Integrallari elementar funksiyalar bilan ifodalanadigan funksiyalarning eng muhim sinflaridan biri ratsional funksiyalar sinfidir.

Ta'rif 1. Qaerda shaklning funksiyasi
- darajali polinomlarnvamratsional deb ataladi. Butun bir ratsional funktsiya, ya'ni. polinom, bevosita integrallashadi. Kasr-ratsional funksiyaning integralini hadlarga kengaytirish orqali topish mumkin, ular standart usulda bosh jadval integrallariga aylantiriladi.

Ta'rif 2. Kasr
sonining darajasi bo'lsa, to'g'ri deyiladinmaxrajdan kichikm. Numeratori maxrajdan katta yoki teng bo'lgan kasr noto'g'ri kasr deyiladi.

Har qanday noto'g'ri kasr ko'phad va to'g'ri kasrning yig'indisi sifatida ifodalanishi mumkin. Bu ko'phadni sonlarni bo'lish kabi "ustun" ko'phadga bo'lish orqali amalga oshiriladi.

Misol.

Bir kasrni tasavvur qiling
polinom va to'g'ri kasr yig'indisi sifatida:

x - 1

3

3

3

Birinchi muddat
bo'lakda etakchi terminni bo'lish natijasida olinadi
, yetakchi terminga bo‘linadi X ajratuvchi. Keyin ko'paytiramiz
bo'luvchiga x-1 va natijani dividenddan ayirish; to'liq bo'lmagan qismning qolgan shartlari ham xuddi shunday topiladi.

Polinomlarni bo'lingandan so'ng, biz quyidagilarni olamiz:

Bu harakat butun qismni tanlash deb ataladi.

Ta'rif 3. Eng oddiy kasrlar quyidagi turdagi to'g'ri ratsional kasrlardir:

I.

II.
(K=2, 3, …).

III.
kvadrat trinomial qayerda

IV.
bu yerda K=2, 3, …; kvadrat trinomial
haqiqiy ildizlarga ega emas.

a) maxrajni kengaytiring
eng oddiy real omillarga (algebraning asosiy teoremasiga ko'ra, bu parchalanish shaklning chiziqli binomlarini o'z ichiga olishi mumkin)
va kvadrat trinomlar
, ildizlari yo'q);

b) berilgan kasrni oddiy kasrlar yig‘indisiga kengaytirish sxemasini yozing. Bundan tashqari, shaklning har bir omili
mos keladi k I va II turdagi shartlar:

shaklning har bir omiliga
III va IV turlarning e shartlariga mos keladi:

Misol.

Kasrning parchalanish sxemasini yozing
eng oddiylari yig'indisida.

v) olingan oddiy kasrlarni qo`shishni bajaring. Qabul qilingan va boshlang'ich kasrlar sonining tengligini yozing;

d) tegishli kengayish koeffitsientlarini toping:
(hal qilish usullari quyida muhokama qilinadi);

e) Koeffitsientlarning topilgan qiymatlarini parchalanish sxemasiga almashtiring.

Har qanday to'g'ri ratsional kasrning parchalanishidan keyin oddiy shartlarga integrallash quyidagi turlardan birining integrallarini topishga keltiriladi:

(k va e =2, 3, …).

Integral hisoblash III formulaga qisqartiradi:

integral - II formula bo'yicha:

integral kvadrat trinomialni o'z ichiga olgan funktsiyalarni integrallash nazariyasida ko'rsatilgan qoida orqali topish mumkin; - quyida 4-misolda ko'rsatilgan o'zgartirishlar bo'yicha.

1-misol

a) maxrajni faktorlarga ajrating:

b) integralni shartlarga kengaytirish sxemasini yozing:

c) oddiy kasrlarni qo'shishni bajaring:

Kasr sonlarining tengligini yozamiz:

d) A, B, C noma'lum koeffitsientlarni topishning ikkita usuli mavjud.

Ikki polinom, agar ularning koeffitsientlari bir xil darajalarda teng bo'lsa, tengdir X, shuning uchun mos keladigan tenglamalar tizimini yaratishingiz mumkin. Bu yechimlardan biri.

Koeffitsientlar da

bepul a'zolar (koeffitsient da ):4A=8.

Tizimni hal qilib, biz olamiz A=2, B=1, C= - 10.

Boshqa usul - shaxsiy qadriyatlar keyingi misolda muhokama qilinadi;

e) topilgan qiymatlarni kengaytirish sxemasiga almashtiring:

Olingan yig'indini integral belgisi ostiga qo'yib, har bir atamani alohida integrallash orqali biz quyidagilarni topamiz:

2-misol

Identifikatsiya - bu unga kiritilgan noma'lumlarning har qanday qiymatlari uchun amal qiladigan tenglik. Bunga asoslanib xususiy qiymat usuli. Biriktirilishi mumkin X har qanday qiymatlar. Hisob-kitoblar uchun tenglikning o'ng tomonidagi har qanday shartlarni yo'qotadigan qiymatlarni olish qulayroqdir.

Mayli x = 0. Keyin 1 = A 0(0+2)+V 0 (0-1)+S (0-1)(0+2).

Xuddi shunday, qachon x = - 2 bizda ... bor 1= - 2B*(-3), da x = 1 bizda ... bor 1 = 3A.

Binobarin,

3-misol

d) Dastlab qisman qiymatlar usulidan foydalanamiz.

Mayli x = 0, keyin 1 = A 1, A = 1.

