15)=\frac(4-9)(15)=\frac(-5)(15)=-\frac(5)(3\cdot5)=-\frac(1)( 3)

Jei pradinės trupmenos iš pradžių turi bendrą vardiklį, tada 1 punktas (redukcija į bendrą vardiklį) praleidžiamas.

Mišraus skaičiaus pavertimas netinkamąja trupmena ir atvirkščiai

matematinis veiksmas. Mišraus skaičiaus pavertimas netinkamąja trupmena ir atvirkščiai

Norint mišrią frakciją paversti netinkama, pakanka visą mišrios frakcijos dalį susumuoti su trupmenine dalimi. Tokios sumos rezultatas bus neteisinga trupmena, kurios skaitiklis yra lygus sveikosios dalies sandaugos ir trupmenos vardiklio su mišriosios trupmenos skaitikliu sandaugos sumai, o vardiklis lieka toks pat. Pavyzdžiui, 2\frac(6)(11)=2+\frac(6)(11)=\frac(2\cdot11)(11)+\frac(6)(11)=\frac(2\cdot11+ 6)(11)=\frac(28)(11)

Norėdami konvertuoti neteisingą trupmeną į mišrų skaičių:

• trupmenos skaitiklį padalinti iš vardiklio;
• padalykite likusią dalį į skaitiklį, o vardiklį palikite tą patį;
• padalijimo rezultatą parašykite sveikąja dalimi.

Pavyzdžiui, trupmena \frac(23)(4) . Dalijant 23:4=5,75, tai yra sveikoji dalis yra 5, likusi dalybos dalis yra 23-5*4=3. Tada bus parašytas mišrus skaičius: 5\frac(3)(4) . \frac(23)(4)=\frac(5\cdot4+3)(4)=5\frac(3)(4)

Dešimtainės dalies konvertavimas į bendrąją trupmeną

matematinis veiksmas. Dešimtainės dalies konvertavimas į bendrąją trupmeną

Norėdami konvertuoti dešimtainę trupmeną į bendrąją trupmeną:

1. kaip vardiklį paimkite dešimties n-tąją laipsnį (čia n yra skaitmenų po kablelio skaičius);
2. kaip skaitiklį paimkite skaičių po kablelio (jei sveikoji pradinio skaičiaus dalis nėra lygi nuliui, tada imkite ir visus pirminius nulius);
3. ne nulinė sveikojo skaičiaus dalis įrašoma skaitiklyje pačioje pradžioje; nulinė sveikojo skaičiaus dalis praleidžiama.

1 pavyzdys: 0.0089=\frac(89)(10000) (4 skaitmenys po kablelio, taigi vardiklis 10 4 =10000, kadangi sveikoji dalis yra 0, skaitiklis yra skaičius po kablelio be nulių priekyje)

2 pavyzdys: 31.0109=\frac(310109)(10000) (skaitiklyje rašome skaičių po kablelio su visais nuliais: "0109", o tada prieš jį pridedame sveikąją pradinio skaičiaus dalį "31")

Jei dešimtainės trupmenos sveikoji dalis skiriasi nuo nulio, ją galima konvertuoti į mišrią trupmeną. Norėdami tai padaryti, skaičių paverčiame įprastąja trupmena, tarsi sveikoji dalis būtų lygi nuliui (taškai 1 ir 2), ir tiesiog perrašykite sveikąją dalį prieš trupmeną - tai bus sveikoji mišraus skaičiaus dalis. Pavyzdys:

3.014=3\frac(14)(100)

Norint paversti paprastąją trupmeną į dešimtainę, pakanka tiesiog padalyti skaitiklį iš vardiklio. Kartais jūs gaunate begalinį dešimtainį skaičių. Tokiu atveju būtina suapvalinti iki pageidaujamo skaičiaus po kablelio. Pavyzdžiai:

\frac(401)(5)=80.2;\quad \frac(2)(3)\apytiksliai 0,6667

Trupmenų daugyba ir dalyba

matematinis veiksmas. Trupmenų daugyba ir dalyba

Norėdami padauginti dvi bendrąsias trupmenas, turite padauginti trupmenų skaitiklius ir vardiklius.

