TRIGONOMETRINĖS NELYGYBĖS SPRENDIMO METODAI

Aktualumas. Istoriškai trigonometrinėms lygtims ir nelygybėms mokyklos programoje buvo skirta ypatinga vieta. Galima sakyti, kad trigonometrija yra viena iš svarbiausių mokyklos kurso ir apskritai viso matematikos mokslo dalių.

Trigonometrinės lygtys ir nelygybės vidurinės mokyklos matematikos kurse užima vieną iš centrinių vietų tiek pagal mokomosios medžiagos turinį, tiek apie ugdomosios ir pažintinės veiklos metodus, kurie gali ir turėtų būti suformuoti jų studijų metu ir pritaikyti sprendžiant daug teorinio ir taikomojo pobūdžio problemų .

Trigonometrinių lygčių ir nelygybių sprendimas sukuria prielaidas sisteminti mokinių žinias, susijusias su visa mokomąja medžiaga trigonometrijoje (pavyzdžiui, trigonometrinių funkcijų savybes, trigonometrinių išraiškų transformavimo būdus ir kt.) ir leidžia užmegzti efektyvius ryšius su studijuojama medžiaga. algebroje (lygtys, lygčių ekvivalentiškumas, nelygybės, identiškos algebrinių reiškinių transformacijos ir kt.).

Kitaip tariant, trigonometrinių lygčių ir nelygybių sprendimo būdų svarstymas apima savotišką šių įgūdžių perkėlimą į naują turinį.

Teorijos reikšmė ir daugybė jos pritaikymų yra pasirinktos temos aktualumo įrodymas. Tai savo ruožtu leidžia nustatyti kursinio darbo tikslus, uždavinius ir tyrimo dalyką.

Tyrimo tikslas: apibendrinti turimus trigonometrinių nelygybių tipus, pagrindinius ir specialiuosius jų sprendimo būdus, parinkti mokinių trigonometrinių nelygybių sprendimo uždavinių rinkinį.

Tyrimo tikslai:

1. Remiantis turimos literatūros analize tiriama tema, susisteminti medžiagą.

2. Pateikite užduočių rinkinį, reikalingą temai „Trigonometrinės nelygybės“ konsoliduoti.

Tyrimo objektas yra trigonometrinės nelygybės mokykliniame matematikos kurse.

Studijų dalykas: trigonometrinių nelygybių rūšys ir jų sprendimo būdai.

Teorinė reikšmė yra sisteminti medžiagą.

Praktinė reikšmė: teorinių žinių taikymas sprendžiant problemas; pagrindinių bendrų trigonometrinių nelygybių sprendimo metodų analizė.

Tyrimo metodai : mokslinės literatūros analizė, įgytų žinių sintezė ir apibendrinimas, problemų sprendimo analizė, optimalių nelygybių sprendimo metodų paieška.

§1. Trigonometrinių nelygybių rūšys ir pagrindiniai jų sprendimo būdai

1.1. Paprasčiausios trigonometrinės nelygybės

Dvi trigonometrinės išraiškos, sujungtos ženklu arba >, vadinamos trigonometrinėmis nelygybėmis.

Trigonometrinės nelygybės sprendimas reiškia nežinomųjų, įtrauktų į nelygybę, reikšmių rinkinį, kurio nelygybė tenkinama.

Pagrindinė trigonometrinių nelygybių dalis išspręsta sumažinant jas iki paprasčiausio sprendimo:

Tai gali būti faktorizavimo metodas, kintamojo (
,
ir tt), kur pirmiausia išsprendžiama įprasta nelygybė, o po to – formos nelygybė
ir tt, ar kitais būdais.

Paprasčiausias nelygybes galima išspręsti dviem būdais: naudojant vienetų apskritimą arba grafiškai.

Leistif(x  – viena pagrindinių trigonometrinių funkcijų. Norėdami išspręsti nelygybę
jos sprendimą pakanka rasti vienu periodu, t.y. bet kuriame segmente, kurio ilgis lygus funkcijos perioduif  x  . Tada bus rastas pirminės nelygybės sprendimasx , taip pat tos reikšmės, kurios skiriasi nuo tų, kurias randa bet koks sveikasis funkcijos periodų skaičius. Šiuo atveju patogu naudoti grafinį metodą.

Pateiksime nelygybių sprendimo algoritmo pavyzdį
(
) Ir
.

Nelygybės sprendimo algoritmas
(
).

1. Suformuluokite skaičiaus sinuso apibrėžimąx ant vieneto apskritimo.

3. Ordinačių ašyje pažymėkite tašką koordinatea .

4. Per šį tašką nubrėžkite tiesę, lygiagrečią OX ašiai, ir pažymėkite jos susikirtimo taškus su apskritimu.

5. Pasirinkite apskritimo lanką, kurio visų taškų ordinatės yra mažesnės uža .

6. Nurodykite rato kryptį (prieš laikrodžio rodyklę) ir užrašykite atsakymą, įtraukdami funkcijos periodą prie intervalo galų.2πn ,
.

Nelygybės sprendimo algoritmas
.

1. Suformuluokite skaičiaus liestinės apibrėžimąx ant vieneto apskritimo.

2. Nubrėžkite vienetinį apskritimą.

3. Nubrėžkite liestinių liniją ir pažymėkite joje tašką su ordinatėmisa .

4. Sujunkite šį tašką su pradžios tašku ir pažymėkite gautos atkarpos susikirtimo tašką su vienetiniu apskritimu.

5. Pasirinkite apskritimo lanką, kurio visų taškų liestinės tiesės ordinatės yra mažesnės uža .

6. Nurodykite važiavimo kryptį ir parašykite atsakymą atsižvelgdami į funkcijos apibrėžimo sritį, pridėdami tašką.πn ,
(skaičius įrašo kairėje visada yra mažesnis už skaičių dešinėje).

Paprasčiausių lygčių sprendinių grafinis aiškinimas ir nelygybių sprendimo formulės bendra forma nurodyta priede (1 ir 2 priedai).

1 pavyzdys. Išspręskite nelygybę
.

Nubrėžkite tiesią liniją ant vieneto apskritimo
, kuris kerta apskritimą taškuose A ir B.

Visos reikšmėsy intervale NM yra didesnis , visi AMB lanko taškai tenkina šią nelygybę. Visais sukimosi kampais, didelis , bet mažesnis ,
perims didesnes vertybes (bet ne daugiau kaip vieną).

1 pav

Taigi, nelygybės sprendimas bus visos intervalo reikšmės
, t.y.
. Norint gauti visus šios nelygybės sprendinius, pakanka pridėti prie šio intervalo galų
, Kur
, t.y.
,
. Atkreipkite dėmesį, kad vertės
Ir
yra lygties šaknys
,

tie.
;
.