Da x = - 1 bizda ... bor - 1+4+2+1 = - B(1+1+1) yoki 6 = - 3V, B = - 2.

C va D koeffitsientlarini topish uchun yana ikkita tenglama tuzish kerak. Buning uchun siz boshqa har qanday qiymatlarni olishingiz mumkin X, masalan x = 1 va x = 2. Siz birinchi usuldan foydalanishingiz mumkin, ya'ni. koeffitsientlarni har qanday bir xil kuchlarda tenglashtiring X, masalan, qachon va . Oling

1 = A + B + C va 4 = C +D- DA.

Bilish A = 1, B = -2, toping C = 2, D = 0 .

Shunday qilib, koeffitsientlarni hisoblashda ikkala usul ham birlashtirilishi mumkin.

Oxirgi integral yangi o'zgaruvchiga buyruq berish usulida ko'rsatilgan qoida bo'yicha alohida topamiz. Biz to'liq kvadratni maxrajda tanlaymiz:

aytaylik
keyin
Biz olamiz:

=

Oldingi tenglikni almashtirib, topamiz

4-misol

Toping

b)

e)

Integratsiyalash bizda:

Birinchi integralni III formulaga aylantiramiz:

Ikkinchi integralni II formulaga aylantiramiz:

Uchinchi integralda biz o'zgaruvchini almashtiramiz:

(O'zgartirishlarni amalga oshirishda biz trigonometriya formulasidan foydalandik

Integrallarni toping:

51.

52.

53.

54.

55.

56.

57.

58.

O'z-o'zini tekshirish uchun savollar.

Berilgan ratsional kasrlardan qaysi biri to‘g‘ri:

2. Kasrni oddiy kasrlar yig'indisiga kengaytirish sxemasi to'g'ri yozilganmi?

Funksiyalarni, shu jumladan ratsional kasrlarni integrallash bo’yicha nazorat ishi 1 va 2 kurs talabalariga beriladi. Integral misollari asosan matematiklar, iqtisodchilar va statistiklarni qiziqtiradi. Ushbu misollar LNUdagi nazorat ishlarida so'ralgan. I. Frank. Quyidagi misollarning shartlari "Integralni toping" yoki "Integralni hisoblang", shuning uchun joy va vaqtni tejash uchun ular yozilmagan.

15-misol. Biz kasrli ratsional funksiyalarning integrasiyasiga keldik. Ular integrallar orasida alohida o'rin egallaydi, chunki ular hisoblash uchun ko'p vaqt talab etadi va o'qituvchilarga sizning bilimingizni nafaqat integratsiyada sinab ko'rishga yordam beradi. Integral ostidagi funktsiyani soddalashtirish uchun biz integral ostidagi funktsiyani ikkita oddiyga bo'lish imkonini beruvchi hisoblagichdagi ifodani qo'shamiz va ayitamiz.

Natijada, biz bitta integralni juda tez topamiz, ikkinchisida kasrni elementar kasrlar yig'indisiga kengaytirishimiz kerak.

Umumiy maxrajga keltirilsa, biz shunday raqamlarni olamiz

Keyin, qavslarni va guruhni oching

Biz o'ng va chap tomondagi "x" ning bir xil darajalarida qiymatni tenglashtiramiz. Natijada, biz uchta noma'lumli uchta chiziqli tenglamalar (SLAE) tizimiga erishamiz.

Tenglamalar tizimini qanday echish saytdagi boshqa maqolalarda tasvirlangan. Yakuniy versiyada siz quyidagi SLAE yechimlarini olasiz
A=4; B=-9/2; C=-7/2.
Kasrlarni kengaytirishda konstantalarni eng oddiylarga almashtiramiz va integrallashni bajaramiz.


Bu misol hal qilingan.

Misol 16. Yana kasr ratsional funksiyaning integralini topish kerak. Boshlash uchun biz kasrning maxrajidagi kub tenglamani oddiy omillarga ajratamiz.

Keyinchalik, biz kasrni eng oddiyga ajratishni amalga oshiramiz

Biz o'ng tomonni umumiy maxrajga qisqartiramiz va hisoblagichdagi qavslarni ochamiz.


Biz koeffitsientlarni o'zgaruvchining bir xil kuchlarida tenglashtiramiz. Yana biz SLAE ga uchta noma'lum bilan keldik

Biz A, B, C qiymatlarini kengaytmaga almashtiramiz va integralni hisoblaymiz

Birinchi ikkita atama logarifmni beradi, oxirgisini ham topish oson.

17-misol. Kasr ratsional funksiyaning maxrajida biz kublar ayirmasiga egamiz. Qisqartirilgan ko'paytirish formulalariga ko'ra, biz uni ikkita asosiy omilga ajratamiz

Keyinchalik, oddiy kasrlar yig'indisi uchun hosil bo'lgan kasr funktsiyasini bo'yab, ularni umumiy maxrajga keltiramiz.

Numeratorda biz quyidagi ifodani olamiz.

Undan 3 ta noma'lumni hisoblash uchun chiziqli tenglamalar tizimini hosil qilamiz

A=1/3; B=-1/3; C=1/3.
Formulaga A, B, C ni almashtiramiz va integratsiyani bajaramiz. Natijada, biz quyidagi javobga erishamiz


Bu yerda ikkinchi integralning numeratori logarifmga aylantirildi, integral ostidagi qolgan qismi esa yoy tangensini beradi.
Internetda ratsional kasrlarni integratsiyalash bo'yicha ko'plab shunga o'xshash misollar mavjud. Shunga o'xshash misollarni quyidagi materiallarda topish mumkin.

