Pitagoro teorema
Panašiai trikampis CBH yra panašus į ABC. Pristatome užrašą 
1. Išdėstykite keturis vienodus stačiuosius trikampius, kaip parodyta paveikslėlyje. 
Euklido įrodymo idėja yra tokia: pabandykime įrodyti, kad pusė kvadrato, pastatyto ant hipotenuzos, ploto yra lygi kvadratų, pastatytų ant kojų, pusės plotų sumai, o tada didelis ir du maži kvadratai yra lygūs. Apsvarstykite piešinį kairėje. Ant jo statėme kvadratus stačiojo trikampio kraštinėse ir nubrėžėme spindulį s iš stačiojo kampo C viršūnės statmenai įdubai AB, jis supjausto kvadratą ABIK, pastatytą ant hipotenuzos, į du stačiakampius - BHJI ir HAKJ, atitinkamai. Pasirodo, šių stačiakampių plotai yra tiksliai lygūs kvadratų, pastatytų ant atitinkamų kojų, plotams. Pabandykime įrodyti, kad kvadrato DECA plotas yra lygus stačiakampio plotui AHJK Tam pasitelkiame pagalbinį stebėjimą: Trikampio plotas, kurio aukštis ir pagrindas yra toks pat kaip nurodyta. stačiakampis yra lygus pusei nurodyto stačiakampio ploto. Tai yra trikampio ploto apibrėžimo kaip pusės pagrindo ir aukščio sandaugos pasekmė. Iš šio stebėjimo matyti, kad trikampio ACK plotas yra lygus trikampio AHK plotui (neparodytas), kuris, savo ruožtu, yra lygus pusei stačiakampio AHJK ploto. Dabar įrodykime, kad trikampio ACK plotas taip pat lygus pusei DECA kvadrato ploto. Vienintelis dalykas, kurį reikia padaryti, yra įrodyti trikampių ACK ir BDA lygybę (nes trikampio BDA plotas yra lygus pusei kvadrato ploto pagal aukščiau pateiktą savybę). Ši lygybė yra akivaizdi, trikampiai yra lygūs iš dviejų kraštinių ir kampas tarp jų. Būtent - AB=AK,AD=AC - kampų CAK ir BAD lygybę nesunku įrodyti judėjimo metodu: pasukime trikampį CAK 90° prieš laikrodžio rodyklę, tada akivaizdu, kad dviejų nagrinėjamų trikampių atitinkamos kraštinės. sutaps (dėl to, kad kampas ties kvadrato viršūne yra 90°). Argumentas apie kvadrato BCFG ir stačiakampio BHJI plotų lygybę yra visiškai analogiškas. Taigi mes įrodėme, kad kvadrato, pastatyto ant hipotenuzos, plotas yra kvadratų, pastatytų ant kojų, plotų suma. 
Apsvarstykite brėžinį, kaip matyti iš simetrijos, atkarpa CI perpjauna kvadratą ABHJ į dvi identiškas dalis (kadangi trikampiai ABC ir JHI yra vienodi konstrukcijos). Naudodami 90 laipsnių pasukimą prieš laikrodžio rodyklę, matome nuspalvintų figūrų CAJI ir GDAB lygybę. Dabar aišku, kad mūsų užtamsintos figūros plotas yra lygus pusės ant kojų pastatytų kvadratų plotų ir pradinio trikampio ploto sumai. Kita vertus, jis yra lygus pusei kvadrato, pastatyto ant hipotenuzės, ploto, pridėjus pradinio trikampio plotą. Paskutinis įrodymo žingsnis paliekamas skaitytojui.(pagal Berlyno muziejaus Papyrus 6619). Pasak Cantor, harpedonaptai arba „stygų įtempikliai“ statydavo stačius kampus naudodami stačiuosius trikampius, kurių kraštinės yra 3, 4 ir 5.
Labai lengva atkartoti jų konstravimo būdą. Paimkite 12 m ilgio virvę ir pririškite prie jos pagal spalvotą juostelę 3 m atstumu nuo vieno galo ir 4 metrų atstumu nuo kito. Status kampas bus uždarytas tarp 3 ir 4 metrų ilgio kraštų. Galima prieštarauti Harpedonaptams, kad jų konstravimo būdas tampa nereikalingas, jei, pavyzdžiui, naudojamas visų stalių naudojamas medinis kvadratas. Išties yra žinomi egiptiečių piešiniai, kuriuose randamas toks įrankis – pavyzdžiui, piešiniai, vaizduojantys dailidžių dirbtuves.
Šiek tiek daugiau žinoma apie Pitagoro teoremą tarp babiloniečių. Viename tekste, datuojamame Hamurabio laikais, tai yra 2000 m. pr. Kr. e. , pateiktas apytikslis stačiojo trikampio hipotenuzės skaičiavimas. Iš to galime daryti išvadą, kad Mesopotamijoje bent kai kuriais atvejais jie galėjo atlikti skaičiavimus su stačiakampiais trikampiais. Viena vertus, remdamasis dabartiniu Egipto ir Babilono matematikos žinių lygiu ir, kita vertus, kritiniu graikų šaltinių tyrimu, Van der Waerdenas (olandų matematikas) padarė išvadą, kad yra didelė tikimybė, kad hipotenuzės kvadrato teorema Indijoje buvo žinoma jau apie XVIII a. e.
Maždaug 400 m.pr.Kr. e., anot Proklo, Platonas pateikė metodą, kaip rasti Pitagoro trigubus, derinant algebrą ir geometriją. Maždaug 300 m.pr.Kr. e. Euklido elementuose yra seniausias aksiominis Pitagoro teoremos įrodymas.
Formuluotė
Geometrinė formulė:
Iš pradžių teorema buvo suformuluota taip:
Algebrinė formulė:
Tai reiškia, kad reiškia trikampio hipotenuzės ilgį ir kojų ilgį per ir:
Abi teoremos formuluotės yra lygiavertės, tačiau antroji formuluotė yra elementaresnė, joje nereikia ploto sąvokos. Tai yra, antrąjį teiginį galima patikrinti nieko nežinant apie plotą ir matuojant tik stačiojo trikampio kraštinių ilgius.
Atvirkštinė Pitagoro teorema:
Įrodymas
Šiuo metu mokslinėje literatūroje yra užfiksuoti 367 šios teoremos įrodymai. Tikriausiai Pitagoro teorema yra vienintelė teorema, turinti tokį įspūdingą įrodymų skaičių. Tokią įvairovę galima paaiškinti tik pagrindine teoremos reikšme geometrijai.
Žinoma, konceptualiai visas jas galima suskirstyti į nedidelį skaičių klasių. Žymiausi iš jų: įrodymai ploto metodu, aksiomatiniai ir egzotiniai įrodymai (pavyzdžiui, naudojant diferencialines lygtis).
Per panašius trikampius
Šis algebrinės formuluotės įrodymas yra paprasčiausias iš įrodymų, sudarytų tiesiai iš aksiomų. Visų pirma, jame nenaudojama figūros srities sąvoka.
Leisti ABC yra stačiakampis trikampis C. Nubrėžkime aukštį iš C o jo pagrindą pažymėkite H. Trikampis ACH panašus į trikampį ABC dviejuose kampuose. Lygiai taip pat ir trikampis CBH panašus ABC. Pristatome užrašą
mes gauname
Kas yra lygiavertė
Pridėjus, gauname
, kas turėjo būti įrodytaSritys įrodymai
Šie įrodymai, nepaisant akivaizdaus jų paprastumo, nėra tokie paprasti. Visi jie naudoja srities savybes, kurių įrodymas yra sudėtingesnis nei pačios Pitagoro teoremos įrodymas.
Įrodymas per lygiavertiškumą
- Išdėstykite keturis vienodus stačiuosius trikampius, kaip parodyta 1 paveiksle.
- Keturkampis su šonais c yra kvadratas, nes dviejų smailiųjų kampų suma yra 90°, o tiesus kampas yra 180°.