Atsakymas:
,
.

1.2. Grafinis metodas

Praktikoje grafinis trigonometrinių nelygybių sprendimo metodas dažnai pasirodo esąs naudingas. Panagrinėkime metodo esmę nelygybės pavyzdžiu
:

1. Jei argumentas yra sudėtingas (skirtingas nuoX ), tada pakeiskite jį įt .

2. Statome vienoje koordinačių plokštumojetOy funkcijų grafikai
Ir
.

3. Randame tokiusdu gretimi grafikų susikirtimo taškai, tarp kuriųsinusinės bangosesančiosaukštesnė tiesiai
. Randame šių taškų abscises.

4. Argumentui parašykite dvigubą nelygybęt , atsižvelgiant į kosinuso periodą (t bus tarp rastų abscisių).

5. Atlikite atvirkštinį keitimą (grįžkite prie pradinio argumento) ir išreikškite reikšmęX iš dvigubos nelygybės atsakymą rašome skaitinio intervalo forma.

2 pavyzdys. Išspręskite nelygybę: .

Sprendžiant nelygybes grafiniu metodu, būtina kuo tiksliau sukonstruoti funkcijų grafikus. Transformuokime nelygybę į formą:

Sukurkime funkcijų grafikus vienoje koordinačių sistemoje
Ir
(2 pav.).

2 pav

Funkcijų grafikai susikerta taškeA su koordinatėmis
;
. Tarp
grafiko taškai
žemiau grafiko taškų
. Ir kada
funkcijų reikšmės yra vienodos. Štai kodėl
adresu
.

Atsakymas:
.

1.3. Algebrinis metodas

Gana dažnai pradinė trigonometrinė nelygybė gali būti sumažinta iki algebrinės (racionalios arba neracionalios) nelygybės, naudojant gerai parinktą pakaitalą. Šis metodas apima nelygybės transformavimą, pakaitų įvedimą arba kintamojo pakeitimą.

Pažvelkime į konkrečius šio metodo taikymo pavyzdžius.

3 pavyzdys. Sumažinimas į paprasčiausią formą
.

(3 pav.)

3 pav

,
.

Atsakymas:
,

4 pavyzdys. Išspręskite nelygybę:

ODZ:
,
.

Naudojant formules:
,

Parašykime nelygybę formoje:
.

Arba, tikėdamas
po paprastų transformacijų gauname

,

,

.

Išspręsdami paskutinę nelygybę intervalo metodu, gauname:

4 pav

, atitinkamai
. Tada iš fig. 4 seka
, Kur
.

5 pav

Atsakymas:
,
.

1.4. Intervalinis metodas

Bendra trigonometrinių nelygybių sprendimo intervalo metodu schema:

Koeficientas naudojant trigonometrines formules.

Raskite funkcijos nepertraukiamumo taškus ir nulius ir padėkite juos ant apskritimo.

Paimkite bet kurį taškąKAM (bet anksčiau nerasta) ir išsiaiškinkite prekės ženklą. Jei sandauga teigiama, ant kampą atitinkančio spindulio už vienetinio apskritimo uždėkite tašką. Priešingu atveju įdėkite tašką apskritimo viduje.

Jei taškas pasitaiko lyginį skaičių kartų, mes jį vadiname lyginio daugybos tašku, o jei nelyginį skaičių kartų – nelyginio daugybos tašku. Nubrėžkite lankus taip: pradėkite nuo taškoKAM , jei kitas taškas yra nelyginio daugumo, tai lankas šiame taške kerta apskritimą, o jei taškas yra lyginio daugumo, tada jis nesikerta.

Lankai už apskritimo yra teigiami intervalai; apskritimo viduje yra neigiamų erdvių.

5 pavyzdys. Išspręskite nelygybę

,
.

Pirmosios serijos taškai:
.

Antrosios serijos taškai:
.

Kiekvienas taškas pasitaiko nelyginį skaičių kartų, tai yra, visi taškai yra nelyginio daugumo.

Sužinokime prekės ženklą adresu
: . Vienetiniame apskritime pažymėkime visus taškus (6 pav.):

Ryžiai. 6

Atsakymas:
,
;
,
;
,
.

6 pavyzdys . Išspręskite nelygybę.

Sprendimas:

Raskime išraiškos nulius .

Gautiaem :

,
;

,
;

,
;

,
;

Ant vieneto apskritimo serijos vertėsX 1 pavaizduoti taškais
. SerijaX 2 suteikia taškų
. SerijosX 3 gauname du taškus
. Pagaliau serialasX 4 atstovaus taškus
. Nubraižykime visus šiuos taškus vieneto apskritime, šalia kiekvieno skliausteliuose nurodydami jo daugumą.

Leisk dabar skaičių bus lygus. Apskaičiuokime pagal ženklą:

Taigi, taškasA turėtų būti parinktas ant spindulio, sudarančio kampą su sijaOi, už vieneto rato ribų. (Atkreipkite dėmesį, kad pagalbinė sijaAPIE A Visai nebūtina to pavaizduoti paveikslėlyje. TaškasA parenkamas apytiksliai.)

Dabar iš taškoA nuosekliai nubrėžkite banguotą ištisinę liniją į visus pažymėtus taškus. Ir taškuose
mūsų linija eina iš vienos srities į kitą: jei ji buvo už vieneto apskritimo ribų, tada ji eina jos viduje. Artėjant prie taško , linija grįžta į vidinę sritį, nes šio taško daugyba yra lyginė. Panašiai ir taške (su net daugybe) linija turi būti pasukta į išorinę sritį. Taigi, nupiešėme tam tikrą paveikslėlį, parodytą Fig. 7. Tai padeda paryškinti norimas sritis ant vieneto apskritimo. Jie pažymėti „+“ ženklu.

7 pav

Galutinis atsakymas:

Pastaba. Jei banguota linija, perėjus visus vienetinio apskritimo taškus, negali būti grąžinta į taškąA , neperžengus apskritimo „nelegalioje“ vietoje, tai reiškia, kad sprendime buvo padaryta klaida, būtent, praleistas nelyginis šaknų skaičius.

Atsakymas: .

§2. Trigonometrinių nelygybių sprendimo uždavinių rinkinys

Ugdant mokinių gebėjimą spręsti trigonometrines nelygybes, taip pat galima išskirti 3 etapus.

1. parengiamieji,

2. ugdyti gebėjimą spręsti paprastas trigonometrines nelygybes;

3. kitų tipų trigonometrinių nelygybių įvedimas.