MAVZU: Ratsional kasrlarni integrallash.

Diqqat! Integrallashning asosiy usullaridan biri - ratsional kasrlarni integrallashini o'rganishda qat'iy isbotlash uchun kompleks sohadagi ko'phadlarni ko'rib chiqish talab etiladi. Shuning uchun, bu zarur oldindan o'rganing kompleks sonlarning ayrim xossalari va ular ustida amallar.

Eng oddiy ratsional kasrlarni integrallash.

Agar a P(z) va Q(z) kompleks sohadagi polinomlar, keyin ratsional kasr. U deyiladi to'g'ri daraja bo'lsa P(z) kamroq daraja Q(z) , va noto'g'ri daraja bo'lsa R darajasidan kam emas Q.

Har qanday noto'g'ri kasr quyidagicha ifodalanishi mumkin: ,

P(z) = Q(z) S(z) + R(z),

a R(z) – darajasi darajadan kichik bo'lgan polinom Q(z).

Shunday qilib, ratsional kasrlarning integrallanishi ko'phadlar, ya'ni daraja funktsiyalari va to'g'ri kasrlarning integraliga keltiriladi, chunki u to'g'ri kasrdir.

Ta'rif 5. Eng oddiy (yoki elementar) kasrlar quyidagi turdagi kasrlardir:

1) , 2) , 3) , 4) .

Keling, ular qanday qilib birlashtirilganligini bilib olaylik.

3) (ilgari o'rganilgan).

Teorema 5. Har qanday to'g'ri kasrni oddiy kasrlar yig'indisi sifatida ifodalash mumkin (isbotsiz).

Xulosa 1. Agar to'g'ri ratsional kasr bo'lsa va ko'phadning ildizlari orasida faqat oddiy haqiqiy ildizlar bo'lsa, kasrni oddiy kasrlar yig'indisiga kengaytirishda faqat 1-turdagi oddiy kasrlar bo'ladi:

1-misol

Xulosa 2. Agar to'g'ri ratsional kasr bo'lsa va ko'phadning ildizlari orasida faqat bir nechta haqiqiy ildizlar bo'lsa, kasrni oddiy kasrlar yig'indisiga kengaytirishda faqat 1 va 2 turdagi oddiy kasrlar bo'ladi. :

2-misol

Xulosa 3. Agar to'g'ri ratsional kasr bo'lsa va ko'phadning ildizlari orasida faqat oddiy murakkab qo'shma ildizlar bo'lsa, kasrni oddiy kasrlar yig'indisiga kengaytirishda faqat 3-turdagi oddiy kasrlar bo'ladi:

3-misol

Xulosa 4. Agar to'g'ri ratsional kasr bo'lsa va ko'phadning ildizlari orasida faqat bir nechta murakkab konjugat ildizlar bo'lsa, kasrni oddiy kasrlar yig'indisiga kengaytirishda faqat 3 va 4 ning oddiy kasrlari bo'ladi. turlari:

Yuqoridagi kengayishlarda noma'lum koeffitsientlarni aniqlash uchun quyidagi amallarni bajaring. Noma'lum koeffitsientlarni o'z ichiga olgan kengaytmaning chap va o'ng qismlari ko'paytiriladi Ikki polinomning tengligi olinadi. Undan kerakli koeffitsientlar uchun tenglamalar olinadi, buning yordamida:

1. tenglik X ning har qanday qiymatlari uchun amal qiladi (qisman qiymatlar usuli). Bunday holda, istalgan m tenglamalar noma'lum koeffitsientlarni topishga imkon beradigan istalgan miqdordagi tenglamalar olinadi.

2. koeffitsientlar X ning bir xil vakolatlariga to'g'ri keladi (noaniq koeffitsientlar usuli). Bunda m - noma'lumli tenglamalar sistemasi olinadi, undan noma'lum koeffitsientlar topiladi.

3. birlashgan usul.

Misol 5. Kasrni kengaytiring eng oddiygacha.

Yechim:

A va B koeffitsientlarini toping.

1 yo'l - shaxsiy qiymat usuli:

2-usul - noaniq koeffitsientlar usuli:

Javob:

Ratsional kasrlarni integrallash.

Teorema 6. Har qanday ratsional kasrning maxraji nolga teng bo'lmagan har qanday oraliqda noaniq integrali mavjud bo'lib, elementar funksiyalar, ya'ni ratsional kasrlar, logarifmalar va arktangentlar bilan ifodalanadi.

Isbot.

Ratsional kasrni quyidagi shaklda ifodalaymiz: . Bundan tashqari, oxirgi atama to'g'ri kasr bo'lib, 5-teorema bo'yicha u oddiy kasrlarning chiziqli birikmasi sifatida ifodalanishi mumkin. Shunday qilib, ratsional kasrni integrallash polinomni integrallashga qisqartiradi S(x) va antiderivativlari ko'rsatilgandek, teoremada ko'rsatilgan shaklga ega bo'lgan eng oddiy kasrlar.

Izoh. Bu holatda asosiy qiyinchilik maxrajning omillarga bo'linishi, ya'ni uning barcha ildizlarini izlashdir.