- Visos figūros plotas, viena vertus, lygus kvadrato su kraštine plotui (a + b), kita vertus, keturių trikampių plotų ir ploto sumai. vidinės aikštės.
Q.E.D.
Euklido įrodymas
Euklido įrodymo idėja yra tokia: pabandykime įrodyti, kad pusė kvadrato, pastatyto ant hipotenuzos, ploto yra lygi kvadratų, pastatytų ant kojų, pusės plotų sumai, o tada didelis ir du maži kvadratai yra lygūs.
Apsvarstykite piešinį kairėje. Ant jo statėme kvadratus stačiojo trikampio kraštinėse ir nubrėžėme spindulį s iš stačiojo kampo C viršūnės statmenai įdubai AB, jis supjausto kvadratą ABIK, pastatytą ant hipotenuzos, į du stačiakampius - BHJI ir HAKJ, atitinkamai. Pasirodo, šių stačiakampių plotai yra tiksliai lygūs kvadratų, pastatytų ant atitinkamų kojų, plotams.
Pabandykime įrodyti, kad kvadrato DECA plotas yra lygus stačiakampio plotui AHJK Tam pasitelkiame pagalbinį stebėjimą: Trikampio plotas, kurio aukštis ir pagrindas yra toks pat kaip nurodyta. stačiakampis yra lygus pusei nurodyto stačiakampio ploto. Tai yra trikampio ploto apibrėžimo kaip pusės pagrindo ir aukščio sandaugos pasekmė. Iš šio stebėjimo matyti, kad trikampio ACK plotas yra lygus trikampio AHK plotui (neparodytas), kuris, savo ruožtu, yra lygus pusei stačiakampio AHJK ploto.
Dabar įrodykime, kad trikampio ACK plotas taip pat lygus pusei DECA kvadrato ploto. Vienintelis dalykas, kurį reikia padaryti, yra įrodyti trikampių ACK ir BDA lygybę (nes trikampio BDA plotas yra lygus pusei kvadrato ploto pagal aukščiau pateiktą savybę). Ši lygybė akivaizdi: trikampių dvi kraštinės ir kampas tarp jų yra lygūs. Būtent - AB=AK, AD=AC - kampų CAK ir BAD lygybę nesunku įrodyti judesio metodu: pasukime trikampį CAK 90° prieš laikrodžio rodyklę, tada akivaizdu, kad abiejų nagrinėjamų trikampių atitinkamos kraštinės sutaps. (dėl to, kad kampas ties kvadrato viršūne yra 90°).
Argumentas apie kvadrato BCFG ir stačiakampio BHJI plotų lygybę yra visiškai analogiškas.
Taigi mes įrodėme, kad kvadrato, pastatyto ant hipotenuzos, plotas yra kvadratų, pastatytų ant kojų, plotų suma. Šio įrodymo idėja toliau iliustruojama aukščiau pateikta animacija.
Leonardo da Vinci įrodymas
Pagrindiniai įrodymo elementai yra simetrija ir judėjimas.
Apsvarstykite brėžinį, kaip matyti iš simetrijos, segmentas supjausto kvadratą į dvi identiškas dalis (nes trikampiai ir yra vienodi pagal konstrukciją).
Sukant prieš laikrodžio rodyklę 90 laipsnių aplink tašką matome nuspalvintų figūrų lygybę ir .
Dabar aišku, kad mūsų užtamsintos figūros plotas yra lygus pusės mažų kvadratėlių (pastatyta ant kojų) plotų ir pradinio trikampio ploto sumai. Kita vertus, jis yra lygus pusei didžiojo kvadrato (pastatytas ant hipotenuzės) ploto ir pradinio trikampio ploto. Taigi pusė mažų kvadratų plotų sumos yra lygi pusei didžiojo kvadrato ploto, todėl ant kojų pastatytų kvadratų plotų suma yra lygi pastatyto kvadrato plotui. ant hipotenuzės.
Įrodymas begalinio mažumo metodu
Šis įrodymas, naudojant diferencialines lygtis, dažnai priskiriamas garsiam anglų matematikui Hardy, gyvenusiam XX amžiaus pirmoje pusėje.
Atsižvelgiant į paveikslėlyje pavaizduotą brėžinį ir stebint pusės pasikeitimą a, galime parašyti tokį ryšį be galo mažiems šoniniams žingsniams Su ir a(naudojant panašius trikampius):
Naudodami kintamųjų atskyrimo metodą, randame
Bendresnė hipotenuzės keitimo išraiška, kai auga abi kojos
Integravę šią lygtį ir naudodami pradines sąlygas, gauname
Taigi gauname norimą atsakymą
Nesunku pastebėti, kad kvadratinė priklausomybė galutinėje formulėje atsiranda dėl tiesinio proporcingumo tarp trikampio kraštinių ir prieaugių, o suma yra dėl nepriklausomų indėlių iš skirtingų kojelių prieaugio.
Paprastesnį įrodymą galima gauti, jei darome prielaidą, kad viena iš kojų nepatiria prieaugio (šiuo atveju koja). Tada gauname integravimo konstantą
Variacijos ir apibendrinimai
Panašios geometrinės figūros iš trijų pusių
Panašių trikampių apibendrinimas, žalių figūrų plotas A + B = mėlynos C plotas
Pitagoro teorema naudojant panašius stačiuosius trikampius
Euklidas savo darbe apibendrino Pitagoro teoremą Pradžios, išplečiant kvadratų plotus šonuose iki panašių geometrinių formų:
Jei statysime panašias geometrines figūras (žr. Euklido geometriją) stačiojo trikampio kraštinėse, tada dviejų mažesnių figūrų suma bus lygi didesnės figūros plotui.
Pagrindinė šio apibendrinimo idėja yra ta, kad tokios geometrinės figūros plotas yra proporcingas bet kurio jos linijinio matmens kvadratui ir ypač bet kurios kraštinės ilgio kvadratui. Todėl panašiems skaičiams su plotais A, B ir C pastatytas iš šonų su ilgiu a, b ir c, mes turime:
Tačiau, remiantis Pitagoro teorema, a 2 + b 2 = c 2, tada A + B = C.
Ir atvirkščiai, jei galime tai įrodyti A + B = C trims panašioms geometrinėms figūroms nenaudodami Pitagoro teoremos, tada galime įrodyti pačią teoremą, judančią priešinga kryptimi. Pavyzdžiui, pradinis centrinis trikampis gali būti pakartotinai naudojamas kaip trikampis C ant hipotenuzos ir du panašūs stačiakampiai trikampiai ( A ir B) pastatytas iš kitų dviejų pusių, kurios susidaro padalijus centrinį trikampį iš jo aukščio. Tada dviejų mažesnių trikampių plotų suma yra akivaizdžiai lygi trečiojo plotui, taigi A + B = C ir, atlikę ankstesnius įrodymus atvirkštine tvarka, gauname Pitagoro teoremą a 2 + b 2 = c 2 .
Kosinuso teorema
Pitagoro teorema yra specialus bendresnės kosinuso teoremos atvejis, susiejantis savavališko trikampio kraštinių ilgius:
kur θ yra kampas tarp kraštinių a ir b.
Jei θ yra 90 laipsnių, tada cos θ = 0 ir formulė supaprastinama iki įprastos Pitagoro teoremos.
Savavališkas trikampis
Į bet kurį pasirinktą savavališko trikampio su kraštinėmis kampą a, b, c lygiašonį trikampį įrašome taip, kad lygūs kampai jo pagrindu θ būtų lygūs pasirinktam kampui. Tarkime, kad pasirinktas kampas θ yra priešais nurodytą pusę c. Dėl to gavome trikampį ABD su kampu θ, kuris yra priešais šoną a ir vakarėliai r. Antrąjį trikampį sudaro kampas θ, esantis priešais kraštinę b ir vakarėliai Su ilgio s, kaip parodyta paveikslėlyje. Thabit Ibn Qurra teigė, kad šių trijų trikampių kraštinės yra susijusios taip:
Kampui θ artėjant prie π/2, lygiašonio trikampio pagrindas mažėja, o dvi kraštinės r ir s vis mažiau persidengia. Kai θ = π/2, ADB virsta stačiu trikampiu, r + s = c ir gauname pradinę Pitagoro teoremą.