Parengiamojo etapo tikslas yra tai, kad moksleiviuose būtina ugdyti gebėjimą naudoti trigonometrinį apskritimą ar grafiką sprendžiant nelygybes, būtent:

Gebėjimas spręsti paprastas formos nelygybes
,
,
,
, naudojant sinuso ir kosinuso funkcijų savybes;

Gebėjimas sudaryti dvigubas nelygybes skaičių apskritimo lankams arba funkcijų grafikų lankams;

Gebėjimas atlikti įvairias trigonometrinių išraiškų transformacijas.

Šį etapą rekomenduojama įgyvendinti sisteminant moksleivių žinias apie trigonometrinių funkcijų savybes. Pagrindinės priemonės gali būti mokiniams siūlomos užduotys, atliekamos vadovaujant mokytojui arba savarankiškai, taip pat įgūdžiai, lavinami sprendžiant trigonometrines lygtis.

Štai tokių užduočių pavyzdžiai:

1 . Pažymėkite tašką vieneto apskritime , Jei

.

2. Kuriame koordinačių plokštumos ketvirtyje yra taškas? , Jei lygus:

3. Pažymėkite taškus trigonometriniame apskritime , Jei:

4. Konvertuoti išraišką į trigonometrines funkcijasašketvirčiai.

A)
, b)
, V)

5. Pateikiamas lanko MR.M – vidurysaš– ketvirtį,R – vidurysIIketvirtį. Apribokite kintamojo reikšmęt už: (padarykite dvigubą nelygybę) a) lanko MR; b) RM lankai.

6. Užrašykite pasirinktų grafiko dalių dvigubą nelygybę:

Ryžiai. 1

7. Išspręskite nelygybes
,
,
,
.

8. Konvertuoti išraišką .

Antrajame mokymosi spręsti trigonometrines nelygybes etape galime pasiūlyti šias rekomendacijas, susijusias su studentų veiklos organizavimo metodika. Šiuo atveju reikia sutelkti dėmesį į turimus mokinių darbo su trigonometriniu apskritimu ar grafiku įgūdžius, suformuotus sprendžiant paprasčiausias trigonometrines lygtis.

Pirma, galima motyvuoti bendrąjį paprasčiausių trigonometrinių nelygybių sprendimo metodo gavimo tikslingumą, kreipiantis, pavyzdžiui, į formos nelygybę.
. Pasinaudodami parengiamajame etape įgytomis žiniomis ir įgūdžiais, studentai pasiūlytą nelygybę įneš į formą
, tačiau gali būti sunku rasti susidariusios nelygybės sprendimų rinkinį, nes Neįmanoma to išspręsti tik naudojant sinusinės funkcijos savybes. Šio sunkumo galima išvengti atsivertus atitinkamą iliustraciją (išsprendžiant lygtį grafiškai arba naudojant vienetinį apskritimą).

Antra, mokytojas turėtų atkreipti mokinių dėmesį į skirtingus užduoties atlikimo būdus, pateikti tinkamą nelygybės sprendimo pavyzdį tiek grafiškai, tiek naudojant trigonometrinį apskritimą.

Panagrinėkime šiuos nelygybės sprendimus
.

1. Nelygybės sprendimas naudojant vienetinį apskritimą.

Pirmoje trigonometrinių nelygybių sprendimo pamokoje mokiniams pasiūlysime išsamų sprendimo algoritmą, kuris žingsnis po žingsnio pristatyme atspindi visus pagrindinius įgūdžius, reikalingus nelygybei išspręsti.

1 žingsnis.Nubrėžkime vienetinį apskritimą ir pažymime tašką ordinačių ašyje ir per ją nubrėžkite tiesią liniją, lygiagrečią x ašiai. Ši linija susikirs su vieneto apskritimu dviejuose taškuose. Kiekvienas iš šių taškų reiškia skaičius, kurių sinusas yra lygus .

2 žingsnis.Ši tiesi linija padalijo apskritimą į du lankus. Pasirinkime tą, kuriame pavaizduoti skaičiai, kurių sinusas didesnis už . Natūralu, kad šis lankas yra virš nubrėžtos tiesios linijos.

Ryžiai. 2

3 veiksmas.Pasirinkite vieną iš pažymėto lanko galų. Užrašykime vieną iš skaičių, kurį pavaizduoja šis vienetinio apskritimo taškas .

4 veiksmas.Norėdami pasirinkti skaičių, atitinkantį antrąjį pasirinkto lanko galą, mes „einame“ šiuo lanku nuo pavadinto galo iki kito. Tuo pačiu atminkite, kad judant prieš laikrodžio rodyklę, skaičiai, kuriais eisime, didėja (judant priešinga kryptimi skaičiai mažėtų). Užrašykime skaičių, kuris pavaizduotas vieneto apskritime iki antrojo pažymėto lanko galo .

Taigi matome tą nelygybę
patenkinti skaičius, kuriems nelygybė yra teisinga
. Išsprendėme skaičių, esančių tame pačiame sinusinės funkcijos periode, nelygybę. Todėl visi nelygybės sprendiniai gali būti parašyti forma

Mokinių turėtų būti paprašyta atidžiai išnagrinėti piešinį ir išsiaiškinti, kodėl visi nelygybės sprendimai
galima parašyti formoje
,
.

Ryžiai. 3

Būtina atkreipti mokinių dėmesį į tai, kad spręsdami kosinuso funkcijos nelygybes brėžiame lygiagrečią ordinačių ašiai tiesę.

Grafinis nelygybių sprendimo metodas.

Kuriame grafikus
Ir
, turint omenyje
.

Ryžiai. 4

Tada parašome lygtį
ir jo sprendimas
,
,
, rasta naudojant formules
,
,
.

(Duotin reikšmes 0, 1, 2, randame tris sudarytos lygties šaknis). Vertybės
yra trys iš eilės einančios grafikų susikirtimo taškų abscisės
Ir
. Aišku, visada per intervalą
nelygybė galioja
, ir intervale
– nelygybė
. Mus domina pirmasis atvejis, o tada prie šio intervalo galų pridėjus skaičių, kuris yra sinuso periodo kartotinis, gauname nelygybės sprendimą
kaip:
,
.

Ryžiai. 5

Apibendrinti. Norėdami išspręsti nelygybę
, reikia sukurti atitinkamą lygtį ir ją išspręsti. Iš gautos formulės raskite šaknis Ir , ir atsakymą į nelygybę parašykite tokia forma: ,
.

Trečia, faktas apie atitinkamos trigonometrinės nelygybės šaknų aibę labai aiškiai pasitvirtina ją sprendžiant grafiškai.