Misol 1. Integralni toping

Ratsional funksiyalarni integrallash Kasr - ratsional funktsiya Eng oddiy ratsional kasrlar Ratsional kasrni eng oddiy kasrlarga ajratish Eng oddiy kasrlarni integrallash Ratsional kasrlarni integrallashning umumiy qoidasi.

n darajali polinom. Kasr ratsional funktsiya Kasr ratsional funktsiya ikki ko'phadning nisbatiga teng bo'lgan funksiyadir: Ratsional kasr to'g'ri deyiladi, agar ayiruvchining darajasi maxrajning darajasidan kichik bo'lsa, ya'ni.< n , в противном случае дробь называется неправильной. многочлен степени m Всякую неправильную рациональную дробь можно, путем деления числителя на знаменатель, представить в виде суммы многочлена L(x) и правильной рациональной дроби:)()()(x. Q x. P xf n m)()()(x. Q x. R x. L x. Q x. P

Kasr - ratsional funktsiya Noto'g'ri kasrni to'g'ri shaklga aylantiring: 2 95 4 x xx 95 4 xx 2 x 3 x 34 2 xx 952 3 xx 2 2 x 23 42 xx 954 2 xx x 4 xx 84 2 93 x 3 15 2 95 4 x xx 342 23 xxx 2 15 x

Eng oddiy ratsional kasrlar Shaklning to'g'ri ratsional kasrlari: Ular turlarning eng oddiy ratsional kasrlari deyiladi. axA); 2(Nkk ax A k)04(2 2 qp qpxx NMx); 2; 04(2 2 Nkkqp qpxx NMx k V V,

Ratsional kasrni oddiy kasrlarga ajratish Teorema: maxraji koeffitsientlarga ajratilgan har qanday to'g'ri ratsional kasr: bundan tashqari, oddiy kasrlar yig'indisi sifatida o'ziga xos tarzda ifodalanishi mumkin: s k qxpxxxxxx. Q)()()(22 2 11 2 21)()(x. Q x. P 1 xx A k k xx B)()(2 2 2 1 11 2 qxpx DCx 2 22 22 2 11)(qxpx Nx. M s ss qxpx Nx. M)(

Ratsional kasrni oddiy kasrlarga ajratish Quyidagi misollar yordamida teoremani shakllantirishga aniqlik kiritamiz: Noaniq koeffitsientlarni topish uchun A, B, C, D ... ikkita usul qo'llaniladi: koeffitsientlarni solishtirish usuli va qisman hisoblash usuli. o'zgaruvchining qiymatlari. Keling, birinchi usulni misol bilan ko'rib chiqaylik. 3 2)3)(2(4 xx x 2 x A 3 3 2 21)3()3(3 x B x B 1 2 x DCx 22 22 2 11)1(1 xx Nx. M)1(3 22 3 xx x 2 21 x A 22 2)1)(4(987 xxx xx 4 x)

Ratsional kasrni oddiy kasrlarga ajratish Kasrni oddiy kasrlar yig'indisi sifatida ifodalash: Eng oddiy kasrlarni umumiy maxrajga keltirish Olingan va asl kasrlarning sanoqlarini tenglashtirish Koeffitsientlarni x ning bir xil darajalarida tenglash)52)(1() 332 2 2 xxx xx 1 x A 52 2 xx CBx )52)(1()1)(()52(2 2 xxx x. CBxxx. A 33252 222 xx. CBx. Cx. Bx. AAx. Ax. 35 32 2 0 1 2 CAx BAx 2 3 1 C B A 52 23 1 1 2 xx x x

Eng oddiy kasrlarni integrallash Eng oddiy ratsional kasrlarning integrallarini topamiz: 3-turdagi kasrlarni integrallashni misol yordamida ko rib chiqamiz. dx ax A k dx qpxx NMx 2 ax axd A)(Cax. Aln)(axdax. A k C k ax. A k

Oddiy kasrlar integrasiyasidx xx x 102 13 2 dx xx x 9)12(13 2 dx x x 9)1(13 2 dtdx tx tx 1 1 dt t t 9 1)1(3 2 dt t t 9 23 2 9 dtt 9 2 3 2 2 t td 33 2 t arctg.C t arctgt 33 2 9 ln 2 32 C x arctgxx 3 1 3 2 102 ln

Oddiy kasrlarni integrallash Ushbu turdagi integral almashtirish yordamida: ikkita integral yig'indisiga keltiriladi: Birinchi integral t ni differentsial belgisi ostida kiritish orqali hisoblanadi. Ikkinchi integral rekursiv formula yordamida hisoblanadi: dx qpxx NMx k 2 V t p x 2 kk da dt N da dtt M 22122 1221222))(1(222 321 kkkk atk t k k aat dt).

Oddiy kasrlarni integrallash a = 1; k = 3 323)1(t dt tarctg t dt 1 21)1)(12(2222 322 1 21222 t t t dt)1(22 1 2 t t tarctg 2223)1)(13(2232 332 t 2 t) (4) 1(

Ratsional kasrlarni integrallashning umumiy qoidasi Agar kasr noto'g'ri bo'lsa, uni ko'phad va to'g'ri kasr yig'indisi sifatida ifodalang. To'g'ri ratsional kasrning maxrajini omillarga ajratib, uni noaniq koeffitsientli oddiy kasrlar yig'indisi sifatida ifodalang.Koeffitsientlarni solishtirish yoki o'zgaruvchining qisman qiymatlari usuli bilan noaniq koeffitsientlarni toping. Ko'phadni va oddiy kasrlar yig'indisini integrallang.