Pažvelkime į vieną iš argumentų. Trikampis ABC turi tokius pačius kampus kaip ir trikampis ABD, bet atvirkštine tvarka. (Dviejų trikampių viršūnėje B yra bendras kampas, abiejų kampas θ, taip pat turi tą patį trečiąjį kampą pagal trikampio kampų sumą) Atitinkamai, ABC yra panašus į trikampio DBA atspindį ABD, kaip parodyta. apatinėje figūroje. Parašykime santykį tarp priešingų ir greta kampo θ esančių kraštinių,
Taip pat ir kito trikampio atspindys,
Padauginkite trupmenas ir pridėkite šiuos du santykius:
Q.E.D.
Savavališkų trikampių apibendrinimas lygiagrečiais
Apibendrinimas savavališkiems trikampiams,
žalios spalvos plotas sklypas = plotas mėlyna
Tezės įrodymas, kad aukščiau esančiame paveikslėlyje
Padarykime tolesnį nestačiakampių trikampių apibendrinimą, vietoj kvadratų naudodami lygiagretainius iš trijų kraštinių. (Kvadratai yra ypatingas atvejis.) Viršutiniame paveikslėlyje parodyta, kad smailaus trikampio lygiagretainio plotas ilgojoje kraštinėje yra lygus kitų dviejų kraštinių lygiagretainių sumai, jei lygiagretainis ilgojoje pusė sukonstruota taip, kaip parodyta paveikslėlyje (rodyklėmis pažymėti matmenys yra vienodi ir nustato apatinio lygiagretainio kraštines). Šis kvadratų pakeitimas lygiagrečiais aiškiai panašus į pradinę Pitagoro teoremą ir, manoma, kad jį suformulavo Pappas iš Aleksandrijos 4 m. e.
Apatiniame paveikslėlyje parodyta įrodinėjimo eiga. Pažiūrėkime į kairę trikampio pusę. Kairiojo žalio lygiagretainio plotas yra toks pat kaip ir mėlynojo lygiagretainio kairioji pusė, nes jie turi tą patį pagrindą b ir aukštis h. Be to, kairysis žalias langelis turi tą patį plotą kaip kairysis žalias langelis viršutiniame paveikslėlyje, nes jie turi bendrą pagrindą (viršutinę kairiąją trikampio pusę) ir bendrą aukštį, statmeną tai trikampio pusei. Panašiai argumentuodami dėl dešinės trikampio pusės, įrodome, kad apatinio lygiagretainio plotas yra toks pat kaip ir dviejų žaliųjų lygiagretainių.
Sudėtingi skaičiai
Pitagoro teorema naudojama norint rasti atstumą tarp dviejų taškų Dekarto koordinačių sistemoje, ir ši teorema galioja visoms tikrosioms koordinatėms: atstumas. s tarp dviejų taškų ( a, b) ir ( c, d) lygus
Su formule problemų nekyla, jei kompleksiniai skaičiai traktuojami kaip vektoriai su realiais komponentais x + aš y = (x, y). . Pavyzdžiui, atstumas s tarp 0 + 1 i ir 1 + 0 i apskaičiuokite kaip vektoriaus modulį (0, 1) − (1, 0) = (−1, 1), arba
Tačiau atliekant operacijas su vektoriais su sudėtingomis koordinatėmis, reikia šiek tiek patobulinti Pitagoro formulę. Atstumas tarp taškų su kompleksiniais skaičiais ( a, b) ir ( c, d); a, b, c, ir d visas sudėtingas, formuluojame naudodami absoliučias reikšmes. Atstumas s remiantis vektorių skirtumu (a − c, b − d) tokia forma: tegul skirtumas a − c = p+i q, kur p yra tikroji skirtumo dalis, q yra įsivaizduojama dalis, o i = √(−1). Taip pat leiskite b − d = r+i s. Tada:
kur yra kompleksinis konjugatas . Pavyzdžiui, atstumas tarp taškų (a, b) = (0, 1) ir (c, d) = (i, 0) , apskaičiuokite skirtumą (a − c, b − d) = (−i, 1) ir rezultatas būtų 0, jei nebūtų naudojami kompleksiniai konjugatai. Todėl, naudodami patobulintą formulę, gauname
Modulis apibrėžiamas taip:
Stereometrija
Reikšmingas Pitagoro teoremos apibendrinimas trimatei erdvei yra de Gua teorema, pavadinta J.-P. de Gua: jei tetraedras turi stačią kampą (kaip kube), tada stačiu kampu priešingo veido ploto kvadratas yra lygus kitų trijų veidų plotų kvadratų sumai. Šią išvadą galima apibendrinti taip: n-dimensinė Pitagoro teorema":
Trijų matmenų Pitagoro teorema įstrižainę AD susieja su trimis kraštinėmis.
Kitas apibendrinimas: Pitagoro teorema stereometrijai gali būti taikoma tokia forma. Apsvarstykite stačiakampę dėžę, kaip parodyta paveikslėlyje. Raskite įstrižainės BD ilgį naudodami Pitagoro teoremą:
kur trys kraštinės sudaro statųjį trikampį. Norėdami rasti įstrižainės AD ilgį, naudokite horizontalią įstrižainę BD ir vertikalią briauną AB, dar kartą naudodami Pitagoro teoremą:
arba, jei viskas parašyta vienoje lygtyje:
Šis rezultatas yra 3D išraiška, skirta vektoriaus dydžiui nustatyti v(įstrižainė AD), išreikšta statmenais komponentais ( v k) (trys viena kitai statmenos kraštinės):
Ši lygtis gali būti vertinama kaip Pitagoro teoremos apibendrinimas daugiamačiai erdvei. Tačiau rezultatas iš tikrųjų yra ne kas kita, kaip pakartotinis Pitagoro teoremos taikymas stačiųjų trikampių sekai iš eilės statmenose plokštumose.
vektorinė erdvė
Stačiakampės vektorių sistemos atveju įvyksta lygybė, kuri dar vadinama Pitagoro teorema:
Jei - tai vektoriaus projekcijos į koordinačių ašis, tada ši formulė sutampa su Euklido atstumu - ir reiškia, kad vektoriaus ilgis yra lygus jo komponentų kvadratų sumos kvadratinei šakniai.
Šios lygybės analogas begalinės vektorių sistemos atveju vadinamas Parsevalio lygybe.
Neeuklidinė geometrija
Pitagoro teorema yra kilusi iš Euklido geometrijos aksiomų ir iš tikrųjų negalioja neeuklido geometrijai tokia forma, kokia ji parašyta aukščiau. (Tai yra, Pitagoro teorema pasirodo esanti tam tikras Euklido paralelizmo postulato atitikmuo) Kitaip tariant, neeuklido geometrijoje trikampio kraštinių santykis būtinai bus kitokia nei Pitagoro teorema. . Pavyzdžiui, sferinėje geometrijoje visos trys stačiojo trikampio kraštinės (tarkim a, b ir c), kurie riboja vienetinio rutulio oktantą (aštuntą), ilgis π/2, o tai prieštarauja Pitagoro teoremai, nes a 2 + b 2 ≠ c 2 .
Apsvarstykite čia du neeuklido geometrijos atvejus – sferinę ir hiperbolinę geometriją; abiem atvejais, kaip ir Euklido erdvėje stačiakampiams trikampiams, rezultatas, pakeičiantis Pitagoro teoremą, išplaukia iš kosinuso teoremos.