Ryžiai. 6

Būtina parodyti studentams, kad posūkis, kuris yra nelygybės sprendimas, kartojasi per tą patį intervalą, lygų trigonometrinės funkcijos periodui. Taip pat galite apsvarstyti panašią sinusinės funkcijos grafiko iliustraciją.

Ketvirta, patartina atlikti darbą atnaujinant studentų metodus, kaip trigonometrinių funkcijų sumą (skirtumą) paversti sandauga, ir atkreipti studentų dėmesį į šių metodų vaidmenį sprendžiant trigonometrines nelygybes.

Toks darbas gali būti organizuojamas mokiniams savarankiškai atliekant mokytojo pasiūlytas užduotis, tarp kurių išskiriame:

Penkta, studentai turi iliustruoti kiekvienos paprastos trigonometrinės nelygybės sprendimą, naudodami grafiką arba trigonometrinį apskritimą. Būtinai turėtumėte atkreipti dėmesį į jo tikslingumą, ypač į apskritimo naudojimą, nes sprendžiant trigonometrines nelygybes, atitinkama iliustracija yra labai patogi priemonė įrašyti tam tikros nelygybės sprendinių rinkinį.

Patartina supažindinti studentus su ne pačiais paprasčiausiais trigonometrinių nelygybių sprendimo būdais pagal šią schemą: pereinant prie konkrečios trigonometrinės nelygybės, pereinant prie atitinkamos trigonometrinės lygties jungtinės sprendinio paieškos (dėstytojas – mokiniai); savarankiškas nelygybių perkėlimas. rastas metodas kitoms to paties tipo nelygybėms.

Norint susisteminti studentų žinias apie trigonometriją, rekomenduojame specialiai atrinkti tokias nelygybes, kurių sprendimas reikalauja įvairių transformacijų, kurias galima įgyvendinti sprendžiant, ir sutelkti studentų dėmesį į jų ypatybes.

Kaip tokias produktyvias nelygybes galime pasiūlyti, pavyzdžiui:

Pabaigoje pateikiame trigonometrinių nelygybių sprendimo uždavinių rinkinio pavyzdį.

1. Išspręskite nelygybes:

2. Išspręskite nelygybes: 3. Raskite visus nelygybių sprendimus: 4. Raskite visus nelygybių sprendimus:

A)
, tenkinantis sąlygą
;

b)
, tenkinantis sąlygą
.

5. Raskite visus nelygybių sprendimus:

A) ;

b) ;

V)
;

G)
;

d)
.

6. Išspręskite nelygybes:

A) ;

b) ;

V);

G)
;

d) ;

e) ;

ir)
.

7. Išspręskite nelygybes:

A)
;

b) ;

V);

G) .

8. Išspręskite nelygybes:

A) ;

b) ;

V);

G)
;

d)
;

e) ;

ir)
;

h) .

6 ir 7 užduotis patartina siūlyti matematiką aukštesniuoju lygiu studijuojantiems studentams, 8 užduotį – aukštesnio lygio matematikos studijų klasių mokiniams.

§3. Specialūs trigonometrinių nelygybių sprendimo metodai

Specialūs trigonometrinių lygčių sprendimo metodai – tai yra tie metodai, kurie gali būti naudojami tik trigonometrinėms lygtims spręsti. Šie metodai yra pagrįsti trigonometrinių funkcijų savybių naudojimu, taip pat įvairių trigonometrinių formulių ir tapatybių naudojimu.

3.1. Sektorinis metodas

Panagrinėkime sektorių metodą trigonometrinėms nelygybėms spręsti. Formos nelygybių sprendimas

, KurP ( x ) IrK ( x ) – racionalios trigonometrinės funkcijos (į jas racionaliai įtraukiami sinusai, kosinusai, liestinės ir kotangentai), panašiai kaip sprendžiant racionaliąsias nelygybes. Racionaliąsias nelygybes patogu spręsti naudojant intervalų skaičių tiesėje metodą. Jo analogas racionalioms trigonometrinėms nelygybėms spręsti yra trigonometrinio apskritimo sektorių metodas,sinx Ircosx (
) arba trigonometrinis puslankistgx Irctgx (
).

Intervaliniu metodu kiekvienas formos skaitiklio ir vardiklio tiesinis koeficientas
skaičių ašyje atitinka tašką , o einant per šį tašką
keičia ženklą. Sektoriaus metodu kiekvienas formos veiksnys
, Kur
- viena iš funkcijųsinx arbacosx Ir
, trigonometriniame apskritime atitinka du kampai Ir
, kurie padalija apskritimą į du sektorius. Pravažiuojant Ir funkcija
keičia ženklą.

Reikia atsiminti šiuos dalykus:

a) Formos veiksniai
Ir
, Kur
, išsaugokite ženklą visoms reikšmėms . Tokie skaitiklio ir vardiklio veiksniai atmetami keičiant (jei
) su kiekvienu tokiu atmetimu nelygybės ženklas apverčiamas.

b) Formos veiksniai
Ir
taip pat išmesti. Be to, jei tai yra vardiklio veiksniai, tada formos nelygybės pridedamos prie ekvivalentinės nelygybių sistemos
Ir
. Jei tai yra skaitiklio veiksniai, tai ekvivalentinėje apribojimų sistemoje jie atitinka nelygybes
Ir
esant griežtai pradinei nelygybei ir lygybei
Ir
esant negriežtai pradinei nelygybei. Atmetus daugiklį
arba
nelygybės ženklas yra apverstas.

1 pavyzdys. Išspręskite nelygybes: a)
, b)
. turime funkciją b) . Išspręskite mūsų turimą nelygybę,

3.2. Koncentrinio apskritimo metodas

Šis metodas yra lygiagrečių skaičių ašių metodo analogas racionaliųjų nelygybių sistemoms spręsti.

Panagrinėkime nelygybių sistemos pavyzdį.

5 pavyzdys. Išspręskite paprastų trigonometrinių nelygybių sistemą

Pirmiausia kiekvieną nelygybę išsprendžiame atskirai (5 pav.). Viršutiniame dešiniajame paveikslo kampe nurodysime, kuriam argumentui svarstomas trigonometrinis apskritimas.

5 pav

Toliau mes sukuriame argumento koncentrinių apskritimų sistemąX . Nubrėžiame apskritimą ir nuspalviname jį pagal pirmosios nelygybės sprendinį, tada nubrėžiame didesnio spindulio apskritimą ir nuspalviname jį pagal antrosios sprendinį, tada konstruojame apskritimą trečiajai nelygybei ir pagrindo apskritimą. Mes ištraukiame spindulius iš sistemos centro per lankų galus taip, kad jie kirstų visus apskritimus. Ant pagrindo apskritimo formuojame tirpalą (6 pav.).