Misol Kasrni to'g'ri shaklga keltiramiz. dx xxx 23 35 2 442 35 xxxxxx 23 2 2 x 345 2 xxx 442 34 xxx x 2 234 242 xxx 4425 23 xxx xxx 23 35 2 442 xxx 23 35 2 442 xx2 x 5 x 8 x 2 x 5 8

Misol To'g'ri kasrning maxrajini koeffitsientga ajratish Kasrni oddiy kasrlar yig'indisi sifatida ifodalash O'zgaruvchining qisman qiymatlari usuli yordamida noaniq koeffitsientlarni topish xxx xx 23 2 2 48 2 2)1(48 xx xx 2)1(1 x C x B x A 2 2)1 ()1(xx Cxx. Bxx. A 48)1()1(22 xx. Cxx. Bxx. A 5241 31 40 CBAx Cx Ax 3 12 4 C B A xxx xx 23 2 2 48 2)1(3 1 124 xxx

Misol dx xx 2 2)1(3 1 124 52 2 2)1(3 1 12452 x dx dxxdxdxx C x xxxx x 1 3 1 ln 12 ln

Avvalroq biz integratsiyaning umumiy usullarini muhokama qildik. Ushbu va keyingi bo'limlarda biz ko'rib chiqilgan texnikalar yordamida muayyan funktsiyalar sinflarini integratsiyalash haqida gapiramiz.

Eng oddiy ratsional funksiyalarning integrasiyasi

Shaklning integralini ko'rib chiqing \textstyle(\int R(x)\,dx), bu yerda y=R(x) ratsional funksiya. Har qanday ratsional ifoda R(x) quyidagicha ifodalanishi mumkin \frac(P(x))(Q(x)), bu yerda P(x) va Q(x) polinomlardir. Agar bu kasr noto'g'ri bo'lsa, ya'ni payning darajasi maxrajning darajasidan katta yoki teng bo'lsa, u holda ko'phad (butun qism) va to'g'ri kasr yig'indisi sifatida ifodalanishi mumkin. Shuning uchun to'g'ri kasrlarni integrallashini ko'rib chiqish kifoya.

Bunday kasrlarning integrallashi integralga kamayishini ko'rsatamiz oddiy kasrlar, ya'ni shaklning ifodalari:

\mathsf(1))~\frac(A)(x-a);\quad \mathsf(2))~\frac(A)((x-a)^n);\quad \mathsf(3))~ \frac( Ax+B)(x^2+px+q);\quad \mathsf(4))~\frac(Ax+B)((x^2+px+q)^n).

qayerda A,\,B,\,a,\,p,\,q haqiqiy sonlar bo‘lib, x^2+px+q kvadrat trinomining haqiqiy ildizlari yo‘q. 1) va 2) ko`rinishdagi ifodalar 1-turdagi kasrlar, 3) va 4) ko`rinishdagi ifodalar esa 2-tur kasrlar deyiladi.

1-turdagi kasrlarning integrallari to'g'ridan-to'g'ri hisoblanadi

\begin(aligned)\mathsf(1))&~\int\frac(A)(x-a)\,dx= A\ln|x-a|+C;\\ \mathsf(2))&~ \int\frac (A)((x-a)^n)\,dx= A\int(x-a)^(-n)\,dx= A\,\frac((x-a)^(-n+1))(-n+ 1 )+C~(n=2,3,4,\ldots). \end (tekislangan)

2-toifa kasrlardan integrallarni hisoblashni ko'rib chiqing: \mathsf(3))~ \int\frac(Ax+B)(x^2+px+q)\,dx\,.

Birinchidan, bunga e'tibor beraylik

\int\frac(dt)(t^2+a^2)= \frac(1)(a)\operator nomi(arctg)\frac(t)(a)+C,\qquad \int\frac(t\ ,dt)(t^2+a^2)= \frac(1)(2)\ln(t^2+a^2)+C.

3) integralning hisobini shu ikki integralga kamaytirish uchun x^2+px+q kvadrat trinomiyasini undan to‘liq kvadrat ajratib olib o‘zgartiramiz:

x^2+px+q= (\chap(x+\frac(p)(2)\o‘ng)\^2+ \left(q-\frac{p^2}{4}\right)\!. !}

Taxminlarga ko'ra, bu trinomial haqiqiy ildizlarga ega emas q-\frac(p^2)(4)>0 va qo'yishimiz mumkin q-\frac(p^2)(4)=a^2. O'zgartirish x+\frac(p)(2)=t,~ dx=dt 3) integralni yuqoridagi ikkita integralning chiziqli birikmasiga aylantiradi:

\begin(hizalangan)\int\frac(Ax+B)(x^2+px+q)\,dx&= \int\frac(A\!\left(t-\frac(p)(2)\o‘ng )+B)(t^2+a^2)\,dt= A\int\frac(t\,dt)(t^2+a^2)+ \left(B-\frac(Ap)(2) )\right)\!\int\frac(dt)(t^2+a^2)=\\ &=\frac(A)(2)\ln(t^2+a^2)+ \frac( 1)(a)\!\left(B-\frac(Ap)(2)\o'ng)\!\ \operatorname(arctg)\frac(t)(a)+C. \end (tekislangan)

Yakuniy javobda siz faqat (t) ni x+\frac(p)(2) va (a) bilan almashtirishingiz kerak. \sqrt(q-\frac(p^2)(4)). Chunki t^2+a^2=x^2+px+q , keyin

\int\frac(Ax+B)(x^2+px+q)\,dx= \frac(A)(2)\ln(x^2+px+q)+ \frac(B-\dfrac( Ap)(2))(\sqrt(q-\dfrac(p^2)(4))) \operatorname(arctg)\frac(x+\dfrac(p)(2))(\sqrt(q-\dfrac) (p^2)(4)))+C.