Tačiau Pitagoro teorema lieka galioti hiperbolinei ir elipsinei geometrijai, jei reikalavimas, kad trikampis būtų stačiakampis, pakeičiamas sąlyga, kad trikampio dviejų kampų suma turi būti lygi trečiajam, tarkime, A+B = C. Tada santykis tarp kraštinių atrodo taip: apskritimų su skersmenimis plotų suma a ir b lygus apskritimo, kurio skersmuo, plotui c.
sferinė geometrija
Bet kuriam stačiajam trikampiui rutulyje, kurio spindulys R(pavyzdžiui, jei kampas γ trikampyje yra tiesus) su kraštinėmis a, b, c santykiai tarp šalių atrodys taip:
Šią lygybę galima išvesti kaip specialų sferinio kosinuso teoremos atvejį, kuris galioja visiems sferiniams trikampiams:
kur cosh yra hiperbolinis kosinusas. Ši formulė yra ypatingas hiperbolinio kosinuso teoremos atvejis, kuris galioja visiems trikampiams:
kur γ yra kampas, kurio viršūnė yra priešais kraštinę c.
kur g ij vadinamas metriniu tenzoriumi. Tai gali būti padėties funkcija. Tokiose kreivinėse erdvėse kaip įprastas pavyzdys yra Riemanno geometrija. Ši formuluotė taip pat tinka Euklido erdvei, kai naudojamos kreivinės koordinatės. Pavyzdžiui, poliarinėms koordinatėms:
vektorinis produktas
Pitagoro teorema sujungia dvi vektorinės sandaugos dydžio išraiškas. Vienas iš būdų, kaip apibrėžti kryžminį sandaugą, reikalauja, kad jis atitiktų lygtį:
ši formulė naudoja taškinį sandaugą. Dešinioji lygties pusė vadinama Gramo determinantu a ir b, kuri yra lygi lygiagretainio, sudaryto iš šių dviejų vektorių, plotui. Remiantis šiuo reikalavimu, taip pat reikalavimu, kad vektorinė sandauga būtų statmena jos komponentams a ir b iš to seka, kad, išskyrus trivialius 0 ir 1 matmenų erdvės atvejus, vektorinė sandauga apibrėžiama tik trimis ir septyniomis dimensijomis. Mes naudojame kampo apibrėžimą in n- matmenų erdvė:
ši vektorinės sandaugos savybė suteikia jos vertę tokia forma:
Per pagrindinę trigonometrinę Pitagoro tapatybę gauname kitą jo vertės rašymo formą:
Alternatyvus kryžminio produkto apibrėžimo metodas naudoja jo dydžio išraišką. Tada, ginčydami atvirkštine tvarka, gauname ryšį su skaliariniu sandauga:
taip pat žr
Pastabos
- Istorijos tema: Pitagoro teorema Babilono matematikoje
- ( , p. 351) 351 p
- ( , I tomas, p. 144)
- Istorinių faktų aptarimas pateiktas (, p. 351) 351 p
- Kurtas von Fricas (1945 m. balandis). „Metaponto Hippaso nesulyginamumo atradimas“. Matematikos metraščiai, antra serija(Matematikos metraštis) 46 (2): 242–264.
- Lewisas Carrollas, „Istorija su mazgais“, M., Mir, 1985, p. 7
- Asgeris Aaboe Epizodai iš ankstyvosios matematikos istorijos. - Amerikos matematikų asociacija, 1997. - P. 51. - ISBN 0883856131
- Pitagoro teiginys pateikė Elisha Scott Loomis
- Euklido Elementai: VI knyga, VI 31 teiginys: "Stačiakampiuose trikampiuose figūra toje pusėje, kurioje yra stačiu kampu, yra lygi panašioms ir panašiai aprašytoms figūroms tose pusėse, kuriose yra stačiakampis."
- Lawrence'as S. Leffas cituojamas darbas. - Barrono edukacinis serialas. - P. 326. - ISBN 0764128922
- Howardas Whitley Evesas§4.8:...Pitagoro teoremos apibendrinimas // Didieji matematikos momentai (iki 1650 m.) . - Amerikos matematikų asociacija, 1983 m. - P. 41. - ISBN 0883853108
- Tâbit ibn Qorra (pilnas vardas Thābit ibn Qurra ibn Marwan Al-Ṣābiʾ al-Ḥarrānī) (826–901 m. po Kr.) buvo Bagdade gyvenęs gydytojas, daug rašęs apie Euklido elementus ir kitus matematinius dalykus.
- Aydinas Sayilis (1960 m. kovo mėn.). „Thâbit ibn Qurra Pitagoro teoremos apibendrinimas“. Isis 51 (1): 35–37. DOI: 10.1086/348837.
- Judith D. Sally, Paul Sally 2.10(ii) pratimas // Cituotas darbas . - P. 62. - ISBN 0821844032
- Išsamiau apie tokią konstrukciją žr George'as Jenningsas 1.32 pav. Apibendrinta Pitagoro teorema // Šiuolaikinė geometrija su taikymais: su 150 figūrų . – 3-ioji. - Springer, 1997. - P. 23. - ISBN 038794222X
- Arlenas Brownas, Carlas M. Pearcy daiktas C: Norma savavališkam n-tuple ... // Įvadas į analizę . - Springer, 1995. - P. 124. - ISBN 0387943692 Taip pat žr. 47-50 puslapius.
- Alfredas Grėjus, Elsa Abbena, Simonas Salamonas Moderni diferencialinė kreivių ir paviršių geometrija su Mathematica. – 3-ioji. - CRC Press, 2006. - P. 194. - ISBN 1584884487
- Rajendra Bhatia matricos analizė. - Springer, 1997. - P. 21. - ISBN 0387948465
- Stephenas W. Hawkingas cituojamas darbas. - 2005. - P. 4. - ISBN 0762419229
- Ericas W. Weissteinas CRC glausta matematikos enciklopedija. – 2-oji. - 2003. - P. 2147. - ISBN 1584883472
- Aleksandras R. Prūsas
Kūrybiškumo potencialas dažniausiai priskiriamas humanitariniams mokslams, paliekant prigimtinę mokslinę analizę, praktinį požiūrį ir sausą formulių bei skaičių kalbą. Matematikos negalima priskirti prie humanitarinių mokslų dalykų. Tačiau be kūrybiškumo „visų mokslų karalienėje“ toli nenueisite – žmonės apie tai žinojo jau seniai. Pavyzdžiui, nuo Pitagoro laikų.
Mokykliniuose vadovėliuose, deja, dažniausiai nepaaiškinama, kad matematikoje svarbu ne tik prigrūsti teoremas, aksiomas ir formules. Svarbu suprasti ir pajusti pagrindinius jos principus. Ir tuo pačiu pasistenkite išlaisvinti savo mintis nuo klišių ir elementarių tiesų – tik tokiomis sąlygomis gimsta visi didieji atradimai.
Tokie atradimai apima tą, kurį šiandien žinome kaip Pitagoro teoremą. Jos pagalba bandysime parodyti, kad matematika ne tik gali, bet ir turi būti smagu. Ir kad šis nuotykis tinka ne tik storžieviams akiniams, bet visiems, kurie tvirti protu ir tvirti dvasia.
Iš problemos istorijos
Griežtai kalbant, nors teorema vadinama „Pitagoro teorema“, pats Pitagoras jos neatrado. Stačiakampis trikampis ir jo ypatingos savybės buvo tyrinėtos dar gerokai prieš jį. Šiuo klausimu yra du poliariniai požiūriai. Remiantis viena versija, Pitagoras pirmasis rado išsamų teoremos įrodymą. Kito teigimu, įrodymas nepriklauso Pitagoro autorystei.
Šiandien nebegalite patikrinti, kas teisus, o kas neteisus. Tik žinoma, kad Pitagoro įrodymas, jei jis kada nors egzistavo, neišliko. Tačiau yra prielaidų, kad garsusis įrodymas iš Euklido elementų gali priklausyti Pitagorui, o Euklidas jį tik užfiksavo.