\frac(5)(9)\cdot\frac(7)(2)=\frac(5\cdot7)(9\cdot2)=\frac(35)(18)

Norėdami padalyti vieną bendrąją trupmeną iš kitos, turite padauginti pirmąją trupmeną iš antrosios atvirkštinės vertės ( abipusis yra trupmena, kurioje skaitiklis ir vardiklis yra atvirkščiai.

\frac(5)(9):\frac(7)(2)=\frac(5)(9)\cdot\frac(2)(7)=\frac(5\cdot2)(9\cdot7)= \frac(10)(63)

Jei viena iš trupmenų yra natūralusis skaičius, aukščiau pateiktos daugybos ir dalybos taisyklės lieka galioti. Tik nepamirškite, kad sveikasis skaičius yra ta pati trupmena, kurios vardiklis lygus vienetui. Pavyzdžiui: 3:\frac(3)(7)=\frac(3)(1):\frac(3)(7)=\frac(3)(1)\cdot\frac(7)(3) = \frac(3\cdot7)(1\cdot3)=\frac(7)(1)=7

Instrukcija

Sumažinimas iki bendro vardiklio.

Tegu pateiktos trupmenos a/b ir c/d.

Pirmosios trupmenos skaitiklis ir vardiklis padauginamas iš LCM / b

Antrosios trupmenos skaitiklis ir vardiklis padauginamas iš LCM/d

Pavyzdys parodytas paveikslėlyje.

Norėdami palyginti trupmenas, jos turi turėti bendrą vardiklį, tada palyginkite skaitiklius. Pavyzdžiui, 3/4< 4/5, см. .

Trupmenų sudėjimas ir atėmimas.

Norint rasti dviejų paprastųjų trupmenų sumą, jas reikia sumažinti iki bendro vardiklio, o tada pridėti skaitiklius, vardiklis nesikeičia. Frakcijos 1/2 ir 1/3 pridėjimo pavyzdys parodytas paveikslėlyje.

Panašiai randamas trupmenų skirtumas, suradus bendrą vardiklį, atimami trupmenų skaitikliai, žr. pav.

Dauginant paprastąsias trupmenas, skaitikliai ir vardikliai dauginami kartu.

Norint padalinti dvi trupmenas, reikia antrosios trupmenos trupmenos, t.y. pakeiskite jo skaitiklį ir vardiklį, o tada gautas trupmenas padauginkite.

Susiję vaizdo įrašai

Šaltiniai:

• trupmenos 5 klasė pagal pavyzdį
• Pagrindinės trupmenų užduotys

Modulis reiškia absoliučią išraiškos vertę. Moduliui žymėti naudojami skliaustai. Juose esančios reikšmės imamos modulo. Modulio sprendimas yra atidaryti skliaustus pagal tam tikras taisykles ir rasti išraiškos reikšmių rinkinį. Daugeliu atvejų modulis išplečiamas taip, kad submodulio išraiška įgautų teigiamų ir neigiamų reikšmių seriją, įskaitant nulį. Remiantis šiomis modulio savybėmis, sudaromos ir išsprendžiamos tolesnės pirminės išraiškos lygtys ir nelygybės.

Instrukcija

Užrašykite pradinę lygtį su . Norėdami tai padaryti, atidarykite modulį. Apsvarstykite kiekvieną submodulio išraišką. Nustatykite, kokiai į jį įtrauktų nežinomų dydžių vertei išnyksta išraiška moduliniuose skliaustuose.

Norėdami tai padaryti, submodulio išraišką prilyginkite nuliui ir raskite gautą lygtį. Užsirašykite rastas vertes. Tuo pačiu būdu nustatykite nežinomo kintamojo reikšmes kiekvienam moduliui duotoje lygtyje.

Nubrėžkite skaičių liniją ir nubraižykite joje gautas reikšmes. Kintamojo reikšmės nuliniame modulyje bus suvaržymai sprendžiant modulinę lygtį.