Vaziyatni ko'rib chiqing \mathsf(4))~ \int\frac(Ax+B)((x^2+px+q)^n)\,dx.

Oldingi holatda bo'lgani kabi, biz x+\frac(p)(2)=t ni o'rnatamiz. Biz olamiz:

\int\frac(Ax+B)((x^2+px+q)^n)\,dx= A\int\frac(t\,dt)((t^2+a^2)^n) + \chap(B-\frac(Ap)(2)\o'ng)\! \int\frac(dt)((t^2+a^2)^n)\,.

Birinchi muddat quyidagicha hisoblanadi:

A\int\frac(t\,dt)((t^2+a^2)^n)= \frac(A)(2)\int(t^2+a^2)^(-n)\ ,d(t^2+a^2)= \frac(A)(2)\frac((t^2+a^2)^(-n+1))(-n+1)= \frac( A)(2(1-n)(t^2+a^2)^(n-1))\,.

Ikkinchi integral takroriy formula yordamida hisoblanadi.

1-misol Hisoblash \int\frac(3x+2)(x^2+2x+3)\,dx.

Yechim. Bizda ... bor: x^2+2x+3=(x+1)^2+2. x+1=t bo‘lsin. Keyin dx=dt va 3x+2=3(t-1)+2=3t-1 va shuning uchun

\begin(hizalangan)\int\frac(3x+2)(x^2+2x+3)\,dx&= \int\frac(3t-1)(t^2+2)\,dt= \frac( 3)(2)\int\frac(2t\,dt)(t^2+2)- \int\frac(dt)(t^2+(\sqrt(2))^2)=\\ &= \frac(3)(2)\ln(t^2+2)- \frac(1)(\sqrt(2))\operatorname(arctg)\frac(t)(\sqrt(2))+C= \\ &=\frac(3)(2)\ln(x^2+2x+3)- \frac(1)(\sqrt(2))\operatorname(arctg)\frac(x+1)(\ sqrt(2))+C. \end (tekislangan)

2-misol Hisoblash \int\frac(x+2)((x^2+6x+10)^2)\,dx.

Yechim. Bizda ... bor: x^2+6x+10=(x+3)^2+1. Keling, x+3=t ni belgilash orqali yangi o'zgaruvchini kiritamiz. Keyin dt=dx va x+2=t-1 . O'zgaruvchini integral belgisi ostida almashtirsak, biz quyidagilarni olamiz:

\begin(hizalangan)\int\frac(x+2)((x^2+6x+10)^2)\,dx&= \int\frac(t-1)((t^2+1)^2 )\,dt= \frac(1)(2)\int\frac(2t\,dt)((t^2+1)^2)-\int\frac(dt)((t^2+1) ^2)=\\ &=-\frac(1)(2(t^2+1))- \int\frac(dt)((t^2+1)^2)\,. \end(hizalangan))

Keling, qo'ying I_2=\int\frac(dt)((t^2+1)^2). Bizda ... bor:

I_2=\frac(1)(2)I_1+\frac(1)(2)\frac(t)(t^2+1), lekin I_1=\int\frac(dt)(t^2+1)= \operator nomi(arctg)t Shunday qilib, I_2= \frac(1)(2)\operator nomi(arctg)t+ \frac(t)(2(t^2+1)).

Nihoyat, biz olamiz:

\begin(hizalangan)\int\frac(x+2)((x^2+6x+10)^2)\,dx&=-\frac(1)(2(t^2+1))-\frac (1)(2)\operatorname(arctg)t-\frac(t)(2(t^2+1))=\\ &=-\frac(1)(2(x^2+6x+10) )- \frac(1)(2)\operator nomi(arctg)(x+3)- \frac(x+3)(2(x^2+6x+10))+C=\\ &=\frac( -x-4)(2(x^2+6x+10))-\frac(1)(2)\operator nomi(arctg)(x+3)+C \end(hizalangan)

To'g'ri kasrlarni integrallash

To'g'ri kasrni ko'rib chiqing R(x)=\frac(P(x))(Q(x)), bu yerda Q(x) n darajali ko‘phad. Umumiylikni yo'qotmasdan, Q(x) dagi yetakchi koeffitsient 1 ga teng deb taxmin qilish mumkin. Algebra kursida haqiqiy koeffitsientlarga ega bo'lgan bunday ko'phadni haqiqiy koeffitsientli birinchi va ikkinchi darajali omillarga ko'paytirish mumkinligi isbotlangan. :

Q(x)= (x-x_1)^(\alfa)\ldots (x-x_k)^(\beta) (x^2+p\,x+q)^(\gamma)\ldots (x^2) +r\,x+s)^(\delta).

bu yerda x_1,\ldots,x_k - Q(x) ko'phadning haqiqiy ildizlari va kvadrat uch a'zolarning haqiqiy ildizlari yo'q. Isbotlash mumkinki, u holda R(x) 1) -4 ko'rinishdagi oddiy kasrlar yig'indisi sifatida ifodalanadi:

\begin(aligned)R(x)=&\frac(P(x))(Q(x))= \frac(A_1)((x-x_1)^(\alpha))+ \frac(A_2)( (x-x_1)^(\alpha-1))+\ldots+ \frac(A_(\alpha))(x-x_1)\,+\\ &+\,\ldots+ \frac(B_1)((x-) x_k)^(\beta))+ \frac(B_2)((x-x_k)^(\beta-1))+\ldots+ \frac(B_(\beta))(x-x_k)+ \frac(M_1x+) N_1)((x^2+p\,x+q)^(\gamma))\,+\\ &+\,\ldots+ \frac(M_(\gamma)+ N_(\gamma))(x^ 2+ p\,x+s)+ \frac(E_1x+F_1)((x^2+rx+s)^(\delta))+\ldots+ \frac(E_(\delta)x+F_(\delta) ))(x^2+rx+s)\, \end(tekislangan)

bu yerda maxrajlarning ko‘rsatkichlari ketma-ketlik bilan \alfa dan 1 ga, ..., \beta dan 1, \gamma dan 1, ..., \delta dan 1 gacha va A_1,\ldots,F_(\delta)- aniqlanmagan koeffitsientlar. Ushbu koeffitsientlarni topish uchun maxrajlardan xalos bo'lish va ikkita ko'phadning tengligini qo'lga kiritib, noaniq koeffitsientlar usulini qo'llash kerak.

Koeffitsientlarni aniqlashning yana bir usuli A_1,\ldots, A_(\alpha), \ldots, F_(\delta) x o'zgaruvchining qiymatlarini almashtirishga asoslanadi. (1) tenglikdan olingan tenglikka x o‘rniga istalgan sonni maxrajlardan keyin qo‘yib, kerakli koeffitsientlarga nisbatan chiziqli tenglamaga kelamiz. O'zgaruvchining ma'lum qiymatlarining kerakli sonini almashtirib, biz koeffitsientlarni topish uchun tenglamalar tizimini olamiz. O'zgaruvchining shaxsiy qiymatlari sifatida maxrajning ildizlarini (haqiqiy va murakkab) tanlash eng qulaydir. Bunday holda, tenglikning o'ng tomonidagi deyarli barcha shartlar (ikkita ko'phadning tengligini anglatadi) yo'qoladi, bu esa qolgan koeffitsientlarni topishni osonlashtiradi. Murakkab qiymatlarni almashtirganda shuni yodda tutish kerakki, ikkita kompleks son, agar ularning haqiqiy va xayoliy qismlari mos ravishda teng bo'lsa, teng bo'ladi. Shuning uchun kompleks sonlarni o'z ichiga olgan har bir tenglikdan ikkita tenglama olinadi.

Noaniq koeffitsientlarni topgandan so'ng, olingan oddiy kasrlarning integrallarini hisoblash qoladi. Ko'rib turganimizdek, eng oddiy kasrlarni integrallashda faqat ratsional funksiyalar, arktangentlar va logarifmlar olinadi. har qanday ratsional funktsiyaning integrali ratsional funktsiya, arktangentlar va logarifmlar bilan ifodalanadi..

3-misol To'g'ri ratsional kasrning integralini hisoblang \int\frac(6x+1)(x^2+2x-3)\,dx.

Yechim. Biz integralning maxrajini omillarga ajratamiz:

x^2+2x-3=(x-1)(x+3).

Biz integratsiyani yozamiz va uni oddiy kasrlar yig'indisi sifatida ifodalaymiz:

\frac(6x+1)(x^2+2x-3)= \frac(A)(x-1)+\frac(B)(B+3)\,.

Ushbu tenglikdagi maxrajlardan xalos bo'lib, biz quyidagilarni olamiz:

6x+1=A\cdot (x+3)+B\cdot (x-1)\,.

Koeffitsientlarni topish uchun biz qisman qiymatlarni almashtirish usulidan foydalanamiz. A koeffitsientini topish uchun x=1 ni qo'yamiz. U holda (2) tenglikdan 7=4A ni olamiz, bundan A=7/4 . B koeffitsientini topish uchun x=-3 ni o'rnatamiz. U holda (2) tenglikdan -17=-4B ni olamiz, bundan B=17/4 .

Shunday qilib, \frac(6x+1)(x^2+2x-3)= \frac(7)(4)\cdot\frac(1)(x-1)+ \frac(17)(4)\cdot\frac (1)(x+3). Ma'nosi,

\int\frac(6x+1)(x^2+2x-3)\,dx= \frac(7)(4)\int\frac(dx)(x-1)+ \frac(17)(4) )\int\frac(dx)(x+3)= \frac(7)(4)\ln|x-1|+ \frac(17)(4)\ln|x+3|+C.

4-misol Hisoblash \int\frac(x^4+2x^2+8x+5)((x^2+2)(x-1)^2(x+2))\,dx.

Yechim. Biz integratsiyani yozamiz va uni oddiy kasrlar yig'indisi sifatida ifodalaymiz. Maxrajda haqiqiy ildizlarga ega bo'lmagan x^2+2 omil mavjud, u 2-turdagi kasrga to'g'ri keladi: \frac(Ax+B)(x^2+2)(x-1)^2 omili 1-turdagi ikkita kasr yig'indisiga to'g'ri keladi: \frac(C)((x-1)^2)+ \frac(D)(x-1); nihoyat, x+2 omil 1-turdagi bir kasrga mos keladi \frac(E)(x+2) . Shunday qilib, biz integratsiyani to'rtta kasr yig'indisi sifatida ifodalaymiz:

\frac(x^4+2x^2+8x+5)((x^2+2)(x-1)^2(x+2))= \frac(Ax+B)(x^2+2 )+ \frac(C)((x-1)^2)+ \frac(D)(x-1)+ \frac(E)(x+2)\,.