Šiandien taip pat žinoma, kad problemų dėl stačiakampio trikampio randama Egipto šaltiniuose nuo faraono Amenemheto I laikų, Babilono molio lentelėse iš karaliaus Hamurabio valdymo laikų, senovės Indijos traktate Sulva Sutra ir senovės kinų veikale Zhou. -bi suan jin.
Kaip matote, Pitagoro teorema užėmė matematikų protus nuo seniausių laikų. Apytiksliai 367 įvairūs šiandien egzistuojantys įrodymai yra patvirtinimas. Jokia kita teorema šiuo atžvilgiu negali su ja konkuruoti. Įžymūs įrodymų autoriai yra Leonardo da Vinci ir 20-asis JAV prezidentas Jamesas Garfieldas. Visa tai byloja apie itin didelę šios teoremos svarbą matematikai: dauguma geometrijos teoremų yra išvestos iš jos arba vienaip ar kitaip su ja susijusios.
Pitagoro teoremos įrodymai
Mokykliniuose vadovėliuose dažniausiai pateikiami algebriniai įrodymai. Tačiau teoremos esmė yra geometrijoje, todėl visų pirma panagrinėkime tuos garsiosios teoremos įrodymus, kurie yra pagrįsti šiuo mokslu.
1 įrodymas
Paprasčiausiam Pitagoro teoremos stačiakampiam trikampiui įrodyti reikia nustatyti idealias sąlygas: tegul trikampis būna ne tik stačiakampis, bet ir lygiašonis. Yra pagrindo manyti, kad būtent tokį trikampį iš pradžių laikė senovės matematikai.
pareiškimas "Kvadratas, pastatytas ant stačiojo trikampio hipotenuzos, yra lygus kvadratų, pastatytų ant jo kojų, sumai" galima iliustruoti tokiu piešiniu:
Pažvelkite į lygiašonį stačiakampį trikampį ABC: hipotenuzėje AC galite sukurti kvadratą, sudarytą iš keturių trikampių, lygių pradiniam ABC. O ant kojelių AB ir BC pastatyta ant kvadrato, kurių kiekviename yra du panašūs trikampiai.
Beje, šis piešinys buvo daugelio anekdotų ir animacinių filmų, skirtų Pitagoro teoremai, pagrindas. Galbūt garsiausias yra "Pitagoro kelnės yra vienodos visomis kryptimis":
2 įrodymas
Šis metodas sujungia algebrą ir geometriją ir gali būti vertinamas kaip senovės Indijos matematiko Bhaskari įrodymo variantas.
Sukurkite stačiakampį trikampį su kraštinėmis a, b ir c(1 pav.). Tada pastatykite du kvadratus, kurių kraštinės yra lygios dviejų kojų ilgių sumai - (a+b). Kiekviename iš kvadratų padarykite konstrukcijas, kaip parodyta 2 ir 3 paveiksluose.
Pirmajame kvadrate pastatykite keturis tuos pačius trikampius, kaip parodyta 1 paveiksle. Rezultate gaunami du kvadratai: vienas su kraštine a, antras su kraštine. b.
Antrajame kvadrate keturi panašūs trikampiai sudaro kvadratą, kurio kraštinė lygi hipotenuzei c.
Sukonstruotų kvadratų plotų suma 2 pav. yra lygi kvadrato, kurį sukonstravome su c kraštine 3 pav., plotui. Tai galima lengvai patikrinti apskaičiuojant kvadratų plotus Fig. 2 pagal formulę. O įbrėžto kvadrato plotas 3 paveiksle. Iš didelio kvadrato su kraštine ploto atėmus keturių lygių stačiakampių trikampių, įrašytų į kvadratą, plotus (a+b).
Atsižvelgdami į visa tai, turime: a 2 + b 2 \u003d (a + b) 2 - 2ab. Išskleiskite skliaustus, atlikite visus reikiamus algebrinius skaičiavimus ir gaukite tai a 2 + b 2 = a 2 + b 2. Tuo pačiu metu plotas, įrašytas 3 pav. kvadratas taip pat gali būti apskaičiuojamas naudojant tradicinę formulę S=c2. Tie. a2+b2=c2 Jūs įrodėte Pitagoro teoremą.
3 įrodymas
Tas pats senovės Indijos įrodymas aprašytas XII amžiuje traktate „Žinių karūna“ („Siddhanta Shiromani“), o kaip pagrindinį argumentą autorius naudoja kreipimąsi į matematinius gabumus ir mokinių stebėjimo galias bei sekėjų: "Žiūrėk!".
Bet mes išanalizuosime šį įrodymą išsamiau:
Kvadrato viduje pastatykite keturis stačiakampius trikampius, kaip nurodyta brėžinyje. Pažymima didžiojo kvadrato, kuris kartu yra ir hipotenuzė, pusė Su. Pavadinkime trikampio kojas a ir b. Pagal brėžinį vidinio kvadrato pusė yra (a–b).
Naudokite kvadrato ploto formulę S=c2 išorinio kvadrato plotui apskaičiuoti. Ir tuo pačiu metu apskaičiuokite tą pačią vertę, pridėdami vidinio kvadrato plotą ir keturių stačiųjų trikampių plotą: (a-b) 2 2+4*1\2*a*b.
Galite naudoti abi parinktis kvadrato plotui apskaičiuoti, kad įsitikintumėte, jog jie duoda tą patį rezultatą. Ir tai suteikia jums teisę tai užsirašyti c 2 =(a-b) 2 +4*1\2*a*b. Išsprendę gausite Pitagoro teoremos formulę c2=a2+b2. Teorema įrodyta.
4 įrodymas
Šis keistas senovės kinų įrodymas vadinamas „Nuotakos kėde“ dėl į kėdę panašios figūros, kuri susidaro iš visų konstrukcijų:
Jis naudoja piešinį, kurį jau matėme 3 paveiksle antrajame įrodyme. O vidinis kvadratas su kraštine c yra sukonstruotas taip pat, kaip ir aukščiau pateiktame senovės Indijos įrodyme.
Jei mintyse nupjausite du žalius stačiakampius trikampius iš piešinio 1 pav., perkelsite juos į priešingas kvadrato, kurio kraštinė yra c, kraštines ir pritvirtinsite hipotenusas prie alyvinės spalvos trikampių įtvarų, gausite figūrą, vadinamą "nuotakos". kėdė“ (2 pav.). Aiškumo dėlei tą patį galite padaryti su popieriniais kvadratais ir trikampiais. Pamatysite, kad „nuotakos kėdę“ sudaro du kvadratai: maži su šonu b ir didelis su šonu a.
Šios konstrukcijos leido senovės Kinijos matematikams ir mums, sekantiems jas, prieiti prie tokios išvados c2=a2+b2.
5 įrodymas
Tai dar vienas būdas rasti Pitagoro teoremos sprendimą, pagrįstą geometrija. Jis vadinamas Garfieldo metodu.
Sukurkite statųjį trikampį ABC. Turime tai įrodyti BC 2 \u003d AC 2 + AB 2.
Norėdami tai padaryti, tęskite koją AC ir sukurti segmentą CD, kuris lygus kojai AB. Apatinis statmenas REKLAMA skyrius ED. Segmentai ED ir AC yra lygūs. sujungti taškus E ir V, taip pat E ir SU ir gaukite piešinį, kaip paveikslėlyje žemiau:
Norėdami įrodyti bokštą, vėl pasitelkiame jau išbandytą metodą: gautos figūros plotą randame dviem būdais ir išraiškas prilyginame viena kitai.
Raskite daugiakampio plotą LOVA gali būti padaryta pridedant trijų jį sudarančių trikampių plotus. Ir vienas iš jų ERU, yra ne tik stačiakampis, bet ir lygiašonis. Nepamirškime ir to AB = CD, AC=ED ir BC=CE- tai leis mums supaprastinti įrašymą ir jo neperkrauti. Taigi, S ABED \u003d 2 * 1/2 (AB * AC) + 1 / 2BC 2.