6 pav

Atsakymas:
,
.

Išvada

Visi kurso tyrimo tikslai buvo įgyvendinti. Susisteminta teorinė medžiaga: pateikiami pagrindiniai trigonometrinių nelygybių tipai ir pagrindiniai jų sprendimo būdai (grafinis, algebrinis, intervalų metodas, sektoriai ir koncentrinių apskritimų metodas). Kiekvienam metodui buvo pateiktas nelygybės sprendimo pavyzdys. Po teorinės dalies sekė praktinė dalis. Jame yra užduočių rinkinys trigonometrinėms nelygybėms spręsti.

Šį kursinį darbą studentai gali naudoti savarankiškam darbui. Mokiniai gali pasitikrinti šios temos įvaldymo lygį ir praktikuotis atliekant įvairaus sudėtingumo užduotis.

Išstudijavus aktualią literatūrą šia tema, akivaizdžiai galime daryti išvadą, kad mokyklinio algebros ir elementarios analizės kurse labai svarbūs gebėjimai ir įgūdžiai spręsti trigonometrines nelygybes, kurių plėtojimas reikalauja didelių matematikos mokytojo pastangų.

Todėl šis darbas bus naudingas matematikos mokytojams, nes leidžia efektyviai organizuoti mokinių mokymą tema „Trigonometrinės nelygybės“.

Tyrimą galima tęsti išplečiant jį iki galutinio kvalifikacinio darbo.

Naudotos literatūros sąrašas

Bogomolovas, N.V. Matematikos uždavinių rinkinys [Tekstas] / N.V. Bogomolovas. – M.: Bustard, 2009. – 206 p.

Vygodskis, M.Ya. Elementariosios matematikos vadovas [Tekstas] / M.Ya. Vygodskis. – M.: Bustard, 2006. – 509 p.

Žurbenko, L.N. Matematika pavyzdžiuose ir uždaviniuose [Tekstas] / L.N. Žurbenko. – M.: Infra-M, 2009. – 373 p.

Ivanovas, O.A. Elementarioji matematika moksleiviams, studentams ir mokytojams [Tekstas] / O.A. Ivanovas. – M.: MTsNMO, 2009. – 384 p.

Karpas, A.P. Algebros užduotys ir analizės pradžia organizuojant galutinį kartojimą ir atestavimą 11 klasėje [Tekstas] / A.P. Karpis. – M.: Švietimas, 2005. – 79 p.

Kulaninas, E.D. 3000 matematikos konkursinių uždavinių [Tekstas] / E.D. Kulaninas. – M.: Iris-press, 2007. – 624 p.

Leibsonas, K.L. Praktinių matematikos užduočių rinkinys [Tekstas] / K.L. Leibsonas. – M.: Bustard, 2010. – 182 p.

Alkūnė, V.V. Problemos su parametrais ir jų sprendimas. Trigonometrija: lygtys, nelygybės, sistemos. 10 klasė [Tekstas] / V.V. Alkūnė. – M.: ARKTI, 2008. – 64 p.

Manova, A.N. Matematika. Greitasis dėstytojas ruošiantis vieningam valstybiniam egzaminui: studentas. vadovas [tekstas] / A.N. Manova. – Rostovas prie Dono: Feniksas, 2012. – 541 p.

Mordkovičius, A.G. Algebra ir matematinės analizės pradžia. 10-11 klasių. Vadovėlis bendrojo ugdymo įstaigų mokiniams [Tekstas] / A.G. Mordkovičius. – M.: Iris-press, 2009. – 201 p.

Novikovas, A.I. Trigonometrinės funkcijos, lygtys ir nelygybės [Tekstas] / A.I. Novikovas. – M.: FIZMATLIT, 2010. – 260 p.

Oganesjanas, V.A. Matematikos mokymo metodai vidurinėje mokykloje: Bendroji metodika. Vadovėlis vadovas fizikos studentams - mat. fak. ped. Inst. [Tekstas] / V.A. Oganesjanas. – M.: Švietimas, 2006. – 368 p.

Olehnikas, S.N. Lygtys ir nelygybės. Nestandartiniai sprendimo būdai [Tekstas] / S.N. Olehnik. – M.: Factorial leidykla, 1997. – 219 p.

Sevryukovas, P.F. Trigonometrinės, eksponentinės ir logaritminės lygtys ir nelygybės [Tekstas] / P.F. Sevriukovas. – M.: Visuomenės švietimas, 2008. – 352 p.

Sergejevas, I. N. Vieningas valstybinis egzaminas: 1000 matematikos uždavinių su atsakymais ir sprendimais. Visos C grupės užduotys [Tekstas] / I.N. Sergejevas. – M.: Egzaminas, 2012. – 301 p.

Sobolevas, A.B. Elementarioji matematika [Tekstas] / A.B. Sobolevas. – Jekaterinburgas: Valstybinė aukštojo profesinio mokymo įstaiga USTU-UPI, 2005. – 81 p.

Fenko, L.M. Intervalų metodas sprendžiant nelygybes ir tiriant funkcijas [Tekstas] / L.M. Fenko. – M.: Bustard, 2005. – 124 p.

Friedmanas, L.M. Teoriniai matematikos mokymo metodų pagrindai [Tekstas] / L.M. Friedmanas. – M.: Knygų namai „LIBROKOM“, 2009. – 248 p.

1 priedas

Paprastų nelygybių sprendinių grafinė interpretacija

Ryžiai. 1

Ryžiai. 2

3 pav

4 pav

5 pav

6 pav

7 pav

8 pav

2 priedas

Paprastų nelygybių sprendimai

1.5 Trigonometrinės nelygybės ir jų sprendimo būdai

1.5.1 Paprastų trigonometrinių nelygybių sprendimas

Dauguma šiuolaikinių matematikos vadovėlių autorių siūlo pradėti svarstyti šią temą sprendžiant paprasčiausias trigonometrines nelygybes. Paprasčiausių trigonometrinių nelygybių sprendimo principas grindžiamas žiniomis ir įgūdžiais, kaip trigonometriniame apskritime nustatyti ne tik pagrindinių trigonometrinių kampų, bet ir kitų verčių reikšmes.