Pradinėje lygtyje turite atidaryti modulines, pakeisdami ženklą taip, kad kintamojo reikšmės atitiktų tas, kurios rodomos skaičių eilutėje. Išspręskite gautą lygtį. Patikrinkite rastą kintamojo reikšmę pagal modulio nurodytą apribojimą. Jei sprendimas tenkina sąlygą, tai tiesa. Šaknys, kurios neatitinka apribojimų, turėtų būti išmestos.

Panašiai išplėskite pradinės išraiškos modulius, atsižvelgdami į ženklą, ir apskaičiuokite gautos lygties šaknis. Užrašykite visas gautas šaknis, kurios tenkina apribojimo nelygybes.

Trupmeniniai skaičiai leidžia įvairiais būdais išreikšti tikslią kiekio reikšmę. Su trupmenomis galite atlikti tas pačias matematines operacijas kaip ir su sveikaisiais skaičiais: atimti, sudėti, dauginti ir dalyti. Norėdami išmokti apsispręsti trupmenomis, būtina atsiminti kai kurias jų savybes. Jie priklauso nuo tipo trupmenomis, sveikosios dalies buvimas, bendras vardiklis. Kai kurioms aritmetinėms operacijoms po įvykdymo reikia sumažinti trupmeninę rezultato dalį.

Jums reikės

• - skaičiuotuvas

Instrukcija

Atidžiai pažiūrėkite į skaičius. Jei tarp trupmenų yra po kablelio ir netaisyklingos skaitmenų, kartais patogiau pirmiausia atlikti veiksmus su dešimtainiais skaitmenimis, o tada konvertuoti juos į netinkamą formą. Ar galite išversti trupmenomisŠioje formoje iš pradžių skaitiklyje įrašant reikšmę po kablelio, o į vardiklį įdedant 10. Jei reikia, sumažinkite trupmeną, padalydami aukščiau ir žemiau esančius skaičius iš vieno daliklio. Trupmenos, kuriose išsiskiria visa dalis, sukelia neteisingą formą, padauginus ją iš vardiklio ir prie rezultato pridedant skaitiklį. Ši reikšmė taps nauju skaitikliu trupmenomis. Norėdami ištraukti visą dalį iš iš pradžių neteisingos trupmenomis, padalinkite skaitiklį iš vardiklio. Parašykite visą rezultatą iš trupmenomis. O likusi padalijimo dalis tampa nauju skaitikliu, vardikliu trupmenomis o nesikeičiant. Trupmenoms su sveikąja dalimi galima atlikti veiksmus atskirai, pirmiausia su sveikuoju skaičiumi, o paskui su trupmeninėmis dalimis. Pavyzdžiui, galima apskaičiuoti 1 2/3 ir 2 ¾ sumą:
- Trupmenų konvertavimas į netinkamą formą:
- 1 2/3 + 2 ¾ = 5/3 + 11/4 = 20/12 + 33/12 = 53/12 = 4 5/12;
- Terminų sveikųjų ir trupmeninių dalių sumavimas atskirai:
- 1 2/3 + 2 ¾ = (1+2) + (2/3 + ¾) = 3 + (8/12 + 9/12) = 3 + 17/12 = 3 + 1 5/12 = 4 5 /12.

Jei reikšmės yra žemiau linijos, raskite bendrą vardiklį. Pavyzdžiui, 5/9 ir 7/12 bendras vardiklis bus 36. Tam skaitiklis ir pirmojo vardiklis trupmenomis reikia padauginti iš 4 (bus 28/36), o antrąjį - iš 3 (bus 15/36). Dabar galite atlikti skaičiavimus.

Jei ketinate skaičiuoti trupmenų sumą arba skirtumą, pirmiausia po eilute užrašykite rastą bendrą vardiklį. Atlikite reikiamus veiksmus tarp skaitiklių ir parašykite rezultatą virš naujos eilutės trupmenomis. Taigi naujasis skaitiklis bus pradinių trupmenų skaitiklių skirtumas arba suma.