Kartu akivaizdu, kad LOVA yra trapecija. Todėl apskaičiuojame jo plotą pagal formulę: SABED=(DE+AB)*1/2AD. Mūsų skaičiavimams patogiau ir aiškiau pavaizduoti segmentą REKLAMA kaip atkarpų suma AC ir CD.
Parašykime abu būdus, kaip apskaičiuoti figūros plotą, tarp jų padėdami lygybės ženklą: AB*AC+1/2BC 2 =(DE+AB)*1/2(AC+CD). Mes naudojame mums jau žinomą ir aukščiau aprašytą segmentų lygybę, kad supaprastintume dešinę žymėjimo pusę: AB*AC+1/2BC 2 =1/2(AB+AC) 2. O dabar atveriame skliaustus ir transformuojame lygybę: AB*AC+1/2BC 2 =1/2AC 2 +2*1/2(AB*AC)+1/2AB 2. Baigę visas transformacijas, gauname būtent tai, ko mums reikia: BC 2 \u003d AC 2 + AB 2. Įrodėme teoremą.
Žinoma, šis įrodymų sąrašas toli gražu nėra baigtas. Pitagoro teorema taip pat gali būti įrodyta naudojant vektorius, kompleksinius skaičius, diferencialines lygtis, stereometriją ir kt. Ir net fizikai: jei, pavyzdžiui, skystis pilamas į kvadratinius ir trikampius tūrius, panašius į parodytus brėžiniuose. Pilant skystį galima įrodyti plotų lygybę ir dėl to pačią teoremą.
Keletas žodžių apie Pitagoro trynukus
Šis klausimas mažai nagrinėjamas arba visai nenagrinėjamas mokyklos programoje. Tuo tarpu tai labai įdomu ir turi didelę reikšmę geometrijoje. Pitagoro trigubai naudojami daugeliui matematinių uždavinių spręsti. Jų idėja gali būti naudinga jums tolimesniam mokymuisi.
Taigi, kas yra Pitagoro trynukai? Vadinamieji natūralūs skaičiai, surinkti trimis, kurių dviejų kvadratų suma lygi trečiajam skaičiui kvadratu.
Pitagoro trigubai gali būti:
- primityvus (visi trys skaičiai yra santykinai pirminiai);
- neprimityvus (jei kiekvienas trigubo skaičius padauginamas iš to paties skaičiaus, gaunamas naujas trigubas, kuris nėra primityvus).
Dar prieš mūsų erą senovės egiptiečius žavėjo Pitagoro trigubų skaičių manija: užduotyse jie laikė stačiakampį trikampį, kurio kraštinės yra 3,4 ir 5 vienetų. Beje, bet kuris trikampis, kurio kraštinės yra lygios skaičiams iš Pitagoro trigubo, pagal nutylėjimą yra stačiakampis.
Pitagoro trigubų pavyzdžiai: (3, 4, 5), (6, 8, 10), (5, 12, 13), (9, 12, 15), (8, 15, 17), (12, 16, 20) ), (15, 20, 25), (7, 24, 25), (10, 24, 26), (20, 21, 29), (18, 24, 30), (10, 30, 34) ), (21, 28, 35), (12, 35, 37), (15, 36, 39), (24, 32, 40), (9, 40, 41), (27, 36, 45), (14, 48, 50), (30, 40, 50) ir kt.
Praktinis teoremos taikymas
Pitagoro teorema pritaikoma ne tik matematikoje, bet ir architektūroje bei statybose, astronomijoje ir net literatūroje.
Pirma, apie konstrukciją: Pitagoro teorema joje plačiai taikoma sprendžiant įvairaus sudėtingumo problemas. Pavyzdžiui, pažiūrėkite į romaninį langą:
Lango plotį pažymėkime kaip b, tada didžiojo puslankio spindulį galima žymėti kaip R ir išreikšti per b: R=b/2. Mažesnių puslankių spindulys taip pat gali būti išreikštas b: r=b/4. Šioje užduotyje mus domina lango vidinio apskritimo spindulys (vadinkime jį p).
Pitagoro teorema tiesiog praverčia skaičiuojant R. Norėdami tai padaryti, naudojame stačiakampį trikampį, kuris paveikslėlyje pažymėtas punktyrine linija. Trikampio hipotenuzė susideda iš dviejų spindulių: b/4+p. Viena koja yra spindulys b/4, kitas b/2-p. Naudodami Pitagoro teoremą rašome: (b/4+p) 2 = (b/4) 2 + (b/2-p) 2. Toliau atidarome skliaustus ir gauname b 2 / 16+ bp / 2 + p 2 \u003d b 2 / 16 + b 2 / 4 bp + p 2. Paverskime šią išraišką į bp/2=b 2 /4-bp. Ir tada mes suskirstome visus terminus į b, duodame gauti panašius 3/2*p=b/4. Ir galų gale mes tai surandame p=b/6– ko mums ir reikėjo.
Naudodami teoremą galite apskaičiuoti dvišlaičio stogo gegnių ilgį. Nustatykite, kokio aukščio reikia mobiliojo bokšto, kad signalas pasiektų tam tikrą gyvenvietę. Ir net stabiliai įrengia eglutę miesto aikštėje. Kaip matote, ši teorema gyvena ne tik vadovėlių puslapiuose, bet dažnai praverčia ir realiame gyvenime.
Kalbant apie literatūrą, Pitagoro teorema įkvėpė rašytojus nuo antikos laikų ir tebekelia tai šiandien. Pavyzdžiui, XIX amžiaus vokiečių rašytojas Adelbertas von Chamisso buvo jos įkvėptas parašyti sonetą:
Tiesos šviesa greitai neišsklaidys,
Tačiau sužibėjęs vargu ar išsisklaidys
Ir kaip prieš tūkstančius metų,
Nekels abejonių ir ginčų.
Išmintingiausias, kai paliečia akį
Tiesos šviesa, ačiū dievams;
Ir šimtas bulių, nudurtų, guli -
Laimingojo Pitagoro grąžinimo dovana.
Nuo tada jaučiai beviltiškai riaumoja:
Amžinai sužadino bulių gentį
čia paminėtas įvykis.
Jie mano, kad jau laikas
Ir vėl jie bus paaukoti
Puiki teorema.
(vertė Viktoras Toporovas)
O dvidešimtajame amžiuje sovietų rašytojas Jevgenijus Veltistov savo knygoje „Elektronikos nuotykiai“ visą skyrių skyrė Pitagoro teoremos įrodymams. Ir pusė istorijos apie dvimatį pasaulį, kuris galėtų egzistuoti, jei Pitagoro teorema taptų pagrindiniu vieno pasaulio įstatymu ir net religija. Jame gyventi būtų daug lengviau, bet ir daug nuobodžiau: pavyzdžiui, niekas ten nesupranta žodžių „apvalus“ ir „pūkuotas“ reikšmės.
O knygoje „Elektronikos nuotykiai“ autorius matematikos mokytojo Tarataros lūpomis sako: „Matematikoje svarbiausia yra minčių judėjimas, naujos idėjos“. Būtent šis kūrybinis minties polėkis sukuria Pitagoro teoremą – ne veltui ji turi tiek daug įvairių įrodymų. Tai padeda peržengti įprastas ribas ir pažvelgti į pažįstamus dalykus naujai.
Išvada
Šis straipsnis buvo sukurtas tam, kad galėtumėte pažvelgti ne tik į mokyklinę matematikos programą ir išmokti ne tik tuos Pitagoro teoremos įrodymus, kurie pateikiami vadovėliuose „Geometrija 7-9“ (L.S. Atanasyan, V.N. Rudenko) ir „Geometrija 7 -11“. “ (AV Pogorelovas), bet ir kiti smalsūs būdai įrodyti garsiąją teoremą. Taip pat pamatykite pavyzdžius, kaip Pitagoro teorema gali būti taikoma kasdieniame gyvenime.