Tuo tarpu formos , , , nelygybių sprendimas gali būti atliktas taip: pirmiausia randame tam tikrą intervalą (), kuriame ši nelygybė tenkinama, o tada užrašome galutinį atsakymą, prie rasto intervalo galų pridėdami a. skaičius, kuris yra sinuso arba kosinuso periodo kartotinis: ( ). Šiuo atveju vertę nesunku rasti, nes arba . Prasmės paieška remiasi mokinių intuicija, gebėjimu pastebėti lankų ar atkarpų lygybę, pasinaudojant atskirų sinuso ar kosinuso grafiko dalių simetrija. Ir tai kartais nepajėgia gana daug studentų. Siekiant įveikti pastebėtus sunkumus, vadovėliuose pastaraisiais metais buvo naudojami skirtingi paprastų trigonometrinių nelygybių sprendimo būdai, tačiau tai nepagerėjo mokymosi rezultatų.

Jau eilę metų gana sėkmingai naudojame atitinkamų lygčių šaknų formules, kad rastume trigonometrinių nelygybių sprendimus.

Mes nagrinėjame šią temą tokiu būdu:

1. Sudarome grafikus ir y = a, darydami prielaidą, kad .

Tada užrašome lygtį ir jos sprendimą. Suteikus n 0; 1; 2, randame tris sudarytos lygties šaknis: . Reikšmės yra trijų iš eilės einančių grafikų susikirtimo taškų abscisės ir y = a. Akivaizdu, kad nelygybė visada galioja intervale (), o nelygybė visada galioja intervale ().

Prie šių intervalų galų pridėjus skaičių, kuris yra sinuso periodo kartotinis, pirmuoju atveju gauname formos nelygybės sprendinį: ; o antruoju atveju – formos nelygybės sprendimas:

Tik priešingai nei sinusas iš formulės, kuris yra lygties sprendimas, n = 0 gauname dvi šaknis, o trečiąją šaknį, kai n = 1 formoje . Ir vėl jie yra trys iš eilės grafikų susikirtimo taškų abscisės ir . Intervale () galioja nelygybė, intervale () nelygybė

Dabar nesunku užrašyti nelygybių ir sprendinius. Pirmuoju atveju gauname: ;

o antroje: .

Apibendrinti. Norėdami išspręsti nelygybę arba, turite sukurti atitinkamą lygtį ir ją išspręsti. Iš gautos formulės raskite ir šaknis ir parašykite atsakymą į nelygybę formoje: .

Sprendžiant nelygybes , iš atitinkamos lygties šaknų formulės randame šaknis ir , o atsakymą į nelygybę užrašome forma: .

Ši technika leidžia išmokyti visus studentus spręsti trigonometrines nelygybes, nes Ši technika visiškai priklauso nuo įgūdžių, kuriuos mokiniai puikiai valdo. Tai įgūdžiai, kaip išspręsti paprastas problemas ir rasti kintamojo reikšmę naudojant formulę. Be to, tampa visiškai nereikalinga kruopščiai išspręsti daugybę pratimų, vadovaujant mokytojui, norint parodyti įvairius samprotavimo būdus, atsižvelgiant į nelygybės ženklą, skaičiaus a modulio reikšmę ir jo ženklą. . O pats nelygybės sprendimo procesas tampa trumpas ir, kas labai svarbu, vienodas.

Kitas šio metodo privalumas yra tai, kad jis leidžia lengvai išspręsti nelygybes net tada, kai dešinioji pusė nėra sinuso ar kosinuso lentelės reikšmė.

Parodykime tai konkrečiu pavyzdžiu. Tarkime, kad turime išspręsti nelygybę. Sukurkime atitinkamą lygtį ir ją išspręskime:

Raskime ir reikšmes.

Kai n = 1

Kai n = 2

Užrašome galutinį atsakymą į šią nelygybę:

Nagrinėjamame paprasčiausių trigonometrinių nelygybių sprendimo pavyzdyje gali būti tik vienas trūkumas - tam tikro formalizmo buvimas. Bet jei viskas bus vertinama tik iš šių pozicijų, tai bus galima apkaltinti ir kvadratinės lygties šaknų formules, ir visas trigonometrinių lygčių sprendimo formules ir daug daugiau – formalizmu.

Nors siūlomas metodas užima vertingą vietą formuojant trigonometrinių nelygybių sprendimo įgūdžius, negalima nuvertinti kitų trigonometrinių nelygybių sprendimo metodų svarbos ir ypatybių. Tai apima intervalų metodą.

Panagrinėkime jo esmę.

Rinkinį redagavo A.G. Mordkovičiaus, nors neturėtumėte ignoruoti ir kitų vadovėlių. § 3. Temos „Trigonometrinės funkcijos“ dėstymo metodika algebros eigoje ir analizės pradžia Tiriant trigonometrines funkcijas mokykloje, galima išskirti du pagrindinius etapus: ü Pirminė pažintis su trigonometrinėmis funkcijomis...

Atliekant tyrimą buvo išspręsti šie uždaviniai: 1) Išanalizuoti dabartiniai algebros vadovėliai ir matematinės analizės užuomazgos, siekiant nustatyti juose pateiktus neracionalių lygčių ir nelygybių sprendimo metodus. Analizė leidžia daryti tokias išvadas: ·vidurinėje mokykloje nepakankamai dėmesio skiriama įvairių neracionalių lygčių sprendimo metodams, daugiausia...

Praktinės pamokos metu pakartosime pagrindinius užduočių tipus iš temos „Trigonometrija“, papildomai išanalizuosime padidinto sudėtingumo problemas ir apsvarstysime įvairių trigonometrinių nelygybių ir jų sistemų sprendimo pavyzdžius.

Ši pamoka padės pasiruošti vienos iš B5, B7, C1 ir C3 užduočių tipų.

Pradėkime nuo pagrindinių užduočių tipų, kuriuos apžvelgėme temoje „Trigonometrija“, ir išspręskime keletą nestandartinių uždavinių.

Užduotis Nr.1. Kampus paversti radianais ir laipsniais: a) ; b) .

a) Panaudokime formulę laipsnių konvertavimui į radianus

Pakeiskime į jį nurodytą reikšmę.

b) Taikykite radianų konvertavimo į laipsnius formulę

Atlikime pakeitimą .

Atsakymas. A) ; b) .

2 užduotis. Apskaičiuokite: a) ; b) .

a) Kadangi kampas gerokai viršija lentelę, jį sumažinsime atėmę sinuso periodą. Nes Kampas nurodomas radianais, tada laikotarpį laikysime kaip .

b) Šiuo atveju situacija panaši. Kadangi kampas nurodomas laipsniais, liestinės laikotarpį laikysime kaip .

Gautas kampas, nors ir mažesnis už periodą, yra didesnis, vadinasi, jis reiškia nebe pagrindinę, o išplėstinę lentelės dalį. Kad dar kartą nelavintume atminties įsimenant išplėstinę trigofunkcinių reikšmių lentelę, dar kartą atimkime liestinės periodą:

Pasinaudojome liestinės funkcijos keistumu.