Norėdami apskaičiuoti trupmenų sandaugą, padauginkite trupmenų skaitiklius ir parašykite rezultatą vietoje galutinio skaitiklio trupmenomis. Tą patį padarykite su vardikliais. Dalijant vieną trupmenomis Užrašykite vieną trupmeną ant kitos, o tada padauginkite jos skaitiklį iš antrosios vardiklio. Tuo pačiu metu vardiklis pirmojo trupmenomis atitinkamai padauginta iš antrojo skaitiklio. Tuo pačiu ir savotiškas antrojo apsisukimas trupmenomis(daliklis). Galutinė trupmena bus gaunama padauginus abiejų trupmenų skaitiklius ir vardiklius. Lengva išmokti trupmenomis, parašyta sąlyga „keturių aukštų“ forma trupmenomis. Jei jis skiria du trupmenomis, perrašykite juos skyrikliu „:“ ir tęskite įprastą padalijimą.

Norėdami gauti galutinį rezultatą, gautą trupmeną sumažinkite skaitiklį ir vardiklį padalydami iš vieno sveikojo skaičiaus, kuris šiuo atveju yra didžiausias. Šiuo atveju virš linijos ir po jos turi būti sveikieji skaičiai.

pastaba

Nearitmetikuokite su trupmenomis, kurios turi skirtingus vardiklius. Pasirinkite tokį skaičių, kad kiekvienos trupmenos skaitiklį ir vardiklį padauginus iš jo, abiejų trupmenų vardikliai būtų lygūs.

Naudingi patarimai

Rašant trupmeninius skaičius, dividendas rašomas virš eilutės. Šis dydis vadinamas trupmenos skaitikliu. Po eilute rašomas trupmenos daliklis arba vardiklis. Pavyzdžiui, pusantro kilogramo ryžių trupmenos pavidalu bus parašytas taip: 1 ½ kg ryžių. Jei trupmenos vardiklis yra 10, ji vadinama dešimtaine trupmena. Šiuo atveju visos dalies, atskirtos kableliu, dešinėje rašomas skaitiklis (dividendas): 1,5 kg ryžių. Skaičiavimo patogumui tokią trupmeną visada galima parašyti neteisinga forma: 1 2/10 kg bulvių. Norėdami supaprastinti, galite sumažinti skaitiklio ir vardiklio reikšmes, padalydami jas iš vieno sveikojo skaičiaus. Šiame pavyzdyje galima dalinti iš 2. Gaunama 1 1/5 kg bulvių. Įsitikinkite, kad skaičiai, su kuriais ketinate atlikti aritmetiką, yra tos pačios formos.

Instrukcija

Vieną kartą spustelėkite meniu elementą „Įterpti“, tada pasirinkite elementą „Simbolis“. Tai vienas iš paprasčiausių įterpimo būdų trupmenomis parašyti. Jį sudaro toliau. Paruoštų simbolių rinkinys turi trupmenomis. Paprastai jų skaičius yra mažas, tačiau jei tekste reikia parašyti ½, o ne 1/2, tada ši parinktis jums bus geriausia. Be to, trupmenos simbolių skaičius gali priklausyti nuo šrifto. Pavyzdžiui, Times New Roman šrifto trupmenėlių yra šiek tiek mažiau nei tam pačiam Arial. Keiskite šriftus, kad rastumėte geriausią variantą, kai kalbama apie paprastas išraiškas.

Spustelėkite meniu punktą „Įterpti“ ir pasirinkite antrinį elementą „Objektas“. Pamatysite langą su galimų įterpti objektų sąrašu. Pasirinkite iš jų Microsoft Equation 3.0. Ši programa padės jums įvesti tekstą trupmenomis. Ir ne tik trupmenomis, bet ir sudėtingos matematinės išraiškos, kuriose yra įvairių trigonometrinių funkcijų ir kitų elementų. Dukart spustelėkite šį objektą kairiuoju pelės mygtuku. Pamatysite langą su daugybe simbolių.

Norėdami išspausdinti trupmeną, pasirinkite simbolį, žymintį trupmeną su tuščiu skaitikliu ir vardikliu. Vieną kartą spustelėkite jį kairiuoju pelės mygtuku. Atsiras papildomas meniu, kuriame bus nurodyta schema trupmenomis. Gali būti keletas variantų. Išsirinkite sau tinkamiausią ir vieną kartą spustelėkite jį kairiuoju pelės klavišu.