Pirma, ši informacija leis jums gauti aukštesnius balus matematikos pamokose – informacija šia tema iš papildomų šaltinių visada yra labai vertinama.
Antra, norėjome padėti jums pajusti, kokia įdomi yra matematika. Įsitikinti konkrečiais pavyzdžiais, kad jame visada yra vietos kūrybai. Tikimės, kad Pitagoro teorema ir šis straipsnis įkvėps jus atlikti savo tyrimus ir įdomių atradimų matematikos ir kitų mokslų srityse.
Pasakykite mums komentaruose, jei straipsnyje pateikti įrodymai jums pasirodė įdomūs. Ar ši informacija jums buvo naudinga studijuojant? Praneškite mums, ką manote apie Pitagoro teoremą ir šį straipsnį – mes mielai visa tai aptarsime su jumis.
blog.site, visiškai arba iš dalies nukopijavus medžiagą, būtina nuoroda į šaltinį.
Pitagoro teorema- viena iš pagrindinių Euklido geometrijos teoremų, nustatančių ryšį
tarp stačiojo trikampio kraštinių.
Manoma, kad tai įrodė graikų matematikas Pitagoras, kurio vardu jis ir pavadintas.
Geometrinė Pitagoro teoremos formuluotė.
Iš pradžių teorema buvo suformuluota taip:
Stačiakampiame trikampyje ant hipotenuzos pastatyto kvadrato plotas yra lygus kvadratų plotų sumai,
pastatytas ant kateterių.
Pitagoro teoremos algebrinė formuluotė.
Stačiakampiame trikampyje hipotenuzės ilgio kvadratas yra lygus kojų ilgių kvadratų sumai.
Tai yra, reiškiantis trikampio hipotenuzės ilgį c, o kojų ilgiai per a ir b:
Abi formulės Pitagoro teoremos yra lygiaverčiai, tačiau antroji formuluotė yra elementaresnė, tai nėra
reikalauja ploto sampratos. Tai yra, antrąjį teiginį galima patikrinti nieko nežinant apie sritį ir
matuojant tik stačiojo trikampio kraštinių ilgius.
Atvirkštinė Pitagoro teorema.
Jei trikampio vienos kraštinės kvadratas yra lygus kitų dviejų kraštinių kvadratų sumai, tada
trikampis yra stačiakampis.
Arba, kitaip tariant:
Bet kuriam teigiamų skaičių trigubui a, b ir c, toks
yra stačiakampis trikampis su kojomis a ir b ir hipotenuzė c.
Lygiašonio trikampio Pitagoro teorema.
Lygiakraščio trikampio Pitagoro teorema.
Pitagoro teoremos įrodymai.
Šiuo metu mokslinėje literatūroje yra užfiksuoti 367 šios teoremos įrodymai. Tikriausiai teorema
Pitagoras yra vienintelė teorema, turinti tokį įspūdingą įrodymų skaičių. Tokia įvairovė
galima paaiškinti tik pagrindine teoremos reikšme geometrijai.
Žinoma, konceptualiai visas jas galima suskirstyti į nedidelį skaičių klasių. Garsiausios iš jų:
įrodymas ploto metodas, aksiominis ir egzotiškų įrodymų(Pavyzdžiui,
per diferencialines lygtis).
1. Pitagoro teoremos įrodymas panašių trikampių atžvilgiu.
Šis algebrinės formuluotės įrodymas yra paprasčiausias iš sukonstruotų įrodymų
tiesiai iš aksiomų. Visų pirma, jame nenaudojama figūros ploto sąvoka.
Leisti ABC yra stačiakampis trikampis C. Nubrėžkime aukštį iš C ir žymėti
per jo pamatą H.
Trikampis ACH panašus į trikampį AB C ant dviejų kampų. Lygiai taip pat ir trikampis CBH panašus ABC.
Įvesdami užrašą:
mes gauname:
,
kas atitinka -
Sulenkęs a 2 ir b 2, gauname:
arba , kuris turėjo būti įrodytas.
2. Pitagoro teoremos įrodymas ploto metodu.
Šie įrodymai, nepaisant akivaizdaus jų paprastumo, nėra tokie paprasti. Visi jie
naudokite srities savybes, kurių įrodymas yra sudėtingesnis nei pačios Pitagoro teoremos įrodymas.
- Įrodymas naudojant lygiavertį papildymą.
Išdėstykite keturis vienodus stačiakampius
trikampis, kaip parodyta paveikslėlyje
Dešinėje.
Keturkampis su šonais c- kvadratas,
kadangi dviejų smailiųjų kampų suma yra 90°, ir
išvystytas kampas yra 180°.
Visos figūros plotas yra, viena vertus,
kvadrato su kraštine plotas ( a+b), ir, kita vertus, keturių trikampių plotų suma ir
Q.E.D.
3. Pitagoro teoremos įrodymas be galo mažu metodu.
Atsižvelgiant į brėžinį, parodytą paveikslėlyje, ir
stebint, kaip keičiasi pusėa, mes galime
parašykite tokį ryšį su begaliniu
mažas šoniniai prieaugiaiSu ir a(naudojant panašumą
trikampiai):
Naudodami kintamųjų atskyrimo metodą, randame:
Bendresnė hipotenuzės keitimo išraiška, kai auga abi kojos:
Integravę šią lygtį ir naudodami pradines sąlygas, gauname:
Taigi gauname norimą atsakymą:
Kaip nesunku pastebėti, kvadratinė priklausomybė galutinėje formulėje atsiranda dėl tiesinės
proporcingumas tarp trikampio kraštinių ir prieaugių, o suma yra susijusi su nepriklausomu
įnašai iš skirtingų kojų prieaugio.
Paprastesnį įrodymą galima gauti, jei manome, kad viena iš kojų nepatiria prieaugio
(šiuo atveju koja b). Tada integravimo konstantai gauname:
Animuotas Pitagoro teoremos įrodymas yra vienas iš esminis Euklido geometrijos teoremos, nustatančios ryšį tarp stačiojo trikampio kraštinių. Manoma, kad tai įrodė graikų matematikas Pitagoras, kurio vardu ji pavadinta (yra ir kitų versijų, ypač alternatyvios nuomonės, kad šią teoremą paprastai suformulavo Pitagoro matematikas Hipasas).
Teorema sako:
Stačiakampyje ant hipotenuzės pastatyto kvadrato plotas yra lygus kvadratų, pastatytų ant kojų, plotų sumai.
Nurodantis trikampio hipotenuzės ilgį c, o kojų ilgiai kaip a ir b, gauname tokią formulę:
Taigi Pitagoro teorema nustato ryšį, leidžiantį nustatyti stačiojo trikampio kraštinę, žinant kitų dviejų ilgius. Pitagoro teorema yra ypatingas kosinuso teoremos atvejis, kuris nustato santykį tarp savavališko trikampio kraštinių.
Taip pat įrodytas atvirkštinis teiginys (dar vadinamas atvirkštine Pitagoro teorema):
Bet kokiems trims teigiamiems skaičiams a, b ir c, kad a ? +b? = c ?, yra stačiakampis trikampis su kojomis a ir b ir hipotenuze c.
Vaizdiniai trikampio (3, 4, 5) įrodymai iš Chu Pei 500–200 m. Teoremos istoriją galima suskirstyti į keturias dalis: žinios apie Pitagoro skaičius, žinios apie stačiojo trikampio kraštinių santykį, žinios apie gretimų kampų santykį ir teoremos įrodymas.
Megalitinės struktūros apie 2500 m. pr. Kr Egipte ir Šiaurės Europoje yra stačiakampiai trikampiai su sveikosiomis kraštinėmis. Barthel Leendert van der Waerden spėjo, kad tais laikais Pitagoro skaičiai buvo rasti algebriškai.
Parašyta tarp 2000 ir 1876 m.pr.Kr papirusas iš Vidurio Egipto karalystės Berlynas 6619 yra uždavinys, kurio sprendimas yra Pitagoro skaičiai.