Atsakymas. a) 1; b) .

Užduotis Nr.3. Apskaičiuoti , Jei.

Visą išraišką sumažinkime iki liestinių, trupmenos skaitiklį ir vardiklį padalydami iš . Tuo pačiu negalime to bijoti, nes šiuo atveju liestinės reikšmės nebūtų.

4 užduotis. Supaprastinkite išraišką.

Nurodytos išraiškos konvertuojamos naudojant redukcijos formules. Jie tiesiog neįprastai parašyti naudojant laipsnius. Pirmoji išraiška paprastai reiškia skaičių. Supaprastinkime visas trigofunkcijas po vieną:

Nes , tada funkcija pasikeičia į kofunkciją, t.y. į kotangentą, o kampas patenka į antrąjį ketvirtį, kuriame pradinė liestinė turi neigiamą ženklą.

Dėl tų pačių priežasčių, kaip ir ankstesnėje išraiškoje, funkcija pasikeičia į kofunkciją, t.y. į kotangentą, o kampas patenka į pirmąjį ketvirtį, kuriame pradinė liestinė turi teigiamą ženklą.

Viską pakeiskime supaprastinta išraiška:

5 problema. Supaprastinkite išraišką.

Parašykime dvigubo kampo liestinę naudodami atitinkamą formulę ir supaprastinkime išraišką:

Paskutinė tapatybė yra viena iš universalių kosinuso pakeitimo formulių.

6 problema. Apskaičiuoti.

Svarbiausia nepadaryti standartinės klaidos nepateikti atsakymo, kad išraiška lygi . Negalite naudoti pagrindinės arktangento savybės tol, kol šalia yra koeficientas du. Norėdami to atsikratyti, parašysime išraišką pagal dvigubo kampo liestinės formulę, laikant , kaip įprastą argumentą.

Dabar galime pritaikyti pagrindinę arktangento savybę; atminkite, kad jo skaitiniam rezultatui nėra jokių apribojimų.

Problema Nr.7. Išspręskite lygtį.

Sprendžiant trupmeninę lygtį, kuri lygi nuliui, visada nurodoma, kad skaitiklis lygus nuliui, o vardiklis – ne, nes Negalite padalyti iš nulio.

Pirmoji lygtis yra ypatingas paprasčiausios lygties atvejis, kurį galima išspręsti naudojant trigonometrinį apskritimą. Prisiminkite šį sprendimą patys. Antroji nelygybė išspręsta kaip paprasčiausia lygtis, naudojant bendrą liestinės šaknų formulę, bet tik su nelygiu ženklu.

Kaip matome, viena šaknų šeima išskiria kitą lygiai tokio paties tipo šaknų šeimą, kuri neatitinka lygties. Tie. šaknų nėra.

Atsakymas. Nėra šaknų.

Problema Nr.8. Išspręskite lygtį.

Iš karto atkreipkime dėmesį, kad galime išimti bendrą veiksnį ir padarykime tai:

Lygtis buvo sumažinta iki vienos iš standartinių formų, kur kelių veiksnių sandauga lygi nuliui. Jau žinome, kad šiuo atveju arba vienas iš jų yra lygus nuliui, arba kitas, arba trečias. Parašykime tai lygčių rinkinio forma:

Pirmosios dvi lygtys yra ypatingi pačių paprasčiausių atvejai, su panašiomis lygtimis jau esame susidūrę ne kartą, todėl iš karto nurodysime jų sprendinius. Trečiąją lygtį sumažiname iki vienos funkcijos, naudodami dvigubo kampo sinuso formulę.

Paskutinę lygtį išspręskime atskirai:

Ši lygtis neturi šaknų, nes sinuso reikšmė negali viršyti .

Taigi sprendimas yra tik pirmosios dvi šaknų šeimos, jas galima sujungti į vieną, kurią lengva parodyti trigonometriniame apskritime:

Tai visų pusių šeima, t.y.

Pereikime prie trigonometrinių nelygybių sprendimo. Pirmiausia išanalizuosime pavyzdžio sprendimo būdą nenaudodami bendrųjų sprendinių formulių, o naudodami trigonometrinį apskritimą.

Problema Nr.9. Išspręskite nelygybę.

Ant trigonometrinio apskritimo nubrėžkime pagalbinę liniją, atitinkančią sinuso reikšmę, lygią , ir parodykime kampų diapazoną, kuris tenkina nelygybę.

Labai svarbu tiksliai suprasti, kaip nurodyti gautą kampų intervalą, t.y. kokia jos pradžia ir kokia pabaiga. Intervalo pradžia bus kampas, atitinkantis tašką, kurį įvesime pačioje intervalo pradžioje, jei judėsime prieš laikrodžio rodyklę. Mūsų atveju tai yra taškas, kuris yra kairėje, nes judėdami prieš laikrodžio rodyklę ir praėję teisingą tašką, mes, priešingai, paliekame reikiamą kampų diapazoną. Todėl tinkamas taškas atitiks tarpo pabaigą.

Dabar turime suprasti mūsų nelygybės sprendimų intervalo pradžios ir pabaigos kampus. Tipiška klaida – iš karto nurodyti, kad dešinysis taškas atitinka kampą, kairysis – ir pateikti atsakymą. Tai netiesa! Atkreipkite dėmesį, kad mes ką tik nurodėme intervalą, atitinkantį viršutinę apskritimo dalį, nors mus domina apatinė dalis, kitaip tariant, sumaišėme mums reikalingo sprendimo intervalo pradžią ir pabaigą.

Kad intervalas prasidėtų nuo dešiniojo taško kampo ir baigtųsi kairiojo taško kampu, būtina, kad pirmasis nurodytas kampas būtų mažesnis už antrąjį. Norėdami tai padaryti, turėsime išmatuoti dešiniojo taško kampą neigiama atskaitos kryptimi, t.y. pagal laikrodžio rodyklę ir jis bus lygus . Tada, pradėdami nuo jo judėti teigiama kryptimi pagal laikrodžio rodyklę, po kairiojo taško pateksime į dešinįjį tašką ir gausime jo kampo reikšmę. Dabar kampų intervalo pradžia yra mažesnė už pabaigą, o sprendinių intervalą galime parašyti neatsižvelgdami į laikotarpį:

Atsižvelgiant į tai, kad tokie intervalai bus kartojami be galo daug kartų po bet kurio sveikojo skaičiaus apsisukimų, gauname bendrą sprendimą, atsižvelgiant į sinuso periodą:

Dedame skliaustus, nes nelygybė yra griežta, ir išrenkame apskritimo taškus, kurie atitinka intervalo galus.