Keling, bu tenglikdagi maxrajlardan xalos bo'laylik. Biz olamiz:

\begin(hizalangan) x^4+2x^2+8x+5&= (Ax+B)(x-1)^2(x+2)+ C(x^2+2)(x+2)\, +\\ &\phantom(=)+ D(x^2+2)(x-1)(x+2)+ E(x^2+2)(x-1)^2.\end(hizalangan)

Integrandning maxraji ikkita haqiqiy ildizga ega: x=1 va x=-2 . x=1 ni (4) tenglikka almashtirsak, biz 16=9C ni olamiz, undan C=16/9 ni topamiz. x=-2 ni almashtirganda 13=54E ni olamiz va shunga mos ravishda E=13/54 ni aniqlaymiz. x=i\,\sqrt(2) qiymatini (x^2+2 ko‘phadning ildizi) o‘rniga qo‘yish tenglikka o‘tish imkonini beradi.

4-4+8\,i\,\sqrt(2)+5= (A\,i\,\sqrt(2)+B)\cdot (i\,\sqrt(2)-1)^2\ cdot(i\,\sqrt(2)+2).

U quyidagilarga aylanadi:

(10A+2B)+(2A-5B)\sqrt(2)\,i= 5+8\sqrt(2)\,i, bundan 10A+2B=5 , va (2A-5B)\sqrt(2)=8\sqrt(2).

Ikki o'zgaruvchili ikkita tenglamalar tizimini yechish \begin(holatlar)10A+2B=5,\\ 2A-5B=8,\end(holatlar) topamiz: A=\frac(41)(54),~ B=-\frac(35)(27).

D koeffitsientining qiymatini aniqlash uchun qoladi. Buning uchun (4) tenglikda biz qavslarni ochamiz, shunga o'xshash shartlarni beramiz va keyin x ^ 4 da koeffitsientlarni solishtiramiz. Biz olamiz:

A+D+E=1 , ya’ni D=0 .

Koeffitsientlarning topilgan qiymatlarini tenglikka almashtiramiz (3):

\frac(x^4+2x^2+8x+5)((x^2+2)(x-1)^2(x+2))= \frac(\drac(41)(54)\, x- \dfrac(35)(27))(x^2+2)+ \frac(16)(9)\frac(1)((x-1)^2)+ \frac(13)(54) \frac(1)(x+2)\,

va keyin integratsiyaga o'ting:

\begin(hizalangan)\int\frac(x^4+2x^2+8x+5)((x^2+2)(x-1)^2(x+2))\,dx&= \frac( 41)(54)\int\frac(x\,dx)(x^2+2)- \frac(35)(27)\int\frac(dx)(x^2+2)+ \frac(16) )(9) \int\frac(dx)((x-1)^2)+ \frac(13)(54)\int\frac(dx)(x+2)=\\ &=\frac(41) )(108)\ln(x^2+2)- \frac(35)(27\sqrt(2))\operatorname(arctg)\frac(x)(\sqrt(2))- \frac(16) (9(x-1))+ \frac(13)(54) \ln|x+2|+C.\end(hizalangan)

Noto'g'ri kasrlarni integrallash

Funktsiyani integratsiya qilish zarur bo'lsin y=\frac(f(x))(g(x)), bu yerda f(x) va g(x) koʻphadlar boʻlib, f(x) koʻphadning darajasi g(x) koʻphadning darajasidan katta yoki teng. Bunday holda, birinchi navbatda, noto'g'ri kasrning butun qismini tanlash kerak \frac(f(x))(g(x)), ya'ni uni shaklda ifodalaydi

\frac(f(x))(g(x))=s(x)+ \frac(r(x))(g(x))\,

bu yerda s(x) f(x) va g(x) ko‘phadlar darajalari ayirmasiga teng darajali ko‘phad va \frac(r(x))(g(x)) to'g'ri kasrdir.

Keyin bizda bor \int\frac(f(x))(g(x))\,dx= \int s(x)\,dx+ \int\frac(r(x))(g(x))\,dx\, ..

5-misol Noto'g'ri kasrning integralini hisoblang \int\frac(x^4-4x^3+x^2+16x-11)((x-1)(x+2)(x-3))\,dx.

Yechim. Bizda ... bor:

\begin(hizalangan)g(x)&=(x-1)(x+2)(x-3)= x^3-2x^2-5x+6,\\ f(x)&=x^4 -4x^3+x^2+16x-11. \end (tekislangan)

Butun qismni chiqarish uchun f(x) ni g(x) ga ajratamiz: \frac(f(x))(g(x))= x-2+\frac(2x^2+1)(x^3-2x^2-5x+6)\,.

Ma'nosi, \int\frac(x^4-4x^3+x^2+16x-11)((x-1)(x+2)(x-3))\,dx= \int(x-2)dx+ \int\frac(2x^2+1)((x-1)(x+2)(x-3))\,dx

Bizda ... bor: \int(x-2)dx=\frac(x^2)(2)-2x+C.

Integralni hisoblash uchun \int\frac(2x^2+1)((x-1)(x+2)(x-3))\,dx yuqoridagi kabi aniqlanmagan koeffitsientlar usuli qo'llaniladi. Hisob-kitoblardan so'ng, biz o'quvchiga qoldiramiz, biz olamiz.