Valdant Hamurapiui Didžiajam, Vibilonijos lenta Plimpton 322, parašyta 1790–1750 m. pr. Kr. yra daug įrašų, glaudžiai susijusių su Pitagoro skaičiais.
Budhayana sutrose, kurios pagal skirtingas versijas datuojamos aštuntuoju ar antruoju amžiumi prieš Kristų. Indijoje yra Pitagoro skaičiai, gauti algebriškai, Pitagoro teoremos formuluotė ir geometrinis lygiašonio stačiojo trikampio įrodymas.
Apastambos sutrose (apie 600 m. pr. Kr.) yra skaitinis Pitagoro teoremos įrodymas, naudojant ploto skaičiavimus. Van der Waerden mano, kad jis buvo pagrįstas savo pirmtakų tradicijomis. Pasak Alberto Burko, tai yra originalus teoremos įrodymas ir jis siūlo, kad Pitagoras aplankė Arakonį ir jį nukopijavo.
Pitagoras, kurio gyvenimo metai paprastai nurodomi 569 – 475 m.pr.Kr. Pitagoro skaičiams skaičiuoti naudoja algebrinius metodus, teigiama Proklovo komentaruose apie Euklidą. Tačiau Proklas gyveno tarp 410 ir 485 m. Pasak Thomaso Giese'o, penkis šimtmečius po Pitagoro nėra jokių teoremos autorystės požymių. Tačiau kai autoriai, tokie kaip Plutarchas ar Ciceronas, priskiria teoremą Pitagorui, jie tai daro taip, tarsi autorystė būtų plačiai žinoma ir tikra.
Maždaug 400 m.pr.Kr Pasak Proklo, Platonas davė Pitagoro skaičių skaičiavimo metodą, derindamas algebrą ir geometriją. Maždaug 300 m. pr. Kr., m Pradžios Euklidas, turime seniausią aksiomatinį įrodymą, išlikusį iki šių dienų.
Parašytas kažkada tarp 500 m.pr.Kr. ir 200 m. pr. Kr., kinų matematinėje knygoje „Chu Pei“ (? ? ? ?) pateikiamas Pitagoro teoremos, kuri Kinijoje vadinama gugu teorema (????), vaizdinis įrodymas trikampiui su kraštinėmis (3) , 4, 5). Hanų dinastijos valdymo laikais, nuo 202 m.pr.Kr. prieš 220 m Pitagoro skaičiai pateikiami knygoje „Devyni matematinio meno skyriai“ kartu su stačiųjų trikampių paminėjimu.
Teoremos panaudojimas pirmą kartą užfiksuotas Kinijoje, kur ji žinoma kaip gugu teorema (????) ir Indijoje, kur ji žinoma kaip Baskaro teorema.
Daugelis ginčijasi, ar Pitagoro teorema buvo atrasta vieną kartą, ar pakartotinai. Boyer (1991) mano, kad Šulba Sutroje randamos žinios gali būti Mesopotamijos kilmės.
Algebrinis įrodymas 
Kvadratai sudaromi iš keturių stačiųjų trikampių. Yra žinoma daugiau nei šimtas Pitagoro teoremos įrodymų. Čia įrodymai yra pagrįsti figūros ploto egzistavimo teorema:
Padėkite keturis vienodus stačiuosius trikampius, kaip parodyta paveikslėlyje.
Keturkampis su šonais c yra kvadratas, nes dviejų smailiųjų kampų suma yra , o ištiesintas kampas yra .
Visos figūros plotas, viena vertus, lygus kvadrato, kurio kraštinė yra "a + b", plotui, kita vertus, keturių trikampių ir vidinio kvadrato plotų sumai. .
Ką reikia įrodyti.
Pagal trikampių panašumą 
Panašių trikampių naudojimas. Leisti ABC yra stačiakampis trikampis, kuriame kampas C tiesiai, kaip parodyta paveikslėlyje. Nubrėžkime aukštį iš taško c, ir paskambink H susikirtimo taškas su šonine AB. Susiformavo trikampis ACH kaip trikampis abc, nes jie abu yra stačiakampiai (pagal aukščio apibrėžimą) ir turi bendrą kampą A, akivaizdu, kad ir šiuose trikampiuose trečiasis kampas bus toks pat. Panašiai mirkuyuyuchy, trikampis CBH taip pat panašus į trikampį ABC. Iš trikampių panašumo: Jei
Tai galima parašyti kaip
Jei pridėsime šias dvi lygybes, gausime
HB + c kartus AH = c kartus (HB + AH) = c ^ 2, ! Src = "http://upload.wikimedia.org/math/7/0/9/70922f59b11b561621c245e11be0b61b.png" />
Kitaip tariant, Pitagoro teorema:
Euklido įrodymas 
Euklido įrodymas Euklido „Principuose“, Pitagoro teorema, įrodyta lygiagretainių metodu. Leisti A, B, C stačiojo trikampio viršūnės, su stačiu kampu A. Nuleiskite statmeną iš taško Aį šoną, esančią priešingoje hipotenuzėje, ant hipotenuzės pastatytame kvadrate. Linija padalija kvadratą į du stačiakampius, kurių kiekvieno plotas yra toks pat kaip ir ant kojų pastatytų kvadratų. Pagrindinė įrodymo mintis yra ta, kad viršutiniai kvadratai virsta to paties ploto lygiagrečiais, o tada grįžta atgal ir apatiniame kvadrate virsta stačiakampiais ir vėl to paties ploto.
Nubrėžkime segmentus CF ir REKLAMA, gauname trikampius BCF ir BDA.
kampuose TAKSI ir MAIŠAS- tiesus; taškų C, A ir G yra kolinearinės. Taip pat B, A ir H.
kampuose CBD ir FBA- abu yra tiesūs, tada kampas ABD lygus kampui fbc, kadangi abu yra stačiojo kampo ir kampo suma ABC.
Trikampis ABD ir FBC lygis iš dviejų pusių ir kampas tarp jų.
Nes taškai A, K ir L– kolinearinis, stačiakampio BDLK plotas lygus dviem trikampio sritims ABD (BDLK) = BAGF = AB2)
Panašiai gauname CKLE = ACIH = AC 2
Vienoje pusėje sritis CBDE lygi stačiakampių plotų sumai BDLK ir CKLE, kita vertus, aikštės plotas BC2, arba AB 2 + AC 2 = BC 2.
Diferencialų naudojimas 
Diferencialų naudojimas. Pitagoro teoremą galima pasiekti ištyrus, kaip kraštinės prieaugis veikia hipotenuzės ilgį, kaip parodyta paveikslėlyje dešinėje, ir atlikus nedidelį skaičiavimą.
Dėl šono augimo a, iš panašių trikampių be galo mažiems prieaugiams
Integruodami gauname
Jeigu a= 0 tada c = b, taigi „konstanta“ yra b 2. Tada
Kaip matyti, kvadratai atsiranda dėl proporcijos tarp žingsnių ir kraštinių, o suma yra nepriklausomo kraštinių prieaugio indėlio rezultatas, kuris nėra akivaizdus iš geometrinių įrodymų. Šiose lygtyse da ir dc yra atitinkamai be galo maži kraštinių prieaugiai a ir c. Bet vietoj jų naudojame? a ir? c, tada santykio riba, jei jie linkę į nulį, yra da / nuolatinė srovė, išvestinė, ir taip pat yra lygi c / a, trikampių kraštinių ilgių santykį, todėl gauname diferencialinę lygtį.
Stačiakampės vektorių sistemos atveju įvyksta lygybė, kuri dar vadinama Pitagoro teorema:
Jei - Tai yra vektoriaus projekcijos į koordinačių ašis, tada ši formulė sutampa su Euklido atstumu ir reiškia, kad vektoriaus ilgis yra lygus jo komponentų kvadratų sumos kvadratinei šaknei.
Šios lygybės analogas begalinės vektorių sistemos atveju vadinamas Parsevalio lygybe.