Palyginkite gautą atsakymą su bendro sprendimo formule, kurią pateikėme paskaitoje.

Atsakymas. .

Šis metodas yra geras norint suprasti, iš kur kyla paprasčiausių trikampių nelygybių bendrųjų sprendinių formulės. Be to, tingintiems pravartu išmokti visas šias keblias formules. Tačiau pats metodas taip pat nėra lengvas, rinkitės, koks požiūris į sprendimą jums patogiausias.

Norėdami išspręsti trigonometrines nelygybes, taip pat galite naudoti funkcijų grafikus, ant kurių yra sudaryta pagalbinė linija, panašiai kaip parodyta naudojant vienetinį apskritimą. Jei jus domina, pabandykite patys išsiaiškinti šį požiūrį į sprendimą. Toliau mes naudosime bendrąsias formules, kad išspręstume paprastas trigonometrines nelygybes.

10 problema. Išspręskite nelygybę.

Naudokime bendro sprendimo formulę, atsižvelgdami į tai, kad nelygybė nėra griežta:

Mūsų atveju gauname:

Atsakymas.

Problema Nr.11. Išspręskite nelygybę.

Atitinkamai griežtai nelygybei panaudokime bendrą sprendimo formulę:

Atsakymas. .

12 problema. Išspręskite nelygybes: a) ; b) .

Šiose nelygybėse nereikia skubėti naudoti bendrųjų sprendinių ar trigonometrinio apskritimo formules, pakanka tiesiog prisiminti sinuso ir kosinuso reikšmių diapazoną.

a) Nuo tada , tada nelygybė neturi prasmės. Todėl sprendimų nėra.

b) Nes panašiai bet kurio argumento sinusas visada tenkina sąlygoje nurodytą nelygybę. Todėl visos tikrosios argumento vertės tenkina nelygybę.

Atsakymas. a) sprendimų nėra; b) .

13 problema. Išspręskite nelygybę .

Nelygybės yra a › b formos santykiai, kur a ir b yra išraiškos, turinčios bent vieną kintamąjį. Nelygybės gali būti griežtos – ‹, › ir negriežtos – ≥, ≤.

Trigonometrinės nelygybės yra tokios formos išraiškos: F(x) › a, F(x) ‹ a, F(x) ≤ a, F(x) ≥ a, kuriose F(x) vaizduojamas viena ar keliomis trigonometrinėmis funkcijomis. .

Paprasčiausios trigonometrinės nelygybės pavyzdys: sin x ‹ 1/2. Įprasta tokias problemas spręsti grafiškai, tam sukurti du būdai.

1 būdas – nelygybių sprendimas nubraižant funkciją

Norėdami rasti intervalą, atitinkantį nelygybės sin x ‹ 1/2 sąlygas, turite atlikti šiuos veiksmus:

1. Koordinačių ašyje pastatykite sinusoidę y = sin x.
2. Toje pačioje ašyje nubraižykite nelygybės skaitinio argumento grafiką, ty tiesę, einančią per ordinatės OY tašką ½.
3. Pažymėkite dviejų grafikų susikirtimo taškus.
4. Nuspalvinkite segmentą, kuris yra pavyzdžio sprendimas.

Kai išraiškoje yra griežtų ženklų, susikirtimo taškai nėra sprendiniai. Kadangi mažiausias teigiamas sinusoidės periodas yra 2π, atsakymą rašome taip:

Jei išraiškos ženklai nėra griežti, tada sprendinių intervalas turi būti rašomas laužtiniuose skliaustuose - . Atsakymas į problemą taip pat gali būti parašytas kaip tokia nelygybė:

2 būdas – trigonometrinių nelygybių sprendimas naudojant vienetinį apskritimą

Panašias problemas galima lengvai išspręsti naudojant trigonometrinį apskritimą. Atsakymų paieškos algoritmas yra labai paprastas:

1. Pirmiausia reikia nubrėžti vieneto apskritimą.
2. Tada reikia pažymėti apskritimo lanko nelygybės dešinės pusės argumento lanko funkcijos reikšmę.
3. Būtina nubrėžti tiesę, einančią per lanko funkcijos reikšmę, lygiagrečią abscisių ašiai (OX).
4. Po to belieka pasirinkti apskritimo lanką, kuris yra trigonometrinės nelygybės sprendinių rinkinys.
5. Užrašykite atsakymą reikiama forma.

Išanalizuokime sprendimo etapus nelygybės sin x › 1/2 pavyzdžiu. Ant apskritimo pažymėti taškai α ir β – reikšmės

Virš α ir β esantys lanko taškai yra intervalas duotajai nelygybei išspręsti.

Jei reikia išspręsti cos pavyzdį, atsakymo lankas bus simetriškai OX ašiai, o ne OY. Galite apsvarstyti skirtumą tarp sin ir cos sprendinių intervalų toliau pateiktose teksto diagramose.

Grafiniai liestinių ir kotangentinių nelygybių sprendiniai skirsis ir nuo sinuso, ir nuo kosinuso. Taip yra dėl funkcijų savybių.

Arktangentas ir arkotangentas yra trigonometrinio apskritimo liestinės, o mažiausias abiejų funkcijų teigiamas periodas yra π. Norėdami greitai ir teisingai naudoti antrąjį metodą, turite atsiminti, kurioje ašyje yra nubraižytos sin, cos, tg ir ctg reikšmės.

Tangento liestinė eina lygiagrečiai OY ašiai. Jei ant vienetinio apskritimo nubraižysime arctano a reikšmę, antrasis reikalingas taškas bus įstrižainėje. Kampai

Jie yra funkcijos lūžio taškai, nes grafikas linkęs į juos, bet niekada jų nepasiekia.

Kotangento atveju liestinė eina lygiagrečiai OX ašiai, o funkcija nutrūksta taškuose π ir 2π.

Sudėtingos trigonometrinės nelygybės

Jei nelygybės funkcijos argumentas yra pavaizduotas ne tik kintamuoju, bet ir visa išraiška, kurioje yra nežinomasis, tai mes kalbame apie sudėtingą nelygybę. Jo sprendimo procesas ir procedūra šiek tiek skiriasi nuo aukščiau aprašytų metodų. Tarkime, kad turime rasti šios nelygybės sprendimą:

Grafinis sprendimas apima įprastos sinusoidės y = sin x konstravimą, naudojant savavališkai pasirinktas x reikšmes. Apskaičiuokime lentelę su grafiko kontrolinių taškų koordinatėmis:

Rezultatas turėtų būti gražus kreivė.

Kad būtų lengviau rasti sprendimą, pakeiskime sudėtingos funkcijos argumentą